解析几何简明教程答案

第一章 空间直角坐标，平面和直线
1．在给定坐标系中画出下列各点：
()()()()341510421421------，，，，，，
，，，，，。

2．自点M ()321，，-和N ()c b a ,,分别引各坐标平面和坐标轴的垂线，求各垂足的坐标。

解：点M ()321，，-在平面XOY ，XOZ ，YOZ 上的垂足分别为：()()()320301021，，，，，，，，--在X ，Y ，Z 轴上的垂足分别为：()()()300020001，，，，，，，，-
点N ()c b a ,,在平面XOY ，XOZ ，YOZ 上的垂足分别为：()()()c b ，
c a ，，b a ,,0,00,, 在X ，Y ，Z 轴上的垂足分别为：()()()，c ，，，b，，，a ，000000
3. 给定点M ()3,2,1-和N ()c b a ,,，求它们分别对于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标。

解：
4．求点M （4，-3，5）到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离。

解：点M 到原点的距离：255)3(4222=+-+=
OM
点M 在XOY ，XOZ ，YOZ 上的垂足分别为A （4，-3，0），B （4，0，5），C （O ，-3，5），则距离为：52500=++=MA ，30)3(02
=+-+=MB ，40042=++=
MC ，
点M 在X ，Y ，Z 轴上的垂足分别为)0,0,4(A '，B （0，-3，0），C （0，0，5）则距离为：
345)3(22=+-='A M ，1454B 22=+='M ，543C 22=+='M
5．求点（1，2，-2）和（-1，0，-2）之间的距离。

解：所求距离为：3121)(1d 2
2
2
=+++=
6．求下列方向余弦：（1，2，-2），（2，0，0），（0，2，-2），（-1，-2，-5）。

解：（1，2，-2）的方向余弦为：)2,2,1(31
-，即：（3
23231-
，，）
（2，0，0）的方向余弦为：
)00,2(21
，，即：（001，，）
（0，2，-2）的方向余弦为：
)220(2
21-，，，即：
（)2
2
220-，， （-1，-2，-5）的方向余弦为：
)521(30
1---，，，即：
（)63015303030---，， 7．求从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数和方向余弦。

解：从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数为（-1-1，0-2，-1+2），即（-2，-2，1）；方向余弦为（)3
1
,32,32--。

8．求下列方向的方向角：（0,0,-1）,(
)4,1,2(),0,2
1
,23---。

解：（0，0，-1）的方向余弦为：0，0，-1，则方向角为：
ππ
π,2,
2
（
)0,21,23的方向余弦为：0,2
1
,23，则方向角为：2,3,6πππ
（-2，-1，-4）的方向余弦为：21
21
4,2121,21212---
，则方向角为： 21
21
4arccos ,2121arccos ,21212arccos
---πππ 9．求下列各对方向之间的夹角：
1）（1，0，1）和（0，0，1）；2）（-1，-2，3）和（2，0，1）；3）（01，-4，-5）和（2，3，4）。

解：1）方向余弦为（2
2
,
0,22）和（0，0，1），则：2212200022cos =⨯+⨯+⨯=θ而),0(πθ∈ 故4
πθ=
2）方向余弦为（14142,714,1414--
）和（5
5
,0,552），则： 70
70arccos 707055141430)714(5521414cos =∴=⨯+⨯-+⨯-
=θθ 3）方向余弦为（425,424,421---
）和（29
4
,
293,292），则：
609121817arccos
60912181729
44252934242932
41cos -=∴-=⨯-+⨯-⨯
-
=πθθ10. 证明：顶点是A （2，4，3），B （4，1，9），C （10，-1，6）的三角形是直角三形角形。

求出各边的长和各内角的大小。

证明：7,27,7)6,1,10(),9,1,4(),3,4,2(===∴-BC AC AB C B A
即：2
2
2
AC BC AB =+ ∆∆∴Rt ABC 是 又：BC AB =
2
,4
π
π=
<==<∴<B C A
故各边长为：;27,7===AC BC AB 各内角为：2
,4
π
π
=
<=
=<<B C A
11．在给定的坐标系中画出下列平面：
1）;0632=--+z y x 2);0122=++-z y x 3) ;023=+y 4) ;0234=++z x 5).043=+-z y x 12.求下列平面的方程：
1）过点（0，-1，4），法向的方向数为（2，-1，0）；
解：1）设所求方程为：02=+-D y x ，又点（0，-1，4）在平面上
0)1(02=+--⨯∴D 1-=∴D 012=--∴y x ：所求平面方程为
2）过点（-1，-5，4），平行于平面;0523=+-y x 解：2）设平面方程为：023=+-D y x ，则：
0)5(2)1(3=+-⨯--⨯D 7-=∴D 0723=--∴y x ：所求平面方程为
3）过点（1，3，5），（-1，-2，3），（2，0，-3）；
解：设平面方程为：0(=+++D Cz By Ax ，则由题可得：
⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=⇒⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
-==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++--=+++11
183435351135183534032032053C B A ，D D C D B D A D C A D C B A D C B A 则令
035111834=-+-∴z y x ：所求平面方程为
4）过点（3，-1，4）和（1，0，-3），垂直于平面;0152=++-z y x 解：设平面方程为：0=+++D Cz By Ax ，则由题可得：
⎪⎩⎪
⎨⎧==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++-6131630520
3043D B A ，C C D C B C A C B A D C A D C B A 则令 063=+++-∴z y x ：所求平面方程为
5）过点（0，-1，3）和Y 轴；
解：设平面方程为：0=+Cz Ax ，则：
6）过点（-2，-1，3）和（0，-1，2），平行于Z 轴。

解：设平面方程为：0=++D By Ax ，则由题可得：
010002=+∴⎩
⎨⎧==⇒⎩⎨
⎧=+-=+--y ：A D
B D B D B A 所求平面方程为 13．将11题中的平面方程化为法式方程：
解：1）法式方程为：
0714
3141414143714=--+z y x 2）法式方程为：
014
14141437141414=--+z y x 3）法式方程为：032
=--y 4）法式方程为：05
2
5354=---z x
5）法式方程为：
013
26
2262626263=+-z y x 14．在给定的直角坐标系中画出下列直线：
1）
141211-=-=-x y x ； 2）2
3
1201-=--=+z y x ； 3）21
2312+=-=-+z y x ； 4）⎩
⎨⎧=-++=++.0134,0132z y x y x
15．求下列直线的方程：
00030=∴≠=∴=+⋅x ：A C C A 所求平面方程为而
1）过点（-2，3，5），方向数为（-1，3，4）； 解：直线方程为：
4
5
3312-=
-=-+z y x 2）过点（0，3，1）和（-1，2，7）；
解：直线的方向数为：（-1，-1，6），则直线方程为：6
7
1211-=
--=-+z y x 3）过点（-1，2，9），垂直于平面3x +2y -z+5=0;
解：由题可知直线的方向数为：（3，2，-1），则直线方程为：1
9
2231--=
-=+z y x 4）过点（2，4，-1），与三个坐标轴成等角。

