2017-2018年北京市101中学高一上学期数学期末试卷(解析版)
2017-2018学年北京市十一学校高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市十一学校高一(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共13小题,共52.0分)1.有下列命题:①函数的图象与y=|x2-1|的图象恰有3个公共点;②函数y=3x-x5-1有3个零点;③若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(x+1)与y=g(x-1)的图象也关于直线y=x对称;④函数f(|x|-1)的图象是由函数f(x)的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到的.其中错误的命题有______.(填写所有错误的命题的序号)2.已知下列四个命题:①等差数列一定是单调数列;②等差数列的前n项和构成的数列一定不是单调数列;③已知等比数列{a n}的公比为q,则“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0<q<1”;④记等差数列的前n项和为S n,若S2k>0,S2k+1<0,则数列S n的最大值一定在n=k处达到.其中正确的命题有______.(填写所有正确的命题的序号)3.已知{a n}是等差数列,a4+a7+a10=15,则其前13项和S13=______.4.已知a=3π,b=eπ,c=e3,则a,b,c按从小到大的顺序排序为______.5.已知函数f(x)=(2m2+m)x m是定义在[0,+∞)上的幂函数,则f(4x+5)≥x的解集为______.6.已知下列四个命题:①若a>b,c>d,则>;②若a>b且<,则a,b同号;③“x>0,y>z”是“xy>xz”的充要条件;④“xy>0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件.其中正确的命题是______.(填写所有正确的命题的序号)7.贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①n次传球之后,共有______种可能的传球方法;②n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有______种.8.已知函数f(x)是偶函数,且对任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,当0≤x≤1时,f(x)=x2-1,则g(x)=f(x)-log7|x|有______个零点.9.的最小值为______.10.已知实数a,b,c满足a+b+c=3,a2+2b2+2c2=6,则c的取值范围是______.11.函数f(x)=ln(-x2-x+2)的单调增区间是______.12.已知数列{a n}中,,若,则a2017=______.13.已知{a n}是各项均正的等比数列,其前n项和为S n,a1=32,,则a n=______.二、解答题(本大题共5小题,共48.0分)14.已知是偶函数.(1)求m的值;(2)已知不等式对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.15.已知{a n}是公差不为0的等差数列,且a1=1,a2,a4,a8成等比数列,数列{b n}满足b1=-2,.(1)求数列{a n}和{b n}通项公式;(2)求数列{b n}前n项和S n.16.已知a,b,c均为正数,且a+b+c=4,求证下列不等式,并说明等号成立条件.(1);(2).17.已知数列{a n}满足∈,且,,>.(1)当a1=2时,写出{a n}的通项公式(直接写出答案,无需过程);(2)求最小整数m,使得当a1≥m时,{a n}是单调递增数列;(3)是否存在a1使得{a n}是等比数列?若存在请求出;若不存在请说明理由.18.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=1,2S n=na n+1-2n.设.(1)求{a n}的通项公式(2)猜测b n与的大小关系并证明.答案和解析1.【答案】①③【解析】解:①分别画出函数的图象与y=|x2-1|的图象,可得x>1和x<-1时,各有一个交点;当-1<x<1时,y=1-x2和y=1+0.1x,联立可得x2+0.1x=0,即x=0或x=-0.1,则有两个交点;函数的图象与y=|x2-1|的图象共有4个公共点;②函数y=f(x)=3x-x5-1,由f(0)=0,可得x=0为零点;由f(-1)>0,f(-)=+-1<0,且f(x)在(-1,-)递减,可得f(x)在(-1,-)有一个零点;由f(1)=1>0,f(2)=9-32-1<0,且f(x)在(1,2)递减,可得f(x)在(1,2)有一个零点;则函数y有3个零点;③若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,可取f(x)=x3,g(x)=x,则函数y=f(x+1)=(x+1)3的反函数为y=x-1,而g(x)=(x-1),不互为反函数,函数y=f(x+1)与y=g(x-1)的图象不关于直线y=x对称;④函数f(|x|-1)的图象是由函数f(x)的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到.综上可得①③错误;②④正确.故答案为:①③.分别画出函数的图象与y=|x2-1|的图象,即可判断①;运用函数的零点存在定理,即可判断②;由互为反函数的图象特点,举例即可判断③;运用函数图象平移变换和对称变换,即可判断④.本题考查函数的图象的交点和函数的零点个数问题、图象对称性和平移变换,考查数形结合思想方法,属于基础题.2.【答案】④【解析】解:对于①,等差数列不一定是单调数列,也可以是常数列,①错误;对于②,等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列,如非零常数列是等差数列,其前n项和是等差数列,∴②错误;对于③,等比数列{a n}的公比为q,a1>0时,“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0<q<1”;a1<0时显然不成立,③错误;对于④,等差数列{a n}中,前n项和为S n,且S2k>0,S2k+1<0,即>0,<0,∴a1+a2k>0,a1+a2k+1<0.由等差数列{a n}的性质可得:a1+a2k=a k+a k+1,a1+a2k+1=2a k+1;∴a k+a k+1>0,a k+1<0,∴a k>0,a k+1<0,∴d<0,则当n≥k+1时,a n<0;因此S1,S2,…,S2k中数值最大的是S k,则数列S n的最大值在n=k处取得,④正确.综上,正确的命题序号是④.故答案为:④.①,等差数列不一定是单调数列;②,等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列;③,等比数列{a n}的公比为q,分a1>0和a1<0时是否成立即可;④,利用等差数列的前n项和定义与等差数列项的性质,判断即可.本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题,是综合题.3.【答案】65【解析】解:{a n}是等差数列,a4+a7+a10=15,∴3a7=15,∴a7=5,∴S13=a7×13=65故答案为:65根据等差数列的性质,以及数列前n项和的公式即可求解.本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用,属于基础试题.4.【答案】c<b<a【解析】解:由y=e x是增函数,得b=eπ>c=e3,由y=xπ是增函数,得a=3π>b=eπ,故c<b<a,故答案为:c<b<a.根据指数函数以及幂函数的单调性判断即可.本题考查了函数的单调性问题,考查函数值的大小比较,是一道基础题.5.【答案】,【解析】解:由题意得:2m2+m=1,解得:m=-1(舍)或m=,故f(x)=在[0,+∞)递增,f(4x+5)≥x,即≥x,故或,解得:-≤x≤5,故答案为:.求出m的值,求出f(x)的解析式,关于x的不等式组,解出即可.本题考查了幂函数的定义,解不等式问题,是一道常规题.6.【答案】②【解析】解:①若a>b,c>d,则不正确,比如a=2,b=1,c=-1,d=-2,可得=;②若a>b且,则a,b同号正确,由于-=<0,由a-b>0,可得ab>0,即ab同号;③“x>0,y>z”是“xy>xz”的充要条件不正确,应为充分不必要条件,由x>0,y>z可得xy>xz,反之不成立;④“xy>0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件不正确,应为充分不必要条件,由xy>0,可得|x|+|y|=|x+y|,反之不成立.故答案为:②.举a=2,b=1,c=-1,d=-2,可判断①;运用不等式性质化简可得ab>0,可判断②;运用充分必要条件的定义,可判断③,④.本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断,考查运算能力和推理能力,属于基础题.7.【答案】2n;【解析】解:每次传球都有两种方法,所以n次传球之后,共有2n种可能的传球方法,设n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有a n种,则有2a n+2a n-1=2n,(n≥2),即-=-(-),(n≥2),∴-=(-)n(-),(n≥2),∵a1=0,∴a n=,故答案为:2n;每次传球都有两种方法,所以n次传球之后,共有2n种可能的传球方法,设n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有a n种,则有2a n+2a n-1=2n,(根据数列的递推公式即可求出通项公式)本题考查了数列的递推公式,考查了转化能力,属于中档题8.【答案】4【解析】解:对任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,故函数f(x)的对称中心是(1,0),令g(x)=f(x)-log7|x|=0,得f(x)=log7|x|,函数g(x)的零点个数即函数f(x)和y=log7|x|的交点个数,由函数f(x)是偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2-1,画出函数f(x)和函数y=log7|x|的图象,如图示:,结合图象,函数f(x)和函数y=log7|x|的图象有4个交点,故函数g(x)有4个零点,故答案为:4.根据函数的对称性以及函数的奇偶性画出函数的图象,结合图象求出函数的零点个数即可.本题考查了函数的零点问题,考查函数的奇偶性,对称性以及数形结合思想,转化思想,是一道中档题.9.【答案】【解析】解:由设=t,t≥则x2=t2-2.那么f(x)转化为g(t)=根据勾勾函数的性质,可得“当t=”时,g(t)取得最小值为:.故答案为:.利用换元法,结合勾勾函数的性质即可求解.本题考查了函数的最值的求法,利用到了勾勾函数的性质.属于基础题.10.【答案】,【解析】解:由a+b+c=3得,a+b=3-c,由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6-2c2,由柯西不等式可得≥(a+b)2=(3-c)2,即9-3c2≥(3-c)2,化简得2c2-3c≤0,解得,因此,c的取值范围为,故答案为:.a+b+c=3得,a+b=3-c,由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6-2c2,利用柯西不等式得9-3c2≥(3-c)2,解出c的范围即可.本题考查利用柯西不等式求参数的取值范围,对等式进行合理变形与配凑,是解本题的关键,属于中等题.11.【答案】,【解析】解:由-x2-x+2>0,得x2+x-2<0,解得-2<x<1.函数t=-x2-x+2在上为增函数,而外层函数y=lnt为定义域上的增函数,∴函数f(x)=ln(-x2-x+2)的单调增区间是.故答案为:.先求出函数的定义域,然后利用复合函数的单调性确定函数f(x)的单调递增区间.本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性,一要注意先确定函数的定义域,二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断,判断的依据是“同增异减”,是中档题.12.【答案】【解析】解:数列{a n}中,,若,则a2=2a1-1=-1=,a3=2a2-1=-1=,a4=2a3=,a6=2a5-1=-1=,…可得数列{a n}为最小正周期为3的数列,则a2017=a672×3+1=a1=,故答案为:.由分段数列的解析式,求得数列的前几项,可得数列{a n}为最小正周期为3的数列,计算可得所求值.本题考查数列的周期和运用,考查运算能力,属于基础题.13.【答案】26-n【解析】解:∵{a n}是各项均正的等比数列,其前n项和为S n,a1=32,,∴=,且q>0,解得q=,∴a n=32×()n-1=26-n.故答案为:26-n.利用等比数列通项公式列出方程,求出q=,由此能求出a n.本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.14.【答案】解:(1)∀x,f(x)=f(-x),即,∵ 对x∈R恒成立,∴.(2)由题意得对x∈R恒成立,∵函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,∴4x+1≥a•2x对x∈R恒成立,即对R恒成立,∵,当且仅当,即x=0时等号成立,∴a≤2,又∵a•2x>0,∴a>0,即a的取值范围是(0,2].【解析】(1)由题意可得:∀x,f(x)=f(-x),化简整理即可得出.(2)由题意得对x∈R恒成立,根据函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,可得4x+1≥a•2x>0对x∈R恒成立,即0<对R恒成立,利用基本不等式的性质即可得出.本题考查了对数函数的单调性、方程与不等式的解法、基本不等式的性质、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.【答案】解:(1)设{a n}公差为d,由题意知:(1+3d)2=(1+d)(1+7d),即d2-d=0,解得d=0(舍)或d=1,∴a n=n.∴ ,两边同除以2n+1得:,又,∴数列{}是以-1为首项,为公差的等差数列,即,∴ .(2)2S n=-2×21-22+……+(n-4)•2n-1+(n-3)•2n-1,作差得:S n=2-(2+22+……+2n-1)+(n-3)•2n=2-+(n-3)•2n=4+(n-4)•2n.【解析】(1)设{a n}公差为d,由题意知:(1+3d)2=(1+d)(1+7d),化简解得d,可得a n.可得,两边同除以2n+1得:,又,利用等差数列的通项公式即可得出.(2)利用错位相减法即可得出.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.【答案】证明:(1)因为a ,b ,c >0,且a +b +c =4,所以( -1)( -1)( -1)=• • ≥ =8, 当且仅当 时等号成立;(2)因为a ,b ,c >0,且a +b +c =4,可令2a +b +c =u ,2b +c +a =v ,2c +a +b =t ,u ,v ,t >0,则u +v +t =16,所以[(2a +b +c )+(2b +c +a )+(2c +a +b )]( + + ),≥3 •3=9, 即有 + + ≥ ,当且仅当 时等号成立.【解析】(1)化简变形不等式的左边,再由二元均值不等式和不等式的性质,可得证明,及等号成立的条件; (2)令2a+b+c=u ,2b+c+a=v ,2c+a+b=t ,u ,v ,t >0,则u+v+t=16,运用三元均值不等式,以及不等式的性质,可得证明,及等号成立的条件.本题考查不等式的证明,注意运用变形和基本不等式,考查运算能力和推理能力,属于中档题. 17.【答案】解:(1)数列{a n }满足 ∈ ,且, , >. 当a 1=2时, 为偶数 为奇数. (2)当a 1=1时,a 2=2,a 3=4,a 4=2,{a n }不单调递增;当a 1=2时,由(1)知{a n }不单调递增;当a 1=3时,a 2=4,a 3=4,a 4=2,{a n }不单调递增;当a 1=4时,a 2=6,a 3=8,a 4=10,当a 1=5时,a 2=8,a 3=12,a 4=18,由此猜测当a 1≥4时,{a n }是单调递增数列.下面用数学归纳法证明一个更强得猜想:当a 1≥4时,a n ≥2n +2,1°当n =1时,猜想成立;2°假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时,猜想成立,即a k ≥2k +2,当n =k +1时,因为a k ≥2k +2>k ,所以a k +1=2(a k -k )≥2(k +2)=2(k +1)+2,即n =k +1时,猜想扔成立.由1°,2°及数学归纳法知,当a1≥4时,a n≥2n+2,此时因为a n>n,所以a n+1=2(a n-n),所以a n+1-a n=a n-2n≥2,由此当当a1≥4时,{a n}是单调递增数列.(3)由(2)知,a1=1,2,3,4时,{a n}不是等比数列.当a1≥4时,a n≥2n+2>2,因此a n+1=2(a n-n),可求出通项公式为,所以不存在a1使得{a n}是等比数列.【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式.(2)利用猜想法进行归纳证明.(3)根据(2)得出结论.本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,数学归纳法的应用.18.【答案】解:(1)2S n=na n+1-2n,当n≥2时,2S n-1=(n-1)a n-2(n-1),两式相减得:2a n=na n+1-(n-1)a n-2,即na n+1=(n+1)a n+2(n≥2),等式两边同除以n(n+1)得:,因为2=2S1=a2-2,所以a2=4,所以,又因为,所以是恒为3的常数列,所以,即a n=3n-2.由于因为a n单调递增,则,>=>=.【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式.(2)利用放缩法求出数列的和.本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,放缩法在数列求和中的应用.。
北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷一、 选择题:本大题共8小题,共40分.1. 设全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}1,4M =,{}1,3,5N =,则()U N C M = ( )A. {}1B. {}3,5C. {}1,3,4,5D. {}1,2,3,5,62. 已知平面直角坐标系内的点()1,1A ,()2,4B ,()1,3C -,则AB AC -=( )A. 8 D.10 3. 已知1sin cos 5αα+=-,,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则tan α的值是( ) A. 34-B. 43C. 34D.43- 4. 已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度5. 已知a 与b 是非零向量且满足()3a b a -⊥ ,()4a b b -⊥,则a 与b 的夹角是( )A.6π B. 3π C. 23π D. 56π 6. 已知,,,E F G H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点,若()()0AB BC BC CD +⋅+=,则四边形EFGH 是( )A.平行四边形但不是矩形 B.正方形 C. 菱形 D.矩形 7. 设偶函数()log a f x x b =-在(),0-∞是递增函数,则()1f a +与()2f b +的大小关系是( )A.()()12f a f b +=+ B.()()12f a f b +<+C.()()12f a f b +>+ D.不确定8. 已知O 为平面内一点,,,A B C 是平面内不共线的三点,且()12OP OB OC =++cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭,()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定过ABC ∆的( ) A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心二、填空题:本大题共6小题,共30分9. 若()3f x x =,则满足()1f x <的x 的取值范围是___________.10. 若函数()234f x x x =-+在[]1,3x ∈-上的最大值和最小值分别为,a b ,则a b +=___11. 已知向量()2,1a = ,()1,2b =- ,若()9,8ma nb +=-,则m n -的值为_________.12. 若tan 3θ=,则222sin sin cos cos θθθθ--=_________.13. 如图,在平行四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点,若BE BA BD λμ=+(),R λμ∈,则________.λμ+=BD14. 已知点O 为三角形ABC 内一点,230OA OB OC ++= ,则ABC AOCSS ∆∆=__________.三、解答题:本大题共5小题,共50分.15. 设全集U R =,集合{}13A x x =-≤<,{}242B x x x =-≥-. (1)求()U C A B ;(2)若集合{}0C x x a =->,满足B C C = ,求实数a 的取值范围.16. 求值:()()()tan150cos 210sin 420sin1050cos 600︒-︒-︒︒-︒17. 已知()1,2a = ,()1,1b =,且a 与a b λ+ 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.18. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >,0ω>,πϕπ-<≤)在6x π=处取得最大值2,其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π. (1)求()f x 的解析式; (2)求函数()4226cos sin 1226x x g x x f π--=⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域.19. 设函数()424xxf x =+ (1)用定义证明:函数()f x 是R 上的增函数; (2)证明:对任意的实数t 都有()()11f t f t +-=; (3)求值:1232015...2016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷参考答案一、 选择题:本大题共8小题,共40分.二、填空题:本大题共6小题,共30分9. (),1-∞ 10.39411. 3- 12. 7513.34 14. 72三、解答题:本大题共5小题,共50分.15. 解:(1)依题意知:集合{}13A x x =-≤<,{}2B x x =≥(解不等式242x x -≥-可得:2x ≥) 故{}23A B x x =≤<又U R = 从而(){}23U C A B x x x ⋂=<≥或(2)易知集合{}{}0C x x a x x a =->=> 由B C C = 可得:B C ⊆ 故有2a <即所求实数a 的取值范围是(),2-∞16. 解:由诱导公式可得:()tan150tan 18030tan 303︒=︒-︒=-︒=-()()cos 210cos 210cos 18030cos30-︒=︒=︒+︒=-︒= ()()sin 420sin 420sin 36060sin 60-︒=-︒=-︒+︒=-︒= ()1sin1050sin 336030sin 302︒=⨯︒-︒=-︒=-()()1cos 600cos 600cos 318060cos 602-︒=︒=⨯︒+︒=-︒=-故原式4111422⎛ ⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭17. 解:根据向量的坐标运算可得:()1,2a b λλλ+=++由a 与a b λ+ 的夹角为锐角可得:()0a a b λ⋅+>而()1,2a =,故有()()1++22+=3+50λλλ>从而可得:53λ>-即所求实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭18. 解:(1)由题意可得:()max 2f x A ==,22T T ππ=⇒= 于是222T ππωπ=== 故()()2sin 2f x x ϕ=+ 由()f x 在6x π=处取得最大值2可得:222626k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+()k Z ∈又πϕπ-<< 故6πϕ=因此()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭(2)由(1)可得:2sin 22sin 2cos 262662x x f x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故()()()4226cos 1cos 12cos 2x x g x x ---=-4226cos cos 24cos 2x x x +-=- ()()()2223cos 22cos 122cos 1x x x +-=-23cos 22x +=23cos 12x =+ 21cos 2x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ 令2cos t x =,可知01t ≤≤且12t ≠ 即211cos 0,,122x ⎡⎫⎛⎤∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦从而()7751,,442g x ⎡⎫⎛⎤∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦因此,函数()g x 的值域为7751,,442⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦19. 解:(1)证明:在定义域R 上任取两个自变量值12,x x 且12x x <()()()()()()()()()122112121212121242442424444242424242424x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++ 由12x x <可得:12440xx-<从而()()120f x f x -< 即()()12f x f x <根据函数单调性的定义可得:函数()f x 在R 上为增函数.(2)证明:因为()()114412424t tt tf t f t --+-=+++ ()()()()1114244242424t t t t tt---+++=++()()112448142444tt tt--++==+++ 故对任意的实数t 都有()()11f t f t +-= (3)由(2)可得:12015120162016f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22014120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32013120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,...... ,20151120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1232015...2016201620162016f f f f M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则2015201420131...2016201620162016f f f f M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭上下等式左右两边分别相加可得:201512M ⨯= 故可得:20152M = 因此,12320152015...20162016201620162f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
2017-2018学年北京市101中学高一(上)期末数学试卷(解析版)

12. 要得到
的图象,只需将函数
的图象至少向右平移 ______个单位.
