初三竞赛培训试题34.一元二次方程(四)：整数根与有理根
中考复习讲义 一元二次方程的整数根问题及应用(含答案)
有_______个．
9 6 ， x2 ， 6k 9k 5 3 15， 3； 当 6 k 1， 这时 k 7 ，，， 当 9 k 1 3， 9 时，x1 是整数， ，2 ， 3 ， 6 时，x2 是 6 7 ，， 9 15 时原方程的解为整数． 整数这时 k 10 ，， 8 11， 7， 12 ， 15 ， 3 综上所述， k 3，， k 3，， 6 7 ，， 9 15 【答案】
1 3 1 m2 4 [(k 1)m k 2 k ] 4 4 4 3 1 m2 (k 1)m k 2 k 4 4 k 1 2 3 1 ) k 2 k ，整理得 3k 2 k 0 所以 为完全平方式，因此 ( 2 4 4
解得 k 0 或 k
1 3
【例2】 m 为给定的有理数， k 为何值时，方程 x2 4 1 m x 3m2 2m 4k 0 的根为有理数？
【答案】 5 4
【解析】∵ [4 1 m ]2 4 3m2 2m 4k
22 m2 6m 4k 4
m 6 n 16 m 6 n 8 因此 或 m 6 n 2 m 6 n 4 m 15 m 14 解得 或 n 7 n 4 m 15 当 时，方程 x2 (m 2) x 4m 0 为 x2 17 x 60 0 ，解得 x 5 或 x 12 n 7
m 24 【答案】
2(m 1) 50 14 ，不妨设 x1 x2 ，则 x1 32 ， x2 18 2 2
故 m 24 ．满足 为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．
初三上学期一元二次方程韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案word版本
韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ；（2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ） （A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ） (A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ） （A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y （C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。
(完整word版)初三数学九上一元二次方程所有知识点总结和常考题型测验题,文档
一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：ax2bx c 0(a 0) ，它的特色是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中ax 2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数； c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如(x a2b的一元二次方程。
依照平方根的定义可知，x a 是b的平方根，当 b 0 时，)x a b ， x a b ，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法 :配方法的理论依照是完满平方公式a22ab b 2( a b) 2，把公式中的a看做未知数x，并用 x 代替，那么有 x22bx b 2(x b) 2。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上 1次项的系数的一半的平方，最后配成完满平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax2bx c 0( a0)的求根公式：x b b24ac (b24ac0)2aa，一次项的系数为 b，常公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为数项的系数为 c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，尔后看看可否能用提取公因式，公式法〔这里指的是分解因式中的公式法〕或十字相乘，若是可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去认识，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和x1 x2b，二根之积x1x2 c 。
a a利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用三、一元二次方程根的鉴识式根的鉴识式一元二次方程 ax2bx c0(a 0) 中， b24ac 叫做一元二次方程ax 2bx c 0(a0) 的根的鉴识式，平时用“〞来表示，即 b 24acI.当△ >0 时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II.当△ =0 时，一元二次方程有2个相同的实数根；III.当△ <0 时，一元二次方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系若是方程 ax 2bx c 0(a0) 的两个实数根是x1， x2，那么 x1 x2b，x1 x2c。
初三数学九上一元二次方程所有知识点总结和常考题型练习题
一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程:含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零,其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a,一次项的系数为b，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法,这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和，二根之积。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示，即I.当△〉0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II.当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III。
当△〈0时，一元二次方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。
九年级数学竞赛题：一元二次方程
