2015轴对称复习
第十二章《轴对称》复习建议.doc
第十二章《轴对称》知识整理一、基本知识提炼整理（一）基本概念1•轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，真线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
2.线段的垂直平分线经过线段屮点并且垂直于这条线段的育线，叫做这条线段的垂肓平分线。
3.轴对称变换由一个平血图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。
4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等脛三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边, 两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
（二）主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂育平分线。
2.线段垂肓平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
3.（1）点P （x, y）关于x轴对称的点的坐标为P' （x, -y）o（2）点P （x,y）关于y轴对称的点的坐标为P" （-X, y）。
4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的屮线、底边上的高相互重合。
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的屮线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴。
（4）等腰三角形两腰上的高、屮线分别相等，两底角的平分线也相等。
（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边。
5.等边三角形的性质（1）等边三饬形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° o（2）等边三角形迅轴对称图形，共有三条对称轴。
（3）等边三角形每边上的屮线、高和该边所对内角的平分线互相重合。
（三）有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
13.13专题19：轴对称--动点问题
13.13专题19：轴对称--动点问题一．【知识要点】1.方法：“以静制动”解决。
二．【经典例题】2．（绵阳2015年第25题本题满分14分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG = AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN = HN．三．【题库】【A】【B】1.如图,已知△ABC为等边三角形,点D由点C出发,在BC的延长线上运动,连结AD,以AD为边作等边三角形ADE,连结CE.(1)请写出AC、CD、CE之间的数量关系,并证明;(2)若AB=6cm,点D的运动速度为每秒2cm,运动时间为t秒,则t为何值时,CE⊥AD?【C】1.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB,点C为x正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,连接DA并延长,交y轴于点E.①△OBC与△ABD全等吗?判断并证明你的结论;②当点C运动到什么位置时,以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形?【D】1.已知，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度均为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P 的运动时间为t（s）．（1）如图1，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．（2）如图2，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，请直接写出∠CMQ度数．。
轴对称全章复习PPT课件
义
如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能
够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关
于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴。
关于某直线对称的两个图形是全等形。
性 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴
质
是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连
4
若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于
直线x=m对称，则xm1 2=x2 ,y1=y． 2 若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直
线y=n对称，则x1=x2，n= y1 2.y2
5
四、等腰三角形的性质及判定。
轴对称图形,等腰三角形的顶角平 分线所在的直线是它的对称轴
性 两腰相等
质
两个底角相等，简称“等边对等 角”
A
E
BD
C
27
D
E
M
N
A
BC
D E
A CB
D E
B
A
C
A
D E
C
FB
28
2019/11/1
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顶角平分线、底边上的中线、和 底边上的高互相重合，简称“三 线合一”
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四、等腰三角形的性质及判定。
有两边相等的三角形是等腰三角形.
判 定 如果一个三角形中有两个角相等,那
么这两个角所对的边也相等（简写 成“等角对等边”）.
7
五、等边三角形的性质及判定。
⑴等边三角形的三边都相等。
⑵等边三角形的三个内角都相等,并且
第十二章 轴对称
1
知识点回顾
一、轴对称相关定义和性质； 二、垂直平分线的性质及判定； 三、平面直角坐标系中轴对称； 四、等腰三角形的性质及判定； 五、等边三角形的性质及判定； 六、有关作图问题。
2015年人教版中考数学总复习课件(考点聚焦+归类探究+回归教材)：第29课时 轴对称与中心对称(共24张PPT)
图29－4
考点聚焦 归类探究 回归教材
第29课时┃ 轴对称与中心对称
解：如图，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线 l的交点C即为所求．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第29课时┃ 轴对称与中心对称
如果把河边l近似地看成一条直线(如图)，C为 直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当 点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．
图29－3
考点聚焦 归类探究 回归教材
第29课时┃ 轴对称与中心对称
解：(1)(2)如图所示． (3)是．直线EF是对称轴．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第29课时┃ 轴对称与中心对称
回 归 教 材
“输气管线路最短”问题的拓展创新 教材母题——人教版八上P85问题1 如图29－4，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然 后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
2 BP＋AP的最小值为________ ．
图29－6
考点聚焦
归类探究
回归教材
第29课时┃ 轴对称与中心对称
作点B关于CD的对称点B′，连接OA，OB′，AB′，则 △OAB′是等腰直角三角形，故BP＋AP＝AB′＝ OA2＋OB2 ＝ 12＋12＝ 2.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第29课时┃ 轴对称与中心对称
(3)拓展延伸 如图29－7，P是四边形ABCD内一点，分别在边AB，BC上 作出 点M，N，使PM＋PN的值最小，保留作图痕迹，不写作 ．． 法．
图29－7
考点聚焦
归类探究
回归教材
第29课时┃ 轴对称与中心对称
如图，过点P分别作边AB，BC的垂线，垂足分别为M， N，点M，N即为所求．
第一章 轴对称图形 期末复习
_ O _ N _ M_ C _ B_ A 第一章 轴对称图形期末复习1【探究过程】1.轴对称：如果把一个图形沿着 后，能够 重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做 ，两个图形中的对应点叫做 。
2.轴对称图形：如果把一个图形沿着 ，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做 。
3.轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形 。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是 。
4．线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线） 5．线段的轴对称性：①线段是轴对称图形，对称轴有两条，一条是 ，另一条是 。
②线段的垂直平分线上的点到相等。
③到 的点，在这条线段的 上。
结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合6．角的轴对称性：①角是 图形，对称轴是 。
②角平分线上的点到 相等。
③到 的点，在 上。
结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合7．等腰三角形：有 的三角形叫等腰三角形，其中相等的边叫做腰，另一条边叫做底。
等腰三角形是 ，对称轴是 。
等腰三角形 相等， 相等（简称 ）； 等腰三角形的 互相重合。
（三线合一）8．如果一个三角形 ，那么 （简称 ）； 9．等边三角形是特殊的 ，具备 的一切性质。
除此之外，等边三角形有 ， ， 。
10．等边三角形的判定： 是等边三角形； 的三角形是等边三角形； 是等边三角形。
【课前热身】1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=36°，D ，E 为BC 上的点， 且∠BAD=∠DAE=∠EAC ，则图中共有等腰三角形( )个．A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 2、已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B, ∠C 的平分线相交于点O,过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N 。
则AB+AC= 。
3、 已知 ABC 中∠BAC=140°，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、F. 则∠EAF=________。
轴对称复习
【考纲说明】中考一般考察5分左右【知识梳理】一、轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。
3、性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
（2）对应线段相等，对应角相等。
二、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
