假期辅导学案函数的简单性质(含答案)
人教a版必修1学案1.3函数的基本性质(含答案)
1.3 函数的基本性质【入门向导】 数学与科技根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大．太阳能呢？从图象可以看出100年内，木材一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油所占比例在逐渐变小，天然气、核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐增大．解读函数的单调性一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质1．这个区间可以是整个定义域．如y ＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递增的，y ＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质．2．这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如y ＝x 2－2x ＋1在整个定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但是在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．3．有的函数无单调性．如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域是(－∞，＋∞)，但无单调性可言，又如y ＝x 2＋1，x ∈{0,1,2}，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性．二、单调性的证明与判断函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法．严格按照单调性定义进行证明．主要步骤有如下五步：(1)取值：定义域中x 1，x 2的选取，选取x 1，x 2时必须注意如下三点：①x 1，x 2取值的任意性，即“任意取x 1，x 2”中，“任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代x 1，x 2；②x 1与x 2有大小，一般规定x 1<x 2；③x 1与x 2同属一个单调区间．(2)作差：指求f (x 2)－f (x 1)．(3)变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将②中的差式f (x 2)－f (x 1)进一步化简变形，变到利于判断f (x 2)－f (x 1)的正负为止．常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等．一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号．(4)定号：根据变形结果，确定f (x 2)－f (x 1)的符号．(5)判断：根据x 1与x 2的大小关系及f (x 1)与f (x 2)的大小关系，结合单调性定义得出结论．例1 证明：函数y ＝x 3(x ∈R )是增函数．证明 设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22]． ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.易得(x 1＋12x 2)2＋34x 22≥0. ∵上式等于零的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－12x 2，x 2＝0，即x 1＝x 2＝0，显然不成立，∴(x 1＋12x 2)2＋34x 22>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数y ＝x 3(x ∈R )是增函数．三、单调区间的求解1．本节单调区间的求解主要是观察法得单调区间再进行证明，或者是图象法求出单调区间，对于利用定义探索函数单调区间问题，由于难度大，要求不可过高，适当了解即可．(单调区间的求解问题随着进一步学习，我们会找到更简单快捷的方法——导数法)2．书写单调区间时，注意区间端点的写法．对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点，因此，书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，须开则开”．函数奇偶性学法指导一、学习要点1．要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数f (x )的奇偶性．(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)． 3．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形，反之亦成立．因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法．4．按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．5．在公共定义域内：(1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数；偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数．(2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数；偶函数与偶函数的积(商)是偶函数；奇函数与偶函数的积(商)是奇函数．以上两条同学们可以自行验证．6．设f (x )是定义域关于原点对称的一个函数，则F 1(x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，F 2(x )＝f (x )－f (－x )为奇函数．7．奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相反．二、典型例题选析例2 当a ，b ，c 满足什么条件时，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是：(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既奇又偶函数；(4)非奇非偶函数．解 (1)若是奇函数，应有f (－x )＝－f (x )，于是有ax 2－bx ＋c ＝－ax 2－bx －c ，即ax 2＋c ＝0对定义域内所有实数都成立，所以只有a ＝c ＝0.(2)若是偶函数，则有f (－x )＝f (x )，于是有ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，即2bx ＝0对定义域内所有实数都成立，所以只有b ＝0.(3)若既是奇函数又是偶函数，则由(1)和(2)知a ＝b ＝c ＝0.(4)若是非奇非偶函数，则f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－bx ＋c ≠－ax 2－bx －c ，ax 2－bx ＋c ≠ax 2＋bx ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋c ≠0，bx ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0或c ≠0，b ≠0. 所以a ≠0且b ≠0或c ≠0且b ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．例3 已知f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx －8，且f (－2)＝10，求f (2)的值．解 令g (x )＝f (x )＋8＝ax 5＋bx 3＋cx ，显然g (x )是奇函数，即g (－2)＝－g (2)．又g (－2)＝f (－2)＋8＝18，所以f (2)＝g (2)－8＝－26.判断函数奇偶性的常见错误一、忽略定义域出错例4 判断f (x )＝x 4－x 31－x的奇偶性． 错解 因为f (x )＝x 4－x 31－x ＝x 3(1－x )1－x＝x 3， 显然f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．剖析 判断函数奇偶性，首先要看函数的定义域，若定义域是关于原点的对称区间，则函数可能具有奇偶性；否则，函数一定不具有奇偶性．其次，要看f (x )与f (－x )之间的关系．正解 函数的定义域为{x |x ≠1}．显然，它的定义域不关于原点对称，于是该函数为非奇非偶函数．二、忽视对参数的讨论例5 判断函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1(a ∈R )的奇偶性．错解 显然函数定义域为R .因为f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，所以f (－a )≠f (a )，且f (－a )≠－f (a )，所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．剖析 此解法错在没有对参数进行讨论，未考虑到a ＝0这种特殊情形，以致解题出错．正解 当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝x 2＋|x |＋1＝f (x )，此时f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，f (－a )≠f (a )，f (－a )≠－f (a )，此时f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．