高中数学骨干教师招聘考试试卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试湖南理科数学摸拟卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知复数z 满足()21=+z i ，则z =（ ） A.1+i B. 1—i C.-1+i D.-1-i2．某学校共在2015名学生，将从中选项派6名学生在某天去国家大剧院参加音乐晚会，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2015名学生中剔除5名学生，再从2010名学生中随机抽取6名，则其中学生甲被选取的概率是（ ）A ．33511400 B ．20151 C ．20101 D ．201563．设,a b ∈R ，则“0ab >且a b >”是“11a b<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．阅读如右的程序框图，若输入m = 5，n = 6，则输出a = ．A ． 2B ．30C ．4D ．55．如图所示是某一几何体的三视图，则它的表面积为（ ） A ．16＋12π B ．48＋12π C ．144＋12π D ．64＋16π6．如果函数)4cos(πω+=x y 的图象关于直线π=x 对称，则正实数ω的最小值是（ ）A ．41 B ．21 C ．43D ．1 7．已知O 为坐标原点，双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F ，以F 为圆心，OF 为半径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若0)(<⋅+OF AF AO ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．)21(，B ．)21(，C ．)22(，D ．)2(∞+，3俯视图侧视图正视图5443（第5题图）8．滑翔跳伞规定运动员的落点在半径为5米的圆形区域内，若落点到圆心的距离不大于1米，则成绩记为优秀；则某运动员成绩为优秀的概率是 A ．251 B ．201 C ．51 D ．419．已知P 是△ABC 的边BC 的一个三等分点，且AP xAB yAC =+，则x ＋y ＝A ．12B ．23C ．1D ．210．已知函数()cos f x x =，,,a b c 分别为ABC ∆的内角A,B,C 所对的边，且222334a b c ab +-=，则下列不等式一定成立的是（ ）A. (sin )(cos )f A f B ≤B. (cos )(cos )f A f B ≤C. (sin )(sin )f A f B ≥D. (sin )(cos )f A f B ≥答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中的横线上.)11．极坐标方程4sin ρθ=与参数方程1213x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）所表示图形的交点个数是12．平行于ABC ∆的边AB 的直线交CA 于E ，交CB 于F ，若直线EF 把ABC ∆分成面积相等的两部分，则=CACE13.若x dx x f x f =+⎰1)()(，则=)(x f14．若y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14x x y y x ，且y kx z +=取得最小值的点有无数个，则=k15.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=2),2(212,11)(x x f x x x f ，则函数1)()(-=x xf x F 的零点个数为三、解答题（本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．(本小题满分8分) 我校科技兴趣小组准备参加全国科技竞赛，兴趣小组准备研制一种新型探空仪器模型装置。

该模型装置需要制作A 、B 、C 三个关键零配件，制作过程必须经过两次加工，当第一次粗加工合格后才可以进入第二次精加工，两次加工过程相互独立。

根据兴趣小组的多次试验结果分析，经过第一次粗加工，A 、B 、C 三件零配件合格的概率分别为0.5,0.7,0.7，经过第二次精加工后，三个零配件合格的概率依分别为0.7,0.8，0.6. （1）求第一次粗加工后恰有两个零配件合格的概率；（2）经过第一次粗加工与第二次精加工之后，合格的零配件的个数为X ，求随机变量X 的数学期望17．(本小题满分8分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，||AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，190,1,22ADC BC AD PD CD ∠=︒====，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 上一点. （I ）试确定点M 的位置，使得||PA 平面BMQ ，并证明你的结论；（II ）若2PM MC =，求二面角P BQ M --的余弦值.18．(本小题满分8分) 已知数列{}n a 的前n 项和(1)(1,2,3,)2n n n a S n +==. （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求证：1(2)1(1)(2)n n n a n a n --+=-≥； （Ⅲ）判断数列{}n a 是否为等差数列，并说明理由.19．(本小题满分10分) 湖南省第十届大学生运动会于2014年9月7日开始，2014年11月25日结束，历时两个半月。

