导数简单应用与定积分习题及详案
高考数学复习：导数的简单应用与定积分
高考数学复习：导数的简单应用与定积分A 组1．(文)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′(π2)＝( C )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π[解析] ∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′(π2)＝－1π＋2π·(－1)＝－3π．(理)已知⎠⎛1e (1x－m )d x ＝3－e 2，则m 的值为( B )A ．e －14eB ．12C ．－12D ．－1[解析] ⎠⎛1e (1x－m )d x ＝(ln x －mx )|e 1＝(lne －m e)－(ln1－m )＝1＋m －m e ＝3－e 2，∴m ＝12.故选B ．2．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( A ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1[解析] k ＝y ′|x ＝0＝(e x ＋x e x ＋2)|x ＝0＝3， ∴切线方程为y ＝3x －1，故选A ．3．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由条件知(1，f (1))在直线x －y ＋2＝0上，且f ′(1)＝1，∴f (1)＋f ′(1)＝3＋1＝4．4．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调递增区间是( C )A ．(－43，0)B ．(0，43)C ．(－∞，－43)，(0，＋∞)D ．(－∞，－43)∪(0，＋∞)[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－2mx ，所以f ′(－1)＝3＋2m ＝－1， 解得m ＝－2.所以f ′(x )＝3x 2＋4x ． 由f ′(x )＝3x 2＋4x >0，解得x <－43或x >0，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－43)，(0，＋∞)，故选C ．5．若函数f (x )＝lo g a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a 的取值范围是( B )A ．[14，1)B ．[34，1)C ．(94，＋∞)D ．(1，94)[解析] 由x 3－ax >0得x (x 2－a )>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x 2－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2－a <0，所以x >a 或－a <x <0，即函数f (x )的定义域为(a ，＋∞)∪(－a ，0)． 令g (x )＝x 3－ax ，则g ′(x )＝3x 2－a ， 当g ′(x )≥0时，x ≥3a3，不合要求， 由g ′(x )<0得－3a3<x <0． 从而g (x )在x ∈(－3a3，0)上是减函数， 又函数f (x )在x ∈(－12，0)内单调递增，则有⎩⎨⎧0<a <1，－a ≤－12，－3a 3≤－12，所以34≤a <1．6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0，π2]上的最大值是6．[解析] y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，且x ∈[0，π2]，得x ＝π6，则x ∈[0，π6)时，y ′>0；x ∈(π6，π2]时，y ′<0，故函数在[0，π6)上递增，在(π6，π2]上递减，所以当x ＝π6时，函数取最大值π6＋3． 7．(文)若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是____(－∞，0)__． [解析] 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0．(理)如图，已知A(0，14)，点P(x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x 0＝4．[解析] 因为点P(x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上， 所以y 0＝x 20，则△OAP 的面积S ＝12|OA||x 0|＝12×14x 0＝18x 0，阴影部分的面积为∫x 00x 2d x ＝13x 3|x 00＝13x 30，因为阴影部分面积与△OAP 的面积相等， 所以13x 30＝18x 0， 即x 20＝38． 所以x 0＝38＝64． 8．(文)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．[解析] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′(－43)＝0， 即3a ·169＋2·(－43)＝16a 3－83＝0，解得a ＝12．(2)由(1)得g (x )＝(12x 3＋x 2)e x ，故g ′(x )＝(32x 2＋2x )e x ＋(12x 3＋x 2)e x ＝(12x 3＋52x 2＋2x )e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x ．令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4．当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数． 综上知g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数， 在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． (理)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求实数a 的取值范围． [解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0． (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于 ln x －a (x －1)x ＋1>0．设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0．①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0， g (x )在(1，＋∞)内单调递增，因此g (x )>g (1)＝0． ②当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1． 由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1， 故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)内单调递减，此时g (x )<g (1)＝0． 综上，a 的取值范围是(－∞，2]． 9．(文)已知函数f (x )＝ax(x ＋r )2(a >0，r >0)． (1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．[解析] (1)由题意知x ≠－r ，所以定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)， f (x )＝ax (x ＋r )2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a (x 2＋2rx ＋r 2)－ax (2x ＋2r )(x 2＋2rx ＋r 2)2＝a (r －x )(x ＋r )(x ＋r )4，所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0； 当－r <x <r 时，f ′(x )>0．因此，f (x )的单调递减区间是(－∞，－r )，(r ，＋∞)； f (x )的单调递增区间是(－r ，r )．(2)由(1)可知f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减，因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar (2r )2＝a4r＝100． (理)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4． (1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[解析] (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b ．依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1， 解得a ＝2，b ＝e ．(2)由(1)，知f (x )＝x e 2－x ＋e x ．由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知， f ′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1． 所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0， g (x )在区间(－∞，1)内单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0， g (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)内的最小值．B 组1．(文)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( C ) A ．1 B ．－1 C ．－e －1D ．－e[解析] 依题意得，f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，取x ＝e 得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，由此解得f ′(e)＝－1e＝－e －1，故选C ．(理)(2019·兰州市诊断考试)定义在(0，π2)上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有( C )A ．f (π6)>2f (π4)B ．3f (π6)>f (π3)C ．f (π6)>3f (π3)D ．f (π6)>3f (π4)[解析] ∵cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0， ∴在(0，π2)上，[f (x )cos x ]′<0，∴函数y ＝f (x )cos x 在(0，π2)上是减函数，∴f (π6)cos π6>f (π3)cos π3，∴f (π6)>3f (π3)．故选C ．2．(文)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值，若过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，则切线方程是( B )A ．9x ＋y －16＝0B ．9x －y ＋16＝0C ．x ＋9y －16＝0D ．x －9y ＋16＝0[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3， 依题意f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0， 解得a ＝1，b ＝0． 所以f (x )＝x 3－3x ．因为曲线方程为y ＝x 3－3x ，点A (0,16)不在曲线上，设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0， 因此f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)．注意到点A (0,16)在切线上，有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)，化简得x 30＝－8． 解得x 0＝－2．所以，切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0．(理)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( C )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)dt ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t10tdt ，所以⎠⎛0t(3t 2＋1－10t )dt ＝(t 3＋t －5t 2)|t 0＝t 3＋t －5t 2＝5，所以(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5．3．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m .则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是( C )A ．(13，12)B ．(32，3)C ．(12，1)D ．(13，1)[解析] 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根．令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1，所以实数a 的取值范围是(12，1)．4．(文)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是____－3__．[解析] ∵y ＝ax 2＋bx，∴y ′＝2ax －bx2，由题意可得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3．(理)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为____(1,1)__．[解析] y ′＝e x ，则y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 切＝1，又曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线与y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，所以y ＝1x (x >0)在点P 处的斜率为－1，设P (a ，b )，则曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝a ＝－a －2＝－1，可得a ＝1，又P (a ，b )在y＝1x上，所以b ＝1，故P (1,1)． 5．(文)若函数y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是____a >0__．[解析] y ′＝－x 2＋a ，若y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间，则方程－x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a >0．(理)已知函数f (x )＝12x 2＋3ax －lnx ，若f (x )在区间[13，2]上是增函数，则实数a 的取值范围为____[89，＋∞)__．[解析] 由题意知f ′(x )＝x ＋3a －1x ≥0在[13，2]上恒成立，即3a ≥－x ＋1x 在[13，2]上恒成立．又y ＝－x ＋1x 在[13，2]上单调递减，∴(－x ＋1x )max ＝83，∴3a ≥83，即a ≥89．6．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )，若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围为____(－∞，13)__．[解析] f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )，则f ′(x )＝3x 2－3a ，若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，则直线的斜率为－1，f ′(x )＝3x 2－3a 与直线x ＋y ＋m ＝0没有交点，又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，则当x ＝0时取最小值，－3a >－1，则a 的取值范围为a <13．7．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝____－7__． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知，a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7． 8．(文)已知函数f (x )＝2ax －1x －(2＋a )ln x (a ≥0)．(1)当a ＝0时，求f (x )的极值； (2)当a >0时，讨论f (x )的单调性．[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝－1x －2ln x ⇒f ′(x )＝1x 2－2x ＝1－2xx 2(x >0)．由f ′(x )＝1－2xx 2>0，解得0<x <12，由f ′(x )＝1－2xx 2<0，解得x >12．∴f (x )在(0，12)内是增函数，在(12，＋∞)内是减函数．∴f (x )的极大值为f (12)＝2ln2－2，无极小值．(2)f (x )＝2ax －1x－(2＋a )ln x ⇒f ′(x )＝2a ＋1x 2－(2＋a )1x ＝2ax 2－(2＋a )x ＋1x 2＝(ax －1)(2x －1)x 2． ①当0<a <2时，f (x )在(0，12)和(1a ，＋∞)内是增函数，在(12，1a)内是减函数； ②当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内是增函数；③当a >2时，f (x )在(0，1a )和(12，＋∞)内是增函数，在(1a ，12)内是减函数． (理)已知函数f (x )＝12ax 2＋ln x ，其中a ∈R ． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值是－1，求a 的值．[解析] (1)f ′(x )＝ax 2＋1x，x ∈(0，＋∞)． 当a ≥0时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a ，舍去x ＝－－1a． 此时，f (x )与f ′(x )的情况如下： ↘ 所以，f (x )的单调递增区间是(0，－1a )； 单调递减区间是(－1a，＋∞)． (2)①当a ≥0时，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a 2． 令a 2＝－1，得a ＝－2，这与a ≥0矛盾，舍去a ＝－2． ②当－1≤a <0时，－1a ≥1，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a 2． 令a 2＝－1，得a ＝－2，这与－1≤a <0矛盾， 舍去a ＝－2．③当a <－1时，0<－1a <1，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (－1a)．令f (－1a)＝－1，解得a ＝－e ，满足a <－1． 综上，当f (x )在(0,1]上的最大值是－1时，a ＝－e ．。
导数的简单应用与定积分
导数的简单应用与定积分 （1）1.本部分内容高考的出题方式常见有三种(1)利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义.(2)考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式.(3)用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法.2.应对策略首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤，对于已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解.基础记忆 试做真题基础要记牢,真题须做熟基础知识不“背死”，就不能“用活”！1．导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)导数的物理意义：s ′(t )＝v (t )，v ′(t )＝a (t )．2．四个易误导数公式及两个常用的运算法则(1)(sin x )′＝cos x .(2)(cos x )′＝－sin x .(3)(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)．(4)(log a x )′＝1x ln a(a ＞0，且a ≠1)． (5)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．(6)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 3．导数与函数单调性的关系(1)f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.(2)f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常数，函数不具有单调性．4．函数的极值与最值(1)设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点x ，都有f (x )＜f (x 0)，那么f (x 0)是函数的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点都有f (x )＞f (x 0)，那么f (x 0)是函数的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)．极大值与极小值统称为极值．(2)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(3)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(4)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．5．定积分的三个公式与一个定理及几何性质(1)定积分的性质：①⎠⎛ab kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x ； ②⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x ； ③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )． (2)微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )． (3)定积分的几何性质：如果在区间[a ，b]上的函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛abf (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积． 高考真题要回访，做好真题底气足1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln (x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x.则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．(2014·山东)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4 3．(2014·陕西)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x 4．(2014·安徽)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x 2－x 3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值．热点盘点 细研深究 必须回访的热点名题导数的几何意义及运算[试题调研][例1] (1)(2014·全国大纲卷)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1(2)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．1．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．2．利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．[回访名题] (2014·安徽质检二)已知函数f(x)＝x－a x(a＞0，且a≠1)．(1)当a＝3时，求曲线f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程．(2)若函数f(x)存在极大值g(a)，求g(a)的最小值．导数的简单应用与定积分（2）利用导数研究函数的单调性[试题调研][例2](2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝e x－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；(3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．1．利用导数研究函数单调性的步骤第一步：确定函数f(x)的定义域；第二步：求f′(x);第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．2．根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求f ′(x )．(2)将单调性转化为导数f ′(x )在该区间上满足的不等式恒成立问题求解．