数学同步优化指导(湘教版选修2-3)课件：8.2.2 条件概率
数学同步优化指导(湘教版选修2-3)课件：7.3.1、7.3.2 第1课时 组合
解得 x＝1 或 3.
3 2 2 2 2 C ＋C ＋C2＋…＋C2 (2)C2 ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C ＝ 3 3 2 3 4 10 4 10
3 2 2 3 C ＋ C ＝ 4 4 ＋…＋C10＝…＝C11＝165.
答案：(1)1 或 3 (2)165
组合及组合数的概念
3 3 98 199 求值：(1)C4 － C A ； (2)C ＋ C 10 7 3 100 200；
－n 3n (3)C38 ＋ C 3n 21＋n.
10×9×8×7 4 3 解：(1)原式＝C10－A7＝ －7×6×5 4×3×2×1 ＝210－210＝0. 100×99 98 199 2 1 (2)C100＋C200＝C100＋C200＝ ＋200＝4 2 ＝5 150. 950＋200
38－n≤3n， (3)∵ 3n≤21＋n，
∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N＋，∴n＝10. 30×29 38－n 3n 28 30 2 1 ∴C3n ＋C21＋n＝C30＋C31＝C30＋C31＝ ＋31＝466. 2×1
1 2 [ 互动探究 ] 若把例 2 变为证明 C 0 n ＋ C n＋1 ＋ C n＋2 ＋…＋
判断下列问题是排列问题，还是组合问题．并求 出相应的排列数或组合数． (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数， 这样的三位数共有多少个？
(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字
相加得到一个Biblioteka ，这样的和共有多少个？(3)从a，b，c，d四名学生中选 2 名去完成同一份工作，有 多少种不同的选法？ (4)5个人规定相互通电话一次，共通了多少次电话？ (5) 若已知集合 {1,2,3,4,5,6,7} ，则该集合的子集中有 3 个元 素的有多少？
2018年数学同步优化指导选修2-3课件：1-3-1 二项式定理 精品
现的次数相当于从n个(a＋b)中取k个b的组合数，将它们合并同
类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
【想一想】 (1)(a ＋ b)n 展开式中各项前的系数代表着什 么？
1 2 n 提示：各项前的系数依次为组合数 C0 ， C ， C ， … ， C n n n n代
表着这些项在展开式中出现的次数．
时，其中的 a 和 b 是不能随便交换的． (3)注意二项式系数 Cr n与展开式中对应项的系数不一定相 等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
(4)通项公式是在(a＋b)n 这个标准形式下而言的， 如(a－b)n
n r r 的二项展开式的通项公式是 Tr＋1＝(－1)rCr b (只需把－b 看 na
n
个公式叫做二项式定理．
2．二项式(a＋b)n(n∈N*)展开式的特点： (1)它有________ n＋1 项； (2)各项的次数(即 a 与 b 的数的和)都等于二项式次数__ n；
n 递减到___ 0 ；字母___ b 按 (3)字母 a 按降幂排列，次数由___ n ； 0 递增到___ 升幂排列，次数由___
2 得 r＝2.所以有常数项为 T3＝C2 ( － 2) ＝40. 5
10－5r＝0，
答案：C
1 3．设二项式 x－ 3 5 的展开式中常数项为 A，则 A＝ x ________.
5-r r 2 解析：Tr＋1＝C5x
3 以A＝C3 ( － 1) ＝－10. 5
(－1) · x
10 －10a＋3＝0，解得 a＝1± 5 .
答案： 10 1± 5 .
二项式定理及其通项公式
1.二项展开式的特点 (1)展开式共有n＋1项． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐 项减1直到为 0，字母 b的幂指数按升幂排列，从第一项开始， 次数由0逐项加1直到为n.
高中数学选修2-3-条件概率
0.56 0.7
BA
P( A) P( A)
5
2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数
B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝
A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝
若已知出现的点数不超发生，求事件 B 的概率
也就是求：Ｐ（B｜A）
A B 都发生，但样本空
一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件 B发生的可能性大小不一定再是P(B).
条件的附加意味着对样本空间进行压缩.
引例:
掷红、蓝两颗骰子。
设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6” 事件B=“两颗骰子点数之和大于8” 求(1)P(A)，P(B)，P(AB)
(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件Ｂ发 生 的概率？
例 7一个箱子中装有2n 个白球和（2n-1）个黑球，
一次摸出个n球.