九年级数学竞赛题：一元二次方程配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法.因式分解法体现了“降次求解”的基本思想，公式法具有一般性.善于根据方程的特征，灵活选用恰当的解法，是解一元二次方程的关键，选择方法的一般顺序是：先特殊后一般.即先考虑因式分解法、配方后直接开平方，再考虑公式法.有些与一元二次方程相关的问题。
常常不是去解这个方程，而是通过变形降次、整体代入等技巧方法，促使问题的解决.例1阅读下面的例题：解方程：麻一1x1-2 = 0.解：（1）当xNO时，原方程化为x2—x—2 = 0,解得为=2/2 =T （不合题意，舍去），（2）当x<0时，原方程化为V+x —2 = 0.解得N=L （不合题意，舍去），X2=-2.・•・原方程的根是N=2,X?=—2请参照丁一卜一3|-3 = 0,则方程的根是_____________例2根据关于x的一元二次方程/+/> +夕=0,可列表如下:则方程V + px + g = O的正数解满足（）.A.解的整数部分是0,十分位是5B.解的整数部分是0,十分位是8C.解的整数部分是1,十分位是1D.解的整数部分是1,十分位是2例3设沏、也是方程/+X-4 = 0的两个实数根，求代数式疗-5/2+10的值.例4先请阅读材料：为解方程旷-5，-1） + 4 = 0,我们可以将V-1视为一个整体，然后设x-l = y,则（x2-l）2=y2,原方程化为V一5.\，+ 4 = 0,解得％=1,%=4.当y = 1 时，A 2— 1 = 1 » 得X = ±5/2 :当y = 4 时，X2 -1 = 4 » 得X = ±y/5 : 故原方程的解为A = V?，x2 = —>/2 ♦x3=-A/2,x4 = -75 .在解方程的过程中，我们将X?-1用y替换，先解出关于y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换元法”，体现了转化的数学思想.请你根据以上的阅读，解下列方程：⑴ x4 - %2 - 6 = 0 ：(2) (-x-l)2-(-x-l)-l = O. 2 2例5已知02, b>2,试判断关于x的方程一一(“ +5口 + 4〃 = 0与/ 一4次+ (〃 + 〃)= 0有没有公共根，请说明理由.1.在实数范围内定义一种运算“※二其规则为“※根据这个规则，方程(X+2)X5=0的解为.2.请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且其两根互为倒数.23.用换元法解方程：x2+x+l = -一，如果设y = 那么原方程化为关于y的X~ +X一元二次方程的一般形式为.4.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( )A.若』=4,则x = 28方程x(2x — 1) = 2x — 1 的解为x = lC.若方程- 2)?"1 + 3〃氏—1 = 0是关于x的一元二次方程，则m=-2.D.若分式.'二一3'十2的值为零,则mi, 2.x-15.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程6x + 8 = 0的一个根，则这个三角形的周长为( ).A. 9B. 11C. 13D. 11 或136.严老师出示了小黑板上的题目(如下而方框中所示)，小敏回答：“方程有一根为“1”，小聪回答：“方程有一根为2"，则你认为( ).已知方程3x + ) + l=0,试添加一个条件，使它的两根之积为2.A.只有小敏回答正确B.只有小聪回答正确C小敏、小聪回答都不正确D.小敏、小聪回答都正确7.解下列方程：（l）x2-Lvl-l = O;（2）（/ - 24 +（/ - 2 v） - 2 = o；x厂一2r 4- 18.已知关于x的方程/ +kx_ 2 = 0的一个解与方程^一= 3的解相同.x-1（1）求k的值：（2）求方程/+攵x—2 = 0的另一个解.9.若。
初三数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题附答案解析
初三数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题附答案解析一、一元二次方程1,已知关于x的方程x2- (2k+1) x+k2+i = 0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2,求该矩形的对角线L的长.【答案】(1)k> 3 ；(2) A.【解析】【分析】(1)根据关于x的方程x2—(2k+1)x+k2 + 1=0有两个不相等的实数根，得出 ^〉。
，再解不等式即可；(2)当k=2时，原方程x2-5x+5=0,设方程的两根是m、n,则矩形两邻边的长是m、n, 利用根与系数的关系得出m+n=5, mn=5,则矩形的对角线长为J m2n2,利用完全平方公式进行变形即可求得答案 . 【详解】(1) •••方程x2—(2k+1)x+ k2+1 = 0有两个不相等的实数根，A= [-(2k+1)]2-4X 1 x(史1)=4k-3>0, ,3. . k > 一,4(2)当k=2时，原方程为x2- 5x+ 5 = 0, 设方程的两个根为m, n,• - m + n= 5, mn= 5,矩形的对角线长为：Vm2~n2 jm n 2mn J15 .【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1) ^〉。
时，方程有两个不相等的实数根；( 2) 4=0时，方程有两个相等的实数根；(3) 4〈0时，方程没有实数根.2.父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过大众点评”或美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程5中，大众点评网上的购买价格比原有价格上涨一m%,购买数量和原计划一样：美团”网29上的购头价格比原有价格下降了一m元，购买数量在原计划基础上增加15m%,最终，在20【答案】(1) 120; (2) 20. 【解析】试题分析：(1)本题介绍两种解法：解法一：设标价为 x 元，列不等式为 0.8x?80W7680解出即可；解法二：根据单价=总价一数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花 店的最高标价；(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，表示在 大众点评120a (1-25%) (1+3m%),在 美团”网上的购买实际消费总额：a[120 (1 - 25%) - -9-m] (1+15m%)；根据 在两个网站的实际消费总额比原计划20的预算总额增加了 一 m%'列方程解出即可.2试题解析：(1)解：解法一：设标价为 x 元，列不等式为 0.8x?80W7680 x<120解法二：7680+ 80+0.8=96 + 0.8=12兆), 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；(2)解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120X0由(1 — 25%) (1 + 5m%) +a[120 X 0.81 — 25%) - -m] (1+15m%) =120 x 0282 20(1 — 25%) X2 (1+ — m%)),即 72a (1+ — m%) +a (72 — — m) ( 1+15m%) =144a 2 220(1+ 15m%),整理得：0, 0675m 2-1.35m=0, m 2- 20m=0,解得：m 1=0 (舍)2m 2=20.