三、忽视特殊函数f (x )＝0的存在例6 判断函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1的奇偶性．错解 定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (－x )＝1－(－x )2＋(－x )2－1＝1－x 2＋x 2－1＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．剖析 上述解法忽视了定义域关于原点对称的函数f (x )＝0，既是奇函数又是偶函数．正解 函数定义域为{－1,1}，此时f (x )＝0，因而f (x )既是奇函数又是偶函数．四、不明分段函数奇偶性概念致错例7 判断f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋3， x <0，3， x ＝0，－x 2＋2x －3 x >0，的奇偶性．错解 当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f (x )．当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f (x )．所以f (x )是奇函数．剖析 尽管对于定义域内的每一个不为零的x ，都有f (－x )＝－f (x )成立，但当x ＝0时，f (0)＝3≠－f (0)，所以函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数.断函数单调性的方法一、用定义证明函数的单调性例1 证明：函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数．证明 f (x )＝－x 的定义域为[0，＋∞)，设0≤x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且f (x 2)－f (x 1)＝(－x 2)－(－x 1)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2， ∵x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )＝－x 在定义域[0，＋∞)上是减函数．点评 (1)有的同学认为由0≤x 1<x 2，得0≤x 1<x 2多么直接呢，其实这种证明方法不正确，因为我们没有这样的性质作依据．其次，这种证明利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性，我们没有证明，因此不能直接使用．(2)在本题的证明中，我们使用了“分子有理化”这种证明技巧，在今后的学习中，我们还会经常遇到，因此要注意观察这类题目的结构特点，在今后的学习中学会使用这种方法．例2 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )对任意x ，y ∈(0，＋∞)，恒有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当0<x <1时f (x )>0，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性．分析 抽象函数单调性的判断要紧扣定义，并且要注意对原题条件的应用．解 设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1x 2·x 2)－f (x 2) ＝f (x 1x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1x 2)． ∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，∴0<x 1x 2<1，∴f (x 1x 2)>0. ∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性例3 求函数f (x )＝－x 2＋a x(a >0)的单调区间．分析 此函数可化为f (x )＝－x ＋a x ，可根据y ＝1x的单调性判断． 解 f (x )＝－x 2＋a x ＝－x ＋a x. ∵a >0，y ＝a x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)， y ＝－x 在R 上单调递减，∴f (x )＝－x 2＋a x(a >0)的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)． 点评 运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．了解以下结论，对于直接判断函数的单调性有好处：①函数y ＝－f (x )与函数y ＝f (x )在相对应的区间上的单调性相反．②当f (x )恒为正或恒为负时，函数y ＝1f (x )与y ＝f (x )在相对应的区间上的单调性相反． ③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．三、图象法例4 求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调区间．分析 “脱去”绝对值符号，画出函数图象，由图象观察得出．解 当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.画出图象如图所示：故在(－∞，－1]和[0,1]上，函数是增函数；在[－1,0]和[1，＋∞)上，函数是减函数．函数单调性的应用一、比较大小例5 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小．解 依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2，∴f (－1)＝f (5)．∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (2)<f (4)<f (5)，即f (2)<f (4)<f (－1)．点评 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．二、解不等式例6 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)<f (1－2t )，求实数t 的取值范围．解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<t －1<1，－1<1－2t <1，t －1<1－2t ，解得0<t <23. 点评 (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式；(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围；(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错．三、求参数的值或取值范围例7 已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a 的取值范围．解 任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0.Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 32－ax 2)－(x 31－ax 1)＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )．∵1≤x 1<x 2，∴x 21＋x 1x 2＋x 22>3.显然不存在常数a ，使(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )恒为负值．又f (x )在[1，＋∞)上是单调函数，∴必有一个常数a ，使x 21＋x 1x 2＋x 22－a 恒为正数，即x 21＋x 1x 2＋x 22>a .当x 1，x 2∈[1，＋∞)时，x 21＋x 1x 2＋x 22>3，∴a ≤3.此时，∵Δx ＝x 2－x 1>0，∴Δy >0，即函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴a 的取值范围是(0,3]．四、利用函数单调性求函数的最值例8 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝4时，求f (x )的最小值；(2)当a ＝12时，求f (x )的最小值； (3)若a 为正常数，求f (x )的最小值．解 (1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6.(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2. 易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数．∴f (x )min ＝f (1)＝72. (3)函数f (x )＝x ＋a x＋2在(0，a ]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数．若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，∴f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2.若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.