(1)求摸到的都是白球的概率；
(2)在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色 的概率。
例 8 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大
正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中）， 设投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上 面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B， 求 P(A|B)。
间缩小到只包含A的样本点 P(B | A) n( AB) 2 n( A) 3
B5
1 3
A
2
4,6
3. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，
规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得 一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等 品的概率．
解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
⑵几何解释:
⑶可加性： 如果 B和C 互斥，
数学同步优化指导(湘教选修23)练习：8.1、8.2、8.2.1 随机对照试验;概率;概率的加法公式 活页作业9 Wor
活页作业(九) 随机对照试验 概率的加法公式一、选择题1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上答案都不对解析：由互斥事件的定义可知，甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知，甲、乙可能都得不到红牌，即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生．答案：C2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只产品是正品(甲级品)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：记抽验一只产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而抽验一只产品是正品(甲级品)的概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.故选C ．答案：C3．从5张100元，3张200元，2张300元的2017年某市大学生运动会闭幕式门票中任取3张．则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( )A ．14B ．79120C ．34D ．2324解析：3张中没有价格相同的取法有C 15C 13C 12＝30种，则3张中至少有2张价格相同的概率为1－30C 310＝34.答案：C4．一箱产品中有正品4件、次品3件，从中任取2件，有下列事件： ①恰有1件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全是次品； ③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少有1件次品和全是正品． 上述4组事件中，互斥事件有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解析：对于①，恰有1件次品就是1件正品1件次品，与恰有2件次品显然互斥；对于②，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是次品显然不互斥；对于③，至少有1件正品包括恰有1件正品和1件次品以及2件都是正品，与至少有1件次品显然不互斥；对于④，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是正品显然互斥．故互斥事件是①、④.答案：B 二、填空题5．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0. 2,0.3,0.3，则下列说法正确的命题序号是________．①A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件； ②B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件； ③A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件； ④A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件．解析：由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．答案：④6．同时抛掷2枚骰子，则至少有1个5点或6点的概率为________．解析：至少有1个5点或6点的对立事件是既没有5点也没有6点，所以至少有1个5点或6点的概率为1－4×46×6＝59.答案：59三、解答题7．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率．解：方法一 记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ，“该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D .由题意知事件A ，B ，C 彼此互斥，而事件D 包括基本事件A 与B ，所以P (D )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9，即该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为0.9.方法二 设事件C 表示“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”，“该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D .由题意知事件C 与D 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.1＝0.9，即该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为0.9.8．已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为甲、乙两组，每组4支．求： (1)3支弱队同在一组的概率； (2)甲组中至少有2支弱队的概率．解：(1)设事件A 表示3支弱队同在一组，则P (A )＝C 33C 15C 48＋C 33C 15C 48＝17.(2)设事件B 表示甲组中至少有2支弱队，则P (B )＝C 23C 25C 48＋C 33C 15C 48＝12.一、选择题1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率为1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.答案：C2．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A ．929B ．1029C ．1929D ．2029解析：既有男同学又有女同学的对立事件为全是男同学或全是女同学，全为男同学的概率为C 320C 330，全为女同学的概率为C 310C 330.∴所求事件的概率为1－C 320C 330－C 310C 330＝2029.答案：D 二、填空题3.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率为______，他至多参加2个小组的概率为________．解析：随机选一名成员，恰好参加2个组的概率P (A )＝1160＋760＋1060＝715，恰好参加3个组的概率P (B )＝860＝215，则他至少参加2个组的概率为P (A )＋P (B )＝715＋215＝35，至多参加2个组的概率为1－P (B )＝1－215＝1315.答案：35 13154．有10个外表相同的圆球，其中8个各重a g,2个各重b g(a ≠b )．从这10个圆球中任取3个放在天平一端的盘中，再从剩余的7个中任取3个放到天平另一盘中，则天平平衡的概率为________．解析：天平平衡的条件有两种可能，一是两边都放3个重a g 的球；二是两边各放两个重a g 的球，再各放一个重b g 的球．这两类事件是互斥事件，分别记作事件A ，B .故所求的概率P ＝P (A ∪B ) ＝P (A )＋P (B )＝C 38·C 35C 310·C 37＋C 28·C 12·C 26·C 11C 310·C 37＝13， ∴天平平衡的概率为13.答案：13三、解答题5．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512.试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解：从袋中任取一球，记事件A ＝{摸得红球}，事件B ＝{摸得黑球}，事件C ＝{摸得黄球}，事件D ＝{摸得绿球}．则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝23.解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.所以得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率为14.6．今有标号为1,2,3,4,5的5封信，另有同样标号的5个信封．现将5封信任意地装入5个信封，每个信封装入1封信，求至少有2封信配对的概率．解：至少有2封信配对包含恰有2封配对、恰有3封配对、恰有4封配对(也即5封配对)三个互斥事件，故至少有2封信配对的概率为C 25·2A 55＋C 35A 55＋1A 55＝31120.。
数学同步优化指导湘教版必修3课件622第2课时
本例的证明体现了证明面面平行的常用方 法，解决此类问题的关键是选择或添加适当的辅助线(或辅助 面)，使问题转化为证线面平行或线线平行．
2.如图，三棱锥P－ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP
的中点．证明平面GFE∥平面PCB．
证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点， 所以EF∥BC，GF∥CP. 因为EF，GF⊄平面PCB，
a⊂α
b⊂α
a∩b＝P⇒α∥β，五个条件缺一不可．
a∥β
b∥β
应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a，b.
(3)化归为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的 两条相交直线分别平行，则α∥β(证明后可用)．
(4)利用平行平面的传递性：两个平面同时和第三个平面平 行，则这两个平面平行．
平面与平面之间的位置关系
已知下列说法： ①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β则a与b是异面直线； ③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交； ④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面； ⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则，a与β一定相交． 其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．
1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相
平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不能确定
解析：如图所示，由图可知C正确． 答案：C
平面与平面平行的判定
在 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中 ， M 、 N 、 P 分 别 是
C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD．
高中数学复习选修2-3 2.2.1 条件概率课件
计算事件AB发生的概率,即
n AB
P
B｜A
n AB nA
n nA
P AB PA .
n
【典例训练】 1.(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和 为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B｜A)=( )
A1 B 1 C 2 D 1
8
4
5
2
n AB nA
1 4
.
