2013高三数学总复习同步练习：12-1几何证明选讲

12-1几何证明选讲 基础巩固强化1.如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为( )A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π [答案] B[解析] ∠A ＝∠BCD ＝30°，由BC sin A ＝2R ，得R ＝1，所以圆O 的面积为πR 2＝π.2．(文)如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，BEEC ＝4，AE 交BD 于F ，BFFD等于( )A.45B.49C.59D.410 [答案] A[解析] 在AD 上取点G ，使AG GD ＝1:4，连接CG 交BD 于H ，则CG ∥AE ，∴BF FH ＝BE CE ＝4，DH FH ＝DG GA ＝4，∴BF FD ＝45. [点评] 利用AD ∥BC 可证△BEF △DAF .⎭⎪⎬⎪⎫BC ∥AD ⇒∠EAD ＝∠AEB ∠ADF ＝∠FBE ⇒△BFE △DFA ⇒BF FD ＝BE AD ＝BE BC ＝45. (理)如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，则BC 的长为( )A ．12cmB ．21cmC ．18cmD ．15cm [答案] B[解析] ∵四边形DEFG 是正方形，∴∠GDB ＝∠FEC ＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm ，又∵∠B ＋∠C ＝90°，∠B ＋∠BGD ＝90°，∴∠C ＝∠BGD ，∴△BGD △FCE ，∴BD EF ＝GD EC ，即BD ＝EF ·GD EC ＝12cm ， ∴BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21cm.3．(文)如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD :BD ＝3:2，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6 B.562C.15D.3102[答案] B[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.(理)如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S 矩形＝40cm 2，S △ABE :S △DBA ＝1:5，则AE 的长为________．[答案] 4cm[解析] ∵∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ，∴△ABE △DBA ，∴S △ABE S △DBA ＝AB 2 DB 2.∵S △ABE :S △DBA ＝1:5，∴AB 2:DB 2＝1:5，∴AB :DB ＝1: 5.设AB ＝k ，则DB ＝5k ，AD ＝2k ， ∵S 矩形＝40cm 2，∴k ·2k ＝40，∴k ＝25， ∴BD ＝5k ＝10，AD ＝45， S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，∴12×10×AE ＝20，∴AE ＝4cm. 4．(文)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] C[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.(理)已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△PAR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．5．(2012·合肥二检)如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为( )A.55B.255C.355D.32[答案] C [解析]延长BO 交圆O 于点F ，由D 为OB 的中点，知DF ＝3，DB ＝1，又∠AOB ＝90°，所以AD ＝5，由相交弦定理知AD ·DE ＝DF ·DB ，即5DE ＝3×1，解得DE ＝355. 6．(文)(2012·佛山质检)如图所示，△ABC 内接于圆O ，过点A 的切线交BC 的延长线于点P ，D 为AB 的中点，DP 交AC 于点M ，若BP ＝8，AM ＝4，AC ＝6，则PA ＝________.[答案] 4 2[解析] 由题意MC ＝AC －AM ＝6－4＝2.又D 为AB 的中点，∴AD ＝BD .过点C 作CN ∥AB 交PD 于N ，∴AM MC ＝AD CN ＝BD CN ＝BP CP ，∴8PC ＝42，∴PC ＝4. ∵PA 2＝PC ·PB ＝32，∴PA ＝4 2.(理)(2012·天津十二校联考)如图所示，EA 是圆O 的切线，割线EB 交圆O 于点C ，C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝2，BD ＝4，则EA ＝( ) A ．4 B.52 C ．3 D.12[答案] B[解析] 解法1：根据题意可得BC 2＝CD 2＋BD 2＝22＋42＝20，即BC ＝2 5.由射影定理得BC 2＝AB ·BD ，即20＝4AB ，解得AB ＝5，所以AC ＝52－20＝5，设EA ＝x ，EC ＝y ，根据切割线定理可得x 2＝y (y ＋25)，即x 2＝y 2＋25y ，在Rt △ACE 中，x 2＝y 2＋(5)2，故25y ＝5，解得y ＝52，故x 2＝54＋5＝254x ＝52，即EA ＝52. 解法2：连AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，CD ＝2，BD ＝4，∴AD ＝CD 2BD＝1，又EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB ＝90°， ∴△EAB△CDB ，∴EA CD ＝AB BD ，∴AE ＝AB ·CD BD ＝52.7．(文)(2012·合肥二检)如图，在⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，线段DE 的长为355，则⊙O 的半径为________．[答案] 2[解析] 延长BO 交⊙O 于点F ，设⊙O 的半径为r ，则AD ＝r 2＋(r 2)2＝52r ，又BD ＝12，DF ＝2r －12r ＝32r ，由圆的相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DF ，即5r 2×355＝12r ×32r ，解得r ＝2.(理)(2011·深圳调研)如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.[答案]377[解析] ∵∠POD ＝120°，OD ＝OB ＝1，PO ＝2， ∴PD ＝PO 2＋OD 2－2OD ·PO ·cos120°＝7， 由相交弦定理得，PE ·PD ＝PB ·PC ， ∴PE ＝PB ·PC PD ＝1×37＝377.8．(文)如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析] 由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴PA ＝3，∴∠AOP ＝60°，又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.(理)(2012·湖南理，11)如右图，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．[答案] 6[解析]设圆半径为r，由切割线定理：P A·PB＝(3－r)·(3＋r)，即1×3＝9－r2，r2＝6，∴r＝ 6.9.