四、等腰三角形1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等五、等边三角形：1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：（1）具有等腰三角形的所有性质。
（2）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
3、等边三角形的判定（1）三边都相等的三角形是等边三角形。
（2）：三个角都相等的三角形是等边三角形 （3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【经典例题】1、下列说法正确的是（ ）．A ．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形B ．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C ．所有直角三角形都不是轴对称图形D ．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）．A ．（－1，－2）B ．（－1，2）C ．（1，－2）D ．（2，－1） 3、下列图形中对称轴最多的是( ) ．A ．等腰三角形B ．正方形C ．圆D ．线段4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm ，则斜边的长为（ ）． A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm5、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）．A ．11cmB ．7.5cmC ．11cm 或7.5cmD ．以上都不对 6、如图：DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC 的周长为（ ）厘米．A ．16B ．18C ．26D ．287、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论：EDCBAlODCBA①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是 （ ）． A ．75°或15° B ．75° C ．15° D ．75°和30°9、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）． A ．对应点连线与对称轴垂直B ．对应点连线被对称轴平分C ．对应点连线被对称轴垂直平分D ．对应点连线互相平行10、等腰三角形ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶点的坐标，能确定的是 ( ) ． A ．横坐标 B ．纵坐标 C ．横坐标及纵坐标 D ．横坐标或纵坐标 11、设A 、B 两点关于直线MN 对称，则______垂直平分________． 12、已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=6，则PB= ． 13、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是__________度．14、等腰三角形的两边的边长分别为20cm 和9cm ，则第三边的长是__________cm ． 15、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ．16、如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ．17、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为122cm ，则图中阴影部分的面积为 2cm ．ACBA ''C '图2 图1 FE DCBAP 2P 1N MO PB Aα35°115°18、如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则 = ．19．已知A（-1，-2）和B（1，3），将点A向______平移________ 个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．20．坐标平面内，点A和B关于x轴对称，若点A到x轴的距离是3cm，则点B到x•轴的距离是_________cm．【课堂练习】21、已知：如图，已知△ABC，（1）分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2；（2）写出△A1B1C1和△A2B2C2各顶点坐标；（3）求△ABC的面积．AB22、如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，•且到∠AOB的两边的距离相等．23、如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数．DECBO24、已知：E 是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA ，ED⊥OB ，垂足分别为C 、D ． 求证：（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OE 是CD 的垂直平分线．【课后练习】25、已知：如图△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB ⊥AD ，AD=4cm ，求BC 的长．D CBADCBAADEFBCABCDE26、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120o ，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF=2CF ．27、已知：△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于点D ，过D 作EF//BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ．求证：BE+CF=EF ．28、如图，△ABD 、△AEC 都是等边三角形，求证：BE=DC ．29、如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试F CBAE用你所学的知识说明BE=EF=FC 的道理．30．已知：如图△ABC 中，AB=AC ，AD 和BE 是高，它们交于点H ，且AE=BE ，求证：AH=2BD ． 答案： 一、选择题：二、填空题：11．MN ，AB 12．6 13．120 14．20 15．080，050或065，065 16．15 17．6 18．030 19．上，5 20．3 三、解答题FOCBAEH E DCBA略。
轴对称章节复习
轴对称全章复习要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个举一反三：【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.举一反三：【变式】（2015•乐陵市模拟）（1）如图1，直线同侧有两点A、B，在直线上求一点C，使它到A、B之和最小．（保留作图痕迹不写作法）（2）知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF 周长最短（保留作图痕迹不写作法）（3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小（保留作图痕迹不写作法）②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度数为．3、（2016春•浦东新区期末）在直角坐标平面内，已知在y轴与直线x=3之间有一点M（a，3），如果该点关于直线x=3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1举一反三：''【变式1】如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△A OB 关于直线m对称，已知A（1，2），则点'A的坐标为（）A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－1，－2）D.（－2，－1）【变式2】如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．类型二、等腰三角形的综合应用4、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△，∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________.5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求ADB ∠的度数．举一反三：【变式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，求∠ACD的度数.类型三、等边三角形的综合应用6、（2014秋•辛集市期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB 的延长线上，且ED=EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC 的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．17．如图所示，△ABC中，D，E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA，交AE于点F，•DF＝AC，求证AE平分∠BAC．18. 如图所示，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足为F，•过F•作FQ⊥AQ，垂足为Q，设BP＝x，AQ＝y．（1）写出y与x之间的关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？19．（2014•清河区三模）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们就称点P是△ABC的边AB上的和谐点．解决问题：（1）如图2，△ABC中，∠ACB=90°，试找出边AB上的和谐点P，并说明理由．（2）已知∠A=40°，△ABC的顶点B在射线l上（图3），点P是边AB上的和谐点，请在图3中画出所有符合条件的B点，并写出相应的∠B的度数．20．已知，∠BAC＝90º，AB＝AC，D为AC边上的中点，AN⊥BD于M，交BC于N.求证：∠ADB＝∠CDNM N DCBA。
一。轴对称知识点及综合练习
轴对称知识点总结一、知识框架：二、知识概念：(1).基本概念：1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.2.两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.4.线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.5.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.6.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.(2).基本性质：1.对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.③若两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
④两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