2.由题意可得： AB {x | 1＜x＜1}，
所以
P AB
又1 因 为1 2 4
1,
4
2
PA 1，
ห้องสมุดไป่ตู้
所以
14
2
P B｜A
答案：
P AB PA
1 2
.
1
2
3.设A表示取得合格品，B表示取得一等品，
(1)∵100 件产品中有70件一等品，∴
PB 70 0.7.
(2)方法一：∵95 件合格品中有70 件一等品，且B⊆A, 100
2.任意向(0，1)区间上投掷一个点，用x表示该点的坐标，则
令事件A={x|0＜x＜ }，B1={x| ＜x＜1}，1则P(B|A)=_____. 3.设100 件产品中有70 件2一等品，25 件4二等品，规定一、
二等品为合格品．从中任取1件. (1)求取得一等品的概率； (2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
2.求解条件概率的两个注意事项 (1)在具体的题目中,必须弄清谁是事件A,谁是事件B,即在哪个事件发生的条件 下,求哪个事件的概率. (2)选择求解条件概率的计算法，以达到迅速计算的目的.
【典例训练】 1.一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
数学同步优化指导(湘教版选修2-3)课件：8.1、8.2、8.2.1 随机对照试验;概率;概率的加法公式
1．互斥事件与对立事件有什么异同？
提示：对立事件是互斥事件的一种特殊情况，互斥不一定 对立，对立一定互斥．当计算事件 A 的概率 P(A)比较复杂和困 难时，常用公式 P(A)＝1－P( A )求解．
3．概率的加法公式 互斥 如 果 Ω 的 事 件 A1 ， A2 ， … ， Am 两 两 _________ ，则 P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am) P(A1∪A2∪…∪Am)＝_________________________________ ． 我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是 两两互斥 ． 事件___________
第8章 统计与概率 8.1 随机对照试验 8.2 概率
8.2.1 概率的加法公式
学习目标 1．了解随机对照实验． 2．理解互斥事件、对立事 件的概念． 3．会用概率的加法公式求 某些事件的概率.
重点难点 1．重点是理解概率ห้องสมุดไป่ตู้加法 公式的适用条件． 2．难点是利用概率的加法 公式求复杂事件的概率.
阅读教材：P45～P51的有关内容，完成下列问题． 1．随机对照试验
若事件 A 与事件 B 互斥，且事件 A 与事件 B 中
必有一个发生 ____________________ ，则称 A 与 B 是对立事件．事件 A 与事 A∩B＝∅且A∪B＝Ω 件 B 对立的条件是__________________________.
用 A ＝Ω\A 表示 A 的对立事件，则 A 是 A 的补集．
1．锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤 圆 4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取 4 个 汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( 8 A．91 48 C．91 25 B．91 60 D．91 )
【优化方案】精品课件数学选修2-3(配湘教)第8章8.5
4
66.5 ∴sxy＝ －4.5×3.5， 4 sxy ∴b＝ 2 ≈0.7 sx a＝ y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， ∴y＝0.7x＋0.35.
一元线性回归模型分析 通过对随机误差的分析，计算相关系数rxy得出模型 的拟合效果．
例2 已知某种商品的价格 x( 元 ) 与需求量 y( 件 ) 之
关 于 x 的 线 性 回 归 方 程 y ＝ bx ＋ a.( 参 考 数 值 ：
3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解：(1)散点图如图所示：
3＋4＋5＋6 (2) x ＝ ＝4.5， 4 2.5＋3＋4＋4.5 y＝ ＝3.5， 4
xiyi＝3×2.5＋4×3＋4×5＋6×4.5＝66.5，
间的关系有如下一组数据： x y 的好坏． 14 12 16 10 18 7 20 5 22 3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果
【思路点拨】 回归模型拟合效果的好坏可以通 过计算 r2 xy来判断，其值越大，说明模型的拟合效 果越好． 1 【解】 x ＝ (14＋16＋18＋20＋22)＝18， 5 1 y ＝ (12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， 5
4．相关系数rxy的性质：
[－1,1] 中取值． (1)rxy总是在区间_______
增加 ， (2)当rxy接近于1时，x增加，y也倾向于_______
数据点 (x1 ， y1) ， (x2 ， y2) ，…， (xn ， yn) 分散在一
条上升的直线附近． 减少 ， (3)当rxy接近于－1时，x增加，y倾向于_______ 数据点 (x1 ， y1) ， (x2 ， y2) ，…， (xn ， yn) 分散于一 条下降的直线附近．
数学同步优化指导(湘教版选修2-2)课件：454310453定积分与微积分基本定理
积分．
4.理解定积分的几何意义和定积分的基 本性质.
的概念的理解及
几何意义.
1．曲边梯形
由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形 曲边梯形 称为___________.