答：m 的值是20.点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出 大众点评”或 美团”实际消费总额是解题关键.3.按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、 五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出 而的值.两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了一 m%,求出m 的值.2网上的购买实际消费总额:【答案】4. .. 1.7 X 35=59.5 1.7 X 80=136 151，这家酒店四月份用水量不超过m吨(或水费是按y=1.7x来计算的)，五月份用水量超过m吨(或水费是按F =1一■工-丽来计算的)w则有151=1.7X80+(80—m) X--100即m2-80m+1500=0解得m〔二30, m2=50.又..•四月份用水量为35吨，m1=30<35,「51=30舍去.m=50【解析】5.观察下列一组方程：①x2 x 0;②x2 3x 2 0;③x2 5x 6 0;④x2 7x 12 0；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为连根一元二次方程1若x2kx 56 0也是连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；2请写出第n个方程和它的根.【答案】(1) x1 = 7, x2= 8. (2) x1=n—1, x2= n.【解析】【分析】(1)根据十字相乘的方法和连根一元二次方程”的定义，找到56是7与8的乘积，确定k值即可解题，(2)找到规律，十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k=— 15,则原方程为x2—15x+56=0,则(x—7)(x—8)=0,解得x1=7, x2=8.(2)第n 个方程为x2-(2n- 1)x+ n(n -1)=0, (x- n)(x— n + 1)=0,解得x1 = n_1, x2= n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程，与十字相乘联系密切，连根一元二次方程是特殊的十字相乘，中等难度，会用十字相乘解题是解题关键.2 _ k6.关于x的万程kx k 2 x — 0有两个不相等的实数根.41求实数k的取值范围；2是否存在实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【答案】(1) k 1且k 0； (2)不存在符合条件的实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根.【解析】【分析】1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式V 0,由此可以得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围.2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k的等式，解出k值，然后判断k值是否在1中的取值范围内.【详解】解：1依题意得V (k 2)2 4k k 0,k 1 ,又Q k 0,k的取值范围是k 1且k 0；2解：不存在符合条件的实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，2 k理由是：设万程kx k 2 x - 0的两根分别为x1，X2,4k 2x1 x2由根与系数的关系有：k ,1x1 x24又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，由1知，k 1,且k 0,4 “人什一k —不符合题意，3因此不存在符合条件的实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根.【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
一元二次方程竞赛题
一元二次方程的基本知识形如ax2+bx+c=0(a ≠0)的方程判别式：△=b2-4ac 求根公式： 韦达定理：整系数一元二次方程有整数根的必要条件：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.策略一：利用判别式例1.当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程 与 的根都是整数。
策略二：利用求根公式例3．设关于x 的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
策略三：利用方程根的定义例4. b 为何值时，方程有相同的整数根？并且求出它们的整数根？策略四：利用因式分解例5. 已知关于x 的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a 有__个.2440mxx -+=2244450x mx m m -+--=2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=220x bx --=22(1)0x x b b ---=2(1)210a x x a -+--=策略五：利用根与系数的关系例6：求所有正实数a,使得方程 仅有整数根.例7：当m 是何整数时,关于x 的方程 的两根都是整数?例8：试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程 有根且只有整数根例9：已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的一元二次方程 至少有正整数根，求所有满足条件的质数对（p,q ）例10:已知关于x 的一元二次方程5x 2－5px+12p-15=0的两个根均为整数，求实数p 的所有可能的值.240x ax a -+=2(1)10x m x m --++=01)2(2=-+++r x r rx 05)108(2=+--pq x q p x例11：已知p 、q 是正整数，试问关于x 的方程 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．