[回访名题](2014·吉林三模)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，a ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使不等式f (x )＜ax 2对x ∈(1，＋∞)恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．定积分[试题调研][例3] (1)(2014·陕西)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1(2)(2014·湖北)若函数f(x)，g(x)满足⎠⎛-11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．31．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．(1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；(3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；(4)计算定积分，求出平面图形的面积．2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分．[回访名题](1)(2014·江西)若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01f(x)d x ＝( ) A ．－1 B ．－13 C .13D ．1 (2)(2014·南昌二模)如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P(x ，y)的轨迹方程是y ＝f(x)，则对函数y ＝f(x)有下列判断：①函数y ＝f(x)是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④⎠⎛02f (x )d x ＝π＋12. 其中正确判断的序号是________．[典例] (2014·山东)设函数f(x)＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．提能专训A 组一、选择题1．(2014·武汉名校联考)曲线y ＝2x －ln x 在点(1,2)处的切线方程为( )A ．y ＝－x －1B ．y ＝－x ＋3C ．y ＝x ＋1D ．y ＝x －12．(2014·福州质检)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫2，52B.⎣⎡⎭⎫2，52C.⎝⎛⎭⎫2，103D.⎣⎡⎭⎫2，103 3．(2014·陕西五校联考)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式e x f (x )>e x ＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(3，＋∞)4．(2014·安徽望江中学一模)已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )导数的简单应用与定积分 （3）5．(2014·山西高考信息优化卷)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝－3x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x6．(2014·河南六市联考)已知定义在(0，＋∞)上的单调函数f (x )，对∀x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－log 3x ]＝4，则函数g (x )＝f (x －1)－f ′(x －1)－3的零点所在区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫0，12 7．(2014·东北三省四市二联)已知函数f (x )＝x 2的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )A.⎝⎛⎭⎫－32，3 B ．(0，－4) C ．(2,3) D.⎝⎛⎭⎫1，－14 8．(2014·云南统检)函数f (x )＝ln (2x ＋3)－2x 2x的图象在点(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A.23B.43C.12D.169．(2014·呼和浩特教研)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e x x－3的两个零点，若a <x 1<x 2，则f (a )的值满足( )A ．f (a )＝0B ．f (a )>0C ．f (a )<0D ．f (a )的符号不确定10．(2014·银川第六次月考)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a >0且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )的前n 项和大于62，则n 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题11．(2014·安阳调研)已知函数f (x )＝2x 2－xf ′(2)，则函数f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程是________．12．(2014·广西四市第二次联考)已知f (x )＝x 2＋a ln x 的图象上任意不同两点连线的斜率大于2，那么实数a 的取值范围是________．13．(2014·云南统检)已知f (x )＝ax －cos 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π8，π6.若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤π8，π6，∀x 2∈⎣⎡⎦⎤π8，π6，x 1≠x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围为________．14．(2014·成都三诊)设定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f ′(x )>13，其中f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式f (x 3)<13x 3＋23的解集为________． 15．(2014·沈阳质检)已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＝4，则a 2＋2b 2的最小值为________．16．(2014·南昌一模)已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的一个动点，则点P 到直线l ：y ＝x －2的距离的最小值为________．B 组一、选择题1．(2014·重庆七校联盟联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >0，e x ＋∫211t d t ，x ≤0，则f (2 016)等于( ) A ．0 B ．ln 2 C ．1＋e 2 D ．1＋ln 2 2．(2014·巴彦淖尔一中考试)若∫a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．63．(2014·天津七校联考)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．3D ．－24．(2014·海口调研)记曲线y ＝1－(x －1)2与x 轴所围的区域为D ，若曲线y ＝ax (x －2)(a <0)把D 的面积均分为两等份，则a 的值为( )A ．－38B ．－3π16C ．－3π8D ．－π165．(2014·陕西质检)已知顶点为P 的抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴交于A ，B 两点，现向该抛物线与x 轴围成的封闭区域内随机抛掷一粒小颗粒，则该颗粒落在△APB 中的概率为( )A.35B.34C.23D.126．(2014·沈阳质检)已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x >0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．(2014·保定调研)已知函数f (x )对定义域R 内的任意x 都有f (x )＝f (4－x )，且当x ≠2时，其导数f ′(x )满足xf ′(x )>2f ′(x )，若2<a <4，则( )A ．f (2a )<f (3)<f (log 2a )B ．f (3)<f (log 2a )<f (2a )C ．f (log 2a )<f (3)<f (2a )D ．f (log 2a )<f (2a )<f (3)8．(2014·昆明调研)已知函数f (x )＝ln x ＋1ln x，则下列结论中正确的是( )A ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是增函数B ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是减函数C ．∀x >0，且x ≠1，f (x )≥2D ．∃x 0>0，f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数9．(2014·淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.∫20|x 2－1|d xB.||∫20(x 2－1)d xC.∫20(x 2－1)d xD.∫10(x 2－1)d x ＋∫21(1－x 2)d x10．(2014·衡水中学二调)在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k >0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为( ) A.13 B.23 C.12 D.34二、填空题11．(2014·吉林三模)∫a 0b aa 2－x 2d x ＝________. 12．(2014·洛阳统考)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小的数，设f (x )＝min{x 2，x }，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝12和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为________．13．(2014·安阳调研)已知函数f (x )＝22x＋1＋sin x ，其导函数记为f ′(x )，则f (2 013)＋f ′(2 013)＋f (－2 013)－f ′(－2 013)＝________.14．(2014·咸阳一模)∫e 11xd x ＋∫2－24－x 2d x ＝________. 15．(2014·贵州适应性考试)曲线f (x )＝f ′(1)e e x －f (0)x ＋12x 2在点(1，f (1))处的切线方程为 16．(2014·武汉武昌区调研)过函数y ＝x 12 (0<x <1)图象上一点M 作切线l 与y 轴和直线y＝1分别交于点P ，Q ，点N (0,1)，则△PQN 面积的最大值为________．。
2020年高考数学(理)总复习：导数的简单应用与定积分(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：导数的简单应用与定积分题型一 导数的几何意义及导数的运算 【题型要点解析】(1)曲线y ＝f (x )在点x ＝x 0处导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)，由此当f ′(x 0)存在时，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)过P 点的切线方程的切点坐标的求解步骤：①设出切点坐标；①表示出切线方程；①已知点P 在切线上，代入求得切点坐标的横坐标，从而求得切点坐标．(3)①分式函数的求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；①对数函数的求导，可先化为和、差的形式；①三角函数的求导，先利用三角函数的公式转化为和或差的形式；①复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导．所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导．例1．函数f (x )＝14 ln x ＋x 2－bx ＋a (b >0，a ①R )的图象在点(b ，f (b ))处的切线的倾斜角为α，则倾斜角α 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ,43 【解析】】 依题意得f ′(x )＝14x ＋2x －b ，f ′(b )＝14b＋b ≥214b ·b ＝1(b >0)，当且仅当14b＝b >0，即b ＝12时取等号，因此有tan α≥1，即π4≤α<π2，即倾斜角α 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ，选B.【答案】 B例2．若实数a ，b ，c ，d 满足(b ＋a 2－3ln a )2＋(c －d ＋2)2＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为( )A. 2B ．2C ．2 2D ．8【解析】 因为实数a ，b ，c ，d 满足(b ＋a 2－3ln a )2＋(c －d ＋2)2＝0，所以b ＋a 2－3ln a ＝0，设b ＝y ，a ＝x ，则有y ＝3ln x －x 2，由c －d ＋2＝0，设d ＝y ，c ＝x ，则有y ＝x ＋2，所以(a －c )2＋(b －d )2就是曲线y ＝3ln x －x 2与直线y ＝x ＋2之间的最小距离的平方值，对曲线y ＝3ln x －x 2求导：y ′＝3x －2x 与平行y ＝x ＋2平行的切线斜率k ＝1＝3x －2x ，解得x ＝1或x ＝－32(舍去)，把x ＝1代入y ＝3ln x －x 2，解得y ＝－1，即切点(1，－1)，则切点到直线y ＝x ＋2的距离为L ＝|1＋1＋2|2＝22，所以L 2＝8，即(a －c )2＋(b －d )2的最小值为8，故选D.【答案】 D题组训练一 导数的几何意义及导数的运算1．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝( )A ．1 B.12C ．1－ln 2D ．1－2ln 2【解析】 对于函数y ＝ln x ＋2，切点为(r ，s )，y ′＝1x ，k ＝1r ，对于函数y ＝ln (x ＋1)，切点为(p ，q )，y ′＝1x ＋1，k ＝1p ＋1，1r ＝1p ＋1①r ＝p ＋1， 斜率k ＝1r ＝1p ＋1＝q －s p －r ＝(ln r ＋2)－ln (p ＋1)r －p ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2r ＝12，p ＝－12，s ＝ln r ＋2＝ln 12＋2＝2－ln 2，s ＝q ＋2代入y ＝2x ＋b,2－ln 2＝2×(12)＋b ，得：b ＝1－ln 2.【答案】 C2．在直角坐标系xOy 中，设P 是双曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A 、B 两点，则以下结论正确的是( )A ．①OAB 的面积为定值2 B ．①OAB 的面积有最小值为3C ．①OAB 的面积有最大值为4D ．①OAB 的面积的取值范围是[3,4]【解析】 设P 是双曲线xy ＝1上任意一点，其坐标为P (x 0，y 0)，经过P 点的切线方程为y ＝kx ＋b .双曲线化为y ＝1x 形式，y 对x 的导数为y ′＝－1x2，在P 点处导数为－1x 20，切线方程为(y －y 0)＝－1x 20(x －x 0)，令x ＝0，y ＝y 0＋1x 0＝x 0·y 0＋1x 0＝2x 0＝2y 0，(其中x 0·y 0＝1)，则切线在y 轴截距为2y 0，令y ＝0，x ＝2x 0，则切线在x 轴截距为2x 0，设切线与两坐标轴相交于A 、B 两点构成的三角形为OAB .S ①OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·|2y 0|＝2|x 0·y 0|＝2，故切线与两坐标轴构成的三角形面积定值为2.【答案】 A题型二 利用导数研究函数的单调性 【题型要点解析】求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． 【提醒】 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．例1.已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x ，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)f ′(x )＝2x －2x，令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1，所以f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)， 单调递减区间是(0,1)．(2)由题意g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x ，g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x －2x 2.①φ(x )在[1，＋∞)上单调递减，①φ(x )max ＝φ(1)＝0， ①a ≥0；若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ①实数a 的取值范围为[0，＋∞)．题组训练二 利用导数研究函数的单调性 设函数f (x )＝3x 2＋ax e x(a ①R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 【解析】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x(e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x .令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,29 题型三 利用导数研究函数的极值(最值)问题 【题型要点解析】(1)利用导数研究函数的极值的一般思想：①求定义域；①求导数f ′(x )；①解方程f ′(x )＝0，研究极值情况；①确定f ′(x 0)＝0时x 0左右的符号，定极值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；①将函数y ＝f (x )的极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(3)当极值点和给定的自变量范围关系不明确时，需要分类求解，在求最值时，若极值点的函数值与区间端点的函数值大小不确定时需分类求解．例1.设函数G (x )＝x ln x ＋(1－x )·ln (1－x )．(1)求G (x )的最小值；(2)记G (x )的最小值为c ，已知函数f (x )＝2a ·e x ＋c ＋a ＋1x －2(a ＋1)(a >0)，若对于任意的x ①(0，＋∞)，恒有f (x )≥0成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由已知得0<x <1，G ′(x )＝ln x －ln (1－x )＝lnx 1－x.令G ′(x )<0，得0<x <12；令G ′(x )>0，得12<x <1，所以G (x )的单调减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，单调增区间为⎪⎭⎫⎝⎛1,21.从而G (x )min ＝G ⎪⎭⎫⎝⎛21＝ln 12＝－ln 2.(2)由(1)中c ＝－ln 2，得f (x )＝a ·e x＋a ＋1x －2(a ＋1)．所以f ′(x )＝ax 2·e x －(a ＋1)x 2.令g (x )＝ax 2·e x －(a ＋1)，则g ′(x )＝ax (2＋x )e x >0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 因为g (0)＝－(a ＋1)，且当x →＋∞时，g (x )>0，所以存在x 0①(0，＋∞)，使g (x 0)＝0，且f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．因为g (x 0)＝ax 20·e x 0－(a ＋1)＝0，所以ax 20·e x 0＝a ＋1，即a ·e x 0＝a ＋1x 20，因为对于任意的x ①(0，＋∞)，恒有f (x )≥0成立，所以f (x )min ＝f (x 0)＝a ·e x 0＋a ＋1x 0－2(a ＋1)≥0，所以a ＋1x 20＋a ＋1x 0－2(a ＋1)≥0，即1x 20＋1x 0－2≥0，即2x 20－x 0－1≤0， 所以－12≤x 0≤1.因为ax 20·e x 0＝a ＋1，所以x 20·e x 0＝a ＋1a >1.又x 0>0，所以0<x 0≤1，从而x 20·e x 0≤e ，所以1<a ＋1a ≤e ，故a ≥1e －1. 题组训练三 利用导数研究函数的极值(最值)问题已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x (a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 【解】 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －ce x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0，所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋ce －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x .因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e －5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.题型四 定积分 【题型要点解析】(1)求简单定积分最根本的方法就是根据微积分定理找到被积函数的原函数，其一般步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；①利用定积分的性质把所求定积分化为若干个定积分的和或差；①分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；①利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；①计算所求定积分的值．有些特殊函数可根据其几何意义，求其围成的几何图形的面积，即其对应的定积分．(2)求由函数图象或解析几何中曲线围成的曲边图形的面积，一般转化为定积分的计算与应用，但一定找准积分上限、积分下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决，其一般步骤：①画出图形，确定图形范围；①解方程组求出图形交点范围，确定积分上、下限；①确定被积函数，注意分清函数图象的上、下位置；①计算下积分，求出平面图形的面积．例1．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ①[－1，1)x 2－1，x ①[1，2]，则⎰-21f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 【解析】 ⎰-21f (x )d x ＝⎰-211－x 2d x ＋⎰-21(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 331⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A.【答案】 A例2．⎰1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212x x d x ＝________.【解析】⎰1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212x x d x ＝⎰101－x 2d x ＋⎰112x d x ，⎰112x d x ＝14，⎰11－x 2d x表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.【答案】π＋14例3．由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( )A ．3 B.103 C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，结合图形可知，所求的面积为⎰1(x 2＋1)d x ＋12×22＝⎪⎭⎫⎝⎛+x x 331|10＋2＝103，选B. 【答案】 B 题组训练四 定积分1．已知1sin φ＋1cos φ＝22，若φ①⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，则⎰-ϕtan 1(x 2－2x )d x ＝( )A.13 B ．－13C.23D ．－23【解析】 依题意，1sin φ＋1cos φ＝22①sin φ＋cos φ＝22sin φcos φ①2sin(φ＋π4)＝2sin2φ，因为φ①(0，π2)，所以φ＝π4，故⎰-ϕtan 1(x 2－2x )d x ＝⎰-ϕtan 1－1(x 2－2x )d x ＝(x 33－x 2)|1－1＝23.选C. 【答案】 C 2．函数y ＝⎰t(sin x ＋cos x sin x )d x 的最大值是________．【解析】 y ＝⎰t(sin x ＋cos x sin x )d x＝⎰t⎪⎭⎫⎝⎛+x x 2sin 21sin d x＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 2cos 41cos ⎪⎪⎪t 0＝－cos t －14cos 2t ＋54＝－cos t －14(2cos 2 t －1)＋54＝－12(cos t ＋1)2＋2，当cos t ＝－1时，y max ＝2. 【答案】 2 【专题训练】一、选择题1．已知变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a (a >0)，若点Q (m ，n )在直线y ＝2x ＋12上，则(a－m )2＋(b －n )2的最小值为( )A ．