2019版数学人教A版选修4-1课件：第二讲 直线与圆的位置关系 本讲整合 .pdf
合集下载
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：2-2第二讲-直线与圆的位置关系
任意平行四边形的四个顶点在同一个圆上
平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，因为
它的对角相等，但不一定互补．当互补时，共圆． 思考探究2 在我们学过的特殊四边形中，有哪些四边形
的四个顶点共圆？ 提示 有矩形、正方形、等腰梯形，因为它们的四个内角
中相对的两个内角互补.Fra bibliotek名师点拨 1.判定四点共圆的方法 (1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共 圆．
【证明】 O.
由A，B，D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙
(1)如果点C在⊙O的外部(如图①)，连接BC，与圆相交于 点E. ∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB. 而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．
(2)如果点C在⊙O的内部(如图②)． 延长BC与圆相交于点E，连接AE， 则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾． ∴点C不可能在圆内． 由(1)、(2)知，点C只能在圆上． ∴A，B，C，D四点共圆．
规律技巧
本例的证明应用了分类讨论的思想和反证法．
变式2
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点 F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G，求证： (1)D，E，F，G四点共圆； (2)G，B，C，F四点共圆．
证明 GEF＝90° .
(1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠
规律技巧
本题除了运用圆内接四边形的性质定理，还运
用了垂径定理及圆周角定理的推论2解决问题．
变式1
如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB和DC的延长 线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q.如果∠A＝50° ，∠P＝ 30° ，求∠Q的度数．
高三文科数学总复习课件：选修4-1 2直线与圆的位置关系
因为AO⊥BC,AB= ,BC=2 ,所以AE=1,由射影定理得AB2=AE·AD,
3=2r,r= .
3
2
答案: 3
2 3
2
4.(2014·陕西高考)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若
AC=2AE,则EF=
.
【解析】由已知利用割线定理得:AE·AB=AF·AC,
∽△ADQ,所以
故
又因为∠DAQ=∠PBC=∠BDQ,
所以△ADQ∽△DBQ.
BC DQ , AC AQ
BD DQ， AD AQ
【加固训练】如图,圆O的两弦AB和CD交于点E,EF∥CB,EF交AD的延长线于点F.求 证:△DEF∽△EAF.
【证明】因为EF∥CB,所以∠BCD=∠FED, 又∠BAD与∠BCD是 所对应的圆周角,
相交弦定 理
长的相等
积_____
割线定理
从圆外一点引圆的两条割线相,等这一点到每条 割线
切线长
与圆的交点的两条线段长的积_____
切割线定 理
从圆外一点引圆的切线和割线,_______是这
切线长
点到
两条切线
割线与圆交点的两条线段长的比例中项
【小题快练】 1.(2014·天津高考)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于 点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF;②FB2=FD·FA; ③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF. 则所有正确结论的序号是 ( ) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
【规范解答】(1)连接BC, 因为AB为☉O的直径, 所以∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°. 因为GC与☉O相切于C, 所以∠ECB=∠BAC, 所以∠BAC+∠ACG=90°. 又因为AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°, 所以∠BAC=∠CAG.
第二讲 直线与圆的位置关系 知识归纳 课件(人教A选修4-1)
且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的 长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根． (1)证明：C，B，D，E四点共圆； (2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6， 求C，B，D，E所在圆的半径．
解：(1)证明：连接DE， 则在△ADE和△ACB中， AD×AB＝mn＝AE×AC， AD AE 即AC ＝AB. 又∠DAE＝∠CAB， 从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB， 所以C，B，D，E四点共圆．
[解]
(1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∴∠OAB＋∠PAB＝ ∠OBA＋∠PBA， 即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)连接OP，交AB于点D.如图． ∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB. ∴∠PAO＝∠PDA＝90° . 又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA. AP PO ∴DP＝ PA .∴AP2＝PO· DP. 1 1 又∵OD＝ BC＝ ，∴PO(PO－OD)＝AP2. 2 2 1 2 即PO － PO＝( 3)2，解得PO＝2. 2 在Rt△APO中，OA＝ PO2－PA2＝1， 即⊙O的半径为1.
