17-18版 第9章 第42课 空间几何体的结构及其表面积与体积

第42课空间几何体的结构及其表面积与体积[最新考纲]1．空间几何体的结构特征(1)多面体①棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．(2)旋转体①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．2．柱、锥、台和球的表面积和体积1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )(2)球的体积之比等于半径比的平方．( )(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________ cm. 2 [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．]3．(2016·全国卷Ⅱ改编)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．12π [设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π.]4．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________． 32 [设甲、乙两圆柱的底面半径分别为r 1，r 2，母线长分别为l 1，l 2，则由S 1S 2＝94得r 1r 2＝32.又两圆柱侧面积相等，即2πr 1l 1＝2πr 2l 2，则l 1l 2＝r 2r 1＝23，所以V 1V 2＝S 1l 1S 2l 2＝94×23＝32.]5．如图42-1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.图42-16 [连结AC 交BD 于O ，在长方体中，∵AB ＝AD ＝3，∴BD ＝32且AC ⊥BD .又∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又DB ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AO 为四棱锥A -BB 1D 1D 的高且AO ＝12BD ＝322.∵S 矩形BB 1D 1D ＝BD ×BB 1＝32×2＝62，∴VA -BB 1D 1D ＝13S 矩形BB 1D 1D ·AO ＝13×62×322＝6(cm 3)．]①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； ②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；③有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④棱台的各侧棱延长后不一定交于一点．(2)以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确的命题有________．(填序号)(1)② (2)③ [(1)如图①所示，可知①错．如图②，当PD ⊥底面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，②正确．①②根据棱台的定义，可知③，④不正确．(2)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．] [规律方法] 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．[变式训练1]下列结论正确的是________．(填序号)①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线．④[如图①知，①不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则②不正确．①②③错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．由母线的概念知，选项④正确．](1)(2016·苏锡常镇调研二)设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2的值为________. 【导学号：62172230】 (2)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．(1)32π (2)5π3 [(1)由题意可知V 1＝a 3，S 1＝6a 2，V 2＝13×πr 2×r ＝πr 33，S 2＝2πr 2， 由V 1V 2＝3π得a ＝r ，所以S 1S 2＝6a 22πr 2＝32. (2)过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示．由于V 圆柱＝π·AB 2·BC ＝π×12×2＝2π，V 圆锥＝13π·CE 2·DE ＝13π·12×(2－1)＝π3，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝5π3.][规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．易错提醒：对于简单组合体的表面积计算，应首先搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．[变式训练2] (2017·徐州模拟)设M ，N 分别为三棱锥P -ABC 的棱AB ，PC的中点，三棱锥P -ABC 的体积记为V 1，三棱锥P -AMN 的体积记为V 2，则V 2V 1＝________.1∶4 [∵N 为棱PC 的中点，∴V P -ABN ＝12V 1，又M 为棱AB 的中点，则V A -PMN ＝V B -PMN ＝14V 1∴V P -AMN ＝14V 1， ∴V 2V 1＝14.]111为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是________．9π2 [由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10，要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，则r ＝2.此时2r ＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径r 最大．由2r ＝3，即r ＝32.故球的最大体积V ＝43πr 3＝92π.][迁移探究1] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．[解] 将直三棱柱补形为长方体ABCE -A ′B ′C ′E ′，则球O 是长方体ABCE -A ′B ′C ′E ′的外接球，∴体对角线BC ′的长为球O 的直径．因此2r ＝32＋42＋122＝13，故S 球＝4πr 2＝169π.[迁移探究2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解] 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16. [规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[变式训练3] 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________.【导学号：62172231】144π [如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S△AOB＝12R 2.∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O -ABC 最大为13×12R 2×R ＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.][思想与方法]1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高．[易错与防范]1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算．2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．