2018年山东省济南理科数学全国卷高考模拟题
2018年山东省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)
2018年山东省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z=1−i1+i+2i，则|z|=( )A.0B.12C.1D.22.已知集合A={x|x2−x−2>0}，则∁R A=( )A.{x|−1<x<2}B.{x|−1≤x≤2}C.{x|x<−1}∪{x|x>2}D.{x|x≤−1}∪{x|x≥2}3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=( )A.−12B.−10C.10D.125.设函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax．若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0, 0)处的切线方程为（）A.y=−2xB.y=−xC.y=2xD.y=x6.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=( )A.3 4AB→−14AC→B.14AB→−34AC→C.3 4AB→+14AC→D.14AB→+34AC7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A.2 17B.2 5C.3D.28.设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，过点(−2, 0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →⋅FN →=( ) A.5 B.6C.7D.89.已知函数f (x )= e x ,x ≤0ln x ,x >0，g (x )=f (x )+x +a ．若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A.[−1, 0) B.[0, +∞) C.[−1, +∞) D.[1, +∞)10.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（ ）A.p 1=p 2B.p 1=p 3C.p 2=p 3D.p 1=p 2+p 311.已知双曲线C :x 23−y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |=( ) A.32B.3C.2 3D.412.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A.3 34B.2 33C.3 24D. 32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年山东师大附中高考数学模拟试卷和答案(理科)(4月份)
是（ ）
A．a≥3
B．a＞3
C．a≤﹣1
D．a＜﹣1
3．（5 分）已知
，那么 cosα＝（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正 方形边长的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
9
（元）
产品销量 y
b
（件）
84
83
80
75
68
已知变量 x，y 具有线性负相关关系，且 xi＝39， yi＝480，现有甲、乙、丙三位同
学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲 y＝4x+54；乙 y＝﹣4x+106；丙 y＝﹣4.2x+105，
其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．
（1）试判断谁的计算结果正确？并求出 a，b 的值；
A．4+2
B． ﹣1
C．
D．
8．（5 分）函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中 A＞0，|φ|＜ ）的图象如图所示，为了得到
g（x）＝cosωx 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
9．（5 分）在△ABC 内部有一点 O，满足 +2 +3 ＝ ，则
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21．（12 分）已知函数 f（x）＝
﹣lnx，m，n∈R．
（1）若函数 f（x）在（2，f（2））处的切线与直线 x﹣y＝0 平行，求实数 n 的值； （2）试讨论函数 f（x）在区间[1，+∞）上最大值； （3）若 n＝1 时，函数 f（x）恰有两个零点 x1，x2（0＜x1＜x2），求证：x1+x2＞2． （二）选做题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答至选做题答题区域，标清题 号.如果多做，则按所做第一题计分.
高三数学-2018年5月济南市高三统一考试数学理 精品
2018年5月济南市高三统一考试数学(理工类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至8 页．共150分．测试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂 黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．一、选择题：本大题共12个小题．每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{|230},{|M x x x P y y =--<，则M P 等于A ．(0，3)B ．[0,3)C ．[1,3)D ．[1,)-+∞2．已知复数122,1z i z i =+=-，则12z z z = 在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在等比数列{}n a 中，1n n a a +>，且7114146,5a a a a == ，则616a a = A ．23 B ． 32 C ．16- D ．56- 4．对于平面α和共面的直线m n 、，下列命题中是真命题的是A ．,,//m m n n αα⊥⊥若则B ． //,//,//m n mnαα若则 C ．,//,//m n m n αα⊂若则 D ． //m n m n α若、与所成的角相等，则 5．若平面向量a=（1，-2）与b 的夹角是180︒，且|b|= b 等于A ．(-3,6) B.(3,-6) C ．(6,-3) D ．(-6,3)6．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为A ．1B ．12C ．13D ．167．若圆221()1C y b b +-=+2：(x-a)与圆22()1C y +=2：(x+1)+1的交点连线平分圆2C周长，则实数a 、b 应满足的关系式是A. 22220a a b +++= B ．22260a a b ---=C ．222220a b a b ++++= D ． 2222230a b a b -+--= 8．下列四个命题，其中正确的命题是A ．函数cot y x =在(,)-∞∞内是减函数B ．函数|sin(2)|2y x π=+的最小正周期是πC.函数cos y x =在区间7[2,2]()4k k k Z ππππ++∈上是增函数 D ．函数tan()4y x π=+是奇函数9．如图，该程序运行后输出的结果为A.7B.15C.31D.6310．正四棱锥S-ABCD 底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为A 2BCD 11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 斜率为34的直线交抛物线于A 、B 两点，若(1)AF FB λλ=>，则λ的值为A ．5B ．4C ．43D ．5212．定义在R 上的函数()f x ，满足()()()(,)f x y f x f y x y R +=+∈，且f(1)=2，那么下面四个式子：①(1)2(1)...(1);f f nf +++ ②(1)[];2n n f + ③(1)n n +； ④(1)n n + f(1).其中与(1)(2)...()(*)f f f n n N ++∈相等的是A ．①③B ．①②C ．①②③④D ．①②③二、填空题：本大题共4个小题．每小题4分；共16分．把答案填在题中横线上．13．某班有学生50人，其中男生30人，女生20人，为了了解50名学生与身体状况有关的某项指标，今决定采用分层抽样的方法，抽取一个容量为20的样本，则女生张某被抽中的概率是________。
山东省济南市2018届高考第一次模拟考试数学(理)试题-有答案
高考模拟考试 理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数11212i i+++（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35B ．35i C ．35- D ．35i - 2.若集合{|12}A x x =<<，{|,}B x x b b R =>∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ） A ．2b ≥ B ．12b <≤ C ．1b ≤ D ．1b <3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）A ．4x =，22s <B ．4x =，22s >C ．4x >，22s <D ．4x >，22s >4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．2213632x y += B ．22198x y += C ．22195x y +=D ．2211612x y += 5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．12 D ．146.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．18B ．14 C ．316 D ．388.已知函数()sin()f x x ωϕ=+)x ωϕ+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出M ，N 的值分别为（ ）A ．13，21B ．34，55C ．21，13D ．55，34 10.设函数212()log (1)f x x =+112x++，则使得()(21)f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦11.设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长1F M 与双曲线的右支相交于点N ，若13MN FM =，则此双曲线的离心率为（ ）A B ．53 C ．43D 12.设1x ，2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（ ）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与3a b -平行，则实数x 的值是．14.某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆.则该几何体的体积为．15.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含4x 项的系数为．16.如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签： 原点处标数字0，记为0a ；点(1,0)处标数字1，记为1a ； 点(1,1)-处标数字0，记为2a ；点(0,1)-处标数字-1，记为3a ； 点(1,1)--处标数字-2，记为4a ；点(1,0)-处标数字-1，记为5a ； 点(1,1)-处标数字0，记为6a ；点(0,1)处标数字1，记为7a ； …以此类推，格点坐标为(,)i j 的点处所标的数字为i j +（i ，j 均为整数），记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则2018S =．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2b A a B c -=. （1）证明：tan 3tan B A =-；（2）若222b c a +=+，且ABC ∆，求a .18.如图1，在高为6的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且6CD =，12AB =，将它沿对称轴1OO 折起，使平面1ADO O ⊥平面1BCO O .如图2，点P 为BC 中点，点E 在线段AB 上（不同于A ，B 两点），连接OE 并延长至点Q ，使//AQ OB .（1）证明：OD ⊥平面PAQ ；（2）若2BE AE =，求二面角C BQ A --的余弦值.19.2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表造有关；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品．．．进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合．．格品中的频率．．．．．．代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望. 附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：24x y =，直线l 与抛物线1C 交于A ，B 两点.（1）若直线OA ，OB 的斜率之积为14-，证明：直线l 过定点； （2）若线段AB 的中点M 在曲线2C ：214(4y x x =--<<上，求AB 的最大值. 21.已知函数2()ln (21)f x a x x a x =-+-()a R ∈有两个不同的零点. （1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x a +>.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P 的直线l 的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11PM PN+的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()222f x x x =--+.（1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.2018年济南市高考数学模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5: CDABA 6-10: ACDBC 11、12：BD 二、填空题13. 2 14. 315. -48 16. -249 三、解答题 17.【解析】 （1）根据正弦定理，由已知得：sin cos cos sin B A B A -2sin 2sin()C A B ==+， 展开得：sin cos cos sin B A B A -2(sin cos cos sin )B A B A =+， 整理得：sin cos 3cos sin B A B A =-，所以，tan 3tan B A =-.（2）由已知得：222b c a +-=，∴222cos 2b c a A bc+-=22bc ==， 由0A π<<，得：6A π=，3tan A =，∴tan 3B = 由0B π<<，得：23B π=，所以6C π=，a c =，由12sin23S ac π=212a ==2a =. 18.【解析】（1）【解法一（几何法）】取1OO 的中点为F ，连接AF ，PF ；∴//PF OB ， ∵//AQ OB ，∴//PF AQ ，∴P 、F 、A 、Q 四点共面， 又由图1可知1OB OO ⊥， ∵平面1ADO O ⊥平面1BCO O ， 且平面1ADO O平面11BCO O OO =，∴OB ⊥平面1ADO O ， ∴PF ⊥平面1ADO O ， 又∵OD ⊂平面1ADO O ， ∴PF OD ⊥.在直角梯形1ADO O 中，1AO OO =，1OF O D =，1AOF OO D ∠=∠，∴1AOF OO D ∆≅∆，∴1FAO DOO ∠=∠，∴190FAO AOD DOO AOD ∠+∠=∠+∠=， ∴AF OD ⊥. ∵AFPF F =，且AF ⊂平面PAQ ，PF ⊂平面PAQ ，∴OD ⊥平面PAQ .（1）【解法二（向量法）】由题设知OA ，OB ，1OO 两两垂直，所以以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长度为m ，则相关各点的坐标为(0,0,0)O ，(6,0,0)A ，(0,6,0)B ，(0,3,6)C ，(3,0,6)D ，(6,,0)Q m . ∵点P 为BC 中点，∴9(0,,3)2P ，∴(3,0,6)OD =，(0,,0)AQ m =，9(6,,3)2PQ m =--， ∵0OD AQ ⋅=，0OD PQ ⋅=，∴OD AQ ⊥，OD PQ ⊥，且AQ 与PQ 不共线， ∴OD ⊥平面PAQ .（2）∵2BE AE =，//AQ OB ，∴132AQ OB ==， 则(6,3,0)Q ，∴(6,3,0)QB =-，(0,3,6)BC =-. 设平面CBQ 的法向量为1(,,)n x y z =，∵1100n QB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴630360x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =，则2y =，1x =，则1(1,2,1)n =，又显然，平面ABQ 的法向量为2(0,0,1)n =，设二面角C BQ A --的平面角为θ，由图可知，θ为锐角， 则12126cos 6n n n n θ⋅==⋅. 19.【解析】（1）根据图3和表1得到22⨯列联表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(172828192)20020036436⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12.210≈.∵12.210 6.635>，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图3和表1可知，设备改造前产品为合格品的概率约为1724320050=，设备改造后产品为合格品的概率约为1922420025=；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优. （3）由表1知： 一等品的频率为12，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为12； 二等品的频率为13，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为13； 三等品的频率为16，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为16. 由已知得：随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480.240P X =（）1116636=⨯=，300P X =（）12111369C =⨯⨯=，360P X =（）1211115263318C =⨯⨯+⨯=， 420P X =（）12111233C =⨯⨯=，480P X =（）111224=⨯=.∴随机变量X 的分布列为：∴240300369E X =⨯+⨯（）3604204804001834+⨯+⨯+⨯=. 20.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，（1）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由24x yy kx m⎧=⎨=+⎩，得：2440x kx m --=， ()2160k m ∆=+>，124x x k +=，124x x m =-，1212OA OBy y k k x x ⋅⋅=⋅2212121144x xx x ⋅=⋅12164x x m⋅==-， 由已知：14OA OB k k⋅=-，所以1m =， ∴直线l 的方程为1y kx =+，所以直线l 过定点(0,1). （2）设()00,M x y ，则12022x x x k +==，2002y kxm k m =+=+， 将()00,Mx y 带入2C：214(4y x x =--<<得： 22124(2)4k m k +=-，∴243m k =-.∵0x -<，∴2k -<<，∴k <<又∵()216k m ∆=+22216(43)32(2)0k k k =+-=->，∴k <<，故k 的取值范围是：(k ∈.AB ==243m k =-代入得：AB =22≤=当且仅当2212k k +=-，即2k =±时取等号，所以AB 的最大值为. 21.【解析】 （1）【解法一】函数()f x 的定义域为：(0,)+∞.'()221a f x x a x =-+-(21)()x a x x+-=， ①当0a ≤时，易得'()0f x <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增， 则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当0a >时，令'()0f x =得：x a =，则'()f x + 0 - max 极大设()ln 1g x x x =+-，∵1'()10g x x=+>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增. 