2016年天津市河北区高考数学三模试卷(理科) Word版含解析

2016年天津市河北区高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（）
A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[1，2]D．[1，+∞）
2．若实数x，y满足条件，则z=x﹣3y的最小值为（）
A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．4
3．运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）
A．i＞4？B．i＜4？C．i＞5？D．i＜5？
4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）
A．24 B．40 C．36 D．48
5．下列结论错误的是（）
A．若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题
B．“a＞b”是“ac2＞bc2”的充分不必要条件
C．命题：“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”
D．命题：“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”
6．设曲线y=x2及直线y=1所围成的封闭图形区域D，不等式组所确定的区域为
E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为（）
A．B．C．D．
7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是抛物线y2=8x焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．2 D．
8．已知函数，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的
是（）
A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点
B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点
C．无论k为何值，均有2个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9．已知i为虚数单位，复数=．
10．已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD 于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，∠AMB=30°，那么⊙O2的半径为．
11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，
则b的值为．
12．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C1，
C2相交于点M，N，则弦MN的长为．
13．已知△ABC是边长为2的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M为△ABC
的边上的动点，则•的最大值为．
14．设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密
切区间”．若f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，则实数m的取值范围
是．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知函数f（x）=1﹣2sin（x+）[sin（x+）﹣cos（x+）]，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x+）在区间[﹣，0]上的最大值和最小值．
16．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的
概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有
2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；
（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．
17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥
A1B1，D为棱A1B1上的点．
（1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
18．已知圆E：x2+（y﹣）2=经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，
且=λ（λ≠0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．
19．已知数列{a n }是公比为正整数的等比数列，若a 2=2且a 1，a 3+，a 4成等差数列， （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n ；
（Ⅱ）定义：
为n 个正数P 1，P 2，P 3，…，P n （ n ∈N*）的“均倒数”，
（ⅰ）若数列{b n }前n 项的“均倒数”为（n ∈N*），求数列{b n }的通项b n ；
（ⅱ）试比较+
+…+
与2的大小，并说明理由．
20．已知函数
．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f （x ）在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数，若在[1，e ]上至少存在一点x 0，使得f （x 0）≥g
（x 0）成立，求实数a 的取值范围．
2016年天津市河北区高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（）
A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[1，2]D．[1，+∞）
【考点】并集及其运算．
【分析】通过解二次不等式求出集合A，求出B的补集，然后求解它们的并集．
【解答】解：因为集合A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}={x|1≥x≥﹣2}，
所以B={x|x＜0}
所以A∪B={x|x≤1}，
故选B．
2．若实数x，y满足条件，则z=x﹣3y的最小值为（）
A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得当直线经过点A（1，2）时，截距
﹣z取最大值，z取最小值，代值计算可得．
【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图），
变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，
当直线经过点A（1，2）时，截距﹣z取最大值，z取最小值，
代值计算可得z的最小值为z=1﹣3×2=﹣5
故选：A
3．运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）
A．i＞4？B．i＜4？C．i＞5？D．i＜5？
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出变量P的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
i=1，T=0，P=15
满足判断框内的条件，执行循环体，i=2，T=1，P=5
满足判断框内的条件，执行循环体，i=3，T=2，P=1
满足判断框内的条件，执行循环体，i=4，T=3，P=
