数理方程课件 第一章典型方程与定解条件
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数理方程第1讲-课件
x xy y 3
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
数理方程课件
数理方程课件数理方程是数学中的重要分支，它研究方程的解和性质。
随着计算机技术的不断发展，数理方程的研究变得越来越重要，其在科学、工程和金融等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍数理方程的基本概念、解的求解方法和一些经典方程的应用案例。
一、数理方程的基本概念数理方程是指含有未知数和已知数之间关系的等式。
它通常由代数方程、微分方程和积分方程组成。
在数理方程的研究中，我们需要关注方程的次数、阶数和特殊形式，并通过分析方程的性质来解决相关问题。
在解数理方程时，我们常用的方法包括代数方法、几何方法和数值方法。
其中，代数方法主要通过变换和化简方程，将其转化为更简单的形式进行求解；几何方法通过图形和几何关系来推导方程的解；数值方法则借助计算机的力量，利用数值逼近的方法求解方程。
二、数理方程的解的求解方法1. 代数方程的解的求解方法代数方程是最常见的数理方程形式，其解的求解方法众多。
常见的方法包括因式分解、配方法、二次公式、根号法等。
例如，对于一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$，我们可以使用二次公式来求解：$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$2. 微分方程的解的求解方法微分方程描述了函数与其导数之间的关系，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、齐次线性微分方程的解法等。
例如，对于一阶线性微分方程$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$，我们可以使用常数变易法进行求解。
3. 积分方程的解的求解方法积分方程是利用积分关系表达的方程，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、特殊积分方程的解法等。
例如，对于柯西问题（Cauchy problem）中的积分方程$u(x)=f(x)+\int_{a}^{x} K(x, t) u(t) d t$，我们可以使用定积分的性质进行求解。
三、常见数理方程的应用案例1. 常微分方程的应用常微分方程在物理学、化学、生物学等领域有着重要的应用。
数理方程第一讲 定解问题1-1
u2 x2
g………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
忽略重力作用：
2u t 2
a2
u2 x2
------齐次方程
t 设作用在该弧段上的外力密度函数为 F(x,t) ，那
末该弧段 M¼M 在时刻 t所受沿轴方向的外力近
似地等于 F(x,t)x. ，于是纵向方程为
T(u (x x,t) u (x,t)) F(x,t)x u x,
定解问题的分类
初值问题(Cauchy Problem)：无边界条件（环 境对问题的影响可以忽略不计）
边值问题：无初始条件（历史对问题的影响可 以忽略不计） 第一边值问题(Dirichlet Problem) 第二边值问题(Neumann Problem) 第三边值问题(Robin Problem)
的值，即
u f , n
(1.3.10)
其中n表示 的外法线方向。式(1.3.10)称为第二类边界条 件，又称诺伊曼(Neumann)边界条件。
在边界 上给出未知函数u及其沿 的外法线方
向导数的某一线性组合的值，即
u n
u
f
(1.3.11)
式(1.3.11)称为第三类边界条件，又称罗宾(Robin)边
第一章 典型方程和定解条件的推导
➢包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题)
uutt
0
a2(uxx
(x, y
u yy ,z)
uzz
)
0
(u u) f ( x, y, z, t )
数学物理方程
☆ 数学和物理的关系
数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程定义
用数学方程来描述一定的物理现象。
数理方程第1讲
CDx
v+Dv
x+Dx
10
L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
11
i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
26
D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
32
例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
《数理方程》第一讲
1 2
通过Ω 的边界流出Ω 外的热量为Q2 ， Ω 内温度变化所需要的热量为 Q3 。
10
9.1.2 热传导方程的导出
则
Q1
Q1 Q2 Q3
t2 t1
1.6
F ( x, y, z, t )dVdt
1.7
由热力学的Fourier实验定理得：
t2 u u dQ 2 k d dt Q2 k d dt t1 n n
1.13
16
9.1.2 热传导方程的导出
可得
U U 2U R GU C t L G t C t2 2U 2U U LC RC LG RGU 2 2 t x t 2U I 2I I U R L 2 x IR L t t t t x2 I I U 2U U 2 G C GU C x xt x t x
20
9.1 典型方程的建立
三类典型方程： 波动方程 热传导方程 Poisson方程
utt a 2 u f
ut a 2 u f
u g
21
9.2
定解条件与定解问题
utt a2 u f ut a2 u f
u g 三类方程 如果有解，则其解应该不唯一。 在这众多的解中确定出所需要的解，还需要 增加另外的条件，即定解条件，使之成为定 解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即 存在性、唯一性和稳定性。
Q3
t2 t1
u u u k ( cos cos cos )dSdt t1 x y z t2 2u 2u 2u Q2 k 2 2 dvdt 2 t1 y z x
通过Ω 的边界流出Ω 外的热量为Q2 ， Ω 内温度变化所需要的热量为 Q3 。
10
9.1.2 热传导方程的导出
则
Q1
Q1 Q2 Q3
t2 t1
1.6
F ( x, y, z, t )dVdt
1.7
由热力学的Fourier实验定理得：
t2 u u dQ 2 k d dt Q2 k d dt t1 n n
1.13
16
9.1.2 热传导方程的导出
可得