解：由于直线与三个坐标轴成等角，则（1，1，1）为其一个方向数，则：直线方程为：
1
1
1411+=
-=-z y x 16．给定直线3
2
1121:-+=
-=-+z y x l ，求 1）过l 平行于Z 轴的平面；
解：由题可设平面方程为：0=++D By Ax ，则：
⎩⎨
⎧-===⎩⎨
⎧-==⇒⎩⎨
⎧=++-=+-1
2
1200
2D B ：，A A D A B D B A B A 则令012=-+∴y x ：所求平面方程为
2）l 在XY 平面上的投影。

解：由⎪⎩⎪
⎨⎧=-=-+0
11
21z y x 得直线l 在XY 平面上的投影为：⎩⎨
⎧==-+0012z y x 17．求下列直线在各坐标平面上的投影；并画图： 1）
1
1
2311--=
-+=-z y x 解：由⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-0
23
11z y x 得直线在XOY 平面上的投影为：012==++z y x
由⎪⎩⎪
⎨⎧=--=-011
11y z x 得直线在XOZ 平面上的投影为：02==-+y z x 由⎪⎩⎪
⎨⎧=--=-+0
11
23x z y 得直线在YOZ 平面上的投影为：052==-+-x z y
2）
2
2
1101--=
-=+z y x ； 解：由⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+0
11
01z y x 得直线在XOY 平面上的投影为：01==+z x
由⎪⎩⎪
⎨⎧=--=+0
22
01y z x 得直线在XOZ 平面上的投影为：022==--y x 由⎪⎩⎪
⎨⎧=--=-0
22
11x z y 得直线在YOZ 平面上的投影为：042==-+x z y 3）⎩⎨
⎧=+-=+-+0
320
13z x z y x
解：由⎩
⎨
⎧=+-=+-+032013z x z y x 得直线的点向方程为：27
112-=
-=-z y x ⎪⎩⎪
⎨⎧=-=-∴0112z y
x 由 得直线在XOY 平面上的投影为：02==-+z y x
由⎪⎩⎪
⎨⎧=-=-027
12y z x 得直线在YOZ 平面上的投影为：032==+-y z x 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0
271x z y 得直线在YOZ 平面上的投影为：072==-+x z y 4）⎩
⎨⎧=-=+0201z x
解：直线的点向方程为：
2
101-=
=+z y x ⎪⎩⎪
⎨⎧==+∴0101z y
x 由 得直线在XOY 平面上的投影为：01==+z x
由⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+0
02
01y z x 得直线在YOZ 平面上的投影为：)2,0,1(-
由⎪⎩⎪⎨⎧=-=0
021x z y 得直线在YOZ 平面上的投影为：02==-x z 18．将下列直线的方程化为点向式： （1）⎩⎨
⎧=+-+=+++;
0132,
03z y x z y x
解：由135488453013203z y x ：z x z y z y x z y x =-=-+⇒⎩
⎨⎧--=+=⇒⎩⎨⎧=+-+=+++直线点向方程为
（2）⎩⎨
⎧=+=+-;
01,
01z y x
解：由01
111110101+=-=⇒⎩
⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+-z y x ：z y x z y x 直线点向方程为
（3）⎩⎨
⎧=++=+-;
0134,
023z y y x
解：由43
32134230124023-+=-=⇒⎩
⎨⎧--=+=⇒⎩⎨
⎧=++=+-z y x ：x z x y z y y x 直线点向方程为
（4）⎩⎨
⎧=+=-;02,
01z y
解：由0
0112
10
201z z y x ：
z y z y +=-=⇒⎩⎨
⎧-==⇒⎩⎨
⎧=+=-直线点向方程为 19．求下列各对直线之间的夹角： 1）
2
3
011011211-=
+=-+=--=-z y x z y x 与； 解：设直线间的夹角为θ，
由于两直线的方向数为（1,-1,0）,(-1,0,2),则方向余弦为（
0,22,22-），（5
5
2,
0,55-） 10105520022)55(22cos -=⨯+⨯--⨯=
∴θ 10
10
arccos -=∴πθ 2）
3
1421241311--==--+=-=-+z y x z y x 与； 解：设直线间的夹角为θ，
两直线的方向数为（-1，1，2），（-2，4，-3），由于：（-1）×（-2）+1×4+2×（-3）=0
2
π
θ=
∴两直线间的夹角.
3）⎩⎨
⎧=++=++⎩⎨
⎧=++-=-++.
023,
013012,01z y y x x y x z y x 与； 解：设直线间的夹角为θ，
由题可知两直线的方向数为（-3，1，2），（31131
-
-，，），则方向余弦为（14
2141143，，-），（11
1
113111-
-
，，），77154
2)11
1(142113141)111(143cos =
-⨯+⨯+-⨯-
=∴θ771542arccos =∴θ20．求直线与平面的交点： 1）
0231
2
3121=++--=+=-z y x z y x 与； 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
=-==⇒⎪⎩⎪
⎨⎧=++--=+=-11251120115
112511201150
231
2
3121，，z y x z y x z y x 交点为
2）平面与XZ z y x z y x ⎩
⎨
⎧=+-+=-++022,
0132； 解：⎪⎭⎫
⎝⎛-∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=
=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+-+=-++35031350
3100220132，，z y x y z y x z y x 交点为 3）
06234
2
1122=+--+=-=+z y x z y x 与； 解：()0142132=⨯--⨯+⨯ 而直线上一定点（-2，1，-2）也在平面上
直线在平面上
∴即：直线与平面有无数个交点。

4）
07234
2
1122=+--+=-=+z y x z y x 与. 解：()0142132=⨯--⨯+⨯ 但直线上一定点（-2，1，-2）不在平面上
直线平行于平面
∴即：直线与平面没有交点。

21．求直线：)2(0
,
0:2122221111≠⎩⎨
⎧=+++=+++C C D z C y B x A D z C y B x A l 与Z 轴相交的条件。

