2019年中考数学 第14讲 三角形的基础知识

2019年中考数学（真题+重难点+课后作业）第14讲三角形的基础知识命题点1 三角形的稳定性及三边关系1．(2018·河北T1·3分)下列图形具有稳定性的是(A)2．(2011·河北T10·3分)已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为(B) A．2 B．3 C．5 D．133．(2013·河北T15·3分)如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图2，则下列说法正确的是(C)图1 图2A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远命题点2 三角形内角和定理及推论4．(2014·河北T4·2分)如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是(B) A．20°B．30°C．70°D．80°5．(2013·河北T13·3分)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝(B) A．90°B．100°C．130°D．180°命题点3 三角形的中位线6．(2014·河北T2·2分)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，则BC＝(C) A．2 B．3 C．4 D．57．(2015·河北T15·2分)如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P 的移动而变化的是(B)A ．②③B ．②⑤C ．①③④D ．④⑤8．(2017·河北T17·3分)如图，A ，B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C ，连接CA ，CB ，分别延长到点M ，N ，使AM ＝AC ，BN ＝BC ，测得MN ＝200 m ，则A ，B 间的距离为100m.重难点1 三角形边与角的性质如图，D 是△ABC 边BA 延长上一点．(1)①若BC ＝3，AC ＝6，则AB 的长在什么范围？ ②若AC ＝6，则△ABC 的周长可能是(D) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14(2)①若∠CAB ＝36°，∠B ＝∠ACB ，则∠ACB ＝72°； ②若∠CAB ∶∠B ∶∠ACB ＝3∶5∶7，求∠CAD 的度数；③若CE 是△ABC 的角平分线，∠CAD ＝43∠CEA ，∠BCA ＝80°，求∠CEA 的度数．【思路点拨】(1)可利用三角形三边大小关系来解；(2)①可利用三角形内角和为180°，通过方程(组)来求解；②设每份为x ，利用三角形内角和，求出∠CAB ，再利用互补求∠CAD ；③需要利用外角与内角之间的数量关系，再结合已知条件求解．【自主解答】解：(1)①由三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，AC －BC ＜AB ＜BC ＋AC ，所以3＜AB ＜9.(2)②∵∠CAB ∶∠B ∶∠ACB ＝3∶5∶7，∴设∠CAB ＝3x °，∠B ＝5x °，∠ACB ＝7x °. ∵∠CAB ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴3x ＋5x ＋7x ＝180，解得x ＝12.∴∠CAB ＝36°. ∴∠CAD ＝180°－∠CAB ＝144°.③∵∠CAD ＝∠CEA ＋∠ECA ，∠CAD ＝43∠CEA ，∴∠CEA ＝3∠ECA.∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠CEA ＝32∠BCA ＝120°.【变式训练1】(2018·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(B)A ．4 cm ，5 cm ，9 cmB ．8 cm ，8 cm ，15 cmC ．5 cm ，5 cm ，10 cmD ．6 cm ，7 cm ，14 cm【变式训练2】(2018·长春)如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E.若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的大小为(C)A ．44°B ．40°C ．39°D ．38° 方法指导1．三角形三边大小关系实际上是两点之间线段最短在三角形知识中的具体应用；还可以从不等式组的解集角度来进行处理，解决一些特殊解问题；判断三条线段是否能组成三角形，只需满足两较小线段的和大于最大线段即可． 2．三角形中求角常用到下列知识：(1)三角形内角和定理；(2)三角形外角与内角之间的数量关系； (3)角平分线的定义； (4)平行线的性质；其中利用三角形内角和定理求角时，包括三种类型：已知两角求第三角，已知一个角以及两角的数量关系，求这两个角；已知三个角的数量关系，求这三个角． 重难点2 三角形中的重要线段如图，CD ，CE ，CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线．(1)有四种说法：①BA ＝2BF ；②∠ACE ＝12∠ACB ；③AE ＝BE ；④CD ⊥AB ，则错误的说法是③；(2)若∠A ＝72°，∠ABC ＝28°，求∠DCE ； (3)BG 是△ABC 的高，∠A ＝72°，求∠DHB ；(4)若M 是BC 的中点，若∠A ＝90°，AB ＝16，BC ＝20，求FM 的长．【思路点拨】 (1)由三角形高线，角平分线，中线的定义进行判断即可；(2)先由∠A ，∠ABC 可求∠ACB ，由CE 是角平分线，可求得∠ACE ，从而可利用∠ACE 和∠ACD 作差可解决问题；(3)由四边形内角和是360°，可求得∠DHG ，由互补可求得∠DHB ；(4)由勾股定理求AC ，由中位线定理求AC.【自主解答】解：(2)∵∠A ＝72°，∠ABC ＝28°，∴∠ACB ＝80°.∵CE 是△ABC 的角平分线， ∴∠ACE ＝∠BCE ＝40°.∵∠A ＝72°，CD 是△ABC 的高，∴∠ACD ＝18°.∴∠DCE ＝∠ACE －∠ACD ＝22°.(3)∵BG 是△ABC 的高，CD 是△ABC 的高， ∴∠ADC ＝∠AGH ＝90°.∵∠A ＋∠ADC ＋∠DHG ＋∠AGH ＝360°， ∴∠DHG ＝108°.∴∠DHB ＝180°－∠DHG ＝72°. (4)∵∠A ＝90°，AB ＝16，BC ＝20， ∴AC ＝12.∵FM 是△ABC 的中位线， ∴FM ＝12AC ＝6.