策略六：构造新方程例12：方程 有两个整数根,求a 的值.例13：已知均不为零的实数x 、y 、z 满足x+y+z=xyz ，x2=yz ，求证x2≥3策略七：构造等式例14.求所有的正整数a,b,c,使得关于x 的方程的所有的根都是正整数.策略八：.分析等式例15. n 为正整数，方程有一个整数根，则n=__________.22=++-q p pqx x ()(8)10x a x ---=222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=21)60x x -++-=策略九：反客为主例16:求出所有正整数a,使方程 至少有一个整数根.例17：求方程 的所有整数解例18：已知函数 的最大值为1，最小值为-2，求实数a,b 的值策略十：利用配方法例19： 已知方程 有两个不等的负整数根,则整数a 的值是____.策略十一：利用奇偶分析例20：已知方程 有两个质数根,则常数a=___________.例21：设a 是大于零的实数。
初三数学一元二次方程练习题及答案
初三数学一元二次方程练习题及答案一元二次方程是初中数学中重要的内容之一，它包括一个未知数的二次项、一次项和常数项，形如ax²+bx+c=0。
在初三数学中，学生需要熟练掌握一元二次方程的解法，能够灵活运用相关的知识进行问题的求解。
下面将给出一些初三数学一元二次方程的练习题及答案，供同学们参考练习。
练习题1：解下列方程：1. x² + 5x + 6 = 02. 2x² - 4x - 3 = 03. x² + 8x + 15 = 0解答：1. 对于方程x² + 5x + 6 = 0，我们可以通过分解因式的方法进行求解。
将方程转化为(x + 2)(x + 3) = 0，所以x + 2 = 0或x + 3 = 0，解得x = -2或x = -3。
2. 对于方程2x² - 4x - 3 = 0，我们可以使用求根公式进行求解。
由求根公式x =(-b±√(b^2-4ac))/2a，带入a=2，b=-4，c=-3，解得x=3/2或x=-1。
3. 对于方程x² + 8x + 15 = 0，我们可以再次使用求根公式进行求解。
带入a=1，b=8，c=15，解得x=-3或x=-5。
练习题2：解下列方程：1. 3x² - 2x + 1 = 02. 4x² + 12x - 9 = 03. 5x² + 7x + 2 = 0解答：1. 对于方程3x² - 2x + 1 = 0，我们可以使用求根公式进行求解。
带入a=3，b=-2，c=1，解得x=1或x=1/3。
2. 对于方程4x² + 12x - 9 = 0，我们可以通过分解因式的方法进行求解。
将方程转化为(2x - 1)(2x + 9) = 0，所以2x - 1 = 0或2x + 9 = 0，解得x=1/2或x=-9/2。
3. 对于方程5x² + 7x + 2 = 0，我们同样可以通过分解因式的方法进行求解。
初中数学竞赛辅导第四十七讲含参数的一元二次方程的整数根问题试题
全国初中数学竞赛辅导第四十七讲含参数的一元二次方程的整数根问题对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或者有理根，那么就没有统一的方法了，只能详细问题详细分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．解法1 首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x1=6，x2=4．解法2 首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，那么由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(假如比拟容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比拟容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根〞应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或者5的约数即可，即a=1，3，5．例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．由于m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以说明一个整系数的一元二次方程假如有整数根或者有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．例4 关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，那么n是正奇数，要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n 可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．综上所述，a的值是2，-4，-10．说明此题是前面两种方法的“综合〞．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．例5 关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2＝6，所以 (x1＋1)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或者16．说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．例6 求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．分析首先对r=0和r≠0进展讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x 的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或者用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，那么消去r得x1x2-x1-x2＝2，所以(x1-1)(x2-1)=3．例7 a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值．解将原方程变形为(x＋2)2a= 2(x＋6)．显然x＋2≠0，于是由于a是正整数，所以a≥1，即所以 x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以 -4≤x≤2(x≠-2)．当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值是1，6，10，3，说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，假如参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例8 方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1≤c≤b＋1；(3)求b，c的所有可能的值．