2.线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.3.关于坐标轴对称的点的坐标性质①点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x, -y）.②点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y）.③点（x, y）关于原点对称的点的坐标为（-x,- y）4.等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一的1条直线.5.等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一的3条直线.6.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
轴对称知识点汇总3篇
轴对称知识点汇总3篇轴对称这一章，知识点琐碎，内容繁杂，极易混淆，多练这些题，有助同学们把握重难点，有所突破!下面是小编给大家带来的轴对称知识点汇总，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!轴对称最全知识点汇总一、知识梳理1、轴对称如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴.两个图形中的对应点叫对称点.2、轴对称图形把一个图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这个图形关于这条直线(成轴)对称.3、轴对称与对称轴的区别与联系区别：轴对称指的是两个图形的位置关系，而轴对称图形指的是具有对称性的某一个图形.联系：如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形.如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称.4、一些典型图形的对称轴条数和表述语言正方形有4条对称轴，分别是对角线所在直线，2条;对边中点连线所在直线，2条.长方形有2条对称轴，是对边中点连线所在直线，2条.等腰三角形有1条对称轴，是顶角顶点与对边中点连线所在直线.(或顶角角平分线，底边中线，底边上的高所在直线)等边三角形有3条对称轴，分别是任意顶点与对边中点连线所在直线，3条.(或任意角角平分线，任意边的中线，任意边上的高所在直线)等腰梯形有1条对称轴，是上底中点与下底中点连线所在直线.圆有无数条对称轴，分别是直径所在直线，无数条.5、垂直平分线(中垂线)定义垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.书写格式：判定：∵AO=A′O，∠1=90°，∴l 是AA′的垂直平分线.性质：∵l是AA′的垂直平分线，∴AO=A′O，∠1=∠2=90° .6、轴对称性质成轴对称的两个图形全等，且(1)对应点的连线被对称轴垂直平分.(2)对应点的连线互相平行(或在同一条直线上).(3)对应线段相等，对应角相等.(4)对应线段所在直线的交点在对称轴上(或对应线段所在直线互相平行).7、对称轴的作法法1：作一条对应点的连线，并作其中垂线.法2：作两条对应点的连线，并分别作其中点，两点确定一条直线.法3：分别延长两对对应线段，确定两个交点，两点确定一条直线.8、给出一个图形及对称轴，作其对称图形的作法过原图形各点画对称轴的垂线，以各点到垂足的距离为半径，截取相等，将所作对应点分别相连.八年级数学轴对称知识讲解轴对称【学习目标】1.理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形.2.理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形.3.理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线.4.能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题.【要点梳理】要点一、轴对称图形轴对称图形的定义一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.要点二、轴对称1.轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称(或说这两个图形成轴对称)，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形;轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形;反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线(原对称轴)对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称、轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.要点四、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线.性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心初二数学轴对称测试题及答案1.下列图形不是轴对称图形的是( )2.已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )A.5B.6C.11D.163.已知am=5，an=6，则am+n的值为( )A.11B.30C.D.4.下列计算错误的是( )A.(﹣2x)3=﹣2x3B.﹣a2•a=﹣a3C.(﹣x)9+(﹣x)9=﹣2x9D.(﹣2a3)2=4a65.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )A.SASB.ASAC.SSSD.AAS6.计算(x+3y)2﹣(3x+y)2的结果是( )6.计算(x+3y)2﹣(3x+y)2的结果是( )A.8x2﹣8y2B.8y2﹣8x2C.8(x+y)2D.8(x﹣y)27.如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为( )厘米.A.16B.18C.26D.288.计算(﹣2x+1)(﹣3x2)的结果为( )A.6x3+1B.6x3﹣3C.6x3﹣3x2D.6x3+3x29.分解因式：x2﹣4y2的结果是( )A.(x+4y)(x﹣4y)B.(x+2y)(x﹣2y)C.(x﹣4y)2D.(x﹣2y)210.如图，AD是角平分线，E是AB上一点，AE=AC，EF∥BC交AC于F.下列结论①△ADC≌△ADE;②CE平分∠DEF;③AD垂直平分CE.其中正确的是( )A①②③ B、① C、② D、③二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11.计算：20130﹣2﹣1=__________12.化简(1- )(m+1)的结果是 .13.如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是.14.如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是度.15.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度.16.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是.三、解答题(共8题，共72分)17.(本题8分)计算：(1)(3a﹣2b)(9a+6b); (2)(﹣2m﹣1)2;18.(本题8分)分解因式：4m2﹣9n219.(本题8分)解分式方程 =20.(本题8分)已知：如图，AB=CD，AB∥CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，AF=5，求CE的长.21.(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线.实验与探究：(1)由图观察易知A(0，2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2，0)，请在图中分别标明B(5，3)、C(﹣2，5)关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′;归纳与发现：(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为;运用与拓广：22.(本题8分)2015年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍.(1)求高铁列车的平均时速;(2)某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至城市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗?23.(本题10分)如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D.求证：(1)∠ECD=∠EDC;(2)OC=OD;(3)OE是线段CD的垂直平分线.24.(本题12分)如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒)(0≤t≤3).(1)用的代数式表示PC的长度;(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由;(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?参考答案一、选择题1. B.2. C.3. B.4. A.5. A.6. B.7. B.8. C.9. B. 10. A二、填空题11. 12. m. 13. 2+n. 14. 60 15. 15 16.十一.三、解答题17.解：(1)原式=3(3a﹣2b)(3a+2b)=3(9a2﹣4b2)=27a2﹣12b2;(2)原式=4m2+4m+1;18.解：4m2﹣9n2=(2m+3n)(2m﹣3n).19.解：去分母得：3x=2x+2，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解.故答案为：x=2.20.解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，∵AB∥CD，在△DEC和△BFA中，∠DEC=∠AFB，∠ C=∠A，DC=BA，∴△DEC≌△BFA，∴CE=AF，∴CE=5.21.解：(1)如图：B′(3，5)，C′(5，﹣2);(2)(b，a);22.解：(1)设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，由题意得，，解得：x=72，经检验，x=72是原分式方程的解，且符合题意，则2.5x=180，答：高铁列车的平均时速为180千米/小时;(2)630÷180=3.5，则坐车共需要3.5+1.5=5(小时)，王老师到达会议地点的时间为1点40.故他能在开会之前到达.23.解：(1)∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC;(2)∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC(AAS)，∴OC=OD;(3)在△DOE和△COE中，OC=OD，∠EUC=∠BOE，OE=OE，∴△DOE≌△COE，∴DE=CE，∴OE是线段CD的垂直平分线.24.解：(1)BP=2t，则PC=BC﹣BP=6﹣2t;(2)△BPD和△CQP全等理由：∵t=1秒∴BP=CQ=2×1=2厘米，∴CP=BC﹣BP=6﹣2=4厘米，∵AB=8厘米，点D为AB的中点，∴B D=4厘米，∴PC=BD，在△BPD和△CQP中，BD=PC，∠B=∠C，BP=CQ，∴△BPD≌△CQP(SAS);(3)∵点P、Q的运动速度不相等，∴BP≠CQ又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，∴点P，点Q运动的时间t= = 秒，∴VQ= = 厘米/秒.。
《轴对称》总复习
变式：将边换成角（口答）
4、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，
(1)写出△ABC中相等的线段和相等的角.
(2)求△ABC中∠A的度数.