近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相 交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目
难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要
考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判 定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆 内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查 题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某
解：(1)证明：连接DE， 则在△ADE和△ACB中， AD×AB＝mn＝AE×AC， AD AE 即AC ＝AB. 又∠DAE＝∠CAB， 从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB， 所以C，B，D，E四点共圆．
[解]
(1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∴∠OAB＋∠PAB＝ ∠OBA＋∠PBA， 即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)连接OP，交AB于点D.如图． ∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB. ∴∠PAO＝∠PDA＝90° . 又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA. AP PO ∴DP＝ PA .∴AP2＝PO· DP. 1 1 又∵OD＝ BC＝ ，∴PO(PO－OD)＝AP2. 2 2 1 2 即PO － PO＝( 3)2，解得PO＝2. 2 在Rt△APO中，OA＝ PO2－PA2＝1， 即⊙O的半径为1.
近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相 交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目
难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要
考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判 定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆 内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查 题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某
2019-2020学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 2.1 圆周角定理课件 新人教a版选修4-1
=
34.
在 Rt△BPD 中,cos∠BPD=������������������������,
∴cos∠BPD=34,∴tan∠BPD=√37.
答案 D
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
探究一
探究二
探究三
思维辨析
错用圆周角定理致误 典例已知☉O中的弦AB的长等于半径,求弦AB所对的圆心角和
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
做一做1 如图,点A,B,P在圆O上,若∠APB=65°,则
∠AOB=
.
解析由圆周角定理可得∠AOB=2∠APB=130°. 答案130°
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
123
做一做3 如图所示,若D是劣弧������������的中点,则与∠ABD相等的角的 个数是( )
A.7 B.3 C.2 D.1 解析由同弧或等弧所对的圆周角相等,知 ∠ABD=∠CBD=∠ACD=∠DAC,故与∠ABD相等的角有3个. 答案B
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
正解根据题意画出大致示意图如图所示,
∠AOB为弦AB所对的圆心角,∠C和∠D是弦AB所对的圆周角. ∵AB=OA=OB,∴△AOB为等边三角形, ∴∠AOB=60°,∴∠C=30°,∴∠D=150°,∴弦AB所对的圆心角为60°, 所对的圆周角为30°或150°.
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：2-4第二讲-直线与圆的位置关系
(2)图形语言叙述： 如图，AB与⊙O切于点A，则∠BAC＝________.
答 1.相交
圆相切 ∠D
案 2.所夹的弧
思考探究1 提示
弦切角与圆周角有什么异同点？
相同点：两者顶点都在圆上．
不同点：弦切角的一边与圆相交，另一边与圆相切，而圆 周角的两边都与圆相交． 思考探究2 提示 两个 一条弦和一条切线可形成几个弦切角？
(2)证明直线平行 弦切角定理构建了角与角的相等关系，而直线的平行是以 角的关系为基本条件的，因而在圆中我们可以利用弦切角定理 来推理论证直线的平行．如图，若CD切圆于点M，弦AM与弦 BM相等，则由∠CMA＝∠B，∠A＝∠B得到∠CMA＝∠A，从 而CD∥AB.
(3)证明线段相等 借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等) 以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形， 从而证得线段相等．
第二讲
直线与圆的位置关系
四
弦切角的性质
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.理解弦切角的概念．会判断弦切角． 2．掌握弦切角定理的内容，并能利用它解决相关的几何 问题.