又∵(1)0g =，∴1x <时，()0g x <；1x >时，()0g x >. 因此：（i ）当01a <≤时，max ()()0f x a g a =⋅≤，则()f x 无零点， 不符合题意，舍去.（ii ）当1a >时，max ()()0f x a g a =⋅>， ∵12()(1)f a e e =-2110e e --<，∴()f x 在区间1(,)a e上有一个零点， ∵(31)ln(31)f a a a -=-2(31)(21)(31)a a a --+--[ln(31)(31)]a a a =---， 设()ln h x x x =-，(1)x >，∵1'()10h x x=-<， ∴()h x 在(1,)+∞上单调递减，则(31)(2)ln 220h a h -<=-<， ∴(31)(31)0f a a h a -=⋅-<，∴()f x 在区间(,31)a a -上有一个零点，那么，()f x 恰有两个零点.综上所述，当()f x 有两个不同零点时，a 的取值范围是(1,)+∞. （1）【解法二】函数的定义域为：(0,)+∞.'()221a f x x a x =-+-(21)()x a x x+-=， ①当0a ≤时，易得'()0f x <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增， 则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当0a >时，令'()0f x =得：x a =，则max 极大∴要使函数()f x 有两个零点，则必有()(ln 1)0f a a a a =+->，即ln 10a a +->， 设()ln 1g a a a =+-，∵1'()10g a a=+>，则()g a 在(0,)+∞上单调递增， 又∵(1)0g =，∴1a >； 当1a >时： ∵12()(1)f a e e =-2110e e--<， ∴()f x 在区间1(,)a e上有一个零点； 设()ln h x x x =-， ∵11'()1xh x x x-=-=，∴()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ∴()(1)10h x h ≤=-<，∴ln x x <，∴2()ln (21)f x a x x a x =-+-22(21)3ax x a x ax x x ≤-+-=--23(3)ax x x a x ≤-=-， 则(4)0f a <，∴()f x 在区间(,4)a a 上有一个零点， 那么，此时()f x 恰有两个零点.综上所述，当()f x 有两个不同零点时，a 的取值范围是(1,)+∞. （2）【证法一】由（1）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当(0,)x a ∈时，()f x 是增函数； 当(,)x a ∈+∞时，()f x 是减函数； 不妨设：12x x <，则：120x a x <<<； 设()()(2)F x f x f a x =--，(0,2)x a ∈，则：'()'()'(2)F x f x f a x =--2(21)2a ax a x a x=-+-+-2(2)(21)a x a --+- 22()22(2)a a x a x a x x a x -=+-=--. 当(0,)x a ∈时，'()0F x >，∴()F x 单调递增，又∵()0F a =， ∴()0F x <，∴()(2)f x f a x <-， ∵1(0,)x a ∈，∴11()(2)f x f a x <-， ∵12()()f x f x =，∴21()(2)f x f a x <-，∵2(,)x a ∈+∞，12(,)a x a -∈+∞，()f x 在(,)a +∞上单调递减， ∴212x a x >-，∴122x x a +>. （2）【证法二】由（1）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当(0,)x a ∈时，()f x 是增函数； 当(,)x a ∈+∞时，()f x 是减函数； 不妨设：12x x <，则：120x a x <<<； 设()()()F x f a x f a x =+--，(0,)x a ∈， 则'()'()'()F x f a x f a x =++-2()(21)a aa x a a x a x=-++-++-2()(21)a x a --+- 222()()a a x a x a x a x a x =+-=+-+-. 当(0,)x a ∈时，'()0F x >，∴()F x 单调递增， 又∵(0)0F =，∴()0F x >，∴()()f a x f a x +>-， ∵1(0,)a x a -∈，∴12()()f x f x =11(())(())f a a x f a a x =--<+-1(2)f a x =-， ∵2(,)x a ∈+∞，12(,)a x a -∈+∞，()f x 在(,)a +∞上单调递减， ∴212x a x >-，∴122x x a +>. 22.【解析】（1）由已知得：1122x t y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去t得21)y x -=-，20y -+-=， 即：l20y -+=.曲线C ：4sin ρθ=得，24sin ρρθ=，即224x y y +=，整理得22(2)4x y +-=，即：C ：22(2)4x y +-=.（2）把直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中得：221(1))42t ++=，即230t t +-=， 设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则121213t t t t +=-⎧⎨⋅=-⎩，∴11PM PN +1212PM PN t t PM PN t t ++==⋅⋅1212t t t t -==⋅3=. 23.【解析】（1）当2x ≤-时，()4f x x =-+，∴()646f x x ≥⇒-+≥2x ⇒≤-，故2x ≤-； 当21x -<<时，()3f x x =-，∴()636f x x ≥⇒-≥2x ⇒≤-，故x φ∈； 当1x ≥时，()4f x x =-，∴()646f x x ≥⇒-≥10x ⇒≥，故10x ≥； 综上可知：()6f x ≥的解集为(,2][10,)-∞+∞.（2）由（1）知：4,2()3,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如图所示：作出函数()f x 的图象，由图象知，当1x =时，13a -+≤-，解得：2a ≤-， ∴实数a 的取值范围为(,2]-∞-. 【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤， 当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-， 当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，-∞-. 综上，实数a的取值范围为(,2]。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷,答案不全)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B = （A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60（C ）120 （D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π（B ）133+π（C ）136+π（D ）16+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)=（A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2018届山东省实验中学高三第二次模拟考试理科数学试题及答案
山东省实验中学2018届第二次模拟考试数学试题（理科）4第I 卷（选择题 50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}()12,1R A x x B x x A C B =-≤≤=<⋂，则= A.{}1x x > B. {}1x x ≥ C.{}2x x 1<≤ D. {}2x x 1≤≤2.已知直线l ⊥平面α，直线m β⊂平面，有下面四个命题： ①//l m αβ⇒⊥； ②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒ 其中正确的两个命题是A.①②B.③④C.②④D.①③3.给出下列图象其中可能为函数()()432,,,f x x ax cx bx d a b c d R =++++∈的图象是A.①③B.①②C.③④D.②④4.已知圆()()22121111C x y C C ++-=：，圆与圆关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为A.()()22221x y ++-=B.()()22221x y -++=C.()()22221x y +++=D.()()22221x y -+-=5.已知函数()y f x =满足：①()1y f x =+；②在[)1,+∞上为增函数，若120,0x x <>，且()()12122x x f x f x +<---，则与的大小关系是A.()()12f x f x -=-B. ()()12f x f x -<-C.()()12f x f x ->-D.无法确定6.已知G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若AP AB AC λμλμ=++ ，则的取值范围是 A.112⎛⎫ ⎪⎝⎭， B.213⎛⎫ ⎪⎝⎭， C.312⎛⎫ ⎪⎝⎭， D.()12， 7.已知点(),M a b 在由不等式组002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内，则点(),N a b a b +-所在平面区域的面积是A.4B.2C.1D.88.已知离心率为e的椭圆有相同的焦点12F F P 、，是两曲线的一个公共点，若123F PF e π∠=，则等于C.52D.39.设αβ，为锐角，那么“()22sin sin sin αβαβ+=+”是“2παβ+=”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知函数()31,0,9,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩若关于x 的方程()()22f x x a a R +=∈有六个不同的实根，则a 的取值范围是A.(]2,8B.(]2,9C.()8,9D. (]8,9二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.阅读下面程序框图，则输出的数据S 为______.12.几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为________m 3.13.已知对于任意的x R ∈，不等式35x x a -+->恒成立，则实数a的取值范围是________.14.如图，用四种不同颜色给三棱柱111ABC A B C -的六个顶点涂色，要求四种颜色全都用上，每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法的种数为_________（用数字做答）.15.设S 为非空数集，若,x y S ∀∈，都有,,x y x y xy S +-∈，则称S 为封闭集.下列命题①实数集是封闭集； ②全体虚数组成的集合是封闭集； ③封闭集一定是无限集； ④若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ⑤若S ，T 为封闭集，且满足S U T ⊆⊆，则集合U 也是封闭集. 其中真命题是_________________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题满分12分）已知ABC ∆的面积为1，且满足02AB AC AB AC <⋅≤ ，设和的夹角为θ.（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数()22sin cos 246f ππθθθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值及取得最大值时的θ值.17.（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点.（I ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（II ）求二面角1A A D B --的大小.18.（本小题满分12分）盒中装有5个乒乓球用作比赛，其中2个是旧球，另外3个是新球，新球使用后．．．即成为了旧球. （I ）每次比赛从盒中随机抽取1个球使用，使用后．．．放回盒中，求第2次比赛结束后盒内剩余的新球数为2个的概率P ；（II ）每次比赛从盒中随机抽取2个球使用，使用后放回盒中，设第2次比赛结束后盒内剩余的新球数为X ，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）已知数列{}()*n a n N ∈的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为0，公差为12的等差数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()()*4215n a n b n N =⋅-∈，对任意的正整数k ，将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为x d ，求数列{}k d 的通项公式.（III ）对（II ）中的x d ，求集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数.20.（本小题满分13分）已知椭圆()2222:1x y C a b a b+=>>0的两个左、右焦点分别是())12,F F ，且经过点33A ⎛ ⎝⎭.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若椭圆C 上两点M ，N 使(),0,2OM ON OA OMN λλ+=∈∆ 求面积的最大值.21.（本小题满分14分）已知函数()2ln ,f x x ax x a R =+-∈. （I ）若函数()[]12f x 在，上是减函数，求实数a 的取值范围； （II ）令()()2g x f x x =-，是否存在实数(]0,a x e ∈，当（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存，说明理由；（III ）当(]0,x e ∈时，证明：()2251ln 2e x x x x ->+.。
2018年山东省济南市高考数学二模试卷(理科)Word版含解析
2018年山东省济南市高考二模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|（4﹣x）（x+3）≤0}，集合B=（x|x﹣1＜0}，则（∁A）∩B等于（）RA．（﹣∞，﹣3] B．[﹣4，1）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）2．已知复数z=﹣3i，则|z|等于（）A．2 B．C．D．3．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名学生从1到800进行编号，已知从49～64这16个数中被抽到的数是58，则在第2小组17～32中被抽到的数是（）A．23 B．24 C．26 D．28（ax+4）在（1，2]上单调递减，则实数a的值可以是（）4．已知函数f（x）=log2A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣35．“﹣1＜m＜1”是“圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长大于2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知关于x的不等式m﹣|x+1|≤|2x+1|+|x+1|的解集为R，则实数m的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．07．包括甲、乙、丙三人在内的6人站成一排，则甲与乙、丙都相邻且乙不站在两端的排法有（）A．32种B．36种C．42种D．48种8．如果实数x，y满足条件，若z=的最小值小于，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，1） D．（，+∞）9．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．23 D．2410．已知函数f（x）=﹣，g（x）=，实数a，b满足a＜b＜0，若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[﹣1，1]使得f（x1）=g（x2）成立，则b﹣a的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为______．12．执行如图的程序框图，若输入k的值为5，则输出S的值为______．13．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=3，设=， =， =m﹣2，是△ABC以BC为斜边的直角三角形，则m=______．14．已知函数f（x）=﹣x2+4x+a（a＞0）的图象与直线x=0，x=3及y=x所围成的平面图形的面积不小于，则曲线g（x）=ax﹣4ln（ax+1）在点（1，g（1））处的切线斜率的最小值为______．15．已知点F是椭圆T： +=1（m＞0）的上焦点，F1是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点．若线段FF1的中点P恰好为椭圆T与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，m），m∈R（1）若m=tan，且∥，求cos2x﹣sin2x的值；（2）将函数f（x）=2（+）•﹣2m2﹣1的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在[0，]上有零点，求m的取值范围．17．在如图所示的几何体中，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1⊥平面ABC ，A 1B 1∥AB ，AB=2A 1B 1，E 是AC 的中点． （1）求证：A 1E ∥平面BB 1C 1C ；（2）若AC=BC=2，AB=2BB1=2，求二面角A ﹣BA 1﹣E 的余弦值．18．机动车驾驶证考试分理论考试和实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分都“合格”者，则机动车驾驶证考试“合格”（并颁发机动车驾驶证）．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）的概率； （2）用X 表示甲、乙、丙三人在理论考试中合格的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．19．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n （n+1）（n ∈N +）数列{b n }满足a n =+++…+（1）求数列{b n }的通项公式； （2）令c n =（n ∈N +），求数列{c n }的前n 项和T n ．20．过抛物线L ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F 且斜率为的直线与抛物线L 在第一象限的交点为P ，且|PF|=5 （1）求抛物线L 的方程；（2）设直线l ：y=kx+m 与抛物线L 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点． （ⅰ）若k=2，线段AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线L 于M ，N 两点，（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程；（ⅱ）若直线l 过点，且交x 轴于点C ，且=a ， =b ，对任意的直线l ，a+b 是否为定值？若是，求出a+b 的值，若不是，说明理由．21．已知函数f （x ）=bx ﹣axlnx （a ＞0）的图象在点（1，f （1））处的切线与直线平y=（1﹣a ）x 行． （1）若函数y=f （x ）在[e ，2e]上是减函数，求实数a 的最小值；（2）设g （x ）=，若存在x 1∈[e ，e 2]，使g （x 1）≤成立，求实数a 的取值范围．2018年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|（4﹣x ）（x+3）≤0}，集合B=（x|x ﹣1＜0}，则（∁R A ）∩B 等于（ ） A ．（﹣∞，﹣3] B ．