(2012·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC ＝90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，则BC＝________.[答案] 2[解析]连接AC.因为∠ABC＝90°，所以AC为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.10．(2012·哈三中模拟)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，过⊙O 上一点H 作⊙O 的切线，BC 与这条线切线平行，AC 、AB 的延长线交这条切线于点E 、F ，连接AH 、CH.(1)求证：AH 平分∠EAF ；(2)若CH ＝4，∠CAB ＝60°，求圆弧BHC ︵的长．[解析] (1)证明：连接OH ，则OH ⊥EF .∵EF ∥BC ，∴OH ⊥BC ，∴H 为弧BC 的中点，∴∠EAH ＝∠F AH ，∴AH 平分∠EAF .(2)连接CO 、BO ，∵∠CAB ＝60°，∴∠COB ＝120°，∴∠COH ＝60°，∴△COH 为等边三角形，∴CO ＝CH ＝4，又∵∠BOC ＝120°，∴BHC ︵的长为8π3. 能力拓展提升11.(文)(2012·湖南十二校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，DC∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB 、AD的中点，则EF ＝__________.[答案] a 2[解析] 连接DE ，可知△AED 为直角三角形，则EF 是Rt △DEA斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为a 2. (理)如图所示，已知圆O 直径为6，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，且BC ＝2，过点B 的圆O 的切线交AC 延长线于点D ，则DA＝________.[答案] 3[解析]∵AB为直径，∴∠ACB为直角，∵BC＝2，AB＝6，∴AC＝2，∵DB与⊙O相切，∴∠DBA为直角，由射影定理BC2＝AC·CD，∴CD＝1，∴AD＝3.12．(文)如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED ＝4.则AB的长为________．[答案]2 3[解析]∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，又∠C＝∠D，∴∠ABC ＝∠D，又∠BAE＝∠DAB，∴△ABE△ADB，∴AB2＝AE·AD，∴AB＝2 3.(理)已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝______，AD ＝________.[答案] 52，5 [解析] ∵AD 切⊙O 于D ，∴OD ⊥AC ，又BC ⊥AC ，∴△ADO △ACB ，∴OD BC ＝AO AB∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝10，设OD ＝R ，则AO ＝53R ，∴R ＋53R ＝10，∴R ＝154， AE ＝AB －2R ＝52，AD OD ＝AC BC ＝43，∴AD ＝5. 13．(文)(2012·湖北理，15)如下图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．[答案] 2[解析] 解法1：∵CD ⊥OD ，∴OC 2＝OD 2＋CD 2，当OD 最小时，CD 最大，而OE 最小(E 为AB 的中点)，∴CD max ＝EB ＝2.解法2：由题意知，CD 2＝AD ·DB ≤(AD ＋DB 2)2＝AB 24＝4.(当且仅当AD ＝DB 时取等号)．∴CD max ＝2.(理)(2012·广州测试)如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使BC＝2OB ，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD 、BD ，则AD BD的值为________．[答案] 2[解析] 连接OD ，则OD ⊥CD .设圆O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝OD ＝r ，BC ＝2r .所以OC ＝3r ，CD ＝OC 2－OD 2＝22r .由弦切角定理得，∠CDB ＝∠CAD ，又∠DCB ＝∠ACD ，所以△CDB △CAD .所以AD BD ＝AC CD ＝4r 22r＝ 2. 14．(文)(2012·天津，13)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．[答案] 43[解析] 如图，由相交弦定理得AF ·FB ＝EF ·FC ，∴FC ＝AF ·FB EF＝2， ∵FC ∥BD ，∴FC BD ＝AF AB ，BD ＝FC ·AB AF ＝83. 又由切割线定理知BD 2＝DC ·DA ，又由DA ＝4CD 知4DC 2＝BD 2＝649，∴DC ＝43. 明确相交弦定理、切割弦定理等是解题的关键．(理)(2012·深圳调研)如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA ＝2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD ＝________.[答案] 355[解析] 延长CO 交圆于点E ，依题意得，BC ＝OB 2＋OC 2＝5，BC ·CD ＝CA ·CE ，5×CD ＝1×3，因此CD ＝355. 15．(文)(2012·银川一中二模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是AC ︵的中点，BD 交AC 于E .(1)求证：DC 2＝DE ·DB ； (2)若CD ＝23，O 到AC 的距离为1，求⊙O 的半径r .[解析] (1)证明：由D 为AC →中点知，∠ABD ＝∠CBD ，又∵∠ABD ＝∠ECD ，∴∠CBD ＝∠ECD ，又∠CDB ＝∠EDC ，∴△BCD ～△CED ，∴DE DC ＝DC DB ，∴DC 2＝DE ·DB ；(2)∵D 是AC ︵的中点，∴OD ⊥AC ，设OD 与AC 交于点F ，则OF ＝1，在Rt △COF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，即CF 2＝r 2－1，在Rt △CFD 中，DC 2＝CF 2＋DF 2，∴(23)2＝r 2－1＋(r －1)2，解得r ＝3.(理)(2012·昆明一中测试)如图，已知A 、B 、C 、D 四点共圆，延长AD 和BC 相交于点E ，AB ＝AC .(1)证明：AB 2＝AD ·AE ；(2)若EG 平分∠AEB ，且与AB 、CD 分别相交于点G 、F ，证明：∠CFG ＝∠BGF .[证明] (1)如图，连接BD .因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADB .又因为∠BAD ＝∠EAB ，所以△ABD △AEB ，所以AB AD ＝AE AB，即AB 2＝AD ·AE . (2)因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ABC ＝∠EDF . 又因为∠DEF ＝∠BEG ，所以∠DFE ＝∠BGF .又因为∠DFE ＝∠CFG ，所以∠CFG ＝∠BGF .16．(2012·河南商丘模拟)如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB的延长线交于点E.