课前预习 1.弦切角 顶点在圆上，一边和圆________，另一边和________的角 叫做弦切角． 2．弦切角定理 (1)文字语言叙述： 弦切角等于它________所对的圆周角．
变式1
如图，在两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦
AB，AC和小圆相切于D，E，直线MN切大圆于A. 求证：(1)MN∥BC； 1 (2)DE＝ BC. 2
分析 对于(1)利用弦切角定理可得结果．对于(2)要证明 出点D，E分别为线段AB，AC的中点．
证明 (1)∵AB，AC切小圆于D，E，连接OD，OE， ∴OD＝OE，OD⊥AB，OE⊥AC. 在大圆中，AB＝AC，∠B＝∠C. 又∵MN切大圆于A， ∴∠NAC＝∠B.∴∠NAC＝∠C. ∴MN∥BC.
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：《第二讲-直线与圆的位置关系》小结
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF· BF， 所以EF2＝AD· BC.
【解】 P运动2 s时，PC＝2×2＝4 cm，AC＝8 cm. ∴P是AC的中点，由勾股定理知， BC＝6 cm，BP＝2 13 cm. 连接OD，∵D为切点，∴OD⊥AC. DP PC 4 2 ∴OD∥BC，∴ ＝ ＝ ＝ . OD BC 6 3 设半径OD为3x，则DP＝2x(x>0)． 由勾股定理可求出OP＝ 3x2＋2x2＝ 13x，
【分析】
如下图所示．
轮船是否有触礁的危险，在于轮船航行所在的直线与以A为圆 心，15海里为半径的圆的位置关系，此题应从直线与圆A相切这一 特殊关系入手，转化为三角函数求解．
【解】 (1)过B作⊙A的切线，切点为D，连接DA，则AD⊥ BD. 在Rt△BDA中，AB＝45，AD＝15， AD 1 ∴sin∠DBA＝ AB ＝3，∴∠DBA≈20° . (2)过C作⊙A的切线，切点为E，连接AE， 则AE⊥CE，在Rt△ACE中， AC＝45－15＝30，AE＝15.
︵
【分析2】 如图②，欲证∠CAE＝∠ACD，连接OC，AC， 得到∠CAO＝∠OCA，因此只需证∠EAO＝∠OCD. ∵CD⊥AB，C为A E 的中点，∴OC⊥AE. ∴∠EAO＋∠COA＝∠OCD＋∠COA. ∴∠EAO＝∠OCD. ︵
【分析3】 如图③，欲证∠CAE＝∠ACD， ︵ ︵ ∵ CE ＝ AC ，∴∠CAE＝∠ABC，故只需证明∠ACD＝∠ ABC，这由∠ACB＝90° ，CD⊥AB可得． 证明略．
高中数学人教A(课件)选修4-1 第二讲 直线与圆的位置关系 第2讲 3
学业分层测评（八） 点击图标进入…
阶
阶
段
段
一
三
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
切点的半径
垂直于切线的直线 垂直于切线的直线
外端
垂直于
(1)求证：OC∥AD； (2)若 AD＝2，AC＝ 5，求 AB 的长．
1．如图 2-3-8，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于 D，AB ＝6，BC＝8，则 BD 等于( )
A．4 C．5.2
图 2-3-8 B．4.8 D．6
【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴BD⊥AC. ∵BC 是⊙O 的切线，∴AB⊥BC. ∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
∴BD＝ABA·CBC＝4.8. 【答案】 B
2.如图 2-3-9 所示，直线 l 与⊙O 相切，P 是 l 上任一点，当 OP⊥l 时，则
( ) 【导学号：07370039】
A．P 不在⊙O 上
B．P 在⊙O 上
C．P 不可能是切点 D．OP 大于⊙O 的半径
图 2-3-9
【解析】 由切线性质定理的推论 1，经过圆心 O 垂直于切线 l 的直线必过
切点，故 P 为切点，应选 B.
