2017-2018年北京市101中学高一上学期数学期末试卷(解析版)

2017-2018学年北京市101中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）计算：sin=（）A．﹣B．C．D．﹣2．（5分）若0＜a＜1，则函数f（x）=a x+6的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第二、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限3．（5分）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（）A．y=e x B．y=tanx C．y=lnx D．y=x3+x4．（5分）已知函数g（x）=f（x）﹣x，若f（x）是偶函数，且f（2）=1，则g （﹣2）=（）A．1B．2C．3D．45．（5分）若向量，满足||=||=，则=（）A．0B．m C．﹣m D．6．（5分）不等式3＞3x的解集是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）7．（5分）函数y=ln（﹣x2+2x+3）的减区间是（）A．（﹣1，1]B．[1，3）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）8．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（）A．A=3，T=2πB．B=﹣1，ω=2C．T=4π，φ=﹣D．A=3，φ= 9．（5分）某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%，但数学成绩每次都比上次降低了10%，期末时这两科分值恰好均为m分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果（）A．提高了B．降低了C．不提不降（相同）D．是否提高与m值有关系10．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，，．若=1，=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）计算：2×80.25+（﹣）0=．12．（5分）要得到y=sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象至少向右平移个单位．13．（5分）函数y=cos2x+3cosx+2的最小值为．14．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，，则实数λ=．15．（5分）已知函数f（x）=，定义函数g（x）=f（x）﹣k，若函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为．16．（5分）已知数集X={x1，x2，…，x n}（其中x i＞0，i=1，2，…，n，n≥3），若对任意的x k∈X（k=1，2，…n），都存在x i，x j∈X（x i≠x j），使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量（x i，x k）与向量（x k，x j）；②向量（x i，x j）与向量（x j，x k）；③向量（x k，x i）与向量（x i，x j），则称X具有性质P，例如{1，2，4}具有性质P．（1）若{1，3，x}具有性质P，则x的取值为（2）若数集{1，3，x1，x2}具有性质P，则x1+x2的最大值与最小值之积为．三、解答题（共40分）17．（10分）已知函数f（x）=2sin（x+）．（I）若点P（1，）在角α的终边上，求：cosα和f（）的值；（II）若x∈[﹣]，求f（x）的值域．18．（8分）设函数f（x）的定义域为R+，且满足条件f（4）=1，对任意x1，x2∈R﹢，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x1≠x2时，有＞0．（1）求f（1）的值；（2）如果f（x+6）＞2，求x的取值范围．19．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（1）求证：A、B、C三点共线；（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•+（2m+）||+m2的最小值为5，求实数m的值．20．（12分）已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断．定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）﹣f1（x）≤k（x﹣a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．（I）若f（x）=sinx，x∈[﹣]，请直接写出f1（x），f2（x）的表达式；（II）已知函数f（x）=（x﹣1）2，x∈[﹣1，4]，试判断f（x）是否为[﹣1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由．2017-2018学年北京市101中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）计算：sin=（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：sin=sin（π﹣）=sin=．故选：B．2．