2021年高考数学微专题直线与圆问题教师版

专题6 直线与圆问题

【一】直线的方程及其应用

1.例题

【例1】设R ∈λ，则“3-=λ是直线1)1(2=-+y x λλ与直线4)1(6=-+y x λ平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】当3-=λ时，两条直线的方程分别为0223,0146=-+=++y x y x ，此时两条直线平行； 若两条直线平行，则)1(6)1(2λλλ--=-⨯，所以3-=λ或1=λ，经检验，两者均符合； 综上：“3-=λ是直线1)1(2=-+y x λλ与直线4)1(6=-+y x λ平行”的充分不必要条件，故选A. 【答案】A

1、直线方程的5种形式 （1）点斜式：)(11x x k y y -=- （2）斜截式：b kx y +=

（3）两点式：

),(21211

21

121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--

（4）截距式：

)0,0(1≠≠=+b a b

y

a x （5）一般式：0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、三种距离公式

（1）),(),,(2211y x B y x A 两点间的距离：2

122

12)()(y y x x AB -+-=. （2）点到直线的距离：2

2

00B

A C By Ax d +++=

（其中点),(00y x P ，直线方程：0=++C By Ax ）.

（3）两平行直线间的距离：2

2

12B

A C C d +-=

（其中两平行线方程分别为：0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l ）.

3、两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线21,l l 的斜率21,k k 存在，则1,//21212121-=⇔⊥=⇔k k l l k k l l ;若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.

【例2】过点（1，2）的直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最小时，直线l 的方程为（ ）

A. 042=-+y x

B.05-2y x =+

C.03=-+y x

D.0832=-+y x 【解析】设l 的方程为

)0,0(1>>=+b a b y a x ，则有12

1=+b a ， 因为0,0>>b a ，所以ab b a 2221≥+，即ab

221≥， 所以8≥ab ，当且仅当2

1

21==b a ，即4,2==b a 时，取“=”.即当4,2==b a 时，OAB ∆的面积最小. 此时l 的方程为

14

2=+y

x ，即042=-+y x .故选A 【答案】A 2.巩固提升综合练习

【练习1】若两平行直线)0(02:1>=+-m m y x l 与062:2=-+ny x l 之间的距离是5，则=+n m （ ）

A.0

B.1

C.-2

D.-1

【解析】因为21,l l 平行，所以m n ⨯≠-⨯-⨯=⨯2)6(1),2(21，解得3,4-≠-=m n ，所以直线2l 的方程是032=--y x ，又21,l l 之间的距离是5，所以

54

13=++m ，解得m =2或m =-8（舍去），所以2-=+n m ，

故选C.

【练习2】直线l 过点P （1，4），分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于点A ，B 两点，O 为坐标原点，当OB OA +最小时，l 的方程为 .

【解析】经检验直线l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为)0

则直线l 的方程为)1(4-=-x k y ，令y=0得)0,4

1(k

A -，令x=0得)4,0(k

B -， 则945)4

(5)4(5)4()41(=+≥-+-+=+-=-+-=+k k k k k k OB OA ，

当且仅当k

k -=-4

，即2-=k 时，OB OA +取得最小值.此时l 的方程为062=-+y x .

【答案】062=-+y x 【二】圆的方程及其应用 1、圆的标准方程

（1）以),(b a 为圆心，)0(>r r 为半径的圆的标准方程为2

2

2

)()(r b y a x =-+-. （2）特别地，)0(2

2

2

>=+r r y x 的圆心为（0，0），半径为r . 2、圆的一般方程

方程02

2

=++++F Ey Dx y x 变形为4

4)2()2(2222F

E D E y D x -+=+++.

（1）当042

2

>-+F E D 时，方程表示以)2

,2(E

D --为圆心，2422F

E D -+为半径的圆；

（2）当042

2=-+F E D 时，方程表示一个点)2

,2(E

D --

； （3）当042

2

<-+F E D 时，该方程不表示任何曲线。 3、点与圆的位置关系

对于),(00y x P 和圆C:2

22)()(r b y a x =-+-,则

（1）P 在圆C 内2

2020)()(r b y a x <-+-⇔； （2）P 在圆C 上2

2020)()(r b y a x =-+-⇔； （3）P 在圆C 外2

2020)()(r b y a x >-+-⇔.

1.例题

【例1】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点)5,0(M 在圆C 上，且圆心到直线02=-y x 的距离为5

5

4，则圆C 的方程为 .

【解析】设圆心为)0)(0,(>a a ，则圆心到直线02=-y x 的距离5

5

41

402=

+-=

a d ， 解得2=a ，半径3)50()0(2

2

=-+-=a r ， 所以圆C 的方程为9)2(2

2

=+-y x .

【例2】圆心为点()4,7C ，并且截直线3410x y -+=所得的弦长为8的圆的方程（ ） A ．()2

24(7)5x y -+-= B ．()2

24(7)25x y -+-= C ．()227(4)5x y -+-= D ．()2

27(4)25x y -+-=

【解析】圆心到直线的距离d 3

=

=，

在直线3410x y -+=上截的的弦长为8∴圆的半径5r ==

∴圆的方程为()()224725x y -+-=故选：B