【答案】
【解析】 解:要得到
的图象,只需将函数
的图象至少向右平移 个单位,
故答案为: .
根据函数 本题主要考查函数
的图象变换规律,得出结论. 的图象变换规律,属于基础题.
13. 函数 【答案】 0 【解析】 解:函数
.
的最小值为 ______ . ,
,
,
,
.
故选: A.
推导出
,由此能求出
.
本题考查向量的数量积的求法,考查向量的数量积公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,
考查化归与转化思想,是基础题.
6. 不等式
的解集是
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 解:不等式
等价于
,
,
,
不等式的解集是
.故选: A.来自根据指数函数的单调性把不等式化为一元二次不等式,再求解即可.
,
, 与 的夹角为 ,
故 x 的取值为: , , 9;
则
,
由于
,
则
,
所以:
,
解得
.
由 的求解方法可得
, , 9,
当
时,由数集 3, , 具有性质 P,
若
与
;
与
;
与
若
与
;
与
;
与
中恰有一组共线,可得 中恰有一组共线,可得
,; ,;
故答案为: .
直接利用向量的数量积和夹角公式求出结果. 本题考查的知识要点:向量的数量积的应用.
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,指数函数的图象特征,属于基础题.
【全国百强校】北京市一零一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

| 2 x 1|, x 2 3 , x≥ 2 ,则函数 g (x)
x1
A. 2
B. 3
【答案】 A
【解析】这种零点问题,两个字:画图(左加右减)
y f ( x) 与 y 1 的交点个数.
故选 A .
f (x) 1 的零点个数为( C. 4 .
). D. 5
8.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (0) 0 , f (x) f (1 x) 1 , f x 5
北京一零一中 2017-2018 学年度第一学期(数学)期中考试
一、选择题(每小题 5 分)
Hale Waihona Puke 1.设全集 U R , M 0,1,2,3 , N 1,0,1 ,则图中阴影部分所表示的集合是(
).
U
M N
A. 1 【答案】 B 【解析】看图,在 故选 B .
B. 1 N 里且不在 M 里.
C. 0
D . 0,1
2
x
2x ,则 f (x) 在 [ 3, 1] 上是(
).
A .增函数,最小值为 1 C.减函数,最小值为 1 【答案】 C
B.增函数,最大值为 1 D.减函数,最小值为 1
【解析】
4.已知函数 f (x) x 1,x ≤ 0 ,则 f (3) 的值等于(
).
f (x 2), x 0
A. 4 【答案】 D 【解析】 f (3)
【答案】 x
1 ,2
2
【解析】 2 x 1 [ 2,3] ,解得 x
1 ,2
.
2
12.函数 f ( x) 【答案】 a (
x2 (2 a 1)x ,0] [1, )
1 的值域为 [0,
4
北京101中学2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷(含精品解析)

北京101中学2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.若sin=,0<<,则cos=()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知利用同角三角函数平方关系即可计算得解.【详解】解:∵sinα,0<α,∴cosα.故选:D.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查恒等变换能力,属于基础题.2.集合M={Z},N={Z},则()A. M NB. N MC. M N=D. M N=R【答案】A【解析】【分析】对k分类讨论,明确集合M,N的范围,即可得到结果.【详解】解:∵k∈Z;∴k=2n或2n+1,n∈Z;∴;又;∴M⊆N.【点睛】本题考查描述法表示集合的方法,集合间的关系及交并运算,属于基础题.3.下列命题中正确的是()A. 共线向量都相等B. 单位向量都相等C. 平行向量不一定是共线向量D. 模为0的向量与任意一个向量平行【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的基本概念,对选项中的命题逐一进行判断即可.【详解】解:对于A,共线向量大小不一定相等,方向不一定相同,A错误;对于B,单位向量的模长相等,但方向不一定相同,B错误;对于C,平行向量一定是共线向量,C错误;对于D,模为0的向量是零向量,它与任意一个向量是平行向量,D正确.故选:D.【点睛】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题,是基础题.4.下列函数为奇函数,且在(-,0)上单调递减的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质逐一进行判断即可.【详解】解:A.f(x)=是偶函数,不满足条件.B.是奇函数,则(﹣∞,0)上是减函数,满足条件.C.f(x)是非奇非偶函数,不满足条件.D.f(x)是非奇非偶函数,不满足条件.故选:B.【点睛】本题主要考查常见函数奇偶性和单调性的判断,考查基本概念的理解,属于基础题.5.已知函数(R,>0)的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】试题分析:由的最小正周期是,得,即,因此它的图象可由的图象向左平移个单位得到.故选A.考点:函数的图象与性质.【名师点睛】三角函数图象变换方法:6.如图所示,函数(且)的图象是()A. B.C. D.【答案】C当时,y=cosxtanx⩾0,排除B,D.当时,y=−cosx tanx<0,排除A.本题选择C选项.7.函数(>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值,则的最小值是()A. 10B. 20C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质可得9T1<10T,即9•1<10•,由此求得ω的最小值.【详解】解:函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值,∴9T1<10T,即9•1<10•,求得ω<20π,故ω的最小值为,故选:C.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质,考查函数的周期性与最值,不等式的解法,属于中档题.8.设偶函数在(-,0)上是增函数,则与的大小关系是()A. B. C. D. 不确定【答案】C【解析】本题考查的是函数的单调性与奇偶性。
2017-2018高一数学上学期期末考试试题及答案

2017-2018学年度第一学期期末考试高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页,满分120分.考试限定用时100分钟.考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回.答卷前,考生务必将自己的姓名、座号、考籍号分别填写在试卷和答题纸规定的位置.第Ⅰ卷(选择题 共48分)参考公式:1.锥体的体积公式1,,.3V Sh S h =其中是锥体的底面积是锥体的高 2.球的表面积公式24S R π=,球的体积公式343R V π=,其中R 为球的半径。
一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{0,1,2,3},{1,3}U A ==,则集合U C A = ( )A .{}0B .{}1,2C .{}0,2D .{}0,1,2 2.空间中,垂直于同一直线的两条直线 ( )A .平行B .相交C .异面D .以上均有可能3.已知幂函数()αx x f =的图象经过点错误!,则()4f 的值等于 ( )A .16B 。
错误!C .2D 。
错误!4。
函数()lg(2)f x x =+的定义域为 ( )A 。
(—2,1)B 。
[-2,1]C 。
()+∞-,2 D. (]1,2- 5.动点P 在直线x+y-4=0上,O 为原点,则|OP |的最小值为 ( )AB .CD .26.设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( )A .若m ∥n ,m ∥α,则n ∥αB .若α⊥β,m ∥α,则m ⊥βC .若α⊥β,m ⊥β,则m ∥αD .若m ⊥n ,m ⊥α, n ⊥β,则α⊥βOOO O1 1117.设()x f 是定义在R 上的奇函数,当0≤x 时,()x x x f -=22,则()1f 等于 ( )A .-3B .-1C .1D .3 8.函数y =2-+212x x⎛⎫⎪⎝⎭的值域是 ( )A .RB .错误!C .(2,+∞)D 。
北京市海淀区101中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

北京市海淀区101中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.不等式102x x +≤-解集是( )A. {}12x x -≤≤B. {}12x x -≤<C. {2x x >或}1x ≤-D. {}2x x <『答案』B『解析』根据题意,102x x +≤-可以变形为(x +1)(x ﹣2)≤0且x ﹣2≠0, 解得﹣1≤x <2,即不等式的解集为{x |﹣1≤x <2}, 故选:B2.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若4104a a +=,则13S =( ) A. 13B. 14C. 26D. 52『答案』C『解析』在等差数列{a n }中,由a 4+a 10=4,得2a 7=4,即a 7=2.∴S 13=()11371313262a a a+⨯==.故选:C.3.在ABC ∆中,若222sin sin sin A B C +<,则ABC ∆的形状是( ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形D. 不能确定『答案』A『解析』因为在ABC ∆中,满足222sin sin sin A B C +<,由正弦定理知sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===,代入上式得222a b c +<, 的又由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<,因为C 是三角形的内角,所以π(,π)2∈C ,所以ABC ∆为钝角三角形,故选A.4.已知直线1l 的方程为3470x y +-=,直线2l 的方程为3410x y ++=,则直线1l 和2l 的距离为( ) A.85B.95C.45D.910『答案』A『解析』∵已知直线l 1的方程为3x +4y ﹣7=0,直线l 2的方程为3x +4y +1=0,则直线l1和l 2的距离为d =85, 故选:A.5.设某直线的斜率为k ,且k ⎛∈ ⎝⎭,则该直线的倾斜角α的取值范围是( )A. π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭ B. π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭C. 50ππ,,36π⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 20ππ,,63π⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭『答案』D『解析』直线l 的斜率为k ,倾斜角为α,若k ,tan α20,,6ππ3πα⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选:D6.对于直线,m n 和平面,αβ,能得出αβ⊥的一组条件是( ) A. m n ⊥,m α,n β B. m n ⊥,m αβ=,n β⊂C. m n ,n β⊥,m α⊂D. m n ,m α⊥,n β⊥『答案』C『解析』A 选项中,根据m n ⊥,m α,n β,得到αβ⊥或αβ∥,所以A 错误;B 选项中,m n ⊥,m αβ=,n β⊂,不一定得到αβ⊥,所以B 错误;C 选项中,因为m n ,n β⊥,所以m β⊥. 又m α⊂,从而得到αβ⊥,所以C 正确;D 选项中,根据m n ,m α⊥,所以n α⊥,而n β⊥,所以得到αβ∥,所以D 错误. 故选:C.7.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,有以下四个命题:①BM ⊥平面ADNE ;②//CN 平面ABFE ;③平面BDM 平面AFN ;④平面BDE ⊥平面NCF .其中正确命题的序号是( )A. ②③B. ①②③C. ②③④D. ①②③④『答案』A『解析』把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD ﹣EFMN ,如图1所示;对于①,平面BCMF ∥平面ADNE ,BM ⊂平面BCMF , ∴BM ∥平面ADNE ,①错误;对于②,平面DCMN ∥平面ABFE ,CN ⊂平面DCMN , ∴CN ∥平面ABFE ,②正确; 对于③,如图2所示,BD ∥FN ,BD ⊄平面AFN ,FN ⊂平面AFN , ∴BD ∥平面AFN ;同理BM ∥平面AFN ,且BD ∩BM =B , ∴平面BDM ∥平面AFN ,③正确;对于④,如图3所示,同③可得平面BDE ∥平面NCF ,④错误. 综上,正确的命题序号是②③.故选:A8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A. 83B.23C. 2D. 4『答案』B『解析』由几何体的三视图得该几何体是三棱锥P﹣ABC,如图是长方体的一部分,由三视图的数据,AB=BC=2,P到底面的距离为1,∴该几何体的体积:V=1122132⨯⨯⨯⨯=23.故选:B.9.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设1AA是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以1AA为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )A. 8B. 12C. 16D. 18『答案』C『解析』根据正六边形的性质,则D1﹣A1ABB1,D1﹣A1AFF1满足题意,而C1,E1,C,D,E,和D1一样,有2×4=8,当A1ACC1为底面矩形,有4个满足题意,当A1AEE1为底面矩形,有4个满足题意,故有8+4+4=16故选:D.10.如图,四棱锥S ABCD-的正方形ABCD,AC与BD的交点为O,SO⊥平面ABCD且SO=E是边BC的中点,动点P在四棱锥表面上运动,并且总保⊥,则动点P的轨迹的周长为( )持PE ACA. B. C. 1+ D. 1+『答案』D『解析』分别取CD、SC的中点F、G,连接EF、FG和EG,如图所示;则EF ∥BD ,EF ⊄平面BDS ,BD ⊂平面BDS ∴EF ∥平面BDS 同理FG ∥平面BDS又EF ∩FG =F ,EF ⊂平面EFG ,FG ⊂平面EFG ,, ∴平面EFG ∥平面BDS ,由AC ⊥BD ,AC ⊥SO ,且AC ∩SO =O , 则AC ⊥平面BDS , ∴AC ⊥平面EFG ,∴点P 在△EFG 的三条边上;又EF =12BD =12=1,FG =EG =12SB =122,∴△EFG 的周长为EF +2FG =故选:D.二、填空题共6小题.11.直线:cos106π-+=l x y 的斜率为________.『答案』2『解析』直线l :x cos6π﹣y +1=0,即为直线l ﹣y +1=0,即为y +1,故『答案』.12.设等比数列{}n a 满足24a =,34128a a =,则6a =________.『答案』64『解析』设公比为q ,∵a 2=4,a 3a 4=128,∴4q ×4q 2=128, ∴q 3=8, ∴q =2,∴a 6=a 2q 4=4×24=64, 故『答案』为:64.13.若0a >,0b >,1a b +=,一定有1144ab ab +≥,()22221144ab ab ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭成立,请将猜想结果填空:1n nn na b a b+≥________. 『答案』144nn +『解析』由a >0,b >0,a +b =1,一定有ab +1ab ≥4+14,(ab )2+(1ab )2≥42+214成立, 可以猜想:1144n n nn n n a b a b +≥+,故『答案』为:144nn +.14.如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中,1BC =,2AB =,3BB '=,M 为AB 的中点,点P 在线段C M '上,点P 到直线BB '的距离的最小值为________.『答案』2『解析』连接MC ,由BB '∥CC ',BB '⊄平面MCC ',CC '⊂平面MCC ',可得BB '∥平面MCC ',由点P 到直线BB '的距离的最小值为异面直线BB '和直线C 'M 的距离, 即有直线BB '和平面MCC '的距离即为异面直线BB '和MC '的距离, 也即B 到平面MCC '的距离, 过B 在底面AC 内作BH ⊥MC , 由CC '⊥底面AC ,可得CC '⊥BH , 即有BH ⊥平面MCC ',由BC =BM =1,且BC ⊥BA ,可得BH =2.故『答案』为:2. 15.已知ABC 中,点()1,1A ,()4,2B ,()4,6C -.则ABC 的面积为________.『答案』10『解析』由两点式的直线BC 的方程为262y --=444x ---,即为x +2y ﹣8=0,由点A 到直线的距离公式得BC 边上的高dBC =∴△ABC 的面积为1210, 故『答案』为:10.16.已知()11,A x y ,()22,B x y 两点,满足:22111x y +=,22221x y +=,121212x x y y +=,+的最大值为________.『解析』设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),OA =(x 1,y 1),OB =(x 2,y 2), 由x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=12, 可得A ,B 两点在圆x 2+y 2=1上, 且OA OB ⋅=1×1×cos ∠AOB =12, 即有∠AOB =60°,即三角形OAB 为等边三角形,AB =1,的几何意义为点A ,B 两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和,显然A ,B 在第三象限,AB 所在直线与直线x +y =1平行, 可设AB :x +y +t =0,(t >0), 由圆心O 到直线AB 的距离d, 可得1,解得t=2,1+,+故『答案』三、解答题共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.等比数列{}n a 中,22a =,748a a =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m . 解:(1)∵等比数列{a n }中,a 2=2,a 7=8a 4. ∴2×q 5=8×(2×q 2), 解得q =2,当q =2时,a n =2n ﹣1,∴{a n }的通项公式为,a n =2n ﹣1,(2)记S n 为{a n }的前n 项和,a 2=2,q =2, 则a 1=1,则S n =1212n--=2n ﹣1,由S m =63,得S m =2m ﹣1=63,m ∈N , 解得m =6.18.设ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且cos 45B =,3b =. (1)当6A π∠=时,求a 的值;(2)当ABC ∆的面积为3时,求a c +的值. 解:(1)∵cos 45B =,∴3sin 5B =, 由正弦定理可知:sin sin a bA B=, ∵A =30°,∴sin A =sin30°=12, ∴sin 5sin 2b A a B ==; (2)∵1sin 2ABC S ac B =△,△ABC 的面积为3, ∴3310ac =,∴ac =10, 由余弦定理得:b 2=a 2+c 2﹣2ac cos B ,∴222249210165a c a c =+-⨯⨯=+-,即a 2+c 2=25, 则(a +c )2=a 2+c 2+2ac =25+20=45,故a c +=19.如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAC ⊥平面ABCD ,且PA AC ⊥,2PA AD ==.四边形ABCD 满足//BC AD ,AB AD ⊥,1AB BC ==.E 为侧棱PB 的中点,F 为侧棱PC 上的任意一点.(1)若F 为PC 的中点,求证://EF 平面P AD ;(2)求证:平面AFD ⊥平面P AB ;(3)是否存在点F ,使得直线AF 与平面PCD 垂直?若存在,写出证明过程并求出线段PF 的长;若不存在,请说明理由.解:(1)因为E ,F 分别为侧棱PB ,PC 的中点,所以//EF BC ,因为//BC AD ,所以//EF AD ,而EF ⊄平面P AD ,AD ⊂平面P AD ,所以//EF 平面P AD ;(2)因为平面ABCD ⊥平面P AC ,平面ABCD平面PAC AC =, 且PA AC ⊥,PA ⊂平面P AC ,所以PA ⊥平面ABCD ,又AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥.又因为AB AD ⊥,PA AB A =,所以AD ⊥平面P AB ,而AD ⊂平面AFD ,所以平面AFD ⊥平面P AB ;(3)在棱PC 上显然存在点F 使得AF PC ⊥.由已知,AB AD ⊥,//BC AD ,1AB BC ==,2AD =.由平面几何知识可得CD AC ⊥.由(2)知,PA ⊥平面ABCD ,所以PA CD ⊥,因为PA AC A =,所以CD ⊥平面P AC .而AF ⊂平面P AC ,所以CD AF ⊥.又因为CD PC C =,所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中,2PA =,AC =90PAC ∠=︒,可求得,PC =PF =可见直线AF 与平面PCD 能够垂直,此时线段PF 的长为3. 20.如图,Rt OAB ∆的直角边OA 在x 轴上,顶点B 的坐标为()6,8,直线CD 交AB 于点()6,3D ,交x 轴于点()12,0C .(1)求直线CD 的方程;(2)动点P 在x 轴上从点()10,0-出发,以每秒1个单位的速度向x 轴正方向运动,过点P 作直线l 垂直于x 轴,设运动时间为t .①点P 在运动过程中,是否存在某个位置,使得PDA B ∠=∠?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;②请探索当t 为何值时,在直线l 上存在点M ,在直线CD 上存在点Q ,使得以OB 为一边,O ,B ,M ,Q 为顶点的四边形为菱形,并求出此时t 的值.解:(1)直线CD 过点C (12,0),D (6,3),直线方程为030y --=12612x --, 化为一般形式是x +2y ﹣12=0;(2)①如图1中,作DP ∥OB ,则∠PDA =∠B ,由DP ∥OB 得,PA AO =AD AB ,即6PA =38,∴P A =94;∴OP=6﹣94=154,∴点P(154,0);根据对称性知,当AP=AP′时,P′(334,0),∴满足条件的点P坐标为(154,0)或(334,0);②如图2中,当OP=OB=10时,作PQ∥OB交CD于Q,则直线OB的『解析』式为y=43 x,直线PQ的『解析』式为y=43x+403,由440332120y xx y⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩,解得48xy=-⎧⎨=⎩,∴Q(﹣4,8);∴PQ10,∴PQ=OB,∴四边形OPQB是平行四边形,又OP=OB,∴平行四边形OPQB是菱形;此时点M与点P重合,且t=0;如图3,当OQ=OB时,设Q(m,﹣12m+6),则有m2+2162m⎛⎫-+⎪⎝⎭=102,解得m;∴点Q;设M的横坐标为a,则62a+=652+或62a+=652+,解得a或a;又点P是从点(﹣10,0)开始运动,则满足条件的t ; 如图4,当Q 点与C 点重合时,M 点的横坐标为6,此时t =16;综上,满足条件的t 值为0,或16,或925+或925-.。