某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．20．(本小题满分10分) 已知动点P 到定点()1,0F 和直线:2l x =的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于,A B 两点，直线:l y mx n =+与曲线E 交于,C D 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合）（I ）求曲线E 的方程；（II ）当直线l 与圆221x y +=相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.21．(本小题满分11分) 设函数21()51623f x x x =++，L为曲线:()C y f x =在点1(1,)12-处的切线.（Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）当15x <-时，证明：除切点1(1,)12-之外，曲线C 在直线L 的下方；（Ⅲ）设123,,x x x ∈R ，且满足1233x x x ++=-，求123()()()f x f x f x ++的最大值．参考答案一. 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDABCABACD二. 填空题 11.2 12.2213. 41-x 14. -2或1 15. 6三．解答题16．（1）第一次粗加工后A ，B ，C 合格的概率分别为：P （A ）=0.5，P （B ）=0.7， P （C ）=0.7 设第一次粗加工后恰有两个零件合格的事件为D ，则P （D ）= P （AB C ）+ P （A B C ）+ P （A BC ）=0.5⨯0.7⨯0.3+0.5⨯0.3⨯0.7+0.5⨯0.7⨯0.7=0.455 （2）列表如下 X 0 1 2 3 P0.0450.2550.4550.245P （x=0）= P （ABC ）=0.045P （x=1）= P （BC A ）+ P （A B C ）+ P （AB C ）=0.255 P （x=2）= P （AB C ）+ P （A B C ）+ P （A BC ）=0.455 P （x=3）= P （ABC ）=0.24517. （1）当M 为PC 中点时，//PA 平面BMQ ， 理由如下： 连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点． 当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线， 故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ， 所以//PA 平面BMQ（2）由题意，以点D 为原点DP DC DA ,,所在直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系， 则),0,2,1(),0,0,1(),2,0,0(B Q PNCQMPBDAxyz由MC PM 2=可得点)32,34,0(M ,所以)32,34,1(),0,2,0(),20,1(-==-=QM QB PQ , 设平面PQB 的法向量为),,(1z y x n =，则1120,2,0.20,PQ n x z x z y QB n y ⎧⋅=-==⎧⎪∴⎨⎨=⋅==⎩⎪⎩ 令)1,0,2(,11=∴=n z ，同理平面MBQ 的法向量为)1,0,32(2=n 设二面角大小为θ，.65657cos 2121=⋅=n n n n θ 18. （Ⅰ）解：由题意知：1112a S +=，即1112a a +=. 解得：11a =.（Ⅱ）证明：因为 (1)(1,2,3,)2n n n a S n +==， 所以 11(1)(1)2n n n a S ---+=（2n ≥）.因为 1n n n a S S -=-（2n ≥）. 所以 11(1)2n n n na n a a -+--=，即1(2)1(1)(2)n n n a n a n --+=-≥.（Ⅲ）数列{}n a 是等差数列.理由如下：又22(2)(1)2n n n a S ---+=（3n ≥），由（Ⅱ）可得：112n n n a S S ---=-12(1)1(2)2n n n a n a ---+--=（3n ≥）. 所以 1212(1)(2)2n n n n n na n a n a a a -----+--=，即12(2)2(2)(2)0n n n n a n a n a -----+-=. 因为 3n ≥，所以 1220n n n a a a ---+=，即112n n n n a a a a ----=-（3n ≥）. 所以 数列{}n a 是以1为首项，21a -为公差的等差数列.19. (1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋400(20－x )](x －7)，0<x ≤20，[2 000－100(x －20)](x －7)，20<x <40， ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400(25－x )(x －7)，0<x ≤20，100(40－x )(x －7)，20<x <40.此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400[－(x －16)2＋81]，0<x ≤20，100[－⎝⎛⎭⎫x －4722＋1 0894]，20<x <40. 当0<x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32 400(元)． 当20<x <40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元)．综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400 元．20. (1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ， 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x . (2).设),(11y x C ，),(22y x D ，由已知可得：|| 2.AB =当0=m 时，不合题意.当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221.m n +=联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x nmx y 消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m ，122,1222221+∆--=+∆+-=m mn x m mn x 所以，1222,1242221221+-=+-=+m n x x m mn x x ||||2112x x AB S ACBD-=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m =22.122||||m m ≤+ 当且仅当||1||2m m =，即22±=m 时等号成立，此时26±=n ，经检验可知，直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. 21. （Ⅰ）221016()(51623)x f x x x +'=-++.所以 1(1)24f '-=-. 所以 L 的方程为11(1)1224y x -=-+，即112424y x =-+．（Ⅱ）要证除切点1(1,)12-之外，曲线C 在直线L 的下方，只需证明1(,1)(1,)5x ∀∈-∞---，2111516232424x x x <-+++恒成立. 因为 2516230x x ++>，所以 只需证明1(,1)(1,)5x ∀∈-∞---，32511710x x x +++<恒成立即可．设321()5117 1 ().5g x x x x x =+++-≤则2()15227(1)(157)g x x x x x '=++=++. 令()0g x '=，解得11x =-，2715x =-. 当x 在1(,]5-∞-上变化时，()'(),g x g x 的变化情况如下表x (,1)-∞-1-7(1,)15--715-71(,)155-- 15- '()g x+ 0 - 0+()g x↗↘↗所以 1(,1)(1,)5x ∀∈-∞---，32511710x x x +++<恒成立.（Ⅲ）（ⅰ）当1211,,55x x <-<-且315x <-时，由（Ⅱ）可知：11211111()516232424f x x x x =-+++≤， 22222111()516232424f x x x x =-+++≤，33233111()516232424f x x x x =-+++≤. 三式相加，得12312311()()()()248f x f x f x x x x ++≤-+++. 因为 1233x x x ++=-，所以 1231()()()4f x f x f x ++≤，且当1231x x x ===-时取等号．（ⅱ）当123,,x x x 中至少有一个大于等于15-时，不妨设115x -≥，则2221118511851516235(5()2055555x x x ++=++-++=)≥，因为 2222285151516235()555x x x ++=++≥，2233385151516235()555x x x ++=++≥，所以 1231551()()()2051514f x f x f x ++++<≤． 综上所述，当1231x x x ===-时123()()()f x f x f x ++取到最大值14.。