第46-48课时 离散型随机变量的均值与方差

第46课时 离散型随机变量的均值与方差（1）

主备人：范连兵 审核人：张玉玺

知识与技能：

学会根据离散型随机变量的分布列计算均值；理解离散型随机变量的均值含义； 熟练掌握两点分布和二项分布中随机变量的均值计算。

过程与方法：在推导公式的过程中让学生体会由特殊到一般的思考问题方法. 情感态度价值观：感悟数学与生活的和谐之美。

教学重点利用离散型随机变量的分布列或两种分布的均值计算公式求随机变量的均值.

教学难点 离散型随机变量的均值（数学期望）的理解

教学过程 一．问题情境

1．前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？

甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数

分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．

2．问题： 如何比较甲、乙两个工人的技术？ 二．质疑讨论

1． 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，

似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3．，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值． X 其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．

2．性质

（1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）

三反馈矫正 1．例题：

例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望． 分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5个球中的红球的个数，则X

服从超几何分布(5,10,30)H ．

例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望()E X ．

例3．设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B

在每场比赛中获胜的概率都是

1

2

，试求需要比赛场数的期望．

四巩固迁移

1据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案： 方案1：运走设备，此时需花费3800元；

方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；

2：篮球比赛中，每次罚球命中得1分，不中得0分，某篮球运动员罚球命中的概率为0.7，求： （1） 他罚球1次得分ξ的期望；（2）他罚球8次得分ξ的期望. 五．回顾小结：

1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； 2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；

3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法． 六．课外作业：课本671,2,3,4P ，71P 第1题

第 47 课时 离散型随机变量的方差和标准差（2）

主备人：范连兵 审核人：张玉玺

教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差

或标准差。

过程与方法：了解方差公式，并会应用上公式计算有关随机变量的方差 。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 教学重点：离散型随机变量的方差、标准差

教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 教学过程

一．问题情境

甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数

分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．

二．质疑讨论

1.如何比较甲、乙两个工人的技术？

2我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？ X 则2()(())i x E X μμ-=描述了(

1,2,...,)i x i n =相对于均值μ的偏离程度，故 2221122()()...()n n x p

x p x p μμμ-+-++-，

（其中 120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()V X 或2

σ． 2．方差公式也可用公式2

21

()n

i

i i V X x

p μ==

-∑计算．

3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()V X 的算术平方根称为X 的标准差，

即σ

=

思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？

三．反馈矫正 1．例题：

例1．若随机变量X 的分布如表所示：求方差()V X ．

解：因为0(1)1p p p μ=⨯-+⨯=，所以 22()(0)(1)(1)(1)V X p p p p p p =--+-=-，

例2．求第2.5.1节例1中超几何分布(5,10,30)H 的方差和标准差． 数学期望53μ=，由公式22

1

()n

i i i V X x p μ==-∑有

2

2584807585503800700425

()01491625()2375123751237512375123751237513

V X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-

204750

0.9579213759

=

≈

故标准差 0.9787σ≈．

例3．求第2.5.1节例2中的二项分布(10,0.05)B 的方差和标准差． 解：：0.05p =，则该分布如表所示：