八年级升九年级数学暑假衔接班讲义第7讲角的平分线沪科版
沪科版数学八年级上册15.4.2角的平分线的判定课件(共26张PPT)
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边）
QD＝QE （已知） ∴ Rt△QDO ≌ Rt△QEO（HL） ∴ ∠QOD＝∠QOE（全等三角形对应角相等） ∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义）
解:(1)
∵ EP = EQ ， EP⊥AM ，EQ⊥AN ，（已知）∴ 点 E 在∠NAM 的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
(2)
归纳小结
知识点1 角平分线的判定定理
定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
知识点2 三角形的三条内角平分线交点的性质
定理：三角形三条内角平分线相交于一点， 这点到三角形三边的距离相等.
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， ∴△ BDE 和△ CDF 是直角三角形． ∵ BD=DC， BE=CF， ∴ Rt △ BDE ≌ Rt △ CDF，(HL) ∴ DE ＝ DF. ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE ＝ DF， ∴点 D 在∠BAC 的平分线上， 即AD 是△ABC 的角平分线．
Q
M
N
新知引入
知识点2 三角形的三条内角平分线交点的性质
定理：三角形三条内角平分线相交于一点， 这点到三角形三边的距离相等.
如图，在△ ABC 中，AD，BM，CN分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边 BC，AB，AC 的距离 (OE，OG，OF 的长) 相等，即 OE = OG = OF.
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线15.4.2 角的平分线的判定
八年级升九年级数学 暑假衔接班讲义 第7讲 角的平分线 沪科版
第7讲、角的平分线考点讲解：1. 角的平分线定义：在角的内部，从角的顶点引出的一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线。
2. 角的平分线作图：如图（1），射线OC 就是∠AOB 的角平分线。
PNMCBOAPNMCBOA图（1） 图（2） 3. 角的平分线定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
如图（2）， ∵∠AOC=∠BOC ，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM=PN 。
4. 角平分线定理的逆定理：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
如图（2），∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN ，∴∠AOC=∠BOC 。
5. 三角形的三条角平分线的性质：如图，三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（三角形的内心）【典型例题】 例1. 如图（1），∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC∥OB 交OA 于点C ，PM⊥OB 于点M 。
求证：PC=2PMCM PBAO图（1） 图（2）例2. 如图（3），PA=PB ，∠A+∠B=180°。
求证：点P 在∠AOB 的角平分线上。
EF NM AP图（3） 图（4）例3. 如图（5）△ABC 的外角∠CBM 和∠BCN 的角平分线相交于点P 。
求证：点P 在∠MAN 的角平分线上。
图（5） 图（6）例4. 如图（7），在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在斜边AB 上点E 处，求DE 的长。
EDBCA图（7）【模拟试题】 一、选择题1. 如图，点P 在∠AOD 的角平分线上，PC ⊥OA ，PB ⊥OD ，则图中的全等三角形共有多少对（ ）。
A 、2B 、3C 、4D 、5PCDBA O2. 到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的（ ） A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条角平分线的交点 D 、三条边的垂直平分线的交点3. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DC=5cm ，则点D 到线段AB 的距离为（ ）A 、5cmB 、4cmC 、3cmD 、2cm4. 如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，AD=2cm ，则DC 的长为（ ）DCBAA 、 2cmB 、4cmCcm D、二、填空题5. 三角形的三条角平分线 ，并且 。