2017-2018学年北京市十一学校高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市十一学校高一(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共13小题,共52.0分)1.有下列命题:①函数的图象与y=|x2-1|的图象恰有3个公共点;②函数y=3x-x5-1有3个零点;③若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(x+1)与y=g(x-1)的图象也关于直线y=x对称;④函数f(|x|-1)的图象是由函数f(x)的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到的.其中错误的命题有______.(填写所有错误的命题的序号)2.已知下列四个命题:①等差数列一定是单调数列;②等差数列的前n项和构成的数列一定不是单调数列;③已知等比数列{a n}的公比为q,则“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0<q<1”;④记等差数列的前n项和为S n,若S2k>0,S2k+1<0,则数列S n的最大值一定在n=k处达到.其中正确的命题有______.(填写所有正确的命题的序号)3.已知{a n}是等差数列,a4+a7+a10=15,则其前13项和S13=______.4.已知a=3π,b=eπ,c=e3,则a,b,c按从小到大的顺序排序为______.5.已知函数f(x)=(2m2+m)x m是定义在[0,+∞)上的幂函数,则f(4x+5)≥x的解集为______.6.已知下列四个命题:①若a>b,c>d,则>;②若a>b且<,则a,b同号;③“x>0,y>z”是“xy>xz”的充要条件;④“xy>0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件.其中正确的命题是______.(填写所有正确的命题的序号)7.贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①n次传球之后,共有______种可能的传球方法;②n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有______种.8.已知函数f(x)是偶函数,且对任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,当0≤x≤1时,f(x)=x2-1,则g(x)=f(x)-log7|x|有______个零点.9.的最小值为______.10.已知实数a,b,c满足a+b+c=3,a2+2b2+2c2=6,则c的取值范围是______.11.函数f(x)=ln(-x2-x+2)的单调增区间是______.12.已知数列{a n}中,,若,则a2017=______.13.已知{a n}是各项均正的等比数列,其前n项和为S n,a1=32,,则a n=______.二、解答题(本大题共5小题,共48.0分)14.已知是偶函数.(1)求m的值;(2)已知不等式对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.15.已知{a n}是公差不为0的等差数列,且a1=1,a2,a4,a8成等比数列,数列{b n}满足b1=-2,.(1)求数列{a n}和{b n}通项公式;(2)求数列{b n}前n项和S n.16.已知a,b,c均为正数,且a+b+c=4,求证下列不等式,并说明等号成立条件.(1);(2).17.已知数列{a n}满足∈,且,,>.(1)当a1=2时,写出{a n}的通项公式(直接写出答案,无需过程);(2)求最小整数m,使得当a1≥m时,{a n}是单调递增数列;(3)是否存在a1使得{a n}是等比数列?若存在请求出;若不存在请说明理由.18.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=1,2S n=na n+1-2n.设.(1)求{a n}的通项公式(2)猜测b n与的大小关系并证明.答案和解析1.【答案】①③【解析】解:①分别画出函数的图象与y=|x2-1|的图象,可得x>1和x<-1时,各有一个交点;当-1<x<1时,y=1-x2和y=1+0.1x,联立可得x2+0.1x=0,即x=0或x=-0.1,则有两个交点;函数的图象与y=|x2-1|的图象共有4个公共点;②函数y=f(x)=3x-x5-1,由f(0)=0,可得x=0为零点;由f(-1)>0,f(-)=+-1<0,且f(x)在(-1,-)递减,可得f(x)在(-1,-)有一个零点;由f(1)=1>0,f(2)=9-32-1<0,且f(x)在(1,2)递减,可得f(x)在(1,2)有一个零点;则函数y有3个零点;③若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,可取f(x)=x3,g(x)=x,则函数y=f(x+1)=(x+1)3的反函数为y=x-1,而g(x)=(x-1),不互为反函数,函数y=f(x+1)与y=g(x-1)的图象不关于直线y=x对称;④函数f(|x|-1)的图象是由函数f(x)的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到.综上可得①③错误;②④正确.故答案为:①③.分别画出函数的图象与y=|x2-1|的图象,即可判断①;运用函数的零点存在定理,即可判断②;由互为反函数的图象特点,举例即可判断③;运用函数图象平移变换和对称变换,即可判断④.本题考查函数的图象的交点和函数的零点个数问题、图象对称性和平移变换,考查数形结合思想方法,属于基础题.2.【答案】④【解析】解:对于①,等差数列不一定是单调数列,也可以是常数列,①错误;对于②,等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列,如非零常数列是等差数列,其前n项和是等差数列,∴②错误;对于③,等比数列{a n}的公比为q,a1>0时,“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0<q<1”;a1<0时显然不成立,③错误;对于④,等差数列{a n}中,前n项和为S n,且S2k>0,S2k+1<0,即>0,<0,∴a1+a2k>0,a1+a2k+1<0.由等差数列{a n}的性质可得:a1+a2k=a k+a k+1,a1+a2k+1=2a k+1;∴a k+a k+1>0,a k+1<0,∴a k>0,a k+1<0,∴d<0,则当n≥k+1时,a n<0;因此S1,S2,…,S2k中数值最大的是S k,则数列S n的最大值在n=k处取得,④正确.综上,正确的命题序号是④.故答案为:④.①,等差数列不一定是单调数列;②,等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列;③,等比数列{a n}的公比为q,分a1>0和a1<0时是否成立即可;④,利用等差数列的前n项和定义与等差数列项的性质,判断即可.本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题,是综合题.3.【答案】65【解析】解:{a n}是等差数列,a4+a7+a10=15,∴3a7=15,∴a7=5,∴S13=a7×13=65故答案为:65根据等差数列的性质,以及数列前n项和的公式即可求解.本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用,属于基础试题.4.【答案】c<b<a【解析】解:由y=e x是增函数,得b=eπ>c=e3,由y=xπ是增函数,得a=3π>b=eπ,故c<b<a,故答案为:c<b<a.根据指数函数以及幂函数的单调性判断即可.本题考查了函数的单调性问题,考查函数值的大小比较,是一道基础题.5.【答案】,【解析】解:由题意得:2m2+m=1,解得:m=-1(舍)或m=,故f(x)=在[0,+∞)递增,f(4x+5)≥x,即≥x,故或,解得:-≤x≤5,故答案为:.求出m的值,求出f(x)的解析式,关于x的不等式组,解出即可.本题考查了幂函数的定义,解不等式问题,是一道常规题.6.【答案】②【解析】解:①若a>b,c>d,则不正确,比如a=2,b=1,c=-1,d=-2,可得=;②若a>b且,则a,b同号正确,由于-=<0,由a-b>0,可得ab>0,即ab同号;③“x>0,y>z”是“xy>xz”的充要条件不正确,应为充分不必要条件,由x>0,y>z可得xy>xz,反之不成立;④“xy>0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件不正确,应为充分不必要条件,由xy>0,可得|x|+|y|=|x+y|,反之不成立.故答案为:②.举a=2,b=1,c=-1,d=-2,可判断①;运用不等式性质化简可得ab>0,可判断②;运用充分必要条件的定义,可判断③,④.本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断,考查运算能力和推理能力,属于基础题.7.【答案】2n;【解析】解:每次传球都有两种方法,所以n次传球之后,共有2n种可能的传球方法,设n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有a n种,则有2a n+2a n-1=2n,(n≥2),即-=-(-),(n≥2),∴-=(-)n(-),(n≥2),∵a1=0,∴a n=,故答案为:2n;每次传球都有两种方法,所以n次传球之后,共有2n种可能的传球方法,设n 次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有a n种,则有2a n+2a n-1=2n,(根据数列的递推公式即可求出通项公式)本题考查了数列的递推公式,考查了转化能力,属于中档题8.【答案】4【解析】解:对任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,故函数f(x)的对称中心是(1,0),令g(x)=f(x)-log7|x|=0,得f(x)=log7|x|,函数g(x)的零点个数即函数f(x)和y=log7|x|的交点个数,由函数f(x)是偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2-1,画出函数f(x)和函数y=log7|x|的图象,如图示:,结合图象,函数f(x)和函数y=log7|x|的图象有4个交点,故函数g(x)有4个零点,故答案为:4.根据函数的对称性以及函数的奇偶性画出函数的图象,结合图象求出函数的零点个数即可.本题考查了函数的零点问题,考查函数的奇偶性,对称性以及数形结合思想,转化思想,是一道中档题.9.【答案】【解析】解:由设=t,t≥则x2=t2-2.那么f(x)转化为g(t)=根据勾勾函数的性质,可得“当t=”时,g(t)取得最小值为:.故答案为:.利用换元法,结合勾勾函数的性质即可求解.本题考查了函数的最值的求法,利用到了勾勾函数的性质.属于基础题.10.【答案】,【解析】解:由a+b+c=3得,a+b=3-c,由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6-2c2,由柯西不等式可得≥(a+b)2=(3-c)2,即9-3c2≥(3-c)2,化简得2c2-3c≤0,解得,因此,c的取值范围为,故答案为:.a+b+c=3得,a+b=3-c,由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6-2c2,利用柯西不等式得9-3c2≥(3-c)2,解出c的范围即可.本题考查利用柯西不等式求参数的取值范围,对等式进行合理变形与配凑,是解本题的关键,属于中等题.11.【答案】,【解析】解:由-x2-x+2>0,得x2+x-2<0,解得-2<x<1.函数t=-x2-x+2在上为增函数,而外层函数y=lnt为定义域上的增函数,∴函数f(x)=ln(-x2-x+2)的单调增区间是.故答案为:.先求出函数的定义域,然后利用复合函数的单调性确定函数f(x)的单调递增区间.本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性,一要注意先确定函数的定义域,二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断,判断的依据是“同增异减”,是中档题.12.【答案】【解析】解:数列{a n}中,,若,则a2=2a1-1=-1=,a3=2a2-1=-1=,a4=2a3=,a6=2a5-1=-1=,…可得数列{a n}为最小正周期为3的数列,则a2017=a672×3+1=a1=,故答案为:.由分段数列的解析式,求得数列的前几项,可得数列{a n}为最小正周期为3的数列,计算可得所求值.本题考查数列的周期和运用,考查运算能力,属于基础题.13.【答案】26-n【解析】解:∵{a n}是各项均正的等比数列,其前n项和为S n,a1=32,,∴=,且q>0,解得q=,∴a n=32×()n-1=26-n.故答案为:26-n.利用等比数列通项公式列出方程,求出q=,由此能求出a n.本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.14.【答案】解:(1)∀x,f(x)=f(-x),即,∵ 对x∈R恒成立,∴.(2)由题意得对x∈R恒成立,∵函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,∴4x+1≥a•2x对x∈R恒成立,即对R恒成立,∵,当且仅当,即x=0时等号成立,∴a≤2,又∵a•2x>0,∴a>0,即a的取值范围是(0,2].【解析】(1)由题意可得:∀x,f(x)=f(-x),化简整理即可得出.(2)由题意得对x∈R恒成立,根据函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,可得4x+1≥a•2x>0对x∈R恒成立,即0<对R恒成立,利用基本不等式的性质即可得出.本题考查了对数函数的单调性、方程与不等式的解法、基本不等式的性质、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.【答案】解:(1)设{a n}公差为d,由题意知:(1+3d)2=(1+d)(1+7d),即d2-d=0,解得d=0(舍)或d=1,∴a n=n.∴ ,两边同除以2n+1得:,又,∴数列{}是以-1为首项,为公差的等差数列,即,∴ .(2)2S n=-2×21-22+……+(n-4)•2n-1+(n-3)•2n-1,作差得:S n=2-(2+22+……+2n-1)+(n-3)•2n=2-+(n-3)•2n=4+(n-4)•2n.【解析】(1)设{a n}公差为d,由题意知:(1+3d)2=(1+d)(1+7d),化简解得d,可得a n.可得,两边同除以2n+1得:,又,利用等差数列的通项公式即可得出.(2)利用错位相减法即可得出.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.【答案】证明:(1)因为a,b,c>0,且a+b+c=4,所以(-1)(-1)(-1)=••≥=8,当且仅当时等号成立;(2)因为a,b,c>0,且a+b+c=4,可令2a+b+c=u,2b+c+a=v,2c+a+b=t,u,v,t>0,则u+v+t=16,所以[(2a+b+c)+(2b+c+a)+(2c+a+b)](++),≥3•3=9,即有++≥,当且仅当 时等号成立.【解析】(1)化简变形不等式的左边,再由二元均值不等式和不等式的性质,可得证明,及等号成立的条件;(2)令2a+b+c=u ,2b+c+a=v ,2c+a+b=t ,u ,v ,t >0,则u+v+t=16,运用三元均值不等式,以及不等式的性质,可得证明,及等号成立的条件.本题考查不等式的证明,注意运用变形和基本不等式,考查运算能力和推理能力,属于中档题.17.【答案】解:(1)数列{a n }满足 ∈ ,且, , >. 当a 1=2时, 为偶数 为奇数. (2)当a 1=1时,a 2=2,a 3=4,a 4=2,{a n }不单调递增;当a 1=2时,由(1)知{a n }不单调递增;当a 1=3时,a 2=4,a 3=4,a 4=2,{a n }不单调递增;当a 1=4时,a 2=6,a 3=8,a 4=10,当a 1=5时,a 2=8,a 3=12,a 4=18,由此猜测当a 1≥4时,{a n }是单调递增数列.下面用数学归纳法证明一个更强得猜想:当a 1≥4时,a n ≥2n +2,1°当n =1时,猜想成立;2°假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时,猜想成立,即a k ≥2k +2,当n =k +1时,因为a k ≥2k +2>k ,所以a k +1=2(a k -k )≥2(k +2)=2(k +1)+2,即n =k +1时,猜想扔成立.由1°,2°及数学归纳法知,当a 1≥4时,a n ≥2n +2,此时因为a n >n ,所以a n +1=2(a n -n ),所以a n +1-a n =a n -2n ≥2,由此当当a 1≥4时,{a n }是单调递增数列.(3)由(2)知,a 1=1,2,3,4时,{a n }不是等比数列.当a 1≥4时,a n ≥2n +2>2,因此a n +1=2(a n -n ),可求出通项公式为 ,所以不存在a 1使得{a n }是等比数列.【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式.(2)利用猜想法进行归纳证明.(3)根据(2)得出结论.本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,数学归纳法的应用.18.【答案】解:(1)2S n=na n+1-2n,当n≥2时,2S n-1=(n-1)a n-2(n-1),两式相减得:2a n=na n+1-(n-1)a n-2,即na n+1=(n+1)a n+2(n≥2),等式两边同除以n(n+1)得:,因为2=2S1=a2-2,所以a2=4,所以,又因为,所以是恒为3的常数列,所以,即a n=3n-2.由于因为a n单调递增,则,>=>=.【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式.(2)利用放缩法求出数列的和.本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,放缩法在数列求和中的应用.。
2017-2018学年北京市十一学校高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市十一学校高一(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共13小题,共52.0分)1.有下列命题:①函数的图象与y=|x2-1|的图象恰有3个公共点;②函数y=3x-x5-1有3个零点;③若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(x+1)与y=g(x-1)的图象也关于直线y=x对称;④函数f(|x|-1)的图象是由函数f(x)的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到的.其中错误的命题有______.(填写所有错误的命题的序号)2.已知下列四个命题:①等差数列一定是单调数列;②等差数列的前n项和构成的数列一定不是单调数列;③已知等比数列{a n}的公比为q,则“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0<q<1”;④记等差数列的前n项和为S n,若S2k>0,S2k+1<0,则数列S n的最大值一定在n=k处达到.其中正确的命题有______.(填写所有正确的命题的序号)3.已知{a n}是等差数列,a4+a7+a10=15,则其前13项和S13=______.4.已知a=3π,b=eπ,c=e3,则a,b,c按从小到大的顺序排序为______.5.已知函数f(x)=(2m2+m)x m是定义在[0,+∞)上的幂函数,则f(4x+5)≥x的解集为______.6.已知下列四个命题:①若a>b,c>d,则>;②若a>b且<,则a,b同号;③“x>0,y>z”是“xy>xz”的充要条件;④“xy>0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件.其中正确的命题是______.(填写所有正确的命题的序号)7.贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①n次传球之后,共有______种可能的传球方法;②n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有______种.8.已知函数f(x)是偶函数,且对任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,当0≤x≤1时,f(x)=x2-1,则g(x)=f(x)-log7|x|有______个零点.9.的最小值为______.10.已知实数a,b,c满足a+b+c=3,a2+2b2+2c2=6,则c的取值范围是______.11.函数f(x)=ln(-x2-x+2)的单调增区间是______.12.已知数列{a n}中,,若,则a2017=______.13.已知{a n}是各项均正的等比数列,其前n项和为S n,a1=32,,则a n=______.二、解答题(本大题共5小题,共48.0分)14.已知是偶函数.(1)求m的值;(2)已知不等式对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.15.已知{a n}是公差不为0的等差数列,且a1=1,a2,a4,a8成等比数列,数列{b n}满足b1=-2,.(1)求数列{a n}和{b n}通项公式;(2)求数列{b n}前n项和S n.16.已知a,b,c均为正数,且a+b+c=4,求证下列不等式,并说明等号成立条件.(1);(2).17.已知数列{a n}满足∈,且,,>.(1)当a1=2时,写出{a n}的通项公式(直接写出答案,无需过程);(2)求最小整数m,使得当a1≥m时,{a n}是单调递增数列;(3)是否存在a1使得{a n}是等比数列?若存在请求出;若不存在请说明理由.18.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=1,2S n=na n+1-2n.设.(1)求{a n}的通项公式(2)猜测b n与的大小关系并证明.答案和解析1.【答案】①③【解析】解:①分别画出函数的图象与y=|x2-1|的图象,可得x>1和x<-1时,各有一个交点;当-1<x<1时,y=1-x2和y=1+0.1x,联立可得x2+0.1x=0,即x=0或x=-0.1,则有两个交点;函数的图象与y=|x2-1|的图象共有4个公共点;②函数y=f(x)=3x-x5-1,由f(0)=0,可得x=0为零点;由f(-1)>0,f(-)=+-1<0,且f(x)在(-1,-)递减,可得f(x)在(-1,-)有一个零点;由f(1)=1>0,f(2)=9-32-1<0,且f(x)在(1,2)递减,可得f(x)在(1,2)有一个零点;则函数y有3个零点;③若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,可取f(x)=x3,g(x)=x,则函数y=f(x+1)=(x+1)3的反函数为y=x-1,而g(x)=(x-1),不互为反函数,函数y=f(x+1)与y=g(x-1)的图象不关于直线y=x对称;④函数f(|x|-1)的图象是由函数f(x)的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到.综上可得①③错误;②④正确.故答案为:①③.分别画出函数的图象与y=|x2-1|的图象,即可判断①;运用函数的零点存在定理,即可判断②;由互为反函数的图象特点,举例即可判断③;运用函数图象平移变换和对称变换,即可判断④.本题考查函数的图象的交点和函数的零点个数问题、图象对称性和平移变换,考查数形结合思想方法,属于基础题.2.【答案】④【解析】解:对于①,等差数列不一定是单调数列,也可以是常数列,①错误;对于②,等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列,如非零常数列是等差数列,其前n项和是等差数列,∴②错误;对于③,等比数列{a n}的公比为q,a1>0时,“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0<q<1”;a1<0时显然不成立,③错误;对于④,等差数列{a n}中,前n项和为S n,且S2k>0,S2k+1<0,即>0,<0,∴a1+a2k>0,a1+a2k+1<0.