解：令X=0，y=0，则：,002211⎩⎨⎧=+=+D Z C D Z C 即：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-=-=22
11C D Z C D Z
∴直线l 与z 轴相交的条件是：2211C D C D -=-
，即：2
211C D C D = 22．证明：直线n
z z m y y l x x p 0
00:
-=
-=-落在平面0:=+++D Cz By Ax π上必须且只须.0,0000=+++=++D Cz By Ax Cn Bm Al 同时，写出p 平行于π但不在π上的条件。

证明：直线p 与平面π的方向数分别为：（l , m , n ）,（A , B , C ） ∵Al +Bm +Cn =0 ∴直线p 平行于平面π。

又：点（x 0, y 0, z 0）在直线p 上，且Ax 0+By 0+Cz 0+D =0,即点（x 0, y 0, z 0）也在平面π上 ∴直线p 在平面π上。

23．求经过直线⎩⎨
⎧=-+-=-++0
13230
9232z y x z y x 和点（1, 2, 1）的平面方程。

解：设平面方程为：0)1323()9232(=-+-+-++z y x B z y x A ， 又：点（1, 2, 1）在平面上
∴0)1132213()9122312(=-⨯+⨯-⨯+-⨯+⨯+⨯B A ∴A=-B 令B=-1，则A=1 故：所求平面方程为：085=++-z y x 24．设平面π1与π2不平行，它们的方程分别为
01111=+++D z C y B x A ， 02222=+++D z C y B x A 。

证明：过π1和π2的交线的所有平面的方程都可以表示成
0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A μλ，其中λ和μ为不全为零的
实数。

证明：∵21ππ≠ ,21L =∴ππ 且⎩⎨⎧=+++=+++00
8:2222
111D z C y B x A z C y B x A L
设0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A μλ其中022≠+μλ，由
21ππ≠知该方程是一个三元一次方程，即方程表示一个平面设()L z y x ∈000,,，则：把点
()000,,z y x 代入π中有：
0)()(20202021010101=+++++++D z C y B x A M D z C y B x A λ
即：左边=右边 ∴L 在π上。

由μλ,的任意性可知：所有过L 的平面上方程都可以成：
0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A μλ
第二章 向量代数
1．已知平行四边形ABCD 的对角DA CD ，BC ，AB b BD a AC 和求,,==。

解：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-==+22b a AB b
a BC
b BD AB BC a AC AB BC 22b
a BC CB DA a
b AB BA CD +-
=-==-=
-==∴
故：)(2
1
);(21),(21),(21b a DA a b CD b a BC b a AB +-=-=+=-=
2．已知平行四边形ABCD 的边BC 和CD 的中点分别为K 和L ，且l AL k AK ==,，求
CD BC 和。

解：设b BC =，a CD =，则：
)⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=-+=+k l b k l a l a b b k a 3234343221(21 k
l CD k
l BC 3
43232
34-=-=∴
3．MB AM =。

证明：对任意一点O ，()
OB OA OM +=
21。

证明：方法一：)(2
1
2121OB OA OA OB AO OA AB AM OA OM +=++=+=+=
)(2
1
OB OA OM +=∴
方法二：由已知可得A 、M 、B 三点共线，且M 为线段AB 的中点。

延长OM 至N ，使M ON 20=，连OA 、OB 、AN 、BN ，易证四边形OANB 为平行四
边形。

OB OA ON += 而ON OM 21=
)(2
1
OB OA OM +=∴ 4．设M 是三角形ABC 的重心。

证明：对任意一点O ，()
OC OB OA OM ++=3
1。

证明：方法一：),,CM OC OM BM OB OM AM OA OM +=+=+=
)(3
1
)(31CM BM AM OC OB OA OM +++++=∴
而：O MC MB MA =++ 即：O CM BM AM =++
)(3
1
OC OB OA OM ++=∴
方法二：设三角形ABC 三点坐标分别为A （x 1,y 1,z 1）, B （x 2, y 2, z 2）,(x 3, y 3, z 3)
由重心坐标公式得：⎪⎭
⎫
⎝⎛-++++++z z z z y y y x x x M 3,3,3321321321 ∴)(3
1
OC OB OA OM ++=
5．设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点。

证明：对任意一点O ，
).(4
1
OD OC OB OA OM +++=
证明：AM OA OM +=，BM OB OM +=，CM OC OM +=，DM OD OD += 而：,O MD MC MB MA +++=即：,O DM CM BM AM +++= ∴)(4
1
OD OC OB OA OM +++=
6．设A ，B ，C ，D 是一个四面体的顶点，M ，N 分别是边AB ，CD 的中点。

证明：)(2
1
BC AD MN +=。

证明：取AC 的中点O ，则OM ，ON 分别为中位线，故有：BC MO 21=，AD ON 2
1
= ∴)(21AD BC ON MO MN +=
+= 即：)(2
1
BC AD MN += 7．设AD ，BE ，CF 是三角形ABC 的中线。

1）用AB ，AC 表示AD ，BE ，CF ； 解：)(21AC AB AD +=
AB AC AC BA BA BC BA BE -=++=+=21
)(21)(21 AC AB CB A CF -=+=2
1
)(21
2）求CF BE AD ++。

解：O AC AB AB AC AC AB CF BE AD =-+-++=
++2
1
21)(21 8．设n p p p ,,21是以O 为中心的圆周上的n 等分点，证明：021=+++n OP OP OP 。

证明：n p p p ,,21是n 等份点 ∴相邻边的夹角相等。

∴i i i OP OP OP λ=++-11（其中2 λ） 又：
)
()()()()(2212422121n n n OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP +++=++++++=+++ λ
即：O OP OP OP n =+++-))(2(21 λ 而02≠-λ
O OP OP OP n =+++∴)(21
9．设O 是点A 和B 的联线以外的一点。