[﹣4，1） C ．（﹣3，1） D ．（﹣∞，﹣3） 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A 、B ，求出∁R A 与（∁R A ）∩B 即可． 【解答】解：∵集合A={x|（4﹣x ）（x+3）≤0}={x|x ≤﹣3或x ≥4}=（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）； 集合B={x|x ﹣1＜0}={x|x ＜1}=（﹣∞，1）， ∴∁R A=（﹣3，4）， （∁R A ）∩B=（﹣3，1）． 故选：C ．2．已知复数z=﹣3i ，则|z|等于（ ）A ．2B ．C ．D ． 【考点】复数求模．【分析】化简复数z ，求出|z|即可．【解答】解：∵复数z=﹣3i=﹣3i=﹣3i=1﹣i ，∴|z|==．故选：D ．3．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名学生从1到800进行编号，已知从49～64这16个数中被抽到的数是58，则在第2小组17～32中被抽到的数是（ ）A ．23B ．24C ．26D ．28 【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可．【解答】解：∵样本间隔k==16，设从1～16中随机抽取1个数的结果是x ， ∴第k 组抽取的号码数为x+16（k ﹣1）， 又k=4时，x+16×3=58，解得x=10；∴在编号为17～32的这16个学生中抽取的一名学生， 其编号为10+16=26． 故选：C ．4．已知函数f（x）=log2（ax+4）在（1，2]上单调递减，则实数a的值可以是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【考点】复合函数的单调性．【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：设t=ax+4，若函数f（x）=log2（ax+4）在（1，2]上单调递减，则t=ax+4在（1，2]上单调递减且当x=2时，t＞0，即，即，得﹣2＜a＜0，则只有a=﹣1满足条件．故选：B．5．“﹣1＜m＜1”是“圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长大于2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5，令y=0，可得：x﹣1=，可得圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长L=＞2，解得m范围即可判断出结论．【解答】解：由圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5，令y=0，可得：x﹣1=，∴圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长L=＞2，解得﹣2＜m＜2．∴“﹣1＜m＜1”是“圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长大于2”的充分不必要条件．故选：A．6．已知关于x的不等式m﹣|x+1|≤|2x+1|+|x+1|的解集为R，则实数m的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由题意可得 m≤|2x+1|+|2x+2|的解集为R，再根据绝对值三角不等式求得|2x+1|+|2x+2|的最小值为1，可得实数m的最大值．【解答】解：关于x的不等式m﹣|x+1|≤|2x+1|+|x+1|的解集为R，即 m≤|2x+1|+|2x+2|的解集为R．∵|2x+1|+|2x+2|≥|2x+1﹣（2x+2）|=1，∴m≤1，∴实数m的最大值为1，故选：C．7．包括甲、乙、丙三人在内的6人站成一排，则甲与乙、丙都相邻且乙不站在两端的排法有（）A．32种B．36种C．42种D．48种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】利用间接法，先求出甲与乙、丙都相邻的排法，再排除乙站在两端的排法，问题得以解决．【解答】解：甲与乙、丙都相邻的排法有A44A22=48种，其中乙站在两端的排法有C21A33=12，故满足条件的种数为48﹣12=36，故选：B．8．如果实数x，y满足条件，若z=的最小值小于，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，1） D．（，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即点P（﹣1，1）与可行域内点的连线的斜率列式求得a的范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由题意判断a＞0，z=的几何意义表示点P（﹣1，1）与可行域内点的连线的斜率，则当取正弦x=a与2x+y﹣2=0的交点（a，2﹣2a）时，z有最小值，得，解得a．故选：D．9．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．23 D．24【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出直观图，几何体为三棱锥与四棱锥的组合体．【解答】解：作出几何体的直观图如图所示，则几何体为四棱锥C﹣ABNM和三棱锥M﹣ACD组合体．由三视图可知BC⊥平面ABNM，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，NB=2，MA=4，∴几何体的体积V=+=．故选A．10．已知函数f（x）=﹣，g（x）=，实数a，b满足a＜b＜0，若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[﹣1，1]使得f（x1）=g（x2）成立，则b﹣a的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简g（x）==x﹣，从而判断单调性及取值范围，化简f（x）=﹣=﹣2﹣（x+），从而判断单调性，从而解得．【解答】解：g（x）==x﹣在[﹣1，1]上单调递增，故g（﹣1）≤g（x）≤g（1），即﹣≤g（x）≤3，f（x）=﹣=﹣2﹣（x+），故f（x）在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数；f（﹣2）=﹣2+4=2，令f（x）=3解得，x=﹣1或x=﹣4；故b的最大值为﹣1，a的最小值为﹣4，故b﹣a的最大值为3，故选A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为 2 ．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理将角化边得到bc=4，代入面积公式即可求出．【解答】解：∵b2sinC=sinB，∴b2c=4b，即bc=4．∴S=bcsinA==2．△ABC故答案为：2．12．执行如图的程序框图，若输入k的值为5，则输出S的值为30 ．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；输入k=5，n=0，S=﹣1，满足条件S＜kn；n=1，S=﹣1+1=0，满足条件S＜kn；n=2，S=0+2=2，满足条件S＜kn；n=3，S=2+22=6，满足条件S＜kn；n=4，S=6+23=14，满足条件S＜kn；n=5，S=14+24=30，不满足条件S＜kn；终止循环，输出S=30．故答案为：30．13．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=3，设=， =， =m﹣2，是△ABC以BC为斜边的直角三角形，则m= ﹣11 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，根据列方程解出m即可．【解答】解： ==， ==（m﹣1）﹣2．∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，∴，∴．即（）•[（m﹣1）﹣2]=（1﹣m）﹣2+（m+1）=0．∵=4， =9， =2×3×cos60°=3，∴4（1﹣m）﹣18+3（m+1）=0，解得m=﹣11．故答案为：﹣11．14．已知函数f（x）=﹣x2+4x+a（a＞0）的图象与直线x=0，x=3及y=x所围成的平面图形的面积不小于，则曲线g（x）=ax﹣4ln（ax+1）在点（1，g（1））处的切线斜率的最小值为﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】当x∈[0，3]时，y=f（x）的图象在直线y=x的上方，则围成的平面图形的面积为（﹣x2+3x+a）dx，运用定积分运算可得+3a，再由条件可得a的范围，求得g（x）的导数，可得切线的斜率，令t=a+1（t≥3），则h（t）=t+﹣5，求出导数，判断单调性可得最小值．【解答】解：当x∈[0，3]时，f（x）﹣x=﹣x2+3x+a＞0，即有y=f（x）的图象在直线y=x的上方，则围成的平面图形的面积为（﹣x2+3x+a）dx=（﹣x3+x2+ax）|=+3a，由题意可得+3a≥，解得a≥2．g（x）=ax﹣4ln（ax+1）的导数为g′（x）=a﹣，可得在点（1，g（1））处的切线斜率为a﹣=（a+1）+﹣5，令t=a+1（t≥3），则h（t）=t+﹣5，h′（t）=1﹣＞0，可得h（t）在[3，+∞）递增，即有h（t）≥h（3）=3+﹣5=﹣，则当a=2时，取得最小值﹣．故答案为：﹣．15．已知点F 是椭圆T ： +=1（m ＞0）的上焦点，F 1是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点．若线段FF 1的中点P 恰好为椭圆T 与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率为．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】求出中点P 的坐标，根据点P 在椭圆上建立方程关系求出a ，b 的关系即可得到结论．【解答】解：设F 1（c ，0），由椭圆方程得F （0，2m ），则线段FF 1的中点P （，m ），∵点P 在椭圆上，∴，得m=c ，∵P （，c ）在双曲线渐近线y=x 上，则=，则离心率e====，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知向量=（sinx ，﹣1），=（cosx ，m ），m ∈R（1）若m=tan ，且∥，求cos 2x ﹣sin2x 的值；（2）将函数f （x ）=2（+）•﹣2m 2﹣1的图象向右平移个单位得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）在[0，]上有零点，求m 的取值范围．【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用诱导公式可求m ，利用平面向量共线的坐标表示可求tanx ，利用同角三角函数基本关系式即可化简求值．（2）由平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求函数f （x ）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g （x ），根据x 的范围，可求2sin （2x ﹣）的范围，令g （x ）=0即可解得m 的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵m=，∥，…∴3sinx+cosx=0，得tanx=﹣，…∴cos 2x ﹣sin2x===…（2）∵f （x ）=2（+）•﹣2m 2﹣1=2sinxcosx+2cos 2x ﹣2m ﹣1=sin2x+cos2x ﹣2m=2sin （2x+）﹣2m ，…∴g （x ）=2sin （2x ﹣+）﹣2m=2sin （2x ﹣）﹣2m ，…∵x ∈[0，]，∴2x ﹣∈[﹣，]，则2sin （2x ﹣）∈[﹣1，2]，…令g （x ）=0，可得2m=2sin （2x ﹣）， ∴2m ∈[﹣1，2]，…∴m 的取值范围是[﹣，1]…17．在如图所示的几何体中，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1⊥平面ABC ，A 1B 1∥AB ，AB=2A 1B 1，E 是AC 的中点．（1）求证：A 1E ∥平面BB 1C 1C ；（2）若AC=BC=2，AB=2BB 1=2，求二面角A ﹣BA 1﹣E 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB 的中点F ，连结EF ，A 1F ，推导出FA 1∥BB 1，EF ∥CB ，由此能证明平面A 1EF ∥平面BB 1C 1C ．（2）连结CF ，则CF ⊥AB ，以F 为原点，FC 为x 轴，FB 为y 轴，FA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣BA 1﹣E 的余弦值．【解答】证明：（1）取AB 的中点F ，连结EF ，A 1F ，∵AB=2A 1B 1，∴BF=A 1B 1，∵A 1B 1∥AB ，∴FA 1∥BB 1，∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥CB ，∵EF∩FA 1=F ，∴平面A 1EF ∥平面BB 1C 1C ．解：（2）连结CF ，则CF ⊥AB ，以F 为原点，FC 为x 轴，FB 为y 轴，FA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣1，0），A 1（0，0，1），B （0，1，0），C （，0，0），∴E （，﹣，0），=（0，﹣1，1），=（，﹣，0），设平面A 1BE 的一个法向量为=（x ，y ，z ），则，取y=1，得=（，1，1），平面ABA的法向量=（0，0，1），1﹣E的平面角为θ，设二面角A﹣BA1则cosθ===．﹣E的余弦值为．∴二面角A﹣BA118．机动车驾驶证考试分理论考试和实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分都“合格”者，则机动车驾驶证考试“合格”（并颁发机动车驾驶证）．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）的概率；（2）用X表示甲、乙、丙三人在理论考试中合格的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记“甲获得《机动车驾驶证》”为事件A《“乙获得《机动车驾驶证》”为事件B，“丙获得《机动车驾驶证》”为事件C，“这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）”为事件D，由P（D）=P（AB）+P（A C）+P（BC），能求出这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）的概率．（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）记“甲获得《机动车驾驶证》”为事件A《“乙获得《机动车驾驶证》”为事件B，“丙获得《机动车驾驶证》”为事件C，“这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）”为事件D，则P（A）==，P（B）==，P（C）==，则P（D）=P（AB）+P（A C）+P（BC）=++=．（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P （X=2）=++=，P （X=3）==， 0 2 3E （X ）==．19．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n （n+1）（n ∈N +）数列{b n }满足a n =+++…+ （1）求数列{b n }的通项公式；（2）令c n =（n ∈N +），求数列{c n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当n ≥2时利用a n =S n ﹣S n ﹣1计算，进而可知a n =2n ，进而利用作差可知=2，计算即得结论；（2）通过（1）可知c n ==n+n•3n （n ∈N +），利用错位相减法计算可知数列{n•3n }的前n 项和Q n =，进而利用分组求和法计算即得结论． 【解答】解：（1）依题意，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n （n+1）﹣（n ﹣1）n=2n ，又∵当n=1时，a 1=S 1=2满足上式，∴a n =2n ，∵a n =+++…+，∴当n ≥2时，a n ﹣1=+++…+，两式相减得： =2n ﹣2（n ﹣1）=2，又∵=2满足上式，∴=2，b n =2+2•3n ；（2）由（1）可知c n ==n+n•3n （n ∈N +），令Q n 为数列{n•3n }的前n 项和，则Q n =1•3+2•32+3•33+…+n•3n ，3Q n =1•32+2•33+…+（n ﹣1）•3n +n•3n+1，两式相减得：﹣2Q n =3+32+33+…+3n ﹣n•3n+1 =﹣n•3n+1，∴Q n =，∴数列{c n }的前n 项和T n =Q n +=+．20．过抛物线L ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F 且斜率为的直线与抛物线L 在第一象限的交点为P ，且|PF|=5（1）求抛物线L 的方程；（2）设直线l ：y=kx+m 与抛物线L 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点．（ⅰ）若k=2，线段AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线L 于M ，N 两点，（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程；（ⅱ）若直线l 过点，且交x 轴于点C ，且=a ， =b ，对任意的直线l ，a+b 是否为定值？若是，求出a+b 的值，若不是，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）过P 作PA ⊥y 轴于点A ，则cos ，由抛物线的定义得，由此能求出抛物线方程．（2）（i ）直线l 的方程为y=2x+m ，联立，得x 2﹣8x ﹣4m=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l 的方程．（ii ）由题意直线l 的方程为y=kx+1，l 与x 轴交点为C （﹣，0），由，得x 2﹣4kx ﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出对任意的直线l ，a+b 为定值﹣1．【解答】解：（1）设P （x 0，y 0），过P 作PA ⊥y 轴于点A ，∵直线PF 的斜率为，∴cos，∵|PF|=5，∴|AF|=3，即，由抛物线的定义得，解得p=2， ∴抛物线方程为x 2=4y ．（2）（i ）直线l 的方程为y=2x+m ，联立，消y 得x 2﹣8x ﹣4m=0，令△=64+16m ＞0，解得m ＞﹣4，∴x 1+x 2=8，x 1x 2=﹣4m ，∴，∴AB 的中点坐标为Q （4，8+m ），∴AB 的垂直平分线方程为y=﹣（8+m ）=﹣（x ﹣4），∴M （0，m+10），∵四边形AMBN 在菱形，M ，N 关于Q （4，8+m ）对称，∴N 点坐标为N （8，m+6），且N 点在抛物线上，∴64=4（m+6），即m=10．∴直线l 的方程为y=2x+10．（ii ）由题意直线l 的斜率一定不为0，其方程为y=kx+1，则直线l 与x 轴交点为C （﹣，0），由，得x 2﹣4kx ﹣4=0，∴△=（4k ）2﹣（﹣16）=16（k 2+1）＞0，∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=﹣4，由，得（，y 1）=a （﹣x 1，1﹣y 1），∴=﹣，同理，得b=﹣，∴a+b=﹣（+）=﹣（2+）=﹣1，∴对任意的直线l ，a+b 为定值﹣1．21．已知函数f （x ）=bx ﹣axlnx （a ＞0）的图象在点（1，f （1））处的切线与直线平y=（1﹣a ）x 行．（1）若函数y=f （x ）在[e ，2e]上是减函数，求实数a 的最小值；（2）设g （x ）=，若存在x 1∈[e ，e 2]，使g （x 1）≤成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）求出函数的导数，得到b ﹣a=1﹣a ，解出b ，求出函数的解析式，问题转化为a ≥在[e ，2e]上恒成立，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（2）问题等价于x 1∈[e ，e 2]时，有g （x ）min ≤成立，通过讨论a 的范围结合函数的单调性求出a 的具体范围即可．【解答】解：f′（x ）=b ﹣a ﹣alnx ，∴f′（1）=b ﹣a ，∴b ﹣a=1﹣a ，b=1，∴f （x ）=x ﹣axlnx ，（1）函数y=f （x ）在[e ，2e]上是减函数，∴f′（x ）=1﹣a ﹣alnx ≤0在[e ，2e]上恒成立，即a ≥在[e ，2e]上恒成立，∵h （x ）=在[e ，2e]上递减，∴h （x ）的最大值是，∴实数a 的最小值是；（2）∵g （x ）==﹣ax ，∴g′（x ）==﹣+﹣a ，故当=即x=e 2时，g′（x ）max =﹣a ，若存在x 1∈[e ，e 2]，使g （x 1）≤成立，等价于x 1∈[e ，e 2]时，有g （x ）min ≤成立，当a ≥时，g （x ）在[e ，e 2]上递减，∴g （x ）min =g （e 2）=﹣ae 2≤，故a ≥﹣，当0＜a ＜时，由于g′（x ）在[e ，2e]上递增，故g′（x ）的值域是[﹣a ，﹣a]，由g′（x ）的单调性和值域知：存在x 0∈[e ，e 2]，使g′（x ）=0，且满足：x ∈[e ，x 0），g′（x ）＜0，g （x ）递减，x ∈（x 0，e 2]，g′（x ）＞0，g （x ）递增，∴g （x ）min =g （x 0）=≤，x 0∈（e ，e 2），∴a≥﹣＞﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意，综上：a≥﹣．。
