第六章特殊平行四边形及梯形复习
第6章 特殊平行四边形与梯形
第6章特殊平行四边形与梯形本章是上一章《平行四边形》的深化且延续，从知识体系上看从旋转变换定义了中心对称图形平行四边形以后，从角的特殊性（直角）、从边的特殊性（等边）得到矩形和菱形；从对图形研究的角度看，推理论证在这一章中得到加强与深化，进一步要求学生能清晰、有条理表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据．同时通过“合作学习”等形式，让学生自主探索这些基本图形的性质及其相互关系，从而丰富对空间图形的认识和感受．应该指出的是：在本套教材中，几何推理证明到此已达到最高要求，根据《数学课程标准》，在后续九（上）《圆的基本性质》《相似三角形》，九（下）《直线与圆、圆与圆的位置关系》等章内容中，除了进一步巩固书写格式、继续训练学生运用数学语言合乎逻辑进行交流讨论外，不再提出其他更高的要求．本章的主要内容有矩形、菱形、正方形、梯形的概念、性质和四边形是矩形、菱形、正方形及等腰梯形的条件．有些内容在前两个学段学生已有接触，但还十分肤浅．本章不是对以前知识的简单复习，而是同类知识的螺旋上升．特殊平行四边形与梯形的概念与性质是学好本章的关键，也是为学好整个平面几何打下一个坚实的基础，是本章的教学重点．与基本图形（矩形、菱形、正方形、梯形）的概念、性质及其相互关系随之而来的是几何证明，学生要正确理解证明的本身，需要一个较长的过程，是本章主要的教学难点．本章教学时间约需14课时，具体安排如下：6.1 矩形3课时6.2 菱形 2课时6.3 正方形 1课时6.4 梯形 2课时课题学习简单平面图形的重心 1课时复习、评估3课时，机动使用1课时，合计13课时一、教科书内容和课程教学目标(1) 本章知识结构框图如下：(2) 本章教学要求①在动手操作（摆火柴棒、折纸）过程中加深对矩形、菱形、正方形的概念、对称性及其他有关性质的理解，探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条件．②探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件．③通过交流、讨论、归纳梳理出各个概念的从属关系，各个性质和判定的相互联系与区别，培养学生概括能力，进行矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中的客观规律教育．④探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心），培养学生动手操作能力．⑤了解矩形、菱形、正方形是中心对称图形．欣赏现实生活中的轴对称性与中心对称图形．并了解它们之间的关系．(3) 本章教材分析1．本章的主要内容是特殊平行四边形与梯形，课本从学生生活周围熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形．教师可以再补充一些日常生活中的具体的事例，以加深对这些基本图形的认识与理解．2．矩形、菱形、正方形、梯形之间存在一定区别与联系，矩形、菱形和正方形都是一类特殊的平行四边形，矩形是有一个角是直角的平行四边形，而菱形是有一组邻边相等的平行四边形，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因此，它既具有矩形的性质，又具有菱形的性质．梯形不是特殊的平行四边形，它是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形．只有搞清楚它们之间的关系，才能更好把知识学好．可以抓住平行四边形这条主线，搞清楚它们之间的区别与联系．3．本章的学习要注意多从实物出发，让学生感受到图形世界无处不在，引起学生学习的兴趣．还可以结合一些具体问题，让学生感受学习空间与图形知识的重要性和必要性．对于一些抽象的概念、性质等，也要从解决实际问题引入，让学生在探索中真正理解这些性质．同时要注意概念的定义和性质的表述，逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系．这些不仅是学习好本章的关键，对于学好整个平面几何各章也是很重要的．4．在教学中应注重对证明本身的理解，虽然前面已有接触，但学生还不熟练，这需要一个过程．因此，教学中不要过分追求证明的数量和技巧，要控制一定的难度，控制在《标准》所规定的范围内．二、本章编写特点（一）充分利用现实世界中的实物原型进行教学，展示丰富多彩的几何世界人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材．在本章内容的呈现中，充分体现从生活中的实物原型到平面图形，再到基本图形——矩形、菱形、正方形、梯形，从而更好地“把握图形”．在本章教科书的许多地方，如菱形、梯形概念的引入，基本图形的性质与判定的探究，以及合作学习、课内练习、探究活动、作业题中都呈现了大量生活中的图形，在实际教学时还可以向学生展现更多他们熟悉的生活中的物体和图形，增加学生的直观感受，提高学习空间与图形知识的兴趣，从而更好地认识图形，了解图形，最终达到用图形解决现实生活中的实际问题．（二）强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想像、交流等活动中认识图形，树立图形观念．学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情．在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法．在本章的教科书中，设置了许多“合作学习”“想一想”“探究活动”等栏目，让学生在观察、操作、想像、交流等活动中认识图形等．比如利用火柴棒首尾相接摆成平行四边形，再通过观察思考这个平行四边形的特点，从而引出矩形、菱形的概念．再比如，利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法等．通过这些“探究点”，鼓励学生勤思考、勤动手、多交流．其中，动手操作是学习开始阶段重要的一环，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想像能力．（三）重视几何语言与证明思想的培养和训练在本章，特别注意“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程．首先，教科书强调实物原型的作用，引入了大量实物模型，让学生从中抽象出几何图形，并从几何图形中抽象出文字和符号．其次，教科书重视几何证明的作用，对于对象的文字和符号描述，都是紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上培养证明思想，从而解决几何证明的有关问题．例如，利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法．这样通过学生自己动手探究出判定菱形的方法，实现了“几何模型→图形→文字”的过程，然后，再将它转化为符号语言并加以论证．因此，教学中应重视对学生几何语言的培养，这对学习几何证明非常重要．另外，几何证明也是训练学生几何语言的一种非常有效的方法，正确的几何证明也能训练人的思维，教师应鼓励学生阅读课文，可以在作业中模仿教材中的证明，注重对证明本身的理解．三、教学建议（一）注意与前两个学段的衔接这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念在前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”——特殊平行四边形与梯形的有关内容和要求，并了解它们与这一部分内容的联系与区别．从《数学课程标准》看，与这一章的内容相对应，前面两个学段是要直观认识长方形、正方形、梯形等几何图形，并对这些几何图形进行有关的计算．在这一章，要通过丰富的实例，认识基本图形（矩形、菱形、正方形和梯形）之间的关系，通过对平行四边形的进一步的探究，从而发展几何直觉；进一步认识这些基本图形的概念和一些性质，并能初步利用数学语言加以论证并应用．了解了这些联系与区别，教学时便可以在学习知识的基础上，把前面两个学段学过的内容加深一步，同时避免完全的重复．