方程显著性的检验

方程显著性的检验

方程显著性可用方程的F比值(F比值＝回归平方和÷残差平方和)和复相关系数描述，当α等于0.05以下，方程的可靠程度的概率超过95％。复相关系数r接近1较好，随着项数的引进多，R会自动增加，容易形成假象。所以，α的可靠性比R高。

样本的预留检验，是用预留的样本值直观检验回归方程预报值的拟合精度。如果这几批都与预报值相差很大，再预报其它值还有可靠性吗？

三种检验方法各有优缺点。通常，样本数少、试验误差大、检测不准是造成检验难过关的主要原因。

1.F统计值

在建模时，F临界值是用于引入或剔除一个变量时的一种尺度。临界

值高，在引入方程时，将显著性好的变量引入。剔除时，又可将引

入方程的变量再次检验，将变得不显著的剔除，使方程处于优化状

态。

引入和剔除的F临界值是怎样确定呢？选择α＝？时的F分布表，

查该表的第N1列、第n-N1-1行的值，该值即为该表α＝？时的f

临界值。其中n为样本个数，N1为方程中引入的变量模式数。

当N1=1时，是引入一个变量，所得F临界值用于建模。若是回归方

程中引入了5个自变量或是其组合项，此时N1=5，所得的F临界是

用于描述方程拟合得好与坏。

在方差分析中，回归平方和是由自变量X的变化引起的，它的大小

反映了自变量X的重要程度。剩余平方和是由试验误差以及其它为

加控制的因素引起的它的大小反映了试验误差及其它因素对试验结

果的影响。平方和除自由度为均方，两个均方相除得F比值。

在不同的显著性水平α下，F临界值不一样。F比值高于F临界值，

表明在显著性水平α＝？时，回归方程显著。F比值值高，则显著性

水平好，此时的α是反映回归方程拟合的程度。

2.显著性水平α

显著性水平α在统计检验中具有重要作用，α＝0.05，意味着回归

方程的有效性为95％，α＝0.01，为99％的可靠性。通常α＝0.01，

为高度显著；α＝0.05，为一般显著；α＝0.10以上，方程可靠性

大为下降。

3.复相关系数R

衡量回归方程拟合优良性的一种指标是复相关系数，用R表示，｜R｜

≤1，R的绝对值越大，说明拟合得越好。复相关系数R的平方R2叫

做决定系数。

R2＝1－[回归平方和/(p-1)] / [剩余平方和/(n-p)]，其中n为建模

的样本数，p为引入的变量数。

在回归模型中变量引入增加时，复相关系数R随之增大。然而，使

复相关系数R增大的代价是剩余自由度(n-p)的减少，剩余自由度等

于试验次数减去引入模型中引入的变量个数之差，自由度小意味着

预报可靠性低。也就是说，自由度一小，尽管回归模型的拟合在外

表上看是良好的，而区间估计的幅度则会较大，以致失去意义。

为了考虑到拟合优良度与可靠性之间的矛盾，建议采用自由度调整

了的复相关系数R A(简称调整了的复相关系数R A)来描述回归方程。

2

4.调整了的决定系数R

A

调整了的复相关系数系数R A的平方叫做调整了的决定系数R A2。

R A2＝1-(1-R2)[(n-1)/(n-p)]，其中n为建模的样本数，p为引入的变量数。

尽管(1-R2)随着变量的增加而减少，但是(n-1)/(n-p)起修正作用，当引入的变量对y 的贡献不大时，R A2不但不增加反而可能减少，甚至R A2有时还可能产生负值，说明方程预报效果极差，请用户注意此时的R不一定太小。用R A2描述回归方程较为稳健。

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10.3 回归方程的显著性检验

10.3.1 总离差平方和分解 设，求得的回归方程为：

同一元回归，可得： （10-6）

总离差平方和：

回归平方和：

残差平方和：

10.3.2 样本决定系数对回归方程“拟合优度”的检验

样本决定系数（复决定系数，多重决定系数）Ｒ２

（10-7）

存在问题：Ｒ２与样本容量有关，随着n↑,R↑。

n：样本观测值 k：解释变量个数

其中，当n为小样本，解释变量数很大时，为负，此时取为0。

与均反映在给定样本下，回归方程与样本观测值拟合优度，但不能据此进行总体模型的推断。

10.3.3 回归方程的显著性检验

表10-1 方差分析表

离差名称平方和自由度均方差

RSS/k

回归RSS K

（k个解释变量）

残差ESS n-k-1 ESS/n-k-1

总离差TSS n-1

检验：Y与解释变量x1，x2，…,x k之间的线性关系是否显著。

(1)H0： b1=b2=……b k=0

H1： b i不全为0 （i=1，２，…,k）

(2) （10-8）

或

(3)查表，得：

(4)若,拒绝H0，回归方程显著

,接受H0，回归方程不显著

回归方程显著，并不意味着每个解释变量对因变量Y的影响都重要,因此需要进行检验：

（1）提出假设H0：b i=0 (i=1，2，……k)H1：b i≠0 (i=1，2，……k)

（2）构造并计算统计量(i=1，2，……k) (10-9)

（3）查表，得

（4）比较：若,接受H0

若,拒绝H0

关于模型的异方差、自相关、多重共线性问题的检验，请参考计量经济学有关教材。