贵州省黔南州2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年贵州省黔南州高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．设集合A={x|0≤x≤6}，集合B={x|x2+2x﹣8≤0}，则A∪B=（）
A．[0，2]B．[﹣4，2] C．[0，6]D．[﹣4，6]
2．已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则复数z的实部与虚部之和为（）
A．0 B．1 C．2D．4
3．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）
A．19 B．20 C．21.5 D．23
4．设α，β是两个不同的平面，直线m⊥α，则“m⊥β”是“α∥β”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4
7．在等差数列{a n}中，若a2+a4+a5+a6+a8=25，则a2+a8=（）
A．8 B．10 C．12 D．15
8．按照如图的程序运行，已知输入x的值为2+log23，则输出y的值为（）
A．7 B．11 C．12 D．24
9．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）
A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]
10．若函数y=x+（x＞0）有两个零点，则实数t的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，﹣）
11．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）
A．B．C．D．
12．M为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）右支上一点，A、F分别为双曲线的左顶点和右焦点，且△MAF为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）
A．﹣1 B．2 C．4 D．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知x，y满足，则z=y﹣x的最大值为．
14．直线3x﹣ay+8=0与直线x+2y+1=0垂直，则a的值为．
15．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足不等式tanx＞0的概率是．
16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足
，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值
点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分。

解答写出文字说明、证明或验算步骤）
=4a n﹣3n+1，n∈N*
17．在数列{a n}中，a1=2，a n
+1
（1）证明数列{a n﹣n}为等比数列
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求点D到平面PAM的距离．
20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．
（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；
（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A．在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．
21．给定椭圆C： +=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已
知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的
伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．
22．已知函数．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2，求f（x）的单调区间；
（2）若x＞0时，恒成立，求实数a的取值范围．
2017-2018学年贵州省黔南州高二（下）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．设集合A={x|0≤x≤6}，集合B={x|x2+2x﹣8≤0}，则A∪B=（）
A．[0，2]B．[﹣4，2] C．[0，6]D．[﹣4，6]
【考点】并集及其运算．
【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：集合A={x|0≤x≤6}=[0，6]，B={x|x2+2x﹣8≤0}=（x|﹣4≤x≤2}=[﹣4，2]，
∴A∪B=[﹣4，6]，
故选：D．
2．已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则复数z的实部与虚部之和为（）
A．0 B．1 C．2D．4
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．
【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由zi=1+i，得
，
∴复数z的实部与虚部分别为1和﹣1，和为0．
故选：A．
3．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）
A．19 B．20 C．21.5 D．23
【考点】茎叶图．
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，
则中位数为，
故选：B
4．设α，β是两个不同的平面，直线m⊥α，则“m⊥β”是“α∥β”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间线面垂直和面面平行的关系进行判断即可．
【解答】解：∵m⊥α，
∴若m⊥β，则同时垂直体育直线的两个平面平行，即α∥β成立，
若α∥β，∵m⊥α，∴m⊥β成立，
即“m⊥β”是“α∥β”的充要条件，
故选：C
5．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵∥，
∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．
故选：D．
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是圆柱体的一半，
∴该几何体的表面积为
=π•12+π×1×2+2×2
S
几何体
=3π+4．
故选：D．
7．在等差数列{a n}中，若a2+a4+a5+a6+a8=25，则a2+a8=（）
A．8 B．10 C．12 D．15
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式求出a5，由此能求出a2+a8的值．
【解答】解：在等差数列{a n}中，
∵a2+a4+a5+a6+a8=5a5=25，
∴a5=5，
∴a2+a8=2a5=10．
故选：B．
8．按照如图的程序运行，已知输入x的值为2+log23，则输出y的值为（）
A．7 B．11 C．12 D．24
【考点】程序框图．
【分析】算法的功能是求y=的值，根据x的值为2+log23＜4，代入计算可得答案．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，
∵x=2+log23＜2+log24=4，
∴y==23•3=24．
故选：D．