解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．假设x1＞0，那么x2＞0，(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以 c≥b-1．同理有所以 c≤b+1，所以 b-1≤c≤b+1．(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b＋1．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．(ii)c=b．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)，所以 (x1+1)(x2＋1)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．(iii)c=b-1．由韦达定理知所以综上所述，一共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．练习二十六1．填空：(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，(2)k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0有两个不一样的正整数根，那么k=____．(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，(4)方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，那么方程较大根与较小根的比等于____．(5)方程(a2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，那么整数a的值是____．2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0有两个整数根，求m的值及方程的根．3．关于x的一元二次方程x2+(m-17)x+m-2=0的两个根都是正整数，求整数m的值．4．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程ax2＋2ax＋a-9＝0至少有一个整数根．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
初中数学竞赛——-一元二次方程综合训练
第14讲 一元二次方程综合训练1. 当k 为何值时，关于x 的一元二次方程226360x kx k +++=有两个不相等的实根．2. 已知实数x y 、满足42424233y y x x -=+=，，求444y x +的值．3. 若关于x 的方程22x x k x -=恰有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．4. 判别方程()()1x a x a b ---=的实根个数，这里a b 、是实数．5. 设方程2230x x m -+=的一根为另一根的2倍，求m 的值．6. 设方程22(1)10x a x a --++=的两根之差为1，求a 的值．7. 设k 为实数，关于x 的一元二次方程210x kx k +++=的两个实根分别为12x x 、，若2122x x k +=，求k 的值．8. 设整数a 使得关于x 的一元二次方程255261430x ax a -+-=的两个根都是整数，求a 的值．9. 是否存在质数p q 、，使得关于x 的一元二次方程20px x p -+=有有理数根？10. 设a b c 、、为正数，证明：20ax bx c ++=和方程21110x x a b c++=中，至少有一个方程有实根．11. 若正整数系数二次方程240x mx n ++=有两个不相等的有理根p q 、，且p q ＜；又方程220x px q -+=与方程220x qx p -+=有公共根，试求220x px q -+=的另一个根．12. 已知三个关于x 的方程220(1)210x x m m x x -+=-++=、和2(2)210m x x -+-=，若其中至少有两个方程有实数根，求实数m 的范围．13. 已知方程22(23)10m x m x --+=的两个实根的倒数之和为S ，求S 的取值范围．14. 已知a b 、为整数，求证：关于x 的方程22860x ax b -+-=无整数根．15. 是否存在质数p q 、，使方程2230x p x q ++=有有理根？若不存在，给出证明；若存在，请求出这样的p q 、的值．16. 若关于x 的二次方程2244(1)7x m x m --+=的两根之差为2，求m 的值．17. 若k 为正整数，且方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个不等的正整数根，求k 的值．18. 若三个二次方程230x x a -+=，2240x ax +-=，230ax bx +-=有公共解，求整数a 、b 的值．19. 若在关于x 的三个二次方程24430ax ax a +-+=，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个实数解，求a 的取值范围．20.当a、b为何值时，方程222x a x a ab b++++++=有两个实数根．2(1)(3442)021.对于任意实数k，方程2222+-++++=总有一个根是1．(1)2()40k x a k x k k b（1）求实数a，b；（2）求另一根的范围．22.已知方程28510++=的两根为p、q，试求x x++=的两根为m，n，方程29610x x++--+的值．()()()()2m p n p m q n q23. 设1x 、2x 是二次方程2(2)10x p x +-+=的两根，且[][]1122211()1()x p x x x p x x ++-++-72=-，求p 的值．。
一元二次方程(四)：整数根与有理根
答案A 卷1．原方程化为[(k+1)x - 6][(k - 1)x – 3 ] = 0,∴,2,13,1621=∴-=+k k x k x 2．-2; 3．8; 4．1997 5．4096．设 原方程的两根，则,44421p x x -=∵p 为质数，故21x x 中有一个是p 的倍数，设1x =kp （k 为整数），又,21p x x -=+∴,)1(2p k x +-=∴,444)1(])1([221p p k k p k kp x x -=+-=+-=即).1(+k k ,37322⋅⋅=p 当k=3时，p=37，∴p = 37。