A
D
B
C
5、趣味数学：
如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的边上， ∠A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF，求∠ MEF 的度数。
B
∴△PCD周长为15cm
二.线段的垂直平分线
1、什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2、线段垂直平分线有什么性质？ 线段垂直平分线上的点与这条线段的 两个端点的距离相等 （纯粹性）。
你能画图说明吗？
3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点， 在线段的垂直平分线上。（完备性）
称图形。
练习3： 在直角坐标系中，已知⊿ABC顶点A,B,C
坐标分别为：A(-2,4),B(-3,2)，C(-1,1)， 试作出⊿ABC关于y轴的对称⊿ A’B’C’.
作法：1.由Y轴对称的坐标特点可知A，B，
Y A B
(-3,2) (-2,4)
C各对称点坐标分别为： A’(2,4),
A’
5 4 3 2 1 C
4、如图，AB=AC，MB=MC，直 线AM是线段BC的垂直平分线吗？
∴直线AM垂直平分线段BC
5、已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线 交于 点P。 求证：(1) PA=PB=PC.
(2) 点P是否也在边AC的垂直平分线上呢?由此你 还能得出什么结论？
C
P A B
轴对称复习课
解： ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∠A＝ 30 °
由上述定理可得： BC=1/2AB，DE=1/2AD， ∴BC=1/2×7.4=3.7(m)
B D
又AD=1/2AB,= ∴DE=1/2AD=1/2×3.7=1.85(m).
A EC
答：立柱BC、DE分别要3.7m、1.85m.
这节课你的收获是什么？
2.线段的垂直平分线及其到更多课件
1.如图,已知点A,点B, 在直线L同侧.在直线L上找 一点P,使PA=PB .
A
L
M. P
B
2.在△ABC中,DM是 AC的垂直平分线,AM=1, △ABD的周长是3.求 △ABC的周长.
∠EAF=_______
B
A
D
B
C
E F
C
A
随堂训练：
5、如图，线段OD的一个端点在直线AB上，以OD为一边画
等腰三角形，并且使另一个顶点也在AB上，则这样的三角
形有（ D ）
A.一个 C.3个
B.2个
D.4个
A
D OB
等边三角形
1、有三条对称轴的轴对称 图形 2、每个内角都等于60o
3、三组“三线合一”
∠ACB，且相交于点O，试说明△BOC是等腰三角形。
A
A
外角的角平分线
D
E
B
C
12பைடு நூலகம்
O
1
B
2
C
D
O
E
等边三角形的判定
1.三边都相等的三角形是等边三角形.
A
∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
一般三角形
等边三角形
B
2. 三个角都相等的三角形是 等边三角形.
轴对称(复习课)
轴对称（复习课）杨谦（中国旅游学院附属中学，北京１０００２５）编者按：本节课是杨谦老师上的一堂期末数学复习课，与传统复习课不同，杨老师这节课有两个特点．第一是充分发挥学生的自主性．以前的复习课内容由老师主导，缺乏对学生复习需要的准确把握．本节课，杨老师梳理了《轴对称》的四个知识点，并据此预先设置了测试题，然后充分发挥学生自主性，选定易、中、难三个梯度的测试题．第二是课堂教学做到了高效教学和针对性教学．整个课堂教学以四组题型的训练为主体，杨老师充分应用“电子书包”的测试反馈功能，使测试结果一目了然，便于有针对性地进行讲解．此外，数码笔和“电子书包”中控功能的使用，使教师无论站在课堂什么位置，都能随意调取学生在“电子书包”学生端的解题思路，并呈现到电子白板上供全班学生参考和点评，这种技术使课堂教学变得更便捷、更高效．课题《轴对称》复习教学目标１．学会利用轴对称的性质解决坐标系点对称的问题；２．学会利用轴对称的性质解决关于角平分线、垂直平分线的对称图形中的计算问题；３．能够使用等腰三角形的性质、等边三角形的性质解决较为复杂的几何图形问题；４．学会利用轴对称的性质解决翻折图形中角度计算问题，提高学生自己解决问题的能力．教材分析轴对称图形、线段垂直平分线的性质、等腰三角形以及等边三角形的性质和判定等知识点的应用有内在联系，知识的正向迁移有助于学生系统地掌握本节《轴对称》复习课的教学目标，也有助于培养学生的推理、归纳、演绎等抽象思维．最后，将基本的性质和判定知识加以应用，能激发学生的探究意识和加强学生应用知识的能力．学情分析大部分学生对于轴对称图形的基本性质、线段的垂直平分线、等腰及等边三角形的性质等知识有一定的理解，在复习时以巩固为主．但在应用轴对称的相关知识对翻折图形进行分析时存在困难，需作为本节复习课的重难点来讲解．教学重点１．等腰三角形和等边三角型性质的使用；２．垂直平分线的性质；３．翻折图形的性质．教学难点翻折图形的性质教学方法学生组题，自主学习教学用具多媒体、电子书包一、知识点梳理和测试准备环节教师活动：教师对《轴对称》的知识进行梳理和串讲．同时，教师将《轴对称》复习内容分成关于坐标轴对称及轴对称图形基本性质、线段垂直平分线的性质和角平分线的性质、等腰三角形及等边三角形的性质、翻折图形的性质等四个版块，并预先筛选出易、中、难三个难度梯度测试题中的若干道．然后将学生分为四个小组，每个小组里均有学优生和学困生（为达到生生合作、互助学习的目的），指定每个小组负责一个版块题目的自由选择．最后，教师将四个版块的题组进行编排，以用作复习课习题．学生活动：完成教师在“电子书包”上上传的复习测试题．二、测试及讲解环节教师活动（一）分板块测试按照题组顺序，先让学生使用“电子书包”的测试功能进行限时答题．在此过程中，教师通过“电子书包”的课堂控制功能查看学生答题情况，并以此及时为作答困难的学生提供提示和帮助．当学生作答完毕，教师查看测试结果统计，有针对性地对错误率较高的题目及选项安排作答正确的同学进行讲解．（二）分小组讲解教师通过对学生作答情况的实时监控，根据“电子书包”在线测试的查询统计功能，请选择该模块题目小组中的学优生进行讲解，结合“电子书包”数码笔、课堂互动、网络学案的功能，让学生在Ｅ人Ｅ本上一边写画一边讲解，同时运用屏幕广播功能，使所有学生都能通过自己的“电子书包”动态地查看讲解学生的讲解过程，以更为高效、直观的方式，呈现学生的思维过程，体现学生的学习主体地位．