上海市嘉定区2017-2018学年高一(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海市嘉定区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1.“tana =1”是“a =π4”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要不而充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若“tana =1”，则α=kπ+π4K ∈Z ，α不一定等于π4； 而若“a =π4”则tanα=1，∴“tana =1”是a =π4的必要不而充分条件 故选：B ．由题目“tana =1”的解是否和“a =π4”相同，即可选出正确答案． 本题是三角方程求解，充要条件的判断，是容易题． 2.设M 和m 分别表示函数y =13cosx −1的最大值和最小值，则M +m 等于( )A. 23B. −23C. −43D. −2【答案】D【解析】解：∵−1≤cosx ≤1∴−43≤13cosx −1≤−23∴M =−23，m =−43∴M +m =−2故选：D ．利用余弦函数的性质可求得cosx 范围，进而确定函数的值域，求得M 和m ，则M +m 的值可得． 本题主要考查了三角函数的最值，余弦函数的性质.考查了学生对三角函数基础知识的理解和应用． 3.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=−1，a 4=b 4=8，a2b 2=( )A. −4B. −1C. 1D. 4【答案】C【解析】解：等差数列{a n }的公差设为d 和等比数列{b n }的公比设为q ， 由a 1=b 1=−1，a 4=b 4=8， 可得−1+3d =−q 3=8， 可得d =3，q =−2，则a 2b 2=−1+3−(−2)=1， 故选：C ．等差数列{a n }的公差设为d 和等比数列{b n }的公比设为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d ，q ，计算可得所求值．本题考查等差数列、等比数列的通项公式和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4. 方程9x +|3x +b|=5(b ∈R)有两个负实数解，则b 的取值范囤为( )A. (3,5)B. (−5.25,−5)C. [−5.25,−5)D. 前三个都不正确 【答案】B【解析】解：∵9x +|3x +b|=5， ∴|3x +b|=5−9x ，∴3x +b =5−9x 或3x +b =−5+9x ， ①若3x +b =5−9x ，则b =5−3x −9x ， 其在(−∞,0)上单调递减， 故当b ≤3时，无解，当3<b <5时，有一个解， 当b ≥5时，无解；②若3x +b =−5+9x ，则b =−5−3x +9x =(3x −12)2−214，∵x ∈(−∞,0)时，0<3x <1， ∴当−214<b <−5时，有两个不同解；当b =−214时，有一个解；综上所述，b 的取值范围为(−5.25,−5)， 故选：B ．化简9x +|3x +b|=5可得3x +b =5−9x 或3x +b =−5+9x ，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．本题考查了绝对值方程的解法与应用，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5.计算：arcsin 12=______．【答案】π6【解析】解：∵sin π6=12， ∴arcsin 12=π6． 故答案为：π6．根据反正弦函数的定义，直接写出arcsin 12的值．本题考查了反正弦函数的应用问题，是基础题．6. 若数列{a n }满足a 1=2，a n+1=3a n ，n ∈N ∗，则该数列的通项公式a n =______． 【答案】2×3n−1【解析】解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=3a n (n ∈N)， 可得数列是等比数列，等比为3， a n =2×3n−1．故答案为：2×3n−1．判断数列是等比数列，然后求出通项公式．本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查计算能力．7.函数y=2cos2x−1的最小正周期是______．【答案】π【解析】解：∵f(x)=2cos2x−1=(1+cos2x)−1=cos2x．∴由周期公式可得：T=2π2=π．