机械振动课件

2
tg v0 x0
例 一质点沿x轴作简谐运动，平衡位置在x 轴原点，已知质点完成一次全振动的时间 为0.63s，求下列情况下的振动方程。
1）t=0时质点过原点，且朝x轴正向运动， 速率为0.6m/s。
2） t=0时质点过0.03m处，朝x轴负向运动， 速率为0.6m/s。
解： T 0.63s 2 10s1
二 简谐运动的特征
1
运动特征
d2x
F kx
d2 dt
x
2
m
2x
dt
0
2
x Acos(t )
积分常数，根据初始条件确定
简谐运动判据（任一满足即可）
动力学特征 F kx
运动学特征 运动方程
d2 dt
x
2
2
x
0
x Acos(t )
注：量x不局限于位移，它可以是角 度、电量、电压、磁感应强度……---广义的简谐振动
移的绝对值 ，称做振幅（A）。
3 周期 、频率和角频率 物体作一次完全振动所经历的时间
叫做振动的周期，用T表示。
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
T 2
所以弹簧振子的周期为 T 2 m
k
单位时间内物体所作的完全振动的
次数叫做频率，用ν表示，单位Hz
2
1 T 2
k
m
讨论下列情况下系统的运动特征：
m
k
m
k
2 复摆
M mghsin
当角位移很小时（小于 5°) sin
M mgh
d 2
dt 2
mgh
I
0
mgh
I
复摆 T 2 I
mgh
§11.2 简谐运动的描述方法
一 简谐运动方程 振动量 x 随时间 t 变化的函数关系，即
x=x(t)
dE d (1 mv2 1 kx2 ) 0 mv dv kx dx 0
角频率ω（又称圆频率），单位是rad/s。
注：周期和频率只和振动系统本身的物理 性质有关。由振动系统固有属性所决定， 因此叫 固有周期和固有频率。
例如，心脏的跳动80次/分
周期为 T 1 (min） 60 ( s ) 0.75 s
80
80
频率为 1 / T 1.33Hz
动物的心跳频率(参考值,单位:Hz)
dt dt 2 2
dt dt
d2x dt 2
2
x
0
求解微分方程
x Acos(t )
v dx Asin(t ) Acos(t )
dt
2
a
d2x dt 2
2 Acos(t
)
2
Acos(t
)
1 振动量 x
任意时刻物体离开平衡位置的位移，x以 平衡位置为参考点
2 振幅A 简谐运动物体离开平衡位置最大位
主 讲： 物理教研室 张孟 Email:dreamzh9527@
第十一章 简谐运动
图为我国返回式卫星开展 L iI O环3境等
晶体研究用的搭载桶正在进行振动试验。
简谐运动及其特征
简
简谐运动的描述方法
谐 运
简谐运动的合成
动
阻尼振动 受迫振动 共振
小结
教学要求
1 理解振幅、周期、相位、及谐振动的速度、加速 度等概念；
• 简谐运动：最简单、最基本的振动，是 各种形式振动的基础；
§ 11-1 简谐运动及其特征
一 弹簧振子及其运动分析（理想模型）
弹簧振子的振动
l0 k
A
x0 F 0
m
x
o
A
平衡位置（O）：物体所受合外力为 零的位置。
F kx ma
a 2x
Fm
ox
x
令 2 k
m d2 x 2 x
dt 2
大象 猪 松鼠
0.4~0.5 马
1~1.3 兔
6.3
鲸
0.7~0.8 1.7 0.13
昆虫翅膀振动的频率（Hz）
雌性蚊子 雄性蚊子 苍蝇 黄蜂
355~415 455~600 330 220
4 相位 初相位 相位（ωt+φ）：决定简谐运动物体的运动状 态 初相位（φ）：决定初始时刻简谐运动物体 的运动状态
例 竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止
位置拉下一段距离（在弹性限度内），然后放手 任其运动。证明物体的运动是简谐运动。
证 以平衡位置为坐标原点，向下为 正方向建立坐标。
l
k
在平衡位置处 mg ky0
O y0
y
m
在任意位移y处 F mg k( y y0 )
ky
y
则物体的运动是 简谐运动，且
2 深刻理解简谐振动的特征，建立谐振动方程并理 解其意义；
3 理解简谐振动的旋转矢量法并用以分析讨论问题；
4 理解同方向、同频率的合成规律，了解相互垂直 谐振动的合成；
• 机械振动：物体在一定位置附近所作的 周期性的往复运动；
• 振动：描述物质运动状态的物理量，在 某 一数值附近作周期性的变化。是物质 的一种普遍的运动形式；
向成一小角度 ，然后放手任其摆动，如果从放 手时开始计算时间，此角是否是振动初相？单 摆的角速度是否是振动的角频率？
6 简谐运动的能量
1)
动能
Ek
1 2
mv2
1 mA2 2 sin2( t )
2
Ek max
1 2
振动曲线：
x
A
o
T
t
5 简谐运动的三个特征量
x Acos(t )
v dx Asin(t )
dt
a
d2x dt 2
2 Acos(t
)
A、ω、φ为简谐运动的三个特征量
ω 由系统决定
常数A和 的确定
初始条件 t 0
v v0
x x0
x0 Acos
v0 Asin
A
x02
v02
tg1 v0 tg1 2 63.4o x0
振动方程 x 0.067 cos( 10t )m
思 考 题: 一 何为简谐运动？下列运动是否简谐运动？ 1 完全弹性球在硬地面上的跳动； 2 小球沿半径很大的光滑凹球面滚动（设小球经
过的弧线很短）； 二 把一单摆从其平衡位置拉开，使悬线与竖直方
2 准弹性力
单摆 F mg sin
O’ θl T
o
当θ很小时（小于5°） sin
F mg
mg
ma
ml
d 2
dt 2
d 2
dt 2
g
l
0
mg
g l
单摆 T 2 l
g
3 能量特征
系统做简谐运动时，势能和动能相互
转换，系统机械能守恒：
E
Ek
Ep
1 2
mv2
1 2
ky2
常量
三 常见的简谐运动 1 竖直弹簧振子
T
（1） x0 0m v0 0.6m s1
A
x0 2
(
v0

)2
0.06m
tg1 v0
x0 2
v0
sin
p0
A
sin
0.6
m
s
1
振动方程
x
2
0.06 cos( 10t
)m
2
（2）
2 10s1
T
x0 0.03m v0 0.6m s1
A
x0 2
(
v0
)2
35 100
0.067 m