【变式训练3】(2018·贵阳)如图，在△ABC 中有四条线段DE ，BE ，EF ，FG ，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是(B)A ．线段DEB ．线段BEC ．线段EFD ．线段FG【变式训练4】(2018·唐山乐亭县二模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 是BD 的中点．若AB ＝10，则EF ＝(A)A ．2.5B ．3C ．4D ．5方法指导1．三角形同一顶点上角平分线与高线的夹角等于其他两个角差的一半；如下图所示：∠DAE ＝12(∠B －∠C)2．三角形两条高线的夹角与第三个角相等或互补；如下图所示：∠AOE ＝∠C ，∠AOB ＋∠C ＝180°.3．三角形中，已知中点求边长(或周长)问题，往往要用到三角形中位线定理．易错提示中线和中位线是易混淆的两个概念，中线是连接顶点与对边中点之间的线段，中位线是连接两边中点之间的线段，中线把三角形面积等分，中位线把三角形面积分为1∶3.1．下列图形中，具有稳定性的是(B)2．(2018·石家庄十八县大联考)如图，长度为10 m 的木条，从两边各截取长度为x m 的木条，若得到的三根木条能组成三角形，则x 可以取的值为(C)A ．2B.52C ．3D ．63．(2018·眉山)将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是(C)A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°4．(2018·黄石)如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE ，BF 分别是∠BAC ，∠ABC 的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC ＝60°，则∠EAD ＋∠ACD ＝(A)A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°5．【转化思想】(2018·石家庄裕华区模拟)如图，将△ABC 沿DE ，EF 翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO.若∠DOF ＝142°，则∠C 的度数为(A)A ．38°B ．39°C ．42°D ．48°6．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点．若∠MPN ＝130°，则∠NMP 的度数为(C)A ．10°B ．15°C ．25°D ．40°7．(2018·淄博)已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°.证明：过点A 作EF ∥BC ， ∵EF ∥BC ，∴∠EAB ＝∠B ，∠FAC ＝∠C. ∵∠EAB ＋∠FAC ＋∠BAC ＝180°. ∴∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°， 即∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°.8．(2018·石家庄裕华区模拟)如图，△ABC 的顶点落在两条平行线上，点D ，E ，F 分别是△ABC 三边中点，平行线间的距离是8，BC ＝6，移动点A ，当CD ＝BD 时，EF 的长度是5．提示：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，∵BC ＝6，CD ＝BD ，∴BH ＝CH ＝3.∵平行线间的距离是8，点D 是AB 的中点，∴DH ＝4.∴在Rt △BDH 中，由勾股定理知，BD ＝DH 2＋BH 2＝5.∴点D 是AB 的中点．∴AB ＝2BD ＝10.又∵点E ，F分别是AC ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线．∴EF ＝12AB ＝5.9．(2017·河北模拟)已知在△ABC 中，∠A ＝165°，我们做如下操作，如图．①以B 为顶点，以AB 为一边，在∠ABC 的外部作∠A 1BA ＝∠ABC ，以C 为顶点，以AC 为一边，在∠ACB 的外部作∠A 1CA ＝∠ACB ，我们记作1次操作；②以B 为顶点，以A 1B 为一边，在∠A 1BA 的外部作∠A 2BA 1＝∠A 1BA ，以C 为顶点，以A 1C 为一边，在∠A 1CA 的外部作∠A 2CA 1＝∠A 1CA ，我们记作2次操作；…则∠A 1＝150°；若能进行n 次操作，则n 的最大值为10．10．如图，在△ABC 中，点D 为边AC 的中点，且DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5.(1)求DB 的长；(2)在△ABC 中，求边BC 上的高．解：(1)∵DB ⊥BC ， ∴∠DBC ＝90°.∵在Rt △DBC 中，BC ＝4，CD ＝5，∴DB ＝CD 2－BC 2＝52－42＝3.(2)过A 作AE ⊥BC 交线段CB 延长线于点E ， 则AE ∥DB.∵点D 为AC 的中点， ∴DB 为△ACE 的中位线． ∴AE ＝2DB ＝6.∴边BC 上的高为6.11．如图1，在△ABC 中，CD ，CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β(α＞β)．图1 图2 图3(1)若∠BAC ＝70°，∠B ＝40°，求∠DCE 的度数；(2)若∠BAC ＝α，∠B ＝β(α＞β)，则∠DCE ＝α－β2(用含α，β的代数式表示)；(3)若将△ABC 换成钝角三角形，如图2，其他条件不变，试用α，β的代数式表示∠DCE 的度数并说明理由； (4)如图3，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 的延长线于点E.且α－β＝30°，则∠DCE ＝75°．(直接写出结果)解：(1)∵∠BAC ＝70°，∠B ＝40°， ∴∠ACB ＝180°－(∠BAC ＋∠B)＝70°. 又∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠ACE ＝12∠ACB ＝35°.∵CD 是高线，∴∠ADC ＝90°. ∴∠ACD ＝90°－∠BAC ＝20°. ∴∠DCE ＝∠ACE －∠ACD ＝15°. (3)∠DCE ＝12(α－β)．理由：∵∠ACB ＝180°－(∠BAC ＋∠B)＝180°－(α＋β)，CE 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACE ＝12∠ACB ＝90°－12(α＋β)．∵CD 是高线，∴∠ADC ＝90°.∴∠ACD ＝∠BAC －90°＝α－90°. ∴∠DCE ＝∠ACE ＋∠ACD ＝90°－12(α＋β)＋α－90°＝12(α－β)．。