五、利用函数单调性证明不等式例9 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b >c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c. 证明 设f (x )＝x 1＋x(x >0)， 设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 1－x 21＋x 2＝x 1－x 2(1＋x 1)(1＋x 2)<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c )，即a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c.又f (a )＋f (b )＝a 1＋a ＋b 1＋b >a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b＝a ＋b 1＋a ＋b， ∴a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c. 点评 本题通过构造函数，利用函数单调性证明不等式．判断函数奇偶性的方法函数奇偶性是函数的一个重要性质，在各种考试中屡次出现，其表现形式多种多样，求解方法也不单一，不同的形式对应不同的解决策略．现介绍三种常见的方法，供同学们学习时参考．一、定义法首先求出函数的定义域，确定其定义域是否关于原点对称，若对称再利用f (－x )＝f (x )(符合为偶函数)或f (－x )＝－f (x )(符合为奇函数)，否则既不是奇函数也不是偶函数．例10 判断函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3的奇偶性． 解 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0， 解得－2≤x ≤2且x ≠0，此函数的定义域[－2,0)∪(0,2]关于原点对称，且满足x ＋3>0，则函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ， f (－x )＝4－(－x )2－x＝－4－x 2x ＝－f (x )， 故函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3是奇函数． 点评 判断函数的奇偶性时，首先一定要观察函数定义域是否关于原点对称，这是判断奇偶性的前提条件．二、等价转化法利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理，往往借助f (－x )±f (x )＝0来解决，方法比较简便．三、图象法奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．例11 判断函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|的奇偶性．解 f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x >2，4， －2≤x ≤2，－2x ， x <－2，其图象(如图)关于y 轴对称，该函数为偶函数．点评 利用图象法(数形结合法)解题，形象直观、清晰可见．同时数形结合思想一直都是高考考查的重点，同学们要注意领会．一道课本习题的拓展证明：(1)若f (x )＝ax ＋b ，则f (x 1＋x 22)＝f (x 1)＋f (x 2)2；(2)若f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2. 探究 x 1＋x 22为自变量x 1、x 2中点，x 1＋x 22对应的函数值f (x 1＋x 22)为“中点的纵坐标”．而12[f (x 1)＋f (x 2)]为x 1、x 2对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”．f (x )＝ax ＋b 的图象为直线，所以“中点的纵坐标”等于“纵坐标的中点”，即有f (x 1＋x 22)＝f (x 1)＋f (x 2)2.而f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象为开口向上的抛物线，图象向下凹进，由图象可得到“中点的纵坐标”不大于“纵坐标的中点”，即有f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2. 拓展 在给定区间内，若函数f (x )的图象向上凸出，则函数f (x )在该区间上为凸函数，结合图象易得到f (x 1＋x 22)≥f (x 1)＋f (x 2)2；在给定区间内，若函数f (x )的图象向下凹进，则函数f (x )在该区间上为凹函数，结合图象易得到f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2.这一性质，可以称为函数的凹凸性．活用函数的基本性质掌握函数与方程的互化，构造函数求值某些求值问题，若能根据问题的结构特征，注重揭示内在联系，挖掘隐含因素，用运动、变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系，利用函数的单调性，借助函数的奇偶性把问题解决．例12 已知实数x ，y 满足(x ＋x 2＋1)·(y ＋y 2＋1)＝1，求x ＋y 的值．解 由已知条件可得x ＋x 2＋1＝－y ＋(－y )2＋1.构造函数f (t )＝t ＋t 2＋1.显然f (t )＝t ＋t 2＋1是R 上递增函数．因为f (x )＝f (－y )，所以x ＝－y ，即x ＋y ＝0.例13 已知(x ＋2y )5＋x 5＋2x ＋2y ＝0，求x ＋y 的值．解 已知方程化为(x ＋2y )5＋(x ＋2y )＝－(x 5＋x )．①由①式的结构，构造函数f (t )＝t 5＋t .显然，f (t )是奇函数，且在R 上单调递增．由于①式可写成f (x ＋2y )＝－f (x )＝f (－x )，所以有x ＋2y ＝－x ，即x ＋y ＝0.三种数学思想在函数奇偶性中的应用一、数形结合思想例14 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为______________．解析 注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f (x )在[－5,5]上的图象(如图所示)，数形结合，得f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．答案 (－2,0)∪(2,5]二、分类讨论思想 例15 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )，试判断f (x )的奇偶性．解 当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(a ≠0，x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．三、方程思想例16 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝x ＋m x 2＋nx ＋1，试求f (x )． 分析 利用奇函数的性质、定义求出参数m 、n 的值是关键．解 由f (0)＝0知m ＝0.由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，即－x ＋0x 2－nx ＋1＝－x ＋0x 2＋nx ＋1， ∴x 2－nx ＋1＝x 2＋nx ＋1，∴n ＝0.∴f (x )＝x x 2＋1.二次函数在某区间上的最值——思维规律解读一、定函数在定区间上的最值例17 求函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[－1,4]上的最大值和最小值．解 f (x )＝(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1.因为函数对称轴x ＝1在区间[－1,4]内，又函数开口向上，所以当x ＝1时，f (x )取到最小值为1.又f (－1)＝5，f (4)＝10，所以在x ＝4时，f (x )取到最大值为10.二、定函数在动区间上的最值例18 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )，求g (t )的表达式．解 f (x )＝(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1.当t ＋1<1时，即t <0时，区间[t ，t ＋1]在对称轴的左侧，f (x )在此区间上是减函数．所以此时g (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋2＝t 2＋1.当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，对称轴x ＝1在此区间内，又函数开口向上．所以此时g (t )＝f (1)＝12－2＋2＝1.当t >1时，区间[t ，t ＋1]在对称轴的右侧，f (x )在此区间上是增函数．所以此时g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1， t <0，1， 0≤t ≤1，t 2－2t ＋2， t >1.三、动函数在定区间上的最值例19 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3在区间[－2,2]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式．解 f (x )＝(x ＋a 2)2＋3－a 24， 其对称轴为x ＝－a 2. 当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]的右侧，即－a 2≥2，a ≤－4时，f (x )在此区间上是减函数． 