沪科版八年级数学上册15.4角的平分线课件
BE与∠C的平分线CF相交于点P。 A
求证：AP平分∠BAC。
证明：过点P分别作PM
BC于M，PNAC于N，
Q
F
E
PN
PQAB于Q。
∵ BE是B的平分线，点P在BEB上（已知）M C
PQ＝PM
（角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理：PN＝PM
PN＝PQ（等量代换）
AP平分BAC
（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
如图，OP是∠AOB的平分线，
P是OP上的任一点，过点P分别作
PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D。你
能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？
证明你的猜想。
B
D
P
O
C
A
B
猜想：PC＝PD
D
证明：
P
∵ OP平分∠AOB（已知） O
C
A
∴∠AOP＝∠BOP（角平分线定义）
∵ PC⊥OA，PD⊥OB（已知）
A、等腰三角形
B、等腰直角三角形
C、非等腰三角形 D、等边三角形
1、如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP
与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作
PE⊥AB于点E。若PE＝2，则两平行线AD
与BC间的距离为＿＿4 ＿。
A
D
A
E P
B
C
BD
C
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，若BC
＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且
1、通过折纸可以作一个角的角平分 线，也可以用＿量＿角＿器＿＿来画一个角 的平分线。
2、角是＿轴＿对ห้องสมุดไป่ตู้称＿＿图形，角＿平＿分＿线＿ 所在的直线是它的对称轴。
角的平分线ppt 沪科版
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
角平分线 的性质：
角平分线上 的点到角两 边的距离相 等。
选择题
下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角 的边上的距离的是（ ） 图1
M
N
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
15.4 角的平分线(课件)沪科版数学八年级上册
感悟新知
知2－练
例 2 如图15.4-5，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心， BC长为半径作弧，交AC于点D(点D与点C不重合)， 连接BD，再分别以点C，D为圆心，大于 12CD的长为半径作弧，两弧相交于点E， 作射线BE交AC于点F. 若∠A＝40 °， 则∠DBE的度数为( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
知2－讲
感悟新知
2. 过直线外一点作已知直线的垂线 已知：直线l与直线外一点A， 如图15.4 - 4 . 求作：直线AB，使AB⊥l于点B.
过直线外一点作已知直线的垂线，其作法类 似于线段垂直平分线的尺规作图法.
知2－讲
感悟新知
作法：① 任意取一点K，使K和A在直线l的两旁； ②以点A为圆心，AK长为半径画弧，交 直线l于点M，N；
∠BDE＝∠CDF， 在△BDE和△CDF中，ቐ∠DEB＝∠DFC，
BE＝CF， ∴△BDE≌△CDF.(AAS)∴ DE＝DF. 又∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴ AD平分∠BAC.
知4－练
感悟新知
知4－练
方法点拨：等线段证角平分线法： 要证某线是角的平分线，只需从要证的线上的某一点 向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可. 这样把证 角平分线的问题转化为证垂线段相等的问题，体现了转化 思想的应用.
知3－练
感悟新知
知3－练
3-1. [期末·滁州] 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，AD 平分∠BAC交BC于点D，若DB∶DC＝3∶2，S△ADC＝ 16，AB＝12，则CD的长为( A ) A. 4 B. 3 C. 8 D. 6
感悟新知
知4－讲
知识点 4 角平分线性质定理的逆定理(角平分线的判定)
新沪科版八年级上册初中数学 课时1 角的平分线的作法与性质 教学课件
新课讲解
角的平分线的画法2： 也可以用量角器来画一个角的平分线. 角的平分线的画法3：下面介绍用尺规作图的方法作出 ∠AOB的平分线（如图）.