课时分层训练(四十二)A组基础达标(建议用时：30分钟)1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．42π3 [依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V ＝13π(2)2×22＝423π.]2．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为________. 【导学号：62172232】1 [在正△ABC 中，D 为BC 中点，则有AD ＝32AB ＝3，S △DB 1C 1＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A -B 1DC 1底面上的高．∴V 三棱锥A -B 1DC 1＝13S △DB 1C 1·AD ＝13×3×3＝1.] 3．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．4π3[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R ，则2R ＝12＋12＋(2)2＝2，解得R ＝1，所以V ＝4π3R 3＝4π3.]4．已知圆台的母线长为4 cm ，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的12，则这个圆台的侧面积是________ cm 2.24π [将圆台还原为圆锥后的轴截面如图所示，由题意知AC ＝4 cm ，∠ASO ＝30°，O 1C ＝12OA ，设O 1C ＝r ，则OA ＝2r ， 又O 1C SC ＝OA SA ＝sin 30°，∴SC ＝2r ，SA ＝4r .AC＝SA－SC＝2r＝4 cm.∴r＝2 cm.∴圆台的侧面积为：S＝π(r＋2r)×4＝24π(cm2)．]5．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12[设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h′.由题意，得13×6×12×2×3×h＝23，∴h＝1，∴斜高h′＝12＋(3)2＝2，∴S侧＝6×12×2×2＝12.]6．(2017·泰州中学高三摸底考试)在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．3π2[过A作AD垂直BC于D点，则AD＝3，BD＝1，CD＝2.5，因此所形成的几何体的体积是13×π·(3)2(2.5－1)＝3π2.]7．(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．7[设新的底面半径为r，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7，∴r＝7.]8．(2016·苏北三市三模)已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60π cm2，则此圆锥的体积为________cm3.96π[设圆锥的底面半径为r，则S侧＝πr×10＝60π，∴r＝6.∴圆锥的高h＝102－62＝8.∴圆锥的体积V＝13πr2h＝13π×36×8＝96π.]9．(2016·泰州期末)如图42-2，长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥O -ABD 的体积为V 1，四棱锥O -ADD 1A 1的体积为V 2，则V 1V 2的值为________．图42-212 [设AB ＝a ，AD ＝b ，A 1A ＝c ，则V 1＝13S △ABD ·12A 1A ＝13×12ab ×12c ＝abc 12.V 2＝13S 矩形ADD 1A 1·12AB ＝13×bc ×12a ＝abc 6.∴V 1V 2＝12.] 10．(2013·江苏高考)如图13-6，在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F -ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.图13-61∶24 [设三棱柱的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则其体积为V 2＝Sh .因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以△ADE 的面积等于14S .又因为F 为AA 1的中点，所以三棱锥F -ADE 的高等于12h ，于是三棱锥F -ADE 的体积V 1＝13×14S ·12h＝124Sh ＝124V 2，故V 1∶V 2＝1∶24.]11．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________.【导学号：62172233】92π [如图，设球O 的半径为R ，则由AH ∶HB ＝1∶2得HA ＝13·2R ＝23R ，∴OH ＝R 3.∵截面面积为π＝π·HM 2，∴HM ＝1.在Rt △HMO 中，OM 2＝OH 2＋HM 2，∴R 2＝19R 2＋HM 2＝19R 2＋1，∴R ＝324，∴S 球＝4πR 2＝4π·⎝ ⎛⎭⎪⎫3242＝92π.] 12．(2017·南京盐城二模)如图42-3，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．图42-383 [极限法，取E ，F 分别与B 1，C 1重合，则S 三棱锥A -A 1EF ＝13S △A 1B 1C 1·AA 1＝13×12AB 2sin 60°·AA 1 ＝16×16×32×6＝8 3.]B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为223π，则该圆锥的侧面积为________. 【导学号：62172234】3π [设圆锥的母线长为l ，高为h ，则由V ＝13πr 2·h ，得h ＝3V πr 2＝22ππ＝2 2.∴母线l ＝h 2＋r 2＝3，故圆锥的侧面积为S ＝12(2πr )l ＝πrl ＝π×1×3＝3π.]2．(2017·苏州期末)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________.5 [∵2πr 1＝16×10π，∴r 1＝56，同理r 2＝106，r 3＝156，∴r 1＋r 2＋r 3＝306＝5.]3．(2017·扬州期末)已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为________．5 [设正四棱锥的高为h ，则13×42×42×h ＝32， ∴h ＝3，∴底面对角线的长为42×2＝8.侧棱长为32＋42＝5.]4．如图42-4，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF 的体积为________．图42-416 [V D 1-EDF ＝V F -DED 1， △DED 1的面积为正方形AA 1D 1D 面积的一半，三棱锥F -DED 1的高即为正方体的棱长，所以V D 1-EDF ＝V F -DED 1＝13S △DED 1·h ＝13×12DD 1×AD ×AB ＝16.]5．(2017·南京模拟)已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则a 3∶b 3的值为________．π∶3 [正三棱柱的体积V 1＝34a 2·a ＝34a 3，圆柱的体积V 2＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22·b ＝π4b 3. ∴34a 3＝π4b 3，∴a 3∶b 3＝π∶ 3.]6．(2017·无锡期末)在圆锥VO 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面VAB 的距离为________．图42-533 [由题意可知VA ＝VB ＝2，AB ＝ 2.∴V V -AOB ＝13×S △AOB ×VO ＝13×1×1×12×1＝16. ∴V O -ABV ＝13S △ABV ×h ＝13×12×2×2×sin 60°×h ＝16.∴h ＝33.]。