（二）把握好教学要求在本章，不仅要像第一、二学段那样进一步丰富学生对几何图形的感性认识，还要引导学生逐步认识一些基本图形的特征．这并不意味着要用严格的几何推理的方式来展开学习，而是要强调在实际背景中理解图形的概念和性质，经历探索图形性质的过程．例如对于判定菱形的方法，教科书中先利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法，然后，再将它转化为符号语言并加以论证．而课后让学生在作业中模仿教材中的证明，关键是注重对证明本身的理解，决不能片面追求证明的数量和技巧．对于推理能力的培养，整套教科书是按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次，分阶段逐步加深地安排的，推理能力的培养既集中在“空间与图形”中，又结合各领域中适宜的内容自然地进行．在本章，由于已经进入第三学段的后半段，已不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要“用符号表示推理”，把它作为通过实验探究得到结论的自然延续．矩形、菱形、正方形和等腰梯形的性质的得出都通过说理来加以论证．但要控制一定的难度，证明的要求控制在《数学课程标准》所规定的范围内．（三）重视现代信息技术的应用现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力和学习工具，重视现代信息技术的使用也正是本套教材的特点之一．在这一章，利用信息技术工具，可以给我们展现丰富多彩的图形世界，丰富学习资源，有助于学生从中抽象出几何图形；图形的动态演示，连续变化所形成的众多画面变换，可以在大脑中形成图形空间变化的印象，可以帮助学生在动态变化的图形中寻找图形的性质，从而发现解题思路．比如，通过《几何画板》动态演示四边形的变化过程，帮助学生寻找基本图形之间的联系，体会它们之间的内在含义．同时，也鼓励学生自己利用信息技术工具，来丰富自己的知识，提高自己的认识．（徐鸿斌）。
《特殊平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（提高）知识讲解责编：常春芳【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形⨯S ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线=S 形形形124．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、已知，△ABC 中，∠BAC=45°，以AB 为腰以点B 为直角顶点在△ABC 外部作等腰直角三角形ABD ，以AC 为斜边在△ABC 外部作等腰直角三角形ACE ，连结BE 、DC ，两条线段相交于点F ，试猜想∠EFC的度数并说明理由．【答案与解析】解法一：作DH//BE 交EA 延长线于H ，连接CH易证四边形BEHD 为平行四边形CEH EABCE=AE CEH=EAB=90HE=BD=AB CEH EAB SASCH=BE=DH CHE=ABECHD=90EFC=CDH=45⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴≅∴∠∠∴∠∴∠∠在△与△中△△（），解法二：作CG//BE 交AB 的延长线于G ，连接DG ，∵△ABC 与△ACE 都是等腰直角三角形，∴∠EAB=∠CAE+∠CAB=90°.又∠AEC=90°，∴AB∥CE.∴四边形BECG 为平行四边形，∴CE=GB，又AE=EC ，∴GB=AE.在△BGD 与△AEB 中，DB=AB ，∠DBG=∠BAE=90°，GB=AE ，∴△B GD ≌△AE B (S A S )， ∴∠GDB=∠ABE，BE=DG.∵平行四边形BGCE,∴∠ABE=∠AGC，BE=GC,∴∠GDB =∠AGC, GC= DG.∴∠DGC=∠DGA+∠AGC=∠DGA+∠GDB=90°.于是CDG △是等腰直角三角形，所以45EFC DCG ∠=∠= .【总结升华】通过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使问题得解．类型二、菱形2、如图，平行四边形ABCD 中，AB⊥AC，AB ＝1，BC AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF 为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE 即可；（3）当EF⊥BD 时，四边形BEDF 为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，OA=AB ，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC 绕点O 顺时针旋转的最小度数为45°．【答案与解析】（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明： 四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF＝CE（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE，由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．在Rt△ABC中，2 AC==，∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明：∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∠EBD=∠EDB. 又∵∠EBD=∠FBD，∴∠FBD=∠EDB，ED∥BF.同理，DF∥BE， ∴四边形BFDE是平行四边形. 又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形.3、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．（1）求证：EF=BF ；（2）在上述条件下，若AC=BD ，G 是BD 上一点，且BG ：GD=3：1，连接EG 、FG ，试判断四边形EBFG 的形状，并证明你的结论．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO ，推出AB=BO ，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC 中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF 即可；（2）根据矩形性质和已知求出G 为OD 中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG=BC ，12求出EG∥BC，EG=BC ，求出BF=EG ，BF∥EG，EG=GF ，得出平行四边形，根据菱形的判定12推出即可．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BD=2BO，∵BD=2AB，∴AB=BO，∵E 为OA 中点，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∵F 为BC 中点，∴EF=BF=CF，即EF=BF ；（2）四边形EBFG 是菱形，证明：连接CG ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC，AB=CD ，AD∥BC，BD=2BO=2OD ，∴BD=2AB=2CD，∴OC=CD，∵BG：GD=3：1，OB=OD ，∴G 为OD 中点，∴CG⊥OD（三线合一定理），即∠CGB=90°，∵F 为BC 中点，∴GF=BC=AD ，1212∵E 为OA 中点，G 为OD 中点，∴EG∥AD，EG=AD ，12∴EG∥BC，EG=BC ，12∵F 为BC 中点，∴BF=BC ，EG=GF ，12即EG∥BF，EG=BF ，∴四边形EBFG 是平行四边形，∵EG=GF，∴平行四边形EBFG 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．