证明：三点A ，B ，C 共线必须且只须
OB OA OC μλ+=，其中1=+μλ。

证明：A ，B ，C 三点共线OB OA OC μλ+=⇔，其中1=+μλ。

“⇒”：C B A ,, 三点共线 )(OA OB AB AC OA OC -===-λλ 即：OB OA OA OB OA a λλλλ+-=-+-)1(
令μλ=-1，则：OB OA OC λμ+= （其中1=+μλ）
“⇐”：OB OA OC )1(λλ-+= OA OB OA OC )1()1(λλ---=-∴ 即：AB AB AC μλ=-=)1( C B A ,,∴三点共线
10．设O 是不共线的三点A ，B ，C 所在平面以外的一点，证明：四点A ，B ，C ，D 共面必须且只须OB OA OD μλ+=，其中1=++V μλ
“⇒”：D C B A ,,, 四点共面 CA k BC k AD 21+=∴
即：a k k OB k OA k a k OA k OB k OC k OA OD )()1(21122211-+-+=-+-=- 令2112,,1k k V k k -=-=+=μλ，则：,OC v OB OA OD ++=μλ 其中1=++v μλ “⇐”：OC v OB OA v OC v OB OA OD ++--=++=μμμλ)1(
AC v AB OA OA OC v OA OB OA ++=-+-+=μμ)()(
AC v AB OA OD +=-∴μ 即：AC v AB AD +=μ ∴A ，B ，C ，D 四点共面
11．已知321,,r OC r OB r OA ===是以原点O 为顶点的平行六面体的三条边，求此平行六面体过点O 的对角线与平面ABC 的交点的定位向量。

解：设体对角线为OD ，OD 与平面ABC 的交点为E ，则：321r r r OD ++= ∴定位向量：)(3
2
32321r r r OD ED ++==
12．设AL 和BM 是三角形ABC 的中线，它们的交点是O ，证明BM BO AL OA 3
2
,32==。

证明：过L 作LD=BM 。

AM MC DC MD LC BL 2
1
21===∴=
AL OA AL AO AM AM AD AM AL AO 3
23223-=∴=∴==∴ 同理可得：BM BO 3
2
=
13．证明：三角形ABC 的三条中线相交于一点。

证明：方法一：设D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，则：
)(2
1
OB OA OF +=
又：)(22OB OD OB BD OB BC OB OC -+=+=+=
BO AO OB OD +=-=2 OF OC 2-=∴
而：OC ，OF 共点O F C O ,,∴三点共线 故：三角线ABC 的三条中线相交于一点。

方法二：设),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A 则：
)2,2(),2,2(),2,2(
2
12132323131y y x x F y y x x D y y x x E ++++++ )2
,2(23
1231y y y x x x BE -+-+=∴
由12题结论可知：)323,323(32
231231y y y x x x BE BO -+-+==
)
3
2,32()3,3(3
2132133213321y y y x x x y y y y x x x x BO CB CO -+-+=-++-++=+=∴ 而：)22,22()2,2(32132132
1321y y y x x x y y y x x x CF -+-+=-+-+=
CF CO 3
2
=∴ 故：C ，O ，F 三点共线
∴三角形ABC 的三条中线相交于一点。

14．设a =(5, 7, 2), b =（3, 0, 4）, c =（-6，1，-1）求
1）3a-2b +c ；
解：)3,22,3()1,1,6()42,0,32()23,73,53(23-=--+⨯⨯-⨯⨯⨯=+-c b a 2）5a +6b +c .
解：)33,36,37()1,1,6()46,0,36()25,75,55(65=--+⨯⨯+⨯⨯⨯=++c b a 15．给定点A （1，2，4）和B （0，-1，7），求AB 的坐标。

解：)3,3,1(--=AB
16．给定点A （2，0，-1）和向量AB （1，4，5），求B 的坐标。

解：B （3，4，4）
17．判断下列各组的三个向量a ，b ，c 是否共面？能否将c 表成a ，b 的线性组合？若能表示则写出表示式。

1）a =(5,2,1), b =(-1,4,2), c =(-1,-1,5);
解：010*********
211421
15≠++++-=---=b
c b a ,,∴不共面，c 不能表示成b a ,的线性组合。

2）a =(6,4,2), b =(-9,6,3), c =(-3,6,3);
解：03363363122543633633266
43
96=⨯+⨯-⨯+⨯--⨯=--=b c b a ,,∴共面，设c =b a λμ+， 则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
==⇒⎩⎨⎧=+-=-322
1664396λμλμλμ b a C 3
2
21+=
∴ 3) a =(1,2,-3), b =(-2,-4,6), c =(1,0,5);
020*******
630421
21=+-+-=---=b
c b a ,,∴共面
设c =b a λμ+，则方程无解⇒⎩⎨
⎧=-=-0
421
2λμλμ
C ∴不能表示成A ，B 的线性组合。

18．设点C 分线段AB 为5：2，A 的坐标为（3，7，4），C 的坐标为（8，2，3，），求B 的坐标。

解：)5
13
,
0,10(B
19．已知三角形的三顶点为A （2，5，0），B （11，3，8）和C （5，11，12），求各边和各中线之长。

解：)8,2,9(-=AB ，AB 边上的中线
)8,7,23
()(21--=+CB CA )4,8,6(-=BC ，BC 边上的中线)10,2,6()(21
=+AC AB
)12,6,3(=AC ，AC 边上的中线)2,5,2
15
()(21--=+BA BC
则：1498292
2
2
=++=AB ，AB 边上的中线长：2
461
87)2
3
(2
22=
++ 292486222=++=BC ，BC 边上的中线长：3521026222=++
2121263222=++=AC ，AC 边上的中线长：2
341
25)215(222=++
20．求a·b ，已知：
1）3
,,5,8π
=
==b a b a ；
解：202
1
58=⨯
⨯==⋅b a 2）a =（3，5，6），b =（1，-2，3）。

解：11362513=⨯+⨯-⨯=⋅b a
21．已知a =（3，5，7），b =（0，4，3）c =（-1，2，-4），求y x y a y x ,,,和⋅:
1) x =3a +4b-c , y =2b+c ;
解：)2,10,1(2),37,29,10(43-=+==-+=c b y c b a x
242550
354
arccos
,105,2310,354====⋅∴y x
2）x =4a +3b+2c , y =a +2b-c ;
解：)17,11,4(2),29,36,10(234=-+==++=c b a y c b a x
952962
929
arccos
,426,2237,929====⋅∴y x
22．已知6
,,2,3π
=
==b a b a 求，3a +2b 与2a -5b 的内积和夹角。

解：3331411)52()23(-=-⋅-=-⋅+b a b a b a
3601362,336973-=-+=+a a
223
6013633697333145223cos -
=-⋅+-=
=
∴b a b a θ πσ4
3= 故：两向量间的夹角为π4
3
23．证明下列各对向量互相垂直：
1）（3, 2, 1）与（2, -3, 0）；
证明：0013223)0,3,2()1,2,3(=⨯+⨯-⨯=-⋅
∴向量（3，2，1）与（2，-3，0）互相垂直。