（5分）若0＜a＜1，则函数f（x）=a x+6的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第二、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限【解答】解：当0＜a＜1时，由于函数y=a x经过第一、第二象限，函数f（x）=a x+6 的图象是把y=a x向上平移6个单位得到的，故函数f（x）的图象一定过第一、第二象限，故选：A．3．（5分）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（）A．y=e x B．y=tanx C．y=lnx D．y=x3+x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=e x为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，y=tanx为正切函数，在其定义域内不是增函数，不符合题意；对于C，y=lnx为对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y=x3+x，有f（﹣x）=﹣（x3+x）=﹣f（x），为奇函数，且其导数y′=3x2+1＞0，在其在定义域内是增函数，符合题意；故选：D．4．（5分）已知函数g（x）=f（x）﹣x，若f（x）是偶函数，且f（2）=1，则g（﹣2）=（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵函数g（x）=f（x）﹣x，f（x）是偶函数，若f（2）=1，则f（﹣2）=1，g（﹣2）=f（﹣2）+2=3，故选：C．5．（5分）若向量，满足||=||=，则=（）A．0B．m C．﹣m D．【解答】解：∵向量，满足||=||=，∴||2=||2，∴=，∴=0．故选：A．6．（5分）不等式3＞3x的解集是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【解答】解：不等式3＞3x等价于﹣x2+6＞x，∴x2+x﹣6＜0，﹣3＜x＜2，∴不等式的解集是（﹣3，2）．故选：A．7．（5分）函数y=ln（﹣x2+2x+3）的减区间是（）A．（﹣1，1]B．[1，3）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【解答】解：令t=﹣x2+2x+3＞0，求得﹣1＜x＜3，故函数的定义域为（﹣1，3），且y=lnt，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得t=﹣（x﹣1）2+4在定义域内的减区间为[1，3），故选：B．8．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（）A．A=3，T=2πB．B=﹣1，ω=2C．T=4π，φ=﹣D．A=3，φ=【解答】解：由图可得：，，．故选：C．9．（5分）某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%，但数学成绩每次都比上次降低了10%，期末时这两科分值恰好均为m分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果（）A．提高了B．降低了C．不提不降（相同）D．是否提高与m值有关系【解答】解：设期中考试英语成绩为a，数学成绩为b，则（1+10%）2a=m，（1﹣10%）2b=m，所以a=，b=，则a+b=+≈2.06m＞2m，所以总成绩比期中成绩降低了．故选：B．10．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，，．若=1，=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得•=（+）•（+）=•+•+•+•=2×2×cos120°+•μ+λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．••=﹣﹣•（﹣）=•=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）计算：2×80.25+（﹣）0=5．【解答】解：2×80.25+（﹣）0=（2×8）+1+2=2+1+2=5．故答案为：5．12．（5分）要得到y=sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象至少向右平移个单位．【解答】解：要得到y=sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象至少向右平移个单位，故答案为：．13．（5分）函数y=cos2x+3cosx+2的最小值为0．【解答】解：函数y=cos2x+3cosx+2，=．当x=﹣1时，=0．故函数的最小值为0．故答案为：014．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，，则实数λ=．【解答】解：向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则，由于，则，所以：4﹣3λ=0，解得．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=，定义函数g（x）=f（x）﹣k，若函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为[﹣1，1）．【解答】解：函数f（x）=，可得x＞3时，f（x）=log x递减，可得f（x）＜﹣1；当x≤3时，f（x）=﹣x+4递减，可得f（x）≥1，即有f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞），由函数g（x）=f（x）﹣k，若函数g（x）无零点，则f（x）﹣k=0无解，即f（x）=k无解，则k的范围是[﹣1，1）．故答案为：[﹣1，1）．16．