类型三、矩形4、（2015春•青山区期中）如图1，已知AB ∥CD ，AB=CD ，∠A=∠D ．（1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）E 是AB 边的中点，F 为AD 边上一点，∠DFC=2∠BCE ．①如图2，若F 为AD 中点，DF=1.6，求CF 的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC= ，AF= ．【答案与解析】（1）证明：∵AB ∥CD ，AB=CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵∠A=∠D ，∠A+∠D=180°，∴∠A=90°，∴四边形ABCD 为矩形，（2）解：①延长DA ，CE 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD ∥BC ，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB ，∵E 是AB 边的中点，∴AE=BE ，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，∵DF=1.6，F为AD中点，∴BC=3.2，∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∵∠DFC=2∠BCE，∴∠BCE=∠FCE，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠G，∴CF=FG=4.8；②若CE=4，CF=5，由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；故答案为：5；设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，∴DG=5+=，∴AD=DG=，∴AF=AD﹣DF=；故答案为：．．【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度.举一反三：【变式】如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG 是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG 是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【答案】解：（1）四边形DEFG 是平行四边形．理由如下：∵D、G 分别是AB 、AC 的中点，∴DG 是△ABC 的中位线；∴DG∥BC，且DG ＝BC ；12同理可证：EF∥BC，且EF ＝BC ；12∴DG∥EF，且DG ＝EF ；故四边形DEFG 是平行四边形；（2）O 在BC 边的高上且A 和垂足除外．理由如下：连接OA ；同（1）可证：DE∥OA∥FG；∵四边形DEFG 是矩形，∴DG⊥DE；∴OA⊥BC；即O 点在BC 边的高上且A 和垂足除外．5、在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4．过点A 作AE⊥AB 且AB=AE ，过点E 分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC 和BC 的延长线与点F ，D ．若FC=5，求四边形ABDE 的周长．【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC=AF ，AC=EF ，再利用勾股定理得出AB 的长，进而得出四边形EFCD 是矩形，求出四边形ABDE 的周长即可．【答案与解析】解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．∴∠B=∠2． ∵EF⊥AC，∴∠4=∠5=90°．∴∠3=∠4．在△ABC 和△EAF 中，∵，，342B AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△EAF（AAS ）．∴BC=AF，AC=EF ．∵BC=4，∴AF=4．∵FC=5，∴AC=EF=9．在Rt△ABC 中，.==．∵ED⊥BC，∴∠7=∠6=∠5=90°．∴四边形EFCD 是矩形．∴CD=EF=9，ED=FC=5．∴四边形ABDE 的周长．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC=EF=9是解题关键．举一反三：【变式】（2015•杭州模拟）如图，平行四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1cm 的速度沿射线CA 移动．（1）经过几秒，以P ，Q ，B ，D 为顶点的四边形为矩形？（2）若BC ⊥AC 垂足为C ，求（1）中矩形边BQ 的长．【答案】解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ 为矩形．理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，∵AC=6，∴CP=AQ=1∴PQ=BD=8∵四边形ABCD 为平行四边形，BD=8∴AO=CO=3∴BO=DO=4∴OQ=OP=4∴四边形BPDQ 为平形四边形，∵PQ=BD=8∴四边形BPDQ 为矩形，（2）由（1）得BO=4，CQ=7，∵BC ⊥AC∴∠BCA=90°BC 2+CQ 2=BQ 2∴BQ=．类型四、正方形6、正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF ＝FM ；（2）当AE ＝1时，求EF的长．【答案与解析】解：（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM ，∠EDM＝90°，∴∠EDF＋∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF 和△DMF 中，DE DM EDF MDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF≌△DMF（SAS ），∴EF＝MF ；（2）设EF ＝MF ＝，x ∵AE＝CM ＝1，且BC ＝3，∴BM＝BC ＋CM ＝3＋1＝4，∴BF＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－，x ∵EB＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt△EBF 中，由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2，即，()22224x x +-=解得：，则EF ＝．52x =52【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．举一反三：【变式】如图（1），正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C ，且B 、C 、E 在一直线上，连接BG 、DE ．（1）请你猜测BG 、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG 绕C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和DE 是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．【答案】解：(1)BG ＝DE ，BG⊥DE； 理由是：延长BG 交DE 于点H ， 因为BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCG＝∠DCE所以△BCG≌△DCE，所以BG ＝DE ，∠GBC＝∠CDE．由于∠CDE＋∠CED＝90°，所以∠GBC＋∠DEC＝90°， 得∠BHE＝90°．所以BG⊥DE.(2)上述结论也存在．理由：设BG 交DE 于H ，BG 交DC 于K ，同理可证△BCG≌△DCE，得BG ＝ED ，∠KBC＝∠KDH．又因为∠KBC＋∠BKC＝90°，可得∠DKH＋∠KDH＝90°，从而得∠KHD＝90°．所以BG⊥DE.。