9 B.353 C.95D ．3【解析】令y ＝3ln x －12x 2及y ＝2x ＋12，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值就是曲线y ＝3ln x－12x 2上一点与直线y ＝2x ＋12的距离的最小值，对函数y ＝3ln x －12x 2求导得：y ′＝3x －x ，与直线y ＝2x ＋12平行的直线斜率为2，令2＝3x －x 得x ＝1或x ＝－3(舍)，则x ＝1，得到点(1，－12)到直线y ＝2x ＋12的距离为355，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值为(355)＝95. 【答案】C2．设a ①R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ①R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13D ．a <－13【解析】 y ′＝a e ax ＋3＝0在(0，＋∞)上有解，即a e ax ＝－3，①e ax >0，①a <0.又当a <0时，0<e ax <1，要使a e ax ＝－3，则a <－3，故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，若对于任意的a ①[1,2]，b ①(2,3]，函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，5]C ．[3，＋∞)D ．[5，＋∞)【解析】 ①f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，①f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[a ，b ]上恒成立，即不等式3x 2－2tx ＋3≤0在[a ，b ]上恒成立，即有t ≥32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1在[a ，b ]上恒成立，而函数y ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1在[1,3]上单调递增，由于a ①[1,2]，b ①(2,3]，当b＝3时，函数y ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1取得最大值，即y max ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+313＝5，所以t ≥5，故选D.【答案】 D4．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋a )(a ①R )有唯一的零点x 0，(e ＝2.718…)则( ) A ．－1<x 0<－12B ．－12<x 0<－14C ．－14<x 0<0D ．0<x 0<12【解析】 函数f (x )＝e x －ln(x ＋a )(a ①R )，则x >－a ，可得f ′(x )＝e x －1x ＋a ，f ″(x )＝e x ＋1(x ＋a )2恒大于0，f ′(x )是增函数，令f ′(x 0)＝0，则e x 0＝1x 0＋a ，有唯一解时，a ＝1e x 0－x 0，代入f (x )可得：f (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋a )＝e x 0－ln(1e x 0)＝e x 0＋x 0，由于f (x 0)是增函数，f (－1)≈－0.63，f (－12)≈0.11，所以f (x 0)＝0时，－1<x 0<－12.故选A.【答案】 A5．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )>2(x ＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则下列不等式中，一定成立的是( )A ．f (1)>f (2)2>f (3)3B.f (1)2>f (4)3>f (9)4 C ．f (1)<f (2)2<f (3)3D.f (1)2<f (4)3<f (9)4【解析】 ①f (x )>2(x ＋x )f ′(x )， ①f (x )>2x (x ＋1)f ′(x )， ①f (x )12x>(x ＋1)f ′(x )．①f ′(x )(x ＋1)－f (x )12x <0，①(f (x )x ＋1)′<0，设g (x )＝f (x )x ＋1，则函数g (x )在(0，＋∞)上递减， 故g (1)>g (4)>g (9)，①f (1)2>f (4)3>f (9)4.故选B.【答案】 B6．已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f ′(x )满足f ′(x )－f (x )x －1>0，y ＝f (x )e x 关于直线x ＝1对称，则不等式f (x 2－x )e x 2－x<f (0)的解集是( )A ．(－1,2)B ．(1,2)C ．(－1,0)①(1,2)D ．(－∞，0)①(1，＋∞)【解析】 令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x .①f ′(x )－f (x )x －1>0，当x >1时，f ′(x )－f (x )>0，则g ′(x )>0，①g (x )在(1，＋∞)上单调递增； 当x <1时，f ′(x )－f (x )<0，则g ′(x )<0， ①g (x )在(－∞，1)上单调递减． ①g (0)＝f (0)，①不等式f (x 2－x )e x 2－x <f (0)即为不等式g (x 2－x )<g (0)．①y ＝f (x )ex 关于直线x ＝1对称，①|x 2－x |<2，①0<x 2－x <2，解得－1<x <0或1<x <2，故选C. 【答案】 C7．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)①(0,1)B ．(－∞，－1)①(1，＋∞)C ．(－1,0)①(1，＋∞)D ．(－1,0)①(0,1)【解析】 根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )·x －2·f (x )x 3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)①(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)①(0,1)上的函数值大于零．【答案】D8．定义在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )·tan x 成立，则( ) A.3f ⎪⎭⎫⎝⎛4π>2f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π B ．f (1)<2f ⎪⎭⎫⎝⎛6πsin 1 C.2f ⎪⎭⎫⎝⎛6π>f ⎪⎭⎫⎝⎛4π D.3f ⎪⎭⎫⎝⎛6π<f ⎪⎭⎫⎝⎛3π 【解析】 构造函数F (x )＝f (x )sin x.则F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x >0，x ①⎪⎭⎫⎝⎛2,0π， 从而有F (x )＝f (x )sin x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上为增函数，所以有F ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π<F ⎪⎭⎫⎝⎛3π，3sin36sin 6ππππ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ①3f ⎪⎭⎫⎝⎛6π<f ⎪⎭⎫⎝⎛3π，故选D. 【答案】 D 二、填空题9．已知曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则实数a ＋b 的值为____________．【解析】 因为两个函数的交点为(0，m )，①m ＝a cos0，m ＝02＋b ×0＋1，①m ＝1，a ＝1，①f (x )，g (x )在(0，m )处有公切线，①f ′(0)＝g ′(0)，①－sin 0＝2×0＋b ，①b ＝0，①a ＋b ＝1.【答案】 110．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ①(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )>0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1614log 1614log f ，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 根据题意，令g (x )＝xf (x )，则a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g (log 4116)有g (－x )＝(－x )f (－x )＝(－x )[－f (x )]＝xf (x )，则g (x )为偶函数，又由g ′(x )＝(x )′f (x )＋xf ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又由当x ①(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )>0成立，则当x ①(0，＋∞)时，有g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上为增函数，分析可得|log 4116|>|40.2|>|log 43|，则有c >a >b ；故答案为：c >a >b .【答案】 c >a >b11．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 令f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x ＝2ax －1.因为函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，所以f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点(0，－1)作y ＝ln x 的切线，设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝1x 0，切线方程为y ＝1x 0x －1.切点在切线y ＝1x 0x－1上，则y 0＝x 0x 0－1＝0，又切点在曲线y ＝ln x 上，则ln x 0＝0，①x 0＝1，即切点为(1,0)，切线方程为y ＝x －1.再由直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 有两个交点，知直线y ＝2ax －1位于两直线y ＝0和y ＝x －1之间，其斜率2a 满足0<2a <1，解得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.【答案】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,012．曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________．【解析】 令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ①[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝∫5π6(2sin x －1)d x ＝(－2cos x －x )π6⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.【答案】 23－2π3三、解答题13．已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．【解析】 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)， (i)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ii)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .当x ①(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ①(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增．(2)(i)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ii)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点； ①当a ①(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；①当a ①(0,1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln (3a －1)，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2r 0－n 0>0.由于ln (3a －1)>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．14．已知函数f (x )＝e ax (其中e ＝2.71828…)，g (x )＝f (x )x .(1)若g (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝12时，求函数g (x )在[m ，m ＋1](m >0)上的最小值．【解析】 (1)由题意得g (x )＝f (x )x ＝eaxx在[1，＋∞)上是增函数，故'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x e ax ＝e ax (ax －1)x 2≥0在[1，＋∞)上恒成立，即ax －1≥0在[1，＋∞)恒成立，a ≥1x 在x ①[1，＋∞)上恒成立，而1x ≤1，①a ≥1； (2)当a ＝12时，g (x )＝e x 2x ，g ′(x )＝e x 2(x2－1)x 2，当x >2时，g ′(x )>0，g (x )在[2，＋∞)递增， 当x <2且x ≠0时，g ′(x )<0，即g (x )在(0,2)，(－∞，0)递减，又m >0，①m ＋1>1，故当m ≥2时，g (x )在[m ，m ＋1]上递增，此时，g (x )min ＝g (m )＝e m2m ，当1<m <2时，g (x )在[m,2]递减，在[2，m ＋1]递增，此时，g (x )min ＝g (2)＝e2，当0<m ≤1时，m ＋1≤2，g (x )在[m ，m ＋1]递减，此时，g (x )min ＝g (m ＋1)＝e m ＋12m ＋1，综上，当0<m ≤1时，g (x )min ＝g (m ＋1)＝e m ＋12m ＋1，当1<m<2时，g(x)min＝g(2)＝e2，m≥2时，g(x)min＝g(m)＝e m 2 m.。
高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用学案含解析2_2
1。
7 定积分的简单应用自主预习·探新知情景引入大家都可以想象到天女散花的情景-—左手提着一篮娇艳美丽的鲜花，右手把一朵鲜花散落，一片片花瓣飘荡在空中,随后落在人间，让人产生无尽的遐想．一片花瓣的图形可以看成两条美丽的曲线相交而成．由前面学习的定积分的知识，我们可以计算出该图形的面积，即一片花瓣平铺的面积．新知导学1．求平面图形的面积(1）求由一条曲线y＝f（x）和直线x＝a、x＝b（a〈b)及y＝0所围成平面图形的面积S。
图①中，f(x）>0，错误!f(x)d x>0，因此面积S＝__错误!f（x)d x__；图②中，f(x）〈0,错误!f（x)d x〈0，因此面积S＝｜错误!f(x)d x｜＝__－错误!f（x)d x__；图③中，当a≤x<c时，f（x）〈0，当c〈x≤b时，f(x）〉0，因此面积S＝错误!|f（x）｜d x＝__－错误!f(x）d x＋错误!f（x）d x__.（2)求由两条曲线f(x）和g（x），直线x＝a、x＝b（a<b)所围成平面图形的面积S。
图④中,f（x）>g(x)〉0，面积S＝__错误!［f(x）－g(x)］d x__;图⑤中，f(x)〉0，g（x)<0，面积S＝__错误!［f(x)－g(x）］d x__. 2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v＝v （t)(v（t）≥0)在时间区间[a，b]上的定积分,即s＝__错误!v(t)d t__。
3．变力做功一物体在恒力F(单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s m,则力F所做的功为W＝Fs。
如果物体在变力F(x）的作用下沿着与F（x)相同的方向从x ＝a移动到x＝b.则变力F（x)做的功W＝__错误!F(x)d x__.预习自测1．由直线x ＝0、x ＝错误!、y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形的面积等于( A )A ．3B ．错误!C ．1D ．错误! ［解析］ 所求面积S ＝错误!2sin x d x ＝－2cos x 错误!＝－2（－错误!－1)＝3。
导数的综合应用与定积分
第12课时导数的综合应用与定积分考点一利用导数研究函数的零点(方程根)[例1]已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．[例2]已知x＝1是函数f(x)＝13ax3－32x2＋(a＋1)x＋5的一个极值点．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，求实数m的取值范围．1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．考点二 利用导数与函数的关系解决不等式问题[例3] (1)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝)21(f ，c ＝f (3)，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a (2)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)[例4] 已知函数f (x )＝a e x ＋ax ＋ln x ，a ∈R .(1)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值； (2)当a ＝1e －1时，求证：∀x ∈(0，＋∞)，f (x )＋1x ≥ln x ＋2a ＋2.[例5] 设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋2)若曲线y ＝f (x )在点P (0,2)处的切线为y ＝4x ＋2，且g ′(0)＝4. (1)求实数a ，b ，c 的值．(2)若当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )恒成立，求实数k 的取值范围．1．已知f (x )＝1＋x －sin x ，则f (2)，f (3)，f (π)的大小关系正确的是( ) A ．f (2)＞f (3)＞f (π) B ．f (3)＞f (2)＞f (π) C ．f (2)＞f (π)＞f (3)D ．f (π)＞f (3)＞f (2)2．已知f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，且f (1－a )＋f (2a )＜0，则a 的取值范围是________．3．当0＜x ＜π2时，求证：tan x ＞x ＋x 33.4．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．(注：e 为自然对数的底数．)考点三 利用导数研究生活中的优化问题[例6] 某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(x ＞6)，年销售为u 万件，若已知5858－u与2)421(x 成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．考点四 微积分基本定理与定积分[例7] (1)dx x x ⎰+-122＝________.(2)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小的数，设f (x )＝min{x 2，x }，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝12和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为________．1．若把本例(1)变为：dx x x )2(12⎰+-，其结果为多少？2．若把本例(2)改为求f (x )＝x 2与y ＝x 围成的封闭图形的面积．[典例] 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．[高考真题体验]1．(高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)2．(高考全国甲卷)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围．3．(高考全国丙卷)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1＜x －1ln x ＜x ；(3)设c ＞1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x ＞c x .4．(高考课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明：f (x )＞0.课时规范训练 A 组 基础演练1．定积分⎰+1)2(dx e x x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －12．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)，80 000 (x ＞400)，则总利润最大时，年产量是( ) A ．100 B ．150 C ．200D ．3003．已知函数f (x )＝e x －x 2，若对任意的x ∈[1,2]，不等式－m ≤f (x )≤m 2－4恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1－e] B ．[1－e ，e] C ．[－e ，e ＋1]D ．[e ，＋∞)4．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)5．若0＜x 1＜x 2＜1，则( )6．图中阴影部分的面积等于________．7．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________.8．设函数f(x)＝kx3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数k的值为________．9．已知函数f(x)＝x2＋a ln x的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为10.(1)求实数a的值；(2)判断方程f(x)＝2x根的个数，并证明你的结论．10．已知函数f(x)＝ax2－e x(a∈R，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)解关于x的不等式；f(x)＞f′(x)；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．B 组 能力突破1．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )＞1，则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为( )A ．{x |x ＞0}B ．{x |x ＜0}C ．{x |x ＜－1或x ＞1}D ．{x |x ＜－1或0＜x ＜1}2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．43．已知函数f (x )＝m )1(xx -－2ln x (m ∈R )，g (x )＝－mx ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( ) A. ]2,(e-∞ B. )2,(e-∞ C ．(－∞，0]D ．(－∞，0)4．已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，则实数x 的取值范围是________．5．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a ＞0.设两曲线y＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同． (1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x ＞0)．。
高三二轮复习之导数的简单应用与定积分