由等差数列{a n}的性质可得:a1+a2k=a k+a k+1,a1+a2k+1=2a k+1;∴a k+a k+1>0,a k+1<0,∴a k>0,a k+1<0,∴d<0,则当n≥k+1时,a n<0;因此S1,S2,…,S2k中数值最大的是S k,则数列S n的最大值在n=k处取得,④正确.综上,正确的命题序号是④.故答案为:④.①,等差数列不一定是单调数列;②,等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列;③,等比数列{a n}的公比为q,分a1>0和a1<0时是否成立即可;④,利用等差数列的前n项和定义与等差数列项的性质,判断即可.本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题,是综合题.3.【答案】65【解析】解:{a n}是等差数列,a4+a7+a10=15,∴3a7=15,∴a7=5,∴S13=a7×13=65故答案为:65根据等差数列的性质,以及数列前n项和的公式即可求解.本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用,属于基础试题.4.【答案】c<b<a【解析】解:由y=e x是增函数,得b=eπ>c=e3,由y=xπ是增函数,得a=3π>b=eπ,故c<b<a,故答案为:c<b<a.根据指数函数以及幂函数的单调性判断即可.本题考查了函数的单调性问题,考查函数值的大小比较,是一道基础题.5.【答案】,【解析】解:由题意得:2m2+m=1,解得:m=-1(舍)或m=,故f(x)=在[0,+∞)递增,f(4x+5)≥x,即≥x,故或,,解得:-≤x≤5故答案为:.求出m的值,求出f(x)的解析式,关于x的不等式组,解出即可.本题考查了幂函数的定义,解不等式问题,是一道常规题.6.【答案】②【解析】解:①若a>b,c>d,则不正确,比如a=2,b=1,c=-1,d=-2,可得=;②若a>b且,则a,b同号正确,由于-=<0,由a-b>0,可得ab>0,即ab同号;③“x>0,y>z”是“xy>xz”的充要条件不正确,应为充分不必要条件,由x>0,y>z可得xy>xz,反之不成立;的充要条件不正确,应为充分不必要条件,④“xy>0”是“|x|+|y|=|x+y|”由xy>0,可得|x|+|y|=|x+y|,反之不成立.故答案为:②.举a=2,b=1,c=-1,d=-2,可判断①;运用不等式性质化简可得ab>0,可判断②;运用充分必要条件的定义,可判断③,④.本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断,考查运算能力和推理能力,属于基础题.7.【答案】2n;【解析】解:每次传球都有两种方法,所以n次传球之后,共有2n种可能的传球方法,设n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有a n种,则有2a n+2a n-1=2n,(n≥2),n≥2),即-=-(-),(n≥2),∴-=(-)n(-),(∵a1=0,∴a n=,故答案为:2n;每次传球都有两种方法,所以n次传球之后,共有2n种可能的传球方法,设n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有a n种,则有2a n+2a n-1=2n,(根据数列的递推公式即可求出通项公式)本题考查了数列的递推公式,考查了转化能力,属于中档题8.【答案】 4【解析】解:对任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,故函数f(x)的对称中心是(1,0),令g(x)=f(x)-log7|x|=0,得f(x)=log7|x|,函数g(x)的零点个数即函数f(x)和y=log7|x|的交点个数,由函数f(x)是偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2-1,画出函数f(x)和函数y=log7|x|的图象,如图示:,结合图象,函数f(x)和函数y=log7|x|的图象有4个交点,故函数g(x)有4个零点,故答案为:4.根据函数的对称性以及函数的奇偶性画出函数的图象,结合图象求出函数的零点个数即可.本题考查了函数的零点问题,考查函数的奇偶性,对称性以及数形结合思想,转化思想,是一道中档题.9.【答案】【解析】解:由设=t,t≥则x2=t2-2.那么f(x)转化为g(t)=根据勾勾函数的性质,可得“当t=”时,g(t)取得最小值为:.故答案为:.利用换元法,结合勾勾函数的性质即可求解.本题考查了函数的最值的求法,利用到了勾勾函数的性质.属于基础题.10.【答案】,【解析】解:由a+b+c=3得,a+b=3-c,由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6-2c2,由柯西不等式可得≥(a+b)2=(3-c)2,即9-3c2≥(3-c)2,化简得2c2-3c≤0,解得,因此,c的取值范围为,故答案为:.a+b+c=3得,a+b=3-c,由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6-2c2,利用柯西不等式得9-3c2≥(3-c)2,解出c的范围即可.本题考查利用柯西不等式求参数的取值范围,对等式进行合理变形与配凑,是解本题的关键,属于中等题.11.【答案】,【解析】解:由-x2-x+2>0,得x2+x-2<0,解得-2<x<1.函数t=-x2-x+2在上为增函数,而外层函数y=lnt为定义域上的增函数,∴函数f(x)=ln(-x2-x+2)的单调增区间是.故答案为:.先求出函数的定义域,然后利用复合函数的单调性确定函数f(x)的单调递增区间.本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性,一要注意先确定函数的定义域,二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断,判断的依据是“同增异减”,是中档题.12.【答案】【解析】解:数列{a n}中,,若,则a2=2a1-1=-1=,a3=2a2-1=-1=,a4=2a3=,a6=2a5-1=-1=,…可得数列{a n}为最小正周期为3的数列,则a2017=a672×3+1=a1=,故答案为:.由分段数列的解析式,求得数列的前几项,可得数列{a n}为最小正周期为3的数列,计算可得所求值.本题考查数列的周期和运用,考查运算能力,属于基础题.13.【答案】26-n【解析】解:∵{a n}是各项均正的等比数列,其前n项和为S n,a1=32,,∴=,且q>0,解得q=,∴a n=32×()n-1=26-n.故答案为:26-n.利用等比数列通项公式列出方程,求出q=,由此能求出a n.本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.14.【答案】解:(1)?x,f(x)=f(-x),即,∵对x∈R恒成立,∴.(2)由题意得对x∈R恒成立,∵函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,∴4x+1≥a?2x对x∈R恒成立,即对R恒成立,∵,当且仅当,即x=0时等号成立,∴a≤2,又∵a?2x>0,∴a>0,即a的取值范围是(0,2].【解析】(1)由题意可得:?x,f(x)=f(-x),化简整理即可得出.(2)由题意得对x∈R恒成立,根据函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,可得4x+1≥a?2x>0对x∈R恒成立,即0<对R恒成立,利用基本不等式的性质即可得出.本题考查了对数函数的单调性、方程与不等式的解法、基本不等式的性质、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.【答案】解:(1)设{a n}公差为d,由题意知:(1+3d)2=(1+d)(1+7d),即d2-d=0,解得d=0(舍)或d=1,∴a n=n.∴ ,两边同除以2n+1得:,又,∴数列{}是以-1为首项,为公差的等差数列,即,∴ .(2)2S n=-2×21-22+……+(n-4)?2n-1+(n-3)?2n-1,作差得:S n=2-(2+22+……+2n-1)+(n-3)?2n=2-+(n-3)?2n=4+(n-4)?2n.【解析】(1)设{a n}公差为d,由题意知:(1+3d)2=(1+d)(1+7d),化简解得d,可得a n.可得,两边同除以2n+1得:,又,利用等差数列的通项公式即可得出.(2)利用错位相减法即可得出.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.【答案】证明:(1)因为a,b,c>0,且a+b+c=4,所以(-1)(-1)(-1)=??≥=8,当且仅当时等号成立;(2)因为a,b,c>0,且a+b+c=4,可令2a+b+c=u,2b+c+a=v,2c+a+b=t,u,v,t>0,则u+v+t=16,所以[(2a+b+c)+(2b+c+a)+(2c+a+b)](++),≥3?3=9,即有++≥,当且仅当时等号成立.【解析】(1)化简变形不等式的左边,再由二元均值不等式和不等式的性质,可得证明,及等号成立的条件;(2)令2a+b+c=u,2b+c+a=v,2c+a+b=t,u,v,t>0,则u+v+t=16,运用三元均值不等式,以及不等式的性质,可得证明,及等号成立的条件.本题考查不等式的证明,注意运用变形和基本不等式,考查运算能力和推理能力,属于中档题.17.【答案】解:(1)数列{a n }满足∈,且,,>.当a 1=2时,为偶数为奇数.(2)当a 1=1时,a 2=2,a 3=4,a 4=2,{a n }不单调递增;当a 1=2时,由(1)知{a n }不单调递增;当a 1=3时,a 2=4,a 3=4,a 4=2,{a n }不单调递增;当a 1=4时,a 2=6,a 3=8,a 4=10,当a 1=5时,a 2=8,a 3=12,a 4=18,由此猜测当a 1≥4时,{a n }是单调递增数列.下面用数学归纳法证明一个更强得猜想:当a 1≥4时,a n ≥2n+2,1°当n=1时,猜想成立;2°假设当n=k (k ≥1,k ∈N *)时,猜想成立,即a k ≥2k+2,当n=k+1时,因为a k ≥2k+2>k ,所以a k+1=2(a k -k )≥2(k+2)=2(k+1)+2,即n=k+1时,猜想扔成立.由1°,2°及数学归纳法知,当a 1≥4时,a n ≥2n+2,此时因为a n >n ,所以a n+1=2(a n -n ),所以a n+1-a n =a n -2n ≥2,由此当当a 1≥4时,{a n }是单调递增数列.(3)由(2)知,a 1=1,2,3,4时,{a n }不是等比数列.当a 1≥4时,a n ≥2n+2>2,因此a n +1=2(a n -n ),可求出通项公式为,所以不存在a 1使得{a n }是等比数列.【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式.(2)利用猜想法进行归纳证明.(3)根据(2)得出结论.本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,数学归纳法的应用.18.【答案】解:(1)2S n=na n+1-2n,当n≥2时,2S n-1=(n-1)a n-2(n-1),两式相减得:2a n=na n+1-(n-1)a n-2,即na n+1=(n+1)a n+2(n≥2),等式两边同除以n(n+1)得:,因为2=2S1=a2-2,所以a2=4,所以,又因为,所以是恒为3的常数列,所以,即a n=3n-2.由于因为a n单调递增,则,>=>=.【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式.(2)利用放缩法求出数列的和.本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,放缩法在数列求和中的应用.。
北京101中学2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷(解析版)

北京101中学2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.若sin=,0<<,则cos=()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知利用同角三角函数平方关系即可计算得解.【详解】解:∵sinα,0<α,∴cosα.故选:D.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查恒等变换能力,属于基础题.2.集合M={Z},N={Z},则()A. M NB. N MC. M N=D. M N=R【答案】A【解析】【分析】对k分类讨论,明确集合M,N的范围,即可得到结果.【详解】解:∵k∈Z;∴k=2n或2n+1,n∈Z;∴;又;∴M⊆N.故选:A.【点睛】本题考查描述法表示集合的方法,集合间的关系及交并运算,属于基础题.3.下列命题中正确的是()A. 共线向量都相等B. 单位向量都相等C. 平行向量不一定是共线向量D. 模为0的向量与任意一个向量平行【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的基本概念,对选项中的命题逐一进行判断即可.【详解】解:对于A,共线向量大小不一定相等,方向不一定相同,A错误;对于B,单位向量的模长相等,但方向不一定相同,B错误;对于C,平行向量一定是共线向量,C错误;对于D,模为0的向量是零向量,它与任意一个向量是平行向量,D正确.故选:D.【点睛】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题,是基础题.4.下列函数为奇函数,且在(-,0)上单调递减的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质逐一进行判断即可.【详解】解:A.f(x)=是偶函数,不满足条件.B.是奇函数,则(﹣∞,0)上是减函数,满足条件.C.f(x)是非奇非偶函数,不满足条件.D.f(x)是非奇非偶函数,不满足条件.故选:B.【点睛】本题主要考查常见函数奇偶性和单调性的判断,考查基本概念的理解,属于基础题.5.已知函数(R,>0)的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象()A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】试题分析:由的最小正周期是,得,即,因此它的图象可由的图象向左平移个单位得到.故选A.考点:函数的图象与性质.【名师点睛】三角函数图象变换方法:6.如图所示,函数(且)的图象是()A. B.C. D.【答案】C【解析】当时,y=cosxtanx⩾0,排除B,D.当时,y=−cosxtanx<0,排除A.本题选择C选项.7.函数(>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值,则的最小值是()A. 10B. 20C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质可得9T1<10T,即9•1<10•,由此求得ω的最小值.【详解】解:函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值,∴9T1<10T,即9•1<10•,求得ω<20π,故ω的最小值为,故选:C.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质,考查函数的周期性与最值,不等式的解法,属于中档题.8.设偶函数在(-,0)上是增函数,则与的大小关系是()A. B. C. D. 不确定【答案】C【解析】本题考查的是函数的单调性与奇偶性。
北京市101中学2018-2019学年高一(上)期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共8小题,共40.0分)1.设集合M={x|x<1},N={x|0<x≤1},则M∪N=( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对集合M和N取并集即可得到答案.【详解】∵M={x|x<1},N={x|0<x≤1};∴M∪N={x|x≤1}.故选:C.【点睛】本题考查集合的并集运算.2.下列函数中,在(-1,+∞)上为减函数的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意,依次分析选项中函数的单调性,即可得答案.【详解】根据题意,依次分析选项:对于A,y=3x,为指数函数,在R上为增函数,不符合题意;对于B,y=x2-2x+3=(x-1)2+2,在(1,+∞)上为增函数,不符合题意;对于C,y=x,为正比例函数,在R上为增函数,不符合题意;对于D,y=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,在(-2,+∞)上为减函数,符合题意;故选:D.【点睛】本题考查指数函数和二次函数的单调性,关键是掌握常见函数的单调性,属于基础题.3.计算log416+等于( )A. B. 5 C. D. 7【答案】B【解析】【分析】利用指数与对数运算性质即可得出.【详解】log416+=2+3=5.【点睛】本题考查指数与对数运算性质,属于基础题.4.函数=+的定义域为().A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析:由题,故选考点:函数的定义域。
5.函数y=的单调增区间是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复合函数的单调性进行求解即可.【详解】令t=-x2+4x+5,其对称轴方程为x=2,内层二次函数在[2,+∞)上为减函数,而外层函数y=为减函数,∴函数y=的单调增区是[2,+∞).故选:D.【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性,复合函数的单调性满足同增异减,是基础题.6.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,则满足f(2x-1)>f()的x的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数为偶函数得f(|2x-1|)>f(),由函数的单调性可得|2x-1|<,解不等式即可得答案.【详解】根据题意,偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,则f(2x-1)>f()⇒f(|2x-1|)>f()⇒|2x-1|<,解可得:<x<,即x的取值范围为;故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于基础题.7.若函数f(x)=a|x+1|(a>0.a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(0)的关系是( )A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由函数f(x)的值域可得a>1,然后利用单调性即可得到答案.【详解】∵|x+1|≥0,且f(x)的值域为[1,+∞);∴a>1;又f(-4)=a3,f(0)=a;∴f(-4)>f(0).故选:A.【点睛】本题考查指数函数的单调性,并且会根据单调性比较函数值的大小.8.对于实数a和b定义运算“*”:a•b=,设f(x)=(2x-1)•(x-2),如果关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则m的取值范是( )【答案】C【解析】【分析】画出函数f(x)的图象,由题知y=f(x)与y=m恰有3个交点,观察图像即可得到答案.【详解】由已知a•b=得f(x)=(2x-1)•(x-2)= ,其图象如下:因为f(x)=m恰有三个互不相等实根,则y=m与y=f(x)图像恰有三个不同的交点,所以0<m<,故选:C.【点睛】本题考查函数与方程的综合运用,属中档题.二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)9.已知全集U=R,集合A={x|x2-4x+3>0},则∁U A=___.【答案】{x|1≤x≤3}【解析】【分析】求出集合A,然后取补集即可得到答案.【详解】A={x|x<1或x>3};∴∁U A={x|1≤x≤3}.故答案为:{x|1≤x≤3}.【点睛】本题考查集合的补集的运算,属基础题.10.若0<a<1,b<-1,则函数f(x)=a x+b的图象不经过第___象限.【答案】一【解析】利用指数函数的单调性和恒过定点,再结合图像的平移变换即可得到答案.【详解】函数y=a x(0<a<1)是减函数,图象过定点(0,1),在x轴上方,过一、二象限,函数f(x)=a x+b的图象由函数y=a x的图象向下平移|b|个单位得到,∵b<-1,∴|b|>1,∴函数f(x)=a x+b的图象与y轴交于负半轴,如图,函数f(x)=a x+b的图象过二、三、四象限.故答案为:一.【点睛】本题考查指数函数的图象和性质,考查图象的平移变换.11.已知log25=a,log56=b,则用a,b表示1g6=______.【答案】【解析】【分析】先由lg2+lg5=1结合log25=a,解出lg5,然后利用换底公式log56=进行计算整理即可得到答案.【详解】∵log25=a=,解得lg5=.log56=b=,∴lg6=blg5=.故答案为:.【点睛】本题考查了对数运算性质,重点考查对数换底公式的应用,考查推理能力与计算能力,属于基础题.12.函数y=(x≤0)的值域是______.【答案】(-∞,2]∪(3,+∞)【解析】【分析】先对函数进行分离常数,然后利用函数单调性即可求出值域.【详解】y=∴该函数在(-2,0],(-∞,-2)上单调递增;∴x∈(-2,0]时,y≤2;x∈(-∞,-2)时,y>3;∴原函数的值域为(-∞,2]∪(3,+∞).故答案为:(-∞,2]∪(3,+∞).【点睛】考查函数值域的概念及求法,分离常数法的运用,反比例函数值域的求法,属基础题.13.已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足对任意不相等的实数x1,x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,成立,则实数a的取值范围______.【答案】(2,3]【解析】【分析】根据已知条件(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0得到函数f(x)的单调性,然后利用分段函数的单调性列不等式组即可得到答案.【详解】对任意实数x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,可得f(x)在R上为单调递增,则即解得a的取值范围为:2<a≤3.故答案为:(2,3].【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点:(1)若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性对应关系,而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 14.设函数f(x)=a x+b x-c x,其中c>a>0,c>b>0.若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是______(写出所有正确结论的序号)①对任意的x∈(-∞,1),都有f(x)>0;②存在x∈R,使a x,b x,c x不能构成一个三角形的三条边长;③若△ABC是顶角为120°的等腰三角形,则存在x∈(1,2),使f(x)=0.【答案】①②③【解析】【分析】在①中,利用不等式的性质分析即可,在②中,举例a=2,b=3,c=4进行说明,在③中,利用零点存在性定理分析即可.【详解】在①中,∵a,b,c是△ABC的三条边长,∴a+b>c,∵c>a>0,c>b>0,∴0<<1,0<<1,当x∈(-∞,1)时,f(x)=a x+b x-c x=c x[()x+()x-1]>c x(+-1)=c x•>0,故①正确;在②中,令a=2,b=3,c=4,则a,b,c可以构成三角形,但a2=4,b2=9,c2=16不能构成三角形,故②正确;在③中,∵c>a>0,c>b>0,若△ABC顶角为120°的等腰三角形,∴a2+b2-c2<0,∵f(1)=a+b-c>0,f(2)=a2+b2-c2<0,根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点,即∃x∈(1,2),使f(x)=0,故③正确.