9．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得
到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）
A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐
标不变，
则y=cos（2x+），
即g（x）=cos（2x+），
由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
即函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
当k=0时，单调递减区间为[﹣，]，
故选：D．
10．若函数y=x+（x＞0）有两个零点，则实数t的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，﹣）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】函数y=x+（x＞0）有两个零点，构造函数h（x）=y=x+（x＞0）和g（x）
=﹣t，相当于函数在x＞0时，图象有两个交点，
结合函数h（x）的图象可知只需使﹣t大于函数g（x）的最小值即可．
【解答】解：函数y=x+（x＞0）有两个零点，
∴h（x）=y=x+（x＞0）和g（x）=﹣t有两个交点，
∵h（x）=x+≥2=，
∴﹣t＞，
∴t＜﹣．
故选D．
11．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）
A．B．C．D．
【考点】指数函数的图象变换．
【分析】求出原函数的导函数，由导函数的图象得到a＞1，然后利用指数函数的图象平移得答案．
【解答】解：∵，
∴f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，
由函数y=f′（x）的图象可知，
∴a＞1，
则函数g（x）=|a x﹣2|的图象是把函数y=a x向下平移2个单位，然后取绝对值得到，如图．故可能是D．
故选：D．
12．M为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）右支上一点，A、F分别为双曲线的左顶点和右焦点，且△MAF为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）
A．﹣1 B．2 C．4 D．6
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出M的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，即可求出双曲线C的离心率．
【解答】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），M（，），
由双曲线的定义可得=
∴c2﹣3ac﹣4a2=0，
∴e2﹣3e﹣4=0，
∴e=4．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知x，y满足，则z=y﹣x的最大值为2．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最大，
此时z也最大，
由，解得，即C（0，2）．
将C（0，2）代入目标函数z=y﹣x，
得z=2﹣0=2．
故答案为：2．
14．直线3x﹣ay+8=0与直线x+2y+1=0垂直，则a的值为．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，求得a的值．
【解答】解：∵直线3x﹣ay+8=0与直线x+2y+1=0垂直，
∴3×1+（﹣a）×2=0，解得a=，
故答案为：．
15．在集合中任取一个元素，所取元素恰好
满足不等式tanx＞0的概率是．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】由已知条件列举出所有有tanx的符号，由此利用等可能事件概率计算公式能求出所取元素恰好满足不等式tanx＞0的概率．
【解答】解：集合={，
，π，，， }，
∵tan＞0，tan＞0，tan＜0，tan＜0，tanπ=0，tan＞0，tan＞0，tan
＜0，
∴从集合中任取一个元素，所取元素恰好满足不等式tanx＞0的概率为p=．
故答案为：．
16．定义：如果函数y=f （x ）在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足
，则称函数y=f （x ）是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值
点．如y=x 2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f （x ）=x 3+mx 是区
间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ﹣3＜m ≤ ．
【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．
【分析】函数f （x ）=x 3+mx 是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x 3+mx=
在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m 的取值范围．
【解答】解：函数f （x ）=x 3+mx 是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x 3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．
由x 3+mx=⇒x 3+mx ﹣m ﹣1=0，解得x 2+m +1+x=0或x=1．
又1∉（﹣1，1）
∴x 2+m +1+x=0的解为：，必为均值点，即
⇒
﹣3＜m ≤
．
⇒
＜m ≤
∴所求实数m 的取值范围是﹣3＜m ≤．
故答案为：﹣3＜m ≤
．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分。

解答写出文字说明、证明或验算步骤） 17．在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=4a n ﹣3n +1，n ∈N *
（1）证明数列{a n ﹣n }为等比数列 （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．
【考点】等比数列的前n 项和；等差数列的前n 项和；等比关系的确定． 【分析】（1）由a n +1=4a n ﹣3n +1可得a n +1﹣（n +1）=4a n ﹣3n +1﹣（n +1）=4a n ﹣4n=4（a n ﹣n ），从而可证
（2）由（1）可求a n ，利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求S n 【解答】解：（1）∵a n +1=4a n ﹣3n +1，n ∈N *， ∴a n +1﹣（n +1）=4a n ﹣3n +1﹣（n +1）， 4a n ﹣4n=4（a n ﹣n ）．
∴{a n ﹣n }为首项a 1﹣1=1，公比q=4的等比数列；
（2）∵a n ﹣n=4n ﹣1， ∴a n =n +4n ﹣1，
S n=1+2+…+n+（1+4+…+4n﹣1）==．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式可
得sinA=2sinAcosC，由于sinA≠0，解得，又C是三角形的内角，即可得解C的值．
（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，联立即可解得a，b的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，
∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…
∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），
即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sinA=2sinAcosC，
∴，
又∵C是三角形的内角，
∴…
（Ⅱ）∵，∴，∴ab=4，…
又∵c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴4=（a+b）2﹣2ab﹣ab，
∴a+b=4，
∴a=b=2．…
19．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求点D到平面PAM的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．
【分析】（1）取AD 中点O ，由题意可证AD ⊥平面POC ，可证PC ⊥AD ；
（2）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离，可证PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高．设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 可得h 的方程，解方程可得． 【解答】解：（1）取AD 中点O ，连结OP ，OC ，AC ，依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形，
∴OC ⊥AD ，OP ⊥AD ，又OC ∩OP=O ，OC ⊂平面POC ，OP ⊂平面POC ， ∴AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，∴PC ⊥AD ．
（2）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离， 由（1）可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ，
∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高．
在Rt △POC 中，，，
在△PAC 中，PA=AC=2，，边PC 上的高AM=
，
∴△PAC 的面积
，
设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 得，
又，∴
，
解得
，∴点D 到平面PAM 的距离为
．
20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B 的考生有10人．
（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；
（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A．在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（1）根据题意，求出考生人数，计算考生“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数即可；
（2）列出所有基本事件所有情况，找出满足条件的情况即可．
【解答】解：（1）∵“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
∴该考场有10÷0.25=40（人）．
∴该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为
40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3．
（2）∵两科考试中，共有6个A，又恰有2人的两科成绩等级均为A，
∴还有2人只有一个科目成绩等级为A．
设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A的同学，
则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，
基本事件空间为Ω={（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），
（乙，丁），（丙，丁）}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件M，
∴事件M中包含的基本事件有1个，为（甲，乙），则．
故这2人的两科成绩等级均为A的概率为．
21．给定椭圆C： +=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已
知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的
伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b=1，=，由此能求出a，b．
（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5．设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．由此利用根的判别式、弦长公
式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m．
【解答】（本小题满分16分）
解：（1）记椭圆C的半焦距为c．
由题意，得b=1，=，c2=a2+b2，
解得a=2，b=1．…
（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5．
显然直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0．…
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
故方程组（*）有且只有一组解．
由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．
从而△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0．
化简，得m2=1+4k2．①…
因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2，
所以圆心到直线l的距离d==．
即=．②…
由①②，解得k2=2，m2=9．
因为m＞0，所以m=3．…
22．已知函数．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2，求f（x）的单调区间；
（2）若x＞0时，恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）由已知得，则f'（1）=0，f（1）=﹣2，解得a．分别解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出单调区间．
（2）若，得，即
在区间（0，+∞）上恒成立．设，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）由已知得，则f'（1）=0，
而，∴函数f（x）在x=1处的切线方程为．
则，解得a=2，
那么，
由，得或x＞1，
因则f（x）的单调递增区间为与（1，+∞）；
由，得，
因而f（x）的单调递减区间为．
（2）若，得，
即在区间（0，+∞）上恒成立．
设，则，
由h'（x）＞0，得，因而h（x）在上单调递增，
由h'（x）＜0，得，因而h（x）在上单调递减．
∴h（x）的最大值为，因而，
从而实数a的取值范围为．
2017-2018学年10月16日。