故答案为：π由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得f(x)=cos2x，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．8.方程2|x−1|=4的解为______．【答案】x=3或x=−1【解析】解：∵方程2|x−1|=4，∴|x−1|=2，∴x−1=2或x−1=−2，解得x=3或x=−1．故答案为：x=3或x=−1．由指数函数的性质得|x−1|=2，由此能求出结果．本题考查指数方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．9.已知角α的终边经过点P(−1,√3)，则cosα=______．【答案】−12【解析】解：∵角α的终边经过点P(−1,√3)，∴x=−1，y=√3，r=√x2+y 2=2，故cosα=xr =−12．由题意可得x=−1，y=√3，r=√x2+y 2=2，由此求得cosα=xr的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．10.方程cos2x−2cosx=0的解集是______．【答案】{x|x=kx+π2,k∈Z}【解析】解：方程cos2x−2cosx=0，可得cosx(cosx−2)=0，∴cosx=0，∴x|x=kx+π2，k∈Z．故答案为：{x|x=kx+π2,k∈Z}．把cos2x−2cosx=0，等价转化为cosx=0，由此能求出x即可．本题考查三角方程的求法，注意余弦函数的值域，考查转化思想以及计算能力．11.若函数f(x)=2cos(4x+π7)−1与函数g(x)=5tan(ax−1)+2的最小正周期相同，则实数a=______．【答案】±2【解析】解：函数f(x)=2cos(4x+π7)−1的周期是π2；函数g(x)=5tan(ax−1)+2的最小正周期是：π|a|；因为周期相同，所以π|a|=π2，解得a=±2故答案为：±2求出两个函数的周期，利用周期相等，推出a的值．本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力．12.在平行四边形ABCD中，已知AB=10√3，B=60∘，AD=30，则该平行四边形的面积等于______．【答案】300√3【解析】解：∵AB=10√3，∠B=60∘，AC=30，∴在三角形ABC中用余弦定理：AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cosB，可得：900=300+BC2−2×10√3×BC×12，∴解得：BC=20√3，∴面积S=AB×BC×sinB=300√3．故答案为：300√3．由已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．13.已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+n，则该等差数列的通项公式a n=______．【答案】4n−1【解析】解：S n=2n2+n，n≥2时，a n=S n−S n−1=2n2+n−[2(n−1)2+n−1]=4n−1．n=1时，a1=S1=3，对于上式也成立．∴a n=4n−1．故答案为：4n−1．S n=2n2+n，n≥2时，a n=S n−S n−1.n=1时，a1=S1．本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知等差数列{a n}，对于函数f(x)=x3+arctanx满足：f(a2−2)=8，f(a2017−4)=−8，S n是该等差数列的前n项和，则S2018=______．【答案】6054【解析】解：由函数f(x)=x3+arctanx为奇函数且在R上单调递增，∵f(a2−2)=8，f(a2017−4)=−8，∴a2−2=4−a2017，∴即a2+a2017=6∴a1+a2018=6∴S2018=1009(a1+a2018)=6054．故答案为：6054由函数的解析式，我们利用函数奇偶性及单调性的性质，我们易判断函数的定义在R上的增函数、奇函数，则根据f(a2−2)=8，f(a2017−4)=−8，我们易求出a2+a2017的值，然后结合等差数列的性质“当p+q=m+n时，a p+a q=a m+a n”，及等差数列前n项和公式，易得到答案．本题考查的知识点是等差数列的性质，等差数列的前n项和，其中利用等差数列的性质“当p+q=m+n 时，a p+a q=a m+a n”，是解答本题的关键．15.函数f(x)=x+√1−x2的值域是______．【答案】[−1,√2]【解析】解：由1−x2≥0，得−1≤x≤1．令x=cosθ(0≤θ≤π)，则函数f(x)=x+√1−x2化为y=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π4)．