【答案】 B
3．如图 2-3-10，AP 为圆 O 的切线，P 为切点，OA 交圆 O 于点 B，若∠A ＝40°，则∠APB 等于( )
图 2-3-11
因为 AB＝OA，OA＝OP，所以 OB＝2OP， 又因为∠OPB＝90°，所以∠B＝30°，所以∠O＝60°. 因为 OA＝3 cm， 所以 ＝60×18π0×3＝π，圆的周长为 6π，所以点 P 运动的距离为 π 或 6π－ π＝5π. 所以当 t＝1 s 或 5 s 时，BP 与⊙O 相切． 【答案】 1 或 5
第二讲 直线与圆的位置关系 知识归纳 课件(人教A选修4-1)
近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相 交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目
难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要
考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判 定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆 内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查 题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某
圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形， 结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积 式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、 线段的有关结论．
பைடு நூலகம்
[例 4]
(2010· 陕西高考)如图，已知 Rt△
ABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm, BD 4 cm， AC 为直径的圆与 AB 交于点 D， DA 以 则 ＝________. [解析] 由题意得BC＝4，AC＝3，∴AB＝5.
(2)m＝4，n＝6 时， 方程 x2－14x＋mn＝0 的两根为 x1＝2，x2＝12. 故 AD＝2，AB＝12. 取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH. 因为 C，B，D，E 四点共圆， 所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH. 由于∠A＝90° ，故 GH∥AB，HF∥AC. 1 从而 HF＝AG＝5，DF＝ ×(12－2)＝5. 2 故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 5 2.
又AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD. 则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC. ∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM. 则DM⊥AC，DC2＝AC· CM.
难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要
考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判 定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆 内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查 题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某
圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形， 结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积 式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、 线段的有关结论．
பைடு நூலகம்
[例 4]
(2010· 陕西高考)如图，已知 Rt△
ABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm, BD 4 cm， AC 为直径的圆与 AB 交于点 D， DA 以 则 ＝________. [解析] 由题意得BC＝4，AC＝3，∴AB＝5.
(2)m＝4，n＝6 时， 方程 x2－14x＋mn＝0 的两根为 x1＝2，x2＝12. 故 AD＝2，AB＝12. 取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH. 因为 C，B，D，E 四点共圆， 所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH. 由于∠A＝90° ，故 GH∥AB，HF∥AC. 1 从而 HF＝AG＝5，DF＝ ×(12－2)＝5. 2 故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 5 2.
又AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD. 则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC. ∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM. 则DM⊥AC，DC2＝AC· CM.
高中数学选修4-1(人教A版)第二讲直线与圆的位置2.1关系知识点总结含同步练习题及答案
P A = P D + DC =