2018年山东省济南市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（其中i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）若集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＞b，b∈R}，则A⊆B的一个充分不必要条件是（）A．b≥2B．1＜b≤2C．b≤1D．b＜13．（5分）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则（）A．，s2＜2B．，s2＞2C．，s2＜2D．，s2＞24．（5分）已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a3＝1，a5与的等差中项为，则a1的值为（）A．4B．2C．D．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若z＝2x﹣y，则z的取值范围是（）A．[﹣5，6）B．[﹣5，6]C．（2，9）D．[﹣5，9] 7．（5分）七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形．现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期为π，且，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递增C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递减9．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出M，N的值分别为（）A．13，21B．34，55C．21，13D．55，3410．（5分）设函数，则使得f（x）≤f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．11．（5分）设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为M，延长F1M与双曲线的右支相交于点N，若，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），则x1+4x2的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[5，+∞）D．（5，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，，若与平行，则实数x的值是．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆．则该几何体的体积为．15．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x4项的系数为．16．（5分）如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a0；点（1，0）处标数字1，记为a1；点（1，﹣1）处标数字0，记为a2；点（0，﹣1）处标数字﹣1，记为a3；点（﹣1，﹣1）处标数字﹣2，记为a4；点（﹣1，0）处标数字﹣1，记为a5；点（﹣1，1）处标数字0，记为a6；点（0，1）处标数字1，记为a7；…以此类推，格点坐标为（i，j）的点处所标的数字为i+j（i，j均为整数），记S n ＝a1+a2+…+a n，则S2018＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b cos A﹣a cos B＝2c．（1）证明：tan B＝﹣3tan A；（2）若，且△ABC的面积为，求a．18．（12分）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB ＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O．如图2，点P 为BC中点，点E在线段AB上（不同于A，B两点），连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB．（1）证明：OD⊥平面P AQ；（2）若BE＝2AE，求二面角C﹣BQ﹣A的余弦值．19．（12分）2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30）内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25）或[30，35）内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．附：20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．（1）若直线OA，OB的斜率之积为，证明：直线l过定点；（2）若线段AB的中点M在曲线C2：上，求|AB|的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣x2+（2a﹣1）x（a∈R）有两个不同的零点．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞2a（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）当x∈R时，f（x）≥﹣x+a恒成立，求实数a的取值范围．2018年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（其中i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：复数＝+＝﹣i+﹣i＝﹣i．其虚部为﹣．故选：C．2．（5分）若集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＞b，b∈R}，则A⊆B的一个充分不必要条件是（）A．b≥2B．1＜b≤2C．b≤1D．b＜1【解答】解：∵集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＞b}，若A⊆B，则b≤1，故A⊆B的一个充分不必要条件是b＜1，故选：D．3．（5分）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则（）A．，s2＜2B．，s2＞2C．，s2＜2D．，s2＞2【解答】解：某7个数的平均数为4，方差为2，则这8个数的平均数为＝×（7×4+4）＝4，方差为s2＝×[7×2+（4﹣4）2]＝＜2．故选：A．4．（5分）已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆长轴的长为6，即2a＝6，得a＝3∵两个焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝•2a＝6，得c＝1，因此，b2＝a2﹣c2＝9﹣1＝8，再结合椭圆焦点在x轴上，可得此椭圆方程为：．故选：B．5．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a3＝1，a5与的等差中项为，则a1的值为（）A．4B．2C．D．【解答】解：正项等比数列{a n}公比设为q（q＞0），满足a3＝1，a5与的等差中项为，可得a1q2＝1，a5+＝1，即a1q4+a1q3＝1，可得2q2+3q﹣2＝0，解得q＝﹣2（舍去），q＝，则a1＝4，故选：A．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若z＝2x﹣y，则z的取值范围是（）A．[﹣5，6）B．[﹣5，6]C．（2，9）D．[﹣5，9]【解答】解：变量x，y满足约束条件不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z＝2x﹣y过点A时，z取得最小值，由，可得A（﹣2，1）时，在y轴上截距最大，此时z取得最小值﹣5．当直线z＝2x﹣y过点C时，z取得最小值，由，可得C（2，﹣2）时，因为C不在可行域内，所以z＝2x﹣y的最大值小于4+2＝6，则z的取值范围是：[﹣5，6）．故选：A．7．（5分）七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形．现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设4号板正方形的边长为1，则5号板直角边长为1，3号板斜边长为，7号板斜边长为2，直角边长为，则大正方形边长为，大正方形的面积为，阴影部分面积为，∴从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期为π，且，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递增C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递减【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ）∵f（x）的最小正周期为π，即＝π∴ω＝2，则2sin（2x+φ）又∵，可知对称轴x＝，∴2sin（2×+φ）＝±2即+φ＝．k∈Z．∵φ可得：φ＝．则f（x）＝2sin（2x+）．求解单调递减区间：令可得：．故选：D．9．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出M，N的值分别为（）A．13，21B．34，55C．21，13D．55，34【解答】解：当i＝1时，不满足退出循环的条件，i＝2，M＝2，N＝3；当i＝2时，不满足退出循环的条件，i＝3，M＝5，N＝8；当i＝3时，不满足退出循环的条件，i＝4，M＝13，N＝21；当i＝4时，不满足退出循环的条件，i＝5，M＝34，N＝55；当i＝5时，满足退出循环的条件，故输出的M，N值分别为：34，55故选：B．10．（5分）设函数，则使得f（x）≤f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．【解答】解：根据题意，函数，分析可得f（﹣x）＝[1+（﹣x）2]+＝（1+x2）+＝f（x），则函数f（x）为偶函数，分析易得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，若f（x）≤f（2x﹣1），则有f（|x|）≤f（|2x﹣1|），即有|x|≥|2x﹣1|，变形可得x2≥4x2﹣4x+1，解可得：≤x≤1，即x的取值范围是[，1]；故选：C．11．（5分）设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为M，延长F1M与双曲线的右支相交于点N，若，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，设F1（﹣c，0），可得|F1M|＝＝b，若，则|MN|＝3b，即|NF1|＝|F1M|+|MN|＝4b，在直角三角形MF1O中，|OF1|＝c，cos∠F2F1M＝，由双曲线的定义可得|NF2|＝|NF1|﹣2a＝4b﹣2a，在△NF1F2中，cos∠F2F1M＝＝，即有16b2＝4c2+16b2﹣（4b﹣2a）2，即2c＝4b﹣2a，可得2b＝a+c＝2，化为3c2﹣2ac﹣5a2＝0，即有（c+a）（3c﹣5a）＝0，可得3c＝5a，即有e＝＝，故选：B．12．（5分）设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），则x1+4x2的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[5，+∞）D．（5，+∞）【解答】解：由设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），可知x1是方程的解；x2是方程的解；则x1，x2分别为函数的图象与函数y＝y＝a x和函数y＝log a x的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1，），B（x2，）由a＞1，知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y＝a x和y＝log a x以及的图象均关于直线y＝x对称，所以两交点一定关于y＝x对称，由于点A（x1，），关于直线y＝x的对称点坐标为（，x1），所以，有x1x2＝1，而x1≠x2则x 1+4x2＝x1+x2+3x2≥＞2+3＝5即x1+4x2∈（5，+∞）故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，，若与平行，则实数x的值是2．【解答】解：向量，，则＝（3，1+x），＝（1，3﹣x），又与平行，则3（3﹣x）﹣（1+x）＝0，解得x＝2．故答案为：2．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆．则该几何体的体积为．【解答】解：由题目所给三视图可得，该几何体为两个半圆锥的组合体，底面半径为：1．高为：，合并为一个圆锥，所以几何体的体积为：＝π．故答案为：．15．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x4项的系数为﹣48．【解答】解：令x＝1，（1﹣a）×（2﹣1）5＝2，解得a＝﹣1．又（2x﹣）5的通项公式T r+1＝（﹣1）r25﹣r•x5﹣2r令5﹣2r＝3，5﹣2r＝5．解得r＝1或0．∴该展开式中常数项﹣80+32＝﹣48，故答案为：﹣48．16．（5分）如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a0；点（1，0）处标数字1，记为a1；点（1，﹣1）处标数字0，记为a2；点（0，﹣1）处标数字﹣1，记为a3；点（﹣1，﹣1）处标数字﹣2，记为a4；点（﹣1，0）处标数字﹣1，记为a5；点（﹣1，1）处标数字0，记为a6；点（0，1）处标数字1，记为a7；…以此类推，格点坐标为（i，j）的点处所标的数字为i+j（i，j均为整数），记S n ＝a1+a2+…+a n，则S2018＝﹣249．【解答】解：设a n的坐标为（x，y），由归纳推理可得a n＝x+y，第一圈从（1，0）点到（1，1）点共有8个点，由对称性得a1+a2+…+a8＝0，第二圈从（2，1）到（2，2）共16个点，由对称性得a9+a10+…+a14＝0，由归纳法得第n圈共有8n个点，这8n项的和也是0，设a2018，在第n圈，则S n＝8+16+…8n＝4（n+1）n，得前22圈共有2024个数，则S2024＝0，则S2018＝S2024﹣（a2024+a2023+…+a2019），a2024所在点的坐标为（22，23），则a2024＝22+22＝44，a2023所在点的坐标为（21，22），则a2023＝21+22＝43，a2022＝20+22＝42，a2021＝19+22＝41，a2020＝18+22＝40，a2019＝17+22＝39，则a2024+a2023+…+a2019＝249，则S2018＝S2024﹣（a2024+a2023+…+a2019）＝0﹣249＝﹣249，故答案为：﹣249三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b cos A﹣a cos B＝2c．（1）证明：tan B＝﹣3tan A；（2）若，且△ABC的面积为，求a．【解答】（1）证明：b cos A﹣a cos B＝2c，根据正弦定理可得：sin B cos A﹣cos B sin A＝2sin C＝2sin（A+B），展开得：sin B cos A﹣cos B sin A＝2（sin B cos A+cos B sin A），整理得：sin B cos A＝﹣3cos B sin A，所以，tan B＝﹣3tan A．（2）解：由已知得：，∴＝，由0＜A＜π，得：，，∴，由0＜B＜π，得：，所以，a＝c，由＝，得：a＝2．18．（12分）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB ＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O．如图2，点P 为BC中点，点E在线段AB上（不同于A，B两点），连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB．（1）证明：OD⊥平面P AQ；（2）若BE＝2AE，求二面角C﹣BQ﹣A的余弦值．【解答】（1）解法一（几何法）证明：取OO1的中点为F，连接AF，PF；∴PF∥OB，∵AQ∥OB，∴PF∥AQ，∴P、F、A、Q四点共面，又由图1可知OB⊥OO1，∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O＝OO1，∴OB⊥平面ADO1O，∴PF⊥平面ADO1O，又∵OD⊂平面ADO1O，∴PF⊥OD．在直角梯形ADO1O中，..，OF＝O1D，∠AOF＝∠OO1D，∴△AOF≌△OO1D，∴∠F AO＝∠DOO1，∴∠F AO+∠AOD＝∠DOO1+∠AOD＝90°，∴AF⊥OD．∵AF∩PF＝F，且AF⊂平面P AQ，PF⊂平面P AQ，∴OD⊥平面P AQ．解法二（向量法）由题设知OA，OB，OO1两两垂直，所以以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，则相关各点的坐标为O（0，0，0），A（6，0，0），B（0，6，0），C（0，3，6），D（3，0，6），Q（6，m，0）．∵点P为BC中点，∴，∴，，，∵，，∴，，且与不共线，∴OD⊥平面P AQ．（2）∵BE＝2AE，AQ∥OB，∴，则Q（6，3，0），∴，．设平面CBQ的法向量为，∵，∴，令z＝1，则y＝2，x＝1，则，又显然，平面ABQ的法向量为，设二面角C﹣BQ﹣A的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，则．19．（12分）2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30）内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25）或[30，35）内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．附：【解答】解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．完成下面的2×2列联表：将2×2列联表中的数据代入公式计算得：＝≈12.210．∵12.210＞6.635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．（3）由表1知：一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为．由已知得：随机变量X的取值为：240，300，360，420，480．P（X＝240）＝，P（X＝300）＝，P（X＝360）＝，P（X＝420）＝，P（X＝480）＝．∴随机变量X的分布列为：∴．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．（1）若直线OA，OB的斜率之积为，证明：直线l过定点；（2）若线段AB的中点M在曲线C2：上，求|AB|的最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），（1）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，由，得：x2﹣4kx﹣4m＝0，△＝16（k2+m）＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4m，＝＝，由已知：，所以m＝1，∴直线l的方程为y＝kx+1，所以直线l过定点（0，1）．（2）设M（x0，y0），则，，将M（x0，y0）带入C2：得：，∴m＝4﹣3k2．∵，∴，∴，又∵△＝16（k2+m）＝16（k2+4﹣3k2）＝32（2﹣k2）＞0，∴，故k的取值范围是：．＝，将m＝4﹣3k2代入得：，当且仅当k2+1＝2﹣k2，即时取等号，所以|AB|的最大值为．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣x2+（2a﹣1）x（a∈R）有两个不同的零点．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞2a【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝＝﹣，若a≤0，则f′（x）＜0，此时f（x）在（0，+∞）递减，不符合题意．若a＞0，则由f′（x）＝0，解得：x＝a，当0＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；要使函数f（x）＝alnx﹣x2+（2a﹣1）x（a∈R）有两个不同的零点．只需f（a）＝alna+a2﹣a＞0即可．令h（a）＝alna+a2﹣a（a＞0），h′（a）＝lna+2a，易知h′（a）＝lna+2a在（0，+∞）递增．且h′（1）＞0，∴存在x0∈（0，1）使h′（x0）＝0，∴a∈（0，x0）时，h（a）递减，a∈（x0，+∞）h（a）递增，∴h（a）＝alna+a2﹣a（a＞0），的草图如下：∴a的取值范围为（1，+∞）．（2）令g（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a）则g（x）＝alnx﹣x2+（2a﹣1）x﹣aln（2a﹣x）﹣（2a﹣1）（2a﹣x）+（2a﹣x）2，g′（x）＝，当0＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）递增，而g（a）＝0，故g（x）＜g（a）＝0，故0＜x＜a时，f（x）＜f（2a﹣x）；不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a＜x2，∴0＜2a﹣x1＞a，得：f（x1）＝f（x2）＜f（2a﹣x1），∵f（x）在（a，+∞）递减，∴x2＞2a﹣x1，即：x1+x2＞2a．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值．【解答】解：（1）由已知得：，消去t得，∴化为一般方程为：，即：l：．曲线C：ρ＝4sinθ得，ρ2＝4ρsinθ，即x2+y2＝4y，整理得x2+（y﹣2）2＝4，即：C：x2+（y﹣2）2＝4．（2）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程中得：，即t2+t﹣3＝0，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则，∴＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）当x∈R时，f（x）≥﹣x+a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x≤﹣2时，f（x）＝﹣x+4，∴f（x）≥6⇒﹣x+4≥6⇒x≤﹣2，故x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，f（x）＝﹣3x，∴f（x）≥6⇒﹣3x≥6⇒x≤﹣2，故x∈ϕ；当x≥1时，f（x）＝x﹣4，∴f（x）≥6⇒x﹣4≥6⇒x≥10，故x≥10；综上可知：f（x）≥6的解集为（﹣∞，2]∪[10，+∞）．（2）由（1）知：，【解法一】如图所示：作出函数f（x）的图象，由图象知，当x＝1时，﹣1+a≤﹣3，解得：a≤﹣2，∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．【解法二】当x≤﹣2时，﹣x+4≥﹣x+a恒成立，∴a≤4，当﹣2＜x＜1时，﹣3x≥﹣x+a恒成立，∴a≤﹣2，当x≥1时，x﹣4≥﹣x+a恒成立，∴a≤﹣2，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．。