最后，教师点评学生讲解的思路和优缺点，并强调该版块题组的重点和难点知识．学生活动（一）完成题组一１．点Ｐ（－３，５）关于ｙ轴的对称点的坐标是（）Ａ．（３，５）Ｂ．（３，－５）Ｃ．（５，－３）Ｄ．（－３，－５）２．在平面直角坐标系ｘｏｙ中，点Ａ（ａ，３），Ｂ（５，ｂ）关于ｙ轴对称，则２ａ＋ｂ的值是（）Ａ．１Ｂ．１１Ｃ．－７Ｄ．－１３．如图，△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′关于直线ｌ对称，且∠Ａ＝９８°，∠Ｃ′＝４８°，则∠Ｂ的度数为（）Ａ．４８°Ｂ．３４°Ｃ．４９°Ｄ．５８°【教师点拨】题组一主要是让学生在练习中，深入理解平面直角坐标系中的轴对称、轴对称的性质．学生答题结束后，带领学生复习轴对称的定义并提取关键词：折叠、重合、对称轴，提示关键词是解题的关键．题组一引出了第一种对称轴：坐标轴（ｘ轴、ｙ轴），并从关键词“重合”引出对称轴两侧图形“全等”．（二）完成题组二１．如图：ＤＥ是△ＡＢＣ中ＡＣ边的垂直平分线，若ＢＣ＝８厘米，ＡＢ＝１０厘米，则△ＥＢＣ的周长为（）厘米Ａ．１６Ｂ．１８Ｃ．２６Ｄ．２８２．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝８，ＡＢ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｄ，交边ＡＣ于点Ｅ，△ＢＣＥ的周长等于２０，则ＡＣ的长为（）Ａ．８Ｂ．１０Ｃ．１２Ｄ．１４３．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝２０°，线段ＡＢ的垂直平分线交ＡＢ于Ｄ，交ＡＣ于Ｅ，连接ＢＥ，则∠ＣＢＥ为（）Ａ．４０°Ｂ．６０°Ｃ．８０°Ｄ．１００°４．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＢ的垂直平分线交ＢＣ于点Ｄ，交ＡＢ于点Ｅ，ＣＤ＝２，则ＢＣ为（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８５．如图，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３０°，Ｐ为ＡＣ边上一点，ＰＣ＝２，∠ＰＢＣ＝３０°．点Ｐ到斜边ＡＢ的距离为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４【教师点拨】本题组重在练习垂直平分线这个题型．前两道题是相同题型的题目，但是题目条件和问题互换，需提醒学生注意审题，也注意解题思维的灵活转变．题组二引出了第二种对称轴：垂直平分线和角平分线．本题组要使学生能够利用轴对称图形的性质，转化成用三角形全等的知识点来求线段和角度．教师引导学生探究几何图形中以特殊线（段）形成的轴对称图形，从而找到相等的因素．（三）完成题组三１．如图，等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ为ＢＣ的中点，ＢＥ平分∠ＡＢＣ交ＡＤ于Ｅ，若△ＣＤＥ的面积等于１，则△ＡＢＣ的面积等于（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．１２２．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，ＡＤ是ＢＣ边上的中线，点Ｅ、Ｆ、Ｍ、Ｎ是ＡＤ上的四点，则图中阴影部分的总面积是（）Ａ．６Ｂ．８Ｃ．４Ｄ．１２３．如图，等边△ＡＢＣ的边长为２，Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ上的点，将△ＡＤＥ沿直线ＤＥ折叠，点Ａ落在点Ａ′处，且点Ａ′在△ＡＢＣ外部，则阴影部分图形的周长为（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８【教师点拨】本题组重在练习等腰三角形和等边三角形这类题型．本题组的前两道题考察学生对特殊三角形———等腰三角形和等边三角形的特殊对称轴的确定，分别是底边中线、底边的高、顶角角平分线．第３题是对等边三角形进行翻折，形成轴对称图形的题目，依然利用轴对称图形折叠后重合的性质，转化为三角形全等进行求解．第３题作为本题组的一个难度提升的题目，也适时地为题组四的翻折类题目做了提示和铺垫．教师引导学生找出题目中轴对称的图形，并利用轴对称的性质解题．（四）完成题组四１．如图，Ｄ是ＡＢ边上的中点，将△ＡＢＣ沿过Ｄ的直线折叠，使点Ａ落在ＢＣ上Ｆ处，若∠Ｂ＝５０°，则∠ＢＤＦ的度数为（）Ａ．５０°Ｂ．６０°Ｃ．７０°Ｄ．８０°２．如图，钝角三角形纸片ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝１１０°，Ｄ为ＡＣ边的中点，现将纸片沿过点Ｄ的直线折叠，折痕与ＢＣ交于点Ｅ，点Ｃ的落点记为Ｆ，若点Ｆ恰好在ＢＡ的延长线上，则∠ＡＤＦ的度数为（）Ａ．４０°Ｂ．３０°Ｃ．７０°Ｄ．５０°３．如图（１）是长方形纸带，∠ＤＥＦ＝α，将纸带沿ＥＦ折叠成图（２），再沿ＢＦ折叠成图（３），则图（３）中的∠ＣＦＥ的度数是（）（图一）（图二）（图三）Ａ．２αＢ．９０°＋２αＣ．１８０°－２αＤ．１８０°－３α【教师点拨】本题组的题目是本节复习课的难点内容，重点练习翻折这类题型由前三组题目的特殊对称轴提升到了随机翻折形成的一般性对称轴，符合学生从特殊到一般的认知规律．本题组的对称轴是翻折形成的折痕，学生只要应用对称轴两侧图形重合的性质，就能解答本题组题目，因此找到这类题目的对称轴———折痕，是解题成功重要的第一步．三、小结教师在四个版块的复习题组测试讲解完成后，进行该章知识点的再次梳理和总结，使学生能够系统地记忆理解轴对称图形的基本性质，能够发现或构造出轴对称图形（主要是等腰三角形和等边三角形）的对称轴，并能在此基础上利用上述知识解决一般图形的翻转问题．（下转第２９页）试。
轴对称及轴对称图形(复习课)
8 B
⒊如图,在梯形ABCD中，AD∥BC， 如图,在梯形ABCD中 AD∥BC， ABCD DC的中点 EF⊥AB于点 的中点， 于点F E是DC的中点，EF⊥AB于点F． 求证：S梯形ABCD=AB×EF． 求证： =AB×EF．
A F E D
B
C
G
平移底,梯形转化成:三角形. 平移底,梯形转化成:三角形.
