酉矩阵在矩阵张量积交换中的应用

P
I ) n t+2…nk =
( (A1
A t+1
…
… At- 1 )
( ( PT
Ak ) ) ) ( In1…n t- 1
P
I ) m t+2…m k (A t I ) n t+2…nk =
( (A1
…
At- 1 )
( ( PT (At
At+1 ) )
( Im t+2…m k (A t+2
… Ak ) ) ) ( In1…n t- 1
(2) r(A1 … Ai … At … Ak ) = r(A1 … At … Ai … Ak ) 。
证明 (1) 由定理 2. 9知 r(Ak Ak - 1 … A2 A1 ) = r( PT (A1 A2 …
Ak- 1 Ak ) P) =
sup
x =1
PT (A1
A2 … Ak - 1
Ak ) Px, x =
Applica tion of Un itary M a tr ix in the Comm uta tion of Ten sor Products of M a tr ices
SONG Cai2qin, ZHAO J ian2li
( School of Mathematics Science, L iaocheng University, L iaocheng 252059, P1R1China)
pk阶酉矩阵 W 使得
(W T Im ) ( Ip PT ) (QT Ik ) (A (Q Ik ) ( Ip P) (W Im ) = C B
证明 (W T Im ) ( Ip PT ) (QT
B C) × A。 Ik ) ×
(A B C ) (Q Ik ) ( Ip P) (W Im ) =
使得
( Ip PT ) (QT Ik ) (A B C ) × (Q Ik ) ( Ip P) = B C A。
证明 由定理 2. 1和定理 2. 2可直接推得 。
定理 2. 4 设 A ∈Mm ×m , B ∈M p×p , C ∈M k ×k , 那么存在一个 m k阶的酉矩阵 P , m p阶酉矩阵 Q 和
At
… Ak。
证明 ( Im 1…m t- 1
PT
I ) m t+2…m k (A1
…
At
A t+1
…
Ak ) ( Im 1…m t- 1
P
I ) m t+2…m k =
( ( Im 1…m t- 1 (A1
I ) m t+2…m k (A t
A t+1
…
At- 1 ) )
( ( PT
…
Ak ) ) ) ( In1…n t- 1
[ Abstract] More arbitrary m atrices can be commuted in the help of orthogonal matrix when many matrices do tensor p roduct. So that the equality of numerical radius after tensor p roducts of two m atrices is commuted, is gener2 alized to more. [ Key words] tensor p roduct of m atrix unitary matrix numerical radius
第 8卷 第 12期 2008年 6月
167121819 (2008) 1223257203
科 学 技 术 与 工 程
Science Technology and Engineering
Vol. 8 No. 12 June 2008
Ζ 2008 Sci. Tech. Engng.
2 主要结论
首先详细介绍在复数域内三个矩阵做张量积 利用酉矩阵实现任意交换的情况 。
定理 2. 1 设 A ∈Mm ×m , B ∈M p×p , C ∈M k ×k 那 么存在一个 m p阶的酉矩阵 P使得
( PT Ik ) (A B C ) ( P Ik ) = B A C。 证明 ( PT Ik ) (A B C ) ( P Ik ) =
定理 2. 6 设 A1 ∈Mm 1 ×m 1 , …, Ak ∈Mm k ×m k ,那 么存在一个 m tm t+1 阶的酉矩阵 P使得
( Im 1…m t- 1
PT
I ) m t+2…m k (A1
…
At
A t+1
… Ak ) ( Im 1…m t- 1
P
I ) m t+2…m k =
A1
… A t+1
PT (A B ) P = B A。
定理 1. 2[ 1 ] 设矩阵 A ∈Mm ×p , B ∈M p×s , C ∈
Mm ×n , D ∈M s×q ,则
(A B ) (C
D ) = (AC
BD ) 。
定理 1. 3[ 2 ] 设 A, B ∈ L (U ) ,则数值半径
r(A B ) = r(B A ) 。
1 预备知识
定理 1. 1[ 1 ] 设 A, B 分别为 m ×m 和 n ×n矩 阵 ,则存在一个 m n阶排列矩阵 P使得
2008年 2月 18日收到 国家自然科学基金 (10771073)资助 第一作者简介 :宋彩芹 ( 1983—) ,女 ,汉族 ,山东莘县人 ,聊城大 学硕士研究生 ,研究方向 : 矩阵代数 。 E2mail: songcaiqin1983 @ 163. com。
(W T Im ) ( Ip PT ) (QT (A B ) Ik C ) ×
(Q Ik ) ( Ip P) (W Im ) = (W T Im ) ( Ip PT ) (QT (A
B)Q
Ik C Ik ) ×
( Ip P) (W Im ) = (W T Im ) ( Ip PT ) (B A C ) ( IP
(W Im ) = (W T Im ) (B C A ) (W
C B A。
P) ×
Im ) =
定理 2. 5 设 A ∈Mm ×m , B ∈M p×p , C ∈M k ×k , 那么存在一个 m k阶的酉矩阵 P , m p阶酉矩阵 Q 和
pk阶酉矩阵 W 使得
( Ik (A B QT ) = C
= (A1 … At- 1 )
( ( PT (At At+1 ) P)