2．求曲边梯形面积的方法
把区间 [a ， b] 分成许多段，进而的把曲边梯形分为一些 小曲边梯形 ，对每个小曲边梯形“ ___________ 以直代曲 ”，即用 ______________ 矩形的面积近似值代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯 相加 就得到曲边梯形面积 形面积的近似值，对这些近似值 _______
b f(x)dx± g(x)dx b a a 性质3： [ f ( x )± g ( x )] d x ＝ __________________ ；
a
a
b
b f(x)dx＋ f(x)dx b 性质4： f(x)dx＝___________________. a c
解： 将区间 [1,2]5 等分，分别以每个小区间的左、右端点
的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值 s 和
过剩估计值S.
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 s＝ 2×1 ＋2×1.2 ＋2×1.4 ＋2×1.6 ＋2×1.8
×0.2＝1.02，
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 S＝ 2×1.2 ＋2×1.4 ＋2×1.6 ＋2×1.8 ＋2×2
第四章 导数及其应用
4.5 定积分与微积分基本定理
4.5.1 曲边梯形的面积
4.5.2 计算变力所做的功
4.5.3 定积分的概念
学习目标 1.了解曲边梯形面积的求法． 2.理解“分割、近似代替、求和、取极 限”的数学思想． 3.掌握定积分的概念，并会用定义求定
数学同步优化指导(湘教版选修2-3)课件：7.2.1、7.2.2 第1课时 排列
写出简单排列问题的所有排列
写出下列问题的所有排列： (1)北京、广州、南京、天津4 个城市相互通航，应该有多 少种机票？ (2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右， A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？
解：(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示． 北京广州南京天津广州南京天津北京南京天津北京广州天 津北京广州南京 故符合题意的机票种类是 北京—广州，北京—南京，北京—天津，广州—南京，广州— 天津，广州 — 北京，南京 — 天津，南京 — 北京，南京 — 广州，天 津—北京，天津—广州，天津—南京，共12种．
(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少 种不同的可能？ (2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少 种不同的可能？ (3)会场有50个座位，要求选出3 个座位，有多少种方法？ 若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？
解： (1) 不是； (2) 是； (3) 第一问不是，第二问是．理由： 因为加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与 两个元素的位置无关，但做除法时，两个元素谁作除数，谁作 被除数是不一样的，此时与位置有关，故做加法不是排列问
【点评】
在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排
出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准进行分类，在每类 中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分 类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照 “树形图”写出所有排列．
2．从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成
题，做除法是排列问题．选出 3 个座位而不入座，与顺序无
关，故不是排列问题； “ 入座 ” 问题同 “ 排队 ” ，与顺序有 关，故选3个座位安排3个客人入座是排列问题．
2018年数学同步优化指导湘教版选修2-3练习：8-2-4 第1
活页作业(十二)离散型随机变量一、选择题1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出3个小球．下列变量是离散型随机变量的是()A．小球滚出的最大距离B．倒出小球所需的时间C．倒出的3个小球的质量之和D．倒出的3个小球的颜色种数解析：A，B不能一一列举，不是离散型随机变量，而C是常量，是个确定值，D可能取1,2,3，是离散型随机变量．答案：D2．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5.现从中任意抽取2个，设2个球上的数字之积为X，则X可能取值的个数是()A．6B．7C．10 D．25解析：X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3，2×4,2×5,3×4,3×5,4×5，共10个．答案：C3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么“X＝4”表示的随机试验结果是() A．两枚都是4点B．两枚都是2点C．一枚是1点，一枚是3点D．一枚是1点，另一枚是3点或者两枚都是2点解析：“X＝4”表示抛掷两枚骰子，所得点数之和为4的所有结果，可能是一枚1点，另一枚3点，也可能是两枚均为2点，故选D．答案：D4．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是() A．25 B．10C．9 D．5解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.答案：C二、填空题5．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．解析：X可能取得的值有3,4,5，…，19，共17个．答案：176．在8件产品中，有3件次品，5件正品．从中任取一件，取到次品就停止．设抽取次数为X，则“X＝3”表示的试验结果是_______________________．解析：“X＝3”表示前2次均是正品，第3次是次品．答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品三、解答题7．小王钱夹中只剩有20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．写出X的可能取值，并说明这些取值表示的随机试验结果．解：X的可能取值为6,11,15,21,25,30.其中，“X＝6”，表示抽到的是1元和5元；“X＝11”表示抽到的是1元和10元；“X＝15”表示抽到的是5元和10元；“X＝21”表示抽到的是1元和20元；“X＝25”表示抽到的是5元和20元；“X＝30”表示抽到的是10元和20元．8．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X.试求X的集合，并说明“X＞4”表示的试验结果．解：设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.依题意得X＝x－y.则－5≤X≤5，即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．则“X＞4”⇔“X＝5”，表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．一、选择题1．将一枚均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是()A．两次掷得的点数B．两次掷得的点数之和C．两次掷得的最大点数D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差解析：两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．答案：A2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．前4次击中目标解析：“ξ＝5”表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中，就不一定，因为他只有5发子弹．答案：C二、填空题3．某地上网的费用为月租费10元，上网每分钟0.04元．某学生在一个月内上网的时间(min)为随机变量X(不足1 min的按1 min计算)，该学生在一个月内上网的费用为Y，则Y ＝________________.解析：由于上网时间不足1 min按1 min计算，因此，随机变量X的取值范围为1,2,3，…，Y＝0.04X＋10.答案：0.04X＋10(X取1,2,3，…)4．在一次考试中，某名同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题总得分ξ的所有可能取值是________________________________________________________________________.