高三二轮复习之导数的简单应用与定积分 考点一 导数的运算及几何意义、定积分[核心提炼]1．导数公式 (1)(sin x )′＝cos x ； (2)(cos x )′＝－sin x ； (3)(a x )′＝a x ln a (a >0)；(4)(log a x )′＝1x ln a (a >0，且a ≠1)．2．导数的几何意义函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[例1] (1)(2018·商丘名校联考)已知函数f (x )＝xe x (e 是自然对数的底数)，则其导数f ′(x )＝( )A.1＋x e xB.1－xe x C ．1＋xD ．1－xB [根据函数求导法则得到f ′(x )＝1－xex 故选B.](2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝xD [方法1 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 故选D.方法2 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 故选D.](3)(2018·凉山州二诊)⎠⎛01(x －e x )d x ＝( )A.32－e B.12－e C.32＋e D.12＋e A [⎠⎛01(x －e x )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－e x 10＝⎝⎛⎭⎫12－e －(－1)＝32－e ，故选A.] [方法归纳]曲线y ＝f (x )的切线方程的三种类型及求解方法 (1)已知切点P (x 0，y 0)，求切线方程求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程； (2)已知切线的斜率k ，求切线方程设切点P (x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程； (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P (x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，再由点斜式或两点式写出方程．[对点训练]1．(2018·海南二模)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(1)的值等于________．解析 由f (x )＝3xf ′(2)＋ln x ，可得： f ′(x )＝3f ′(2)＋1x，∴f ′(2)＝3f ′(2)＋12，解得：f ′(2)＝－14.∴f ′(1)＝3f ′(2)＋1＝14.答案 142．(2018·皖江名校大联考)由直线y ＝0，x ＝e ，y ＝2x 及曲线y ＝2x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．3B ．3＋2ln 2C ．2e 2－3D ．e A [如图所示，曲边四边形OABC 的面积为12×1×2＋⎠⎛1e 2xd x ＝1＋2ln x |e 1＝1＋2(ln e －ln 1)＝3.故选A.] 3．(2018·柳州摸底)已知函数f (x )＝e 2x －1，直线l 过点(0，－e)且与曲线y ＝f (x )相切，则切点的横坐标为( )A ．1B ．－1C ．2D ．e －1A [设切点(x 0.e2x 0－1)∵f ′(x )＝2x 2x －1.∴2e2x 0－1＝e2x 0－1＋e x 0，2x 0－1＝e2－2x 0，令y＝2x －1－e 2－2x ∴y ′＝2＋2e 2－2x >0，∵y (1)＝0，∴x 0＝1，故选A.]考点二 利用导数研究函数的单调性[核心提炼]1．判断函数的单调性． 2．求函数的单调区间．3．根据函数的单调性求参数的取值范围． 导数与函数单调性的关系(1)f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.(2)f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，f (x )为常数函数，函数不具有单调性．[例2] (2018·衡水调研)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k 2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程式； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln 2＝32(x －1)即3x －2y ＋2ln 2－3＝0(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0.故f (x )得单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)． 当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk >0所以，在区间(－1,0)和⎝⎛⎭⎪⎫1－k k ，＋∞上，f ′(x )>0；在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1－k k 上，f ′(x )<0故f (x )得单调递增区间是(－1,0)和⎝⎛⎭⎪⎫1－k k ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－k k .当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x， 故f (x )得单调递增区间是(－1，＋∞)． 当k >1时，f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以在区间⎝⎛⎭⎪⎫－1，1－k k 和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间⎝⎛⎭⎪⎫1－k k ，0上，f ′(x )<0，故f (x )得单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1－k k 和(0，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k ，0.[方法归纳]根据函数y ＝f (x )在(a ，b )上的单调性求参数范围的方法(1)若函数y ＝f (x )在(a ，b )上单调递增，转化为f ′(x )≥0在(a ，b )上恒成立． (2)若函数y ＝f (x )在(a ，b )上单调递减，转化为f ′(x )≤0在(a ，b )上恒成立．(3)若函数y ＝f (x )在(a ，b )上单调，转化为f ′(x )在(a ，b )上不变号，即f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立．(4)若函数y ＝f (x )在(a ，b )上不单调，转化为f ′(x )在(a ，b )上有变号零点．[对点训练](2018·陕西师大附中模拟)设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性． 解 (1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故f (x )的最小值为f (0)＝1(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R .∴f ′(x )＝e x －x －1，f ″(x )＝e x －1由f ″(x )≥0得x ≥0，所以f ′(x )在[0，＋∞)上递增，由f ″(x )＜0得x <0，所以f ′(x )在(－∞，0)上递减，所以，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上递增．考点三 利用函数研究函数的极值(最值)[核心提炼]可导函数的极值与最值(1)若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．(2)设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．[例3] (2018·宝鸡中学适应性考试)f (x )＝3x 2－x ＋m (x ∈R )，g (x )＝ln x . (1)若函数f (x )与g (x )的图象在x ＝x 0处的切线平行，求x 0的值；(2)当曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )有公共切线时，求函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，1上的最值．解 (1)f ′(x )＝6x －1，g ′(x )＝1x ，则6x 0－1＝1x 0，即6x 20－x 0－1＝0 解得，x 0＝12或x 0＝－13(舍去)．(2)由(1)得切点横坐标为12，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝g ⎝⎛⎭⎫12，∴34－12＋m ＝ln 12 ∴m ＝－14－ln 2，∴m >－14－ln 12时f (x )与g (x )有公共切线F ′(x )＝6x －1－1x＝6x 2－x －1x ＝(3x ＋1)(2x －1)x则F ′(x )与F (x )的变化如下表又∵F ⎝⎛⎭⎫13＝m ＋ln 3， F (1)＝2＋m >F ⎝⎛⎭⎫13∴F (x )min ＝F ⎝⎛⎭⎫12＝2＋m ， F (x )max ＝F (1)＝m ＋14＋ln 2.[方法归纳]利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的全部实根，再检验f ′(x )在方程根的左右两侧值的符号．(2)若已知极值存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0的根的存在情况，从而求解． (3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，比较区间端点的函数值f (a )、f (b )与f (x )的各极值，从而得到函数的最值．[对点训练](2018·乌兰察布市北京八中分校调考)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋b 在点M (1，f (1))处的切线方程为9x ＋3y －10＝0.求(1)实数a ，b 的值；(2)函数f (x )的单调区间及在区间[0,3]上的最值．解 (1)因为在点M (1，f (1))处的切线方程为9x ＋3y －10＝0， 所以切线斜率是k ＝－3 且9×1＋3f (1)－10＝0，求得f (1)＝13，即点M ⎝⎛⎭⎫1，13又函数f (x )＝13x 3－ax ＋b ，则f ′(x )＝x 2－a 所以依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝1－a ＝－3，f (1)＝13－a ＋b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知f (x )＝13x 3－4x ＋4所以f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝－2 当f ′(x )>0⇒x >2或x <－2； 当f ′(x )<0⇒－2<x <2所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，2)，(2，＋∞)， 单调递减区间是(－2,2)又x ∈[0,3]，所以当x 变化时，f (x )和f ′(x )变化情况如下表：所以当x ∈[0,3]时，f (x )max ＝f (0)＝4， f (x )min ＝f (2)＝－43.课时作业(五)1．(2018·豫北重点中学联考)若函数f (x )＝2x ＋cos x 的导函数是f ′(x )，则f ′⎝⎛⎭⎫π6＝( ) A.32 B.52 C ．2－32D ．2＋32A [∵f ′(x )＝2－sin x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝2－sin π6＝32，故选A.] 2．函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( )A ．7B ．4C ．0D ．－4A [∵f (x )＝x －g (x )，∴f ′(x )＝1－g ′(x )，因为函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，所以f (2)＝－3，f ′(2)＝－1，∴g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7，故选A.]3．(2018·长春质检三)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴的截距为( )A ．eB ．1C ．0D ．－1B [由题意可知f ′(x )＝a －1x ，f ′(1)＝a －1，f (1)＝a ，l ：y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，y ＝1.故选B.]4．(2018·安庆二模)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －xe (e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为( )A ．2e －1B ．－1eC ．1D ．2ln 2D [∵f ′(x )＝2e f ′(e )x －1e ，∴f ′(e)＝2e f ′(e )e －1e ，f ′(e)＝1e，∴f ′(x )＝2x －1e ＝0，x ＝2e ，∴f (x )的极大值为∴f (2e)＝2ln 2e －2＝2ln 2，故选D.]5．(2018·四平质检)定积分⎠⎛01x (2－x )d x 的值为( )A.π4B.π2 C ．π D ．2πA [∵y ＝x (2－x )，∴(x －1)2＋y 2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，∴定积分⎠⎛01x (2－x )d x 等于该圆的面积的四分之一，∴定积分⎠⎛01x (2－x )d x ＝π4，故选A.]6．(2018·大庆质检)已知函数f (x )＝x 2e x ，下列关于f (x )的四个命题；①函数f (x )在[0,1]上是增函数 ②函数f (x )的最小值为0③如果x ∈[0，t ]时f (x )max ＝4e 2，则t 的最小值为2④函数f (x )有2个零点 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [∵函数f (x )＝x 2e x ，∴f ′(x )＝x (2－x )e －x .∴令f ′(x )>0，得0<x <2，即函数f (x )在(0,2)上为增函数；令f ′(x )＜0，得x ＜0或x ＞2， 即函数f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上为减函数． ∵函数f (x )＝x 2ex ≥0在R 上恒成立∴当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝0，且函数f (x )的零点个数只有一个当x >0时，f (x )max ＝f (2)＝4e 2，则要使x ∈[0，t ]时f (x )max ＝4e2，则t 的最小值为2，故正确．综上，故①②③正确．故选C.]7．(2018·呼和浩特一调)∫π20cos x d x ＝________.解析 ∫π20cos x d x ＝sin x ⎪⎪π20＝sin π2－sin 0＝1. 答案 18．(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． 解析 ∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2x ＋1.令x ＝0，得y ′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，∴切线方程为y ＝2x .答案 y ＝2x9．(2018·海南二联)若x ＝1是函数f (x )＝(e x ＋a )ln x 的极值点，则实数a ＝________. 解析 因为f ′(x )＝e x ln x ＋(e x ＋a )·1x ，且x ＝1是函数f (x )＝(e x ＋a )ln x 的极值点，所以f ′(1)＝e ＋a ＝0，解得a ＝－e.答案 －e10．已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎫1＋12＝－332.答案 －33211．已知函数f (x )＝(x －1)e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值． 解 (1)f (x )＝(x －1)e x 的导数为f ′(x )＝x e x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0. f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，0)；单调递增区间是(0，＋∞)． (2)由(1)函数f (x )的递增区间为(0，＋∞)， 所以函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝－1； 当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝0.12．已知函数f (x )＝e ax ·⎝⎛⎭⎫a x ＋a ＋1，其中a ≥－1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)求f (x )的单调区间．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ·⎝⎛⎭⎫1x ＋2，f ′(x )＝e x ·⎝⎛⎭⎫1x＋2－1x 2. 由于f (1)＝3e ，f ′(1)＝2e ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是2e x －y ＋e ＝0. (2)f ′(x )＝a e ax(x ＋1)[(a －1)x －1]x 2，x ≠0.①当a ＝－1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1.f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)；单调递增区间为(－1,0)，(0，＋∞)． 当a ≠－1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1，或x ＝1a ＋1.②当－1<a <0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1，＋∞；单调递增区间为(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ＋1.③当a ＝0时，f (x )为常值函数，不存在单调区间．④当a >0时，f (x )的单调递减区间为(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ＋1；单调递增区间为(－∞，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1，＋∞. 13．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x .(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间[1,2]上为单调递增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)a ＝1时，f (x )＝3x －2x 2＋ln x ，定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x＝－(4x ＋1)(x －1)x(x >0)，当x ∈(0,1)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， ∴f (x )有极大值f (1)＝1，无极小值． (2)f ′(x )＝3a －4x ＋1x∵函数f (x )在区间[1,2]上为单调递增函数， ∴x ∈[1,2]时，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0恒成立．即3a ≥4x －1x在[1,2]恒成立， 令h (x )＝4x －1x ，因函数h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)，即3a ≥152，解得0<a ≤25，即a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，25.第6讲 导数的综合应用 考点一 利用导数证明不等式[例1] (2018·郑州二模)已知函数f (x )＝e x －x 2. (1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求证：当x >0时e x ＋(2－e )x －1x≥ln x ＋1.思路分析 (1)则导数的几何意义可求得曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)由(1)当x >0时，f (x )≥(e －2)x ＋1，即e x－x 2≥(e －2)x ＋1，e x＋(2－e)x －1≥x 2，只需证e x ＋(2－e )x －1x≥x ≥ln x ＋1解 f ′(x )＝e x －2x ，由题设得f ′(1)＝e －2，f (1)＝e －1， f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝(e －2)x ＋1. (2)f ′(x )＝e x －2x ，f ″(x )＝e x －2，∴f ′(x )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， 所以f ′(x )≥f ′(ln 2)＝2－2ln 2>0， 所以f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (1)＝e －1，x ∈[0,1]．∵f (x )过点(1，e －1)，且y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝(e －2)x ＋1，故可猜测当x >0，x ≠1时，f (x )的图象恒在切线y ＝(e －2)x ＋1的上方．下证：当x >0时，f (x )≥(e －2)x ＋1， 设g (x )＝f (x )－(e －2)x －1，x >0，则g ′(x )＝e x －2x －(e －2)，g ″(x )＝e x －2，∴g ′(x )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， 又g ′(0)＝3－e>0，g ′(1)＝0,0<ln 2<1， ∴g ′(ln 2)<0，所以，存在x 0∈(0，ln 2)，使得g ′(x 0)＝0，所以，当x ∈(0，x 0)∪(1，＋∞)时，g ′(x )>0；当x ∈(x 0,1)时，g ′(x )<0， 故g (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，∴g (x )＝e x －x 2－(e －2)x －1≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故e x ＋(2－e )x －1x≥x ，x >0.又x ≥ln x ＋1，即e x ＋(2－e )x －1x≥ln x ＋1，当x ＝1时，等号成立．[方法归纳]用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f (x )在[a ，b ]上是增函数，则①∀x ∈[a ，b ]，有f (a )≤f (x )≤f (b )，②∀x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)．对于减函数有类似结论．(2)利用最值：若f (x )在某个范围D 内有最大值M (或最小值M )，则∀x ∈D ，有f (x )≤M (或f (x )≥M )．(3)证明f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，证明F (x )<0.[对点训练](2018·河南六市一模)已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2－2kx (k ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f (x 2)<－32.解 (1)f (x )＝ln x ＋12x 2－2kx ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x ＋x －2k ＝x 2－2kx ＋1x .(1)当k ≤0时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)当k >0时，令t (x )＝x 2－2kx ＋1，当Δ＝4k 2－4≤0即0＜k ≤1时，t (x )≥0恒成立， 即f (x )≥0恒成立．所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当Δ＝4k 2－4>0，即k >1时， x 2－2kx ＋1＝0，两根x 2＝k ±k 2－1 所以x ∈(0，k －k 2－1)，f ′(x )>0x ∈(k －k 2－1，k ＋k 2－1)，f ′(x )<0x ∈(k ＋k 2－1，＋∞)，f ′(x )>0故当k ∈(－∞，1)时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当k ∈(1，＋∞)时，f (x )在(0，k －k 2－1)和(k ＋k 2－1，＋∞)上单调递增，f (x )在(k －k 2－1，k ＋k 2－1)上单调递减．(2)f (x )＝ln x ＋12x 2－2kx (x >0)f ′(x )＝1x＋x －2k由(1)知k ≤1时，f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，此时f (x )无极值 当k >1时，f ′(x )＝1x ＋x －2k ＝x 2－2kx ＋1x由f ′(x )＝0得x 2－2kx ＋1＝0Δ＝4k 2－4>0，设两根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2k ，x 1·x 2＝1， 其中0<x 1＝k －k 2－1<1<x 2＝k ＋k 2－1f (x )在(0，x 1)上递增，在(x 1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增， f (x 2)＝ln x 2＋12x 22－2kx 2＝ln x 2＋12x 22－(x 1＋x 2)x 2＝ln x 2＋12x 22－⎝⎛⎭⎫1x 2＋x 2x 2 ＝ln x 2－12x 22－1令t (x )＝ln x －12x 2－1(x >1)t ′(x )＝1x－x <0，所以t (x )在(1，＋∞)上单调递减，且t (1)＝－32，故f (x 2)<－32.考点二 利用导数解决不等式恒成立、存在性问题[例2] (2018·邯郸质检)已知函数f (x )＝4ln x －ax －1. (1)若a ≠0，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )>ax (x ＋1)在(0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．思路分析 (1)先求导数，根据a 的正负讨论确定导函数符号，进而确定对应单调性；(2)分离变量转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值即得实数a 的取值范围．