关于三次平面曲线的点阵表示及配极对应

YAX
,
=
P
0
其中 点
P
(y
C
,
,
y
Z
,
y
3
)是点
P
的齐 次 坐 标 叫做 点
,
,
关于 二 次 曲 线
, ,
C
,
.
的极 线 当
.
P
在
.
C
Z
上时
,
,
P
的极 线 即
CZ
Z
在
P
点 的切 线 当
I
C
,
是常 态二 次 曲线时 平面 上 每 一 点 必 有 一 条 极线 反 之 若 使
l
沿 一 条 直线
,
移动 点
~ 3
3
层 点 阵是
`
a s ,
n
黝 一
/
,
一 口砌 一
:
冬
一 `沁
,
兔
a
3
,
层 点 阵可 以 用 垂直 或 水平 的平 面把 它 割成
3
n
片 每 一 片就 是 一个
n
.
阶方 阵 例 如 可 以
,
把
3
层 点 阵分 割 成如 下三 个
a
l一
阶方 阵
a l
汤 一 Z
a
一 13
a Z
, 2
a
212
Zz 3
a a a
皿 人 ` . 」 月 内 J 的 J月 目 `, , n 、
a
s
12
a
3 一3
a
l2
1 a 122 a
x2
3
口22
1
a
2 22
a
223
a
322
a
3幼 333
a 一3 1
,
a 1
32
a
zs
.
3
口2 31
a 2
32
`
a 2
33
a s 32
a
我 们把 它 们分 别记 作
A
I 玉 弓^ 签 苍 压^ { 亏 弓
2x x : + 了
,
于 +
。 2 2:
二
+ 三
a 333x
+ 象
〕1
3a
,22x l:
+ 圣
3a
l ls x
x 3 + 荃
3 a:
33x
l x
+ 弓
3a
223x
: + 圣
x
3a
23 3 x 2 x
+ 弓
,
本文
1 99 1
年
4
月 2 5
日收 到
第
5
.
6
期
s
朱 学 良 关 于 三 次平 面 曲 线的点 阵表 示 及 配极 对 应
,
P
的极 线 就绕 一 定点 转动 这个 点就 是
,
的 极 点 因 此 通 过 常态 二
CZ
,
次 曲线
.
我 们在 射 影 平 面 上 建 立 了 点与 直线 之 间的一 一 对 应 称 为关 于 二次 曲线
的配 极
对应
现 在 考虑 一条 三次 曲线
a , , , x
C” 3a
,
在齐 次 坐 标下 它 的方程是
DOI : 10. 16169 /991. z1. 003
199 1年第 5
.
6
期
J O U R N A L O F S H A O X D闷 G
绍 兴 帅 亏 字 张
,
`
T EA C I J E R S COL L E G E
吻
5
.
6 19 9 1
关 于 三 次 平 面 曲线 的
’
点 阵 表 示 及 配 极 对 应
朱 学 良
( 数学 系 )
摘
,
要
, ,
.
本文论述 了平 面三次 曲线的点陈表 示 研 究了关于 三 次 曲线的配极变 换 问题 并且证 明了在这样 的配极变换下 一条直 线有
:
,
4
个极点 一个 点列 和 一个二次 曲线束相对应
;
关键 词 三 次 曲线 点 阵 配极 变换 二次 曲线 束 在 射 影 平 面 上 一条 二 次 曲 线 其中
3
时 称
P (y
l
,
,
为 常 态 二 次 曲线
,
r a n
k A成 2
时 称
,
,
c
:
.
为变 态 二 次 曲线
平 面 上一 点
y
:
y
)关 于 c
Z
的共 扼 点
Q (:
1 ,
z :
2 3
)满足
月 “ (` ” ` ” ` 3 ’
LZ
{ }一
“1
}}
Z
0
J
当
P
取定 后
Y~
,
P
的所有共 扼 点的 轨迹是 直线
,
,
定义
2
l x m X
n
点 阵 lA
, ;
中 平行 于 正 面 的
m
n
,
之个 片从前 到 后分 别
叫做 第 一 立 面 第 二 立 面 …
, , , , , ,
,
,
,
第 l 立 面 平行 于 水平 面 的
m
个 片分 别从 上 到 下 叫做 第 一水 平 面 第二 水 平面 … 第
n
水平 面 平 行 于 侧 面 的
二; ,
r
后再 将结果 后乘 以
资: +
二
) 式左 边 写成 证明 把 ( 1 f (
:
: , x
3
) 二
1
a
川 荃 +
a
x
a , 1 2二
a
l
ls 二
子 +
a 1
二 3
a 1 2 1:
二: 芍 十 Zx :
.
个 片从 左 到 右 分别 叫做 第 一 侧 面 第 二 侧 面 … 第
n
侧
面 定义
3
( 一 个行 向 量 x
,
,
x
Z
,
…
,
x
m
) 左乘 l x m x
A 点阵j
,
,
就是 用 这个 行 向量 去分别 左 乘每 一
立面中的
m x
n
矩阵
”
’ ” 一个 ` 平 面 上
;
lx m x
n
点阵
IX m
A`
,
就 是用 这个 列 向量 去 右 乘每 个 立 面 中 的
a l
l
,
;
;
C
Z
在 引入齐 次 坐 标 x (
x
:
,
x :
,
x 3
) 后 可以表 示为
AX
T
~ 0
口 12 a l s
,
a Z
z
a
韶
a
3 汤
j a i
任 R
且
a
汀
,
a乒
(落 夕 =
、
1, 2
,
3
,
)
d 3 z 扭韶 a 3 3 x
= (
x
l
,
x
:
,
x 3
)
,
r 是
CZ
,
x
.
的转 置
,
当
ra n
k A~
,
.
.
面 上的
矩阵
对于 向量 从 点 阵前 面 或 后 面去乘 点 阵 也 可 以 作类似 处 理
… } 一
m 大
n
…
阶矩 阵 得 到 一 个 侧
,
绍
,
兴
师
专
学
报
.
1 9 9 1年
1 的 点阵表 示 了 为 此 有 有 了 以 上准 备 以 后 我 们就 可着 手研 究三 次 曲线 ( )
命题
1
平 面 三 次 曲线
0
:
6 a l ” 劣 z劣 Z x
=
( 1)
或记 作
f (工
,
,
劣 2
,
,
:
3
戏屹 ~ ) 三 肠衫 又
、x
0
,
(2 )
a
i
其中 (
r
,
i jk
、
为
3
,
l
、
2
、
3
可重 复 的 全 部排 列
.
a
。 ,
〔R
且当
s j
、
、
k
数字 取 定后
;
的值 与
ij k
排 列 无关
,
。
s
t
(
且
r
十s十t= 3
为 使 三次 曲线 c s 能 和 二次 曲线 定义
当
l=
,
C
Z
有 类似 的表 示 我 们引入 一 个 点 阵 的 概 念
,
,
:
1
l x m火
,
n
个元素
n
a
,
(l
( i成 z
n
1 《 j《 m
,
,
1蕊 k
镇
n
) 在 空 问 排成