数值分析作业

7、用列主元消去法解线性方程组

123123123

123315,18315,6,x x x x x x x x x -+=⎧⎪

-+-=-⎨⎪++=⎩ 并求出系数矩阵A 的行列式的值。 解：

31223211223,x a a a x x a ，为零，然后选出第二列的主元素，通过交换行，使它放在a 位置，在将我们对方程组的增广矩元素的值变阵做初等变换，先选出第一列的主元素，交换行，放在然后进行初等变换为零，然后回代，解出，，的值。具体过，使得程如下：

183115183

115183115123315017/35017/3511160117/1831/60011/311---------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

所以解为1231,2,3,A -66x x x ===行列式的值为。

8、用直接三角分解（杜利特尔分解）求解线性方程组

1231231231

119,4561

118,3451

282x x x x x x x x x ⎧++=⎪⎪

⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩

的解。

解：因为直接三角分解法将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角

矩阵，因此 设

12

31

452

3

61001

00,100

u u u A l u u l l u ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

根据矩阵乘法计算法则，得 1l =4/3,2l =2,3l =-36

1u =1/4,2u =1/5,3u =1/6,4u =-1/60,5u =-1/45,6u =13/15。

解方程组Ly=b,得

y 1239,4,154,y y ==-=-

同时解Ux=y,得

123227.08,476.92,177.69x x x =-==-

9、用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中

2100012100012100012100012A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,10000b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

解：

设A 可以分解为

1

12233

445211112111121111211

1121l u l u l u l u l -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---⎢

⎥⎢⎥⎢⎥---⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ 根据矩阵乘法的运算法则，联立可解得

1234512342,3/2,4/3,5/4,6/5,1/2,2/3,3/4,4/5,l l l l l u u u u ======-=-=-=-

由

Ly=b,解得

y 123451/2,1/3,1/4,y 1/5,1/6y y y =====; 再由

Ux=y,解得

123455/6,2/3,1/2,1/3,1/6x x x x x =====

12

||x ||(Ax,x),||x ||15n

A A A =试证明为

、设为对称正定矩阵，定义上向量的一种范数。

证明：要证明该命题，只需证明||x ||A 满足向量范数的三个条件。。

（1） 因A 正定对称，所以当x=0时， 1

2

||x ||(Ax,x)A ==0；而当x ≠0时，

12

||x ||(Ax,x)A =>0.

（2） 对任意α

属于

，有

|12

1112

2

2

2.

22222||x||(A ,)||||||x ||.(3)A ,||x||(A )(x)((x)(x))||x ||,||||||x+y||||(x+y)||||x y |||||||||||A A T T

T

T

T

T

T

T A n

T T T T T A x x x x x x y x y ααααα========∙==+≤+=因为正定，故有分解A=LL 因而

LL L L L 对任意属于，由的三角不等式有

L L L L L |x ||||y ||,

A A +所以待征成立。

17、矩阵第一行乘以一数，成为

111

22=(A)113023||,||,3

||A||22,||,311,

122|1|

||||.||

26||3,||,3(A)=||||||A||122(2),||,3A cond A A cond A λλλλλλλλλλλλλλλλ∞∞--∞-∞∞∞⎛⎫=± ⎪

⎝⎭

≠⎧

≥⎪⎪=⎨

⎪<⎪⎩

-⎛⎫= ⎪-⎝⎭+=⎧

+≥⎪⎪=⎨

⎪+<⎪⎩

，证明，当时，有最小值。证明：设，则于是

所以待证成立。