解 (1)依题意f ′(x )＝4ax －a ＝a (4－x )x，若a >0，则函数f (x )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减； 若a <0，则函数f (x )在(0,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增． (2)因为f (x )>ax (x ＋1)， 故4a ln x －ax 2－2ax －1>0，①当a ＝0时，显然①不成立；当a ＞0时，①化为1a <4ln x －x 2－2x ；②当a <0时，①化为1a >4ln x －x 2－2x ；③令h (x )＝4ln x －x 2－2x (x >0)，则 h ′(x )＝4x －2x －2＝－2x 2＋2x －4x＝－2(x －1)(x ＋2)x，∴当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0时，x ∈(1，＋∞)，h ′(x )<0， 故h (x )在(0,1)是增函数，在(1，＋∞)是减函数， ∴h (x )max ＝h (1)＝－3，因此②不成立，要③成立，只要1a >－3，a <－13，∴所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13. [方法归纳]对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．[对点训练](2018·衡阳联考)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )－k (x 3－3x )(k ∈R ) (1)当k ＝3时，求曲线y ＝f (x )在原点O 处的切线方程；(2)若f (x )>0对x ∈(0,1)恒成立，求k 的取值范围． 解 (1)当k ＝3时，f ′(x )＝11＋x ＋11－x －9(x 2－1)，∴f ′(0)＝11.故曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝11x . (2)f ′(x )＝2＋3k (1－x 2)21－x 2当x ∈(0,1)时，(1－x 2)2∈(0,1)若k ≥－23，2＋3k (1－x 2)2>0，则f ′(x )>0∴f (x )在(0,1)上递增，从而f (x )>f (0)＝0. 若k <－23，令f ′(x )＝0⇒x ＝1－－23k ∈(0,1)，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－－23k 时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－－23k ，1时，f ′(x )>0，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－－23k <f (0)＝0，则k <－23， 不合题意，∴综上所述，k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－23，＋∞. 考点三 利用导数研究函数的零点或方程的根[例3] (2018·全国Ⅱ卷)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .思路分析 构造函数，利用函数的单调性与极值(或最值)可完成证明与求解． (1)证明 当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x －1≤0. 设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x －1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)·e －x ＝－(x －1)2e －x .当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减． 而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)解 设函数h (x )＝1－ax 2e －x .f (x )在(0，＋∞)只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)只有一个零点． (i)当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； (ii)当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x . 当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增． 故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)的最小值．①若h (2)>0，即a <e 24，h (x )在(0，＋∞)没有零点；②若h (2)＝0，即a ＝e 24，h (x )在(0，＋∞)只有一个零点；③若h (2)<0，即a >e 24，由为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)有一个零点． 由(1)知，当x >0时，e x >x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a 3(e 2a )2>1－16a 3(2a )4＝1－1a >0. 故h (x )在(2,4a )有一个零点． 因此h (x )在(0，＋∞)有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，a ＝e 24.[方法归纳]函数零点问题的判断与应用(1)函数零点个数(方程根的个数)的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图象交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．(2)本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理．[对点训练](2018·郑州一模)已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a ，a ∈R 且a ≠0.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，试判断函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点个数． 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， ∵f (x )＝ln x ＋1ax －1a ，∴f ′(x )＝ax －1ax 2，①当a <0时，f (x )>0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a >0时，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f (x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a ＞0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． (2)由题意知，函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m ，x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 的零点个数即方程(ln x －1)e x＋x ＝m ，x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 的根的个数．令h (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 则h ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x －1e x ＋1. 由(1)知当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x －1在⎣⎡⎭⎫1e ，1递减，在[1，e]上递增，∴f (x )≥f (1)＝0. ∴1x＋ln x －1≥0在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立． ∴h ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x －1e x ＋1≥0＋1>0， ∴h (x )＝(ln x －1)e x ＋x 在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递增． ∴h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2e 1e ＋1e ，h (x )max ＝h (e)＝e. 所以当m <－2e 1e ＋1e或m >e 时，函数没有零点；当－2e 1e ＋1e≤m ≤e 时函数有一个零点．课时作业(六)1．(2018·邯郸质检)已知关于x 的不等式m cos x ≥2－x 2在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)C [m ≥2－x 2cos x 最大值，因为当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2时⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x2cos x ′＝－2x cos x ＋(2－x 2)sin x cos 2x 令y ＝x cos x －sin x ，y ′＝cos x －sin x －cos x <0， ∴y >y (0)＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2cos x ′<0，由因为2－x 2cos x 为偶函数，所以2－x 2cos x 最大值为2－0cos 0＝2，m ≥2，故选C.]2．(2018·江西省K12联盟质检)已知函数f (x )＝2e 2x －2ax ＋a －2e －1，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．若函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(2e －1,2e 2－2e －1)B ．(2,2e －1)C ．(2e 2－2e －1,2e 2)D ．(2,2e 2)A [f (x )＝2e 2x －2ax ＋a －2e －1，则f ′(x )＝4e 2x －2a ，x ∈(0,1)，∵4<4e 2x <4e 2，∴①若a ≥2e 2时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)内单调递减，故在(0,1)内至多有一个零点，故舍去；②若a ≤2时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0,1)内单调递增，故在(0,1)内至多有一个零点，故舍去；③若2<a <2e 2时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12ln a 2上递减，在⎝⎛⎭⎫12ln a 2，1上递增，所以f (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12ln a 2＝2a －aln a2－2e －1.令h (x )＝2x －x ln x2－2e －1(2<x <e 2)，则h ′(x )＝－ln x ＋1＋ln 2，当x ∈(2，2e)时，h ′(x )>0，h (x )为增函数；当x ∈(2e,2e 2)时，h ′(x )<0，h (x )为减函数，所以h (x )min ＝h (2e)＝－1<0，即f (x )min <0恒成立，所以函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)>0，解得a ∈(2e －1,2e 2－2e －1)，故选A.]3．(2018·山师附中三模)已知f (x )是R 上的连续可导函数，满足f ′(x )－f (x )>0.若f (1)＝1，则不等式f (x )>e x－1的解集为________．解析 令g (x )＝f (x )e x －1，g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x －1>0，即g (x )是R 上的增函数，又因为f (1)＝1，所以g (1)＝1，所以不等式f (x )>e x －1的解集为(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)4．(2018·辽宁六校协作体联考)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝e ，对任意实数x 都有2f (x )－f ′(x )>0，则不等式f (x )e x <e x －1的解集为________． 解析 令F (x )＝f (x )e 2x ，则F ′(x )＝f ′(x )－2f (x )e 2x<0， ∴F (x )在R 上是减函数．又f (x )e x<e x －1等价于F (x )<F (1)． ∴x >1.故不等式的解集是(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)5．(2018·咸阳二模)已知函数f (x )＝x 2a－2ln x (a ∈R ，a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，且a ＝e 2，证明：x 1＋x 2>2e.解 (1)f ′(x )＝2x a －2x(x >0)， 当a <0时，f ′(x )<0，知f (x )在(0，＋∞)上是递减的；当a >0时，f ′(x )＝2(x ＋a )(x －a )ax，知f (x )在(0，a )上是递减的，在(a ，＋∞)上递增的． (2)由(1)知，a >0，f (x )min ＝f (a )＝1－ln a ，依题意1－ln a <0，即a >e ，由a ＝e 2得f (x )＝x 2e2－2ln x (x >0)，x 1∈(0，e)，x 2∈(e ，＋∞)， 由f (2e)＝2－2ln 2>0及f (x 2)＝0得x 2<2e ，即x 2∈(e,2e)，欲证x 1＋x 2>2e ，只要x 1>2e －x 2，注意到f (x )在(0，e)上是递减的，且f (x 1)＝0，只要证明f (2e －x 2)>0即可，由f (x 2)＝x 2e 2－2ln x 2＝0得x 22＝2e 2ln x 2， 所以f (2e －x 2)＝(2e －x 2)2e 2－2ln(2e －x 2) ＝4e 2－4e x 2＋x 22e 2－2ln(2e －x 2) ＝4e 2－4e x 2＋2e 2ln x 2e 2－2ln(2e －x 2) ＝4－4x 2e＋2ln x 2－2ln(2e －x 2)，x 2∈(e,2e)， 令g (t )＝4－4t e＋2ln t －2ln(2e －t )，t ∈(e,2e)， 则g ′(t )＝－4e ＋2t ＋22e －t ＝4(e －t )2et (2e －t )>0， 知g (t )在(e,2e)上是递增的，于是g (t )>g (e)，即f (2e －x 2)>0，综上，x 1＋x 2>2e.6．(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)ln(1＋x )－2x .(1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0；(2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a .(1)证明 当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x 1＋x. 设函数g (x )＝f ′(x )＝ln(1＋x )－x 1＋x，则g ′(x )＝x (1＋x )2. 当－1<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，故当x >－1时，g (x )≥g (0)＝0，且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0.所以f (x )在(－1，＋∞)单调递增．又f (0)＝0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0.(2)解 (ⅰ)若a ≥0，由(1)知，当x >0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x >0＝f (0)，这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾． (ⅱ)若a <0，设函数h (x )＝f (x )2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x 2＋x ＋ax 2. 由于当|x |<min{1, 1|a |}时，2＋x ＋ax 2>0， 故h (x )与f (x )符号相同．又h (0)＝f (0)＝0，故x ＝0是f (x )的极大值点，当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点．h ′(x )＝11＋x －2(2＋x ＋ax 2)－2x (1＋2ax )(2＋x ＋ax 2)2 ＝x 2(a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1)(x ＋1)(ax 2＋x ＋2)2. 若6a ＋1>0，则当0<x <－6a ＋14a，且|x |<min{1，1|a |}时，h ′(x )>0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1<0，故当x ∈(x 1,0)，且|x |<min{1，1|a |}时，h ′(x )<0， 所以x ＝0不是h (x )的极大值点．如果6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3(x －24)(x ＋1)(x 2－6x －12)2. 则当x ∈(－1,0)时，h ′(x )>0；当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0.所以x ＝0是h (x )的极大值点，从而x ＝0是f (x )的极大值点．综上，a ＝－16. 7．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )＝(x ＋b )(e x －a )(b >0)，在(－1，f (－1))处的切线方程为(e －1)x ＋e y ＋e －1＝0.(1)求a ，b ；(2)若方程f (x )＝m 有两个实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 2－x 1≤1＋m (1－2e )1－e. 解 (1)由题意f (－1)＝0，所以f (－1)＝(－1＋b )⎝⎛⎭⎫1e －a ＝0，又f ′(x )＝(x ＋b ＋1)e x －a ，所以f ′(－1)＝b e －a ＝－1＋1e， 若a ＝1e，则b ＝2－e<0，与b >0矛盾，故a ＝1，b ＝1. (2)由(1)可知f (x )＝(x ＋1)(e x －1)，f (0)＝0，f (－1)＝0，设f (x )在(－1,0)处的切线方程为h (x )，易得h (x )＝⎝⎛⎭⎫1e －1(x ＋1)，令F (x )＝f (x )－h (x )即F (x )＝(x ＋1)(e x －1)－⎝⎛⎭⎫1e －1(x ＋1)，F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e， 当x ≤－2时，F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e <－1e<0 当x >－2时，设G (x )＝F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e，G ′(x )＝(x ＋3)e x >0， 故函数F ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又F ′(－1)＝0，所以当x ∈(－∞，－1)时，F ′(x )<0 ，当x ∈(－1，＋∞)时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增，故F (x )≥F (－1)＝0，f (x 1)≥h (x 1)，设h (x )＝m 的根为x 1′，则x 1′＝－1＋m e 1－e， 又函数h (x )单调递减，故h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)，故x 1′≤x 1，设y ＝f (x )在(0,0)处的切线方程为y ＝t (x )，易得t (x )＝x ，令T (x )＝f (x )－t (x )＝(x ＋1)(e x －1)－x ，T ′(x )＝(x ＋2)e x －2，当x ≤－2时，T ′(x )＝(x ＋2)e x －2<－2<0，当x >－2时，设H (x )＝T ′(x )＝(x ＋2)e x －2，H ′(x )＝(x ＋3)e x >0， 故函数T ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又T ′(0)＝0，所以当x ∈(－∞，0)时，T ′(x )<0，当x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )>0，所以函数T (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增， T (x )>T (0)＝0，f (x 2)≥t (x 2)，设t (x )＝m 的根为x 2′，则x 2′＝m ，又函数t (x )单调递增，故t (x 2′)＝f (x 2)≥t (x 2)，故x 2′≥x 2.又x 1′≤x 1，x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋m e 1－e ＝1＋m (1－2e )1－e .。
高三数学二轮复习 必考问题专项突破4 导数的简单应用及定积分 理 试题
考必考问题4 导数的简单应用及定积分创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日1．(2021·全国)曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )．A .13B.12C.23D ．1答案： A [y ′＝－2e －2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如下图，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以三角形面积S ＝12×1×23＝13，应选A .]2．(2021·)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析 曲线方程为y ＝x 3－x ＋3，那么y ′＝3x 2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y ′|x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y＋1＝0.答案 2x －y ＋1＝03．(2021·)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，那么z ＝x －2y 在D 上的最大值为________．解析 当x ＞0时，求导得f ′(x )＝1x，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线方程为y ＝x －1，画图可知区域D 为三角形，三个顶点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，(0，－1)，(1,0)，平移直线x －2y ＝0，可知在点(0，－1)处z 获得最大值2.答案 24．(2021·)计算定积分⎠⎛1－1(x 2＋sin x )dx ＝________.解析 ⎠⎛1－1(x 2＋sin x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－cos x ⎪⎪⎪1－1＝23. 答案 231．利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考察定积分的性质及几何意义． 2．考察利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式． 3．用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考察常见的数学思想方法．首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤，对于函数单调性或者单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用别离参数法求解.必备知识导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a (t)．根本初等函数的导数公式和运算法那么 (1)根本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈R ) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x(2)导数的四那么运算法那么①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u x v x ′＝u ′x v x －u x v ′x [v x ]2(v (x )≠0)．(3)复合函数求导复合函数y ＝f (g (x ))的导数和y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数之间的关系为y x ′＝f ′(u )g ′(x )．利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)①假设求单调区间(或者证明单调性)，只需在函数y ＝f (x )的定义域内解(或者证明)不等式f ′(x )＞0或者f ′(x )＜0；②假设y ＝f (x )的单调性，那么转化为不等式f ′(x )≥0或者f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．求可导函数极值的步骤(1)求f ′(x )； (2)求f ′(x )＝0的根； (3)断定根两侧导数的符号； (4)下结论．求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤 (1)求f ′(x )；(2)求f ′(x )＝0的根(注意取舍)； (3)求出各极值及区间端点处的函数值；(4)比拟其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．