所以此时g (a )＝f (－2)＝7－2a .当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]内时，如果－2<－a 2<0， 即0<a <4时，x ＝2距离对称轴较远，所以此时f (x )在x ＝2时取到最大值，为g (a )＝f (2)＝7＋2a ；如果0<－a 2<2，即－4<a <0时， 则x ＝－2距离对称轴较远，此时f (x )在x ＝－2时取到最大值，为g (a )＝f (－2)＝7－2a .当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]的左边， 即－a 2≤－2，a ≥4时，f (x )在此区间上是增函数． 所以此时g (a )＝f (2)＝7＋2a .综上得：g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7＋2a ， a >0，7－2a ， a ≤0. 四、动函数在动区间上的最值例20 设a 为实数，函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1(x ∈R )，求f (x )的最小值．解 ①当x ≤a 时，函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34， 若a ≤12，则函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减， 从而f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1；若a ＞12，则f (x )在(－∞，a ]上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫12＝34＋a .②当x ≥a 时，f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－a ＋34， 若a ≤－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫－12＝34－a ； 若a ＞－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1. 综上，当a ≤－12时，函数f (x )的最小值为34－a ； 当－12＜a ≤12时，函数f (x )的最小值为a 2＋1； 当a ＞12时，函数f (x )的最小值为a ＋34. 点评 当二次函数在某个区间上求最值时，其关键在于明确函数的对称轴与自变量取值范围的相对位置关系，分对称轴在区间内、在区间左边、在区间右边三种情况讨论．形如“y ＝x ＋a x(a >0)”的函数图象的探究例21 试探究函数f (x )＝x ＋a x(a >0)，x ∈(0，＋∞)的单调区间． 解 任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2. 由于x 1－x 2及x 1x 2的符号已定，从而f (x 1)－f (x 2)的符号取决于x 1x 2－a 的符号．由于x 1，x 2只能取f (x )的某个单调区间上的值，因此考虑x 1＝x 2这一极端情形，则x 1x 2－a ＝x 21－a ，若为零，得x 1＝x 2＝a ，从而将定义域(0，＋∞)分为两个区间(0，a )及[a ，＋∞)，由此讨论它的单调性即可．任取0<x 1<x 2<a ，则x 1－x 2<0，0<x 1x 2<a ，所以x 1x 2－a <0.于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(0，a )上单调递减．同理可知，函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增． 由f (x )是奇函数，知f (x )在(－∞，－a )上单调递增，在(－a ，0)上单调递减．由函数的单调性及奇偶性，可作出如下图象：知识延伸 (1)函数y ＝x ＋a x(a >0)是一个常用且重要的函数，其图象如图所示，记住这个图象和性质会给解题带来方便．(2)对形如f (x )＝x 2＋2x ＋3x这种“分式型”的函数，求它在区间[a ，b ]上的最值，常用“分离变量”法转化为y ＝x ＋a x(a >0)模型求解．谈复合函数的单调性设y ＝f (t )是t 的函数，t ＝g (x )是x 的函数，若t ＝g (x )的值域是y ＝f (t )定义域的子集，则y 通过中间变量t 构成x 的函数，称为x 的复合函数，记作y ＝f (t )＝f [g (x )]．如函数y ＝1－x ，若设t ＝1－x ，则y ＝t .这里t 是x 的函数，y 是t 的函数，所以y ＝1－x 是x 的复合函数，把t 称为中间变量．问题1 已知函数y ＝f (t )的定义域为区间[m ，n ]，函数t ＝g (x )的定义域为区间[a ，b ]，值域D ⊆[m ，n ]．若y ＝f (t )在定义域内单调递增，t ＝g (x )在定义域内单调递增，那么y ＝f [g (x )]是否为[a ，b ]上的增函数？为什么？探究 y ＝f [g (x )]是区间[a ，b ]上的增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2，则t 1＝g (x 1)，t 2＝g (x 2)，且t 1，t 2∈[m ，n ]．因为t ＝g (x )在[a ，b ]上递增，所以g (x 1)<g (x 2)，即t 1<t 2，而y ＝f (t )在[m ，n ]递增，故f (t 1)<f (t 2)，即f [g (x 1)]<f [g (x 2)]，所以y ＝f [g (x )]在[a ，b ]上是增函数．问题2 若将g (x )在区间[a ，b ]上“递增”改为“递减”或将f (x )在区间[m ，n ]上“递增”改为“递减”等，这时复合函数y ＝f [g (x )]在区间[a ，b ]上的单调性又如何呢？探究 利用解决问题1的方法就可以得出相应的结论(你不妨一试)．由此可得到如下复合函数单调性的结论：义域；要确定t ＝g (x )(常称内层函数)的值域，否则无法确定f (t )(常称外层函数)的单调性．例22 求函数y ＝1(x ＋1)2的单调区间．解 函数y ＝1(x ＋1)2的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 设t ＝(x ＋1)2，则y ＝1t(t >0)． 当x ∈(－∞，－1)时，t 是x 的减函数，y 是t 的减函数，所以(－∞，－1)是y ＝1(x ＋1)2的递增区间； 当x ∈(－1，＋∞)时，t 是x 的增函数，y 是t 的减函数，所以(－1，＋∞)是y ＝1(x ＋1)2的递减区间． 综上知，函数y ＝1(x ＋1)2的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)． 试一试 求y ＝1x 2－2x －3的单调区间． 解 由x 2－2x －3≠0，得x ≠－1或x ≠3，令t ＝x 2－2x －3(t ≠0)，则y ＝1t， 因为y ＝1t在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数， 而t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y ＝1x 2－2x －3的递增区间为(－∞，－1)，(－1,1)， 递减区间为(1,3)，(3，＋∞).函数基本性质如何考？1．(辽宁高考)设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( )A ．－3B ．3C ．－8D ．8 解析 因为f (x )是连续的偶函数，且x >0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4，只有两种情况：①x ＝x ＋3x ＋4； ②x ＋x ＋3x ＋4＝0. 由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3.由②知x 2＋5x ＋3＝0，故两根之和为x 3＋x 4＝－5.因此满足条件的所有x 之和为－8.答案 C2．(全国Ⅱ高考)函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 f (x )＝1x－x 的定义域为{x |x ≠0}， ∵f (－x )＝－1x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －x ＝－f (x )． ∴f (x )是一个奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称．答案 C3．(重庆高考)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数解析 令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝2f (0)＋1，所以f (0)＝－1.令x 2＝－x 1，得f (0)＝f (x 1)＋f (－x 1)＋1，即f (－x 1)＋1＝－f (x 1)－1.所以f (x )＋1为奇函数．答案 C4．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析 结合图象，由f (x )在[1,2]上为减函数知a ≤1，由g (x )在[1,2]上是减函数知a >0.∴0<a ≤1.答案 D5．(上海高考)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝____________.解析 ∵f (－x )＝f (x )且f (x )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2，∴b (－x )2＋(2a ＋ab )(－x )＋2a 2＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2，∴－(2a ＋ab )＝2a ＋ab ，即2a ＋ab ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.当a ＝0时，f (x )＝bx 2，∵f (x )值域为(－∞，4]，而y ＝bx 2值域不可能为(－∞，4]，∴a ≠0.当b ＝－2时，f (x )＝－2x 2＋2a 2，值域为(－∞，2a 2]．∴2a 2＝4，∴a 2＝2.∴f (x )＝－2x 2＋4.答案 －2x 2＋46．(上海高考)若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b ，的取值范围是________．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax －ab ＋2 (x ≥b )，－ax ＋ab ＋2 (x <b ). ∵函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴必有a >0，且[0，＋∞)是[b ，＋∞)的子集，即a >0，且b ≤0.答案 a >0且b ≤0。