(At+2 … Ak ) =
(A1
… At- 1 )
(A t+1 A t )
(A t+2
…
Ak ) = A1 … A t+1 A t … Ak 。
由此可以看出 ,既然可以实现相邻两个矩阵的
交换 ,就可以实现任意两个非相邻矩阵的交换 。因
sup
x =1
(A1
A2 … Ak- 1
Ak ) Px,Hale Waihona Puke BaiduPx =
sup
y =1
(A1
A2 … Ak- 1
Ak ) y, y
=
r(A1 A2 … Ak- 1 Ak ) 。
(2 ) 利 用 定 理 2. 7 与 ( 1 ) 的 证 明 类 似 , 不 再
赘述 。
参 考 文 献
1 戴 华. 矩阵论. 北京 :科学出版社 , 2001 2 Hou Q ianm in. One ineguality and an equality on the numerical radius
3258
科 学 技 术 与 工 程
8卷
A C B = ( Im A PT (B C ) ) ( Im P) =
Im A Im ( PT (B C ) P) = A C B。 定理 2. 3 设 A ∈Mm ×m , B ∈M p×p , C ∈M k ×k , 那么存在一个 m k 阶的酉矩阵 P 和 m p阶酉矩阵 Q
定理 2. 9 经过交换后做张量积所得新矩阵与
原矩阵有相同的特征值和特征向量 ,并且保持范数
不变 ,行列式相等 ,迹相等 ,秩相等 。
定理 2. 10 设 A1 ∈Mm 1 ×m 1 , …, Ak ∈Mm k ×m k ,如 果 A1 A2 … Ak - 1 Ak 是酉 (厄米特 ,正交 ,对称 , 幂等 ,正规 )矩阵 ,那么交换后做张量积得到的矩阵
仍然是酉 (厄米特 ,正交 ,对称 ,幂等 ,正规 )矩阵 。
证明 酉矩阵 ,厄米特 ,正交 ,对称 ,幂等矩阵
12期
宋彩芹 ,等 :酉矩阵在矩阵张量积交换中的应用
32 59
的情况可以由定理 2. 9和相关定义直接证明 。正规 矩阵的情况可以由文献 [ 3 ]中的定理 , A1 A2 … Ak- 1 Ak 是正规矩阵当且仅当每个 Ai 都是正规矩 阵证明 。
文献 [ 1 ]利用正交矩阵实现了两个矩阵做张量 积可交换的情况 ,文献 [ 2 ]证明了交换后它们的数 值半径依然相等的问题 。在文献 [ 1 ]的基础上 ,利 用酉矩阵与相应的单位矩阵做张量积后所得酉矩 阵实现了三个矩阵做张量积可任意交换的情形 。 进而推广到多个矩阵做张量积任意两个或多个相 邻的非相邻的矩阵可交换 , 这是一个很漂亮的结 论 。它解决了文献 [ 2 ]中多个矩阵做张量积进行倒 序交换和有限个矩阵发生交换后数值半径仍然相 等的问题 。本文的相关定理的符号同于文献 [ 1 ]和 文献 [ 2 ]。
( PT (A B ) Ik C ) ( P Ik ) =
( PT (A B ) P) ( Ik C Ik ) = B A C。 定理 2. 2 设 A ∈Mm ×m , B ∈M p×p , C ∈M k ×k 那 么存在一个 pk阶的酉矩阵 P使得 ( Im PT ) (A B C ) ( Im P) = A C B。 证明 ( Im PT ) (A B C ) ( Im P) =
文献 [ 2 ]指出数值半径 r(A B ) = r(B A ) 。 现在利用定理 2. 8可以把矩阵个数进行推广 。容易 得下面的定理 2. 11。符号及对相应矩阵的定义同 于文献 [ 2 ]。
定理 2. 11 设 A1 , …, Ak ∈ L (U ) ,并且都为方 阵 ,那么
( 1) r(A1 A2 … Ak- 1 Ak ) = r(Ak Ak- 1 … A2 A1 ) 。
研究简报
数 学
酉矩阵在矩阵张量积交换中的应用
宋彩芹 赵建立
(聊城大学数学科学学院 ,聊城 252059)
摘 要 利用酉矩阵实现了多个矩阵做张量积任意个矩阵可交换 ,从而把两个矩阵做张量积交换后数值半径相等推广到多 个矩阵 。 关键词 矩阵张量积 酉矩阵 数值半径 中图法分类号 O151. 21; 文献标志码 A
P
I ) n t+2…nk =
( (A1
… At- 1 )
( ( PT (A t
A t+1 ) )
(A t+2
… Ak ) ) ( In1…n t- 1
P
I ) n t+2…nk =
( (A1
(A t +2
…
… At- 1 ) In1…n t- 1 )
Ak ) (P
In t+2…nk ) )
( ( PT (At At+1 )
Q ) (W T Im ) ( Ip
C ) ×(Q Ik ) ( Ip A B。
PT ) (QT P) (W
Ik ) ×
Im ) ( Ik
证明 由定理 2. 2和定理 2. 4可直接证明 。
有了上面这 5个定理可以实现 3个矩阵做张量
积的任意转化 。那么对于多个矩阵做张量积又是
怎样的一种情况呢 ? 下面的定理给出了相应回答 。
of matrix tensor p roduct. Journal of Shanxi University (Nat Sci Ed) , 2007; 30 ( 3) : 312—314 3 窦本 年. 关 于 矩 阵 张 量 积 的 一 类 问 题. 数 学 杂 志 , 2002; ( 3 ) 241—244
的. 并且经过交换后做张量积所得新矩阵与原矩阵
是相似的 ,从而容易得出下面的定理 。
定理 2. 8 设 A1 ∈Mm 1 ×m 1 , …, Ak ∈Mm k ×m k ,那 么存在一个合适维数的酉矩阵 P使得
PT (A1 A2 … Ak - 1 Ak ) P = Ak Ak- 1 … A2 A1。
此可以有下述定理 。
定理 2. 7 设 A1 ∈Mm 1 ×m 1 , …, Ak ∈Mm k ×m k ,那 么存在一个合适维数的酉矩阵 P使得
PT (A1 … A i … A t … Ak ) P = A1 … At … Ai … Ak。
不仅可以实现任意两个的交换 ,也可以实现任意有
限个的交换 , 满足这种交换的酉矩阵一定是存在