必备方法1．利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论．2．定积分在几何中的应用被积函数为y ＝f (x )，由曲线y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )和y ＝0所围成的曲边梯形的面积为S .(1)当f (x )＞0时，S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)当f (x )＜0时，S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；(3)当x ∈[a ，c]时，f (x )＞0；当x ∈[c，b]时，f (x )＜0，那么S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cbf (x )d x .导数的几何意义及其应用常考察：①根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；②根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数．可能出如今导数解答题的第一问，较根底．【例1】► (2021·新课标全国)函数f (x )＝aln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a 、b 的值．[审题视点] [听课记录][审题视点] 求f ′(x )，由⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f ′1＝－12可求．解 f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋12－bx2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f ′1＝－12即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P 的切线〞与“在点P 处的切线〞的差异．过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在曲线上；在点P 处的切线，点P 是切点．【打破训练1】 直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，那么实数b ＝________.解析 切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b 的值．y′＝1x ，令1x ＝2得，x ＝12，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln 12，代入直线方程，得ln 12＝2×12＋b ，所以b ＝－ln 2－1.答案 －ln 2－1利用导数研究函数的单调性常考察：①利用导数研究含参函数的单调性问题；②由函数的单调性求参数的范围．尤其是含参函数单调性的研究成为高考命题的热点，主要考察学生的分类讨论思想，试题有一定难度．【例2】► (2021·一模)函数f (x )＝x ＋ax(a ∈R )，g (x )＝ln x ．求函数F (x )＝f (x )＋g (x )的单调区间．[审题视点] [听课记录][审题视点] 确定定义域→求导→对a 进展分类讨论→确定f (x )的单调性→下结论． 解 函数F (x)＝f (x )＋g (x )＝x ＋a x＋ln x 的定义域为(0，＋∞)．所以f ′(x )＝1－a x 2＋1x ＝x 2＋x －ax 2.①当Δ＝1＋4a ≤0，即a ≤－14时，得x 2＋x －a ≥0，那么f ′(x )≥0.所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＝1＋4a ＞0，即a ＞－14时，令f ′(x )＝0，得x 2＋x －a ＝0，解得x 1＝－1＋1＋4a 2＜0，x 2＝－1＋1＋4a2.(1)假设－14＜a ≤0，那么x 2＝－1＋1＋4a2≤0.因为x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＞0， 所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)假设a ＞0，那么x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1＋4a 2时，f ′(x )＜0；x ∈－1＋1＋4a2，＋∞时，f ′(x )＞0.所以函数F (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1＋4a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1＋4a 2，＋∞上单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，函数F (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1＋4a 2，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1＋4a 2，＋∞.讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在可以通过因式分解求出不等式对应方程的根时根据根的大小进展分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进展分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进展的，千万不要无视了定义域的限制．【打破训练2】 (2021·)设函数f (x )＝a e x＋1a e x＋b (a ＞0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解 (1)f ′(x )＝ae x－1ae x，当f ′(x )＞0，即x ＞－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0＜a ＜1时，－ln a ＞0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)内的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)内的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b.(2)依题意f ′(2)＝ae 2－1ae 2＝32，解得ae 2＝2或者ae 2＝－12(舍去)． 所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12.故a ＝2e 2，b ＝12.利用导数研究函数的极值或者最值此类问题的命题背景很广泛，涉及到的知识点多，综合性强，常考察：①直接求极值或者最值；②利用极(最)值求参数的值或者范围．常与函数的单调性、方程、不等式及实际应用问题综合，形成知识的交汇问题．【例3】► 函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)假设a ＞0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值． [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)根据f (x )、g(x )的函数图象的性质，列出关于m 、n 的方程，求出m 、n 的值．(2)分类讨论．解 (1)由函数f (x )的图象过点(－1，－6)， 得m －n ＝－3.①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2， 得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，那么g(x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n . 而g(x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0，所以m ＝－3.代入①得n ＝0. 于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 由f ′(x )＞0得x ＞2或者x ＜0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2， 故f (x )的单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2)， 令f ′(x )＝0得x ＝0或者x ＝2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得：当0＜a ＜1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极大值f (0)＝－2，无极小值； 当a ＝1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值；当1＜a ＜3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得，当0＜a ＜1时，f (x )有极大值－2，无极小值； 当1＜a ＜3时，f (x )有极小值－6，无极大值； 当a ＝1或者a ≥3时，f (x )无极值．(1)求单调递增区间，转化为求不等式f ′(x )≥0(不恒为0)的解集即可，f (x )在M 上递增⇒f ′(x )≥0在M 上恒成立，注意区别．(2)研究函数的单调性后可画出示意图．讨论区间与0,2的位置关系，画图→截取→观察即可．【打破训练3】 (2021·)函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)假设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公一共切线，求a ，b 的值；(2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解 (1)f ′(x )＝2ax ，g′(x )＝3x 2＋b.因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g(x )在它们的交点(1，c)处具有公一共切线， 所以f (1)＝g(1)，且f ′(1)＝g′(1)． 即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b. 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g(x )．当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝－a2，x 2＝－a6.a ＞0时，h (x )与h ′(x )的变化情况如下： x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2－a2⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6 －a6⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋0 －0 ＋h (x )所以函数h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫－a6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6. 当－a2≥－1，即0＜a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2.当－a 2＜－1，且－a6≥－1，即2＜a ≤6时，函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－a2，－1上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1. 当－a6＜－1，即a ＞6时，函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6内单调递减，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－a 6，－1上单调递增，又因h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2＞0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.定积分问题定积分及其应用是新课标中的新增内容，常考察：①根据定积分的根本运算求解简单的定积分；②根据定积分的几何意义和性质求曲边梯形面积．关键在于准确找出被积函数的原函数，利用微积分根本定理求解．各地考纲对定积分的要求不高．学习时以掌握根底题型为主．【例4】► (2021·新课标全国)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )．A .103B ．4 C.163D ．6[审题视点] [听课记录] [审题视点] 借助封闭图形确定积分上、下限及被积函数．C [由y ＝x 及y ＝x －2可得x ＝4，所以由y ＝x 、y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为⎠⎛04(x －x ＋2)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x 40 ＝163.] 求定积分的一些技巧：(1)对被积函数要先化简，把被积函数变为幂函数、指数函数、正弦、余弦函数与常数的和或者差，再求定积分；(2)求被积函数是分段函数的定积分，根据定积分的性质，分段求定积分，再求和； (3)对含有绝对值符号的被积函数，先要去掉绝对值符号再求定积分．【打破训练4】 假设⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x dx ＝3＋ln 2，那么a 的值是( )．A ．6B ．4C ．3D ．2 答案：D [⎠⎛1a⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x dx ＝x 2＋ln x a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，ln a ＝ln 2，∴a ＝2.]导数法求最值中的分类讨论由参数的变化引起的分类讨论．对于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者对于不同的参数值要运用不同的求解或者证明方法．【例如】► (2021·)函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)假设函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值．[满分是解答] (1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1，a ) a(a ，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )．(5分)(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f －2＜0，f －1＞0，f 0＜0，解得0＜a ＜13.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.(8分) (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由(1)知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t ＋3]上单调递减．因此f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53.所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.(12分) ②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t ，t ＋3]． 下面比拟f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有f (－2)≤f (t )≤f (－1)， f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f (2)＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f (1)＝－53.所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为43.(14分)教师叮咛：此题中的第3问比拟费事，由于所给的区间不确定，函数在此区间上的单调性也不确定，需要根据参数的不同取值进展分类讨论，注意把握分类的HY ，可以确定出函数的最大值和最小值，要求思路明晰，结合第1问中的函数的单调性确定函数g t 的最值.【试一试】 (2021·)函数f (x )＝(x －k )2e x k. (1)求f (x )的单调区间；(2)假设对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e xk .令f ′(x )＝0，得x ＝±k.当k>0时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，－k)－k (－k ，k) k (k ，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )4k 2e －1所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－k)和(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k)． 当k<0时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，k)k (k ，－k) －k (－k ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )4k 2e －1． (2)当k>0时，因为f (k ＋1)＝e k ＋1k >1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e .当k<0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f (－k)＝4k 2e .∴4k 2e ≤1e ，∴4k 2≤1，∴－12∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 时，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日。
导数及定积分知识点总结及练习(经典)
导数的应用及定积分（一）导数及其应用1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。
2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率 ，即k ＝f ′(x 0)＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.3．函数的导数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。
5．常见函数的导数(x n )′＝__________.(1x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________.(a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________． （2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )′＝___________________.（3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．函数的单调性设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________； (2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________．__________，其图象比较__________．7．函数的极值一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取得________，并把x0称为函数f(x)的一个_________；如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取得________，并把x0称为函数f(x)的一个________．极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．8．函数的最值假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a，b]上一定能够取得____________与____________，若该函数在(a，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．9．生活中的实际优化问题（1）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．（2）实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点．（二）定积分1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a、x＝b(a≠b)、y＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_______________；②近似代替：对每个小曲边梯形“___________”，即用__________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的________；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值________；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用________、________、________、________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.3．定积分的概念如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式S n＝∑n f(ξi)Δx＝_____________(其中Δx 为小区间长度)，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的_________，记作⎰baf (x )dx ，即⎰baf (x)d x ＝_________．这里，a 与b 分别叫做________与________，区间[a ，b]叫做________，函数f(x)叫做________，x 叫做________，f(x)dx 叫做________．4．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有___________，那么定积分⎰baf (x )dx 表示由_________________________，y ＝0和_____________所围成的曲边梯形的面积．5．定积分的性质 ①⎰ba kf(x )dx ＝__________________(k 为常数)；②⎰ba(x )]dx f±(x )[f 21＝________________；③⎰baf (x )dx ＝⎰caf (x )dx ＋_______________(其中a <c <b )．6．微积分（1）微积分基本定理如果F (x )是区间[a ，b ]上的________函数，并且F ′(x )＝________，那么⎰baf (x )dx ＝___________．（2）用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找被积函数的________，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．（3）被积函数的原函数有很多，即若F (x )是被积函数f (x )的一个________，那么F (x )＋C (C 为常数)也是被积函数f (x )的________．但是在实际运算时，不论如何选择常数C (或者是忽略C )都没有关系，事实上，以F (x )＋C 代替式中的F (x )有⎰baf (x )dx ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )．（4）求定积分的方法主要有：①利用定积分的________；②利用定积分的___________；③利用_______________。
第2讲 导数的简单应用与定积分
=(n-1)- n 1 = 2n2 2 n 1 = n 12n 1 .
2n 1 2n 1
2n 1
︱高中总复习︱二轮·理数
方法技巧 (1)研究函数的单调性即研究函数导数大于零、小于零的不等式的解,对 含有参数的函数需要分类讨论,注意函数定义域;(2)如果函数f(x)在区间 D单调递增(减),则f′(x)≥0(≤0)在D上恒成立;(3)关于正整数的不等式, 可以通过对实数区间上的不等式进行赋值得出.
︱高中总复习︱二轮·理数
则原问题等价于方程 ax-ex=k,k∈[-1,e2]至少有两个实数根, 即 ex=ax-k,k∈[-1,e2]至少有两个实数根, 考查临界情况,当 k=e2 时,直线 y=ax-e2 与指数函数 y=ex 相切,
由 y=ex 可得 y′=ex,则切点坐标为(x0, ex0 ),切线斜率为 y′| xx0 = ex0 ,
2
2
2
所以 g(x)在(0, 2 )上为减函数,在( 2 ,+∞)上为增函数,
2
2
︱高中总复习︱二轮·理数
所以 g(x)≥g( 2 )= 3 + 1 ln 2>0, 2 22
所以 f′(x)>0 恒成立, 所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增.
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)若f(x)存在极值点,求a的取值范围.
解析:(1)y′=aex+ln x+1, k=y′|x=1=ae+1=2, 所以a=e-1, 将(1,1)代入y=2x+b得2+b=1,b=-1,故选D.