5．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝ 在梯形ABCD中 AB∥DC，AD＝ ABCD BC，AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD， BC，AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD， 则梯形的面积= 则梯形的面积= ．
A B
D
E
C
F
6．如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E、F 如图,梯形ABCD中 AD∥BC， ABCD 分别是AD BC的中点,∠B+∠C=90° AD、 的中点,∠B+∠C=90 分别是AD、BC的中点,∠B+∠C=90°， 请说明EF= （BC-AD）． 请说明EF= 1 BC-AD）．
D C B
E
5、如图，△ABC中，AB的垂直平分线 如图， ABC中 分别交AB BC于点 AB、 于点D AC的垂直 分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直 平分线分别交AC BC于点 AC、 于点F 平分线分别交AC、BC于点F、G，若 BC=20， AEG的周长为多少 的周长为多少？ BC=20，则△AEG的周长为多少？
A
F
N E
B M
C
10、已知△ABC是等腰三角形，过 10、已知 ABC是等腰三角形，过
△ABC的一个顶点的一条直线，把 ABC的一个顶点的一条直线，把 △ABC分成两个小三角形，如果这 ABC分成两个小三角形，如果这 两个小三角形也是等腰三角形，问 △ABC顶角的度数是多少？ ABC顶角的度数是多少？
第13章《轴对称》复习课
2、轴对称的性质： 成轴对称的两个图形全等；如果两个 图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线 的垂直平分线。
应用：已知一个图形和一条直线， 你能作出它的轴对称图形吗？
例1.如图，△ABC和△A’B’C’关于直线 MN对称，△A’B’C’和△A’’B’’C’’关于直 线EF对称，画出直线EF。
思路点拨：
B D C
例1：如图，如果△ACD的周长为17cm， D △ABC的周长为25cm，根据这些条件， 你可以求出哪条线段的长? B E
A
C
思路点拨：
（1）△ACD的周长＝AD ＋CD＋AC＝17； （2）△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝25；
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；
所以AD＋CD＝AD＋BD＝AB。 （4）由（2）－（1）得BC＝8cm.
C′
O
CD=CD′,∠CD′A=∠CDA=60°; 所以∠BDC′=60°，
所以，△C′BD是等边三角形，
所以，BC′=BD=2.
小结点评：
1、翻折变换后得到的图 形与原图形关于折痕对称；对 应点的连线段被折痕垂直平分；
C′
2、解决翻折问题，要注意隐含在图形中的相 等线段、相等角，全等三角形；因为一切处于对 称位置的线段相等，角相等，三角形全等。 3、从对称角度完善图形，让隐含条件显现 出来，这是这部分题目添加辅助线的一个重要规 律。
（一）轴对称和轴对称图形
1、概念 如果把一个图形沿着某一条直线折叠 后，能够与另一个图形重合，那么这两个 图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫 做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称 点。 如果把一个图形沿着一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，那么这个 图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称 轴。
2015届九年级数学中考一轮复习教学案：第30课时全等变换(二)——轴对称与重心对称
第30课时全等变换（二）——轴对称与重心对称1．通过具体实例了解轴对称的概念，探索并理解它的基本性质，体会全等变换．2．能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形．3．了解轴对称图形的概念；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．4．了解中心对称、中心对称图形的概念，探索并理解它的基本性质．5．探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质．6．会运用图形的轴对称、旋转、平移和中心对称进行图案设计．【知识梳理】1．如果把一个图形沿某条直线对折，使两部分能够完全重合，那么就称这样的图形为_______；如果把一个图形沿着某条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形_______．2．轴对称的特征：对应线段_______，对应角_________，对应点的连线被对称轴_______．3．轴对称和轴对称图形的区别和联系：(1)轴对称是针对_______个图形而言，轴对称图形是针对_______个图形而言．(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成为一个轴对称图形．(3)都具有的特征：对应线段_______，对应角_______．4．画对称轴的方法：作连接对称点的线段的_______，此直线就是该图形的对称轴．5．画轴对称图形的方法：先画出图形中的特殊点的_______，然后连接．6．一个图形绕着某点旋转180°后能与自身重合，这种图形叫_______．7．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形________．8．在成中心对称的两个图形中，连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心_______，反过来，如果两个图形的对应点所成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点_______．【考点例析】考点一对称图形的识别例1下列图形中，是轴对称图形的是( )提示把一个图形沿某直线折叠，直线两侧的部分能重合的图形为轴对称图形，判断能否重合的关键是在图形上确定关键点，看关键点是否存在对应点，若各点都能找到关于某直线的对应点，则此图形为轴对称图形．例2下面四个标志是中心对称图形的是( )提示根据中心对称图形的定义，旋转180°后能够与原图形完全重合，这种图形即是中心对称图形，判断即可得到答案．考点二对称性质的应用例3如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°．在BC、CD上分别找一个点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为( ) A．130°B．120°C．110°D．100°提示根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'、A"，连接A'A"交BC于M，交CD于N，即可得出∠AA'M＋∠A"＝∠HAA'＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA'M＋∠A")，从而得出答案．考点三利用轴对称作图例4如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）；(2)在(1)的条件下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．提示(1)根据对称点到对称轴的距离相等，分别作出A、B、C的对称点A1、B1、C1；(2)先判断出四边形BB1C1C是等腰梯形，然后根据梯形面积的计算公式即可求出其面积．考点四轴对称变换的应用例5把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是( )提示根据图③中小三角形的位置可知，以图③为基本图形进行轴对称变换，然后以图②为基本图形进行轴对称变换，就可以得出正确答案．【反馈练习】1．(宜昌)在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是( )2．在下列平面图形中，是中心对称图形的是( )3．如图，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( )A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形4．如图，在锐角△ABC中，BC＝42，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值是_______．5．如图，在方格纸中，画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．6．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图①，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法，他把管道l看成一条直线（如图②），问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B'；②连接AB'交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下面的问题．如图③，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．(1)在图③中作出点P(保留作图痕迹，不写作法)；(2)求出△PDE周长的最小值．参考答案【考点例析】1.C2.B3.B4.125.C【反馈练习】1.B2.B3.D4.4 5．略 6.(1)如图(2)8。
2015届湘教版中考数学复习课件(第28课时_轴对称与中心对称)
则此时AP＋BP最小， ∵点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(－2，1)， ∴C(2，－3)，设直线BC的解析式是：y＝kx＋b，把B，C的
－2k＋b＝1， k＝－1， 坐标代入得： 解得 即直线BC的解析 2 k ＋ b ＝－ 3 ， b ＝－ 1 ，
式是y＝－x－1，当y＝0时，－x－1＝0，解得x＝－1，∴点 P的坐标是(－1，0)．故答案为(－1，0)．
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第28课时┃ 轴对称与中心对称
归 类 探 究
探究一 轴对称图形与中心对称图形的识别 命题角度：
1. 轴对称的定义，轴对称图形的判定； 2. 中心对称的定义，中心对称图形的判定． 例1 [2014· 益阳] 下列图形中，既是轴对称图形又是
中心对称图形的是( C )
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第28课时┃ 轴对称与中心对称
【方法点析】 利用轴对称是求最短路线问题的常用技巧 ，其方法就 是要作一点关于直线的对称点 ，另一点与对称点之间的线 段的长就是最短路线的长 ，把两条线段的和转化为两点之 间的距离来解决．在平面直角坐标系中，可以根据点的坐 标的特点灵活地求出线段的长．
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第28课时┃ 轴对称与中心对称
解 析
在Rt△ABC中， BC＝ AC2－AB2 ＝ 52－32 ＝4.