解析：回答全对，ξ＝300；两对一错，ξ＝100；两错一对，ξ＝－100；全错，ξ＝－300.答案：300,100，－100，－300三、解答题5．同时掷两枚质地均匀的硬币．(1)用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？(2)“X＜2”和“X＞0”各表示什么？解：(1)掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0,1,2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0,1,2中的某个．(2)“X＜2”表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”；“X＞0”表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．6．写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量取值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.解：(1)X的可能取值为1,2,3，…，10.“X＝k(k＝1,2，…，10)”表示取出第k号球．(2)X的可能取值为0,1,2, 3,4.“X＝k”表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则“X＝2”表示(1,1)；“X＝3”表示(1,2)，(2,1)；“X＝4”表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；“X＝12”表示(6,6)．。
2018年数学同步优化指导湘教版选修2-3练习：8-2-3 事
第8章 8.2 8.2.31．设A 与B 是相互独立事件，则下列命题中正确的是( ) A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥事件 C ．A －与B －不相互独立 D ．A 与B －是相互独立事件解析：相互独立与互斥、对立没有必然联系． 答案：D2．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )A ．1B ．0.629C ．0D ．0.74或0.85解析：事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生．依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为0.85×0.74＝0.629.答案：B3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12B ．0. 42C ．0.46D ．0.88解析：由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，故至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.答案：D4．甲、乙、丙三名射击手命中目标的概率分别为12，13，14.现在三人同时射击，目标被击中的概率等于________．解析：目标没有被击中的概率就是甲、乙、丙三名射手都没有击中的概率，为⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率是1－14＝34.答案：345．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目．据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×⎝⎛⎭⎫1－23＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×⎝⎛⎭⎫1－56×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为⎝⎛⎭⎫1－45×56×23＝19. ∴恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为⎝⎛⎭⎫1－45×⎝⎛⎭⎫1－56×⎝⎛⎭⎫1－23＝190. ∴至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.。
2018年数学同步优化指导湘教版选修2-3练习：7-2-1、7-
活页作业(四)排列的综合应用一、选择题1．A44·A44是下列哪一个问题的答案？()A．4男4女排成一列，同性别的都不相邻B．4男4女排成一列，女生都不相邻C．4男4女分别到4个不同的兴趣小组，每组一男一女D．4男4女分成两组，这两组各有2男2女解析：选项A的答案是A44·2A44；选项B的答案是A44·A45；选项D不是排列问题；只有选项C的答案是A44·A44.答案：C2．以正方形4个顶点中的任意两个顶点分别作为起点、终点作向量，可以作出不同的向量个数为()A．12B．16C．8 D．10解析：以4个顶点中任意两个顶点分别作为起点、终点作向量，相当于从4个元素中取出2个元素进行排列，因此，可作A24＝12个向量．另外，两组对边分别有两个相同的向量，故不同的向量为12－2×2＝8个．答案：C3．把标号为1,2,3,4,5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为()A．36 B．20C．12 D．10解析：把标号为偶数的球放入偶数号箱子中，有A22种放法，把标号为奇数的球放入奇数号箱子中，有A33种放法，由分步乘法计数原理得所有的放法种数为A22·A33＝12，选C．答案：C4．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()A．24个B．30个C．40个D．60个解析：个位只能从2,4中选一个，有2种选法；剩余的四个数字任选2个填十位、百位，有A24个．故共有2A24＝24个偶数．答案：A二、填空题5．某人练习打靶，一共打了8发，中了3枪，其中恰有两发连中，则中靶的方式共有________种．解析：插入法，在未中的5发之间及两端排列，共A26种．答案：306．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．解析：分两步完成．第一步，安排三名主力队员有A33种；第二步，安排另2名队员有A27种．所以共有A33·A27＝252种．答案：252三、解答题7．用0,1,2,3,4,5,6这七个数字，能组成多少个没有重复数字的四位偶数？解：分两类．第一类，个位为0时，剩余的三位可从1,2,3,4,5,6中任取三个填入，有A36种．第二类，个位为2,4,6时，最高位从剩余的5个数字(0不能在最高位)中任取一个有5种取法；中间两位可从剩余5个数字中任取两个排进去，有A25种，故第二类共有3A15A25种．由分类加法计数原理知，能组成的没有重复数字的四位偶数的个数为A36＋3A15A25＝420.8．有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能由A，B，C三人中选两人担任，有多少种不同的分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的1人担任，有多少种不同的分工方案？解：(1)先安排正、副班长，有A23种方法；再安排其余职务，有A55种方法．由分步乘法计数原理知共有A23·A55＝720种分工方案．(2)7人的任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人担任正、副班长的分工方案有A24·A55种，因此满足条件的分工方案有A77－A24·A55＝3 600种．一、选择题1．现从甲、乙、丙、丁、戌5名同学中选4名安排参加志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作有一人参加．甲不会开车、乙不会翻译，但都能从事其他三项工作，而丙、丁、戌能胜任全部四项工作，则不同安排方案的种数是() A．108 B．78C．72 D．60解析：分两种情况，乙开车和乙不开车．当乙开车时，甲、丙、丁、戌可胜任其余岗位，即有A34种安排方案；当乙不开车时，开车人选有3种可能，翻译人选为除乙外的剩余3人，最后还剩3人安排两个岗位，有A23种安排方案，故乙不开车时有3×3×A23＝54种安排方案．故共有A34＋54＝78种不同安排方案．答案：B2．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在同一条直线上，则不同的摆放方法有()A．2 680种B．4 320种C．4 920种D．5 140种解析：先将7盆花全排列，共有A77种排法，其中3盆兰花放在同一条直线上的排法有5A33A44种，故所求的摆放方法有A77－5A33A44＝4 320种．答案：B二、填空题3．一排长椅共有10个座位，现有4人坐，恰好有5个连续空位的坐法种数为________．解析：把5个连续空位看作1个假想元素，设为a，单独的1个空位设为b，另4个设为c1，c2，c3，c4，则问题转化为a，b，c1，c2，c3，c46个元素的排列，且a，b不相邻．由插空法，先排4个人，有A44种排法，然后，a，b插空有A25种插法，故共有A44·A25＝480种坐法．