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2019·甘青宁 3 月联考)若直线 y=kx-2 与曲线 y=1+3ln x 相切,则 k 等于 ()
4 导数的简单应用及定积分
1．已知函数f (x )＝ax 2＋3x －2在点(2，f (2))处的切线斜率为7，则实数a 的值为( )．A ．－1B ．1C ．±1 D．－22． (x －sin x )d x 等于( )．A.π24－1B.π28－1C.π28D.π28＋1 3．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1] 4．函数f (x )＝e x ＋e －x (e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上( )．A ．有极大值B ．有极小值C ．是增函数D ．是减函数 5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )．A ．－13B ．－15C ．10D ．156．已知函数f (x )＝x e x，则f ′(x )＝________；函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为________． 7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[0，1]1x ，x ∈1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________． 8．函数f(x)＝13x 3－x 2－3x －1的图象与x 轴的交点个数是________． 9．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x)满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值．10．已知函数f (x )＝ln x －a x .(1)当a ＞0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值．11．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设a ≤－2，证明：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.。
高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用学案含解析
1.7 定积分的简单应用积为S 1.由直线x ＝a ，x ＝b ，曲线y ＝g(x )和x 轴围成的曲边梯形的面积为S 2.问题1：如何求S 1? 提示：S 1＝⎠⎛ab f(x)d x.问题2：如何求S 2? 提示：S 2＝⎠⎛ab g(x)d x.问题3：如何求阴影部分的面积S? 提示：S ＝S 1－S 2.平面图形的面积由两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )和直线x ＝a ，x ＝b (b >a )所围图形的面积．(1)如图①所示，f (x )>g (x )>0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab d x .(2)如图②所示，f (x )>0，g (x )<0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛abg x x ＝⎠⎛ab d x .相交曲线所围图形的面积求法如下图，在区间上，若曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )相交，则所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛a cd x ＋⎠⎛c b[g x －f x x＝⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .问题：在《1.5.2 汽车行驶的路程》中，我们学会了利用积分求物理中物体做变速直线运动的路程问题，利用积分还可以解决物理中的哪些问题？提示：变力做功．1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间上的定积分，即s ＝⎠⎛abd t.2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W ＝⎠⎛ab F(x )d x.求变速直线运动的路程的注意点对于给出速度－时间曲线的问题，关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限，需要注意的是分段解析式要分段求路程，然后求和．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图．因此所求图形的面积为S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 23＝92.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求曲线y ＝e x，y ＝e －x及x ＝1所围成的图形面积．解：作图，并由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e －x，解得交点(0,1)． 所求面积为⎠⎛01(e x－e －x)d x＝(e x ＋e －x)1＝e ＋1e－2.求抛物线 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝423x322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x 32－12x 2＋4x 82＝18.法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为，如图得所求的面积为S ＝⎠⎛－42⎝⎛⎭⎪⎫4－y －y 22d y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4y －12y 2－16y 324－＝18.需分割的图形的面积的求法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线不同．求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．试求由抛物线y ＝x 2＋1与直线y ＝－x ＋7以及x 轴、y 轴所围成图形的面积． 解：画出图形(如下图)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y ＝－x ＋7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝10(舍去)，即抛物线与直线相交于点(2,5)．于是所求面积为S ＝⎠⎛02(x 2＋1)d x ＋⎠⎛27(7－x)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7x －12x 272＝143＋252＝1036.A ，BC 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，速度为(24－1.2t ) m/s ，经t s 后，在B 点恰好停车．试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离． (1)设A 到C 的时间为t 1， 则1.2t 1＝24，t 1＝20 s ，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t220＝240(m)．(2)设D 到B 的时间为t 2， 则24－1.2t 2＝0，t 2＝20 s ， 则DB ＝⎠⎛020 (24－1.2t )d t＝(24t －0.6t 2)20＝240(m)．求变速直线运动的路程、位移应关注三点(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．一点在直线上从时刻t ＝0(单位：s )开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(单位：m /s )运动，求： (1)在t ＝4 s 时的位置； (2)在t ＝4 s 时运动的路程． 解：(1)在t ＝4 s 时该点的位移为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43(m )， 即在t ＝4 s 时该点距出发点43 m .(2)∵v(t)＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间及上v(t)≥0，在区间上，v(t)≤0. ∴在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 10－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 31＋13t 3－2t 2＋3t 43＝4(m )， 即在t ＝4 s 时运动的路程为4 m .一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0 m 处运动到x ＝4 m 处力F (x )做的功．由力位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x ≤2，3x ＋4，2＜x ≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为W ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝46(J)．解决变力做功应关注两点(1)首先将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)． 由题意F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，解得即0.05k ＝100，∴k ＝2 000， ∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝⎠⎛00.152 000x d x ＝1 000x2.015＝22.5(J)．4.利用定积分求面积的策略由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积为( ) A ．16－3223B ．16＋3223C.403D.403＋3223由题意，作图形如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＞，x ＋y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)．法一：(选y 为积分变量)S ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫6－y －18y 2d y＝⎝⎛⎭⎪⎫6y －12y 2－124y 34＝24－8－124×64＝403.法二：(选x 为积分变量)S ＝⎠⎛02(8x )d x ＋⎠⎛26(6－x )d x＝8×23x 322＋⎝⎛⎭⎪⎫6x －12x 262＝163＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6－12×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－12×22＝403. C1．本题易搞错被积函数及积分上、下限，误认为S ＝⎠⎛04－x －8x)d x ，从而得出S＝16－3223的错误答案．2．求平面图形面积时，应首先求出交点坐标，确定积分上、下限，然后确定被积函数，判定积分的正负，用公式求解面积．如本例法一中的被积函数为f(y)＝6－y －18y 2，y∈(0,4]，法二中的被积函数为f(x)＝⎩⎨⎧8x ，，2]，6－x ，，6].3．利用定积分求面积时，应根据具体问题选择不同的方法求解，常见类型有以下几种： (1)换元积分：当两区域所围成图形纵坐标一致时，换元变成对y 积分可简化运算．如本例中的法一． (2)分割求和：当两曲线处于不同区间时，可分割成几块，分别求出面积再相加，如本节例2的求解法．事实上，本例中的法二就是分割求和．(3)上正下负：若a≤x≤c 时，f(x)＜0，则⎠⎛a c f(x)d x ＜0；若c≤x≤b 时，f(x)≥0，则⎠⎛cb f(x)d x≥0.此时曲线y ＝f(x)和直线x ＝a ，x ＝b(a ＜b)及y ＝0所围图形的面积是 S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cd x ＋⎠⎛c bf(x)d x ＝－⎠⎛acf(x)d x ＋⎠⎛cbd x.例：求正弦曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2和直线x ＝0，x ＝3π2及y ＝0所围图形的面积S .解：作出曲线y ＝sin x 和直线x ＝0，x ＝3π2，y ＝0的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．由图可知，当x ∈时，曲线y ＝sin x 位于x 轴的上方； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2时，曲线位于x 轴下方． 因此，所求面积应为两部分的和，即S ＝π⎰32|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x －ππ⎰32sin x d x＝－cos xπ＋cos xππ32＝3.(4)上下之差：若在区间上f (x )＞g (x )，则曲线f (x )与g (x )所围成的图形的面积S ＝⎠⎛ab d x .例：求由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围图形的面积S .解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛1x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 321－14x 41＝512.1．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02x －x 3x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 42＝4.2．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在3 s ～6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m解析：选B s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．3．(天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪1＝16.答案：164．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32a＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：495．一物体在变力F (x )＝36x2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8处运动到x ＝18处，求力F (x )在这一过程中所做的功．解：由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x－1188＝(－36×18－1)－(－36×8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J.一、选择题1．用S 表示下图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A .⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛acf x xC.⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛b c f(x)d xD .⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x解析：选D 由图可知，x 轴上方阴影部分的面积为⎠⎛bcf x x，x 轴下方阴影部分的面积为－⎠⎛ab f (x )d x ，故D 正确．2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围图形的面积等于( ) A.⎠⎛－11(x －x 3)d xB.⎠⎛－11(x 3－x )d x C ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛－10(x －x 3)d x解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 3，求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .3．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3 解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分∫π3－π3cos x d x ＝sin x π3－π3＝3.4．一质点运动的速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则它在时间内的位移为( )A.176B.143 C.136 D.116解析：选A 质点在时间内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176.5．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( ) A.23 B ．1 C.43 D.53解析：选B S ＝⎠⎛0－1(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 20－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 310＝1.二、填空题6．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为________．解析：由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为∫5π6π6sin x －12d x ＝－cos x －12x 5π6π6＝3－π3. 答案：3－π37．物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ；v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上，物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，则两物体相遇时物体A 运动的距离为________m.解析：设t ＝a 时两物体相遇，依题意有⎠⎛0a (3t 2＋1)d t －⎠⎛0a 10t d t ＝(t 3＋t )a 0－5t 2a0＝5，即a 3＋a －5a 2＝5，(a －5)(a 2＋1)＝0，解得a ＝5，所以⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝53＋5＝130.答案：1308．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)，则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________．解析：由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝⎠⎛064(6t －t 2)d t ＝4⎠⎛06(6t －t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎪⎫3t 2－13t 360＝144(cm 3)．故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3. 答案：144 cm 3三、解答题9．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围图形的面积S .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 得B (2,4)．如图所示，所求面积(即图中阴影部分的面积)为S ＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12x－x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12x－x 2)d x ＝12x 210＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 321＝76.10．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)求点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值． 解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动； 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 340－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 364＝1283.当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 360＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，而t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， ∴t ＝6是所求的值．。
导数的实际应用及定积分
导数的实际应用及定积分重 点：建立目标函数，用导数研究最值；计算定积分，求曲边梯形的面积． 难 点：函数建模． 学习目标：1．能建立目标函数，会用导数研究最值．2．能计算定积分，会求曲边梯形的面积．学习过程：一、典例剖析例1 已知f (x )=e x-ax -1.（1）求f (x )的单调增区间；（2）若f (x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a ,使f (x )在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解 f ′(x )= e x-a .(1)若a ≤0，f ′(x )= e x-a ≥0恒成立，即f (x )在R 上递增.若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x≥a ,x ≥ln a . ∴f (x )的递增区间为（ln a ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立.∴e x -a ≥0，即a ≤e x在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x＞0,∴a ≤0.（3）方法一 由题意知e x-a ≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a ≥e x在（-∞，0］上恒成立.∵e x在（-∞，0］上为增函数.∴x =0时，e x最大为1.∴a ≥1.同理可知e x-a ≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤e x在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤1，∴a =1.方法二 由题意知，x =0为f (x )的极小值点.∴f ′(0)=0,即e 0-a =0,∴a =1.例2 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,曲线y =f (x ）在点x =1处的切线为l :3x -y +1=0，若x =32时，y =f (x ）有极值.（1）求a ,b ,c 的值；（2）求y =f (x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.解 （1）由f （x )=x 3+ax 2+bx +c ,得f ′(x )=3x 2+2ax +b ,当x =1时，切线l 的斜率为3，可得2a +b =0 ①当x =32时，y =f (x )有极值，则f ′（32）=0,可得4a +3b +4=0 ② 由①②解得a =2,b =-4.由于切点的横坐标为x =1,∴f (1)=4. ∴1+a +b +c =4.∴c =5.（2）由（1）可得f (x )=x 3+2x 2-4x +5,∴f ′(x )=3x 2+4x -4,令f ′(x )=0,得x =-2,x =32.∴ y =f (x )在[-3，1]上的最大值为13，最小值为27例3 已知函数f (x )=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f （x ）=x 2e -ax（a ＞0）,∴f ′(x )=2x e -ax +x 2·（-a )e -ax =e -ax (-ax 2+2x ).令f ′(x )＞0,即e -ax (-ax 2+2x )＞0,得0＜x ＜a2.∴f (x )在（-∞,0),⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2a 上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0上是增函数. ①当0＜a2＜1,即a ＞2时,f (x ）在（1，2）上是减函数,∴f （x ）max =f （1）=e -a.②当1≤a2≤2,即1≤a ≤2时，f (x )在（1, a 2）上是增函数，在（a 2,2）上是减函数，∴f (x )max =f （a2）=4a -2e -2.③当a2＞2时，即0＜a ＜1时，f (x )在（1，2）上是增函数，∴f （x ）max =f （2）=4e -2a.综上所述，当0＜a ＜1时，f (x )的最大值为4e -2a,当1≤a ≤2时，f (x )的最大值为4a -2e -2,当a ＞2时，f (x )的最大值为e -a. 14分例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为（12-x ）2万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L =(x -3-a )(12-x )2,x ∈［9,11］.(2)L ′(x )=(12-x )2-2(x -3-a )(12-x ) =(12-x )(18+2a -3x ).令L ′=0得x =6+32a 或x =12（不合题意，舍去）.∵3≤a ≤5,∴8≤6+32a ≤328.在x =6+32a 两侧L ′的值由正变负.所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时，L max =L (9)=(9-3-a )(12-9)2=9(6-a ).②当9≤6+32a ≤328即29≤a ≤5时，L max =L (6+32a )=(6+32a -3-a )［12-(6+32a )］2=4(3-31a )3.