【济南二模】济南市2018届高三高考针对性练习理科数学(含答案)(2018.05)
把 x 8 代入上式: y 10
0.54 0.258
10 2.54 10 2 100.54 347 ；
活动推出第 8 天使用扫码支付的人次为 3470 ； （3）记一名乘客乘车支付的费用为 Z ， 则 Z 的取值可能为： 2,1.8,1.6,1.4 ；
P Z 2 0.1 ； 1 0.15 ； 2 1 P Z 1.6 0.6 0.3 0.7 ； 3 1 P Z 1.4 0.3 0.05 6 P Z 1.8 0.3
0.54 ， 把样本中心点 4,1.54 代入 v 1gc 1gd x ,得: 1gd 0.54 0.25 x ，1g y 0.54 0.25 x ， v
x x y 100.54 0.25 x 100.54 100.54 3.47 100.54 ； y 关于 x 的回归方程式：
n2 BP 0 3 y2 z2 0 得 n BC 0 2 x2 0 2
令 y2 1 得 x2 0, z2 3 ，即 n1 0, 1, 3
n1 n2 2 7 7 n1 n2
（2）设 AB 2
AD PB 2 ， BE 2 PA A, E 为 AD 中点 PE 1
PE 2 BE 2 P PE B .
以 E 为坐标原点，分别以 EA, EB, EP 所在直线为 x, y , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 相关各点的坐标为 A 1, 0, 0 , B 0, 3, 0
, P 0, 0,1 , C 2, 3, 0
2018年山东省济南市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|x﹣1≤0}，集合B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}则下图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＜3}B．{x|﹣3＜x≤1}C．{x|x＜2}D．{x|﹣2＜x≤1} 2．（5分）设复数z满足z（1﹣i）＝2（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．|z|＝2B．复数z的虚部是iC．D．复数z在复平面内所对应的点在第一象限3．（5分）已知角α的终边经过点（m，﹣2m），其中m≠0，则sinα+cosα等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，任意取出两球，若取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖．则中奖的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的左视图的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）记不等式组，的解集为D，若∀（x，y）∈D，不等式a≤2x+y恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．（﹣∞，6]D．（﹣∞，8] 8．（5分）如图，半径为1的圆O中，A，B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设∠BOP ＝x，将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，2π]上的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）如图所示的程序框图中，Mod（m，n）表示m除以n所得的余数，例如：Mod （5，2）＝1，则该程序框图的输出结果为（）A．2B．3C．4D．510．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0，t）（0＜t＜b）．已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知点P，A，B，C均在表面积为81π的球面上，其中P A⊥平面ABC，∠BAC ＝30°，，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．8112．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，记f（x）的导函数为f'（x），当x≥0时，满足f'（x）﹣f（x）＞0．若∃x∈[﹣2，+∞）使不等式f[e x（x3﹣3x+3）]≤f（ae x+x）成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．1+2e2D．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13．（5分）展开式中，常数项为．（用数字作答）14．（5分）2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是．15．（5分）已知△ABC中，AB＝4，AC＝5，点O为△ABC所在平面内一点，满足，则＝．16．（5分）在圆内接四边形ABCD中，AC＝8，AB＝2AD，∠BAD＝60°，则△BCD的面积的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD．（1）证明：BC⊥PB；（2）若P A⊥PD，PB＝AB，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：根据以上数据，绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表2：车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受7折优惠，有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n（n∈N n）年才能开始盈利，求n的值．参考数据：x i y i x i u i其中其中参考公式：对于一组数据（u i，υi），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py（p＞0），斜率为k（k≠0）的直线l经过C焦点，且与C交于A，B两点满足．（1）求抛物线C的方程；（2）已知线段AB的垂直平分线与抛物线C交于M，N两点，R为线段MN的中点，记点R 到直线AB的距离为d，若，求k的值．21．（12分）已知函数f（x）＝1n（x+1）+ax2﹣x．（1）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范；（2）若函数g（x）＝f（x）+x有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求直线ll的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P的极坐标为，求|P A|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（2x+5）≥x+9；（2）若a＞0，b＞0，且，证明：，并求时，a，b的值．2018年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|x﹣1≤0}，集合B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}则下图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＜3}B．{x|﹣3＜x≤1}C．{x|x＜2}D．{x|﹣2＜x≤1}【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x﹣1≤0}＝{x|x≤1}，集合B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴阴影部分表示的集合为A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}．故选：D．2．（5分）设复数z满足z（1﹣i）＝2（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．|z|＝2B．复数z的虚部是iC．D．复数z在复平面内所对应的点在第一象限【解答】解：∵z（1﹣i）＝2，∴．∴|z|＝，复数z的虚部为1，，复数z在复平面内所对应的点的坐标为（1，1），在第一象限．∴说法正确的是D．故选：D．3．（5分）已知角α的终边经过点（m，﹣2m），其中m≠0，则sinα+cosα等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α的终边经过点（m，﹣2m），其中m≠0，则当m＞0时，x＝m，y＝﹣2m，r＝|m|＝m，sinα＝＝＝﹣，cosα＝＝＝，sinα+cosα＝﹣．当m＜0时，x＝m，y＝﹣2m，r＝|m|＝﹣m，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝﹣，sinα+cosα＝．综上可得，sinα+cosα＝±，故选：B．4．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，虚轴长为，则2b＝2，解得b＝，∵F2（c，0），设P（c，y），∴﹣＝1，解得y＝±＝±，∴|PF2|＝，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|＝，∵|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴﹣＝2a，解得a＝1，∴双曲线的标准方程为x2﹣＝1，故选：D．5．（5分）某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，任意取出两球，若取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖．则中奖的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，任意取出两球，基本事件总数n＝＝10，取出的两球颜色相同包含的基本事件个数m＝，取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖．则中奖的概率为p＝．故选：C．6．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的左视图的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体的直观图与侧视图如图：俯视图是直角三角形，可得俯视图的三角形的高为：＝3．即侧视图的底边为：3，高为6，侧视图的面积为：18．故选：C．7．（5分）记不等式组，的解集为D，若∀（x，y）∈D，不等式a≤2x+y恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．（﹣∞，6]D．（﹣∞，8]【解答】解：由不等式组，作出可行域如图，由图可知，可行域内的解集为D，∀（x，y）∈D，不等式a≤2x+y恒成立，只需求解2x+y的最小值，平移直线2x+y＝0，平移到A（1，4）时，2x+y取得最小值，最小值为：6．不等式a≤2x+y恒成立，则a的取值范围是：（﹣∞，6]．故选：C．8．（5分）如图，半径为1的圆O中，A，B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设∠BOP＝x，将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，2π]上的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵半径为1的圆O中，A，B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设∠BOP ＝x，在△POB中，由余弦定理可得PB2＝OB2+OP2﹣2OP•OB cos x＝2﹣2cos x＝2﹣2（2cos2﹣1）＝4cos2，即|PB|＝2|cos|，∴P A2＝AB2﹣PB2＝4﹣4cos2＝4sin2，即|P A|＝2|sin|，∴f（x）＝2|sin|+2|cos|，当0≤x≤π时，0＜＜，∴f（x）＝2sin+2cos＝2sin（+），当x＝时，f（x）max＝2＜3，当π＜x≤2π时，＜＜π，∴f（x）＝2sin﹣2cos＝2sin（﹣），当x＝时，f（x）max＝2＜3，故只有A符合，故选：A．9．（5分）如图所示的程序框图中，Mod（m，n）表示m除以n所得的余数，例如：Mod （5，2）＝1，则该程序框图的输出结果为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，y＝1，i＝0，n＝1z＝2不满足条件n＞10，不满足条件mod（2，3）＝0，x＝1，y＝2，n＝2，z＝3不满足条件n＞10，满足条件mod（3，3）＝0，i＝1，x＝2，y＝3，n＝3，z＝5不满足条件n＞10，不满足条件mod（5，3）＝0，x＝3，y＝5，n＝4，z＝8不满足条件n＞10，不满足条件mod（8，3）＝0，x＝5，y＝8，n＝5，z＝13不满足条件n＞10，不满足条件mod（13，3）＝0，x＝8，y＝13，n＝6，z＝21不满足条件n＞10，满足条件mod（21，3）＝0，i＝2，x＝13，y＝21，n＝7，z＝34不满足条件n＞10，不满足条件mod（34，3）＝0，x＝21，y＝34，n＝8，z＝55不满足条件n＞10，不满足条件mod（55，3）＝0，x＝34，y＝55，n＝9，z＝89不满足条件n＞10，不满足条件mod（89，3）＝0，x＝55，y＝89，n＝10，z＝144不满足条件n＞10，满足条件mod（144，3）＝0，i＝3，x＝89，y＝144，n＝11，z＝233此时，满足条件n＞10，退出循环，输出i的值为3．故选：B．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0，t）（0＜t＜b）．已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|＝|PE|+|PF2|+|EF1|，当P，E，F1共线时，此时周长最小，∴|PE|+|PF2|+|EF1|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝4b，∴a＝2b，∴e＝＝＝，故选：A．11．（5分）已知点P，A，B，C均在表面积为81π的球面上，其中P A⊥平面ABC，∠BAC ＝30°，，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．81【解答】解：点P，A，B，C均在表面积为81π的球面上，可得球的半径为：＝，∠BAC＝30°，AC＝AB，可得BC＝＝AB．外接圆的半径为：r＝＝AB．三棱锥的高P A＝2 ．则三棱锥P﹣ABC的体积：V＝×AB•AC sin30°•2＝AB2•，令AB2＝x，则V2＝•x•x•（﹣x）≤＝，可得V≤．当且仅当x＝，即AB＝时取等号．故选：A．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，记f（x）的导函数为f'（x），当x≥0时，满足f'（x）﹣f（x）＞0．若∃x∈[﹣2，+∞）使不等式f[e x（x3﹣3x+3）]≤f（ae x+x）成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．1+2e2D．【解答】解：令g（x）＝（x≥0），则g′（x）＝＞0，可得g（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＝e x g（x），∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在[﹣2，+∞）上为增函数，∵f[e x（x3﹣3x+3）]≤f（ae x+x），∴x3﹣3x+3≤a+在[﹣2，+∞）成立，∴a≥x3﹣3x+3﹣在[﹣2，+∞）成立，设h（x）＝x3﹣3x+3﹣，x∈[﹣2，+∞），∴h′（x）＝3x2﹣3+＝（x﹣1）（3x+3+），令m（x）＝3x+3+，∴m′（x）＝3﹣，令m′（x）＝0，解得x＝﹣ln3，当x∈[﹣2，﹣ln3）时，m′（x）＜0，函数m（x）单调递减，当x∈[﹣ln3，+∞）时，m′（x）＞0，函数m（x）单调递减增，∴m（x）≥m（﹣ln3）＝﹣3ln3+3+3＝3（2﹣ln3）＞0，令h′（x）＝0，解得x＝1∴当x∈[﹣2，1）时，h′（x）＜0，当x∈[1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）min＝h（1）＝1﹣3+3﹣＝1﹣，∴a≥1﹣．故实数a的最小值为1﹣．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13．（5分）展开式中，常数项为80．（用数字作答）【解答】解：根据题意，（x2﹣）5的展开式的通项为T r+1＝C5r（x2）5﹣r（﹣）r＝（﹣2）r C5r，令＝0可得，r＝4，则有T5＝（﹣2）4C54＝80，即其常数项为80；故答案为：8014．（5分）2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是丙．【解答】解：假设爸爸是正确的，冠军是甲或者丙，冠军只有一个，（1）如果冠军是甲，则妈妈说冠军一定不是乙和丙，就是说有可能是甲或丁或戊；则妈妈猜的也对，这与题干矛盾．故冠军不会是甲．（2）如果冠军是丙，那么甲乙丁戊都不是冠军．妈妈说一定不是乙和丙就是错的，孩子说冠军是丁和戊就是错的．这样爸爸的猜测就是对的．故冠军是丙．故答案为丙15．（5分）已知△ABC中，AB＝4，AC＝5，点O为△ABC所在平面内一点，满足，则＝．【解答】解：取BC的中点D，O为△ABC的外心，则：，且，所以：＝，＝，＝，＝，＝，所以：＝，故答案为：．16．（5分）在圆内接四边形ABCD中，AC＝8，AB＝2AD，∠BAD＝60°，则△BCD的面积的最大值为6．【解答】解：设AB＝2AD＝2x，∠BAD＝60°，可得BD2＝x2+4x2﹣2•x•2x•＝3x2，即有BD＝x，由AD2+BD2＝AB2，可得AD⊥BD，AC⊥BC，圆内接四边形ABCD的半径为x，由AC＝8，可得2x＞8，即x＞4，且BC＝，设∠CAB＝α，则sinα＝，cosα＝，即有DC＝2x sin（60°﹣α）＝x cosα﹣x sinα＝4﹣，则△BCD的面积为S＝BC•DC•sin∠BCD＝×2×（4﹣）×＝（4•﹣（x2﹣16）），设t＝，可得S＝（4t﹣t2）＝﹣（t﹣2）2+6，当t＝2即x＝2时，△BCD的面积取得最大值6．