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若EB＝6，EC＝62，求BC的长．[解析](1)∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴点C在⊙O上，连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD，又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC，∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线．(2)∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA.又∵EB＝6，EC＝62，∴EA＝12，AB＝6.∵∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB△EAC，∴BC AC ＝EC EA ＝22，∴AC ＝2BC . ∵AC 2＋BC 2＝AB 2＝36， ∴BC ＝2 3.1.如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656 D.636[答案] C[解析] 过点A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG .∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD .∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13，∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.2．(2011·广州市测试)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________．[答案] 237[解析]如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴PA PB ＝AD BC ＝25，∴PA AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴PA AE ＝149，∴PA PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝PA PE ＝1423，又AD ＝2，∴EF ＝237. [点评]过D 作DH ∥AB 交EF 于G ，交BC 于H ，由平行截割定理知，DG GH ＝AE EB ＝34，∴DG DH ＝37，由GF ∥HC 可得，GF HC ＝DG DH ＝37， ∵GF ＝EF －2，HC ＝5－2＝3，∴EF ＝237. 3．(2011·南昌市模拟)函数f (x )＝(x －2010)(x ＋2011)的图象与x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是________．[答案] (0,1)[解析] f (x )的图象与x 轴交于点A (－2011,0)，B (2010,0)，与y 轴交于点C (0，－2010×2011)，设经过A 、B 、C 三点的圆与y 轴另一个交点为D (0，y 0)，易知原点O 在圆的内部，y 0>0，由相交弦定理知，|OA |·|OB |＝|OC |·|OD |，∴2011×2010＝2010×2011y 0，∴y 0＝1.4.(2011·广东汕头测试)如图，正△ABC 的边长为2，点M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，直线MN 与△ABC 的外接圆的交点为P 、Q ，则线段PM ＝________.[答案]5－12[解析] 设PM ＝x ，则QN ＝x ，由相交弦定理可得PM ·MQ ＝BM ·MA 即x ·(x ＋1)＝1，解得x ＝5－12.5．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案] 99°[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .6．(2011·北京朝阳区统考)如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，直线CD 交AB 于点E .若AB ＝3，ED ＝2，则CB 的长为________．[答案] 3[解析] 由切割线定理得，ED 2＝EA ·EB ， ∴4＝EA (EA ＋3)，∴EA ＝1，∵CB 是⊙O 的切线，∴EB ⊥CB ， ∴EB 2＋CB 2＝CE 2，又∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ＝CB ， ∴42＋CB 2＝(CB ＋2)2，∴CB ＝3.7．(2011·天津文，13)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF :FB :BE ＝4:2:1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．[答案] 72[解析]由题意：⎩⎨⎧AF ·FB ＝DF ·FC ＝2，AFFB ＝2.∴AF ＝2，FB ＝1，∴BE ＝12，AE ＝AF ＋BF ＋BE ＝72.由切割线定理得：CE 2＝BE ·AE ＝12×72＝74.∴CE ＝72.8．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析] 连接OC .设∠PAC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CPA ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中， r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33.9．如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析]连接OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形， ∴∠CBO ＝∠COB ＝60°， 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.10．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．[解析] (1)∵AD 为∠BAC 的角平分线 ∴∠BAE ＝∠CAD又∵∠AEB 与∠ACB 为AB 所对的圆周角 ∴∠AEB ＝∠ACD ，∴△ABE △ADC . (2)由(1)可知△ABE △ADC ，故AB AE ＝ADAC ，即AB ·AC ＝AD ·AE ① 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 且S ＝12AD ·AE∴12AB ·AC sin ∠BAC ＝12AD ·AE ② 由①②式得 sin ∠BAC ＝1∵∠BAC 为三角形内角，∴∠BAC ＝90°11．(2011·新课标全国文，22)如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD 、AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径． [解析](1)连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AEAB .又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE △ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB . 所以C 、B 、D 、E 四点共圆。