所以Q (a )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-.529,)313(4,293),6(93a a a a答 若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a )（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a )元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )=4（3-31a ）3(万元).二、课堂练习1.函数y =f (x )的图象过原点且它的导函数g =f ′(x )的图象是如图所示的一条直线， 则y =f (x )图象的顶点在第 象限. 答案 一2.已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x ＞0时，f ′(x )＞0,g ′(x )＞0，则x ＜0时，f ′(x ) 0,g ′(x ) 0.(用“＞”, “=”,“＜”填空) 答案 ＞ ＜3.设a ∈R ,若函数y =e ax+3x ,x ∈R 有大于零的极值点,则a 的取值范围是 . 答案 a ＜-34.函数y =3x 2-2ln x 的单调增区间为 ，单调减区间为 .答案 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,33 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 5. f (x )=ax 3-3x +1对于x ∈［-1,1］总有f (x )≥0成立，则a = . 答案 4 三、智能迁移1.已知函数f (x )=x 3-ax -1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ,使f (x )在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f (x )=x 3-ax -1的图象不可能总在直线y =a 的上方.（1）解 由已知f ′(x )=3x 2-a ,∵f (x )在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴f ′(x )=3x 2-a ≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.∵3x 2≥0,∴只需a ≤0,又a =0时，f ′(x )=3x 2≥0,故f (x )=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.（2）解 由f ′(x )=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立.∵-1＜x ＜1,∴3x 2＜3,∴只需a ≥3.当a =3时，f ′(x )=3(x 2-1), 在x ∈(-1,1)上，f ′(x )＜0,即f (x )在（-1，1）上为减函数，∴a ≥3.故存在实数a ≥3,使f (x )在（-1，1）上单调递减. （3）证明 ∵f (-1)=a -2＜a ,∴f (x )的图象不可能总在直线y =a 的上方.2.求函数y =x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解 先求导数,得y ′=4x 3-4x令y ′=0,即4x 3-4x =0. 解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1.导数y ′的正负以及f (-2),f (2)如下表:当x =±1时,函数有最小值4.3.已知函数f (x )=nx )1(1-+a ln(x -1),其中n ∈N *,a 为常数.(1)当n =2时,求函数f (x )的极值;(2)当a =1时,证明:对任意的正整数n ,当x ≥2时,有f (x )≤x -1. (1)解 由已知得函数f (x )的定义域为{x |x ＞1},当n =2时,f (x )=2)1(1x -+a ln(x -1),所以f ′(x )=32)1()1(2x x a ---.①当a ＞0时,由f ′(x )=0,得x 1=1+a 2＞1,x 2=1-a2＜1,此时f ′(x )=321)1())((x x x x x a ----.当x ∈(1,x 1)时,f ′(x )＜0,f (x )单调递减; 当x ∈(x 1,+∞)时,f ′(x )＞0,f (x )单调递增.②当a ≤0时,f ′(x )＜0恒成立,所以f (x )无极值. 综上所述,n =2时, 当a ＞0时,f (x )在x =1+a2处取得极小值,极小值为f （1+a2）=2a （1+ln a 2）.当a ≤0时,f (x )无极值.(2)证明 方法一 因为a =1,所以f (x )=nx )1(1-+ln(x -1).当n 为偶数时,令g (x )=x -1-nx )1(1--ln(x -1), 则g ′(x )=1+1)1(1+-n x -11-x=12--x x +1)1(+-n x n＞0 (x ≥2). 所以,当x ∈［2,+∞)时,g (x )单调递增,又g (2)=0,因此,g (x )=x -1-nx )1(1--ln(x -1)≥g (2)=0恒成立,所以f (x )≤x -1成立.当n 为奇数时,要证f (x )≤x -1,由于nx )1(1-＜0,所以只需证ln(x -1)≤x -1, 令h (x )=x -1-ln(x -1),则h ′(x )=1-11-x =12--x x ≥0(x ≥2), 所以,当x ∈［2,+∞)时,h (x )=x -1-ln(x -1)单调递增, 又h (2)=1＞0,所以当x ≥2时,恒有h (x )＞0, 即ln(x -1)＜x -1命题成立. 综上所述,结论成立.方法二 当a =1时,f (x )= nx )1(1-+ln(x -1).当x ≥2时,对任意的正整数n ,恒有nx )1(1-≤1,故只需证明1+ln(x -1)≤x -1. 令h (x )=x -1-(1+ln(x -1)) =x -2-ln(x -1),x ∈［2,+∞).则h ′(x )=1-11-x =12--x x , 当x ≥2时,h ′(x )≥0,故h (x )在［2,+∞)上单调递增, 因此,当x ≥2时,h (x )≥h (2)=0, 即1+ln(x -1)≤x -1成立.故当x ≥2时,有nx )1(1-+ln(x -1)≤x -1.即f (x )≤x -1.4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R （x ）=3 700x +45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C （x ）=460x +5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f （x ）的边际函数Mf （x ）定义为Mf （x ）=f （x +1）-f （x ）.（1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP （x ）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解 （1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=-10x 3+45x 2+3 240x -5 000（x ∈N *，且1≤x ≤20）;MP (x )=P (x +1)-P (x )=-30x 2+60x +3 275 (x ∈N *,且1≤x ≤19).（2）P ′(x )=-30x 2+90x +3 240=-30(x -12)(x +9), ∵x ＞0,∴P ′(x )=0时,x =12，∴当0＜x ＜12时，P ′(x )＞0,当x ＞12时，P ′(x )＜0, ∴x =12时，P (x )有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP （x ）=-30x 2+60x +3 275=-30（x -1）2+3 305. 所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N *.MP （x ）是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.一、典例剖析例1 计算下列定积分（1）20⎰x (x +1)d x ; (2) 21⎰(e 2x +x1)d x ; (3) π0⎰sin 2x d x .解 （1）∵x （x +1）=x 2+x 且(31x 3)′=x 2,(21x 2)′=x , ∴20⎰x (x +1)d x =20⎰(x 2+x )d x=20⎰x 2d x +20⎰x d x =31x 3|20+21x 2|20 =(31×23-0)+(21×22-0)=314. (2)∵(ln x )′=x1,(e 2x )′=e 2x ·(2x )′=2e 2x,得e 2x=(21e 2x )′所以21⎰（e 2x +x 1)d x =21⎰e 2x d x +21⎰x 1d x =21e 2x |21+ln x |21=21e 4-21e 2+ln2-ln1=21e 4-21e 2+ln2. (3)由(sin2x )′=cos2x ·(2x )′=2cos2x ,得cos2x =（21sin2x ）′,所以π0⎰sin 2x d x =π0⎰（21-21cos2x ）d x=π0⎰21d x -21π0⎰cos2x d x=21x |π0-21（21sin2x ）|π0 =（2π-0）-21（21sin2π -21sin0）=2π.例2 计算下列定积分（1）π20⎰|sin x |d x ;(2)20⎰|x 2-1|d x .解 （1）∵（-cos x ）′=sin x ，∴π20⎰|sin x |d x =π0⎰|sin x |d x +ππ2⎰|sin x |d x=π0⎰sin x d x -ππ2⎰sin x d x =-cos x |π0+cos x |ππ2=-（cos π-cos0）+（cos2π-cos π）=4.（2）∵0≤x ≤2，于是|x 2-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<-)10(1)21(122x x x x∴20⎰|x 2-1|d x =10⎰(1-x 2)d x +21⎰(x 2-1)d x=⎪⎭⎫ ⎝⎛-331x x |10+（31x 3-x ）|21=（1-31）+（31×23-2）-（31-1）=2. 例3 求函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2(2]2,1(]1,0[23x x x x x x 在区间［0，3］上的积分. 解 由积分性质知30⎰f (x )d x =10⎰f (x )d x +21⎰f (x )d x +32⎰f (x )d x=10⎰x 3d x +21⎰x 2d x +32⎰2xd x=44x |10+31x 3|21+2ln 2x |32=41+38-31+2ln 8-2ln 4 =2ln 4+1231. 例4 求定积分32-⎰2616x x -+d x .解 设y =2616x x -+,即(x -3)2+y 2=25 (y ≥0).∵32-⎰2616x x -+d x 表示以5为半径的圆的四分之一面积. ∴32-⎰2616x x -+d x =π425.二、课堂练习1.当n 无限趋近于+∞时，n 1(sin n π+sin n π2+…+sin nn π)1(-)写成定积分的形式，可记为 . 答案π1π⎰sin x d x 2.10⎰1d x = .答案 13.由曲线y =e x,x =0,y =2所围成的曲边梯形的面积为 （用定积分表示）.答案 21⎰ln y d y 或2ln 0⎰(2-e x)d x4.已知f (x )为偶函数且60⎰f （x ）d x =8，则66-⎰f （x ）d x = .答案 165.已知-1≤a ≤1，f （a ）=10⎰（2ax 2-a 2x ）d x ，求f （a ）的值域.解 f (a )= 10⎰(2ax 2-a 2x )d x=(332x a -222x a )|1=-22a +32a=-21(a -32)2+92.∵-1≤a ≤1，∴-67≤f （a ）≤92，故f (a )的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-92,67三、智能迁移1. 求0π-⎰(cos x +e x)d x .解 0π-⎰(cos x +e x)d x =0π-⎰cos x d x +0π-⎰e xd x=sin x |0π-+e x|0π-=1-πe 1.2.求40⎰（|x -1|+|x -3|）d x .解 设y =|x -1|+|x -3|=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-)3(42)31(2)1(42x x x x x ∴40⎰(|x -1|+|x -3|)d x=10⎰(-2x +4)d x +31⎰2d x +43⎰(2x -4)d x=(-x 2+4x )|10+2x |31+(x 2-4x )|43=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函数:f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤+--)32()2()21()10()1(211x x xx x x 求30⎰f (x )d x .解 30⎰f (x )d x =10⎰2(x +1)-1d x +21⎰x d x +32⎰(2)x -1d x=2ln(x +1)|10+323x |21+ 321|)2(2ln 1-x=2ln2+32(22-1)+ )22(2ln 1-. 4. 10⎰（2)1(1--x -x ）d x = .答案42-π。
导数的简单应用与定积分专题能力提升练 二十三 2.8.3
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专题能力提升练二十三导数的简单应用与定积分(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)的导数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,则f′(2)的值等于 ( )A.-2B.2C.-D.【解析】选C.因为f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,所以f′(x)=2x+3f′(2)+,所以f′(2)=2×2+3f′(2)+,解得f′(2)=-.故选C.2.sin2dx= ( )A.0B.-C.-D.-1【解析】选B.sin2dx=dx==-.3.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,f(-1))处切线的斜率为8,则f(-1)= ( )A.7B.-4C.-7D.4【解析】选B.因为y′=4x3+2ax,所以-4-2a=8,所以a=-6,所以f(-1)=1+a+1=-4. 4.设f(x)=(其中e为自然对数的底数),则f(x)dx的值为( ) A. B.2 C.1 D.【解析】选A.根据积分的运算法则,可知f(x)dx可以分为两段,则f(x)dx=+lnx=+1=.5.已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(2x-1)lnx,则曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线斜率为( )A.-2B.-1C.1D.2【解析】选B.因为当x>0时,f(x)=(2x-1)lnx,所以f′(x)=2lnx+2-,所以f′(1)=1因为函数f(x)是偶函数,所以f′(-1)=-1,所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线斜率为-1.6.若S1=dx,S2=(lnx+1)dx,S3=xdx,则S1,S2,S3的大小关系为( )A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S1<S3<S2D.S3<S1<S2【解析】选A.如图,分别画出对应图形,比较围成图形的面积,易知选A.7.已知点P是曲线y=sinx+lnx上任意一点,记直线OP(O为坐标系原点)的斜率为k,则下列一定成立的为( )A.k<-1B.k<0C.k<1D.k≥1【解析】选C.任意取x为一正实数,一方面y=sinx+lnx≤lnx+1,另一方面容易证lnx+1≤x成立,所以y=sinx+lnx≤x,因为y=sinx+lnx≤lnx+1与lnx+1≤x中两个等号成立条件不一样,所以y=sinx+lnx<x恒成立,所以k<1,所以排除D;当≤x<π时,y=sinx+lnx>0,所以k>0,所以排除A,B.8.曲线y=x2+2与直线5x-y-4=0所围成的图形的面积为( )A. B. C. D.【解析】选C.根据题意,由消去y,得x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当2<x<3时,直线5x-y-4=0在曲线y=x2+2的上方,所以所求的面积为[(5x-4) -(x2+2)]dx=(5x-x2-6)dx==-×22-×23-6×2=.9.给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f′(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sinx-cosx的拐点是M(x0,f(x0)),则点M ( )A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上【解析】选B.f′(x)=3+4cosx+sinx,f″(x)=-4sinx+cosx,由题可知f″(x0)=0,即4sinx0-cosx0=0,所以f(x0)=3x0,故M(x0,f(x0))在直线y=3x上.10.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为( ) A.1 B. C. D.【解析】选B.由题可得,y′=2x-.因为y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),所以由2x-=1,得x=1,则切点坐标为(1,1),所以与y=x-2平行的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d==,即点P到直线y=x-2距离的最小值为.11.设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,P点处切线倾斜角α的取值范围为( ) A.∪ B.C.∪D.【解析】选C.因为y′=3x2-≥-,故切线斜率k≥-,所以切线倾斜角α的取值范围是∪.12.(2018·资阳二模)已知函数f(x)=lnx,它在x=x0处的切线方程为y=kx+b,则k+b的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(-∞,0]C.[1,+∞)D.[0,+∞)【解析】选D.根据题意,函数f(x)=lnx,其导数为f′(x)=,则有f′(x0)=,即k=, 又由切点的坐标为(x0,lnx0),则切线的方程为y-lnx0=k(x-x0),变形可得:y=kx-kx0+lnx0,则有b=lnx0-1,则k+b=(lnx0-1)+,设g(x)=(lnx-1)+,则有g′(x)=-=,可得:在(0,1)上,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上为增函数,则g(x)的最小值g(1)=0,则有k+b=(lnx0-1)+≥0,即k+b的取值范围是[0,+∞).二、填空题(每小题5分,共20分)13.(2018·荆州一模)曲线C:f(x)=sinx+e x+2在x=0处的切线方程为________. 【解析】因为f(x)=sinx+e x+2,所以f′(x)=cosx+e x,所以曲线f(x)=sinx+e x+2在点P(0,3)处的切线的斜率为:k=cos0+e0=2,所以曲线f(x)=sinx+e x+2在点P(0,3)处的切线的方程为:y=2x+3.答案:y=2x+314.(2018·化州二模)已知函数f(x)=e x-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为________.【解析】函数f(x)=e x-mx+1的导数为f′(x)=e x-m,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,即有e x-m=-有解,即m=e x+,由e x>0,则m>,则实数m的范围为,答案:15.曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积为________.【解析】由得交点A(1,1).由得交点B(3,-1).故所求面积S=dx+dx=+=+ +=.答案:16.(2018·遂宁一模)设函数f(x)=x2-2ax(a>0)与g(x)=a2lnx+b有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b的最大值为【解析】设公共点坐标为(x0,y0),则f′(x)=3x-2a,g′(x)=,所以有f′(x0)=g′(x0),即3x0-2a=,解出x0=a,又y0=f(x0)=g(x0),所以有-2ax0=a2lnx0+b,故b=-2ax0-a2lnx0,所以有b=-a2-a2lna,对b求导有b′=-2a(1+lna),故b关于a的函数在为增函数,在为减函数,所以当a=时b有最大值.答案:关闭Word文档返回原板块。
高三数学《导数的概念、定积分》课后习题(参考答案)—精品文档
高三数学《导数的概念、定积分》课后习题一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）1．函数()22)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(='2．函数x ex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ）（A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ） 21<b 5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）8．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．32 9．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）（A ）)2()3()3()2(0//f f f f -<<<（B ） )2()2()3()3(0//f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0//f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0//f f f f <<-<二．填空题（本大题共4小题，共20分）11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．12．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿．13．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是14．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 .三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？高三数学《导数的概念、定积分》课后习题参考答案一、选择题1．()∴==,42)(222x x x f ππ=⋅='x x f 242)(πx x f 28)(π='; 2．∴=⋅=-.)(x x e x ex x f []=⋅-⋅='21)(x x x e e x e x f ， ()[]1,012<∴>⋅-x e e x x x 选(A) 3.(B)数形结合 4.A 由()b x b x x f -=-='22333)(,依题意，首先要求b>0, 所以()()b x b x x f -+='3)( 由单调性分析，b x =有极小值，由()1,0∈=b x 得.5．解：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A6．（D ）7．（D ）8．（C ）9．（B ）10．B 设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A 处的切线为AT点B 处的切线为BQ ， T=-)2()3(f f AB k f f =--23)2()3( ,)3(BQ k f =' ,)2(AT k f =' 如图所示，切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角小于 切线AT 的倾斜角 <∴BQ k <AB k AT k 所以选B11．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．3213．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 14. (1).3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a三、解答题15. 解：设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=230(m)35.441218＜＜x x x h . 故长方体的体积为).230()(m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-= 从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1.当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜32时，V ′（x ）＜0， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。
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导数的简单应用与定积分
1．设函数f ()x ＝x 3＋()a －1x 2＋ax .若f ()x 为奇函数，则曲线y ＝f ()x 在点()0，0处的切线方程为( )
A ．y ＝－2x
B ．y ＝－x
C ．y ＝2x
D ．y ＝x 2.若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x
－1的极值点，则f (x )的极小值是( ) A ．－1
B ．－2e －
3 C ．5e －3 D ．1 3．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )
4．曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为___________.
5.曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为___________.
6.已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为___________.
7．(2018·江苏卷，11)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为___________.
8．设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x .
(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
9.设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；
(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．。