3.1.1(第1课时)函数的概念 学案(含答案)
3.1.1（第1课时）函数的概念学案（含答案）3.13.1函数的概念与性质函数的概念与性质33..1.11.1函数及其表示方法函数及其表示方法第第11课时课时函数的概念函数的概念学习目标1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.知识点一函数的有关概念函数的定义给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数函数的记法yfx，xA定义域x 称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围即数集A称为函数的定义域值域所有函数值组成的集合yB|yfx，xA称为函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素定义域，对应关系与值域如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数特别提醒两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同思考定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗答案不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数1任何两个集合之间都可以建立函数关系2已知定义域和对应关系就可以确定一个函数3若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素4函数yfxx2，xA与uftt2，tA表示的是同一个函数一.函数关系的判断例11多选下列两个集合间的对应中，是A 到B的函数的有AA1,0,1，B1,0,1，fA中的数的平方BA0,1，B1,0,1，fA中的数的开方CAZ，BQ，fA中的数的倒数DA1,2,3,4，B2,4,6,8，fA中的数的2倍答案AD解析A选项121,020,121，为一一对应关系，是A到B的函数B选项00，11，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，不是A到B的函数C选项A中元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，不是A到B的函数D选项122,224,326,428，为一一对应关系，是A到B的函数2设Mx|0x2，Ny|0y2，给出如图所示的四个图形其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是A0B1C2D3答案B解析中，因为在集合M中当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是反思感悟1判断对应关系是否为函数的两个条件A，B必须是非空实数集A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系2根据图形判断对应关系是否为函数的方法任取一条垂直于x轴的直线l.在定义域内平行移动直线l.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数跟踪训练11下列对应关系式中是A到B的函数的是AAR，BR，x2y21BA1,0,1，B1,2，y|x|1CAR，BR，y1x2DAZ，BZ，y2x1答案B解析对于A，x2y21可化为y1x2，显然对任意xAx1除外，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，1A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义2判断下列对应关系f是否为定义在集合A 上的函数AR，BR，对应关系fy1x2；A1,2,3，BR，f1f23，f34；A1,2,3，B4,5,6，对应关系如图所示解AR，BR，对于集合A中的元素x0，在对应关系fy1x2的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数由f1f23，f34，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的函数集合A 中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素5和6与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数二.求函数的定义域.函数值和值域命题角度1求函数的定义域例2求下列函数的定义域1fxx12x11x；2fx5x|x|3；3fx3xx1.解1要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x10，1x0.解得x1，且x1，即函数定义域为x|x1，且x12要使函数有意义，自变量x的取值必须满足5x0，|x|30，解得x5，且x3，即函数定义域为x|x5，且x33要使函数有意义，自变量x的取值必须满足3x0，x10，解得1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3延伸探究在本例3条件不变的前提下，求函数yfx1的定义域解由1x13得0x2.所以函数yfx1的定义域为0,2反思感悟求函数定义域的常用依据1若fx是分式，则应考虑使分母不为零2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零3若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义4若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟踪训练2函数y2x23x214x的定义域为________________答案，122,4解析由2x23x20，4x0，4x0，得x12或2x4，所以定义域为，122,4命题角度2求函数值例3已知fx12xxR，且x2，gxx4xR1求f1，g1,gf1的值；2求fgx解1f11211，g1145，gf1g15.2fgxfx412x412x1x2xR，且x2反思感悟求函数值的方法1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值2求fga的值应遵循由里往外的原则跟踪训练3已知fx11xxR，且x1，gxx22xR，则f2______，fg2______，fgx________.答案13171x23解析fx11x，f211213.又gxx22，g22226，fg2f611617.fgx11gx1x23.命题角度3求值域例4求下列函数的值域1y2x1，x1,2,3,4；2y3x1x1；3yxx.解1当x1时，y3；当x2时，y5；当x3时，y7；当x4时，y9.所以函数y2x1，x1,2,3,4的值域为3,5,7,92借助反比例函数的特征y3x14x134x1x1，显然4x1可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为y|y33设uxx0，则xu2u0，则yu2uu12214u0由u0，可知u12214，所以y0.所以函数yxx的值域为0，反思感悟求函数值域常用的四种方法1观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到2配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域3分离常数法此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；4换元法即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于fxaxbcxd其中a，b，c，d为常数，且a0型的函数常用换元法跟踪训练4求下列函数的值域1y2x1x3；2y2xx1.解1分离常数法y2x1x32x37x327x3，显然7x30，所以y2.故函数的值域为，22，2换元法设tx1，则xt21，且t0，所以y2t21t2t142158，由t0，再结合函数的图像如图，可得函数的值域为158，.三.同一个函数的判定例5多选下列各组函数表示同一个函数的是Afxx，gxx2Bfxx21，gtt21Cfx1x0，gxxxDfxx，gx|x|答案BC 解析A中，由于fxx的定义域为R，gxx2的定义域为x|x0，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数B中，函数的定义域.