∵0≤θ≤π，∴π4≤θ+π4≤5π4，则√2sin(θ+π4)∈[−1,√2].故答案为：[−1,√2].由1−x2≥0，得−1≤x≤1，令x=cosθ(0≤θ≤π)，把原函数转化为关于θ的三角函数求解．本题考查利用换元法求函数的值域，考查三角函数最值的求法，是中档题．16.将函数f(x)=2sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)−g(x2)|=4的x1、x2，有|x1−x2|的最小值为π6，则φ=______．【答案】π3或2π3【解析】解：由函数f(x)=2sin2x的图象向右平移φ，可得g(x)=2sin(2x−2φ)不妨设f(x1)取得最大值，g(x2)取得最小值，∴2x1=π2+2kπ，2x2−2φ=3π2+2kπ，k∈Z．可得2(x1−x2)+2φ=π∵|x1−x2|的最小值为π6，即x1−x2=±π6．∴±π3+2φ=π得φ=π3或2π3故答案为：π3或2π3．先求解g(x)的解析式，根据|f(x1)−g(x2)|=4可知一个取得最大值一个是最小值，不妨设f(x1)取得最大值，g(x2)取得最小值，结合三角函数的性质|x1−x2|的最小值为π6，即可求解φ的值；本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.已知等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，求数列{a n}的通项公式及其前n项的和．【答案】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.a2，a3，a6成等比数列，∴{d≠0(1+2d)2=(1+d)+(1+5d)，解得d=−2，∴数列{a n}的通项公式a n=1+(n−1)×(−2)=−2n+3，前n项的和S n=n+n(n−1)2×(−2)=−n2+2n．【解析】利用等差数列通项公式和等比数列等比数列性质列方程组，求出公差d=−2，由此能求出数列{a n}的通项公式和前n项的和．本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.已知y=cosx(1)若f(α)=13，且α∈[0,π]，求f(α−π3)的值(2)求函数y=f(2x)−2f(x)的最小值【答案】解：(1)若f(α)=13，且α∈[0,π]，则cosα=13，则sinα=√1−(13)2=√89=2√23，则f(α−π3)=cos(α−π3)=cosαcosπ3+sinαsinπ3=13×12+2√23×√32=16+√63．(2)函数y=f(2x)−2f(x)=cos2x−2cosx=2cos2x−2cosx−1=2(cosx−12)2−32，∵−1≤cosx≤1，∴当cosx=12时，函数取得最小值，最小值为−32．【解析】(1)根据两角和差的余弦公式进行计算即可(2)利用一元二次函数的性质利用配方法进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的余弦公式以及转化一元二次函数求最值是解决本题的关键．19.已知函数f(x)=log2(x−m)，其中m∈R．(1)若函数f(x)在区间(2,3)内有一个零点，求m的取值范围；(2)若函数f(x)在区间[1,t](t>1)上的最大值与最小值之差为2，且f(t)>0，求m的取值范围．【答案】解：(1)由log2(x−m)=0，得m=x−1，由2<x<3得：1<x−1<2，故m的范围是(1,2)；(2)f(x)在[1,t](t>1)递增，∴f(t)−f(1)=2，∴log2(t−m)−log2(1−m)=2，∴log2t−m1−m=log24，∴t=4−3m，由f(t)>0，得t>m+1，∴4−3m>m+1，解得：m<34．【解析】(1)根据对数函数的性质求出m=x−1，关于x的范围，求出m的范围即可；(2)根据函数的单调性求出f(t)最大，f(1)最小，作差求出t=4−3m，得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想，是一道中档题．20.如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB=π3.广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧AB⏜上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA=θ．(1)当θ=π4时，求CD；(2)当θ取何值时，才能使得修建的道路CD与CE的总长s最大？并求出s的最大值．【答案】解：(1)某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB=π3．