故答案为：6．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵a n+1＝S n+1﹣S n，，∴，∴S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，∴a n＞0，∴S n+1＞0，∴S n+1﹣2S n﹣λ＝0；∴S n+1﹣2S n+λ（2）解：∵S n+1＝2S n+λ，S n＝2S n﹣1+λ（n≥2），相减得：a n+1＝2a n（n≥2），∴{a n}从第二项起成等比数列，∵S2＝2S1+λ即a2+a1＝2a1+λ，∴a2＝1+λ＞0得λ＞﹣1，∴a n＝，若使{a n}是等比数列则，∴2（λ+1）＝（λ+1）2，∴λ＝1经检验得符合题意．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD．（1）证明：BC⊥PB；（2）若P A⊥PD，PB＝AB，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）取AD中点为E，连结PE，BE，BD，∵P A＝PD，∵PE⊥AD，∵底面ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BE⊥AD，∵PE∩BE，PE，BE⊂平面PBE，∴AD⊥平面PEB，∵AD∥BC，∴BC⊥PB．（2）设AB＝2，∵AD＝PB＝2，，∵P A⊥PD，E为AD中点，∴PE＝1，∵PE2+BE2＝PB2，∴PE⊥PB．以E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，相关各点的坐标为，∴，，，．设P AB的法向量为∵得，令x1＝，可得y1＝1，z1＝，即，设PCB的法向量为，∵得，令y 2＝﹣1得，即，∴设二面角A﹣PB﹣C的平面为θ，由图可知，θ为钝角，则．19．（12分）近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：根据以上数据，绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表2：车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受7折优惠，有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n（n∈N n）年才能开始盈利，求n的值．参考数据：x i y i x i u i其中其中参考公式：对于一组数据（u i，υi），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【解答】解：（1）根据散点图判断，y＝c•d x适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；（2）∵y＝c•d x，两边同时取常用对数得：1gy＝1g（c•d x）＝1gc+1gd•x；设1gy＝v，∴v＝1gc+1gd•x，∵，，∴＝，把样本中心点（4，1.54）代入v＝1gc+1gd•x，得：lgd＝0.54，∴，∴1gy＝0.54+0.25x，∴y关于x的回归方程式：；把x＝8代入上式：∴＝102.54＝102×100.54＝347；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；P（Z＝2）＝0.1；；P（Z＝1.6）＝；所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05＝1.66（元）由题意可知：1.66×1×12•n﹣0.66×12•n﹣80＞0，，所以，n取7；估计这批车大概需要7年才能开始盈利．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py（p＞0），斜率为k（k≠0）的直线l经过C焦点，且与C交于A，B两点满足．（1）求抛物线C的方程；（2）已知线段AB的垂直平分线与抛物线C交于M，N两点，R为线段MN的中点，记点R 到直线AB的距离为d，若，求k的值．【解答】解：（1）由已知，l的方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得：x2﹣2pkx﹣p2＝0（*），，，＝，由已知得：，∴抛物线方程C：x2＝2y；（2）由第（1）题知，p＝1，C：x2＝2y，，方程（*）即：x2﹣2kx﹣1＝0，x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1设AB的中点D（x0，y0），则：，，所以AB的中垂线MN的方程：，即将MN的方程与C：x2＝2y联立得：，设M（x3，y3），N（x4，y4），则，∴，，R点到AB：的距离：＝＝所以，由已知得：，得k＝±1．21．（12分）已知函数f（x）＝1n（x+1）+ax2﹣x．（1）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范；（2）若函数g（x）＝f（x）+x有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．【解答】解：（1）【解法一】∵f′（x）＝+2ax﹣1＝，x∈[0，+∞）设h（x）＝2ax+2a﹣1①a≤0时，h（x）＜0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，f（x）≤f（0）＝0，不合题意，舍去；②当a＞0时，（i）若2a﹣1≥0，即时，当h（x）≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝0，符合题意；（ii）若2a﹣1＜0，即时，当时，h（x）＜0，f（x）单调递减：当时，h（x）＞0，f（x）单调递增；∴，不合题意，舍去；综上：；【解法二】若a≤0，而f（1）＝1n2+a﹣1＜0，不合题意，故a＞0；易知：f（0）＝0，，x∈[0，+∞），f'（0）＝0设h，，h'（0）＝2a﹣1若2a﹣1≥0，即时，∵h'（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h'（x）≥h'（0）＝2a﹣1≥0，∵h'（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h'（x）≥h'（0）＝0，符合题意；若2a﹣1＜0，即时，∵h'（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，令h'（x）＝0，记，当x∈[0，x0）时，h'（x）＜0，∴h'（x）在[0，x0）上是单调递减函数，∴h'（x）≤h'（0）＝0，∴f（x）在[0，x0）上是单调递减函数，∴f（x）≤f（0）＝0，不合题意：综上：；证明：（2）【解法一】g（x）﹣1n（1+x）+ax2，∴＝，设φ（x）＝2ax2+2ax+1，若a＝0，φ（x）＝1＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不合题意：当a＜0时，∵φ（﹣1）＝φ（0）＝1，∴φ（x）＝0在（﹣1，+∞）上只有一个根，不合题意：当a＞0时，∵φ（﹣1）＝φ（0）＝1，要使方程φ（x）＝2ax2+2ax+1＝0有两个实根x1，x2，只需，即a＞2，∵φ（﹣1）＝φ（0）＝1，，∴，∴，∴g（x）在（﹣1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；∴g（x）在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，符合题意；∵，∴＝设，，，∴m（t）在上是增函数，∴，∴．【解法二】g（x）＝1n（1+x）+ax2，∴，设φ（x）＝2ax2+2ax+1，若a＝0，φ（x）＝1＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不合题意；当a＜0时，∵φ（﹣1）＝φ（0）＝1，∴φ（x）＝0在（﹣1，+∞）上只有一个根，不合题意；当a＞0时，∵φ（﹣1）＝φ（0）＝1，要使方程φ（x）＝2ax2+2ax+1＝0有两个实根x1，x2，只需，即a＞2，∵φ（﹣1）＝φ（0）＝1，，∴，∴，∴g（x）在（﹣1，x1）上单调递增，在（x1，x2）单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；∴g（x）在x＝x1处取最大值，在x＝x2处取最小值，符合题意；∵设2ax2＝t，则tx2+t+1＝0，∴，∴g（x2）＝1n（1+x2）设，＝，∴m（t）在（﹣2，﹣1）单调递增，∴，∴．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求直线ll的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P的极坐标为，求|P A|•|PB|的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴l的普通方程为：x+y﹣1＝0；又∵曲线C的极坐标方程为，即ρ2+ρ2sin2θ＝2，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2+y2＝2，即曲线C的直角坐标方程为：．（2）解法一：在直线l上，直线l的参数方程为（t′为参数），代入曲线C的直角坐标方程得，即，∴|P A|•|PB|＝．解法二：联立，得3x2﹣4x＝0，解得x1＝0，x2＝，∴，∴，∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（2x+5）≥x+9；（2）若a＞0，b＞0，且，证明：，并求时，a，b的值．【解答】[选修4﹣5：不等式选]解：（1）f（x）+f（2x+5）＝|x﹣1|+|2x+4|≥x+9当x≤﹣2时，不等式为4x≤﹣12⇒x≤﹣3，∴x∈（﹣∞，﹣3]；当﹣2＜x＜1时，不等式为5≥9，不成立；当x≥1时，不等式为2x≥6⇒x≥3，∴x∈（﹣∞，﹣3]，综上所述，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）；（2）证明：解法一f（x+a）+f（x﹣b）＝|x+a﹣1|+|x﹣b﹣1|≥x+a﹣1﹣（x﹣b﹣1）＝|a+b|，|a+b|＝（a+b）＝（a+b）当且仅当，即b＝2a时“＝”成立；由可得：．解法二：f（x+a）+f（x﹣b）＝|x+a﹣1|+|x﹣b﹣1|，当x≤1﹣a时，f（x+a）+f（x﹣b）＝﹣x﹣a+1﹣x+b+1＝﹣2x+2﹣a+b≥a+b；当1﹣a＜x＜1+b时，f（x+a）+f（x﹣b）＝x+a﹣1﹣x+b+1＝a+b；当x≥1+b时，f（x+a）+f（x﹣b）＝x+a﹣1+x﹣b﹣1＝2x﹣2+a﹣b≥a+b∴f（x+a）+f（x﹣b）的最小值为a+b，＝，当且仅当，即b＝2a时“＝”成立；由可得：．。
最新-2018年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷，含答案） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，务必将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式： 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件,A B 独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若复数x 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --（2）已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U C A B 为（A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,4（3）设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 （B ） 9 （C ） 10 （D ）15（5）已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2-（B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2- （6）执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（A ）2 （B ）3（C ）4 （D ）5（7）若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ= （A ）35 （B ）45 （C（D ）34 （8）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。
高三数学-2018年山东新课标高考模拟试题样本卷(数学试
2018年山东新课标高考模拟试题样本卷（数学试题）第I 卷 选择题一、 选择题（每小题5分，10小题共50分）1、 若向量)1,0(),2,3(-==b a，则向量a b -2的坐标是（A ）)4,3(--（B ）)4,3(-（C ）)4,3(（D ）)4,3(--则第6组的频数为（A ）14.0（B ）14（C ）15.0（D ）153、已知7)1(x x -展开式的第4项等于5，则x 等于 （A ）71（B ）71-（C ）7（D ）7-4、函数542+-=x x y )2(≤x 的反函数的图象大致是：5、函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,01),sin()(12x e x x x f x π若1)(=a f ，则a 的所有可能值组成的集合为： （A ）{}1（B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-22,1（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-22（D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧22,16、若函数12cos )(+=x x f 的图象按向量a平移后，得到的图象关于原点对称，则向量a可以是：（A ）)0,1(（B ）（)1,2-π（C ）)1,4(-π（D ）)1,4(π7、已知b a ,是两条不相交的直线，βα,是两个相交平面，则使“直线b a ,异面”成立的一个充分条件是（A ）βα||||b a 且 （B ）βα⊥⊥b a 且 （C ）βα⊥b a 且||（D ）内的射影平行在内的射影与在βαb a 。
8、已知一个等差数列的前9项的算术平均数为10，前10项的算术平均数为11，则此等差数列的公差为 （A ）1 （B ）2 （C ）23（D ）49、如图，已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点恰好是椭圆12222=+by a x 的右焦点，且两条曲线的连线过F ，则该椭圆的离心率为 （A ）12-（B ）)12(2-（C ）215-（D ）2210、某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一顶是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案。
【数学】山东省济南市2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题
理科数学参考公式锥体的体积公式: ,其中为锥体的底面积, 为锥体的高第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：先化简集合A，B，然后求交集即可.详解：由题意可得：，∴故选：D点睛：本题考查集合的交运算，理解文氏图的含义是解题的关键，属于基础题.2. 设复数满足 (其中为虚数单位),则下列说法正确的是（）A. B. 复数的虚部是C. D. 复数在复平面内所对应的点在第一象限【答案】D【解析】分析：先求出，然后依次判断模长，虚部，共轭复数，对应的点是否正确即可.详解：∴，复数的虚部是1，，复数在复平面内所对应的点为，显然在第一象限.故选：D点睛：本题考查复数的除法运算，求模长，定虚部，写共轭，及几何意义，属于基础题. 3. 已知角的终边经过点,其中,则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用三角函数定义确定与的值，即可得到结果.详解：∵角的终边经过点,其中,∴时，，，∴；时，，，∴；∴故选：B点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，解题关键注意分析m取正还是取负，属于基础题.4. 已知分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线上一点,与轴垂直,,且虚轴长为,则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用双曲线定义及虚轴长布列方程组即可求出双曲线的标准方程.详解：由题意可知：，，,2b=由双曲线定义可得，即又b=，∴∴双曲线的标准方程为故选：D点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质，属于基础题.5. 某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的个红球、个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：分别求出任意取出两球与取出的两球颜色相同的取法，然后作商即可.详解：从装有形状、大小完全相同的个红球、个蓝球的箱子中,任意取出两球共种取法，取出的两球颜色相同共种取法，∴中奖的概率为故选：C点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．6. 中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为`（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由三视图明确几何体的形状，左视图的面积即底面直角形斜边的高×三棱柱的高即可得到结果.详解：由三视图可知，该几何体为直三棱柱，底面直角三角形斜边的高为该“堑堵”的左视图的面积为故选：C点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. 记不等式组,的解集为,若,不等式恒成立,则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：不等式恒成立,即求的最小值，作出可行域，移动直线，当纵截距最小时，满足题意.详解：若,不等式恒成立,即求的最小值，作出不等式组对应的可行域，如图所示：当经过A点时，最小此时∴故选：C点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8. 如图,半径为的圆中,为直径的两个端点,点在圆上运动,设,将动点到两点的距离之和表示为的函数,则在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分成两类情况与分别求表达式即可.详解：当时，，，∴，当时，，∴故选：A点睛：本题重点考查了求函数表达式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，属于中档题.9. 如下图所示的程序框图中,表示除以所得的余数,例如:,则该程序框图的输出结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：执行程序框图，依次判断，当时，输出.详解：执行程序框图，不符合，不符合，，不符合，符合，，不符合，不符合，，不符合，不符合，，不符合，不符合，，不符合，符合，，不符合，不符合，，不符合，不符合，，不符合，不符合，，不符合，符合，，符合，输出故选：B点睛：本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：（1）观察S的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；（2）观察每次累加的值的通项公式；（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长；（5）输出累加（乘）值．10. 设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用椭圆定义的周长为，结合三点共线时，的最小值为，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：的周长为，∴故选：A点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．11. 已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,,则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由球的表面积明确半径，利用条件,明确△的外接圆半径，进而得到外接球半径与△的外接圆半径及ＰＡ的关系，表示三棱锥的体积，然后利用导数求最值即可．详解：设外接球的半径R，易得解得在△中，设，又,,∴，即△为等腰三角形，设△的外接圆半径为r，则2r，即r又平面,设则三棱锥的体积令，,则∴三棱锥的体积的最大值为故选：A12. 已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足.若使不等式成立,则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意构造函数，借助单调性问题转化为e x（x3﹣3x+3）﹣ae x ﹣x≤0在上有解，变量分离求最值即可．