数阵图(一)(含详细解析)

1. 了解数阵图的种类

2. 学会一些解决数阵图的解题方法

3. 能够解决和数论相关的数阵图问题

.

一、数阵图定义及分类：

1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.

2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.

3.

二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；

第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；

第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．

模块一、封闭型数阵图

【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】

例题精讲

知识点拨

教学目标

5-1-3-1.数阵图

8

7

6

5

43

2

1

【答案】

8

7

6

5

43

2

1

【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数

字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？

（1）

【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：

（2）h g

f e

d c b

a

a+b+c=14（1）

c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）

a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，

d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.

又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8

若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，

4，7，8中，不行.

若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.

说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的

解题突破口.

【答案】

【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则

三个顶点上的三个数的和是 。

C

B

A

【考点】封闭型数阵图 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第11题，5分

【解析】 设三个顶点为D ,E ,F ，求D ,E ,F 。观察容易发现，三条边的和为36，即D +A +E +E +C +F +F +B +D =36

18+2( D +E +F )=36，所以D +E +F =9

【答案】9

【例 4】 将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那么，

每条边上的数字和是 ．

7

8

9

f

e

d

c

b

a 7

8

9

【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 如图，用字母表示各个圆圈中的数，那么每条边上的数字和为

()1293153

a b c

a b c ++++++++÷=+

，由于a b c ++最小为1236++=，最大为 45615++=，所以每条边上的数字和最小为17，最大为20，如下两图为每条边上的数字和分别为17

和20时的填法．

5987

12

4

3

6

5

987

1

243

6

而每条边上的数字和能否为18或19呢？答案是否定的，现说明如下．

如果每条边上的数字和为18，那么()181539a b c ++=-⨯=，而918a b d +++=，即9a b d ++=，得

到c d =，与题意不符，所以每条边上的数字和不能为18．如果每条边上的数字和为19，类似分析可得到b e =，也与题意不符，所以每条边上的数字和不能为19． 所以每条边上的数字和为17或20．

【答案】17或20

【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，

那么A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______．

B

A

【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2008年，学而思杯，五年级，4年级，第4题 【解析】 方法一：如图

f e c

d

b a

B

A

用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条直线上的三个数之和都为s ，那么2a b c d e f s +++++=，3a A e b A d c B f s ++++++++=，所以2A B s +=， 253a b c d e f A B s A B A B +++++++=++=+，而 12836a b c d e f A B +++++++=++

+=，所以5336A B +=，那么A 是3的倍数.如果3A =，得

7B =；如果6A =，得2B =，这两种情况下A 和B 的差都为4，所以A 和B 两个圆圈中所填的数之差

(大数减小数)是4.

方法二：设各条直线上的三个数之和都为s ，2(1238)5B s +++

+-=，即725B s -=，

所以2

14B s =⎧⎨=⎩

，713B s =⎧⎨=⎩，由于(1238)3A s +++++=，即363A s +=，

因此有146s A =⎧⎨=⎩,133s A =⎧⎨=⎩,综合有2146B s A =⎧⎪=⎨⎪=⎩，7

133

B s A =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

，

所以A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是4.

【答案】4

【例 6】 如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两

个数A 与B 的和是________。

B

A

【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第5题，4分