河南省内黄一中2014-2015学年高一上学期12月月考试题 数学 Word版含答案

考试时间：2014年12月11日
内黄一中2014级高一上学期12月月考
数学试卷
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合{}{}41|,3,2,1<<∈==x Z x N M ,错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

则（ ）
A ．N M ⊆
B ．N M =
C ．{}3,2=⋂N M
D ．)4,1(=⋃N M
2、下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）
A. x y =
B. x log y 2=
C. 3
x y = D. x
y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21
3、在下列命题中，不是．．
公理的是( )． A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4、已知函数)0(11
)(<++
=x x
x x f ，则)(x f 的（ ） A.最小值为3 B.最大值为3 C.最小值为1- D.最大值为1-
5、如右图，三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱 AA 1⊥底面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视 图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）
A ．
C ．4
D ．6、设3
2-=a ，8173log b = ，1
32-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=c ，则（ ）
A. c b a >>
B. c b a <<
C. c a b <<
D. a c b <<
7、已知两条直线m n ，，两个平面αβ，．下面四个命题中不正确．．．
的是（ ） A ． ,//,,n m m ααββ⊥⊆⇒⊥n B ．αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥； C ． ,α⊥m m n ⊥,βαβ⊥⇒⊥n D ．m n ∥，m n αα⇒∥∥；
8.设函数()y f x = 是偶函数，且在[)+∞,0上单调递增，则（ ）
A 、(2)(1)f f ->
B 、(2)(1)f f -<-
C 、(2)(2)f f ->
D 、(||)()f x f x <
9、函数()1x
f x =-e 的图象大致是 （ ）
A B C D
10、正方体ABCD -
1111A B C D 中，1BD 与平面ABCD 所成角的余弦值为( ) A 23
11、如图，长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，
1=AD ，G F E ,,分别是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线E A 1与GF 所成角为( )
A ．
30
B ．
45
C ．
60
D ．
90
（第10题） （第11题）
12、已知()()⎩⎨
⎧≥<--=11
3x ,x log x ,a x a x f a
，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）
A. ⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡323, B.()31, C. ()10,
D. ()∞+，1
A B C D
A B
C 1
D 1
第II 卷 （非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设集合{0,1,2,3}A =,则A 的非空真子集的个数为 *** ．
14、若正方体1111ABCD A BC D -的外接球O 的体积为，则球心O 到正方体的一个面
ABCD 的距离为 *** ．
15、设ax x f x ++=)110lg()(是偶函数，2
b
4)x (g -=是奇函数，那么b a +的
值为 *** ．
16、下面给出五个命题：
① 已知平面α//平面β，,AB CD 是夹在,αβ间的线段，若AB //CD ，则AB CD =； ② ,a b 是异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 一定是异面直线； ③ 三棱锥的四个面可以都是直角三角形。

④ 平面α//平面β，P α∈，PQ //β，则PQ α⊆；
⑤ 三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直； 其中正确的命题编号是 *** ．（写出所有正确命题的编号）
三．解答题（本大题共６小题，共７０分。

解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 17、（本小题满分１０分） 在长方体1111D C B A ABCD -中，截下一个棱锥11DD A C -，求棱锥11DD A C -的体积与剩余部分的体积之比．
18、（本小题满分１２分）
某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x 元与日销售量y
（Ｉ）确定x 与y 的一个一次函数关系式()x f y =；
（II ）若日销售利润为P 元，根据（Ｉ）中关系写出P 关于x 的函数关系，并指出当销售单价
为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 19、（本小题满分１２分）
如图,ABC ∆是边长为2的正三角形. 若1,AE AE =⊥平面ABC , 平面BCD ⊥平面ABC ,CD BD = ,且.BD CD ⊥ （Ⅰ）求证：AE //平面BCD ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面CDE 。

20、（本小题满分１２分）
如图，长方体1111ABCD A BC D -中，
E 为线段BC 的中点
,11,2,AB AD AA ==. (Ⅰ)证明：DE ⊥平面1A AE ； (Ⅱ)求点A 到平面ED A 1的距离.
21、（本小题满分１２分）
如图，在三棱锥S —ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°。