答案：4804．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两名爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为________(用数字作答)．解析：第一步，将两名爸爸排在两端，有2种排法；第二步，将两个小孩看成一个整体与两名妈妈排在中间的三个位置上，有A33种排法；第三步，将两个小孩排序，有2种排法．故总的排法有2×2×A33＝24 种．答案：24三、解答题5．9张卡片分别写着数字0,1,2, 3，…，8，从中取出3张排成一排组成一个三位数．如果写着6的卡片还可当9用，问可组成多少个三位数？解：注意0和6的特殊性，可如下分类．(1)不含0与6的三位数有A37个；(2)只含6不含0的三位数有2A13A27个；(3)只含0不含6的三位数有A12A27；(4)既含0又含6的三位数有2A12A12A17个．故总共有A37＋2A13A27＋A12A27＋2A12A12A17＝602个．6．2017年高中毕业前夕，7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人．在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)2名女生必须相邻；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到矮的顺序站； (4)老师不站正中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一个元素与其余5人全排列，有A 66种排法，所以不同站法有A 22·A 66＝1 440 种．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生的间隔(含两端)处插入男生，每空1人，则有插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33·A 44＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而从高到矮有从左到右和从右到左两种情况，所以共有不同站法2·A 77A 44＝420种．(4)中间和两端是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两端之一，另一端由男生站，有A 12·A 14·A 55种站法；②两端全由男生站，老师站除两端和正中的另外4个位置之一，有A 24·A 14·A 44种站法．所以不同站法共有A 12·A 14·A 55＋A 24·A 14·A 44＝960＋1 152＝2 112种．。
【精品】2020届数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.2.2 条件概率含解析
8．2.2条件概率[读教材·填要点]1．条件概率设A，B是事件，且P(A)>0，以后总是用P(B|A)表示在已知A发生的条件下B发生的条件概率，简称条件概率．2．条件概率的计算公式如果P(A)>0，则P(B|A)3．条件概率的性质①P(B|A)∈[0,1]②如果B与C为两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．[小问题·大思维]1．P(B|A)＝P(A∩B)吗？提示：事件(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生，而事件A∩B是指事件A 与事件B同时发生，故P(B|A)≠P(A∩B)．2．P(B|A)和P(A|B)相同吗？提示：P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)不同．[例1]在52道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．[解]设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的基本事件总数为A25＝20.事件A所含基本事件的总数为A13×A14＝12.故P (A )＝1220＝35.(2)因为事件A ∩B 含A 23＝6个基本事件． 所以P (A ∩B )＝620＝310. (3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝31035＝12.法二：因为事件A ∩B 含6个基本事件，事件A 含12个基本事件，所以P (B |A )＝612＝12.条件概率的计算方法有两种：(1)利用定义计算，先分别计算概率P (A ∩B )和P (A )，然后代入公式P (B |A )＝P (A ∩B )P (A ). (2)利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A ，原来的事件B 缩小为AB ，利用古典概型计算概率：P (B |A )＝n (A ∩B )n (A ).1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (A ∩B )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？解：(1)设x 为掷红骰子得的点数，y 为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为(x ，y )，建立一一对应的关系，由题意作图如图．显然：P (A )＝1236＝13，P (B )＝1036＝518，P (A ∩B )＝536.(2)法一：P (B |A )＝n (A ∩B )n (A )＝512. 法二：P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝53613＝512.[例2] 3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．[解] 法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A ，“摸出第二个球为黄球”为事件B ，“摸出第二个球为黑球”为事件C ，则P (A )＝110，P (AB )＝1×210×9＝145， P (AC )＝1×310×9＝130.∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝145110＝1045＝29，P (C |A )＝P (AC )P (A )＝130110＝13.∴P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝29＋13＝59.∴所求的条件概率为59.法二：∵n (A )＝1×C 19＝9，n (B ∪C |A )＝C 12＋C 13＝5，∴P (B ∪C |A )＝59.∴所求的条件概率为59.利用公式P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B 与C 互斥”．2．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解：设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生考试中获得优秀”，则A 、B 、C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，由古典概型的概率公式及加法公式可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620， P (A ∩D )＝P (A )，P (B ∩D )＝P (B )， P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D ) P (A )P (D )＋P (B )P (D )＝210C 62012 180C 620＋2 520C 62012 180C 620＝1358. 故所求的概率为1358.4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[尝试] [巧思] 本题数据较多，关系有点复杂，可采用列表方法理顺关系，这样不仅过程简单，同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率．[妙解] 设事件A ：“任取一个球，是玻璃球”；事件B ：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：由表知，P (B )＝1116，P (A ∩B )＝416，故所求事件的概率为P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝4161116＝411.1．若P (A )＝34，P (B |A )＝12，则P (A ∩B )等于( )A.23 B.38 C.13D.58解析：选B 利用条件概率的乘法公式求解． P (A ∩B )＝P (A )·P (B |A )＝34×12＝38.2．