故答案为:①②③.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查指数函数单调性、零点存在性定理和不等式性质的运用.三、解答题(本大题共5小题,共50.0分)15.已知函数f(x)=a x-1(x≥0).其中a>0,a≠1.(1)若f(x)的图象经过点(,2),求a的值;(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.【答案】(1)4 ;(2)见解析.【解析】【分析】(1)将点(,2)代入函数解析式,即可得到a值;(2)按指数函数的单调性分a>1和0<a<1两种情况,分类讨论,求得f(x)的值域.【详解】(1)∵函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(,2),∴=2,∴a=4.(2)对于函数y=f(x)=a x-1,当a>1时,单调递增,∵x≥0,x-1≥-1,∴f(x)≥a-1=,故函数的值域为[,+∞).对于函数y=f(x)=a x-1,当0<a<1时,单调递减,∵x≥0,x-1≥-1,∴f(x)≤a-1=,又f(x)>0,故函数的值域为.综上:当a>1时,值域为[,+∞).当0<a<1时,值域为.【点睛】本题考查指数函数图像和性质的应用,主要考查函数的单调性和函数值域问题.16.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.【答案】(1)a=-3或a=1;(2){a|a≤-3或a>或a=-2或a=-}.【解析】【分析】(1)根据A∩B={2},可知B中有元素2,带入求解a即可;(2)根据A∪B=A得B⊆A,然后分B=∅和B≠∅两种情况进行分析可得实数a的取值范围.【详解】(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1,2},若A∩B={2},则x=2是方程x2+(a-1)x+a2-5=0的实数根,可得:a2+2a-3=0,解得a=-3或a=1;(2)∵A∪B=A,∴B⊆A,当B=∅时,方程x2+(a-1)x+a2-5=0无实数根,即(a-1)2-4(a2-5)<0解得:a<-3或a>;当B≠∅时,方程x2+(a-1)x+a2-5=0有实数根,若只有一个实数根,x=1或x=2,则△=(a-1)2-4(a2-5)=0解得:a=-3或a=,∴a=-3.若只有两个实数根,x=1、x=2,△>0,则-3<a<;则(a-1)=-3,可得a=-2,a2-5=2,可得a=综上可得实数a的取值范围是{a|a≤-3或a>或a=-2或a=-}【点睛】本题考查并,交集及其运算,考查数学分类讨论思想.17.函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=1.(1)求a,b的值;(2)判断并用定义证明f(x)在(+∞)的单调性.【答案】(1)a=5,b=0;(2)见解析.【解析】【分析】(1)根据函数为奇函数,可利用f(1)=1和f(-1)=-1,解方程组可得a、b值,然后进行验证即可;(2)根据函数单调性定义利用作差法进行证明.【详解】(1)根据题意,f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,则f(-1)=-f(1)=-1,则有,解可得a=5,b=0;经检验,满足题意.(2)由(1)的结论,f(x)=,设<x1<x2,f(x1)-f(x2)=-=,又由<x1<x2,则(1-4x1x2)<0,(x1-x2)<0,则f(x1)-f(x2)>0,则函数f(x)在(,+∞)上单调递减.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,属于基础题.18.已知二次函数满足,.求函数的解析式;若关于x的不等式在上恒成立,求实数t的取值范围;若函数在区间内至少有一个零点,求实数m的取值范围【答案】(1)f(x)=2x2-6x+2;(2)t>10;(3)m<-10或m≥-2.【解析】【分析】(1)用待定系数法设二次函数表达式,再代入已知函数方程化简即可得答案;(2)分离参数后求f(x)的最大值即可;(3)先求无零点时m的范围,再求补集.【详解】(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+2,(a≠0)∴a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=4x-4∴2ax+a+b=4x-4,∴a=2,b=-6∴f(x)=2x2-6x+2;(2)依题意t>f(x)=2x2-6x+2在x∈[-1,2]上恒成立,而2x2-6x+2的对称轴为x=∈[-1,2],所以x=-1时,取最大值10,t>10;(3)∵g(x)=f(x)-mx=2x2-6x+2-mx=2x2-(6+m)x+2在区间(-1,2)内至少有一个零点,当g(x)在(-1,2)内无零点时,△=(6+m)2-16<0或或,解得:-10≤m<-2,因此g(x)在(-1,2)内至少有一个零点时,m<-10或m≥-2.【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式,考查恒成立问题的解法以及二次函数的零点问题,属于基础题.19.设a为实数,函数f(x)=+a+a.(1)设t=,求t的取值范图;(2)把f(x)表示为t的函数h(t);(3)设f (x)的最大值为M(a),最小值为m(a),记g(a)=M(a)-m(a)求g(a)的表达式.【答案】(1)[,2];(2)h(t)=at+,≤t≤2;(3)g(a)=..【解析】【分析】(1)将t=两边平方,结合二次函数的性质可得t的范围;(2)由(1)可得=,可得h(t)的解析式;(3)求得h(t)=(t+a)2-1-a2,对称轴为t=-a,讨论对称轴与区间[,2]的关系,结合单调性可得h(t)的最值,即可得到所求g(a)的解析式.【详解】(1)t=,可得t2=2+2,由0≤1-x2≤1,可得2≤t2≤4,又t≥0可得≤t≤2,即t的取值范围是[,2];(2)由(1)可得=,即有h(t)=at+,≤t≤2;(3)由h(t)=(t+a)2-1-a2,对称轴为t=-a,当-a≥2即a≤-2时,h(t)在[,2]递减,可得最大值M(a)=h()=a;最小值m(a)=h(2)=1+2a,则g(a)=(-2)a-1;当-a≤即a≥-时,h(t)在[,2]递增,可得最大值M(a)=h(2)=1+2a;最小值m(a)=h()=a,则g(a)=(2-)a+1;当<-a<2即-2<a<-时,h(t)的最小值为m(a)=h(-a)=-1-a2,若-1-≤a<-,则h(2)≥h(),可得h(t)的最大值为M(a)=h(2)=1+2a,可得g(a)=2+2a+a2;若-2<a<-1-,则h(2)<h(),可得h(t)的最大值为M(a)=h()=a,可得g(a)=a+1+a2;综上可得g(a)=.【点睛】本题考查函数的最值求法,注意运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法,考查分类讨论思想方法和化简整理运算能力,属于中档题.。
2017-2018年北京市十一学校高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市十一学校高一(上)期末数学试卷一、填空题(每小题3分,共8小题,共24分,第8题若是多个答案则少选一个得1分,少选两个及以上、错选、多选、不选均不得分)1.(3分)已知a=3π,b=eπ,c=e3,则a,b,c按从小到大的顺序排序为.2.(3分)函数f(x)=ln(﹣x2﹣x+2)的单调增区间是.3.(3分)已知函数f(x)=(2m2+m)x m是定义在[0,+∞)上的幂函数,则f (4x+5)≥x的解集为.4.(3分)已知数列{a n}的前n项和S n=3n+2,则a n=.5.(3分)已知数列{a n}中,,若,则a2017=.6.(3分)已知{a n}是等差数列,a4+a7+a10=15,则其前13项和S13=.7.(3分)已知{a n}是各项均正的等比数列,其前n项和为S n,a1=32,,则a n=.8.(3分)已知下列四个命题:①若a>b,c>d,则;②若a>b且,则a,b同号;③“x>0,y>z”是“xy>xz”的充要条件;④“xy>0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件.其中正确的命题是.(填写所有正确的命题的序号)二、填空题(每小题4分,共6小题,共32分,10,11,15题若是多个答案则少选一个得2分,少选两个以上、错选、多选、不选均不得分)9.(4分)的最小值为.10.(4分)已知下列四个命题:①等差数列一定是单调数列;②等差数列的前n项和构成的数列一定不是单调数列;③已知等比数列{a n}的公比为q,则“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0<q<1”;<0,则数列S n的最大值一定在④记等差数列的前n项和为S n,若S2k>0,S2k+1n=k处达到.其中正确的命题有.(填写所有正确的命题的序号)11.(4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=3,a2+2b2+2c2=6,则c的取值范围是.12.(4分)已知函数f(x)是偶函数,且对任意x∈R都有f(x)+f(2﹣x)=0,当0≤x≤1时,f(x)=x2﹣1,则g(x)=f(x)﹣log7|x|有个零点.13.(4分)贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①n次传球之后,共有种可能的传球方法;②n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有种.14.(4分)有下列命题:①函数的图象与y=|x2﹣1|的图象恰有3个公共点;②函数y=3x﹣x5﹣1有3个零点;③若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(x+1)与y=g(x﹣1)的图象也关于直线y=x对称;④函数f(|x|﹣1)的图象是由函数f(x)的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到的.其中错误的命题有.(填写所有错误的命题的序号)三、解答题(共5小题,共44分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)15.(8分)已知{a n}是公差不为0的等差数列,且a1=1,a2,a4,a8成等比数列,数列{b n}满足b1=﹣2,.(1)求数列{a n}和{b n}通项公式;(2)求数列{b n}前n项和S n.16.(8分)已知是偶函数.(1)求m的值;(2)已知不等式对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.17.(8分)已知a,b,c均为正数,且a+b+c=4,求证下列不等式,并说明等号成立条件.(1);(2).18.(9分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=1,2S n=na n+1﹣2n.设.(1)求{a n}的通项公式(2)猜测b n与的大小关系并证明.19.(11分)已知数列{a n}满足,且.(1)当a1=2时,写出{a n}的通项公式(直接写出答案,无需过程);(2)求最小整数m,使得当a1≥m时,{a n}是单调递增数列;(3)是否存在a1使得{a n}是等比数列?若存在请求出;若不存在请说明理由.2017-2018学年北京市十一学校高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(每小题3分,共8小题,共24分,第8题若是多个答案则少选一个得1分,少选两个及以上、错选、多选、不选均不得分)1.(3分)已知a=3π,b=eπ,c=e3,则a,b,c按从小到大的顺序排序为c<b <a.【解答】解:由y=e x是增函数,得b=eπ>c=e3,由y=xπ是增函数,得a=3π>b=eπ,故c<b<a,故答案为:c<b<a.2.(3分)函数f(x)=ln(﹣x2﹣x+2)的单调增区间是.【解答】解:由﹣x2﹣x+2>0,得x2+x﹣2<0,解得﹣2<x<1.函数t=﹣x2﹣x+2在上为增函数,而外层函数y=lnt为定义域上的增函数,∴函数f(x)=ln(﹣x2﹣x+2)的单调增区间是.故答案为:.3.(3分)已知函数f(x)=(2m2+m)x m是定义在[0,+∞)上的幂函数,则f(4x+5)≥x的解集为.【解答】解:由题意得:2m2+m=1,解得:m=﹣1(舍)或m=,故f(x)=在[0,+∞)递增,f(4x+5)≥x,即≥x,故或,解得:﹣≤x≤5,故答案为:.4.(3分)已知数列{a n}的前n项和S n=3n+2,则a n=.【解答】解:当n=1时,;当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=(3n+2)﹣(3n﹣1+2)=2×3n﹣1.综上可知:a n=,故答案为:a n=,5.(3分)已知数列{a n}中,,若,则a2017=.【解答】解:数列{a n}中,,若,则a2=2a1﹣1=﹣1=,a3=2a2﹣1=﹣1=,a4=2a3=,a6=2a5﹣1=﹣1=,…可得数列{a n}为最小正周期为3的数列,则a2017=a672×3+1=a1=,故答案为:.6.(3分)已知{a n}是等差数列,a4+a7+a10=15,则其前13项和S13=65.【解答】解:{a n}是等差数列,a4+a7+a10=15,∴3a7=15,∴a7=5,∴S13=a7×13=65故答案为:657.(3分)已知{a n}是各项均正的等比数列,其前n项和为S n,a1=32,,则a n=26﹣n.【解答】解:∵{a n}是各项均正的等比数列,其前n项和为S n,a1=32,,∴=,且q>0,解得q=,∴a n=32×()n﹣1=26﹣n.故答案为:26﹣n.8.(3分)已知下列四个命题:①若a>b,c>d,则;②若a>b且,则a,b同号;③“x>0,y>z”是“xy>xz”的充要条件;④“xy>0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件.其中正确的命题是②.(填写所有正确的命题的序号)【解答】解:①若a>b,c>d,则不正确,比如a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣2,可得=;②若a>b且,则a,b同号正确,由于﹣=<0,由a﹣b>0,可得ab>0,即ab同号;③“x>0,y>z”是“xy>xz”的充要条件不正确,应为充分不必要条件,由x>0,y>z可得xy>xz,反之不成立;④“xy>0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件不正确,应为充分不必要条件,由xy>0,可得|x|+|y|=|x+y|,反之不成立.故答案为:②.二、填空题(每小题4分,共6小题,共32分,10,11,15题若是多个答案则少选一个得2分,少选两个以上、错选、多选、不选均不得分)9.(4分)的最小值为.【解答】解:由设=t,t≥则x2=t2﹣2.那么f(x)转化为g(t)=根据勾勾函数的性质,可得“当t=”时,g(t)取得最小值为:.故答案为:.10.(4分)已知下列四个命题:①等差数列一定是单调数列;②等差数列的前n项和构成的数列一定不是单调数列;③已知等比数列{a n}的公比为q,则“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0<q<1”;④记等差数列的前n项和为S n,若S2k>0,S2k+1<0,则数列S n的最大值一定在n=k处达到.其中正确的命题有④.(填写所有正确的命题的序号)【解答】解:对于①,等差数列不一定是单调数列,也可以是常数列,①错误;对于②,等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列,如非零常数列是等差数列,其前n项和是等差数列,∴②错误;对于③,等比数列{a n}的公比为q,a1>0时,“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0<q<1”;a1<0时显然不成立,③错误;对于④,等差数列{a n}中,前n项和为S n,且S2k>0,S2k+1<0,即>0,<0,∴a1+a2k>0,a1+a2k+1<0.由等差数列{a n}的性质可得:a1+a2k=a k+a k+1,a1+a2k+1=2a k+1;∴a k+a k+1>0,a k+1<0,∴a k>0,a k+1<0,∴d<0,则当n≥k+1时,a n<0;因此S1,S2,…,S2k中数值最大的是S k,则数列S n的最大值在n=k处取得,④正确.综上,正确的命题序号是④.故答案为:④.11.(4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=3,a2+2b2+2c2=6,则c的取值范围是.【解答】解:由a+b+c=3得,a+b=3﹣c,由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6﹣2c2,由柯西不等式可得≥(a+b)2=(3﹣c)2,即9﹣3c2≥(3﹣c)2,化简得2c2﹣3c≤0,解得,因此,c的取值范围为,故答案为:.12.(4分)已知函数f(x)是偶函数,且对任意x∈R都有f(x)+f(2﹣x)=0,当0≤x≤1时,f(x)=x2﹣1,则g(x)=f(x)﹣log7|x|有4个零点.【解答】解:对任意x∈R都有f(x)+f(2﹣x)=0,故函数f(x)的对称中心是(1,0),令g(x)=f(x)﹣log7|x|=0,得f(x)=log7|x|,函数g(x)的零点个数即函数f(x)和y=log7|x|的交点个数,由函数f(x)是偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2﹣1,画出函数f(x)和函数y=log7|x|的图象,如图示:,结合图象,函数f(x)和函数y=log7|x|的图象有4个交点,故函数g(x)有4个零点,故答案为:4.13.(4分)贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①n次传球之后,共有2n种可能的传球方法;②n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有种.【解答】解:每次传球都有两种方法,所以n次传球之后,共有2n种可能的传球方法,设n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有a n种,=2n,(n≥2),则有2a n+2a n﹣1即﹣=﹣(﹣),(n≥2),∴﹣=(﹣)n(﹣),(n≥2),∵a1=0,∴a n=,故答案为:2n;14.(4分)有下列命题:①函数的图象与y=|x2﹣1|的图象恰有3个公共点;②函数y=3x﹣x5﹣1有3个零点;③若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(x+1)与y=g(x﹣1)的图象也关于直线y=x对称;④函数f(|x|﹣1)的图象是由函数f(x)的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到的.其中错误的命题有①③.(填写所有错误的命题的序号)【解答】解:①分别画出函数的图象与y=|x2﹣1|的图象,可得x>1和x<﹣1时,各有一个交点;当﹣1<x<1时,y=1﹣x2和y=1+0.1x,联立可得x2+0.1x=0,即x=0或x=﹣0.1,则有两个交点;函数的图象与y=|x2﹣1|的图象共有4个公共点;②函数y=f(x)=3x﹣x5﹣1,由f(0)=0,可得x=0为零点;由f(﹣1)>0,f(﹣)=+﹣1<0,且f(x)在(﹣1,﹣)递减,可得f(x)在(﹣1,﹣)有一个零点;由f(1)=1>0,f(2)=9﹣32﹣1<0,且f(x)在(1,2)递减,可得f(x)在(1,2)有一个零点;则函数y有3个零点;③若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,可取f(x)=x3,g(x)=x,则函数y=f(x+1)=(x+1)3的反函数为y=x﹣1,而g(x)=(x﹣1),不互为反函数,函数y=f(x+1)与y=g(x﹣1)的图象不关于直线y=x对称;④函数f(|x|﹣1)的图象是由函数f(x)的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到.综上可得①③错误;②④正确.故答案为:①③.三、解答题(共5小题,共44分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)15.(8分)已知{a n}是公差不为0的等差数列,且a1=1,a2,a4,a8成等比数列,数列{b n}满足b1=﹣2,.(1)求数列{a n}和{b n}通项公式;(2)求数列{b n}前n项和S n.【解答】解:(1)设{a n}公差为d,由题意知:(1+3d)2=(1+d)(1+7d),即d2﹣d=0,解得d=0(舍)或d=1,∴a n=n.∴,两边同除以2n+1得:,又,∴数列{}是以﹣1为首项,为公差的等差数列,即,∴.(2)2S n=﹣2×21﹣22+……+(n﹣4)•2n﹣1+(n﹣3)•2n﹣1,作差得:S n=2﹣(2+22+……+2n﹣1)+(n﹣3)•2n=2﹣+(n﹣3)•2n=4+(n﹣4)•2n.16.(8分)已知是偶函数.(1)求m的值;(2)已知不等式对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.【解答】解:(1)∀x,f(x)=f(﹣x),即,∵对x∈R恒成立,∴.(2)由题意得对x∈R恒成立,∵函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,∴4x+1≥a•2x对x∈R恒成立,即对R恒成立,∵,当且仅当,即x=0时等号成立,∴a≤2,又∵a•2x>0,∴a>0,即a的取值范围是(0,2].17.(8分)已知a,b,c均为正数,且a+b+c=4,求证下列不等式,并说明等号成立条件.(1);(2).【解答】证明:(1)因为a,b,c>0,且a+b+c=4,所以(﹣1)(﹣1)(﹣1)=••≥=8,当且仅当时等号成立;(2)因为a,b,c>0,且a+b+c=4,可令2a+b+c=u,2b+c+a=v,2c+a+b=t,u,v,t>0,则u+v+t=16,所以[(2a+b+c)+(2b+c+a)+(2c+a+b)](++),≥3•3=9,即有++≥,当且仅当时等号成立.18.(9分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=1,2S n=na n+1﹣2n.设.(1)求{a n}的通项公式(2)猜测b n与的大小关系并证明.【解答】解:(1)2S n=na n+1﹣2n,当n≥2时,2S n=(n﹣1)a n﹣2(n﹣1),﹣1两式相减得:2a n=na n+1﹣(n﹣1)a n﹣2,=(n+1)a n+2(n≥2),即na n+1等式两边同除以n(n+1)得:,因为2=2S1=a2﹣2,所以a2=4,所以,又因为,所以是恒为3的常数列,所以,即a n=3n﹣2.由于因为a n单调递增,则,==.19.(11分)已知数列{a n}满足,且.(1)当a1=2时,写出{a n}的通项公式(直接写出答案,无需过程);(2)求最小整数m,使得当a1≥m时,{a n}是单调递增数列;(3)是否存在a1使得{a n}是等比数列?若存在请求出;若不存在请说明理由.【解答】解:(1)数列{a n}满足,且.当a1=2时,.(2)当a1=1时,a2=2,a3=4,a4=2,{a n}不单调递增;当a1=2时,由(1)知{a n}不单调递增;当a1=3时,a2=4,a3=4,a4=2,{a n}不单调递增;当a1=4时,a2=6,a3=8,a4=10,当a1=5时,a2=8,a3=12,a4=18,由此猜测当a1≥4时,{a n}是单调递增数列.下面用数学归纳法证明一个更强得猜想:当a1≥4时,a n≥2n+2,1°当n=1时,猜想成立;2°假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想成立,即a k≥2k+2,当n=k+1时,因为a k≥2k+2>k,所以a k=2(a k﹣k)≥2(k+2)=2(k+1)+2,+1即n=k+1时,猜想扔成立.由1°,2°及数学归纳法知,当a1≥4时,a n≥2n+2,此时因为a n>n,所以a n=2(a n﹣n),+1﹣a n=a n﹣2n≥2,所以a n+1由此当当a1≥4时,{a n}是单调递增数列.(3)由(2)知,a1=1,2,3,4时,{a n}不是等比数列.当a1≥4时,a n≥2n+2>2,因此a n=2(a n﹣n),+1可求出通项公式为,所以不存在a1使得{a n}是等比数列.。