值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数C中，由于gxxx1的定义域为x|x0，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数反思感悟在两个函数中，只有当定义域.对应关系都相同时，两函数才是同一个函数值域相等，只是前两个要素相等的必然结果跟踪训练5下列各组式子是否表示同一个函数为什么1fx|x|，tt2；2y1x1x，y1x2；3y3x2，yx3.解1fx与t的定义域相同，又tt2|t|，即fx与t的对应关系也相同，fx与t是同一个函数2y1x1x的定义域为x|1x1，y1x2的定义域为x|1x1，即两者定义域相同又y1x1x1x2，两函数的对应关系也相同故y1x1x与y1x2是同一个函数3y3x2|x3|与yx3的定义域相同，但对应关系不同，y3x2与yx3不是同一个函数1若Ax|0x2，By|1y2，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是答案B解析A中值域为y|0y2，故错误；C，D中值域为1,2，故错误2若fxx1，则f3等于A2B4C22D10答案A解析因为fxx1，所以f3312.3函数y1xx的定义域为Ax|x1Bx|x0Cx|x1或x0Dx|0x1答案D解析由题意可知1x0，x0，解得0x1.4如果函数yx22x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为A1,0,3B0,1,2,3Cy|1y3Dy|0y3答案A解析当x取0,1,2,3时，y 的值分别为0，1,0,3，则其值域为1,0,35下列四个图像中，不是以x为自变量的函数的图像是答案C解析根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数函数值与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足1知识清单1函数的概念2函数的定义域.值域3同一个函数的判定2方法归纳观察法.换元法.配方法.分离常数法3常见误区1定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应2自变量用不同字母表示不影响相同函数的判断。
函数的性质及答案
函数的性质练习题及答案知识点1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .相关试题1.证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0则∵x1＞0，x2＞0，∴∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0∴上递减【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1∵0＜x1x2＜1故，即f(x1)-f(x2)＞0∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)上是减函数.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 1.（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a =5.（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .则=-)1(g _______ .8.（2012年高考（浙江文））设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,()f x =+1x ,则3()2f =_______.【答案】32【解析】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性.331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=. 9.（2012年高考（江苏））设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-，上, 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为____.已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a 2-a+1)与的大小.解：又f(x) 2.（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ） A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2x x e e y --= D ．31y x =+在(0，+∞)上是减函数，则.1．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)||f x x -<的解集为_____．11.（2012年高考（山东理））定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时,2()(2)f x x =-+,当13x -≤<时,()f x x =. 则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=A ．335B ．338C ．1678D ．20126.. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知2()35f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[61,]a a -，则a b +=（ ）A ．17 B ．1- C ．1 D ．7【答案】A【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以1610,7a a a -+==所以； 又()f x 为偶函数，所以223()535a x bx a b ax bx a b ---+=+-+，得0b =，所以a b +=17，选A. 614．(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)设函数)(x f y =是定义在R +上的减函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，131=⎪⎭⎫⎝⎛f ，（1）求)1(f 的值， （2）如果2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围。
高中数学苏教版必修一《函数的简单性质》word学案
【金版学案】2015-20XX 年高中数学 2.1.3函数的简单性质学案 苏教版必修11．一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I ⊆A .如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数，称为y ＝f (x )的单调增区间．当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调减函数，I 称为y ＝f (x )的单调减区间．2．一般地，设y ＝f (x )的定义域为A .如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)；如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为y min ＝f (x 0)．3．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(D ) A ．y ＝3－x B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝1xD ．y ＝|－x |4．已知函数f (x )＝3x，则下面区间不是递减区间的是(C )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(1，＋∞)5．设函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有(D )A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a ＞－12D ．a ＜126．一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A .如果对于任意的x ∈A ，都有f (－x )＝f (x )，那么称函数y ＝f (x )是偶函数；如果对于任意的x ∈A ，都有f (－x )＝－f (x )，那么称函数y ＝f (x )是奇函数．7．如果函数f (x )是奇函数或偶函数，我们就说函数f (x )具有奇偶性．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．8．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 4；(2)f (x )＝x 3；(3)f (x )＝x ＋1x.答案：(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数9．观察如图所示的图象，判断相应函数的奇偶性．答案：(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)偶函数一、关于函数单调性的理解(1)函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的．