1 C△PDE ＝6． 2
如图，在 △ABC 中，AB = AC，∠C = 72∘ ，⊙O 过 A 、B 两点且与 BC 切于点 B ，与 AC 交于点 D ，连接 BD ．若 BC = √5 − 1 ，则 AC = ______．
解：2 ． 因为 AB = AC，∠C = 72∘ ，所以 ∠ABC = 72∘ ，∠A = 36∘ ，因为 BC 切 ⊙O 于点 B ， 所以 ∠DBC = ∠A = 36∘ ，所以 ∠ABD = 36∘，∠BDC = 72∘ ，故 AD = BD = BC = √5 − 1，可证 △ABC ∽ △BDC，所以 BC 2 = CD ⋅ AC = (AC − AD) ⋅ AC = AC 2 − AD ⋅ AC，设 AC = x 则有 (√5 − 1)2 = x2 − (√5 − 1)x，解得 x1 = 2，x2 = √5 − 3 （不合题意，舍去），所以 AC = 2． 如图所示，⊙O 的两条弦 AD 和 CB 相交于点 E ，AC 的延长线和 BD 的延长线相交于点
解：C． 如图所示， CD 切 ⊙O 于B ，CO 的延长线交 ⊙O 与 A ，若 ∠C = 36∘ ，则 ∠ABD 的度 数是（ ） A．72∘ B．63∘ C．54∘ D．36∘
解：B． 连接 OB ，因为 CD 为 ⊙O 的切线，所以 ∠OBC = 90∘ ，因为 ∠C = 36∘ ，所以 ∠BOC = 54∘ ． 又因为 ∠BOC = 2∠A，所以 ∠A = 27∘ ，故 ∠ABD = ∠A + ∠C = 63∘．
高中数学选修4-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
务 理解圆内接四边形的性质定理与判定定理． 二、知识清单
最新人教版高中数学选修4-1《直线与圆的位置关系》本讲概览
第二讲直线与圆的位置关系本讲概览内容提要本讲从圆周角定理出发,得到推论1、推论2以及圆内接四边形的性质定理和判定定理,从切线的定义推出圆的切线的性质和判定,借助圆内接四边形性质,引出弦切角定理,又以圆周角定理为逻辑起点,推出了相交弦定理,割线定理,切割线定理及切线长定理.本讲内容分为四部分:角的关系,点与圆的关系(四点共圆),直线与圆相切,线段的关系(圆幂定理).圆周角、弦切角定理及推论,讨论了圆中角的关系,它们是本讲的重点和核心,其他各部分都以它们为基础.四点共圆的性质与判定定理,提供了纽带的作用,许多问题通过四点共圆,进而利用圆的有关性质解决会非常简洁.圆的切线的性质与判定定理,除了定理本身描述了切线、切点、半径、圆心的关系外,另外与弦切角、切割线、切线定理都有必然的联系.圆幂定理(包括相交弦、切割线、割线、切线长四个定理)从不同侧面描述了和圆有关的线段的关系.学法指导1.掌握圆周角定理及推论1、2,弦切角定理.2.掌握四点共圆的判定方法和圆内接四边形的性质.3.掌握切线的两种判定方法和切线的性质.4.掌握圆幂定理,会用圆幂定理求线段的长,证明线段的关系式.5.了解分类思想方法和运动变化思想以及猜想与证明数学研究方法,另外有些定理的证明,也提供了不少方法.6.角的关系,紧紧围绕弧与角的关系,角→弦→角是一般思路.7.四点共圆判定除了应用判定定理及推论外,有时还可用有公共边的两三角形对角相等且在同侧,则四个顶点共圆.8.切线的判定,分为已知半径外端(切点)和不知半径外端两种情况,前者用判定定理,后者用圆心到直线距离等于半径.9.和圆有关的线段,主要围绕求线段的长度和证明线段关系式,有时利用相似三角形、等线代换、等比代换、面积法等联合解决.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
������������
∴ ������������ = ������������ , ∴ ������������-������������ = ������������-������������.
∴
������������ ������������
=
������������ ������������
,
∴
������������·ED=EG·CF.
-10-
本讲整合
知识建构
综合应用
真题放送
12345678
1(天津高考)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别
经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( )
A.
8 3
B. 3
C.
10 3
5
D. 2
-11-
本讲整合
所以AM=MN=NB,MB=AN.
所以AM·MB=AN·NB. 所以 CM·MD=CN·NE,即 2×4=3·NE,解得 NE= 83. 答案:A
-12-
本讲整合
知识建构
综合应用
真题放送
12345678
2(广东高考)如图,AB为圆O的直径,E为AB延长线上一点,过E作圆O 的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4,CE= 2 3, 则������������ = ___________.
∴AG·BG=CG·DG.①
-9-
本讲整合
专题一 专题二
知识建构
综合应用
真题放送
同理△AEG∽△FBG,∴
������������ ������������
=
������������������������.
∴AG·BG=EG·FG.②
由①②可得 CG·DG=EG·FG,
������������ ������������ ������������
本讲整合
-1-
本讲整合
知识建构
综合应用
真题放送
-2-
本讲整合
专题一 专题二
知识建构
综合应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
真题放送
专题一 与圆有关的角的计算与证明 圆中的角有四类:圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角,与圆
有关的角的计算与证明通常涉及这四类角,因此圆周角定理、圆心 角定理和弦切角定理是解决此类问题的知识基础,通常利用圆周角、 弦切角、圆心角与弧的关系来转化,并借助于圆内接四边形的对角 互补和圆的切线垂直于经过切点的半径来解决.