（5分）已知数集X={x1，x2，…，x n}（其中x i＞0，i=1，2，…，n，n≥3），若对任意的x k∈X（k=1，2，…n），都存在x i，x j∈X（x i≠x j），使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量（x i，x k）与向量（x k，x j）；②向量（x i，x j）与向量（x j，x k）；③向量（x k，x i）与向量（x i，x j），则称X具有性质P，例如{1，2，4}具有性质P．（1）若{1，3，x}具有性质P，则x的取值为（2）若数集{1，3，x1，x2}具有性质P，则x1+x2的最大值与最小值之积为．【解答】解：（1）由题意可得：（1，3）与（3，x）；（1，x）与（x，3）；（3，1）与（1，x）中恰有一组共线，当（1，3）与（3，x）共线时，可得x=9，此时另外两组不共线，符合题意，当（1，x）与（x，3）共线时，可得x=，此时另外两组不共线，符合题意，当（3，1）与（1，x）共线时，可得x=，此时另外两组不共线，符合题意，故x的取值为：，，9；（2）由（1）的求解方法可得x1=，，9，当x1=时，由数集{1，3，，x2}具有性质P，①若（1，3）与（3，x2）；（1，x2）与（x2，3）；（3，1）与（1，x2）中恰有一组共线，可得x2=9，；②若（1，）与（，x2）；（1，x2）与（x2，）；（，1）与（1，x2）中恰有一组共线，可得x2=，；③若（3，）与（，x2）；（3，x2）与（x2，）；（，3）与（3，x2）中恰有一组共线，可得x2=，27；故{1，3，，x2}具有性质P可得x2=，，，，9，27；同理当x1=时，{1，3，，x2}具有性质P可得x2=，，，，3，9；同理当x1=9时，可得x2=，，，，3，27，81；则x1+x2的最大值为90，最小值为，故x1+x2的最大值与最小值之积为90×=．故答案为：（1），，9；（2）．三、解答题（共40分）17．（10分）已知函数f（x）=2sin（x+）．（I）若点P（1，）在角α的终边上，求：c osα和f（）的值；（II）若x∈[﹣]，求f（x）的值域．【解答】解：（I）点P（1，）在角α的终边上，∴cosα==．f（）=2sinα==．（II）由x∈[﹣]，那么：x+∈[，]．∴≤sin（x+）≤1．故得f（x）的值域为[﹣1，2]．18．（8分）设函数f（x）的定义域为R+，且满足条件f（4）=1，对任意x1，x2∈R﹢，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x1≠x2时，有＞0．（1）求f（1）的值；（2）如果f（x+6）＞2，求x的取值范围．【解答】解：（1）由f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），可得f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1），故f（1）=0．（2）由条件可得f（16）=f（4）+f（4）=2，由＞0，可得函数f（x）在定义域R上是增函数，再根据f（x+6）＞2，可得f（x+6）＞f（16），∴x+6＞16，x＞10．19．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（1）求证：A、B、C三点共线；（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•+（2m+）||+m2的最小值为5，求实数m的值．【解答】解：（1）∵=∴∥，又与有公共点A，故A、B、C三点共线．（2）∵，，∴=，，故，，（x∈[0，]）．从而==cos2x+（2m+1）sinx+1+m2=﹣sin2x+（2m+1）sinx+2+m2=+，关于sinx的二次函数的对称轴为，∵，∴sinx∈[0，1]，又区间[0，1]的中点为．①当，即m≤0时，当sinx=1时，．由f（x）min=5得m=﹣3或m=1，又m≤0，∴m=﹣3；②当，即m＞0时，当sinx=0时，，由f（x）min=5得，又m＞0，∴．综上所述：m的值为﹣3或．20．（12分）已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断．定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）﹣f1（x）≤k（x﹣a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．（I）若f（x）=sinx，x∈[﹣]，请直接写出f1（x），f2（x）的表达式；（II）已知函数f（x）=（x﹣1）2，x∈[﹣1，4]，试判断f（x）是否为[﹣1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，f1（x）=﹣1，f2（x）=sinx，x∈[﹣，]；（Ⅱ）函数f（x）=（x﹣1）2，x∈[﹣1，4]，可得f1（x）=，f2（x）=，若f（x）为[﹣1，4]上的“k阶收缩函数，则f2（x）﹣f1（x）≤k（x+1）在[﹣1，4]上恒成立，当﹣1≤x≤1时，f2（x）﹣f1（x）=4﹣（x﹣1）2，有4﹣（x﹣1）2≤k（x+1）在[﹣1，1]上恒成立，x=﹣1显然成立；当﹣1＜x≤1时，k≥的最大值，由=3﹣x∈[2，4]，可得k≥4；当1＜x≤3时，f2（x）﹣f1（x）=4，有4≤k（x+1）在（1，3]上恒成立，即k≥的最大值，可得k≥2；当3＜x ≤4时，f 2（x ）﹣f 1（x ）=（x ﹣1）2． 有（x ﹣1）2≤k （x +1）在（3，4]上恒成立， 即k ≥的最大值， 由=（x +1）+﹣4∈（1，]，可得k ≥， 综上可得k ≥4，则存在k=4，f （x ）为[﹣1，4]上的“4阶收缩函数”．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。