满足判断框内的条件，执行循环体，i=5，T=4，P=
此时，由题意，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的结果为，
即i=5时退出循环，故继续循环的条件应为：i＜5？
故选：D．
4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A ．24
B ．40
C ．36
D ．48
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体为三棱柱切去两个小棱锥得到的，用棱柱的体积减去两个小棱锥的体积即可．
【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱柱切去两个大小相等的小棱锥得到的，
三棱柱的底面为侧视图中三角形，底面积S=
=6，三棱柱的高h=8，∴V 三棱柱=Sh=48，
切去的小棱锥的底面与棱柱的底面相同，小棱锥的高h ′=2，∴V 棱锥=Sh ′=4，
∴几何体的体积V=V 三棱柱﹣2V 棱锥=48﹣2×4=40． 故选：B ．
5．下列结论错误的是（ ）
A ．若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题
B ．“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的充分不必要条件
C ．命题：“∃x ∈R ，x 2﹣x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2﹣x ≤0”
D ．命题：“若x 2﹣3x +2=0，则x=2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2﹣3x +2≠0” 【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据p ∨q 的真假判断，一真即真，全假为假，判断A ； c=0时，由“a ＞b ”不能得出“ac 2＞bc 2”，即可判断B ；
根据命题“∃x ∈R ，x 2﹣x ﹣1＞0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0，即可判断C ．
根据命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若￢q ，则￢p ”，判断D ．
【解答】解：根据p ∨q 的真假判断，一真即真，全假为假，利用“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，正确；
c=0时，由“a ＞b ”不能得出“ac 2＞bc 2”，不正确；
命题：“∃x ∈R ，x 2﹣x ＞0”是特称命题，∴否定命题是“∀x ∈R ，x 2﹣x ≤0”，正确；
根据命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若￢q ，则￢p ”，可得命题：“若x 2﹣3x +2=0，则x=2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2﹣3x +2≠0”，正确， 故选：B ．
6．设曲线y=x 2及直线y=1所围成的封闭图形区域D ，不等式组所确定的区域为
E ，在区域E 内随机取一点，该点恰好在区域D 内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，用定积分表示出曲线y=x2
与直线y=1围成的封闭图形的面积，再求出不等式组所确定的区域的面积为2，
即可求得结论
【解答】解：联立曲线y=x2及直线y=1，解得x=±1，
∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S==（）
=．
不等式组所确定的区域的面积为2，
∴在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为=，
故选：D．
7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是抛物线y2=8x焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得c=2，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，运用双曲线的定义求得2a=2，然后求得离心率e．
【解答】解：抛物线y2=8x焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，
设P（m，n），
由抛物线的定义可得|PF|=m+2=5，
解得m=3，
则n2=24，即有P（3，±2），
可得左焦点F'为（﹣2，0），
由双曲线的定义可得2a=|PF'|﹣|PF|=﹣
=7﹣5=2，即a=1，
即有e==2．
故选C．
8．已知函数，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的
是（）
A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点
B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点
C．无论k为何值，均有2个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））+1的零点个数；
【解答】解：分四种情况讨论．
（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，
此时的零点为x=＞1；
（2）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；
（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤﹣1，k2x≤﹣k，可得k2x+k≤0，y有一个零点，
若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，
（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+1=，
y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，
综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点；
故选B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9．已知i为虚数单位，复数=3+i．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：=．
故答案为：3+i．
10．已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD 于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，∠AMB=30°，那么⊙O2的半径为3．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】根据切割线定理和割线定理，证出EP2=EA•EB，代入题中数据解得EB=4，从而得到AB=3．再在△ABM中利用正弦定理加以计算，即可得出⊙O2的半径．
【解答】解：∵PE切⊙O1于点P，∴EP2=EC•ED．
∵ED、EB是⊙O2的两条割线，∴EC•ED=EA•EB．
∴EP2=EA•EB，即22=1•EB，得EB=4，
因此，△ABM中AB=EB﹣EA=3，∠AMB=30°，设⊙O2的半径为R，
由正弦定理，得，即2R=，解之得R=3．
故答案为：3．
11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，
则b的值为．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】题设条件中只给出，a=2，，欲求b的值，可由这些条件建立关于b的方程，根据所得方程进行研究，判断出解出其值的方法
