一道课本例题探究和思考

我们 只 探讨 沿砖由 向 的 伸 缩 变 换 ： 方
＝ ｍ∞， ｔ ． ｙ ＝ｙ
在 变换 作 用 下 点Ｐ ｘ，ｏ变 为ｔ （ ， （ｏ ） ｙ ｒ ，。 ：
后点与线 、 与线之间的接合性不变（ 线 即
出示 问囊
倒 将 圆 上 的 点 的横 坐 标 保 持
０
）直 线 ２ ， ＋ 变换 后 仍 为直 线Ｚ： ＝ ； ： ６ ） ：
，
若直线 与直线 平行或 相交 ， 变换 后仍平
行或相交 ； 若直线 与曲线相切 ， 变换后仍
相切 ） ．
设点 Ａ（ｌ １， ｘ，２， （３ ３在 直 ， ）Ｂ（２ ）Ｃ ｘ， ） Ｙ ｙ ｙ 线ｌｙ ｋ＋ ， 变 换 后 的 点Ａ （ ， ， ：＝ ｘ ｂ 则 １ １ Ｙ）
然 后 再 将 得 到 的 结 论 沿 着 “ 梁 ” 原 到 桥 还 椭 圆 中 去．根 据 这 一思 路 ， 学 中及 时 引 教 导 学生 继续 探 究 ， 新解 题 思 路 、 创 方法 ．
ｍ ‘
些 例 题 可 以进 行 适 当 变 形 转 化 ， 申 引
代 到 圆，方 錾 中得 ． 人 椭 ｃ 程 ， 的
Ｂ （ ，＇ ， ， ３在 直线 ｙ ２ ２ Ｃ （ ｙ ） ｙ ） ３ ＝ ＋ ６
旦 ＋ ； 点 Ｐ 直 线 ｌ 即有 ｙ ０ ｂ ６若 在 上 ０ ＋ ，
ｍ
不 变 。 坐 标 变 为 原 来 的 一 半 ， 所得 曲 纵 求 线 的 方程 ， 说 明它 是 什 么 曲线． 并 分 析 设 所 求 曲 线 上 任 一 点 坐 标 为
： ＋
ｍ
＋ ６ －￣ － （ ： ｒ） ０， 所 ＋ ２（ ￣ ２
探 究 拓 展 架 构 椭 圆 和 圆 之
问的 “ 梁” 桥
１ ．探 究伸 缩 变换 的性 质
＿
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：
．
因为 △ 与△ 同 号或 。 ：
， ｎ
同为 ０ 所 以变 换 前 后 直 线 和 （ ） ． 椭 圆之 间
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数学教 学通讯 （ 教师版 ）
试题 研究 ＞ 识延 知 伸
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试 究 ＞ 识延伸 题研 知
数 学教 学通讯 （ 教师版 ）
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能 罗 列 很 多 的示 范 供 教 学 参 考 ， 不 能 更 过 多 地呈 现 教 学 的 探 究 过程 ．在 教 学 中 ，
教 师 首 先 要 充 分 领 会 教 材 意 图 ， 确 地 准
２
即 竹 １ ．故所 求 曲线 为椭 圆．
４
满足 ： 所以 ｌ／ｌ ； 生 ＇／， 若斜率不存在 ， ， ：
２ ｋ ＋（。 ｒ） ０ 所 以 Ａｌ４ ２ ４（ “ ・ ｂ ｘ ｂ＿ ２＝ ， ＿ － ｂｋ － １ ） ．
（２ ２． ｂ－ ） 伸缩变换后 ， ｒ 把直线ｚ： ： ｘ＋ ｙ Ｌ ＇６
ｍ
工 ”充分挖掘蕴 涵 的数学思想 方法 ， ． 对
一
椭 圆里 的一 些 问题 先放 到圆 里 面 去研 究 。
，
则ｙ＝ｏ ｘ ｂ ＿ ． ｏ ： Ｘ ＋ 所 以 ＇ｙ ｋｏ ：坌 眦 ＋ ＇ｂ ｏ＝ ＋ Ｉ ｂ ｏ
．
ｍ
ｍ
变 换 后 在 直线 Ｚ 上．
Ｙ ， 圆上 时 应 点 的 坐标 为 （’Ｙ ） 则 ）与 ， ’，
设 直线 ｌ ：若斜率存在 ， ， ∥２ 即有 ｋ＝ ｍ
‘
ｍ
拓 展 成 符 合 学 生 实 际 的 ， 够 促 进 学 生 能
醋
进 行 思 考 的 多 种 探 究 活 动 。 学 生 体 验 让 数 学 发 展 和 创 造 的 历 程 ， 展 他 们 的 创 发 新意 识．这 也 体 现 了教 师 “ 教 材 教 ”而 用 ，
不是“ 教材 ” 教 的新 课 程 理 念 ．下 面 笔 者
李 俊 ２ ６Ｏ ２２０ 江苏启东中学
教 材 是 教 师 教 学 的线 索 ， 众 多 专 是
有
． ．
， ２ ， 由 ： ， 到 ＋ ２ ， Ｙ＝ ｙ 再 ＋ ４ 得 － ＿ ４
ｋ ， 换 后 得 到 的两 条 直 线 Ｚ ， 变 Ｚ 。 的 斜 率
家和 教 育 工 作 者 的研 究 成 果 和智 慧 的 结 晶 ． 受 篇 幅 的 限制 ， 材 中 的 内容 不 可 但 教
上述 关 系显 然 成立 ． 把 直 线 Ｚ ＝ ｘ ｂ 人 圆 Ｃ 方 程 ： ｋ＋ 代 ｙ 的
：
ｒ ２中 ， 到 一 元 二 次 方 程 （ 得 １
）
把 握 教 材 的 知 识 点 、 长 点 、 难 点 ．在 生 重
此 基 础 上 合 理 地 对 教 材 实 施 “ 发 加 开
的位 置关 系不 变 ， 而得 到 伸缩 变 换 满 足 从 下 面 的性 质． 性 质 １ 点 变 成 点 。 变 成 线 ， 变 换 线 且
以苏 教 版 数 学 选 修 ２ １ ２ 页 的一 道 例 —第 ９ 题 的 教 学 引 发 的探 究 为 例 ， 谈 对 课 本 谈 例题 进 行 “ 加 工 ” 点滴 体 会． 再 的
，
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由上 面 的解 答过 程 容 易看 出 ． 圆 可 椭
以看 成 是 对 圆上 的点 向 同一 条 直 径 施 行 伸 缩 变 换 而 得 到 的 ．这 样 在 椭 圆和 圆 这 两 个 图形 之 间就 架 起 了一 座 “ 梁 ”一 桥 一 伸 缩 变 换．利 用 这 座 “ 梁 ” 我 们 可 以 把 桥 ，