2）a (b·c )-b (a·c )与c 。

证明：[]
0))(()()()()(=⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅c a c b c b c a c c a b c b a
[]
c c a b c b a 与向量)()(⋅⋅-⋅⋅∴互相垂直。

24．设OABC 是一个四面体，,3
,1,2π
=
====AOC AOB OC OB OA
,6
π
=
BOC L 是AB 的中点，M 是OM OL 。

ABC =∆求的重心
和，OL 。

解：33
2==
==AOB ，π
)2
1
(32)(3232BA CB OC BL CB OC CL OC CM OC OM ++=++=+=+=
)(31
)(2132)(32OC OB OA OB OA OC OB OC ++=-⨯+-+=
32153
1
+==
又：6
1
3)313131)(2121()21(-=++-=+
=⋅OC OB OA OA OB OM AB OA OM OL
3
215633arccos
3
215633--=--=
=
∴
故3
215633arccos
,32153
1
,3--=+=
=∴OM OL
25．CD ，CT 和CH 分别是三角形ABC 的中线、分角线和高线，,,,θ===c b CB a CA 求D ，T 和H 分AB 的分比。

解：∵CD 为三角形的ABC 的中线
=
11==
∴λ， 即：D 分AB 的比为1
∵CT 由三角形ABC 的角平分线，由内角平分线定理得：
b
a AB T ：
b a b
a TB
AT BC
AC 的中为分即,2=
∴=
=
λ θ
cos 222ab b a AB ：AB ，CH ，ABC CH -+=⊥由余弦定理得则的高线为三角形 而：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-=-=
⇒⎪⎩⎪
⎨
⎧-+==+-=-AB ab b BH AB ab a AH ab b a AB HB AH HB BC AH AC θθ
θ
cos cos cos 22
22
22
222
θ
θθθλcos cos ,cos cos 22223ab b ab a AB H ：ab b ab a HB AH
----==∴的线为分即
26．证明：三角形三条中线的长度的平方和等于三边的长度的平方和的
4
3。

证明：2
2222224
1cos 41AC BC B BC AB BC AB CF BE AD ++⋅⋅-+=++
A A
B A
C AB AC C AC BC cos 4
1
cos 22⋅⋅-++⋅⋅-
=)cos cos cos ()(452
22A AB AC C AC BC B BC AB AC BC AB ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++ =2222222222(21)(45AC AB BC AC AC BC AB AC BC AB +-++-+-++ )22BC AB -+
=
)(4
3
222AC BC AB ++ 即证。

27．证明：三角形的三条高线相交于一点。

证明：已知,,BC AO AC BO ⊥⊥则：
O AC OB O BC OA =⋅=⋅,
又：CB AC AC AC AC OA CB AC AC OA AB OC ⋅+⋅+⋅=++=⋅))(( 故：三角形的三条高线相交于一点。

C
28．证明：0=⋅+⋅+⋅BD CA AD BC CD AB
证明：BD CA BD AB AB AC CD AB BD CA AD BC CD AB ⋅++⋅-+⋅=⋅+⋅+⋅)()( =BD CA BD AB AB BD AC AB AC CD AB ⋅+⋅--⋅+⋅+⋅2
=0)(2
2
2
=-=--+AB AB AB BD AC CD AB
0=⋅+⋅+⋅∴BD CA AD BC CD AB
29．求a ×b 和以a ，b 为边的平行四边形的面积： 1）a =(2, 3, 1), b =(5, 6, 4);
解：)3,3,6()4,6,5()1,3,2(--=⨯=⨯b a
63336222=++=∴S
2）a =(5, -2, 1), b =(4, 0, 6 );
解：)8,26,12()6,0,4()1,2,5(--=⨯-=⨯b a
221282612222=++=∴S
3）a =(-2, 6, 4), b =(3, -9, 6, );
解：)0,24,72()6,9,3()4,6,2(=-⨯-=⨯b a
10240247222=++=∴S
30.给定a =(1, 0, -1), b =(1, -2, 0) ,c =(-1, 2, 1)，求 1）a b b a ⨯⨯,；
解：)2,1,2(),2,1,2(=⨯---=⨯a b b a 2）)()3(c b a c b a +-⨯-+；
解：)0,4,1(),4,4,5(3-=+---=-+c b a c b a
)16,4,16()()3(=+-=-+∴c b a c b a
3）c b a c b a ⨯⋅⋅⨯,；
解：)0,1,2(),2,1,2(--=⨯---=⨯c b b a
2,2-=⨯⋅-=⋅⨯∴c b a c b a
4）)(,)(c b a c b a ⨯⨯⨯⨯。

解：)1,2,1()(),5,4,3()(--=⨯⨯-=⨯⨯c b a c b a 31．证明下列等式：
1）))(())((c b d a d b c a d c b a ⋅⋅-⋅⋅=⨯⋅⨯；
证明：])()[()]([)(d c b c d b a d c b a d c b a d c b a ⋅⋅-⋅⋅⋅=⨯⨯⋅=⨯⋅⨯=⨯⋅⨯ =)()()()()()(c b d a d b c a c b b a d b c a ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 故：)()()()(c b d a d b c a d c b a ⋅⋅⋅-⋅⋅⨯=⨯⋅⨯ 2）0)()()(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯b a c a c b c b a 。

证明：)()()(,)()()(a c b c a b a c b a b c b a c c b a ⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯⋅-⋅⋅=⨯⨯
c b a a b c b a c ⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯)()()( 0)()()(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯∴b a c a c b c b a
32．一个四面体的顶点为A （1，2，0），B （-1，3，4），C （-1，-2，-3）和D （0，-1，3），求它的面积。

解：)3,3,1(),3,4,2(),4,1,2(-----=-=AD AC AB
∴四面体的体积为：6
59
5961)(61=⨯=⋅⨯=
AD AC AB V 33．证明：如果0=⨯+⨯+⨯a c c b b a ，那末a , b , c 共面。

证明： 0=⨯+⨯+⨯a c c b b a 0)()(=⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯∴c a c c c b c b a
即：0)(=⋅⨯c b a c b a ,,∴共面
34．下列等式是否正确？
1）2
a a a =；
解：等式错误。