7．29； 8．1； 9．原方程变形为[(a-1)x – (2a+1)](x-a)=0当a=1时，原方程只有一个根x=a ；当a ≠1时，其二根为,112,21-+==a a x a x 因此， （1）当a 为任何正整数时，方程至少有一个正整数根，（2）要使方程二根均为正整数，由于 ,13213)22(1122-+=-+-=-+=a a a a a x 所以，当a 为正整数，只要3能被a-1整除，则2x 是正整数，故只须取a=2或a=4即可，当a=2时，方程有两个正整数根;5,221==x x当a=4时，方程有两个正整数根;3,421==x x（3）当a x =1为负整数时，由a-1<0, 2a+1<0, ∴,01122>-+=a a x 为正数，∴无论a 取何值，方程两根不会是负整数。
10．∆=042≥-ac b 是一个完全平方数；无整数根，p/c 且q/a ；有共轭无数根,22b a b ±-C 卷一、填空题1．设α、β是方程0)1(2=+--k px x k 的两个正整数根，则.1,1111-k k -=+-+==k p k βααβ 由于α、β是正整数，故αβ也是正数，从而k=2，则αβ=2且α+β=3=,1-p p 故p=3，从而.19931322)23(21)(3222362=+⨯+++=++++-+-+kp k k p k p k k p kp2．由韦达定理，p+q=99，由于p,q 是质数，故p,q 中必有一个为2，要计算的代数式关于p,q 是对移的，不妨设p=2，从而q=97，∴1949413972297=+=+q p p q 3．∵原方程至少有一个整数根，故∆=)18(4)3(44)12(42+=-⋅--a a a a 为完全平方数，设2)12(18+=+m a （m 为自然数）则)1(21+=m m a 代入原方程，得 012)1(2]1)1([2)1(212=-++-+++m m x m m x m m 解之得142,4221+--=+-=m x m x ∵21,x x 中至少有一个整数，∴m | 4或（m+1）|4．又∵m 为自然数，∴m=1，2，4或m+1=2，4。
中考试题一元二次方程的整数根.docx
学科：数学专题：一元二次方程整数根主讲教师：黄炜 北京四中数学教师重难点易错点辨析在解决整数根问题时，还是不要忽略了对二次项系数的讨论。
题一题面：关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，求符合条件的a 的整数值.金题精讲题一题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k -4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.判别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：已知，关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+=⑴若0m >，求证：方程有两个不相等的实数根；⑵若1240m <<的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．判别式，整数根题二题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0.（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数.判别式，整数根讲义参考答案重难点易错点辨析题一答案：当1a =时，1x =；当1a ≠时，122111x x a ==---，（分离常数）， a ∵为整数 1023a =-∴，，，综上，a 的整数值为10123-，，，，.金题精讲题一答案：(1)52k <；(2)k =2. 满分冲刺题一答案：⑴证明：[]22=2(23)4(4148)84m m m m ∆----+=+∵0m >， ∴840m +>.∴方程有两个不相等的实数根． ⑵2(23)84=(23)212m m x m m -±+-±+= ∵方程有两个整数根，必须使21m +为整数且m 为整数．又∵1240m <<，∴252181.m <+< ∴521<9m <+．21m +∵为奇数，217m +=∴∴24m =．题二答案：（1）证明：△=(m +3)2-4(m +1)=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=(m +1)2+4∵(m +1)2≥0∴(m +1)2+4≥0∴无论m 取何实数时，原方程都有两个不相等的实数根（2）解关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0得23(1)42m m x --±++= 要使原方程的根是整数根，必须使得(m +1)2+4/ησ≠π−(m +1)2+4=a 2则(a +m -1)(a -m -1)=4∵a +m -1a -m -1的奇偶性相同⎪{1=212a m a m +---=或{1=212a m a m +----=- 解得{=21a m =-或{21a m =-=-将1m =-代入23(1)42m m x --±++=得1220x x =-=，符合题意； ∴当1m =-时，原方程的根是整数.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
九年级数学一元二次方程的整数根测试卷(难度一般)
九年级数学一元二次方程的整数根测试卷（难度一般）
1. 2
8210x x --= （填：“有”或“没有”）有理根。
2. 关于x 的方程2120x mx -+=至少有一个整数根，则整数m 可取值的个数是 个。
3. 已知n 为正整数，方程21)60x x --=有一个整数根，则n = 。
4. 满足1ab a b ++=的整数对(,)a b 共有 对。
5. 关于x 的方程22(2)10x a x a -++-=有两个整数根，则整数a 的值是。
6. 关于x 的方程2(11)50x a x a +-+-=有两个整数根，则实数a 的值是。
7. 若关于x 的一元二次方程2530x x a -++=有两个正整数根，则a 的值是 ，方程的解是 。
8. 设p 为质数，且方程25800x px p --=两个根都是整数，则p 的值为。
9. 方程2223298x xy y --=的正整数解的组数是 。
10. 求使关于x 的二次方程222170a x ax a ++-=的两根都是整数的所有正数a 的和是 。
二、解答题
11. 已知方程2340x x m -++=有两个整数根，求证：（1）两个根中，一个是奇数而另一个是偶数；（2）m 是
负的偶数。
12. 若关于x 的二次方程20ax bx c ++=有实根，且a b c 、、都是奇数，求证：此方程必有两个无理根。
九年级数学一元二次方程的整数根测试卷(难度大)
九年级数学一元二次方程的整数根测试卷（难度大）一、填空题1. 关于x 的方程22(21)230x m x m m -+++=的两根都是整数，则实数m 可以等于 。
2. 关于x 的方程22(21)320x m x m m k -+-++=对于任意有理数m ，均有有理根，则实数k 的值为 。