《平行四边形和梯形》整理和复习
《平行四边形和梯形》整理和复习一、知识点回顾垂直与平行例1 认识垂直与平行认识同一平面内两条直线的位置关系：相交和不相交（也就是平行）。
相交有成直角和不成直角的情况。
平行：在同一平面内不相交的两条直线叫平行线，也可以说这两条直线互相平行。
垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
例2 学习画垂线。
画垂线的方法：1.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。
2.沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点（或另一条直角边和已知点所在的直线）重合。
3.从直角的顶点起沿另一条直角边画一条直线。
4.拿走三角尺在垂足处标出垂直符号。
（现在有些同学还是随手画，在家请家长监督。
）灵活运用：可以利用此法检验两条直线是否互相垂直。
例3：1.从直线外一点到这条直线所画线段中垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离。
2.与两条平行线互相垂直的线段的长度都相等。
例4：利用画垂线的方法画长方形、正方形。
如：画一个长3厘米、宽2厘米的长方形。
方法：1.先画一条3厘米长的线段。
2.过两个端点在线段的同侧画两条与它垂直的线段，每条线段长2厘米。
3.把这两条线段的端点连接起来．注意事项：做图题一定要借助三角板，用铅笔画（画错好改）。
平行四边形和梯形例1 ：四边形：由四条线段首尾相连围成的图形叫做四边形。
四边形分为不规则四边形和特殊四边形。
特殊四边形包括长方形、正方形、平行四边形和梯形。
平行四边形：两组对边分别互相平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形容易变形，生活中的伸缩门、升降机都应有了这一特性。
梯形：只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
正方形是特殊的长方形，正方形、长方形是特殊的平行四边形。
四边形之间的关系可以表示为：二、巩固练习完善提高（一）、填一填。
1、两组对边分别平行的四边形叫做（）。
特殊平行四边形与梯形讲义
4. 平移一条对角线特殊平行四边形考点一 1.会根据条件选择适当方法判定平行四边形例1.如图，在■■ :ABCD 中，对角线 AC BD 相交于点 O, E 、F?是对角线 AC 上的两 点，当E 、F 满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形()A . OE=OFB . DE=BFC . Z ADE 玄 CBFD . Z ABE=/ CDF考点二会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形例 2.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , / BAC=60 , DE?垂直平分 BC 垂足为 D, 交AB 于点E ,又点F 在DE 的延长线上，且 AF=CE 求证：四边形 ACEF 为菱形.考点三会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题例3.如图，在矩形纸片 ABCD 中, AB=3；3 , BC=6沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上 的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H,Z BPE=30 .(1 )求BE QF 的长.(2 )求四边形 PEFH 的面积.考点四平行四边形中的一题多解法及其变式练习例4.已知：如图，平行四边形 ABCD 中, BE X AC 于E , DF 丄AC 于F ,求：BE=DF 【分析】欲证线段相等，通常转化证三角形全等结合平行四边性质，找到证法一。
变更题(一)原题的已知条件和原形不变，求证：(1) AE=CF ; (2)AF=CE ; (3) / ABE=/ CDF(4)四边形 BFDE 为平行四边形(5)BD 与 EF 互相平分。
变更题(二)题设变化，如图2，已知，平行四边形 ABCD 中, AE=CF 以上各结论亦然成立。
考点五、梯形中常见的添辅助线的技巧 平移一腰作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题，CE 等于上、下底的差。
若是等腰梯形则得到一个等腰三角形1.延长两腰交于一点2. 作用：使梯形问题转化为三角形问题。
平行四边形与梯形章节复习与练习
平行四边形、梯形复习与练习平行四边形知识点：1．定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2．特点：（1）平行四边形的对边平行且相等（2）平行四边形的对边平行（3）平行四边形的对边相等（4）平行四边形的对角相等（5）平行四边形的邻角互补（6）平行四边形的两条对角线互相平分（7）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。
（8）一般的平行四边形不是轴对称图形。
矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形且为轴对称图形。
3．判定（前提在同一平面内.）（重点！）（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（不可直接证明为平行四边形）(6)一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形（不可直接证明为平行四边形）（7）一组对边相等一组对角相等的四边形是平行四边形。
4．性质（1）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
（2）平行四边形的对角相等，两邻角互补。
（3）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
（5）平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形）*（6）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，性质6一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
*（7）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）。
*注：正方形，长方形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。
.5.平行四边形中常用辅助线的添法（1）连结对角线或平移对角线。
（2）过顶点作对边的垂线构成直角三角形。
（3）连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。
第六章特殊四边形与梯形复习之正方形专题
解题后小结
1. 本题是一题多变，对同学们来说，能力 要求比较高，但只要你敢想，多尝试，你一 定会慢慢适应，日积月累，你的各方面能力 会有很大提高。 2. 怎么变呢？先尝试变结论！就是做完一 道题后，问一下：还能得出什么结论？另外， 可问：如果条件变一下，是否能得出同样的 结论？或者又有什么新的结论会出现呢？再 试着求解或证明。
第六章 特殊平行四边形与梯形
——正方形复习课
诸暨市安华镇中 许伟锋
我能说
请你说说正方形具 有哪些重要性质？
我会做
解题后小结
1. 一题多解，有利于熟悉知识之间的 联系，为完善你的知识体系提供有效的 帮助；让我们知道哪一种方法最优. 2. 当然并不是所有题目都能一题多解， 但养成解完一道题后，问自己：这题还 有其它解法吗？应该是一种良好的学习 习惯！它有利于发散思维能力的提高!