等式左边为向量，右边为实数，但向量与实数是无比较性的。

2）2
)(ab b b a =⋅； 解：等式正确。

3）b a b a a 2)(=⋅；
解：等式错误。

等式左边表示向量b a a ⋅的倍，而右边表示b
倍。

4）2
22
)(b a b a =⋅；
解：等式错误。

222
2
)(cos )(b a ），b a （b a ==⋅的夹角与为θθ
5）)()(c b a c b a ⋅=⋅；
解：等式错误。

等式左边表示向量b a c ⋅的倍，右边表示a 的c b ⋅倍。

6）)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯。

解：等式错误。

等式左边表示与c b a ,⨯都垂直的向量，而左边表示与a ，c b ⨯垂直的向量。

35．下列推断是否正确？
1）如果0,≠⋅=⋅c c a b c 且，那么a=b ；
解：推断错误。

若0≠c ，但b c ⊥，则0=⋅=⋅c a b c ，但b a ≠ 2）如果0,≠⨯=⨯c c a b c 且，那么a=b ；
解：推断错误。

由c a b c =⨯=⨯得
=，并不能得出b a =。

36．讨论x 和y 的关系，已知：
1）x 与x ×y 共线；
解：①当y x ,中有一个为0时，结论显然成立。

②当y x ,都不为0时，由y x x ⨯与共线可得：0)(=⨯⨯y x x 。

即：0)()(=⋅-⋅⋅y x x x y x
x =
∴ y x 与∴共线
故：y x 与共线或y x 与中至少有一个为0。

2）x ，y ，x ×y 共面。

①当y x ,中至少有一个为0时，结论显然成立。

②当y x ,都不为0时，由题可知：0)()(=⨯⋅⨯y x y x 0=⨯∴y x
故：y x 与共线或y x 与中至少有一个为0。

37．设a 和b 都是非零向量，且α,0=⋅b a 为任意的数，并知b ×x =a ，α=⋅x a 求：x .
解：a x b =⨯ a b x b b ⨯=⨯⨯∴)( 而：x b b x b b b x b x b b 2
2)()()(-=⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯
2
22a b b x ：a
b x b ⨯-=
⨯=∴故
38．设,0,0,0=⋅≠⋅≠⋅⨯c b b a c b a 并知,,c b x a x =⨯=⋅α求：x 。

解：c b x =⨯ c a b x a ⨯=⨯⨯∴)( 而：b x b a b x a x b a b x a 2)()()()(-⋅=⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯
b
a x ：c a
b x b a ⋅=
⨯=-⋅∴2)(故
39．证明：a , b , c 不共面必须且只须a c c b b a ⨯⨯⨯,,不共面。

证明：a c c b b a c b a ⨯⨯⨯⇔,,,,不共面不共面： “⇒”：0)()()(,,≠⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯∴b a c a c b c b a c b a 不共面
)(])()[()()]()[(a c c b b a b c b a a c c b b a ⨯⋅⋅⋅⨯-⋅⋅⨯=⨯⋅⨯⨯⨯
=0)()()()()[(2
≠⋅⨯=⋅⨯⋅⋅⨯=⨯⋅⋅⋅⨯c b a b a c c b a a c b c b a
0)()]()[(=⨯⋅⨯⨯⨯∴a c c b b a
即：a c c b b a ⨯⨯⨯,,不共面。

“⇐”：a c c b b a ⨯⨯⨯,, 不共面。

0)()]()[(=⨯⋅⨯⨯⨯∴a c c b b a 而：2
)[()()]()[(c b a a c c b b a ⋅⨯=⨯⋅⨯⨯⨯ 0))(2
≠⋅⨯∴c b a
c b a ：c b a ,,0即≠⋅⨯∴不共面。

即证。

40．设γβα=⋅=⋅=⋅≠⋅⨯c x b x a x c b a ,,,0，求：x 。

解：设]c a c b b a c
b a x w ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅⋅⨯-
⨯βαγ，则：
]c c a c c b c b a c b a c x c w ⋅⨯⋅+⋅⨯⋅+⋅⨯⋅⋅⨯-
⋅=⋅βαγ
=o w c b a c b a c w =∴=-=⋅⨯⋅⋅⨯=⋅0)γγγ
故：c a c b b a c
b a x ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅⋅⨯=βαγ
41．1）已知用得到右旋角度绕将，r e r e r e 1,1,θ=⊥e ，r 和θ表出r 1；
解：由题可得：⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
==⨯⨯+⨯⇒⋅=⨯=⋅θ
θθθθcin r r r e r r e
r r e r 1
111sin cos 0 2）给定三点，P OA P A P A O 1,0,,,得到右旋角度绕将θ≠用1,OP OP OA 表出和θ。

解：过点P 作一平面π，垂直于OA ，交OA 直线于O *，由于O ，P ，A 不共线，则P 与O *不重合。

利用1
）式有P O P O P O *sin cos **1+=θ
θ
由于*,*(*,**11OO OP P O OP OO P O OO OP -=+=，则：
)*(sin cos ([1OO op OP OP OP OP -+⋅+=
θθ（
=OP OP OA OA OP ⨯⋅+⋅⋅-θθcos )
cos 1(
故：OP OP OA OA OP OP ⨯+
⋅+⋅⋅-=θθcos )
cos 1(2
1
42．将e 1绕a =（1，1，1）右旋45℃得到1
e '，求1e '。

解：由第41题2
）知：112
11
45cos )45cos 1(e e a a e e ⨯+
⋅︒+⋅⋅︒-='
=)3
2
1,31,321(
-+ 即：3
21,
31,3211
-+='e 43．将a =(1,1,1)绕e 1右旋45℃得到a '，求a '。

解：由第41题2
）知：a a e e a a ⨯⋅︒+⋅⋅︒-='112
145cos )
45cos 1(
=（1，0，2）
即：)2,0,1(='a
44．求下列平面的方程：
1）过点（-1,0,3），垂直于向量（1，2，-5）；
解：设平面上任意一点),,(z y x p ，则：0)3(52)1(=--++z y x
01652=+-+∴z y ：x 所求平面方程为
2）过点（2,4,-3），平行于向量（0，2，4）和（-1，-2，1）；
解：由题可得平面的法向量为：（0，2，4）×（-1，-2，1）=（10，-4，2） 设平面上任意一点),,(z y x p ，则：0)3(2)4(4)2(10=++---z y x
022410=++-∴z y x ：所求平面方程为
3）过点（1,0,3），（2，-12），（4，-3，7）； 解：设平面方程为：Ax +By +Cz +2=0，则
⎪⎩
⎪
⎨⎧===-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++011
10073402203C B A ：，D C D B D A D C B A D C B A D C A 则令 故：所求平面方程为：01=-+y x 4）过直线
1
121-==-z y x ，平行于直线21
12-+==z y x ；
解：直线
1121-=
=-z y x 与直线2
1
12-+==z y x 的方向数为：（2，1，-1），（2，1，-2），则：a =（2，1，-1）×（2，1，-2）=（-1，2，0） ∵平面过直线
1
121-=
=-z
y x ∴点（1，0，0）在平面上 ∵⊥a 平面 ∴平面方程为：（x -1）×（-1）+2y =0 即：x -2y-1=0 5）过直线⎩⎨
⎧=-++=+--.
04,
0122z z y x z y x 在Y 轴Z 轴上有相同的非零截距。