用“0”“1”“2”组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则P (A |B )＝( )A.12B.13C.14D.18解析：选B ∵P (B )＝3×33×3×3＝13，P (AB )＝33×3×3＝19，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝13，故选B. 3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A.18B.14C.25D.12解析：选B P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率的计算公式得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14. 4．若P (A )＝310，P (B )＝410，P (A ∩B )＝110，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________.解析：P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝14， P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝13.答案：14 135.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝______；(2)P (B |A )＝______.解析：圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是π4，根据几何概型的概率计算公式得P (A )＝2π，根据条件概率的公式得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝12π2π＝14.答案：(1)2π (2)146．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率． 解：设事件A 表示“选到第一组学生”， 事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，P (A )＝1040＝14. (2)法一：要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．不难理解，在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝415.法二：P (B )＝1540＝38，P (AB )＝440＝110，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝415.一、选择题1．设P (A |B )＝P (B |A )＝12，P (A )＝13，则P (B )等于( )A.12 B.13 C.14D.16解析：选B P (A ∩B )＝P (A )P (B |A )＝13×12＝16，由P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )，得P (B )＝P (A ∩B )P (A |B )＝16×2＝13.2．4张奖券中只有一张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A.14 B.13 C.12D ．1解析：选B 设第一名同学没有抽到中奖券为事件A ，最后一名同学抽到中奖券为事件B ，则P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝13.3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析：选A 根据条件概率公式P (B |A )＝P (AB )P (A )，可得所求概率为0.60.75＝0.8.4．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A.119B.1738C.419D.217解析：选D 设事件A 表示“抽到2张都是假钞”，事件B 为“2张中至少有一张假钞”，所以为P (A |B ).而P (AB )＝C 25C 220＝119，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220＝1738. ∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝217.二、填空题5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________．解析：记“种子发芽”为事件A ，“种子长成幼苗”为事件AB (发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，又P (A )＝0.9.故P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.72.答案：0.726．6位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是________．解析：甲排在第一跑道，其他同学共有A 55种排法，乙排在第二跑道共有A 44种排法，所以所求概率为A 44A 55＝15.答案：157．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．解析：设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P (A )＝5100＝120，P (AB )＝C 15C 195A 2100＝19396， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝9599.答案：95998．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，记A ＝{出现的点数为奇数}＝{1,3,5}，B ＝{出现的点数不超过3}＝{1,2,3}．若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________．解析：由题意知n (B )＝3，n (A ∩B )＝2，故在出现的点数不超过3的条件下，出现的点数是奇数的概率为P (A |B )＝n (A ∩B )n (B )＝23.答案：23三、解答题9．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．解：令A ＝{第1只是好的}，B ＝{第2只是好的}，法一：n (A )＝C 16C 19，n (AB )＝C 16C 15， 故P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 16C 15C 16C 19＝59.法二：因事件A 已发生(已知)，故我们只研究事件B 发生便可，在A 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P (B |A )＝C 15C 19＝59.10．一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求： (1)第1次取到黑球的概率；(2)第1次和第2次都取到黑球的概率；(3)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率．解：设第1次取到黑球为事件A ，第2次取到黑球为事件B ，则第1次和第2次都取到黑球为事件A ∩B .(1)从袋中不放回地依次取出2个球的事件数为 n (Ω)＝A 210＝90.根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 16×A 19＝54.于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝5490＝35. (2)因为n (A ∩B )＝A 26＝30. 所以P (A ∩B )＝n (A ∩B )n (Ω)＝3090＝13.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次取到黑球的条件下， 第2次取到黑球的概率为 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝1335＝59.法二：因为n (A ∩B )＝30，n (A )＝54，所以 P (B |A )＝n (A ∩B )n (A )＝3054＝59.。
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2 ．一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球．假设每个球被摸 到的可能性相同．试求： (1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率； (先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率．
解：(1)设“先摸出 1 个白球”为事件 A，“再摸出 1 个白 球”为事件 B，则“先后两次摸到白球”为事件 A∩B.因为先 摸 1 个球不放回，再摸 1 个球共有 4×3 种结果， 2×1 1 2 1 所以 P(A)＝4＝2，P(A∩B)＝ ＝6. 4×3 1 PA∩B 6 1 故 P(B|A)＝ ＝1＝3. PA 2 1 即先摸出 1 个白球不放回，再摸出 1 个白球的概率为3.