一题多变全面化
同学们：
通过本节课的学习，你有什 么收获想与同学和老师一起 分享呢？请主动来说说，我 们一定认真倾听，把你的经 验或教训牢记在心，并为你 的勇敢喝彩！
常反思 勤总结
谢谢大家！
一题多解最优化
（例2）如图，分别以△ＡＢＣ的边ＡＢ，ＡＣ 为一边向外作正方形ＡＥＤＢ和正方形ＡＣＦ Ｇ. 连结ＣＥ，ＢＧ. 请你找出一对相等的角 （非直角），并说明理由.
挑战自我1
设ＣＥ，ＢＧ相交于点Ｐ，连结ＡＰ. 求证：ＰＡ平分∠ＥＰＧ.
ＭＮΒιβλιοθήκη 挑战自我2ＭＮ
挑战自我3
若ＡＭ是△ＡＢＣ的高，ＭＡ的延 长线交ＥＧ于点Ｎ. 求证：点Ｎ是ＥＧ的中点.
八下第六章《特殊平行四边形复习课》ppt课件-(共42张PPT)-(1)
的有 _______________________（组合序号）
4.若平行四边形一边长为8cm，一条对角线长为6cm，则另一条
对角线长X的取值范围是_____________
5.M为□ABCD 的边AD上一点，若▲MBC的面积为8cm2，□ABCD
的面积为_______
A
D
6.如图，□ABCD中，AE⊥BC,AF⊥CD，E，
(1)求证：EO=FO (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是 矩形?并证明你的结论．
A
M E
B
O FN
D C
(1)证明 ∵ CE 平分∠ ACB ∴ ∠ ACE= ∠ ECB ∵ MN // BC ∴ ∠ ECB= ∠ OEC ∴ ∠ OEC= ∠ ECO ∴ OE=OC
同理OF=OC ∴ OE=OF
A、对角相等
B、对角线相 C、对边相等 D、对角线互相平分
2、菱形有而一般的平行四边形不具有的性质是( )
A、对角相等 B、对角线互相平分C、对边平行且相等 D、对角线互相垂直
3.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
(A)对角相等
(B)邻角互补 (C )对角互补
(D)内角和是360°
(4).下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ ）。
(B)两条对角线互相平分。
(C )两条对角线互相垂直。 (D)一对邻角的和为180°。
5.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ） (A) AB =CD, AD =BC。(B) BC // AD。 (C ) AB//DC, AD//BC。 (D) AB =CD，AD//BC。
1、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是( )
O
人教版四年级上册数学《平行四边形和梯形》知识点及练习题
【导语】平⾏四边形和梯形是四年级学习中的⼀个重点知识章节。
以下是⽆忧考为⼤家精⼼整理的内容，欢迎⼤家阅读。
【篇⼀】⼈教版四年级上册数学《平⾏四边形和梯形》知识点 ⼀、垂直与平⾏ 1、认识平⾏和垂直 ①同⼀平⾯内的两条直线的位置关系只有两种：相交和不相交。
相交⼜有成直⾓的和不成直⾓的两种情况。
*“同⼀平⾯”是确定两条直线平⾏关系的前提，如果不在同⼀平⾯内，即便不相交，也不能称为互相平⾏。
②平⾏线：在同⼀个平⾯内不相交的两条直线叫做平⾏线，也可以说这两条直线互相平⾏。
平⾏的表⽰⽅法：a//b，读作a平⾏于b。
⽣活中平⾏的例⼦：窗户相对的框，⿊板相对的两条边，公路上的斑马线...... ③垂直：如果两条直线相交成直⾓，就说这两条直线互相垂直，其中⼀条直线叫做另⼀条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂⾜。
垂直的表⽰⽅法：ab ⽣活中垂直的例⼦：三⾓尺上的两条直⾓边互相垂直...... ④三条直线的特殊关系： a//b，b//c,那么a//c：在同⼀平⾯内，如果两条直线都和第三条直线平⾏，那么这两条直线互相平⾏ ab，bc，那么a//c：在同⼀平⾯内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平⾏。
2、垂线的画法和性质 ①过直线上和直线外⼀点怎样画这条直线的垂线：把三⾓尺的⼀条直⾓边与已知直线重合；沿着直线移动三⾓尺，使三⾓尺的顶点和直线上的已知点重合；从直⾓的顶点起，沿着另⼀条直⾓边画出⼀条直线，这条直线就是已知直线的垂线。
②过直线外⼀点怎样画这条直线的垂线：把三⾓尺的⼀条直⾓边与已知直线重合；沿着直线移动三⾓尺，使三⾓尺的另⼀条直⾓边与直线外的⼀点重合；沿着三⾓尺的另⼀条直⾓边画⼀条直线 ③垂线的性质：从直线外⼀点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
3、平⾏线的画法及运⽤ ①平⾏线的画法：固定三⾓尺，沿⼀条直⾓边先画⼀条直线；⽤直尺紧靠三⾓尺的另⼀条直⾓边，固定直尺，然后平移三⾓尺；再沿第⼀步中的直⾓边画出另⼀条直线。
平行四边形与梯形
平行四边形与梯形平行四边形与梯形是几何学中常见的两类多边形。
它们具有一些共同的特点和性质，同时也有着一些不同之处。
本文将对平行四边形和梯形的定义、性质以及应用进行探讨。
一、平行四边形平行四边形是一类具有特殊性质的四边形。
它的定义为：如果一个四边形的对边两两平行，则这个四边形就是平行四边形。
1.1 基本性质平行四边形有以下基本性质：a) 两组对边分别平行；b) 两组对边长度相等；c) 两组对角线互相平分；d) 相邻两个内角互补，即和为180°；e) 对角线相等的平行四边形是矩形；f) 对角线垂直的平行四边形是菱形。
1.2 应用举例平行四边形的性质使得它们在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在建筑工程中，我们常常需要利用平行四边形的性质来确定地面的平行与垂直方向，从而保证建筑物的结构稳定。