3. 关于x 的方程2222(1)10k x k k -+++=至少有一个整数根，则整数k 可以是 。
4. 若k 为整数，且关于x 的二次方程2(1)210k x px k +-++=有两个整数根，则k p 、的值为 。
5. 设a b 、为整数，且方程210ax bx ++=的两个不同的正整数根都小于1，则a 的最小值为 。
6. 当有理数x 为 时，代数式29232x x +-的值恰为两个连续正偶数的乘积。
7. 已知一元二次方程2(1)0k x px k --+=有两个正整数根，且k 为整数，则()(5)kp p k k p k p k ++++的值为 。
8. 已知n 为正整数，关于x 的一元二次方程22281035760x nx x n n -+-+-=的两根为质数，则此方程的根为 。
9. 若m n 、都是整数，则方程210530x mx n +-+= （填“有”或“没有”）整数根。
10. 如图，正方形EFGH 内接于ABC ∆，设BC ab =（ab 是一个两位数）EF c =，三角形高.AD d =已知a b c d 、、、是从小到大的四个连续正整数，则此ABC ∆的面积为 。
二、解答题11. 是否存在这样的质数p q 、，使 方程2230x p x q ++=有有理根？若不存在，给出证明；若存在，请求出所有这样的p q 、的值。
12. 关于x 的二次方程22(158)2(133)80k k x k x +---+=的两根都是整数，求实数k 的值。
13. 求所有的正整数a b c 、、，使得关于x 的方程222202020x ax b x bx c x cx a -+=++=-+=、、的所有根均为正整数。
初中数学一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。
因此成为近年来各种自招考试的热点。
下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。
一、根与系数之间的关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=反之，若两数12,x x 满足1212,b cx x x x a a+=-=，则这两数是方程20ax bx c ++=的两根。
利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负； (2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。
然后利用其根是整数的要求来解不定方程。
2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。
故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类： （1）先求参数范围。
可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。
（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。
当2k =∆为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k =∆为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。
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初三竞赛培训试题4．一元二次方程（四）：整数根与有理根 1．已知k 为整数，且关于x 的二次方程018)13(3)1(22=+---x k x k有两个不等的正整数根，则k = _________。
2．设一元二次方程0432=-+-a x x 的两根均为整数，且两根同号，则a = __________。
3．方程 (x- a ) (x – 8 ) – 1 = 0的两个整数根，则a = __________。
4．若p,q 都是正整数，方程0199321212=+-qx px 的两根都是质数，则2p + q = ________.5．已知p,q 为自然数，方程0199022=+-qx px 两根都是质数，则p+q = ________。
6．若p 是质数，且方程04442=-+p px x 的两根均为整数，则p = ______。
7．设方程02=++p px x 的两根21,x x 均为正整数，若p + q = 28，则)1)(1(21--x x =___________。
8．如果a 为有理数，要使方程0)43()1(222=+--++b a a x a x 的根总是有理数，则b 的值应为____________。
9．设关于x 的二次方程02)1()1(222=++++--a a x a a x a 当a______时，此方程至少有一个正整数解；当a_______时，此方程有两个正整数解；当a__________时，此方程有两个负整数解。
10．对于整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根的充要条件是________；若a,b,c 均为奇数，则方程_______________，若a,b 为偶娄，c 为奇数，则方程___________，若此方程有有理根p/q(p,q 互质)，则p,q,a,c 之间必有关系______________；若a>0且不是完全平方数，则方程有______。
C 卷一、填空题1．若k 是自然数，且关于x 的二次方程0)1(2=+--k px x k 有两个正整数根，则.____________1)(2=++++⋅+-kp k k p k p k k p kp2．两个质数p,q 恰是整系数方程0992=+-m x x 的两根，则.________=+pqq p3．若二次方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，则自然数a = ____.4．若正整系数二次方程042=++n mx x 有相异的两个有理根p,q ，且p>q ，又方程022=+-q px x 与方程022=+-p qx x 有一公共根，则方程022=+-q px x 的另一根为___________。
5．设a,b,c 为三角形ABC 的三边，且满足 （1）a > b > c ； （2）2b = a + c ；（3）,84222=++c b a 则整数b = __________。
6．象棋比赛中每个选手都和其他选手恰好比赛一局，每局赢者得2分，输者得0分，平局各记1分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数情况分别是1980、1983、1989、1991，经核实确有一个同学统计无误，这次比赛中有_____名选手参加比赛。
二、选择题1．设p 是质数，如果方程05802=--p px x 的两根均为整则，则（ ） A ．0 < p < 10 B ．10 < p < 20 C ．20 < p < 30 D ．30 < p < 40.2．设m ，n 为整数，则方程035102=+++n mx x 和方程035102=-++n mx x 必定（ ） A ．至少有一个有整数根； B ．均无整数根；C ．仅有一个有整数根；D ．均有整数根。