新课讲解
作法
1.以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA,OB于点M,N,如图（1）. 2.分别以点M,N为圆心，以大于 MN长为半径(为什么？）在角的内
过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最 常用的作辅助线的方法．
课堂小结
角
法 与 性 质
的 平 分 线 的
作
角的平分线的画法 角的平分线的性质
当堂小练
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，AD是∠BAC的 平分线，DE⊥AB于点E.若AB＝10 cm，求△DBE的周长． 导引：要求△DBE的周长，实质是求BE＋DE＋BD的长， 而题中已知 AB＝10 cm，因此需证DE＋BD＝AE，又AD 是角平分线及垂直条件知DE＝CD，所以需证BC＝AE，由 BC＝AC，因此只需证 AC＝AE，它可由 Rt△ACD≌Rt△AED得出．
当堂小练
解：∵AD平分∠CAB，且∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE. 又∵∠C＝∠DEA＝90°，AD＝AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE. 又∵AC＝BC， ∴AC＝AE＝BC. ∴DE＋EB＋BD＝DC＋EB＋BD＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB. 又∵AB＝10 cm，
过一点作已知直线的垂线： 1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线：
如图所示，已知直线AB和AB上一点C，作AB的垂线，使它经过点C. 作法：如图所示．
第一步：作平角ACB的平分线CF； 第二步：反向延长射线CF.直线CF就是所要求作的垂线．
泸科版八年级数学上册教案 角的平分线
义务教育基础课程初中教学资料15.4 角的平分线教材分析本节知识是在学习了角平分线的定义及其度量法作法；两条直线互相垂直，垂线的概念及用三角尺作垂线的方法；全等三角形，等腰三角形等知识后进行的。
它首先探索了角平分线的尺规作法，并在此基础上接着学习了过一点作已知直线垂线的尺规作法。
它们是几何的基本作图，也是今后进一步学习、研究几何知识的重要基础。
知识 1.掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法。
能力目标1培养学生用直尺和圆规作图的能力及有条理地语言表达能力。
2.培养学生分析问题和解决问题的能力。
教学目标情感价值在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中，培养学生的几何直觉；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性。
教学重点角平分线及垂线的尺规作法教学难点角平分线的尺规作法的探索过程教学设想1.本节课在设计时我曾想通过等腰三角形的三线合一的性质来设计，但考虑到学生对这一性质掌握不够，于是就按三角形全等的知识来设计。
2.在探索角平分线的尺规作法时，原考虑利用教材第110页B组复习题的第1题改编做一个简易的平分角的仪器来解决这一重、难点，但考虑到时间不够，也考虑到学生的接受能力，就降低了难度，利用折纸做的角来突破难点。
3.本节课的两个练习较难，且课后习题没有关于本节课的题目，所以利用练习的第2题，另补充了一道题作为课后作业，同时鼓励学生做好预习，为下一节课打下了伏笔。
4.教学方法设计为引导——发现法教具三角板，圆规，纸做的角教学过程设计教学流程教师活动学生活动温故知新导入新课1.提出问题：什么是角平分线？2.如图，已知∠AOB，如何作∠AOB的角平分线呢？回忆思考回答目标前面我们所讲的是度量法及折叠法，今天将探索。
沪科版数学八年级上册-15.4《角的平分线》教案
角的平分线【教学目标】（―）知识与技能：1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理。
2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等。
（二）过程与方法：1.经历探索角平分线作法的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察能力。
2.探索角平分线定理，培养学生认真探究、积极思考的能力。
（三）情感、态度与价值观：1.体验数学与生活的联系，发展学生的空间观念和审美观。
2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，使学生具有一些初步研究问题的能力。
【教学重点】角平分线的性质定理及其逆定理。
【教学难点】理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理。
【教学过程】一、创设情境，导入新知。
师：同学们知道怎样作出角的平分线吗？31：可以通过折纸得到一个角的平分线。
42：也可以用量角器来画一个角的平分线。
师：下面我们来学习用尺规作图的方法作出NAOB的平分线。
作法：（-）以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图（1）。
（二）分别以点M、N为圆心，以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图（2）。
（三）作射线OP,则OP为所要求作的NAOB的平分线，如图（3） o师：通过上面的作图，启发我们可以用尺规完成：“经过一点作已知直线的垂线。
” 由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分两种情况：1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB和AB上一点C,如图（1）。
求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：作平角ACB的平分线CFo直线CF就是所求的垂线。
2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB和AB外一点C,如图（2）。
求作：AB的垂线，使它经过点C.作示：（1）任意取一点K,使K和C在AB的两旁；（2）以点C为圆心、CK长为半径作弧，交AB于点D和E；（3）分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；（4）作直线CF。
直线CF就是所求的垂线。
沪科版八年级上册数学：角平分线的性质定理(公开课课件)
A
A
D C
D C
P
P
O
EB
O
E
B
（A）
A D
C
（B）
A D
C
P
O
E
B
（C）
P
O
E
B
（D）
2. （1）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD ＝2cm，则点D到AB的距离为 2 cm．
（2）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，
DE⊥AB，垂足为点E，BC=5cm， 则BD+DE= 5 cm.