2017-2018年北京市101中学高一(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市101中学高一(下)期末数学试卷一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(3分)不等式≤0的解集是()A.{x|﹣1≤X≤2}B.{x|﹣1≤X<2}C.{x|x>2或x≤﹣1}D.{x|x<2} 2.(3分)设等差数列{a n}的前n项和S n,若a4+a10=4,则S13=()A.13B.14C.26D.523.(3分)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定4.(3分)已知直线l1的方程为3x+4y﹣7=0,直线l2的方程为3x+4y+1=0,则直线l1和l2的距离为()A.B.C.D.5.(3分)设某直线的斜率为k,且k∈(﹣,),则该直线的倾斜角α的取值范围是()A.(,)B.(,)C.[0,)∪(,π)D.[0,)∪(,π)6.(3分)对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β7.(3分)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,有以下四个命题:①BM⊥平面ADNE;②CN∥平面ABFE;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE⊥平面NCF.其中正确命题的序号是()A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④8.(3分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.B.C.2D.49.(3分)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4B.8C.12D.1610.(3分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面是边长为的正方形ABCD,AC与BD的交点为O,SO⊥平面ABCD,且SO=,E是边BC的中点,动点P在四棱锥表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为()A.2B.2C.1+D.1+二、填空题共6小题.11.(3分)直线l:x cos﹣y+1=0的斜率为.12.(3分)设等比数列{a n}满足a2=4,a3a4=128,则a6=.13.(3分)若a>0,b>0,a+b=1,一定有ab+≥4,(ab)2+()2≥42+成立,请将猜想结果填空:a n b n+≥.14.(3分)如图,在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中,BC=1,AB=2,BB'=3,M为AB的中点,点P在线段C'M上,点P到直线BB'的距离的最小值为.15.(3分)已知△ABC中,点A(1,1),B(4,2),C(﹣4,6).则△ABC的面积为.16.(3分)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为.三、解答题共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.等比数列{a n}中,a2=2,a7=8a4.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和.若S m=63,求m.18.设△ABC的内角A,B,C所对应的边长分别是a,b,c,且.(1)当A=30°时,求a的值;(2)当△ABC的面积为3时,求a+c的值.19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面P AC⊥平面ABCD,且P A⊥AC,P A=AD=2.四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.E为侧棱PB的中点,F为侧棱PC 上的任意一点.(1)若F为PC的中点,求证:EF∥平面P AD;(2)求证:平面AFD⊥平面P AB;(3)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?若存在,写出证明过程并求出线段PF 的长;若不存在,请说明理由.20.如图,Rt△OAB的直角边OA在x轴上,顶点B的坐标为(6,8),直线CD交AB于点D(6,3),交x轴于点C(12,0).(1)求直线CD的方程;(2)动点P在x轴上从点(﹣10,0)出发,以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动,过点P作直线l垂直于x轴,设运动时间为t.①点P在运动过程中,是否存在某个位置,使得∠PDA=∠B?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;②请探索当t为何值时,在直线l上存在点M,在直线CD上存在点Q,使得以OB为一边,O,B,M,Q为顶点的四边形为菱形,并求出此时t的值.2017-2018学年北京市101中学高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(3分)不等式≤0的解集是()A.{x|﹣1≤X≤2}B.{x|﹣1≤X<2}C.{x|x>2或x≤﹣1}D.{x|x<2}【解答】解:根据题意,≤0可以变形为(x+1)(x﹣2)≤0且x﹣2≠0,解可得﹣1≤x<2,即不等式的解集为{x|﹣1≤x<2},故选:B.2.(3分)设等差数列{a n}的前n项和S n,若a4+a10=4,则S13=()A.13B.14C.26D.52【解答】解:在等差数列{a n}中,由a4+a10=4,得2a7=4,即a7=2.∴S13=.故选:C.3.(3分)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解答】解:∵sin2A+sin2B<sin2C,由正弦定理可得,a2+b2<c2由余弦定理可得cos C=∴∴△ABC是钝角三角形故选:C.4.(3分)已知直线l1的方程为3x+4y﹣7=0,直线l2的方程为3x+4y+1=0,则直线l1和l2的距离为()A.B.C.D.【解答】解:∵已知直线l1的方程为3x+4y﹣7=0,直线l2的方程为3x+4y+1=0,则直线l1和l2的距离为d==,故选:A.5.(3分)设某直线的斜率为k,且k∈(﹣,),则该直线的倾斜角α的取值范围是()A.(,)B.(,)C.[0,)∪(,π)D.[0,)∪(,π)【解答】解:直线l的斜率为k,倾斜角为α,若k∈(﹣,),所以﹣<tanα≤所以α∈[0,)∪(,π).故选:D.6.(3分)对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β【解答】解:在A中,m⊥n,m∥α,n∥β,则α与β相交或相行,故A错误;在B中,m⊥n,α∩β=m,n⊂α,则α与β不一定垂直,故B错误;在C中,m∥n,n⊥β,m⊂α,由由面面垂直的判定定理得α⊥β,故C正确;在D中,m∥n,m⊥α,n⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故D错误.故选:C.7.(3分)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,有以下四个命题:①BM⊥平面ADNE;②CN∥平面ABFE;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE⊥平面NCF.其中正确命题的序号是()A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④【解答】解:把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA﹣EFMN,如图1所示;对于①,平面BCMF∥平面ADNE,BM⊂平面BCMF,∴BM∥平面ADNE,①错误;对于②,平面DCMN∥平面ABFE,CN⊂平面DCMN,∴CN∥平面ABFE,②正确;对于③,如图2所示,BD∥FN,BD⊄平面AFN,FN⊂平面AFN,∴BD∥平面AFN;同理BM∥平面AFN,且BD∩BM=B,∴平面BDM∥平面AFN,③正确;对于④,如图3所示,BD∥FN,BE∥CN,BD∩BE=B,且BD、BE⊂平面BDE,∴平面BDE∥平面NCF,∴④错误.综上,正确的命题序号是②③.故选:A.8.(3分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.B.C.2D.4【解答】解:由几何体的三视图得该几何体是三棱锥P﹣ABC,如图是长方体的一部分,由三视图的数据,AB=BC=2P到底面的距离为1,∴该几何体的体积:V==.故选:B.9.(3分)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4B.8C.12D.16【解答】解:根据正六边形的性质,则D1﹣A1ABB1,D1﹣A1AFF1满足题意,而C1,E1,C,D,E,和D1一样,有2×4=8,当A1ACC1为底面矩形,有4个满足题意,当A1AEE1为底面矩形,有4个满足题意,故有8+4+4=16故选:D.10.(3分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面是边长为的正方形ABCD,AC与BD的交点为O,SO⊥平面ABCD,且SO=,E是边BC的中点,动点P在四棱锥表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为()A.2B.2C.1+D.1+【解答】解:分别取CD、SC的中点F、G,连接EF、FG和EG,如图所示;则EF∥BD,FG∥DS,且EF∩FG=F,BD∩DS=D,∴平面EFG∥平面BDS,由AC⊥BD,AC⊥SO,且AC∩SO=O,则AC⊥平面BDS,∴AC⊥平面EFG,∴点P在△EFG的三条边上;又EF=BD=××=1,FG=EG=SB=×=,∴△EFG的周长为EF+2FG=1+.故选:D.二、填空题共6小题.11.(3分)直线l:x cos﹣y+1=0的斜率为.【解答】解:直线l:x cos﹣y+1=0,即为直线l:x﹣y+1=0,即为y=x+1,故直线的斜率为,故答案为:.12.(3分)设等比数列{a n}满足a2=4,a3a4=128,则a6=64.【解答】解:设公比为q,∵a2=4,a3a4=128,∴4q×4q2=128,∴q3=8,∴q=2,∴a6=a2q4=4×24=64,故答案为:6413.(3分)若a>0,b>0,a+b=1,一定有ab+≥4,(ab)2+()2≥42+成立,请将猜想结果填空:a n b n+≥.【解答】解:由a>0,b>0,a+b=1,一定有ab+≥4+,(ab)2+()2≥42+成立,可以猜想:a n b n+≥4n+,故答案为:4n+14.(3分)如图,在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中,BC=1,AB=2,BB'=3,M为AB的中点,点P在线段C'M上,点P到直线BB'的距离的最小值为.【解答】解:连接MC,由BB'∥CC',BB'⊄平面MCC',CC'⊂平面MCC',可得BB'∥平面MCC',由点P到直线BB'的距离的最小值为异面直线BB'和直线C'M的距离,即有直线BB'和平面MCC'的距离即为异面直线BB'和MC'的距离,也即B到平面MCC'的距离,过B在底面AC内作BH⊥MC,由CC'⊥底面AC,可得CC'⊥BH,即有BH⊥平面MCC',由BC=BM=1,且BC⊥BA,可得BH=.故答案为:.15.(3分)已知△ABC中,点A(1,1),B(4,2),C(﹣4,6).则△ABC的面积为10.【解答】解:由两点式的直线BC的方程为=,即为x+2y﹣8=0,由点A到直线的距离公式得BC边上的高d==,BC两点之间的距离为=4,∴△ABC的面积为×4×=10,故答案为:10.16.(3分)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为+.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,可得A,B两点在圆x2+y2=1上,且•=1×1×cos∠AOB=,即有∠AOB=60°,即三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,可设AB:x+y+t=0,(t>0),由圆心O到直线AB的距离d=,可得2=1,解得t=,即有两平行线的距离为=,即+的最大值为+,故答案为:+.三、解答题共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.等比数列{a n}中,a2=2,a7=8a4.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和.若S m=63,求m.【解答】解:(1)∵等比数列{a n}中,a2=2,a7=8a4.∴2×q5=8×(2×q2),解得q=2,当q=2时,a n=2n﹣1,∴{a n}的通项公式为,a n=2n﹣1,(2)记S n为{a n}的前n项和,a2=2,q=2,则a1=1,则S n==2n﹣1,由S m=63,得S m=2m﹣1=63,m∈N,解得m=6.18.设△ABC的内角A,B,C所对应的边长分别是a,b,c,且.(1)当A=30°时,求a的值;(2)当△ABC的面积为3时,求a+c的值.【解答】解:(1)∵,∴,…(2分)由正弦定理可知:,∵A=30°,∴sin A=sin30°=,∴…(6分)(2)∵,△ABC的面积为3,…(7分)∴,∴ac=10…8分由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2ac cos B…(9分)∴,即a2+c2=25…(10分)则:(a+c)2=a2+c2+2ac=25+20=45…(11分)故:…(12分)19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面P AC⊥平面ABCD,且P A⊥AC,P A=AD=2.四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.E为侧棱PB的中点,F为侧棱PC 上的任意一点.(1)若F为PC的中点,求证:EF∥平面P AD;(2)求证:平面AFD⊥平面P AB;(3)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?若存在,写出证明过程并求出线段PF 的长;若不存在,请说明理由.【解答】解(1)因为E,F分别为侧棱PB,PC的中点,所以EF∥BC.因为BC∥AD,所以EF∥AD.而EF⊄平面P AD,AD⊂平面P AD,所以EF∥平面P AD.(2)因为平面ABCD⊥平面P AC,平面ABCD∩平面P AC=AC,且P A⊥AC,P A⊂平面P AC,所以P A⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,所以P A⊥AD.又因为AB⊥AD,P A∩AB=A,所以AD⊥平面P AB,而AD⊂平面AFD,所以平面AFD⊥平面P AB.(3)在棱PC上显然存在点F使得AF⊥PC.由已知,AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=2.由平面几何知识可得CD⊥AC.由(2)知,P A⊥平面ABCD,所以P A⊥CD,因为P A∩AC=A,所以CD⊥平面P AC.而AF⊂平面P AC,所以CD⊥AF.又因为CD∩PC=C,所以AF⊥平面PCD.在△P AC中,P A=2,AC=,∠P AC=90°,可求得,PC=,PF=.可见直线AF与平面PCD能够垂直,此时线段PF的长为.20.如图,Rt△OAB的直角边OA在x轴上,顶点B的坐标为(6,8),直线CD交AB于点D(6,3),交x轴于点C(12,0).(1)求直线CD的方程;(2)动点P在x轴上从点(﹣10,0)出发,以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动,过点P作直线l垂直于x轴,设运动时间为t.①点P在运动过程中,是否存在某个位置,使得∠PDA=∠B?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;②请探索当t为何值时,在直线l上存在点M,在直线CD上存在点Q,使得以OB为一边,O,B,M,Q为顶点的四边形为菱形,并求出此时t的值.【解答】解:(1)直线CD过点C(12,0),D(6,3),直线方程为=,化为一般形式是x+2y﹣12=0;(2)①如图1中,作DP∥OB,则∠PDA=∠B,由DP∥OB得,=,即=,∴P A=;∴OP=6﹣=,∴点P(,0);根据对称性知,当AP=AP′时,P′(,0),∴满足条件的点P坐标为(,0)或(,0);②如图2中,当OP=OB=10时,作PQ∥OB交CD于Q,则直线OB的解析式为y=x,直线PQ的解析式为y=x+,由,解得,∴Q(﹣4,8);∴PQ==10,∴PQ=OB,∴四边形OPQB是平行四边形,又OP=OB,∴平行四边形OPQB是菱形;此时点M与点P重合,且t=0;如图3,当OQ=OB时,设Q(m,﹣m+6),则有m2+=102,解得m=;∴点Q的横坐标为或;设M的横坐标为a,则=或=,解得a=或a=;又点P是从点(﹣10,0)开始运动,则满足条件的t的值为或;如图4,当Q点与C点重合时,M点的横坐标为6,此时t=16;综上,满足条件的t值为0,或16,或或.。
北京市一零一中学2017年10月2017~2018学年度高一第一学期期中考试数学试卷及参考答案教师专用

北京一零一中2017年10月2017~2018学年度度第一学期数学期中考试一、选择题1.设全集=R,M={0,1,2,3},N={-1,0,1},则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{1}B.{-1}C.{0}D.{0,1}【参考答案】B【试题解析】由图可知阴影部分中的元素属于,但不属于,故图中阴影部分所表示的集合为,由,,得,故选B.2.下列函数中与具有相同图象的一个函数是( ).A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】对于A,与函数的定义域不同,所以函数图像不同;对于B,与函数的对应关系不同,值域不同,所以函数图象不同;对于C,与函数的定义域不同,所以函数图像不同;对于D,与函数的定义域相同,对应关系也相同,所以函数图象相同,故选D.点睛:本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数,属于基础题;函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定;当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数,值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.3.已知为奇函数,当时,,则在上是( )A.增函数,最小值为B.增函数,最大值为C.减函数,最小值为D.减函数,最大值为【参考答案】C【试题解析】试题分析:,图像为开口向下对称轴为的抛物线,所以时在上单调递减.因为位奇函数图像关于原点对称,所以函数在也单调递减.所以在上,.故C正确.考点:1函数的奇偶性;2二次函数的单调性.4.已知函数,则的值等于( ).A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】将代入函数第二段表达式,得到,再代入第二段表达式后得到,此时代入第一段就可以求得函数值.【试题解答】依题意,故选D.本小题主要考查分段函数求值.第一次代入后,还是无法求得函数值,要继续再代入两次才可以.属于基础题.5.若一次函数f(x)=ax+b有一个零点2,则函数g(x)=bx2-ax的图象可能是( )A. B.C. D.【参考答案】C【试题解析】∵一次函数有一个零点2,∴,即;则,令可得和,即函数图象与轴交点的横坐标为0,,故对应的图象可能为C,故选C.6.已知函数y=(),则其单调增区间是( )A.(-,0]B.(-,-1]C.[-1,+)D.[-2,+)【参考答案】B【试题解析】函数可以看作是由和两者复合而成,为减函数,的减区间为,根据“同增异减”的法则可得函数的单调增区间为,故选B.点睛:本题主要考查了复合函数的单调性,属于基础题;寻找函数是由哪两个初等函数复合而成是基础,充分理解“同增异减”的意义是关键,同时需注意当和类似于对数函数等相结合时,要保证单调区间一定在定义域内.7.已知函数,则函数的零点个数为( ).A. B. C. D.【参考答案】A【试题解析】画出函数图像,通过观察与图像的交点个数,得到函数的零点个数. 【试题解答】画出和的图像如下图所示,由图可知,两个函数图像有个交点,故函数有两个零点.所以选A.本小题主要考查分段函数图像的画法,考查函数的零点问题,将函数零点的问题转化为两个函数图像的交点来解决.8.定义在上的函数满足,,,且当时,,则等于( ).A. B. C. D.【参考答案】B【试题解析】∵,,令得:,又,∴当时,;令,由得:;同理可求:;;①,再令,由,可求得,∴,解得,令,同理反复利用,可得;;…②,由①②可得:有,∵时,而,所以有,;故,故选B.点睛:本题考查抽象函数及其应用,难点在于利用,,两次赋值后都反复应用,分别得到关系式两个关系式,结合时,从而使问题解决,实际上是两边夹定理的应用,属于难题.二、填空题9.计算:__________.【参考答案】【试题解析】原式,故答案为.10.已知集合,,则__________.【参考答案】【试题解析】由,得,,则,故答案为.11.已知函数的定义域是,则的定义域是__________.【参考答案】【试题解析】∵函数的定义域为,∴,解得,即函数的定义域为,故答案为.点睛:本题主要考查了抽象函数的定义域,属于基础题;已知的定义域,求的定义域,其解法是:若的定义域为,则中,从中解得的取值范围即为的定义域.12.函数的值域为,则实数a的取值范围是______. 【参考答案】.【试题解析】∵函数的值域为,∴,解得或,则实数a的取值范围是,故答案为.13.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.【参考答案】6【试题解析】先求函数周期,再根据周期以及偶函数性质化简,再代入求值.【试题解答】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.本题考查函数周期及其应用,考查基本求解能力.14.某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论:①该食品在6℃的保鲜时间是8小时;②当x∈[﹣6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少;③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中,所有正确结论的序号是 .【参考答案】①④【试题解析】试题分析:∵食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.∴24k+6=16,即4k+6=4,解得:k=﹣,∴,当x=6时,t=8,故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时,正确;②当x∈[﹣6,0]时,保鲜时间恒为64小时,当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t 随看x增大而逐渐减少,故错误;③到了此日10时,温度超过8度,此时保鲜时间不超过4小时,故到13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故错误;④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间,故正确,故正确的结论的序号为:①④,故答案为:①④.考点:命题的真假判断与应用.三、解答题15.已知集合,,且,,求实数,,的值及集合,.【参考答案】【试题解析】试题分析:由,所以,,代入方程可得和集合A,再由,可得集合B,运用韦达定理即可得到所求,的值.试题解析:因为,且,所以,解得;又,所以,又,,所以,解得,,所以.16.已知是定义在上的奇函数.()若,求,的值.()若是函数的一个零点,求函数在区间上的值域.【参考答案】(1)1;(2)【试题解析】试题分析:(1)由奇函数的定义可得,即可解出的值,将代入解析式即可得到的值;(2)将代入可得的值,化简可得函数,由和的单调性可得函数的单调性,故而可得函数的值域.试题解析:(1)由题意,,所以,所以,因为,所以=3,所以。
北京101中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析