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧AB⏜上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA=θ，当θ=π4时，由正弦定理得：COsin∠CDO =CDsin∠COD，∴rsin120∘=CDsin45∘，∴CD=rsin45∘sin120∘=√6r3．(2)在△ODC中，由正弦定理得：COsin∠CDO =CDsin∠COD，∴rsin120∘=CDsinθ，∴CD=2√33rsinθ，同理，CE=2√33rsin(π3−θ)，∴s=f(θ)=2√33rsinθ+2√33rsin(π3−θ)=2√33rsin(θ+π3)+2√33rsin(π3−θ)=2√33rsin(θ+π3)，θ∈(0,π3)，∵θ∈(0,π3)，∴θ+π3∈(π3,2π3)，当θ+π3=π2时，即θ=π6时，s max=f(π6)=2√33r．【解析】(1)由正弦定理得rsin120∘=CDsin45∘，由此能求出CD．(2)由正弦定理得CD=2√33rsinθ，CE=2√33rsin(π3−θ)，从而s=f(θ)=2√33rsinθ+2√33rsin(π3−θ)=2√3 3rsin(θ+π3)，θ∈(0,π3)，由此能求出结果．本题考查三角形边长的求法，两线段和的最大值的求法，考查正弦定理、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.若函数f(x)满足f(x)=f(x+3π2)且f(π4+x)=f(π4−x)(x∈R)，则称函数f(x)为“M函数”．(1)试判断f(x)=sin43x是否为“M函数”，并说明理由；(2)函数f(x)为“M函数”，且当x∈[π4,π]时，f(x)=sinx，求y=f(x)的解析式，并写出在[0,3π2]上的单调递增区间；(3)在(2)条件下，当x∈[−π2,3kπ2+π](k∈N)时，关于x的方程f(x)=a(a为常数)有解，记该方程所有解的和为S(k)，求S(k)．【答案】解：(1)f(x)=sin43x不是“M函数”．∵f(π4+x)=sin43(π4+x)=sin(π3+43x)，f(π4−x)=sin43(π4−x)=sin(π3−43x)∴f(π4+x)≠f(π4−x)(x∈R)，∴f(x)=sin43x不是“M函数”．(2)∵函数f(x)满足f(x)=f(x+3π2)，∴函数f(x)的周期T=3π2∵f(π4+x)=f(π4−x)(x∈R)，∴f(x)=f(π2−x)(x∈R)，①当x∈[32kπ+π4,32kπ+π]时，f(x)=f(x−32kπ)=sin(x−32kπ)②当x∈[32kπ−π2,32kπ+π4]时，f(x)=f[π2−(x−32kπ)]=cos(x−32kπ)∴f(x)={cos(x−32kπ),(32kπ−π2≤x≤32kπ+π4)sin(x−32kπ),(32kπ+π4≤x≤32kπ+π)在[0,3π2]上的单调递增区间：[π4,π2]，[π,3π2]；(3)由(2)可得函数f(x)在[−π2,π]上的图象为：①当0≤a<√22或1时，f(x)=a(a为常数)有2个解，其和为π2②当a=√22时，f(x)=a(a为常数)有3个解，其和为34π．③当√22<a<1时，f(x)=a(a为常数)有4个解，其和为π∴当x∈[−π2,3kπ2+π](k∈N)时，记关于x的方程f(x)=a(a为常数)所有解的和为S(k)，则S(k)={π2(3k2+4k+1),(0≤a<√22或a=1)3π4(3k2+4k+1),a=√22π(3k2+4k+1),√22<a<1．【解析】(1)由不满足f(π4+x)≠f(π4−x)(x∈R)，得f(x)=sin43x不是“M函数”，(2)可得函数f(x)的周期T=3π2，f(x)=f(π2−x)(x∈R)，①当x∈[32kπ+π4,32kπ+π]时，f(x)=f(x−32kπ)=sin(x−32kπ)②当x∈[32kπ−π2,32kπ+π4]时，f(x)=f[π2−(x−32kπ)]=cos(x−32kπ)在[0,3π2]上的单调递增区间：[π4,π2]，[π,3π2](3)由(2)可得函数f(x)在[−π2,π]上的图象，根据图象可得：①当0≤a<√22或1时，f(x)=a(a为常数)有2个解，其和为π2②当a=√22时，f(x)=a(a为常数)有3个解，其和为34π．③当√22<a<1时，f(x)=a(a为常数)有4个解，其和为π即可得当x∈[−π2,3kπ2+π](k∈N)时，记关于x的方程f(x)=a(a为常数)所有解的和为S(k)，本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，属于中档题．。