详解：由是定义在上的奇函数, 当时,满足.可设故为上的增函数，又∴e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0在上有解，∴a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），故当x∈（﹣2，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故g min（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故选：D．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13. 展开式中,常数项为__________．(用数字作答)【答案】80【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．详解：展开式的通项公式为令，解得：∴常数项为故答案为：80点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14. 2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是__________．【答案】丙【解析】分析：利用反推法，逐一排除即可.详解：如果甲是冠军，则爸爸与妈妈均猜对，不符合；如果乙是冠军，则三人均未猜对，不符合；如果丙是冠军，则只有爸爸猜对，符合；如果丁是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；如果戊是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；故答案为：丙点睛：本题考查推理的应用，解题时要认真审题，注意统筹考虑、全面分析，属于基础题．15. 已知中,,点为所在平面内一点,满足，则__________．【答案】【解析】分析：由足，明确点为的外心，，利用数量积德几何意义求值即可．详解：∵∴点为的外心，∴∴故答案为：点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16. 在圆内接四边形中,,,则的面积的最大值为__________．【答案】详解：由,,可知为直角三角形，其中∠ACB=90°，设∠BAD=，AB=2r，则，，在中，，即，∴，∴令t=，则当，即时，的最大值为故答案为：点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:17. 已知数列的前项和为,其中为常数.(1)证明:；(2)是否存在实数,使得数列为等比数列,若存在,求出;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1），，∴，整理后即得结果；（2）由（1）可得，检验n=1也适合即可.详解：（1），，，，，；，（2），，相减得：，从第二项起成等比数列，即，得，若使是等比数列则，，经检验得符合题意．点睛：已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.18. 在四棱锥中,底面为菱形，.(1)证明:；(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：(1)先证明，即，又；（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到二面角的余弦值.详解：证明：（1）取中点为，连结，D，底面为菱形，且为等边三角形，，平面，平面∴.（2）设，为中点，，.以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，相关各点的坐标为，，，.设的法向量为得令得，即，设二面角的平面为，由图可知，为钝角，则.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用表示活动推出的天数,表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内,与(均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由); (2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立关于的回归方程,并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力,以万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为万元.已知该线路公交车票价为元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有的概率享受折优惠,有的概率享受折优惠,有的概率享受折优惠.预计该车队每辆车每个月有万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要年才能开始盈利,求的值.参考数据:其中其中参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.【答案】(1)见解析;(2)活动推出第天使用扫码支付的人次为;(3)见解析.【解析】分析：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；（2）对两边取对数可得，记把方程转化为熟知的回归直线方程问题；（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：；求出相应的概率值，然后求出一名乘客一次乘车的平均费用1.66，由题意可知：，解不等式即可.详解：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；（2），两边同时取常用对数得：；设，，把样本中心点代入,得:，，，关于的回归方程式：；把代入上式:；活动推出第天使用扫码支付的人次为；（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：；；；；，所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：（元）由题意可知：，所以，取；估计这批车大概需要7年才能开始盈利.点睛：：求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数：公式有两种形式，即。
【中小学资料】山东省济南市2018届高三数学第二次模拟考试试题 文
山东省济南市2018届高三数学第二次模拟考试试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，共150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液，修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合}082|{2≤--=x x x M ，集合}1|{≥=x x N ，则=N M（A ）}42|{≤≤-x x （B ）}1|{≥x x （C ）}41|{≤≤x x （D ）}2|{-≥x x （2）设R ∈θ，则“6πθ=”是“21sin =θ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）函数⎩⎨⎧>-≤=1,41,)(2x x x e x f x ，则=)]2([f f （A ）e1（B ）0 （C ）e （D ）1（4）函数xx x f 2)1ln()(-+=的一个零点所在的区间是（A ）)1,0( （B ）)2,1(（C ）)3,2(（D ）)4,3(（5）已知函数113)(22+++=x x x x f ，若32)(=a f ，则=-)(a f（A ）32 （B ）32-（C ）34 （D ）34- （6）已知02<<-απ，51cos sin =+αα，则αα22sin cos 1-的值为 （A ）57 （B ）257（C ）725 （D ）2524（7）函数)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且在),0[+∞单调递增，若)2()(log 2-<f a f ，则实数a 的取值范围是（A ）)4,0( （B ）)41,0(（C ）)4,41(（D ）),4(+∞（8）设角θ的终边过点）（2,1，则=-)4tan(πθ（A ）31 （B ）23（C ）32-（D ）31- （9）已知命题“R ∈∃x ，使021)1(22≤+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是（A ）)1,(--∞ （B ）)3,1(- （C ）),3(+∞- （D ）)1,3(- （10）将函数)62sin(π-=x y 的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为 （A ）3π=x （B ）6π=x （C ）12π=x （D ）12π-=x（11）函数)2sin(41)(2π--=x x x f ，)(x f '是)(x f 的导函数，则)(x f '的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ）（12）设函数)(x f '是函数)R )((∈x x f 的导函数，3)1(=-f ，若对任意的R ∈x ，都有2)(>'x f ，则52)(+>x x f 的解集为（A ）)1,1(- （B ）),1(+∞- （C ）)1,(--∞ （D ）)1,(-∞第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
山东省济南市2018届高考第二次模拟考试数学试题(理)-有答案
山东省济南市2018届高考第二次模拟考试数学试题(理)参考公式锥体的体积公式:13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =,集合{}10A x x =-≤,集合{}260B x x x =--<则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}3x x < B ．{}31x x -<≤ C ．{}2x x < D ．{}21x x -<≤2.设复数z 满足()12z i -= (其中i 为虚数单位),则下列说法正确的是（ ） A ．2z = B ．复数z 的虚部是iC ．1z i =-+D ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限3.已知角α的终边经过点(),2m m -,其中0m ≠,则sin cos αα+等于（ ）A ．．5± C ．35- D ．35±4.已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为双曲线上一点,2PF 与x 轴垂直,1230PF F ∠=,且虚轴长为22则双曲线的标准方程为（ ）A ．22142x y -= B ．22132x y -= C.22148x y -= D ．2212y x -= 5.某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为（ ） A ．15 B ．310 C. 25 D ．356.中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为`（ ）A．．18318227227.记不等式组1,50,210,x x y x x ⎧≥⎪=-≥⎨⎪-+≤⎩,的解集为D ,若(),x y D ∀∈,不等式2a x y ≤+恒成立,则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．[)3,+∞ C. (],6-∞ D ．(],8-∞8. 如图,半径为1的圆O 中,,A B 为直径的两个端点,点P 在圆上运动,设BOP x ∠=,将动点P 到,A B 两点的距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[]0,2π上的图象大致为（ ）A ．B ．C. D ．9.如下图所示的程序框图中,()Mod ,m n 表示m 除以n 所得的余数,例如:()Mod 5,21=,则该程序框图的输出结果为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．510.设椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2 B ．22C. 12 D ．3311.已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30BAC ∠=,3AC =,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为（ ） A ．818 B ．24332 C.8132D ．81 12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,记()f x 的导函数为'()f x ,当0x ≥时,满足'()()0f x f x ->.若[)2,x ∃∈-+∞使不等式()333x f e x x ⎡⎤-+⎣⎦(a x)x f e ≤+成立,则实数a 的最小值为（ ） A ．21e - B ．22e - C. 212e + D ．11e- 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.52x x ⎛ ⎝展开式中,常数项为．(用数字作答)14.2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊. 比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是．15.已知ABC ∆中,4,AC 5AB ==,点O 为ABC ∆所在平面内一点,满足OA OB OC ==，则OA BC ⋅=．16.在圆内接四边形ABCD 中,8,2AC AB AD ==,60BAD ∠=,则BCD ∆的面积的最大值为． 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:17. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数. (1)证明:12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由. 18. 在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形，60,BAD PA PD ∠==.(1)证明:BC PB ⊥；(2)若,PA PD PB AB ⊥=,求二面角A PB C --的余弦值.19. 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x 表示活动推出的天数,y 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内,y a bx =+与x c d ⋅(,c d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付 的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,建立y 关于x 的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的 人次；(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力,以80万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠,有13的概率享受8折优惠,有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要()N n n n ∈年才能开始盈利,求n 的值.参考数据:其中其中7111,7i i i i gy υυυ===∑参考公式:对于一组数据()()()22,,,,,,i i n n u u u υυυ,其回归直线+a u υβ=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:1221,ni i i nii u nu unuυυβ==-=-∑∑a u β=-.20.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2:20C x py p =>,斜率为()0k k ≠的直线l 经过C 焦点,且与C 交于,A B 两点满足34OA OB ⋅=-.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知线段AB 的垂直平分线与抛物线C 交于,M N 两点,R 为线段MN 的中点,记点R 到直线AB 的距离为d ,若22d AB =k 的值. 21.已知函数()2()1n 1f x x ax x =++-. (1)当0x ≥时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范；(2)若函数()()g x f x x =+有两个极值点12,x x ,且12x x <,求证:()211n22g x >-. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1,2,x t y t =--⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数),以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为P1+sin26直线与曲线C 交于A,B 两点 (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为224π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,求PA PB ⋅的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =- .(1)解不等式()()259f x f x x ++≥+； (2)若0,0a b >>，且142a b +=,证明:9()()2f x a f x b ++-≥，并求9()()2f x a f x b ++-=时，,a b 的值.2018 届高三教学质量调研考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：1-5: BDBDC 6-10:CCABA 11、12：AD 二、填空题13. 80； 14. 丙； 15.92； 16.63三、解答题 17.【解析】 （1）11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--()1120n n n S S S λ++∴--= 10,0n n a S +∴>∴>， 120n n S S λ+∴--=； 12n n S S λ+∴-+（2）12n n S S λ+=+，()122n n S S n λ+=+≥，相减得：()122n n a a n +=≥，{}n a ∴从第二项起成等比数列， 212S S λ=+即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-， ()21,12,n n a λ-⎧⎪∴=⎨+⎪⎩,1,,2n n =≥ 若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，()()2211λλ∴+=+1λ∴=经检验得符合题意．18. 【解析】 证明：（1）取AD 中点为E ，连结,,PE BE BDPA P = PE A ⊥底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=ABD ∴∆为等边三角形， BE A ∴⊥,PE BE ,PE BE ⊂平面PBEAD P ∴⊥,AD BC BC PB ∴⊥∥.（2）设2AB =2AD PB ==，2BE =,PA A E ⊥为AD 中点1PE ∴=22PE BE P +=PE B ∴⊥.以E 为坐标原点，分别以,,EA EB EP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 相关各点的坐标为()()1,0,0,3,0A B ()(),0,0,1,3,0P C -()3,0AB ∴=-，()1,0,1AP =-，()0,3,1BP =-，()2,0,0BC =-.设PAB 的法向量为()1222,,n x y z =2200n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2223020z x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令21y =-得220,3x z ==-()10,1,3n =--121227n n n n ⋅∴=-⋅ 设二面角A PB C --的平面为θ，由图可知，θ为钝角， 则27cos θ=19. 