=,则cosB.【答案】ααα.故选:D.M={N={ZB. N MC. M N=D.∴又;下列函数为奇函数,且在(-A. B. C. D. 【答案】B)=是奇函数,则(﹣∞,f(x)是非奇非偶函数,不满足条件.已知函数R,)的最小正周期为的图象,只要将的图象(向左平移向右平移个单位长度向左平移向右平移个单位长度试题分析:由的最小正周期是,即象可由的图象向左平移个单位得到.故选A.考点:函数的图象与性质.()的图象是(当当本题选择(209T•,由此••,求得ω的最小值为,设偶函数在(-与A. B. C. D.,解得,。
又递增,递减,所以。
且递减,所以应选2+=解:(lg1)]2+()02+1=﹣3.,【答案】【解析】根据【详解】解:∵;=;∴故答案为:.本题考查平行向量的坐标关系,同角基本关系式可,已知三角函数值求角.【答案】【解析】θ.故答案为:本题考查了同角三角函数的基本关系的灵活应用,若函数x+(则试题分析:由题意得,,所以的最小值是考点:三角函数及其性质.的值域是,,],]内一点,+3=可以得到有【详解】解:如图,取∴∴D,O,E三点共线,即DE∴故答案为:3计算:【答案】,,∴原式【点睛】本题主要考查诱导公式的应用,特殊角的三角函数值,属于基础题.已知函数=+,其中)求函数的定义域;)若函数有最小值而无最大值,求的单调增区间。
;)要使函数有意义,则,得,,函数是奇函数。
c的值;的最小值是,求或恒成立得到,从而求解,)x2+bx+c﹣3,由奇函数可得∴,解得;(法二):h,其图象对称轴为,当(x)min=当解得或(舍)当(x)min.本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法,属于基础题.设函数=Asin(,,≤)在处取得最大值相邻两个交点的距离为的解析式;)求函数=2 sin(2x+);(2,处取得最大值)由三角函数恒等变换的应用化简可得,由)的值域.【详解】解:(1)由题意可得:,于是,(x)=2sin(2x+处取得最大值(<π,故)的解析式为)可得:故令t=cos2x,可知0≤t≤且即从而,因此,函数g(x)的值域为y=Asin(ωx+已知函数+,若)上为增函数,则称比增函数”;若)上为增函数,则称“一阶比增函数”组成的集合记为12,若∈0<a<b<c,∈的部分函数值由下表给出:求证:;+<k}M,使得任意的,任意的,有x得h由x,对∈Ω2;当h<,函数在(0,+,可得<a<b<c<a+b+c,利用“一阶比增函数”可得,再利用不等式的性质即可得出.)根据“二阶比增函数”先证明y,当舍去;时,,此时函数综上可得:当h<0时,∈Ω1且)因为,且所以,所以同理可证,,三式相加得,所以因为,所以,而0<a<b,所以d<0,所以。
2017-2018学年北京市101中学高一(上)期末数学试题(解析版)

2017-2018学年北京市101中学高一(上)期末数学试题一、单选题1.计算:A.B.C.D.【答案】B【解析】直接利用诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】.故选B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数,属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变,符号看象限”的含义,同时还要加强记忆几组常见的诱导公式,以便提高做题速度.2.若0<a<1,则函数f(x)=ax+6的图象一定经过A.第一、二象限B.第二、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限【答案】A【解析】根据函数y=a x经过第一、第二象限,可得函数f(x)=a x+6 的图象经过的象限.【详解】当0<a<1时,由于函数y=a x经过第一、第二象限,函数f(x)=a x+6 的图象是把y=a x 向上平移6个单位得到的,故函数f(x)的图象一定过第一、第二象限,故选:A.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,指数函数的图象特征,属于基础题.3.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A.y=ex B.y=tanx C.y=lnx D.y=x3+x【答案】D【解析】选项A,y=e x 是非奇非偶函数,不合题意;选项B, y=tanx 在每个单调区间上分别递增,但是在定义域内不是增函数,不合题意; 选项C, y=lnx 是非奇非偶函数,不合题意; 故选D. 4.已知函数,若是偶函数,且,则A .1B .2C .3D .4 【答案】C【解析】f (x )是偶函数,且f (2)=1,则,所以g (-2)=,故选C.5.若向量,满足,则A .0B .mC .D .【答案】A 【解析】由两边平方,化简即可得结果.【详解】向量,满足,,,.故选A . 【点睛】本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算,意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,属于简单题. 6.不等式2633x x -+>的解集是( )A .(-3,2)B .(-2,3)C .(-∞,-3)⋃(2,+∞)D .(-∞,-2)⋃(3,+∞) 【答案】A【解析】函数3xy =单调递增,原不等式等价于26x x -+>,即260x x +-<,解得-3<x<2,故选A.7.函数的减区间是 A .B .C .D .【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求出函数的定义域,在定义域内求出二次函数的减区间即可. 【详解】 令,求得, 故函数的定义域为,且递增,只需求函数在定义域内的减区间. 由二次函数的性质求得在定义域内的减区间为,所以函数的减区间是,故选B .【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性,属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性,因此也是命题的热点,判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减). 8.已知函数sin()(0,0,||)2y A x B A πωφωφ=++>><的周期为T ,在一个周期内的图像如图所示,则正确的结论是( )A .3,2A T π==B .2,1=-=ωBC .6,4πϕπ-==T D .6,3πϕ==A【答案】C【解析】试题分析:由图知2(4)32A --==,2(4)12B +-==-,42()2233T πππ=--=,∴4T π=,把点4(,2)3π代入13sin()12y x φ=+-得2sin()13πφ+=,∴232k ππφπ+=+,即6k πφπ=-(k ∈Z ),又||2πφ<,∴k=0时,6πφ=-,故选C 【考点】本题考查了三角函数解析式的求法点评:根据图象写出解析式,一般通过图象的最高或最低点先求得函数的周期和振幅,再根据图象上的已知求得初相,进行可求得函数的解析式9.某学生在期中考试中,数学成绩较好,英语成绩较差,为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩,他决定重点加强英语学习,结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%,但数学成绩每次都比上次降低了10%,期末时这两科分值恰好均为m 分,则这名学生这两科的期末总成绩和期中比,结果( ) A .提高了 B .降低了C .不提不降(相同)D .是否提高与m 值有关系 【答案】B【解析】设期中考试数学和英语成绩为a 和b,则()()22110%110%a b m -=+=,,, 2.0620.81 1.210.81 1.21m m m ma b a b m m ∴==+=+≈>,所以总成绩比期中降低了,故选B.10.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BEBC= λ, DF DC= μ。
北京市一零一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

北京一零一中2017-2018学年度第一学期数学期中考试一、选择题1.设全集=R,M={0,1,2,3},N={-1,0,1},则图中阴影部分所表示的集合是()A. {1}B. {-1}C. {0}D. {0,1}【答案】B【解析】由图可知阴影部分中的元素属于,但不属于,故图中阴影部分所表示的集合为,由,,得,故选B.2.下列函数中与具有相同图象的一个函数是().A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A,与函数的定义域不同,所以函数图像不同;对于B,与函数的对应关系不同,值域不同,所以函数图象不同;对于C,与函数的定义域不同,所以函数图像不同;对于D,与函数的定义域相同,对应关系也相同,所以函数图象相同,故选D.点睛:本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数,属于基础题;函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定;当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数,值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.3.已知为奇函数,当时,,则在上是()A. 增函数,最小值为B. 增函数,最大值为C. 减函数,最小值为D. 减函数,最大值为【解析】试题分析:,图像为开口向下对称轴为的抛物线,所以时在上单调递减.因为位奇函数图像关于原点对称,所以函数在也单调递减.所以在上,.故C正确.考点:1函数的奇偶性;2二次函数的单调性.4.已知函数,则的值等于().A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将代入函数第二段表达式,得到,再代入第二段表达式后得到,此时代入第一段就可以求得函数值.【详解】依题意,故选D.【点睛】本小题主要考查分段函数求值.第一次代入后,还是无法求得函数值,要继续再代入两次才可以.属于基础题.5.若一次函数f(x)=ax+b有一个零点2,则函数g(x)=bx2-ax的图象可能是()A. B.C. D.【解析】∵一次函数有一个零点2,∴,即;则,令可得和,即函数图象与轴交点的横坐标为0,,故对应的图象可能为C,故选C.6.已知函数y=(),则其单调增区间是()A. (-,0]B. (-,-1]C. [-1,+)D. [-2,+)【答案】B【解析】函数可以看作是由和两者复合而成,为减函数,的减区间为,根据“同增异减”的法则可得函数的单调增区间为,故选B.点睛:本题主要考查了复合函数的单调性,属于基础题;寻找函数是由哪两个初等函数复合而成是基础,充分理解“同增异减”的意义是关键,同时需注意当和类似于对数函数等相结合时,要保证单调区间一定在定义域内.7.已知函数,则函数的零点个数为().A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出函数图像,通过观察与图像的交点个数,得到函数的零点个数.【详解】画出和的图像如下图所示,由图可知,两个函数图像有个交点,故函数有两个零点.所以选A.【点睛】本小题主要考查分段函数图像的画法,考查函数的零点问题,将函数零点的问题转化为两个函数图像的交点来解决. 8.定义在上的函数满足,,,且当时,,则等于( ).A.B.C.D.【答案】B 【解析】 ∵,,令得:,又,∴当时,;令,由得:;同理可求:;;①,再令,由,可求得,∴,解得,令,同理反复利用,可得;;…②,由①②可得:有,∵时,而,所以有,;故,故选B.点睛:本题考查抽象函数及其应用,难点在于利用,,两次赋值后都反复应用,分别得到关系式两个关系式,结合时,从而使问题解决,实际上是两边夹定理的应用,属于难题.二、填空题9.计算:__________.【答案】【解析】原式,故答案为.10.已知集合,,则__________.【答案】【解析】由,得,,则,故答案为.11.已知函数的定义域是,则的定义域是__________.【答案】【解析】∵函数的定义域为,∴,解得,即函数的定义域为,故答案为.点睛:本题主要考查了抽象函数的定义域,属于基础题;已知的定义域,求的定义域,其解法是:若的定义域为,则中,从中解得的取值范围即为的定义域.12.函数的值域为,则实数a的取值范围是______.【答案】.【解析】∵函数的值域为,∴,解得或,则实数a的取值范围是,故答案为.13.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.【答案】6【解析】【分析】先求函数周期,再根据周期以及偶函数性质化简,再代入求值.【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.【点睛】本题考查函数周期及其应用,考查基本求解能力.14.某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论:①该食品在6℃的保鲜时间是8小时;②当x∈[﹣6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少;③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中,所有正确结论的序号是.【答案】①④【解析】试题分析:∵食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.∴24k+6=16,即4k+6=4,解得:k=﹣,∴,当x=6时,t=8,故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时,正确;②当x∈[﹣6,0]时,保鲜时间恒为64小时,当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t随看x 增大而逐渐减少,故错误;③到了此日10时,温度超过8度,此时保鲜时间不超过4小时,故到13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故错误;④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间,故正确,故正确的结论的序号为:①④,故答案为:①④.考点:命题的真假判断与应用.三、解答题15.已知集合,,且,,求实数,,的值及集合,.【答案】【解析】试题分析:由,所以,,代入方程可得和集合A,再由,可得集合B,运用韦达定理即可得到所求,的值.试题解析:因为,且,所以,解得;又,所以,又,,所以,解得,,所以.16.已知是定义在上的奇函数.()若,求,的值.()若是函数的一个零点,求函数在区间上的值域.【答案】(1)1;(2)【解析】试题分析:(1)由奇函数的定义可得,即可解出的值,将代入解析式即可得到的值;(2)将代入可得的值,化简可得函数,由和的单调性可得函数的单调性,故而可得函数的值域.试题解析:(1)由题意,,所以,所以,因为,所以=3,所以。
北京市101中学2018-2019学年高一(上)期中考试数学试卷(解析版)

2018-2019学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共8小题,共40.0分)1.设集合M={x|x<1},N={x|0<x≤1},则M∪N=()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对集合M和N取并集即可得到答案.【详解】∵M={x|x<1},N={x|0<x≤1};∴M∪N={x|x≤1}.故选:C.【点睛】本题考查集合的并集运算.2.下列函数中,在(-1,+∞)上为减函数的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意,依次分析选项中函数的单调性,即可得答案.【详解】根据题意,依次分析选项:对于A,y=3x,为指数函数,在R上为增函数,不符合题意;对于B,y=x2-2x+3=(x-1)2+2,在(1,+∞)上为增函数,不符合题意;对于C,y=x,为正比例函数,在R上为增函数,不符合题意;对于D,y=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,在(-2,+∞)上为减函数,符合题意;故选:D.【点睛】本题考查指数函数和二次函数的单调性,关键是掌握常见函数的单调性,属于基础题.3.计算log416+等于()A. B. 5 C. D. 7【答案】B【解析】【分析】利用指数与对数运算性质即可得出.【详解】log416+=2+3=5.【点睛】本题考查指数与对数运算性质,属于基础题.4.函数=+的定义域为().A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析:由题,故选考点:函数的定义域。
5.函数y=的单调增区间是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复合函数的单调性进行求解即可.【详解】令t=-x2+4x+5,其对称轴方程为x=2,内层二次函数在[2,+∞)上为减函数,而外层函数y=为减函数,∴函数y=的单调增区是[2,+∞).故选:D.【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性,复合函数的单调性满足同增异减,是基础题.6.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,则满足f(2x-1)>f()的x的取值范围是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数为偶函数得f(|2x-1|)>f(),由函数的单调性可得|2x-1|<,解不等式即可得答案.【详解】根据题意,偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,则f(2x-1)>f()⇒f(|2x-1|)>f()⇒|2x-1|<,解可得:<x<,即x的取值范围为;故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于基础题.7.若函数f(x)=a|x+1|(a>0.a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(0)的关系是()A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由函数f(x)的值域可得a>1,然后利用单调性即可得到答案.【详解】∵|x+1|≥0,且f(x)的值域为[1,+∞);∴a>1;又f(-4)=a3,f(0)=a;∴f(-4)>f(0).故选:A.【点睛】本题考查指数函数的单调性,并且会根据单调性比较函数值的大小.8.对于实数a和b定义运算“*”:a•b=,设f(x)=(2x-1)•(x-2),如果关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则m的取值范是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数f(x)的图象,由题知y=f(x)与y=m恰有3个交点,观察图像即可得到答案.【详解】由已知a•b=得f(x)=(2x-1)•(x-2)= ,其图象如下:因为f(x)=m恰有三个互不相等实根,则y=m与y=f(x)图像恰有三个不同的交点,所以0<m<,故选:C.【点睛】本题考查函数与方程的综合运用,属中档题.二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)9.已知全集U=R,集合A={x|x2-4x+3>0},则∁U A=___.【答案】{x|1≤x≤3}【解析】【分析】求出集合A,然后取补集即可得到答案.【详解】A={x|x<1或x>3};∴∁U A={x|1≤x≤3}.故答案为:{x|1≤x≤3}.【点睛】本题考查集合的补集的运算,属基础题.10.若0<a<1,b<-1,则函数f(x)=a x+b的图象不经过第___象限.【答案】一【解析】【分析】利用指数函数的单调性和恒过定点,再结合图像的平移变换即可得到答案.【详解】函数y=a x(0<a<1)是减函数,图象过定点(0,1),在x轴上方,过一、二象限,函数f(x)=a x+b的图象由函数y=a x的图象向下平移|b|个单位得到,∵b<-1,∴|b|>1,∴函数f(x)=a x+b的图象与y轴交于负半轴,如图,函数f(x)=a x+b的图象过二、三、四象限.故答案为:一.【点睛】本题考查指数函数的图象和性质,考查图象的平移变换.11.已知log25=a,log56=b,则用a,b表示1g6=______.【答案】【解析】【分析】先由lg2+lg5=1结合log25=a,解出lg5,然后利用换底公式log56=进行计算整理即可得到答案.【详解】∵log25=a=,解得lg5=.log56=b=,∴lg6=blg5=.故答案为:.【点睛】本题考查了对数运算性质,重点考查对数换底公式的应用,考查推理能力与计算能力,属于基础题.12.函数y=(x≤0)的值域是______.【答案】(-∞,2]∪(3,+∞)【解析】【分析】先对函数进行分离常数,然后利用函数单调性即可求出值域.【详解】y=∵x≤0;∴该函数在(-2,0],(-∞,-2)上单调递增;∴x∈(-2,0]时,y≤2;x∈(-∞,-2)时,y>3;∴原函数的值域为(-∞,2]∪(3,+∞).故答案为:(-∞,2]∪(3,+∞).【点睛】考查函数值域的概念及求法,分离常数法的运用,反比例函数值域的求法,属基础题.13.已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足对任意不相等的实数x1,x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,成立,则实数a的取值范围______.【答案】(2,3]【解析】【分析】根据已知条件(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0得到函数f(x)的单调性,然后利用分段函数的单调性列不等式组即可得到答案.【详解】对任意实数x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,可得f(x)在R上为单调递增,则即解得a的取值范围为:2<a≤3.故答案为:(2,3].【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点:(1)若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性对应关系,而且要注意内外函数对应自变量取值范围.14.设函数f(x)=a x+b x-c x,其中c>a>0,c>b>0.若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是______(写出所有正确结论的序号)①对任意的x∈(-∞,1),都有f(x)>0;②存在x∈R,使a x,b x,c x不能构成一个三角形的三条边长;③若△ABC是顶角为120°的等腰三角形,则存在x∈(1,2),使f(x)=0.【答案】①②③【解析】【分析】在①中,利用不等式的性质分析即可,在②中,举例a=2,b=3,c=4进行说明,在③中,利用零点存在性定理分析即可.【详解】在①中,∵a,b,c是△ABC的三条边长,∴a+b>c,∵c>a>0,c>b>0,∴0<<1,0<<1,当x∈(-∞,1)时,f(x)=a x+b x-c x=c x[()x+()x-1]>c x(+-1)=c x•>0,故①正确;在②中,令a=2,b=3,c=4,则a,b,c可以构成三角形,但a2=4,b2=9,c2=16不能构成三角形,故②正确;在③中,∵c>a>0,c>b>0,若△ABC顶角为120°的等腰三角形,∴a2+b2-c2<0,∵f(1)=a+b-c>0,f(2)=a2+b2-c2<0,根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点,即∃x∈(1,2),使f(x)=0,故③正确.故答案为:①②③.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查指数函数单调性、零点存在性定理和不等式性质的运用.三、解答题(本大题共5小题,共50.0分)15.已知函数f(x)=a x-1(x≥0).其中a>0,a≠1.(1)若f(x)的图象经过点(,2),求a的值;(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.【答案】(1)4 ;(2)(0,).【解析】【分析】(1)将点(,2)代入函数解析式,即可得到a值;(2)按指数函数的单调性分a>1和0<a<1两种情况,分类讨论,求得f(x)的值域.