由折叠方法可知：B′E＝BE，B′A＝BA＝3，B′C＝AC－ B′A＝5－3＝2，B′E⊥AC， 设B′E＝x，则CE＝BC－BE＝4－x. 在Rt△B′EC中，B′E2＋ B′C2＝CE2，即x2＋22＝(4－ 3 3 2 x) ，解得x＝ ，即BE＝B′E＝ . 2 2
包头市2015中考复习第7章 第1节 图形的轴对称与中心对称
第七章图形的变换与相似第1节图形的轴对称与中心对称轴对称与轴对称图形1．轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与________图形重合．2．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线________的部分能够互相重合．3．性质：对称轴是任何一对对应点所连线段的________．4．P(x，y)关于x轴的对称点为________，关于y轴的对称点为________．中心对称与中心对称图形1．联系：都是把一个图形绕着某一点旋转________．2．区别：中心对称是旋转后的图形能与________重合，中心对称图形是旋转后的图形能与________重合．3．性质：(1)对称点所连线段都经过__________，而且被对称中心所__________；(2)两个图形是________图形．4．P(x，y)关于原点O的对称点为________.轴对称与轴对称图形【例1】如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′.下列判断错误的是( B )A．AB＝A′B′B．BC∥B′C′C．l⊥BB′D．∠A′＝120°两个图形关于直线l成轴对称―→对应点的连线被对称轴垂直平分．中心对称与中心对称图形【例2】(1)下列两个字母成中心对称的是( B )(2)(2014·广州)下列图形是中心对称图形的是( D )中心对称―→两个图形的位置关系，中心对称图形―→一个特殊的图形．注意认真理解轴对称图形和中心对称图形的概念，等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形．【例3】下列图形：①等边三角形；②平行四边形；③菱形；④函数y ＝1x 的图象；⑤函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 真题热身1．(2014·潍坊)下列标志中不是中心对称图形的是( C )2．(2014·烟台)下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D )3．(2014·深圳)下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( B )4．(2012·丽水)在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是( B )A ．①B ．②C ．③D ．④ 5．(2014·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD 中，(1)画出四边形A 1B 1C 1D 1，使四边形A 1B 1C 1D 1与四边形ABCD 关于直线MN 成轴对称； (2)画出四边形A 2B 2C 2D 2，使四边形A 2B 2C 2D 2与四边形ABCD 关于点O 中心对称； (3)四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心．解：略第七章图形的变换与相似第1节图形的轴对称与中心对称基础过关一、精心选一选1．(2014·南京)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( C )2．(2014·泰州)下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( B )3．(2014·徐州)顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图所示的图形，该图形( B )A．既是轴对称图形也是中心对称图形B．是轴对称图形但并不是中心对称图形C．是中心对称图形但并不是轴对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形4．(2013·柳州)如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比( A )A．形状没有改变，大小没有改变B．形状没有改变，大小有改变C．形状有改变，大小没有改变D．形状有改变，大小有改变5．(2013·深圳)在平面直角坐标系中，点P(－20，a)与点Q(b，13)关于原点对称，则a ＋b的值为( D )A．33 B．－33 C．－7 D．76．(2014·宁波)用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是( D )7．(2013·凉山州)如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( C )A．30°B．45°C．60°D．75°8．(2014·聊城)如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为( A )A．4.5 cm B．5.5 cm C．6.5 cm D．7 cm二、细心填一填9．(2014·泰州)点A(－2，3)关于x轴的对称点A′的坐标为__(－2，－3)__．10．(2013·宁夏)如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有__3__种．,第10题图) ,第11题图)11．(2014·白银)如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__12__．12．(2014·资阳)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，且AE ＝3，点Q 为对角线AC 上的动点，则△BEQ 周长的最小值为__6__．,第12题图) ,第13题图)13．(2013·厦门)如图，在平面直角坐标系中，点O 是原点，点B(0，3)，点A 在第一象限且AB ⊥BO ，点E 是线段AO 的中点，点M 在线段AB 上，若点B 和点E 关于直线OM 对称，则点M 的坐标是(__1__，．14．(2013·上海)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，tan C ＝32，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为__154__．三、用心做一做15．(2014·金华)在棋盘中建立如图①的直角坐标系，三颗棋子A ，O ，B 的位置如图，它们分别是(－1，1)，(0，0)和(1，0)．(1)如图②，添加棋子C ，使A ，O ，B ，C 四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；(2)在其他格点位置添加一颗棋子P ，使A ，O ，B ，P 四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P 的位置的坐标．(写出2个即可)解：(1)图略(2)图略，P点坐标为(0，－1)或(－1，－1)等16．(2013·安徽)如图，已知A(－3，－3)，B(－2，－1)，C(－1，－2)是直角坐标平面上三点．(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标，若将点B2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，指出h的取值范围．解：(1)图略(2)B2(2，－1)，2＜h＜3.5点拨：点B2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，则落点在B1与A1C1中点之间17．(2013·哈尔滨)如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN ，点A ，B ，M ，N 均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为D ，点B 的对称点为点C ；(2)请直接写出四边形ABCD 的周长．解：(1)略 (2)四边形ABCD 的周长为AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝5＋22＋5＋32＝25＋5 2挑战技能18．(2013·淄博)如图，菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP(P 为AB 中点)所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ，则∠DEC 的大小为( B )A ．78°B ．75°C ．60°D ．45°19．(2013·吉林)如图，在矩形ABCD 中，AB 的长度为a ，BC 的长度为b ，其中23b ＜a＜b ，将此矩形纸片按下列顺序折叠，则C′D′的长度为__3a －2b__．(用含a ，b 的代数式表示)20．(2014·孝感)如图，已知矩形ABCD ，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，BE ，若△ABE 是等边三角形，则S △DCE S △ABE＝__13__．,第20题图) ,第21题图)21．(2013·河南)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为__32或3__．22．(2013·梅州)如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(－3，－2)．(1)若点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标为__(2，－2)__； (2)将点A 向右平移5个单位得到点D ，则点D 的坐标为__(3，2)__；(3)由点A ，B ，C ，D 组成的四边形ABCD 内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为0的概率．解：(3)由图(略)可知，在平行四边形ABCD 内，横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为0的点有3个，即(－1，1)，(0，0)，(1，－1)，∴P ＝315＝1323．如图①，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出△ABC.请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：(1)图②中所画的三角形与△ABC组成的图形是轴对称图形；(2)图③中所画的三角形与△ABC组成的图形是中心对称图形；(3)图④中所画的三角形与△ABC的面积相等，但不全等．．．．．解：(1)(2)(3)。