解：经过已知直线的方向为（
1,310,32-）
，且过点（)0,35
,31，而平面经过另一直线且该直线方向为（0，-1，1），则：)3
2
,32,37()1,1,0()1,310,32(---=-⨯-
设平面方程：03
2
3237=+---D z y x
将点)0,35
,31(代入得：9
17=D
故：所求平面方程为：21x +6y +6z -17=0 45．求下列直线的方程：
1）过点（1，0，-2），平行于向量（4，2，-3）； 解：依题意可设直线方程为：
3
240
00--=
-=-z z y y x x 将点（1，0，-2）代入得：2,0,1000-===z y x ∴所求直线方程为：
3
2241-+==-z y x 2）过点（0，2，3），垂直于平面2x +3y =0； 解：直线方向为：（2，3，0），则可设直线方程为：
320
00z z y y x x -=
-=- 将点（0，2，3）代入解得：3,2,0000===z y x
∴所求直线方程为：
3
322-=
-=z y x 3）过点（2，-1，3），与直线2
2
011-==--z y x 相交且垂直； 解：设所求直线为：n
z m y l x 3
12-=+=-，则：020)1(=⨯+⨯+-⨯n m l ①
∵两直线相交 0232
011
11=++=-∴l n m n m e ②
联立D ②得：n l n m 2,3
5=-= 令6,5,3=-==l m ：n 则 故：所求直线为：
3
3
5162-=
-+=-z y x 4）过点（1，0，-2），与平面3x -y+2z+1=0平行，与直线
1
2341z
y x =--=-相交； 解：设所直线的方向数为：),,(n m l ，则：023=+-n m l ①
1
2341z
y x =--=-所求直线与直线
相交 078121
242
30=--=-∴l m n n m l ② 联立①②得：31,4:,5050
31,252=-===-
=n l m m n m l 则令 故：所求直线方程为：31
2
5041+=
=--z y x 5）过点（11，9，0），与直线2
1
125354321+=
--=-=+=-z y x z y x 和相交； 解：设所求直线方向为：),,(n m l ，则
0)820(234251210=-=-n m n m l ① 0461752151
711=++-=-n m l n m l ② 联立①②得5
132
,25:,15132,25=
====
l n m m l m n 则令 故：所求直线方程为：2
5
19513211z
y x =-=
- 6）直线2
12:2311:21-===-=-z
y x l z y x l 与的公垂线。

解：018)1(337
642311=++--=--z y x z
y x
0822197
64212=+-=-z y x z
y x ∴所求直线方程为：⎩
⎨
⎧=+-=---0822190
331833z y x z y x
46．给定点A （1，0，3）与B （0，2，5）和直线2
1121:1z
y x l =+=-，设各为B A '',A ，B 在l 上垂足。

求
1）;B A ''
解：e e AB B A ⋅⋅=''
147
3
==e 2）B A '',的坐标。

解：设：y y y B x x x A 则),,,(),,,(321321''
⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=+=-0)3(3)1(23112132132x x x x x x ① ⎪⎩⎪
⎨
⎧=-+-+=+=-0
)5(322311213213
21x y y y y y ② 由①得：715,72,717321=-==
x x x 由②得：7
24
,71,723321=
==y y y )7
24,71,723(),715,72,717(B A '-'∴
47．给定点A （，0，3），与B （0，2，5）和直线042:=+-+z y x π，设π在为A ，，B A '',的垂足，求
1）;B A ''
解：33=AB ，A ，B 点到平面π的距离分别为：6
1
,61121=
=
d d 3
93
)(2212=
--=
''∴d d AB B A 2）通过B A '',的直线的方程。

解：设),,(),,,(222111z y x B z y x A ''，则：
1111111,23,2t z t y t x -=-=-=-
2222224,2,1t z t y t x -=-==+
而：042,042222111=+-+=+-+z y x z y x
6
1104)1()23(221111-
=⇒=+--+++∴t t t t 6
1
4)4(2212222-=⇒=+--⋅+-t t t t
)6
23,31,65(),617,32,61(-'-'∴B A
故：所求直线方程为：1
617132161--=-+=-z y x 48．求点到平面的距离：
1）（0，2，1）到2x -3y +5z -1=0; 解：19
38
=
d 2）（-1，2，4）到x -y +1=0 解：2=
d
49．求平面Ax + By + Cz + D =0与平面Ax + By + Cz + D 1=0之间的距离。

解：两平在平行，则其间距为一面上任一点),,(0000z y x P 到另一平面的距离。

D Cz By Ax D Cz By Ax -=++∴=+++0000000
故：两平行平面间的距离为：2
2
2
12
2
2
1
000C
B A D D C
B A D Cz By Ax d ++-=
+++++=
50．求下列点到直线的距离：
1）（-1，-3，5）到
3
1
3121-+=-=-z y x ； 解：)3,3,2(),5,3,1
(),1,1,1(10-=---V P P
11
209
=
=
∴d 2）（0，2，4）到
1
5
322-+=-=z y x 。

解：)1,3,2(),4,2,0(),5,2,0(10-=-V P P
14
182
914139
=
==
∴d 51．求下列各对直线之间的距离：
1）
1
1
234111222-+=
-=--=-+=z y x z y x 和； 解：)1,3,2(),1,2,0(11
222111-=-=-+=V P z y x ：L
)1,2,4(),1,3,1(1
12341222-=--+=-=-V P z y x ：L
()1260)2,5,0(2121，，V V ，
P P =⨯-=∴
5
5
==
∴d 2）
2
112101111z y x z y x =-=+-=--=和。

解：)0,1,1(),1,1,0(01
111111-=-+=--=V P z y x ：L
)2,1,2(),0,1,1(2
1121222=-=-=+V P z y x ：L
()322)1,0,1(2121，，V V ，
P P --=⨯-=∴
17
17
==
∴d 52．判断下列各对直线的位置关系（相交、平行或不共面）：
1）
3
5
3261,123131-=
-=--=-=+z y x z y x 。