【解答】解：∵
∴bcsinA=，即bc×=，
∴bc=3 ①
又，a=2，锐角△ABC，可得cosA=
由余弦定理得4=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2×3×，解得b2+c2=6 ②
由①②解得b=c，代入①得b=c=
故答案为
12．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C1，
C2相交于点M，N，则弦MN的长为．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】将两曲线极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，再由半径r的值，利用垂径定理及勾股定理求出MN的长即可．
【解答】解：∵ρ=2sinθ，
∴ρ2=2ρsinθ，
又，且ρ2=x2+y2，
∴x2+y2=2y，即C1：x2+（y﹣1）2=1；
曲线C2在直角坐标系中是过原点且倾斜角为的直线，即C2：y=x，
∴圆心（0，1）到直线y=x的距离d=，
∵圆的半径r=1，
∴由勾股定理可得，MN=2=，
则弦MN的长为．
故答案为：．
13．已知△ABC是边长为2的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M为△ABC
的边上的动点，则•的最大值为3．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】首先，建立平面直角坐标系，然后，对点M的取值情况分三种情形进行讨论，然后，求解其最大值．
【解答】解：如下图所示，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵该正三角形ABC的边长为2，
∴A（﹣，0），B（，0），C（0，3），
E（0，﹣1），F（0，3），
当点M在边AB上时，设点M（x0，0），则﹣≤x0≤，
∵=（﹣x0，﹣1），=（x0，﹣3），
∴•=﹣x02+3，
∵﹣≤x0≤，
∴•的最大值为3，
当点M在边BC上时，
∵直线BC的斜率为﹣，
∴直线BC的方程为：，
设点M（x0，3﹣x0），则0≤x0≤，
∵=（﹣x0，x0﹣4），=（x0，x0），
∴•=2x02﹣4，
∵0≤x0≤，
∴•的最大值为0，
当点M在边AC上时，
∵直线AC的斜率为，
∴直线AC的方程为：，
设点M（x0，3+x0），则﹣≤x0≤0，
∵=（﹣x0，﹣x0﹣4），=（x0，x0），
∴•=﹣4x02﹣4，
∵﹣≤x0≤0，
∴•的最大值为3，
综上，最大值为3，
故答案为：3．
14．设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密
切区间”．若f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，则实数m的取值范围
是[e﹣2.2] ．
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，化简整理
得m﹣e≤lnx+≤m+e，
令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣1不大于最小值，且m+1不小
于最大值即可．
【解答】解：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]，
∴对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，
即有|lnx﹣|≤1，即m﹣1≤lnx+≤m+1，
令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，
x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，
x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，
故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．
∴m﹣1≤1且m+1≥e﹣1，
∴e﹣2≤m≤2．
故答案为：[e﹣2，2]．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知函数f（x）=1﹣2sin（x+）[sin（x+）﹣cos（x+）]，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x+）在区间[﹣，0]上的最大值和最小值．
【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=cos2x，根据三角函数周期公式即可求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x+）=cos（2x+），由x∈[﹣，0]，利用余弦函数的图象
和性质即可得解．
【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣2sin（x+）[sin（x+）﹣cos（x+）]
=1﹣2sin2（x+）+2sin（x+）cos（x+）
=cos（2x+）+sin（2x+）
=cos2x，
∴f（x）的最小正周期T=π．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x+）=cos（2x+），
令g（x）=cos（2x+），
∵g（x）在[﹣，﹣]上为增函数，在[﹣，0]上为减函数，
且g（﹣）=cos（﹣）=﹣1，g（﹣）=，g（0）=cos=1，
∴g（x）在区间[﹣，0]上的最大值为，最小值为﹣1，
即f（x+）在区间[﹣，0]上的最大值为，最小值为﹣1．…
16．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的
概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有
2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；
（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P1的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P2的值，再把P1和P2相加，即得所求．
（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k）的
值，可得X的分布列，从而求得X的期望．
【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）
=，P（C）=．
依题意，集成电路E需要维修有两种情形：
①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．
②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）
=++×=．
所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．
（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，
P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．
0 100 200
∴EX=0×+100×+200×=．
17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥
A1B1，D为棱A1B1上的点．
（1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）先证明AB⊥AC，然后以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则能写出各点