AB有什么位置关系？
3.结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到经过直线上一点作这条直线的 垂线的方法。
2.经过直线外一点作这条直线的垂线的方法。
当点C在直线AB外时：
作法：
1)任意取一点K，使K和C在AB的两旁；
2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E;
3)分别以点D和点E为圆心，大于 1 D的E 长为半径
Ｂ
N P
2_作大_、_弧于_分适_，12_别当_M两__以N条_M的_圆_、长__弧N_为为交半圆于径心，
∠AOB内一点__P__；
Ｏ
MA
3、作射线__O_P__； _O_P_就是所求作∠AOB的平分线。
C
1.平分平角∠AOB B M O
NA
D
2.通过上面的步骤，得到射线OC以后，把
它反向延长得到直线CD，直线CD与直线
CD B 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需
沪科版八年级数学上册教学课件《角的平分线》ppt
B
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 3 .
三 三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线， 你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这个 结论吗？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
证明结论
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC 于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.
FG⊥AE， FHA ⊥AD，
E G
C
M
F
B HD
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，
的两边分别交于M、N两点； 2.分别以 _M__、__N为圆心，
_大__于___12__M__N的长为半径作弧，两条
B
N P
圆弧交于
∠AOB内一点__P__；
Ｏ
M
A
3.作射线__O__P_； __O__P_就是所求作∠AOB的平分线.
想一想：为什么OP是角平分线呢？ 已知：OM=ON，MP=NP. 求证：OP平分∠AOB.
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角平分线
第1课时 角平分线的尺规作图
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到 木板、钢板的角平分线吗？
沪科版八年级数学 15.4 角的平分线(学习、上课课件)
4. 依据作图可知△OMC≌△ONC，(SSS)所以OC平分∠AOB.
感悟新知
知1－练
例 1 如图15.4-2，已知∠AOB，求作：∠AOM，使 ∠AOM＝14∠AOB. 解题秘方：利用尺规作图作 两次角平分线，可得原角的 四分之一角.
③分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为 半径画弧，两弧交于点P； ④作直线AP交直线l于点新知
特别解读
知2－讲
1. 过一点作已知直线的垂线要分两种情况，点在直线上和点在直线外.
2. 经过直线上一点作这条直线的垂线，相当于作一个平角的平分线.
3. 大于12MN的长为半径画弧是为了保证两弧有交点. 4. 作直线AB，不能作线段或射线. 5. 过直线外一点作已知直线的垂线时，使K和A在直线l的两旁是为了
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线
学习目标
1 课时讲解 作已知角的平分线
过一点作已知直线的垂线 角平分线的性质 角平分线性质定理的逆定理(角平
分线的判定)
2 课时流程 三角形的角平分线的性质(拓展点)
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 作已知角的平分线
度. 两者缺一不可.
感悟新知
2. 几何语言 如图15.4 - 6， ∵ OC平分∠AOB，P为OC上一点， PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E， ∴ PD＝PE.
知3－讲
感悟新知
知3－讲
特别提醒 ◆角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到
一个结论(线段相等). ◆利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是
沪科版八年级上册-数学-课件-15.4-角的平分线
旅游发展，某地要在三 条公路围成的一块平地 上修建一个度假村.要使 这个度假村到三条公路 的距离相等,应在何处修 建?
想一想 在确定度假村的位置时,一定要画
出三个内角的平分线吗?