此外，在日常生活中，平行四边形的概念还可以应用于制作桌子、柜子等家具，以确保其坚固且美观。
二、梯形梯形是一类特殊的四边形，它具有以下定义：如果一个四边形的两边是平行的，则这个四边形是梯形。
2.1 基本性质梯形的基本性质如下：a) 两条底边平行；b) 上底与下底互相平行；c) 上底与下底长度不相等；d) 两腰边之间的夹角不相等；e) 对角线不相交。
2.2 应用举例梯形在几何学中是一个常见的形状，具有一些重要的应用。
例如，在建筑设计中，梯形的概念常被应用于楼梯的设计，通过合理利用梯形的性质和比例，可以确保楼梯的安全性和舒适性。
此外，在工业生产中，梯形的结构也常常被用于设计输送带、坡道等设备，以实现物料的顺利运输。
综上所述，平行四边形和梯形是几何学中重要的两类多边形。
它们具有一些共同的性质，同时也有一些独特的特点。
了解和掌握这些多边形的性质和应用，对于我们理解几何学的基本原理，以及在实际问题中的应用具有重要意义。
无论是在建筑设计、工程制造还是日常生活中，平行四边形和梯形的概念和性质都扮演着重要的角色，我们应该深入学习和研究它们，以提高我们的几何学水平和解决实际问题的能力。
特殊的平行四边形专题（题型详细分类）要点
特殊的平⾏四边形专题（题型详细分类）要点特殊的平⾏四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正⽅形之间的联系如下表所⽰：四边形分类专题汇总专题⼀：特殊四边形的判定矩形菱形正⽅形性质边对边平⾏且相等对边平⾏，四边相等对边平⾏，四边相等⾓四个⾓都是直⾓对⾓相等四个⾓都是直⾓对⾓线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对⾓线平分⼀组对⾓互相垂直平分且相等,每条对⾓线平分⼀组对⾓判定 ·有三个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且有⼀个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且两条对⾓线相等. ·四边相等的四边形；·是平⾏四边形且有⼀组邻边相等；·是平⾏四边形且两条对⾓线互相垂直。
·是矩形，且有⼀组邻边相等； ·是菱形，且有⼀个⾓是直⾓。
对称性既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________2.矩形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________3.菱形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________4.正⽅形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________5.等腰梯形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________【练⼀练】⼀．选择题1．能够判定四边形ABCD是平⾏四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平⾏四边形的为（）．A．相邻的⾓互补 B．两组对⾓分别相等C．⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等 D．对⾓线交点是两对⾓线中点3.下列条件中，能判定四边形是平⾏四边形的条件是( )A.⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等B.⼀组对边平⾏，⼀组对⾓相等C.⼀组对边平⾏，⼀组邻⾓互补D.⼀组对边相等，⼀组邻⾓相等4．如下左图所⽰，四边形ABCD的对⾓线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平⾏四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平⾏四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平⾏四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平⾏四边形5．不能判定四边形ABCD是平⾏四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC6.四边形ABCD的对⾓线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD7.四边形ABCD的对⾓线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8.在四边形ABCD中，O是对⾓线的交点，下列条件能判定这个四边形是正⽅形的是（）A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC9.在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对⾓线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对⾓线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形Ｄ．两条对⾓线互相垂直且相等的四边形是正⽅形10.在下列命题中，正确的是（）11.如图，已知四边形ABCD 是平⾏四边形，下列结论中不正确的是（） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=900时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正⽅形12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（） A ．四边形AEDF 是平⾏四边形B ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正⽅形的条件是（）。