坐标，由与共线可得D（λ，0，1），所以•=0，即DF⊥AE；
（2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量=
（0，0，1），令|cos＜，＞|=，解出λ的值即可．
【解答】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，
又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，
又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），
设D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），
则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），
∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；
（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．
理由如下：
设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，
∵=（，，），=（，﹣1），
∴，即，
令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．
由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，
∴|cos＜，＞|==，即=，
解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．
18．已知圆E：x2+（y﹣）2=经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，
且=λ（λ≠0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c，再由条件得F1A为圆E的直径求出
|AF1|=3，根据勾股定理求出|AF2|，根据椭圆的定义和a2=b2+c2依次求出a和b的值，代入椭圆方程即可；
（2）由（1）求出A的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA的斜率，设直线l的方程和M、N的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，利用韦达定理和弦长公式求出|MN|，由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离，代入三角形的面积公式求出△AMN的面积S的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的m，代入直线l的方程即可．
【解答】解：（1）如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1，F2，
∴c2+（0﹣）2=，解得c=，…
∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，则|AF1|=3，
∴AF2⊥F1F2，∴=﹣=9﹣8=1，
∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4，∴a=2
由a2=b2+c2得，b=，…
∴椭圆C的方程是；…
（2）由（1）得点A的坐标（，1），
∵（λ≠0），∴直线l的斜率为k OA=，…
则设直线l的方程为y=x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），
由得，，
∴x1+x2=，x1x2=m2﹣2，
且△=2m2﹣4m2+8＞0，解得﹣2＜m＜2，…
∴|MN|=|x2﹣x1|=
==，
∵点A到直线l的距离d==，
∴△AMN的面积S==
=≤=，…
当且仅当4﹣m2=m2，即m=，直线l的方程为．…
19．已知数列{a n}是公比为正整数的等比数列，若a2=2且a1，a3+，a4成等差数列，（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；
（Ⅱ）定义：为n个正数P1，P2，P3，…，P n（n∈N*）的“均倒数”，
（ⅰ）若数列{b n}前n项的“均倒数”为（n∈N*），求数列{b n}的通项b n；
（ⅱ）试比较++…+与2的大小，并说明理由．
【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}是公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得q=2，进而得到所求通项；
（Ⅱ）（ⅰ）由新定义，可得：，整理，再将n换成n﹣1，相减
即可得到所求；
（ⅱ）判断：＜2，由放缩法，可得＜，再由累加法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得到．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}是公比为q，由題意a1，a3+，a4成等差数列，
即为2（a3+）=a1+a4，
即，
即（2q2﹣1）（q﹣2）=0，∵q为正整数，
∴q=2，故a n=2n﹣1．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意有：，
∴①
②
由①﹣②得：（n≥2），又b1=1，
∴（n∈N*）．
（ⅱ）判断：＜2，
证明如下：由题意：n≥2而
，
∴
=
．
20．已知函数．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）≥g
（x0）成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，求出切点坐标，然后求出f'（x），从而求出f'（1）的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；
（Ⅱ）先求导函数，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，然后将a分离，利用基本不等式可求出a的取值范围；
（III）根据g（x）在[1，e]上的单调性求出其值域，然后根据（II）可求出f（x）的最大值，要使在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）≥g（x0）成立，只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，函数，
∴f（1）=1﹣1﹣ln1=0.，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=1+1﹣1=1．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=x﹣1，
即y=x﹣1．…
（Ⅱ）．
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
即：ax2﹣x+a≥0得：恒成立．
由于，
∴，
∴
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数a的取值范围是．…
（III）∵在[1，e]上是减函数
∴x=e时，g（x）min=1，x=1时，g（x）max=e，即g（x）∈[1，e]
f'（x）=令h（x）=ax2﹣x+a
当时，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1
又在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]
而f（x）max=f（e）=，g（x）min=1，即）=≥1
解得a≥
∴实数a的取值范围是[，+∞）
2016年8月12日。