有些函数在整个定义域内是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如常数函数y ＝c ，又如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q .(2)关于单调区间的书写．函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间．(3)x 1，x 2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征，三者缺一不可：一是任意性，即“任意取x 1，x 2”中的“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是x 1与x 2之间有大小关系，通常规定x 1＜x 2；三是x 1和x 2同属一个单调区间．(4)若函数f (x )在其定义域内的两个区间A 、B 上都是增(减)函数，一般不能简单认为f (x )在A ∪B 上是增(减)函数．如认为f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，事实上，取x 1＝－1＜1＝x 2，有f (－1)＝－1＜1＝f (1)，不符合减函数定义．(5)函数增减性(单调性)的几何意义，反映在图象上是：若f (x )是区间I 上的增(减)函数，则图象在I 上的部分是从左到右上升(下降)的，如图所示．二、判断函数单调性的方法判断函数单调性是函数部分常见的问题，通常使用如下方法： (1)定义法．①利用基本函数的单调性：如一次函数、二次函数、反比例函数等的单调性，都可用于其他的函数．②利用函数的基本性质：如A.y ＝f (x )和y ＝－f (x )的单调性相反；B.当f (x )恒为正或恒为负时，y ＝1f （x ）和y ＝f (x )的单调性相反；C.在公共区间内：增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．(2)图象法．(3)复合函数单调性的判定方法．设y ＝f (t )，t ＝g (x )，x ∈[a ，b ]，t ∈[m ，n ]都是单调函数，则y ＝f (g (x ))也是单调函数，并且当外层函数f (t )在[m ，n ]上为增函数时，复合函数y ＝f （g （x ））与内层函数g (x )在[a ，b ]上有相同的增减性；当外层函数f (t )在[m ，n ]上为减函数时，复合函数y ＝f (g (x ))与内层函数g (x )在[a ，b ]上有相反的增减性．即复合函数的单调性具有同增异减的规律．三、求函数最值的常用方法函数的最值是指在定义域A (给定区间I )上，函数的最大值和最小值．求函数最大(小)值的常用方法有：(1)值域法．求出函数f (x )的值域，即可求其最值(注意必须确保存在函数值为其最值)．(2)单调性法．通过研究函数的单调性来求函数的最值．(3)特殊函数法．利用特殊函数(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数y ＝x ＋a x(a ＞0)等)的单调性及最值情况来求其最值．四、奇函数、偶函数的概念与图象特征 函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，利用奇(偶)函数的对称性，在函数的两个对称区间上的问题可以转化到一个区间上处理，根据奇(偶)函数的定义，由函数在原点一侧的解析式能求得另一侧的解析式；可以根据奇(偶)函数图象的对称性作图，奇偶函数的定义域必关于原点对称．五、判定函数奇偶性的方法判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法．若函数的定义域不是关于原点对称的区域，则立即可判定该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区域，再判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (x )±f (－x )是否等于零，或判断f （x ）f （－x ）是否等于±1等等．(2)图象法．奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y 轴)对称．(3)性质法．偶函数的和、差仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；偶函数的积、商(分母不为零)仍为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．F 1(x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，F 2(x )＝f (x )－f (－x )为奇函数．(4)若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (|x |)；若f (x )是奇函数，且x ＝0时有意义，则必有f (0)＝0.基础巩固1．若函数f (x )＝x 3(x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上是(B ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数解析：f (－x )＝(－x )3＝－x 3在R 上单调递减，且是奇函数．2．函数y ＝1x ＋2的大致图象只能是(B )3．若函数f (x )＝3x＋3－x与g (x )＝3x －3－x的定义域均为R ，则(B) A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数解析：∵f (－x )＝3－x ＋3x＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．∴f (x )为偶函数，g (x )为奇函数．4．函数f (x )＝4x＋12x 的图象(D)A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：∵f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x 2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．5．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，那么下述式子中正确的是(B)A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34≤f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34≥f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝f (a 2－a ＋1)D ．以上关系均不确定6．函数①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |在(－∞，0)上为增函数的有④(填序号)．7．已知f (x )是奇函数，且x ≥0时，f (x )＝x (1－x )，则x <0时，f (x )＝________． 解析：当x <0时，－x >0， 又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[－x (1＋x )]＝x (1＋x )． 答案：x (1＋x )8．若函数f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a ＝________．解析：a ＝±1时，f (x )不是奇函数，∴f (±1)有意义，由f (－1)＝－f (1)可解得a ＝12.答案：129．已知函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的单调递增区间是________．解析：∵f (x )为偶函数，∴图象关于y 轴对称，即k ＝1，此时f (x )＝－x 2＋3，其单调递增区间为(－∞，0)．答案：(－∞，0)10．判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x ＜0的奇偶性．解析：f (x )的定义域为R ，关于原点对称．①当x ＝0时，－x ＝0，f (－x )＝f (0)＝0，f (x )＝f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )；②当x ＞0时，－x ＜0，∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )；③当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )． ∴由①②③可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．能力提升11．定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x－a －x＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝(C)A ．2 B.174 C.154D ．a 2解析：由条件得f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，f (－2)＋g (－2)＝a －2－a 2＋2即－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2，两式相加得g (2)＝2.∴a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝4－14＝154.12．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且ƒ(x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是(C)A ．