根据函数图像确定条件
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(单位:
根据图②判断出AB、BC的长度,过点B作BE⊥AD于点ABCD BE,再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度,过点,
×,
×
BE=3,
×=3
=,
=4+2,
4+21=4+2(秒))
ABE=
【解析】首先,分析函数的图象两个坐标轴表示的实际意义及函数的图象的增减情况.
横轴表示时间t ,纵轴表示△BPQ 的面积y .
当0<t ≤5时,图象为抛物线,图象过原点,且关于y 轴对称,y 随的t 增大而增大,
t=5的时候,△BPQ 的面积最大,
5<t <7时,y 是常函数,△BPQ 的面积不变,为10.
从而得到结论:t=5的时候,点Q 运动到点C ,点P 运动到点E , 所以BE =BC=AD =5×1=5cm ,
5<t <7时,点P 从E →D ,所以ED =2×1=2cm ,AE=3 cm ,AB=4 cm. cos ∠ABE =
5
4
=BE AB . 设抛物线OM 的函数关系式为2
at y =(,0≠a 0<t ≤5),把(5,10)代入得到
a 2510=,所以52=
a , 所以当0<t ≤5时, y =5
2
t 2
当t >5时,点P 位于线段CD 上,点Q 与点C 重合,.
当t =
294秒,点P 位于P ’处,C P ’=CD -DP ’=4-(29
4-7)=4
15 cm. 在△ABE 和△Q ’BP ’中,3
4
''==CP B Q AE AB ,∠A =Q ’=90°,
所以△ABE ∽△Q ’BP ’ 【答案】①③④
【点评】本题综合考察了动点问题、二次函数、三角形相似、常函数、锐角三角函数、分段函数的知识,综合性强。读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义,理解问题叙述的过程,把图象的过程和几何的动点运动过程相结合,化静为动,从而解决问题。本题考察的知识点全面,难度较大。
如图1,点E 为矩形ABCD 边AD 上一点,点P ,点Q 同时从点B 出发,点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止,点Q 沿BC 运动到点C 停止,它们的运动速度都是1cm/s .设P ,Q 出发秒时,△BPQ 的面积为y cm 2,已知y 与的函数关系的图象如图2(曲线OM 为抛物线的一部分).则下列结论:
①AD=BE=5cm ;②当0<≤5时,2
5
2t y =;③直线NH 的解析式为272
5+-=t y ;④若△ABE 与△QBP 相似,则429
=t 秒.其中正确结论的个数为( )
A .4
B .3
C .2
D .
1
【答案】:B .
【解析】据图(2)可以判断三角形的面积变化分为三段,可以判断出当点P 到达点E 时点Q 到达点C ,从而得到BC 、BE 的长度,再根据M 、N 是从5秒到7秒,可得ED 的长度,然后表示出AE 的长度,根据勾股定理求出AB 的长度,然后针对各小题分析解答即可.
【方法指导】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象,根据图(2)判断出点P 到达点E 时,点Q 到达点C 是解题的关键,也是本题的突破口,难度较大.
如图1.E 为矩形ABCD 边AD 上一点,点P 从点B 沿折线BE —ED —DC 运动到点C 时停止,点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止.它们的运动速度都是1cm /s .若点P ,Q 同时开始运动,设运动时间为t (s ),⊿BPQ 的面积y (cm 2).已知y 与t 的函数关系图像如图2,则下面结论错误的是( )
A . cm AE 6=
B . 5
4
sin =
∠EBC C . 当100≤ 5 2t y = D .当s t 12=时,PBQ ∆是等腰三角形 【答案】A 【考点解剖】本题是一道典型的动点问题,主要考查了三角函数、等腰三角形的判定、二次函数的解析式、三角形的面积公式,解决本题的关键是能够根据 图形中点的位置与相应线段、面积的变化来理解函数图象表达的意义,数形结合,化静为动,从而正确的解决问题. 【解析】 如图:利用数形结合思想方法,结合图1、图2分别求出BE =BC =10cm ,DE =4cm ,AE =6cm ;然后利用勾股定理求出AB ,即可求出sin ∠EBC = 5 4 ;当100≤ 4 =,然后利用三 角形面积公式即可求出y 与t 的函数关系式y =⨯t 21t 542 5 2t =,最后利用排除 法即可选D . 【方法指导】点的运动问题,主要表现在运动路径与时间之间的图象关系.解决动点问题时,对题意的理解要清晰,关键是正确获取或处理题中的信息,明确哪些是变化的量,哪些是不变的量. 3、如图1,A .D 分别在x 轴和y 轴上,CD ∥x 轴,BC ∥y 轴.点P 从D 点出发,以1cm/s 的速度,沿五边形OABCD 的边匀速运动一周.记顺次连接P 、O 、D 三点所围成图形的面积为Scm 2 ,点P 运动的时间为ts .已知S 与t 之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI 所示. (1)求A.B两点的坐标; (2)若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分,求直线PD的函数关系式. 【解析】结合图1和图2,可知,当P点从D沿DO匀速运动到O点时,对应图2中OE线段,此时顺次连接P、O、D三点不能构成三角形,所以对应三角形的面积为0;当P点从O沿OA匀速运动到A点时,对应图2中的线段EF,当P点运动到A点时,对应三角形的面积为4,由此还可以判断DO+OA=6;当P点从A沿AB匀速运动到B点时,对应图2中的线段FG,由横轴数据可知AB=5,当P点运动到B点时,三角形的面积达到最大;当P点从B沿BC匀速运动到C点时,三角形以边DO为底边,由于BC∥y轴,相当于三角形的高没有变化,所以对应三角形的面积没有变,因此在图2中对应线段GH与横轴平行,根据横轴数据可知BC=1;当P点从C沿CD匀速运动到D点时,三角形的面积逐渐变小直到为0,对应图2中线段HI。弄清楚了整个运动过程,(1)当P点运动到A点时,对应三角形的面积为4,由此还可以判断 DO+OA=6,可设A坐标,列方程求出A的坐标为(2,0)和D 点坐标为(0,4)。求B点坐标需要添加辅助线:延长CB交x轴 于M,利用勾股定理可以得到AM=4,进而达到B点坐标为(6,3)。 (2)求直线PD的函数关系式,已经知道D点坐标(0,4),只需找到P点坐标即可,设P(,) x y,根据已知面积相等,列方程找到x与y的关系式,解方程组得到P点坐标。 【答案】解:(1)连接AD,设点A的坐标为(,0) a, 由图2知,DO+OA=6cm, DO=6-AO, 由图2可知4 AOD S ∆ =,∴ 1 2 DO·AO=4, ∴2680 a a -+=, 解得2=4 a a =或。由图2可知,DO>3,∴AO<3,∴=2 a,∴A 的坐标为(2,0), D点坐标为(0,4),在图1中,延长CB交x轴于M,由 图2可知,AB=5,CB=1,∴MB=3, ∴AM,∴OM=6, ∴B的坐标为(6,3). (2) 直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分,显然点P一定在AB上,设点P(,) x y,连接PC、PO,则 D P C P B C A B M O M C D D P B C O A B C D 11 =S+S==S-S=9 22 S S ∆∆∆ 矩形 四边形五边形 11 64-)+1(6-)=9,+6=12 22 y x x y ⨯⨯⨯⨯ (即.同理,由DPAO =9+= S 四边形 ,可得2x y9 .