U U 2U R GU C t L G t C t2 2U 2U U LC RC LG RGU 2 2 t x t 2U I 2I I U R L 2 x IR L t t t t x2 I I U 2U U 2 G C GU C x xt x t x
20
9.1 典型方程的建立
三类典型方程： 波动方程 热传导方程 Poisson方程
utt a 2 u f
ut a 2 u f
u g
21
9.2
定解条件与定解问题
utt a2 u f ut a2 u f
u g 三类方程 如果有解，则其解应该不唯一。 在这众多的解中确定出所需要的解，还需要 增加另外的条件，即定解条件，使之成为定 解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即 存在性、唯一性和稳定性。
Q3
t2 t1
u u u k ( cos cos cos )dSdt t1 x y z t2 2u 2u 2u Q2 k 2 2 dvdt 2 t1 y z x
数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数理方程课件一
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
3、拉普拉斯方程
稳定的温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 即变为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∂2u ∂2u ∂2u 1 + 2 + 2 = − 2 f (x, y, z) ∂x2 ∂y ∂z a
如果在位移方向上还受外力的作用， 如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度上受 的外力为 f, 则
单位质量所受外 力，力密度
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
说明： 说明：
• 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t为 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t 自变量的常微分方程； 自变量的常微分方程； • 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 x,t的函数 x,t 量的偏微分方程。 量的偏微分方程。 • uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。 • utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。 项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
导出步骤： 导出步骤：
1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分， 近部分与它的相互作用。 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。 化简、整理。
数理方程课件
详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
第一章 典型方程与定解条件
初始条件 边界条件
第一章 典型方程和定解条件的推导
如果薄膜上有横向外力作用，设外力面密度为 F ( x, y, t ) ，则得 2u 2 a 2 u f ( x, y , t ) 2 t 其中 f ( x, y , t ) F ( x, y , t ) ， 2 2 为二维拉普拉斯算子。 2 2 2 x y
第一章 典型方程和定解条件的推导
在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量 为 x , y, z , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考 察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同 一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导 方程 2 u u 2 a t x 2 类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的 侧面绝热, 可以得到二维热传导方程
例5 静电场的势方程
x
y
z
静电学基本定律：穿过闭合曲面向外的电通量等于区
故 4E 倍，即 域内所含电量的 dV 4 dV div
即
E n dS 4 ( x , y , z ) dV divE 4 ( x, y, z )
第一章 典型方程和定解条件的推导
例 4. 热传导方程
如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从 温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。
考虑物体G 内的热传导问题。函数u(x,y,z,t) 表 示物体G 在位置 M(x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过 对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建 立方程。 假设：假定物体内部没有热源，物体 的热传导系数为常数，即是各向同性 的，物体的密度以及比热是常数。
第一章 典型方程和定解条件的推导
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与时间变量无关，不提初始条件
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 弦振动方程的边界条件
(1)固定端：振动过程中端点 (x=a) 保持不动，其边界条件为：
u|xa0 或： u(a,t)0 第一类边界条件
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
ns
ns
(3)热交换状态
第二类边界条件
牛顿冷却定律：单位时间内物体单位表面积与周围介质交
换的热量，同物体表面温度与周围介质温度差成正比。
dQ k1(uu 1)dSdt
k
u n
dSdt
k 1 热交换系数；u 1 周围介质的温度
u nuSu1S,
k1
k
第三类边界条件
边界条件
第一类边界条件
给 出 边 界 上 各 点 的 函 数 值 : u |s f 第二类边界条件
• 在 杆 中 隔 离 一 小 段 ( x , x d x ) , 分 析 受 力 情 况
截面x：受到弹(应)力P(x,t)S; 截面xdx：受到弹力P(xdx,t)S, P为单位面积所受的弹力，沿x轴方向.