【详解】(1)∵函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(,2),∴=2,∴a=4.(2)对于函数y=f(x)=a x-1,当a>1是时,单调递增,∵x≥0,x-1≥-1,∴f(x)≥a-1=,故函数的值域为[,+∞).对于函数y=f(x)=a x-1,当0<a<1是时,单调递减,∵x≥0,x-1≥-1,∴f(x)≤a-1=,又f(x)>0,故函数的值域为(0,).【点睛】本题考查指数函数图像和性质的应用,主要考查函数的单调性和函数值域问题.16.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.【答案】(1)a=-3或a=1;(2){a|a≤-3或a>或a=-2或a=-}.【解析】【分析】(1)根据A∩B={2},可知B中有元素2,带入求解a即可;(2)根据A∪B=A得B⊆A,然后分B=∅和B≠∅两种情况进行分析可得实数a的取值范围.【详解】(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1,2},若A∩B={2},则x=2是方程x2+(a-1)x+a2-5=0的实数根,可得:a2+2a-3=0,解得a=-3或a=1;(2)∵A∪B=A,∴B⊆A,当B=∅时,方程x2+(a-1)x+a2-5=0无实数根,即(a-1)2-4(a2-5)<0解得:a<-3或a>;当B≠∅时,方程x2+(a-1)x+a2-5=0有实数根,若只有一个实数根,x=1或x=2,则△=(a-1)2-4(a2-5)=0解得:a=-3或a=,∴a=-3.若只有两个实数根,x=1、x=2,△>0,则-3<a<;则(a-1)=-3,可得a=-2,a2-5=2,可得a=综上可得实数a的取值范围是{a|a≤-3或a>或a=-2或a=-}【点睛】本题考查并,交集及其运算,考查数学分类讨论思想.17.函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=1.(1)求a,b的值;(2)判断并用定义证明f(x)在(+∞)的单调性.【答案】(1)a=5,b=0;(2)见解析.【解析】【分析】(1)根据函数为奇函数,可利用f(1)=1和f(-1)=-1,解方程组可得a、b值,然后进行验证即可;(2)根据函数单调性定义利用作差法进行证明.【详解】(1)根据题意,f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,则f(-1)=-f(1)=-1,则有,解可得a=5,b=0;经检验,满足题意.(2)由(1)的结论,f(x)=,设<x1<x2,f(x1)-f(x2)=-=,又由<x1<x2,则(1-4x1x2)<0,(x1-x2)<0,则f(x1)-f(x2)>0,则函数f(x)在(,+∞)上单调递减.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,属于基础题.18.已知二次函数满足,.求函数的解析式;若关于x的不等式在上恒成立,求实数t的取值范围;若函数在区间内至少有一个零点,求实数m的取值范围【答案】(1)f(x)=2x2-6x+2;(2)t>10;(3)m<-10,或m≥-2.【解析】【分析】(1)用待定系数法设二次函数表达式,再代入已知函数方程化简即可得答案;(2)分离参数后求f(x)的最大值即可;(3)先求无零点时m的范围,再求补集.【详解】(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+2,(a≠0)∴a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=4x-4∴2ax+a+b=4x-4,∴a=2,b=-6∴f(x)=2x2-6x+2;(2)依题意t>f(x)=2x2-6x+2在x∈[-1,2]上恒成立,而2x2-6x+2的对称轴为x=∈[-1,2],所以x=-1时,取最大值10,t>10;(3)∵g(x)=f(x)-mx=2x2-6x+2-mx=2x2-(6+m)x+2在区间(-1,2)内至少有一个零点,当g(x)在(-1,2)内无零点时,△=(6+m)2-16<0或或,解得:-10≤m<-2,因此g(x)在(-1,2)内至少有一个零点时,m<-10,或m≥-2.【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式,考查恒成立问题的解法以及二次函数的零点问题,属于基础题. 19.设a为实数,函数f(x)=+a+a.(1)设t=,求t的取值范图;(2)把f(x)表示为t的函数h(t);(3)设f (x)的最大值为M(a),最小值为m(a),记g(a)=M(a)-m(a)求g(a)的表达式.【答案】(1)[,2];(2)h(t)=at+,≤t≤2;(3)g(a)=..【解析】【分析】(1)将t=两边平方,结合二次函数的性质可得t的范围;(2)由(1)可得=,可得h(t)的解析式;(3)求得h(t)=(t+a)2-1-a2,对称轴为t=-a,讨论对称轴与区间[,2]的关系,结合单调性可得h(t)的最值,即可得到所求g(a)的解析式.【详解】(1)t=,可得t2=2+2,由0≤1-x2≤1,可得2≤t2≤4,又t≥0可得≤t≤2,即t的取值范围是[,2];(2)由(1)可得=,即有h(t)=at+,≤t≤2;(3)由h(t)=(t+a)2-1-a2,对称轴为t=-a,当-a≥2即a≤-2时,h(t)在[,2]递减,可得最大值M(a)=h ()=a;最小值m(a)=h(2)=1+2a,则g(a)=(-2)a-1;当-a≤即a≥-时,h(t)在[,2]递增,可得最大值M(a)=h(2)=1+2a;最小值m(a)=h ()=a,则g(a)=(2-)a+1;当<-a<2即-2<a<-时,h(t)的最小值为m(a)=h(-a)=-1-a2,若-1-≤a<-,则h(2)≥h(),可得h(t)的最大值为M(a)=h(2)=1+2a,可得g(a)=2+2a+a2;若-2<a<-1-,则h(2)<h (),可得h(t)的最大值为M(a)=h ()=a,可得g(a)=a+1+a2;综上可得g(a)=.【点睛】本题考查函数的最值求法,注意运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法,考查分类讨论思想方法和化简整理运算能力,属于中档题.。
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2017-2018学年北京市101中学高一(上)期末数学试卷一、选择题(每小题5分,共50分)1.(5分)计算:sin=()A.﹣B.C.D.﹣2.(5分)若0<a<1,则函数f(x)=a x+6的图象一定经过()A.第一、二象限B.第二、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限3.(5分)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A.y=e x B.y=tanx C.y=lnx D.y=x3+x4.(5分)已知函数g(x)=f(x)﹣x,若f(x)是偶函数,且f(2)=1,则g (﹣2)=()A.1B.2C.3D.45.(5分)若向量,满足||=||=,则=()A.0B.m C.﹣m D.6.(5分)不等式3>3x的解集是()A.(﹣3,2)B.(﹣2,3)C.(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞)7.(5分)函数y=ln(﹣x2+2x+3)的减区间是()A.(﹣1,1]B.[1,3)C.(﹣∞,1]D.[1,+∞)8.(5分)已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<)的周期为T,在一个周期内的图象如图所示,则正确的结论是()A.A=3,T=2πB.B=﹣1,ω=2C.T=4π,φ=﹣D.A=3,φ= 9.(5分)某学生在期中考试中,数学成绩较好,英语成绩较差,为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩,他决定重点加强英语学习,结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%,但数学成绩每次都比上次降低了10%,期末时这两科分值恰好均为m分,则这名学生这两科的期末总成绩和期中比,结果()A.提高了B.降低了C.不提不降(相同)D.是否提高与m值有关系10.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,,.若=1,=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.二、填空题(每小题5分,共30分)11.(5分)计算:2×80.25+(﹣)0=.12.(5分)要得到y=sin(2x﹣)的图象,只需将函数y=sin2x的图象至少向右平移个单位.13.(5分)函数y=cos2x+3cosx+2的最小值为.14.(5分)已知向量,满足||=2,||=,与的夹角为,,则实数λ=.15.(5分)已知函数f(x)=,定义函数g(x)=f(x)﹣k,若函数g(x)无零点,则实数k的取值范围为.16.(5分)已知数集X={x1,x2,…,x n}(其中x i>0,i=1,2,…,n,n≥3),若对任意的x k∈X(k=1,2,…n),都存在x i,x j∈X(x i≠x j),使得下列三组向量中恰有一组共线:①向量(x i,x k)与向量(x k,x j);②向量(x i,x j)与向量(x j,x k);③向量(x k,x i)与向量(x i,x j),则称X具有性质P,例如{1,2,4}具有性质P.(1)若{1,3,x}具有性质P,则x的取值为(2)若数集{1,3,x1,x2}具有性质P,则x1+x2的最大值与最小值之积为.三、解答题(共40分)17.(10分)已知函数f(x)=2sin(x+).(I)若点P(1,)在角α的终边上,求:cosα和f()的值;(II)若x∈[﹣],求f(x)的值域.18.(8分)设函数f(x)的定义域为R+,且满足条件f(4)=1,对任意x1,x2∈R﹢,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x1≠x2时,有>0.(1)求f(1)的值;(2)如果f(x+6)>2,求x的取值范围.19.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足=+.(1)求证:A、B、C三点共线;(2)已知A(1,cosx)、B(1+sinx,cosx),x∈[0,],f(x)=•+(2m+)||+m2的最小值为5,求实数m的值.20.(12分)已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断.定义:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]).其中,min{f(x)|x∈D}表示函数在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数在D上的最大值.若存在最小正整数k,使得f2(x)﹣f1(x)≤k(x﹣a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.(I)若f(x)=sinx,x∈[﹣],请直接写出f1(x),f2(x)的表达式;(II)已知函数f(x)=(x﹣1)2,x∈[﹣1,4],试判断f(x)是否为[﹣1,4]上的“k阶收缩函数”,如果是,求出对应的k,如果不是,请说明理由.2017-2018学年北京市101中学高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共50分)1.(5分)计算:sin=()A.﹣B.C.D.﹣【解答】解:sin=sin(π﹣)=sin=.故选:B.2.(5分)若0<a<1,则函数f(x)=a x+6的图象一定经过()A.第一、二象限B.第二、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限【解答】解:当0<a<1时,由于函数y=a x经过第一、第二象限,函数f(x)=a x+6 的图象是把y=a x向上平移6个单位得到的,故函数f(x)的图象一定过第一、第二象限,故选:A.3.(5分)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A.y=e x B.y=tanx C.y=lnx D.y=x3+x【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,y=e x为指数函数,不是奇函数,不符合题意;对于B,y=tanx为正切函数,在其定义域内不是增函数,不符合题意;对于C,y=lnx为对数函数,不是奇函数,不符合题意;对于D,y=x3+x,有f(﹣x)=﹣(x3+x)=﹣f(x),为奇函数,且其导数y′=3x2+1>0,在其在定义域内是增函数,符合题意;故选:D.4.(5分)已知函数g(x)=f(x)﹣x,若f(x)是偶函数,且f(2)=1,则g(﹣2)=()A.1B.2C.3D.4【解答】解:∵函数g(x)=f(x)﹣x,f(x)是偶函数,若f(2)=1,则f(﹣2)=1,g(﹣2)=f(﹣2)+2=3,故选:C.5.(5分)若向量,满足||=||=,则=()A.0B.m C.﹣m D.【解答】解:∵向量,满足||=||=,∴||2=||2,∴=,∴=0.故选:A.6.(5分)不等式3>3x的解集是()A.(﹣3,2)B.(﹣2,3)C.(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞)【解答】解:不等式3>3x等价于﹣x2+6>x,∴x2+x﹣6<0,﹣3<x<2,∴不等式的解集是(﹣3,2).故选:A.7.(5分)函数y=ln(﹣x2+2x+3)的减区间是()A.(﹣1,1]B.[1,3)C.(﹣∞,1]D.[1,+∞)【解答】解:令t=﹣x2+2x+3>0,求得﹣1<x<3,故函数的定义域为(﹣1,3),且y=lnt,故本题即求函数t在定义域内的减区间.再利用二次函数的性质求得t=﹣(x﹣1)2+4在定义域内的减区间为[1,3),故选:B.8.(5分)已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<)的周期为T,在一个周期内的图象如图所示,则正确的结论是()A.A=3,T=2πB.B=﹣1,ω=2C.T=4π,φ=﹣D.A=3,φ=【解答】解:由图可得:,,.故选:C.9.(5分)某学生在期中考试中,数学成绩较好,英语成绩较差,为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩,他决定重点加强英语学习,结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%,但数学成绩每次都比上次降低了10%,期末时这两科分值恰好均为m分,则这名学生这两科的期末总成绩和期中比,结果()A.提高了B.降低了C.不提不降(相同)D.是否提高与m值有关系【解答】解:设期中考试英语成绩为a,数学成绩为b,则(1+10%)2a=m,(1﹣10%)2b=m,所以a=,b=,则a+b=+≈2.06m>2m,所以总成绩比期中成绩降低了.故选:B.10.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,,.若=1,=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.【解答】解:由题意可得•=(+)•(+)=•+•+•+•=2×2×cos120°+•μ+λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.••=﹣﹣•(﹣)=•=(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.由①②求得λ+μ=,故选:D.二、填空题(每小题5分,共30分)11.(5分)计算:2×80.25+(﹣)0=5.【解答】解:2×80.25+(﹣)0=(2×8)+1+2=2+1+2=5.故答案为:5.12.(5分)要得到y=sin(2x﹣)的图象,只需将函数y=sin2x的图象至少向右平移个单位.【解答】解:要得到y=sin(2x﹣)的图象,只需将函数y=sin2x的图象至少向右平移个单位,故答案为:.13.(5分)函数y=cos2x+3cosx+2的最小值为0.【解答】解:函数y=cos2x+3cosx+2,=.当x=﹣1时,=0.故函数的最小值为0.故答案为:014.(5分)已知向量,满足||=2,||=,与的夹角为,,则实数λ=.【解答】解:向量,满足||=2,||=,与的夹角为,则,由于,则,所以:4﹣3λ=0,解得.故答案为:.15.(5分)已知函数f(x)=,定义函数g(x)=f(x)﹣k,若函数g(x)无零点,则实数k的取值范围为[﹣1,1).【解答】解:函数f(x)=,可得x>3时,f(x)=log x递减,可得f(x)<﹣1;当x≤3时,f(x)=﹣x+4递减,可得f(x)≥1,即有f(x)的值域为(﹣∞,﹣1)∪[1,+∞),由函数g(x)=f(x)﹣k,若函数g(x)无零点,则f(x)﹣k=0无解,即f(x)=k无解,则k的范围是[﹣1,1).故答案为:[﹣1,1).16.(5分)已知数集X={x1,x2,…,x n}(其中x i>0,i=1,2,…,n,n≥3),若对任意的x k∈X(k=1,2,…n),都存在x i,x j∈X(x i≠x j),使得下列三组向量中恰有一组共线:①向量(x i,x k)与向量(x k,x j);②向量(x i,x j)与向量(x j,x k);③向量(x k,x i)与向量(x i,x j),则称X具有性质P,例如{1,2,4}具有性质P.(1)若{1,3,x}具有性质P,则x的取值为(2)若数集{1,3,x1,x2}具有性质P,则x1+x2的最大值与最小值之积为.【解答】解:(1)由题意可得:(1,3)与(3,x);(1,x)与(x,3);(3,1)与(1,x)中恰有一组共线,当(1,3)与(3,x)共线时,可得x=9,此时另外两组不共线,符合题意,当(1,x)与(x,3)共线时,可得x=,此时另外两组不共线,符合题意,当(3,1)与(1,x)共线时,可得x=,此时另外两组不共线,符合题意,故x的取值为:,,9;(2)由(1)的求解方法可得x1=,,9,当x1=时,由数集{1,3,,x2}具有性质P,①若(1,3)与(3,x2);(1,x2)与(x2,3);(3,1)与(1,x2)中恰有一组共线,可得x2=9,;②若(1,)与(,x2);(1,x2)与(x2,);(,1)与(1,x2)中恰有一组共线,可得x2=,;③若(3,)与(,x2);(3,x2)与(x2,);(,3)与(3,x2)中恰有一组共线,可得x2=,27;故{1,3,,x2}具有性质P可得x2=,,,,9,27;同理当x1=时,{1,3,,x2}具有性质P可得x2=,,,,3,9;同理当x1=9时,可得x2=,,,,3,27,81;则x1+x2的最大值为90,最小值为,故x1+x2的最大值与最小值之积为90×=.故答案为:(1),,9;(2).三、解答题(共40分)17.(10分)已知函数f(x)=2sin(x+).(I)若点P(1,)在角α的终边上,求:c osα和f()的值;(II)若x∈[﹣],求f(x)的值域.【解答】解:(I)点P(1,)在角α的终边上,∴cosα==.f()=2sinα==.(II)由x∈[﹣],那么:x+∈[,].∴≤sin(x+)≤1.故得f(x)的值域为[﹣1,2].18.(8分)设函数f(x)的定义域为R+,且满足条件f(4)=1,对任意x1,x2∈R﹢,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x1≠x2时,有>0.(1)求f(1)的值;(2)如果f(x+6)>2,求x的取值范围.【解答】解:(1)由f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),可得f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1),故f(1)=0.(2)由条件可得f(16)=f(4)+f(4)=2,由>0,可得函数f(x)在定义域R上是增函数,再根据f(x+6)>2,可得f(x+6)>f(16),∴x+6>16,x>10.19.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足=+.(1)求证:A、B、C三点共线;(2)已知A(1,cosx)、B(1+sinx,cosx),x∈[0,],f(x)=•+(2m+)||+m2的最小值为5,求实数m的值.【解答】解:(1)∵=∴∥,又与有公共点A,故A、B、C三点共线.(2)∵,,∴=,,故,,(x∈[0,]).从而==cos2x+(2m+1)sinx+1+m2=﹣sin2x+(2m+1)sinx+2+m2=+,关于sinx的二次函数的对称轴为,∵,∴sinx∈[0,1],又区间[0,1]的中点为.①当,即m≤0时,当sinx=1时,.由f(x)min=5得m=﹣3或m=1,又m≤0,∴m=﹣3;②当,即m>0时,当sinx=0时,,由f(x)min=5得,又m>0,∴.综上所述:m的值为﹣3或.20.(12分)已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断.定义:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]).其中,min{f(x)|x∈D}表示函数在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数在D上的最大值.若存在最小正整数k,使得f2(x)﹣f1(x)≤k(x﹣a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.(I)若f(x)=sinx,x∈[﹣],请直接写出f1(x),f2(x)的表达式;(II)已知函数f(x)=(x﹣1)2,x∈[﹣1,4],试判断f(x)是否为[﹣1,4]上的“k阶收缩函数”,如果是,求出对应的k,如果不是,请说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,f1(x)=﹣1,f2(x)=sinx,x∈[﹣,];(Ⅱ)函数f(x)=(x﹣1)2,x∈[﹣1,4],可得f1(x)=,f2(x)=,若f(x)为[﹣1,4]上的“k阶收缩函数,则f2(x)﹣f1(x)≤k(x+1)在[﹣1,4]上恒成立,当﹣1≤x≤1时,f2(x)﹣f1(x)=4﹣(x﹣1)2,有4﹣(x﹣1)2≤k(x+1)在[﹣1,1]上恒成立,x=﹣1显然成立;当﹣1<x≤1时,k≥的最大值,由=3﹣x∈[2,4],可得k≥4;当1<x≤3时,f2(x)﹣f1(x)=4,有4≤k(x+1)在(1,3]上恒成立,即k≥的最大值,可得k≥2;当3<x ≤4时,f 2(x )﹣f 1(x )=(x ﹣1)2. 有(x ﹣1)2≤k (x +1)在(3,4]上恒成立, 即k ≥的最大值, 由=(x +1)+﹣4∈(1,],可得k ≥, 综上可得k ≥4,则存在k=4,f (x )为[﹣1,4]上的“4阶收缩函数”.赠送—高中数学知识点二次函数(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=-③判别式:∆ ④端点函数值符号. ①k <x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2<k ⇔③x 1<k <x 2 ⇔ af (k )<0④k 1<x 1≤x 2<k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1(或x 2)满足k 1<x 1(或x 2)<k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0,并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1<x 1<k 2≤p 1<x 2<p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上) ①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a =- ③若2b q a->,则()m f q =①若02b x a -≤,则()M f q = ②02b x a->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a =- ③若2b q a->,则()M f q =①若02b x a -≤,则()m f q = ②02b x a->,则()m f p =.x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。