P(B|A)和P(A|B)相同吗？ 提示：P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概
率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，
因此P(B|A)和P(A|B)不同．
2．条件概率的计算公式 PA∩B 如果 P(A)＞0，那么 P(B|A)＝ . PA
1 3 已知 P(B|A)＝2，P(A)＝5，则 P(A∩B)＝____________.
[互动探究] 本例2若用公式法如何求解？
解：该试验的样本空间为 Ω＝{(1,1)，(1,2)，…，(6,6)}， 共有 36 个基本事件． 构成 A 的基本事件为{(5,5)， (6,4)， (4,6)}， 共 3 个；构成 A∩B 的基本事件为{(6,4)}，共 1 个．于是 P(A) 3 1 ＝36，P(A∩B)＝36. 1 PA∩B 36 1 由公式 P(B|A)＝ ，得 P(B|A)＝ 3 ＝3. PA 36
几何概型中的条件概率
如图所示的正方形被平均分成 9个部分，向大正方 形区域内随机地投掷一个点(每次都能投中)，设投中最左侧3个
小正方形区域的事件为 A，投中最上面3个小正方形或中间 1个
小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.
4 1 解析：由题图可知 P(B)＝9，P(A∩B)＝9. 根据条件概率公式，得 PA∩B 1 P(A|B)＝ ＝4. PB
第8章 统计与概率 8.2 概率
8.2.2 条件概率
学习目标 1．了解条件概率的概念，并能 辨别P(A|B)与P(B|A)的区别． 2．理解并掌握条件概率公式， 并能利用条件概率公式进行简单 的计算.
重点难点 1．重点是条件概率的 定义、公式以及应用． 2．难点是条件概率的 判定与计算.
阅读教材： P52 ～ P54 条件概率的有关内容，完成下列问 题． 1．条件概率的概念 P(B|A) 表示已知A发生 设A，B是事件，且P(A) ＞0，用_________ 的条件下B发生的条件概率，简称条件概率．
PA∩B 解析：∵P(B|A)＝ ， PA 1 3 3 ∴P(A∩B)＝P(B|A)· P(A)＝2×5＝10. 3 答案：10
利用定义求条件概率
一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可
能的．已知这个家庭有一个小孩是女孩，这时另一个小孩是男 孩的概率是多少？ 解： 一个 家庭的两 个小孩只 有 4 种可能 ： { 两个都 是男 孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二 个是男孩}，{两个都是女孩}．由题意可知，这4个基本事件的 发生是等可能的．根据题意，设基本事件空间为Ω，A表示“其 中一个是女孩 ” ， B 表示 “ 其中一个是男孩 ” ，则 Ω ＝ {( 男，
缩小基本事件范围求条件概率
掷骰子 2 次，每个结果以 (x1 ， x2) 记之，其中 x1 ， x2
分别表示第一次、第二次骰子的点数．设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝
10}，B＝{(x1，x2)|x1＞x2}．求P(B|A)．
解：Ω＝{(1,1)，(1,2)，…，(6,6)}，共 36 个基本事件． A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}＝{(5,5)，(6,4)，(4,6)}，共 3 个基 本事件，在缩减的样本空间 Ω′＝{(5,5)，(6,4)，(4,6)}中构成 B nA∩B 1 的基本事件只有 1 个(6,4)，所以 P(B|A)＝ ＝3. nA
(2)设“先摸出 1 个白球”为事件 C，“再摸出 1 个白球” 为事件 D，“两次都摸到白球”为事件 C∩D，则 2×2 1 2 1 P(C)＝4＝2，P(C∩D)＝ ＝ . 4×4 4 1 PC∩D 4 1 所以 P(D|C)＝ ＝1＝2. PC 2 1 即先摸出 1 个白球放回，再摸出 1 个白球的概率为2.
【点评】 将原来的基本事件全体 Ω 缩小为已知的条件事 件 A，原来的事件 B 缩小为 A∩B.而 A 中仅包含有限个基本事 件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空 nA∩B 间上利用古典概型公式计算条件概率，即 P(B|A)＝ ，这 nA 里 n(A)和 n(A∩B)的计数是基于缩小的基本事件范围的．
男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， A∩B＝{(男，女)，(女，男)}． 问题是求在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，即 求 P(B|A)． 3 2 ∵P(A)＝4，P(A∩B)＝4， PA∩B 2 2 ∴P(B|A)＝ ＝3.因此所求概率为3. PA 【点评】 解决条件概率问题的关键是求得事件同时发生
的概率及作为条件的事件发生的概率．
1．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概 率为 0.4. 现有一只这种 20 岁的动物，问它能活到 25 岁的概率是
多少？
解：设事件 A 为“能活到 20 岁”，事件 B 为“能活到 25 岁”， 则 P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为 P(B|A)． 由于 B⊆A，故 A∩B＝B. PA∩B PB 0.4 于是 P(B|A)＝ ＝ ＝ ＝0.5. PA PA 0.8 所以一只这种 20 岁的动物能活到 25 岁的概率是 0.5.