牛顿运动定律：
dm 2 tu 2[P (xdx,t)P (x,t)]S.
dm 2u[P (xdx,t)P (x,t)]S. t2
2u2u2u0 ( Laplace方程 ) x2 y2 z2 ( 位势（Possion）方程 )
19世纪打开偏微分方程研究热烈局面的第一人是傅立叶 (Fourier)，当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要 确定物体内部各点的温度如何随时间变化。Fourier对这种 热流动问题颇感兴趣，1807年向巴黎科学院提交用数学研 究热传导的论文并创立了分离变量法：
数理方程重点总结.ppt
据此，解得G( x)
G( x) x2 H (0)
(5)
因此有
u( x, y) 1 x3 y2 H( y) x2 H (0)
(6)
6
又 依 据 u(1, y) cos y， 代 入 （6） 式 ， 有
cos y 1 y2 H ( y) 1 H (0) 6
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
泛定方程 边 界 条 件 （ 第 一 类 、 第二 类 ！ ！ ！ ） 初始条件
数学物理方法
第二讲
直接积分法
( Method of Direcit Integration )
另附：直接积分法 解微分方程边值问题
a2
d 2W ( x) d x2
f (x) 0
(5)
W ( x) x0 M（1 常数），W ( x) xl M（2 常数） , t 0
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
T a2T 0 （ 时 间 变 量 的 微 分方 程）
X X 0 （空间变量的微分方程）
二 、 空 间 变 量 常 微 与 边界 条 件 捆 绑 ， 构 成 本 征值 问 题 。 （ 解 本 征 值 问题 ）
X X 0
(1)
u x
u
0,
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u( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u (x , t ) 其中： dx x 2 dx x x x x u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) 忽略重力作用： T x 2 g dx t 2 dx 2 2 u u
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
5
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
常见数学物理方程的导出
•确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度 •根据物理规律建立微分方程 •通过合理的数学近似对方程进行化简
2
分离变量法
行波法 积分变换法 格林函数法
贝塞尔函数 勒让德函数
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
微积分知识回顾 哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla
ˆ ˆ ˆ i j k x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
2u 0
空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布
两种特殊函数
贝塞尔方程 x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0 的解：贝塞尔函数 J n (x) 勒让德方程 (1 x 2 ) y 2xy n(n 1) y 0的解：勒让德函数 Pn (x)
2 1
S
2
t1
V
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
t2 t1
流入的热量： Q1
k 2udV dt
V
流入的热量导致V内的温度发生变化
S
n
V u( x, y, z, t1 ) u( x, y, z, t 2 ) S 温度发生变化需要的热量为： 热场 Q2 c u ( x, y, z , t 2 ) u ( x, y, z , t1 )dV V t2 t 2 u u c dtdV t c dVdt t1 t 1 t V V t2 t2 u 2 Q1 Q2 t1 k udV dt t1 c t dVdt V V u k 2 u a 22u 热传导方程 t c 如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程 u a 2 2u f t
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
波的传播的相关模拟
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
的约束情况的条件。
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t 0 ( x) u ( x) t t 0
系统各点的初位移 系统各点的初速度
2 H 1 2 H 2 H 2 H ( 2 2 2 ) ——磁场的三维波动方程 2 t x y z
2 E 1 2 同理可得： E 2 t
E H t H E t E 0 H 0
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
三类偏微分方程
2u ☆波动方程： a 2 2u t 2 琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等 u a 2 2u ☆热传导方程： t 热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动
☆拉普拉斯方程：
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。 u T 0 u 0 ux (a, t ) 0 第二类边界条件 x x a x x a (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 u T k u xa 或 u u 0 第三类边界条件 x x a x xa
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
汤燕斌 华中科技大学数学与统计学院 tangyb@
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的 ☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。 ☆ 课程的主要内容 三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数 波动方程 热传导 拉普拉斯方程
第二类边界条件
u dQ k1 (u u1 )dSdt k dSdt k1 n k1交换系数；1周围介质的温度, u k u u u1 S 第三类边界条件 n S
C、拉普拉斯方程的边界条件
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到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
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数学物理方程与特殊函数
u | x a 0,
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第1章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件
(1) 给定温度在边界上的值 (S为给定区域v 的边界)
u |s f
(2) 绝热状态
第一类边界条件
(3)热交换状态 牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
u 0 n s
数学物理方程定解问题的提法
泛定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）
定解问题：
定解条件（初始条件，边界条件）
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。 不受外力影响。 研究对象：u ( x, t ) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
T u ( x, t ) u ( x, t ) T 令： 2 g a 2 2 x 2 t2
2 2
t
2
a2
x
2
--齐次பைடு நூலகம்程
u 2 u a g 2 2 t x
………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件
不含初始条件，只含边界条件条件
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下午11时23分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为： 第一类边界条件 或： u (a, t ) 0
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M
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例4、静电场
确定所要研究的物理量：电势u 根据物理规律建立微分方程： u 对方程进行化简：
E
E /
E (u) u 2u /
2u / 泊松方程
2 u 0 拉普拉斯方程
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上
第1章 典型方程和定解条件的推导
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起，就构成了一个定解问题。
——电场的三维波动方程
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。 所要研究的物理量： 温度 u ( x, y, z, t )
S
V
n
根据热学中的傅立叶试验定律
M
在dt时间内从dS流入V的热量为： 热场 u ˆ ˆ dQ k dSdt k u ndSdt ku dSdt n t ˆ dt 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 Q1 ku dS t S 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） t Q1 k 2udV dt
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导