2、选一选 直线表示三条相互交叉的公路,现要建一 个货物中转站,要求它到三条公路的距离相
等,则可供选择的地址有:( ) D
所以： 角平分线可以看做到角的两边
距离相等的所有点的集合而形成 的一条射线
活动探究，解决问题
问题1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和 公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个 集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
s
解： 作夹角的角平分线OC，在OC 上截取OD=2.5cm ,则点D即为所求。
3、三角形内角平分线相交的结论 ：三角形三条内角平分线相交于一 点，这点到三角形三边的距离相等 4。、三角形外角平分线相交的结论 ：三角形相邻两个外角平分线与第 三个内角平分线相交于一点，这点 到三角形三边的距离相等。
能力提升
已知：如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点，
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
例2、已知：如图，在Rt△ABC与Rt△EDC中 ，∠BAC=∠DEC=90°，CB=CD，BA=DE ，AB、ED的延长线相交于点P。
求证：CP平分∠APE
A
B
C
P DE
已知：如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点 F，BE、CF相交于点D，BD=CD。
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB
DC
M
A
沪科版八年级数学上册课件：15.4角的平分线的性质
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
D
MC
C
E
D
O
A
EB
4、
A △ABC中，
N ∠
C=
B
900
，
AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_2_0_c_m_____.
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD
交于G。求证：
（1） ∠DEF=∠DFE。
A
（2）AE=AF （3） AD⊥EABC的平分线,AB=BC,点P 在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N. 求证:PM=PN
A
M
P
D
B
N
C
15.4 角平分线的性质
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
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第7讲、角的平分线
考点讲解：
1. 角的平分线定义：在角的内部，从角的顶点引出的一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线。
2. 角的平分线作图：如图（1），射线OC 就是∠AOB 的角平分线。
图（1） 图（2） 3. 角的平分线定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
如图（2）， ∵∠AOC=∠BOC ，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM=PN 。
4. 角平分线定理的逆定理：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
如图（2），∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN ，∴∠AOC=∠BOC 。
5. 三角形的三条角平分线的性质：如图，三角形的三条角平分线交于一
点，并且这一点到三条边的距离相等。
（三角形的内心）
【典型例题】
例1. 如图（1），∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC∥OB 交OA 于点C ，PM⊥OB 于点M 。
求证：PC=2PM
C
M P
B
A
O
图（1） 图（2）
例2. 如图（3），PA=PB ，∠A+∠B=180°。
求证：点P 在∠AOB 的角平分线上。
P
图（3） 图（4）
例3. 如图（5）△ABC 的外角∠CBM 和∠BCN 的角平分线相交于点P 。
求证：点P 在∠MAN 的角平分线上。
图（5） 图（6）
例4. 如图（7），在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在斜边AB 上点E 处，求DE 的长。
E
D
B
C
A
图（7） 【模拟试题】 一、选择题
1. 如图，点P 在∠AOD 的角平分线上，PC ⊥OA ，PB ⊥OD ，则图中的全等三角形共有多少对（ ）。
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
P
C
D
B
A O
2. 到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的（ ） A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条角平分线的交点 D 、三条边的垂直平分线的交点
3. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DC=5cm ，则点D 到线段AB 的距离为（ ）
A 、5cm
B 、4cm
C 、3cm
D 、2cm
4. 如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，AD=2cm ，则DC 的长为（ ）
D
C
B
A
A 、 2cm
B 、4cm
C
D
、
二、填空题
5. 三角形的三条角平分线 ，并且 。
6. 如图，△ABC 中，BD 是角平分线，DE ⊥AB ，AB=18cm ，BC=12cm ，2ABC cm 36S =∆，则线段DE= 。
7. 如图，点P 是△ABC 的内角ABC 和外角ACD 的角平分线的交点，点P 到边AC 的距离为4cm ，则点P 到边AB 的距离是 。
三、解答题
8. 如图，点P 在∠AOB 的角平分线上。
PA=PB ，求证：∠A+∠PBO =180°。
D
B A
O
P
9. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，沿经过点B 的一条直线折叠△ABC ，使点C 恰好落在斜边AB 的中点E 处，求∠A 的度数。
D C B
A
E
D A
B
P
D
C
B
A
E D
C
B
A
10. 如图，要在三条公路AB 、AC 、BC 之间修建一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，加油站应建在什么位置？
C
B
A。