3．关于x 的一元二次方程01222=-++n mx x （m 、n 都是整数）如果有一个整数根α，则对它的另一根β所作的如下断言中正确的是（ ） A ．β不是整数； B ．β一定是整数； C ．β一定是奇数； D ．β一定是偶数。
4．若方程02=++-n m mnx x 有整数根，且m 、n 为整数，则n m ⋅的值有（ ） A ．1个 B ．3个 C ．5个 D ．无数个三、解答题1．若x,y 为正整数，使得x y x -+22能被2xy 整除，证明：x 为完全平方数。
2．M 为何整数时，26592++m m 能分解成两个连续自然数之积。
3．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根且两根均同号，求证： b – 1 ≤ c ≤ b + 1 . 答案 A 卷1．原方程化为[(k+1)x - 6][(k - 1)x – 3 ] = 0, ∴,2,13,1621=∴-=+k k x k x2．-2; 3．8; 4．1997 5．4096．设21,x x 原方程的两根，则,44421p x x -=∵p 为质数，故21x x 中有一个是p 的倍数，设1x =kp （k 为整数），又,21p x x -=+∴,)1(2p k x +-=∴,444)1(])1([221p p k k p k kp x x -=+-=+-=即).1(+k k ,37322⋅⋅=p 当k=3时，p=37，∴p = 37。
7．29； 8．1；9．原方程变形为[(a-1)x – (2a+1)](x-a)=0当a=1时，原方程只有一个根x=a ；当a ≠1时，其二根为,112,21-+==a a x a x 因此， （1）当a 为任何正整数时，方程至少有一个正整数根， （2）要使方程二根均为正整数，由于,13213)22(1122-+=-+-=-+=a a a a a x 所以，当a 为正整数，只要3能被a-1整除，则2x 是正整数，故只须取a=2或a=4即可，当a=2时，方程有两个正整数根;5,221==x x 当a=4时，方程有两个正整数根;3,421==x x （3）当a x =1为负整数时，由a-1<0, 2a+1<0, ∴,01122>-+=a a x 为正数，∴无论a 取何值，方程两根不会是负整数。
10．∆=042≥-ac b 是一个完全平方数；无整数根，p/c 且q/a ；有共轭无数根,22b a b ±-C 卷一、填空题 1．设α、β是方程0)1(2=+--k px x k 的两个正整数根，则.1,1111-k k -=+-+==k pk βααβ 由于α、β是正整数，故αβ也是正数，从而k=2，则αβ=2且α+β=3=,1-p p故p=3，从而.19931322)23(21)(3222362=+⨯+++=++++-+-+kp kk p k pk k p kp2．由韦达定理，p+q=99，由于p,q 是质数，故p,q 中必有一个为2，要计算的代数式关于p,q 是对移的，不妨设p=2，从而q=97，∴1949413972297=+=+q p p q3．∵原方程至少有一个整数根，故∆=)18(4)3(44)12(42+=-⋅--a a a a 为完全平方数，设2)12(18+=+m a （m 为自然数）则)1(21+=m m a 代入原方程，得 012)1(2]1)1([2)1(212=-++-+++m m x m m x m m 解之得 142,4221+--=+-=m x m x∵21,x x 中至少有一个整数，∴m | 4或（m+1）|4． 又∵m 为自然数，∴m=1，2，4或m+1=2，4。
∴m=1，2，3，4，从而a=1，3，6，10。
4．设公共根为a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-020222p qa a q pa a ∴(p – q )a + 2 (p – q ) = 0 ∴(p – q )(a + 2) = 0∵p < q, ∴p – q ≠0,即 a + 2 =0，∴a = -2，代入到02=+-q px x 得.2,02222-=+∴=+-q p q p又∵042=++n mx x 有相异二有理根p,q ∴p + q =,24-=-m∴m=8，而 ∆=n n n n m ,4,0168,01622<>-∴>-为正整数，且 ∆=)4(161681622n n n m -=-=-为完全平方数，所以 4 – n = 1，所以n = 3。
由于⎪⎩⎪⎨⎧=-=+432pq q p ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)(23212123不合或q p q p∴01232=-+x x 设方程022=+-q px x 的另一根为β，则（-2）β=-1，∴β=.215．由条件（2）、（3）可得⎪⎩⎪⎨⎧-==+284522b ac b c a 又∵a>c>0，∴a,c 是关于x 的二次方程02845222=-+-b bx x 的两个不等正根，从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>--=∆02845020)845(24222b b b b 解之得284842<<b ∵b 是整数，b>0，∴,252=b 即b=5.6．设共有x 名选手参加，依题意可得)1(22)1(-=⨯-x x x x ∵x 是正整数，且大于1，所以x, x –1是两个连续的正整数。
不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，故得分总数只能是1980，则x(x-1)=1980，解之得44,4521-==x x （舍去），故共有45名选手参赛。
二、选择题1．由已知得∆=)5804()580(42⨯+=-⨯-p p p p 为完全平方数，因为p 是质数，故p /（p+4×580）, ∴p / 4×580，但4×580=29524⨯⨯（1）若p=2，则p(p+4×580)=22 ×11611非完全平方数，不合； （2）若p=5，则5(5+4×580)=25 ×465=35 ×93非完全平方数，不合；（3）若p= 2q ，则2q(2q+4×580)=22q (1+4×20)= 22q ×81=22q ×2q 为完全平方数，故应选C2．对于两个方程来说，∆=4[53)(2±-n m ]，而5)5(2n m -的个位数字只能是9或5，故5)5(2n m -的个位数字只能是0或5。
故为5)5(2n m -±3的个位数字只能是2，3，7，8之一，而任何一个完全平方数的个位数字只可能是0，1，4，6，9之一，∴当m,n 为整数时，5)5(2n m -±3均不是完全平方数，于是，这两个方程均无有理根，当然它们也均无整数根，故应选B 3．B4．设方程有整数根21,x x ，则21x x +=mn>0，21x x =m+n>0，故这两个根均为正数。