解：)1,2,1(),1,3,3(),3
5
,6,0(),2,1,1(212
1-==-V V P P 222121-=⋅⨯∴P P V V ∴两直线不共面。

2）⎩⎨
⎧=++=++⎩⎨
⎧=++=++.
01,
01;01,0y x z x z y z y x 解：)1,1,1(),1,1,0(),0,0,1(),0,1,1(2121-=-=--V V P P
32121=⋅⨯∴P P V V ∴两直线不共面。

3）
1
111,11
111+=--=-+==-z y x z y x 。

解：)0,1,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,1(2121-=-=--V V P P
02121=⋅⨯∴P P V V ∴两直线共面且相交
4）⎩
⎨
⎧=--=+-⎩⎨
⎧=+-=++-.0542,
02;0332,02z y z y x y x z y x 解：)1,2,3(),1,2,3(21==V V ∴两直线平行。

53．设平面0:=+++D Cz By Ax π与联结两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 不在π上的线段相交于M ，且21MM k M M =，证明：
D
Cz By Ax D Cz By Ax k ++++++=
222111.
证明：由题可知：2
1MM M
M k =
设点M 1，M 2在平面π上的垂足为 1
21
1,M M ，则：
2
2
2
2221
222
221111
11,
C
B A D
Cz By Ax M M C
B A D
Cz By Ax M M +++++=
+++++=
k ==
D Cz By Ax D Cz By Ax D
Cz By Ax D Cz By Ax k ++++++=
++++++=
∴222111122111 故：D
Cz By Ax D
Cz By Ax k ++++++=
222111 54．将坐标系统X 轴右旋
π3
2
，再沿X 轴平移至五个单位距离，求坐标变换公式。

解：设点P 原来的坐标为（x , y , z ），旋转平移后的坐标为（x 1, y 1, z 1）
)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===e e e 旋转平移后的坐标分别为：
)2
1,23,0(),23,21,0(),0,0,1(131211
--=-==e e e 1
31121111321111e z e y e x e z e y e x P O OP ⋅++⋅=++⇒=
)2
123()2321(321321111321e e z e e y e x e z e y e x +-++-+=++∴
即：31
121111321)2123()2321(e z y e z y e x e z e y e x -+--+=++
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--==∴1
11112123
2321z y z z y y x x 再沿x 轴平移5个单位：⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
-=--=+=1
11
112123
2
3215
z
y z z y y x x 故：坐标变换公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+=1
1111
212323215
z
y z z
y y x x
55．将坐标系统方向（1,1,1）右旋3π
，原点不动。

求坐标变换公式。

解：)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===e e e 绕（1,1,1）旋转后为：
)32
,631,631(),631,32,631(),631,631,32(131211-+=+-=-+=e e e
又： 211321113112111132
631()63
163
132
(e e y e e e x e z e y e x +-+-+++=++
)32
63163
1()63
132113e e e z e +-+++++ =21
111111)631
32631()63163132e z y x e z y x -++++++-+
311)32
63163
1(e z y x +++-+
而：坐标原点不动
∴坐标变换公式为：⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++-=-+++=++-+=111111111326316316313263163163132z y x z z y x y z y x x
第三章 二次曲面
1．求下列球面的中心和半径：
1）064122
22=-+-++z y x z y x ；
解：原方程化为：49)3()2()6(222=-+++-z y x ，则球面中心（6,-2,3），半径R =7
2）022642222=--+-++z y x z y x ；
解：原方程化为：36)3()2()1(222=-+++-z y x ，则球面中心（1,-2,3），半径R =6
3）08222=+++x z y x 。

解：原方程化为：16)4(222=+++z y x ，则球面中心（-4,0,0），半径R =4
2．求下列圆的中心和半径： 1）⎩⎨⎧=+++=+-+-++0
120246412222z y x z y x z y x
解：球面方程为：25)3()2()6(222=-+++-z y x ，则球面心0（6,-2,3），半径R =5 球心O 到平面a :2x +y +z +1=0的距离63
71121
3262222=++++-⨯=d R d ∴平面a 与球不相交 故只能形成虚圆。

2）⎩⎨⎧=+++=++0
2
222D Cz By Ax R z y x
解：球心O （0，0，0），半径为R ，则：
球心O 到平面的距离222222C B A D C B A D
O C O B O A d ++=+++⨯+⨯+⨯=
要能形成圆，则球面必须与平面相交，即：d R
设球O 到平面上的垂足为1
0001),,,(O z y x O 则为球面与平面相交所形成的圆的圆心，即 ⊥1OO 平面，又设：Ct z Bt y At x ===000,,，则：
2222220C
B A D t D t
C t B t A ++-=
⇒=+++，即：2222222222221,,,(C B A CD C B A BD C B A BD C B A DA O ++-++-++-++-
设圆的半径为r ，则：r =)(2222
2d R C B A D R ++- ∴圆的中心),,(222222222C B A CD C B A BD C B A AD ++-++-
++-，
半径r =)(2222
2d R C B A D R ++-
3．求下列球面的方程：
1）过点（1，-1，1），（1，2，-1），（2，3，0）和坐标原点；
解：设球面方程为：0222=++++++D Cz By Ax z y x ，则：
⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
=-=-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++-+=+++-=0
2
3
22
7
01332062030
D C B A D B A D C B A D C B A D ∴所求球面方程为：023
227
222=---++z y x z y x
2）过点（1，2，5），与三个坐标平面相切；
解：设球面方程为：2222)()()(a a z a y a x =-+-+-，则：
53)5()2()1(2222或=⇒=-+-+-a a a a a
∴所求球面方程为：
25)5()5()5(9)3()3()3(222222=-+-+-=-+-+-z y x z y x 或
3）过点（2，-4，3），且包含圆：0,522==+z y x 。

解：由题可知球心在z 轴，设球心坐标为（0，0，C ），则：球的半径为：R 2=C 2+5 设球的方程为：5)(2222+=-++c c z y x ，则：4+16+（3-c ）2=c 2+5 ∴c =4
∴所求球的方程为：21)4(222=-++z y x
4．求半径为、对称轴为32z
y
x ==的圆柱面的方程。

解：法一：设点（x , y , z ）为圆柱面上任意一点，则该点到对称轴的距离为：
222)2()3()23(141
y x x z z y d -+-+-=。