特殊平行四边形与梯形复习测试(含答案)
一、选择题1．矩形具有而一般的平行四边形不具有的特点是（）A、对角线相等B、对边相等C、对角相等D、对角线互相平分2．依次连结矩形各边中点所得的四边形是( )A、矩形B、菱形C、正方形D、一般平行四边形3．下列叙述错误的是（）A、平行四边形的对角线互相平分；B、菱形的对角线互相平分；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；D、对角线相等的四边形是矩形。
4．下列结论：（1）正方形具有平行四边形的一切性质；（2）正方形具有矩形的一切性质；（3）正方形具有菱形的一切性质；（4）正方形具有四边形的一切性质，其中正确结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（）A、16a B、12a C、8a D、4a6．如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A、1对B、2对C、3对D、4对7．若等腰梯形两底之差等于一腰的长，•那么这个梯形一内角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是( )（第9题图）（第10题图）9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝6，BC＝8，且AB∥DE，则△DEC周长为( ) A．3 B．12 C．15 D．1910．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A、1B、2C、3D、不能确定二、填空题12．如图，点E、F是菱形ABCD的边BC、CD上的点，请你添加一个条件（•不得另外添加辅助线和字母），使AE=AF，你添加的条件是________．）13．如图，P是正方形ABCD内一点，且△PBC是等边三角形，则∠PAD＝_______。
人教版数学四年级上册-五《平行四边形和梯形》整理和复习教学设计
人教版数学四年级上册-五《平行四边形和梯形》整理和复习教学设计一. 教材分析《平行四边形和梯形》是小学四年级数学的重要内容，主要让学生掌握平行四边形和梯形的概念、性质和分类。
通过这一章节的学习，学生能理解平行四边形和梯形的特征，学会识别和判断平行四边形和梯形，并能运用所学知识解决实际问题。
二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，他们能够通过观察、操作、思考来理解和掌握数学知识。
但在学习平行四边形和梯形时，学生可能对一些概念和性质的理解还存在困难，需要教师耐心引导和讲解。
三. 教学目标1.让学生掌握平行四边形和梯形的概念、性质和分类。
2.培养学生观察、操作、思考的能力，提高空间想象力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：平行四边形和梯形的概念、性质和分类。
2.难点：对一些概念和性质的理解和运用。
五. 教学方法采用“情境教学法”、“互动教学法”和“实践教学法”，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与，培养学生的动手操作能力和空间想象力。
六. 教学准备1.准备相关的教学图片、教具和课件。
2.准备练习题和作业题，以便进行巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些平行四边形和梯形的图片，引导学生观察和思考，让学生初步认识平行四边形和梯形。
2.呈现（10分钟）讲解平行四边形和梯形的概念、性质和分类，通过示例和讲解，让学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）让学生进行一些实际的操作练习，如画平行四边形和梯形，判断给定的图形是否为平行四边形或梯形等，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，检查学生对知识的理解和掌握程度。
5.拓展（10分钟）让学生思考和讨论：在实际生活中，你还在哪里见过平行四边形和梯形？它们有什么作用？从而培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调平行四边形和梯形的概念、性质和分类，提醒学生注意一些易错点。
人教版八年级数学下册《特殊的平行四边形》复习课件
A.4
）
B. 3
C.10
D.12
A
D
F
G
B
E
C
例
如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别
在正方形ABCD的边上，且AH=2，连接CF.
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形。
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积。
D
G
C
F
H
A
A
C
O
B
N
）
矩形的探究性问题
A
例 如图，在△ABC中，DE分别是AB，
AC的中点，连接DE并延长至点F，使
E F = D E ， 连 接 C F.
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形。
（2）探究：当△ABC满足什么条件时，
B
四边形ADCF是矩形，并说明理由。
D
E
F
C
N
A
B
如图，已知AD//BC，AB//CD，∠B=∠BCD.