=
9.
所以 CD=AD-AC=9-4=5.
又 P 是 CD 的中点,所以 PD=PC= 52. 又 MN 与 CD 交于点 P,
则 MP·NP=PD·PC= 245.
答案:
25 4
-8-
本讲整合
专题一 专题二
知识建构
综合应用
真题放送
应用4在两圆公共弦AB上,任取一点G,过点G作直线交一圆于点 C,D,交另一圆于点E,F.
∴∠CAE-∠ECA=10°.
又∠CEB=∠CAE+∠ACE=60°,
∴∠CAE=35°,即∠CAB=35°.
答案:C
-4-
本讲整合
专题一 专题二
知识建构
综合应用
真题放送
应用2如图,已知D,E分别是△ABC的BC,AC边上的点,且 ∠ADB=∠AEB.求证:∠CED=∠ABC.
提示:要证明∠CED=∠ABC,容易想到圆内接四边形的性质,需证 明A,B,D,E四点共圆.用圆内接四边形的判定定理不易找到条件,故 采用分类讨论来解决.
12345678
知识建构
综合应用
真题放送
解析:由相交弦定理,
得
������������·������������ = ������������·������������, ������������·������������ = ������������·������������.
因为M,N是弦AB的三等分点,
求证:CG·ED=EG·CF. 提示:简单型的比例线段问题,首先考虑证明两个三角形相似. 证明:如图,连接AD,AE,BC,BF.
∵∠D=∠ABC,∠AGD=∠CGB, ∴△ADG∽△CBG.
������������ ������������ ∴ ������������ = ������������,
-5-
本讲整合
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二
证明:作△ABE的外接圆,则点D与外接圆有三种位置关系:①点D 在圆外;②点D在圆内;③点D在圆上.
(1)如果点D在圆外,设BD与圆交于点F,连接AF, 如图.则∠AFB=∠AEB.而∠AEB=∠ADB,则 ∠AFB=∠ADB.这与“三角形的外角大于任一 不相邻的内角”矛盾.故点D不能在圆外. (2)如果点D在圆内,设圆与BD的延长线交于点F,连接AF,如图, 则∠AFB=∠AEB. 又因为∠AEB=∠ADB, 所以∠AFB=∠ADB. 这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾. 故点D不可能在圆内.综上可得,点A,B,D,E在同一圆上.所以 ∠CED=∠ABC.
解析:由切割线定理得EC2=EB·EA,
即12=EB·(EB+4),可求得EB=2.
连接OC,则OC⊥DE,所以OC∥AD,
所以
������������ ������������
-7-
本讲整合
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二
应用3如图,过☉O外一点A作一条直线与☉O交于C,D两点,AB切
☉O于点B,弦MN过CD的中点P.若AC=4,AB=6,则
MP·NP=
.
解析:由于 AB 是☉O 的切线,则 AB2=AC·AD.
又
AC=4,AB=6,所以
AD=
������������2 ������������
-6-
本讲整合
专题一 专题二
知识建构
综合应用
真题放送
专题二 与圆有关的线段的计算与证明 在圆中,解决与圆有关的线段的计算与证明问题时,先考虑圆幂 定理,即相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理,得到 成比例线段,再结合射影定理、相似三角形进行等比代换或等量代 换加以证明或列出方程解得线段的长.
-3-
本讲整合
知识建构
综合应用
专题一 专题二
应用 1 已知,如图, ������������ 与 ������������ 的度数之差为 20°, 弦������������与������������交于点������,∠CEB=60°,则∠CAB 等于( )
真题放送
A.50° B.45° C.40° D.35° 解析: ∵ ������������ 与 ������������ 的度数之差为20°,