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轴对称复习一、方程思想求等腰三角形的角边1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC，求∠BAC的度数．2.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的度数．3.．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数．4.已知等腰三角形的周长是24 cm，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是3 cm.求等腰三角形各边的长．二、分类讨论在等腰三角形中的应用1．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角为多少度？2.已知一个等腰三角形的两角分别为(2x－2)°，(3x－5)°，求这个等腰三角形各角的度数．3.已知等腰△ABC一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求△ABC的三个内角度数．三、利用“三线合一”作辅助线1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．求证：DG⊥EF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.四、作平行线构造等腰三角形1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于F，求证：DF＝EF.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE，求证：DE⊥BC.五、构造30°的直角三角形1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE＝2，求CE的长．2．如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．3．如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD＝30°，求证：AB＝2BC.六、共顶点的等腰三角形1．已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A，E在BC的同侧．(1)如图①，点D在BC上，写出线段AC，CD，CE之间的数量关系，并证明；(2)如图②，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接写出AC，CD，CE之间的数量关系．2．如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE，CF交于M，连接AM.(1)求证：BE＝CF；(2)求证：BE⊥CF；(3)求∠AMC的度数．七、用截长补短法构造等腰三角形1．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．2、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，求证：AC＋CD＝AB.八、等腰直角三角形1．如图，△ABC中，AB＝BC，AB⊥BC，B(0，2)，C(2，－2)，求点A的坐标．2.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC上一点，过D作DE⊥AD，且DE＝AD，连接BE，求∠DBE的度数．3、将两块含45°角大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连AC，BD.(1)求证：AC＝BD；(2)将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度到△C1OD1的位置(如图②)，连接AC1，BD1，直线AC1与BD1存在着什么样的位置关系？请说明理由．4、如图①，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD.(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系；(不用证明)(2)如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；(3)如图③，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．解：(1)BD与AC的位置关系是：BD⊥AC，数量关系是BD＝AC(2)BD与AC的位置关系与数量关系不发生变化．∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，即∠BED＝∠AEC，∵BE＝AE，DE＝CE，∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠BFC＝∠ACD＋∠CDE＋∠BDE＝∠ACD＋∠CDE＋∠ACE＝90°，∴BD⊥AC(3)①BD与AC的数量关系是：BD＝AC.∵△ABE和△DCE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，BE＝AE，∠DEC＝60°，DE＝CE，∴∠AEB＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，即∠BED＝∠AEC，∴△BED≌△AEC，九、动点问题1、如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由．（2）当t为何值时，∠BPQ=30度？2、如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12．（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴点M 、N 运动4秒后，可得到等边三角形△AMN ．（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设△AMN 是等腰三角形，∴AN=AM ．∴∠AMN=∠ANM ．∴∠AMC=∠ANB ．∵AB=BC=AC ，∴△ACB 是等边三角形．∴∠C=∠B ．在△ACM 和△ABN 中， AC AB C B AMC ANB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠，∠∠， ∴△ACM ≌△ABN ．∴CM=BN ．设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形，∴CM=y －12，NB=36－2y ，CM=NB ．y －12=36－2y ，解得：y=16．故假设成立．∴当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ，此时M 、N 运动的时间为16秒．轴对称检测题1．下列图形不是轴对称图形的是()2．已知点P(3，－2)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为()A．(－3，2) B．(－3，－2) C．(3，2) D．(3，－2)3．已知等腰△ABC的周长为18 cm，BC＝8 cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于()A．8 cm B．2 cm或8 cm C．5 cm D．8 cm或5 cm4．下列说法正确的是()A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．顶角相等的两个等腰三角形全等C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形一边不可以是另一边的2倍5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE 的度数为()A．70°B．80°C．40°D．30°6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，BD，CE相交于点F，则图中的等腰三角形有()A．6个B．7个C．8个D．9个,第5题图),第6题图),第7题图),第8题图) 7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为()A．2 B．4 C．6 D．88．如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为()A．20°B．25°C．30°D．40°9．等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半，则其顶角等于()A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．120°，30°或150°10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是()A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒,第10题图),第13题图),第14题图) 二、填空题(每小题3分，共24分)11．国旗上的五角星是轴对称图形，它有________条对称轴．12．等腰三角形的一个内角为68°，则其他两内角的度数为____________．13．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中最大角的度数是________．14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，S△ABC＝6 cm2，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕则CN ＝________.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2，2)，点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有________个．,第15题图),第17题图),第18题图)17．如图，已知△ABC 为等边三角形，点O 是BC 上任意一点，OE ，OF 分别与两边垂直，且等边三角形的高为1，则OE ＋OF 的值为________．18．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长是________．三、解答题1、如图26-2，在△ABC 中，AD 是三角形的中线，F 为AD 上一点，且BF=AC ，连结并延长BF 交AC 于点E ，求证：AE=EF ．2、如图，OA 平分∠BAC ，∠1＝∠2.求证：△ABC 是等腰三角形．3、如图，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于点Q ，求证：BP ＝2PQ.4、如图，△ABC 为等边三角形，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，PQ ＝3，PE ＝1，求AD 的长．A B C EDF。