【解析】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型； （2）x y c d =⋅，两边同时取常用对数得：()11x gy g c d =⋅11gc gd x =+⋅；设1,gy v =11v gc gd x ∴=+⋅4, 1.55,x v ==721140ii X==∑，717221717i i i i i x v xvgd x x==-∴==-∑∑250.1274 1.5470.251407428-⨯⨯==-⨯， 把样本中心点()4,1.54代入11v gc gd x =+⋅,得:10.54gd =，0.540.25v x ∴=+，10.540.25gy x ∴=+，y ∴关于x 的回归方程式：()()0.540.250.540.540.54101010 3.4710xxx y +===；把8x =代入上式:0.540.25810y +⨯∴== 2.5420.54101010347=⨯=；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470； （3）记一名乘客乘车支付的费用为Z ， 则Z 的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4；()20.1P Z ==；()11.80.30.152P Z ==⨯=； ()1.6P Z ==10.60.30.73+⨯=；()11.40.30.056P Z ==⨯= 所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：20.1 1.80.15 1.6⨯+⨯+0.7 1.40.05 1.66⨯+⨯=（元）由题意可知：1.66112n ⨯⨯⋅-0.6612800n ⨯⋅->203n >，所以，n 取7； 估计这批车大概需要7年才能开始盈利.20.【解析】（1）由已知，l 的方程：2p y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ， 由222x py py kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得：2220x pkx p --=()*212x x p =-，1222212224x x p y y p p ==， 1212OA OB x x y y ⋅=+222344p p p =-+=-， 由已知得：233,144p p -=-=， ∴抛物线方程2:2C x y =；（2）由第（1）题知，21,:2,p C x y ==1:2l y kx =+， 方程()*即：2210x kx --=， 122x x k +=，121x x =-设AB 的中点()00,D x y ， 则：()01212x x x k =+=，2001122y kx k =+=+， 所以AB 的中垂线MN 的方程：()2112y k x k k ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭，即21302x y k k +--= 将MN 的方程与2:2C x y =联立得：222230x x k k+--=， 设()()3344,,,M x y N x y ，则3434,22x x y y R ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 341,2x x k +∴=-3412y y k +=-2342x x k +⎛⎫++ ⎪⎝⎭2231322k k =++ R 点到AB ：102kx y -+=的距离222121k k d k +++12AB x -()22121214k x x x x =++-()22214421k k k =+++ 所以()2222212112k k d k k AB k ++++= 由已知得：221222k k +=，得1k =±. 21. 【解析】（1）【解法一】1()211f x ax x =+-=+()22212211x ax a ax ax x x x+-+-=++，[)0,x ∈+∞ 设()221h x ax a =-①0a ≤时，()0,()h x f x <∴在[)0,+∞上单调递减，()(0)0f x f ≤=，不合题意，舍；②当0a >时，（i ）若210a -≥，即12a ≥时，当()0,()h x f x ≥∴在[)0,+∞上单调递增，()(0)0f x f ≥=，符合题意； （ii ）若210a -<，即102a <<时，当120,2a x a -⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0,()h x f x <单调递减：当12,2a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x >，()f x 单调递增；12(0)02a f f a -⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，不合题意，舍； 综上：12a ≥； 【解法二】若0a ≤,而(1)1n 210f a =+-<,不合题意,故0a >；易知:(0)0f =,1'()211f x ax x =+-+,[)0,,'(0)0x f ∈+∞= 设1()211x ax x =+-+，()21'()21h x a x =-++，'(0)21h a =- 若210a -≥,即12a ≥时,'()h x 在[)0,+∞上单调递增, '()'(0)210h x h a ∴≥=-≥,'()h x 在[)0,+∞上单调递增,'()'(0)0h x h ∴≥=,符合题意；若210a -<,即102a <<时,'()h x 在[)0,+∞上是单调递增函数， 令'()0h x =,记0112x a=，当[)00,x x ∈时,'()0h x <， '()h x ∴在[)00,x 上是单调递减函数,'()'(0)0h x h ∴≤=,()f x ∴在[)00,x 上是单调递减函数，()(0)0f x f ∴≤=,不合题意:综上:12a ≥； (2)【解法一】()()21n 1g x x ax -++,()1'21g x ax x =++22+2+1=1ax ax x +， 设()2221x ax ax ϕ=++, 若()0,10a x ϕ==>,()'0g x ∴>,()g x ∴在()1,-+∞上单调递增,不合题意:当0a <时,()()101ϕϕ-==，()0x ϕ∴=在()1,-+∞上只有一个根,不合题意:当0a >时,()()101ϕϕ-==,要使方程()22210x ax ax ϕ=++=有两个实根12,x x ， 只需2480,102a a ϕ⎧⎪∆=->⎪⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩即0a >， ()()101ϕϕ-==，11022a ϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，111,,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭21,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭()g x ∴在()11,x -上单调递增,在()12,x x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增；()g x ∴在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,符合题意；()22222210x ax ax ϕ=++=()()2222=1n 1g x x ax ∴++()222211n 122x x x =+-+()2221n 1x x ⋅=+2122x -+ 设()()1=1n 122m t t t +-+，1,02t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()1'=1m t t -+()()2212102121t t t +=>++， ()m t ∴在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数,()1111=1n +=1n22222m t m ⎛⎫∴>-- ⎪⎝⎭()211n22g x ∴>-. 【解法二】()()2=1n 1g x x ax ++，()1'=1g x x ∴++222121ax ax ax x ++=+， 设()2221x ax ax ϕ=++, 若()0,10a x ϕ==>，()'0g x ∴>，()g x ∴在()1,-+∞上单调递增,不合题意；当0a <时,()()101ϕϕ-==,()0x ϕ∴=在()1,-+∞上只有一个根,不合题意；当0a >时,()()101ϕϕ-==,要使方程()222+1=0x ax ax ϕ=+有两个实根12x x ，, 只需2=480102a a ϕ⎧⎪∆->⎪⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩，即2a >()()101ϕϕ-==，11022a ϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，111,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭，21,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭()g x ∴在()11,x -上单调递增，在()12,x x 单调递减，在()2,x +∞上单调递增；()g x ∴在1x x =处取最大值，在2x x =处取最小值，符合题意；()22222210x ax ax ϕ=++=设22ax t =，则210tx t ++=，()212,11t x ∴=-∈--+， ()()221n 1g x x ∴=+()221n ax t +=---()1,2,122t t -∈-- 设()()11n 2m t t =---(),2,12t t -∈--，()11'2m t t =--202t t+=->， ()m t ∴在()2,1--单调递增，()()121n22m t m ∴>-=- ()211n22g x ∴>-. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]解:(1)l 的普通方程为:10x y +-=；又222sin 2ρρθ+=,2222x y y ∴++=即曲线C 的直角坐标方程为:2212x y += (2)解法一:11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上,直线l 的参数方程为''1222122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩('t 为参数),代入曲线C 的直角坐标方程得2'122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭2'122202⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即'2'325024t -=, PA PB ⋅=''''121256t t t t ⋅==. 解法二:22122y x x y =-⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩2340x x -⇒1240,3x x ⇒== ()410,1,,33A B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭， 221120122PA ⎛⎫⎛⎫∴=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，224111523232PB ⎛⎫⎛⎫∴=-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2525266PA PB ⋅== 23.[选修4-5:不等式选]解:(1)()(25)f x f x ++=1249x x x -++≥+当2x ≤-时,不等式为4123x x ≤-⇒≤-,(],3x ∴∈-∞-；当21x -<<时,不等式为59≥,不成立；当1x ≥时,不等式为263x x ≥⇒≥,(],3x ∴∈-∞-,综上所述,不等式的解集为(][),33,-∞-+∞；（2）解法一:()()f x a f x b ++-=11x a x b +-+--≥()11x a x b a b +----=+，()()a b a b a b +=+=+1252222b a a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭5922≥+= 当且仅当22b a a b =，即2b a =时“=”成立；由21212b aa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：3,32a b ==. 解法二：()()f x a f x b ++-=11x a x b +-+--，当1x a ≤-时，()()f x a f x b ++-=1x a x b --+-+122x a b a b +=-+-+≥+； 当11a x b -<<+时，()()f x a f x b x a ++-=+11x b a b --++=+；当1x b ≥+时，()()f x a f x b ++-=11x a x b +-+--=22x a b a b -+-≥+ ()()f x a f x b ∴++-的最小值为a b +，()()122a b a b a b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭525222b a a b =++≥29222b a a b +⋅=， 当且仅当22b a b=，即2b a =时“=”成立； 由21212b aa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：3,32a b ==.。
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2018年山东省济南全国卷高考模拟题
理科数学
考试时间：120分钟
一、选择题
A.i +1
B.i -1
C.i +-1
D.i --1
2.集合{}1log |2≤∈=x N x A ,集合{}
5|2≤∈=x Z x B ,则=B A （ ）
A.{}2
B.{}2,1
C.{}2,1,0
D.∅ 3.已知函数()3x x f =和()x x g -=12，命题()x f p :，()x g 在定义域内都是增函数；命题:q 函数()()x g x f y -=的零点所在区间为()2,0，则在命题：q p ∧，q p ∨，q p ∧⌝中，真命题的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
5.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，普州（现四川省安岳县）人。
他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式的一个实例，若输入的x 值为9，则输出v 的值为（ ）
A.1009
B.19100-
C.10010 B.110100-
6.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若54cos =A ，13
12cos =C ，1=a ，则=b （ ） A.2 B.13
56 C.1321 D.39
56 7.函数()()22cos 2+-=x x x x f π的部分图象可能是（ ）
A B C D
8.把函数的()x x x f 2cos 2sin +=的图象向右平移()0>m m 个单位长度，得到函数()x g 的图象，当3π-
=x 时，()x g 取最小值，则m 的最小值为（ ） A.24π B.12π C.6π D.4π
9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的右侧曲线为半圆弧，则几何体表面积为（ ） A.2243-+π B.2223-+π C. 22223-+π D.2222
3++π
10.已知离心率为2的双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点2F 是抛物线x y 82=的焦点，过点2F 作一直线l 与双曲线的右半支交于两点P,Q ，1F 为双曲线的左焦点，若11QF PF ⊥，则直线l 的斜率为（ ） A. 37± B.27± C.33± D.7
73± 11.某海上油田A 到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为B ，海岸线上距离B 处100海里有一原油厂C ，现计划在BC 之间建议石油管道中转站M 。
已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的
3倍，要是从油田A 处到原油厂C 修建管道的费用最低，则中转站M 到B 处的距离应为（ ） A.25海里 B.22
5海里 C.5海里 D.10海里 12.在三棱锥ABC P -中，点P 在底面的正投影恰好落在等边△ABC 的边AB 上，点P 到底面ABC 的距离等于底面边长。
设△PAC 与底面所成的二面角大小为α，△PBC 与底面所成的二面角大小为β，则()βα+t an 的最小值为（ ） A.433 B.532 C.1338- D.8
35- 二、填空题
13.上和组织峰会将于2018年6月在青岛召开，组委会预备在会议期间将A,B,C,D,E 五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作，要求A,B 必须在同一组，且每组至少2人，则不同分配方法的种数为____________________
14.如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，AD AB ⊥，2=AB ，
2=BC ，E 为AB 的中点，若2-=⋅BD CE ，则向量在上的投影为__________________________________-
15.不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域为D 。
若直线)3(+=x k y 与D 有公共点，则实数k 的取值范围
是___________________
16.对于函数()x f e y x =（e 是自然对数的底数），若存在实数T 使得()T x f e x ≥在()+∞,0上恒成立，则称函数()x f 具有性质T 。
给出下列函数：①()122+=-x e x f ；②()x x x f 22-=；③()x x f s
i n =；④()x x f 1=。
其中具有性质T 的所有函数的序号为_____________________--
三、解答题
17.已知等差数列{}n a 的公差1=d ，等比数列{}n b 的公比2=q ，若1是1a 和1b 的等比中项，设向量()21,a a a =，()21,b b b =，5=⋅
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设n a
n b c n 2log 2=，求数列{}n c 的前n 项和n T 。
18.如图，梯形ABCD 中，AD=BC ，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，平面BDFE ⊥平面ABCD ，EF ∥BD ，BE ⊥BD
（1）求证：平面AFC ⊥平面BDFE ；
（2）若222==CD AB ,2==EF BE ,求BF 与平面DFC 所成角的正弦值。
19.某市2016年清明节期间种植了一批树苗，两年后市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：
（1）求树高在225~235cm 之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值和方差；（方差四舍五入保留整数）
（2）若将树高以等级呈现，规定：树高在185~205cm 为合格，在205~235cm 为良好，在235~265cm 为优秀。
视样本频率分布为总体的概率分布，若从这批树苗中随机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数ξ的分布列与数学期望；
（3）经验表明，树高()2,~σμN X 。
用样本平均值作为μ的估计值，用样本的方差作为2σ的估计值，试求该批树苗小于等于255.4cm 的概率。
（提供数据：45.16271≈，45.17305≈，45.18340≈）
附：若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则6826.0)(=+<<-σμσμZ P ，9544.0)22(=+<<-σμσμZ P ，9974.0)33(=+<<-σμσμZ P
20.
MN ⊥，问211OP
MN +是否为定值？若是，求出该定值；若否，说明理由。
21.已知函数()x e ax x x f )1(2++=
（1）若函数)(x f 在R 上无极值点，试讨论函数)()1()(ln )(R m x m x f x g ∈-+=的单调性；
（2）证明：当2
12<
<-a 时，对于任意()+∞-∈,1x ，不等式)1()(+>x a x f 恒成立。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=+=α
αsin 2cos 3，以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 2=
（1）求直线l 和圆C 的普通方程；
（2）已知直线l 上一点()2,3M ，若直线l 与圆C 交于不同的两点A 、B ，求
MB MA 11+的取值范围。
23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()R a x a x x f ∈+++=,12
（1）当1=a 时，求不等式()1<x f 的解集。
（2）设关于x 的不等式()12+-≤x x f 解集为P ，且P ⊆⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--41,1，求a 的取值范围。