4、正方形既是矩形，又是菱形；
5、理解矩形、菱形、正方形的关系。
框架
矩形
正方形
平行四边形
菱形
定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（特殊在角）
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。（特殊在边）
正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形。
点PQ分别在BD，AD上，则PA+PQ的最小值为_______。
Q
A
D
P
E
B
C
CD在∠MON的内部，顶点A,B分别在射
《特殊平行四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【知识网络】 知识点归纳要点一、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.类型一：菱形的性质1、如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_________cm.【变式】如图， 菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ． 32B ．33C ． 34D ． 3矩形 菱形正方形 性 质边对边平行且相等 对边平行，四边相等对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
·是矩形，且有一组邻边相等；·是菱形，且有一个角是直角。
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形FADEBC【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶2，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.3 B.2 C.1 D.232、如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF=BE ．类型二：菱形的面积计算3、已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ） A ．12cm2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 22.已知菱形ABCD 的面积是212cm ，对角线4AC =cm ，则菱形的边长是__________cm ； 3.如图1， 菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，4cm AB =．那么，菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 ．4. 如图2，已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A 、163B 、16C 、83D 、8图1 图2 图35. 如图3，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于 cm 2． 类型三、菱形的判定4、已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．ADC EB5、在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．作业一1．下列说法中，错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形2．如图1，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )A.4B.8C.12D.163.如图2，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．5图1 图24.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°5．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A.1B. 2C. 2D. 36．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD ⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：宽＝长矩形⨯S类型一：矩形的性质6、下列说法中正确的是（ ）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 平行四边形的对角线平分一组对角D. 矩形的对角线相等且互相平分 7、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0120AOD ∠=，AB=2.5，则AC 的长为 。
第六章特殊平行四边形和梯形复习提纲概要
第六章特殊平行四边形和梯形复习提纲一、各种特殊四边形的定义和性质名称定义性质对称性边角对角线平行四边形两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
对边平行且相等对角相等，邻角互补互相平分中心对称图形矩形有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
对边平行且相等。
四个角都是直角相等且互相平分既是中心对称图形又是轴对称图形菱形有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
对边平行，四边相等。
对角相等，邻角互补。
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。
既是中心对称图形又是轴对称图形正方形一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫正方形。
对边平行，四边相等。
四个角都是直角相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
既是中心对称图形又是轴对称图形等腰梯形两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
上、下底平行且不相等，两腰相等不平行。
同一底上的两个底角相等，不同底上相等轴对称图形的两个底角互补。
二、几种特殊四边形的常用判定方法名称条件平行四边形1.两组对边分别平行；2、两组对边分别相等；3、一组对边平行且相等；4、两条对角线互相平分矩形1、有三个角是直角；2、是平行四边形，且有一个角是直角；3、是平行四边形，并且两条对角线相等菱形1、四条边都相等；2、是平行四边形，并且有一组邻边相等；3、是平行四边形，并且两条对角线互相垂直正方形1、是矩形，并且有一组邻边相等；2、是矩形，并且且两条对角线互相垂直3、是菱形，并且有一个角是直角；4、是菱形，并且两条对角线相等等腰梯形1、是梯形，并且同一底上的两个角相等；2、是梯形，并且两条对角线相等三、各种特殊四边形之间的关系四、有关中点四边形的几个结论1、任意四边形的四边中点围成的四边形是平行四边形。
2、对角线互相垂直的四边形的四边中点围成的四边形是矩形。
3、对角线相等的四边形的四边中点围成的四边形是菱形。
4、对角线相等并且互相垂直的四边形的四边中点围成的四边形是正方形。
五、梯形中常见的添辅助线的技巧1.延长两腰交于一点2.平移一腰作用：使梯形问题转化为三角形问题。
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课题：第六章特殊的平行四边形及梯形复习（1）
复习目标：1、梳理本章所学的几种特殊的四边形之间的关系，形成知识网络。
1、 进一步探索并掌握矩形、菱形、正方形和梯形的有关概念和性质，并能作简单的应用。
2、 会初步综合应用特殊的平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题。
3、 在探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步培养学生的说理的习惯与能力，初步
形成一定的推理能力。
复习重点：应用特殊四边形的性质解决简单问题。
复习难点：正确处理特殊四边形之间的关系。
课堂教学设计： 一、知识结构：
二、完成下表：
例1、（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A 、对角线相等
B 、对角线互相平分
C 、对角线互相垂直
D 、四条边都相等
（2）已知矩形的一条对角线与另一边的夹角是4
0°，则两条对角线所成的锐角的度数是（ ） A 、50° B 、60° C 、70° D 、80°
(3)菱形的对角线长分别是6cm,8cm ，则菱形的周长是 cm,面积是 cm 2
.
(4)菱形的周长为32cm ，若有一个内角为120°，则菱形的一条较短的对角线为 cm. (5) 如图在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE=CA ，则∠CAE= °。
(6)正方形ABCD 的长尾2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则EF 的长为 。
（7）如图，梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=50°，∠B=80°，CD=3cm,AB=7cm,则BC 的长为 。
四边
形
两组对边
分别平行 平行四边形
有一直角
矩形
邻边相等 菱形 有一直角
正方形
只有一组对边平行
梯 形
腰垂直于底
A B
例2、如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长和是80cm,对角线是10cm,求矩形的周长。
D
分析：要求矩形的周长，已知中给出了四个三角形的周长，这包括了矩形的四条边和两条对角线长的2倍，所以可用四个三角形的周长减去两条对角线长的2倍即可求得。
例3、已知：如图所示，E为矩形ABCD边BC上的一点，且AB=AE，AE交BD于点哦，且∠DAE=2∠BAE。
求证：AO=BE
D
例4、如图所示，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，，过点A作A G⊥EB，垂足是G，AG交BD于F。
求证：OE=OF
分析：可以把OE、OF分别放在两个三角形△OEB，△OAF中进行证明，条件可由正方形的对角线互相平分且垂直，与已知条件A G⊥EB来创造。
D
B
A
拓广：若点E在AC的延长线上，A G⊥EB，AG交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB于点F，其他条件不变，OE=OF是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
例5、如图，已知在梯形ABCD中AB∥CD，E 是BC的中点，AE、DC 的延长线相交于点F，连接AC，BF。
（1）求证：AB=CF；
（2）四边形ABCF是什么四边形？并说明理由。
四、布置作业：课本：第157页第1、2、3、5、6、9、14题。