（I ）求证：平面MAP ⊥平面SAC 。

（II ）求二面角M —AC —B 的平面角的正切值； 22、（本小题满分１２分）
已知R a ∈,函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-=0
110
1
1x ,x a x ,x x f .
（Ｉ）证明：函数()x f 在()∞+，
0上单调递增； （II ）求函数()x f 的零点．
B
高一上学期12月月考
参考答案
一、选择题
CCADB CDAAB DA 二、填空题
13、14； 14、1； 15、
2
1
； 16、①③④⑤. 三、解答题
17.解： 已知长方体是直四棱柱，
设它的底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ，…………1分 则它的体积为V=Sh ． …………2分
而棱锥C-A 1DD 1的底面积为
1
2
S ，高为h ， …………4分 故三棱锥C-A 1DD 1的体积：
11C A DD 111
V Sh Sh 326
-=⨯=， …………6分
余下部分体积为：15
Sh Sh Sh 66
-=． …………8分
所以棱锥C-A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5．…………10分
18、解: (1)因为f (x )为一次函数，设y =ax +b ，解方程组
45b 27012a 5a b +=⎧⎨
+=⎩
，
， …………2分
得a =－3，b =162, …………4分 故y =162-3x 为所求的函数关系式， 又∵y ≥0，∴0≤x ≤54． …………6分 (2)依题意得：
P ＝(x －30)·y =(x －30)·(162－3x ) …………8分 ＝－3(x －42)2+432. …………10分 当x =42时，P 最大=432,
即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润． …………12分
19、证明:(1) 取BC 的中点M ,连接DM 、AM ,
因为CD BD =，且.BD CD ⊥ 2=BC ……2分 所以1D M =,DM BC ⊥,AM BC ⊥. ……3分 又因为平面BCD ⊥平面ABC ,
所以DM ⊥平面ABC
所以AE ∥DM ， ………4分 又因为AE ⊄平面BCD ,DM ⊂平面BCD ， ………5分 所以AE ∥平面BCD . …………6分 (2)由(1)已证AE ∥DM ,又1AE =,1D M =, 所以四边形DMAE 是平行四边形,
所以DE ∥AM . ……………8分 由（1）已证AM BC ⊥，又因为平面BCD ⊥平面ABC , 所以AM ⊥平面BCD , 所以DE ⊥平面BCD .
又CD ⊂平面BCD ,所以DE CD ⊥ . ........10分 因为BD CD ⊥,D DE BD = ,
所以CD ⊥平面BDE . 因为CD ⊂平面CDE ,
所以平面BDE ⊥平面CDE . …12分
20、(Ⅰ)1AA ABCD ⊥ 平面,DE ABCD ⊂平面1AA DE ∴⊥，
··························· 2分 E 为BC 中点，1BE EC AB CD ====,
AE DE ∴==2AD = 又
222AE DE AD ∴+=,AE DE ∴⊥. ································································· 4分 又1111,,,AE A AE A A A AE AE A A A ⊂⊂= 面面且
∴ DE ⊥平面1A AE ·
····················································································· 6分
(Ⅱ)设点A 到1A ED 平面的距离为d ,
1A -AED 11V =32⨯ ································································· 8分
1111==2AA ABCD AA AE AA AE AE ⊥∴⊥ 平面，，又 由(Ⅰ)知DE ⊥平面1A AE ，1DE A E ∴⊥
11
22A ED S ∆∴=⨯= ··········································································· 10分
1133
A A ED V d -== 1d ∴= ···························································· 12分
21、（I ）∵SC ⊥平面ABC ，SC ⊥BC ，又∵∠ACB=90°
∴AC ⊥BC ，AC ∩SC=C ，BC ⊥平面SAC ， 又∵P ，M 是SC 、SB 的中点
∴PM ∥BC ，PM ⊥面S AC ，∴面MAP ⊥面SAC ， （５分） （II ）∵AC ⊥平面SBC ，
∴AC ⊥CM ，AC ⊥CB ，从而∠MCB 为二面角M —AC －B 的平面角，(7分 )
过点M 作MN ∥SC 交BC 于N 点，连结AN ， ∴∠AMN(或其补角)为直线AM 与直线PC 所成的角 由题意知∠AMN=60°，（9分） 在△CAN 中，由勾股定理得.2=AN （10分）
在Rt △AMN 中，AMN AN AN ∠=
tan =.3
6
332=⋅（11分）
在Rt △CNM 中，3
6
136
tan ====∠CN MN CN MN MCN 所以二面角M —AC —B 的平面角的正切值为
.3
6
（12分）
22、 (1)证明:在()0,+∞上任取两个实数12,x x ,且12x x <, 则()()12121111f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111x x =-1212
x x x x -=． …………2分 ∵120x x <<, ∴12120,0x x x x -<>． ∴
12
12
0x x x x -<, 即()()120f x f x -<. ∴()()12f x f x <． ∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增． …………4分 (2) (ⅰ)当0x >时, 令()0f x =, 即1
10x
-
=, 解得10x =>. ∴1x =是函数()f x 的一个零点． …………6分 （ⅱ）当0x ≤时, 令()0f x =, 即()110a x -+=．(※)
① 当1a >时, 由(※)得1
01x a
=
<-, ∴1
1x a
=
-是函数()f x 的一个零点； …………8分 ② 当1a =时, 方程(※)无解；
③ 当1a <时, 由(※)得1
01x a
=>-,(不合题意,舍去) …………10分
综上, 当1a >时, 函数()f x 的零点是1和1
1a
-；
当1a ≤时, 函数()f x 的零点是1． …………12分。