f (x )g (x )是偶函数 B.||f （x ）g (x )是奇函数 C ．f (x )||g （x ）是奇函数 D.||f （x ）g （x ）是奇函数解析：利用函数奇偶性的定义求解． A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错． C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )·|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，∴h (x )是奇函数，C 正确． D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )· g (－x )|＝|f (x )·g (x )|＝|－f (x )·g (x )|＝h (x )， ∴h (x )是偶函数，D 错．13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且知其定义域为[a －1，2a ]，则(D) A ．a ＝3，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝13，b ＝0解析：∵b ＝0；又a －1＝－2a ，∴a ＝13.14．如果奇函数f (x )在[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么f (x )在[－7，－3]上是(B)A ．增函数，最小值为－5B ．增函数，最大值为－5C ．减函数，最小值为－5D ．减函数，最大值为－5解析：奇函数在定义域及对应定义域上的单调性一致，f (－3)＝－f (3)＝－5.15. (2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞]单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________解析：利用数形结合，通过图象解不等式．∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞]单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)＞0，得－2＜x －1＜2，即－1＜x ＜3.答案：(－1，3)16．给定四个函数：①y ＝x 3＋3x ；②y ＝1x (x ＞0)；③y ＝x 3＋1；④y ＝x 2＋1x.其中是奇函数的有________(填序号)． 答案：①④17．定义在(－1，1)上的函数f (x )满足：对任意x ，y ∈(－1，1)，都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，求证：f (x )为奇函数． 证明：由x ＝y ＝0得f (0)＋f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋01＋0×0＝f (0)，∴f (0)＝0.任取x ∈(－1，1)，则－x ∈(－1，1)，f (x )＋f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋x ·（－x ）＝f (0)＝0.∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )在(－1，1)上是奇函数．18．设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．解析：∵f (x )在[－2，2]上为偶函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |＞|m |，|1－m |≤2.∴－1≤m ＜12.∴实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.。
函数的基本性质知识点及习题(附答案)
函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
函数性质专题(含详细答案)
，故其周期为 ，
对称．
．所以做示意图
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17. D 【解析】由
函数，且
，所以
知， ，
的周期 ，
，又 ，故
是定义在 上的奇
18. B 【解析】对于选项 A，
为增函数，
为减函数，故
对于选项 B，
，故
为增函数，
对于选项 C，函数的定义域为
，不为 ，
对于选项 D，函数
为偶函数，在
上单调递减，在
时，都有
，设
，则
，故函数
在
上是增函数，根据对称性，易知函数
在
上是减函数，根据周期性，函数
A.
B.
18. 下列函数中，定义域是 且为增函数的是
A.
B.
19. 对于函数 ，所得出的正确结果可能是
A. 和
B. 和
C.
D.
C.
D.
，选取 ， ， 的一组值计算
，
C. 和
D. 和
20. 设函数
的最小值为 ，则实数 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
21. 已知函数
，给出下列命题：①
必是偶函数；②当
时，
的图象必关于直线
对称；③若
，则
在区间
上是增函数；④
有最大值
，其中正确命题是
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ③
22. 定 义 在
上的函数
满足
，当
时，
；当
时，
，则
A.
B.
23. 已知定义在 上的奇函数
满足
C.
D.
，且在区间
函数的简单性质基础填空题(含答案)
2.2 函数的简单性质基础填空题一．填空题（共30小题）1．已知函数则f（f（3））=；f（x）的单调递减区间是．2．若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为．3．已知函数f（x）=|x+2|，g（x）=a﹣|x﹣4|，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）的图象的上方，则实数a的取值范围是．4．下列四个函数中：①y=﹣；②y=log2（x+1）；③y=﹣；④y=．在（0，+∞）上为减函数的是．（填上所有正确选项的序号）5．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．6．函数的单调递增区间是．7．a＞1，则的最小值是．8．已知函数则f（f（3））=，函数f（x）的最大值是．9．函数y=的奇偶性为，函数f（x）=+1的对称中心为．10．设函数，若f（x）是奇函数，则的值为11．已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若f（m）=2，则f（﹣m）=．12．已知f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则f（x）＜0的解集是．13．若函数为奇函数，则a=．14．已知函数为偶函数，则实数a=．15．设函数，若f（x）为奇函数，则的值为．16．若函数为奇函数，则实数a=．17．已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+6，则g（﹣10）=．18．函数f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，则f（﹣a）=．19．函数g（x）=log3（+x）为奇函数，则t=．20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）=2x+1，则f（﹣2）等于．21．函数f（x）=是奇函数，则实数a=．22．设函数f（x）=，且函数f（x）为奇函数，则g（﹣2）=．23．已知函数f（x）=是奇函数，则a=，f（f（1））=．24．已知f（x）是奇函数，g（x）=，若g（2）=3，则g（﹣2）=．25．若函数f（x）=，x∈（﹣∞，b）∪（b+2，+∞）是奇函数，则a+b=．26．已知f（x）为奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于直线y=x+1对称．若g（1）=4．则f（﹣3）=．27．若函数f（x）=为奇函数，则f（g（﹣1））=．28．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，+∞）上单调递减，若f（3x+1）+f（1）≥0，则x的取值范围是．29．奇函数f（x）的定义域为（﹣5，5），若x∈[0，5）时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为．30．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（2m﹣1）+f（m2+1）＞0，则m的取值范围为．2.2 函数的简单性质基础填空题参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．已知函数则f（f（3））=5；f（x）的单调递减区间是[﹣1，+∞）．【分析】求出f（3）的值，从而求出f（﹣1）的值，根据二次函数以及对数函数的性质求出函数的递减区间即可．【解答】解：f（3）==﹣1，∴f（f（3））=f（﹣1）=﹣1+2+4=5，x≤1时，f（x）=﹣x2﹣2x+4=﹣（x+1）2+5，对称轴x=﹣1，f（x）在[﹣1，1]递减，x＞1时，f（x）递减，∴f（x）在[﹣1，+∞）递减，故答案为：5；[﹣1，+∞）．【点评】本题考查了求函数值问题，考查函数的单调性问题，是一道基础题．2．若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为m＞﹣2．【分析】由题意可得f（x）为R上的奇函数和增函数，故原不等式可化为f（2m﹣1）＞﹣f（3﹣m）=f（m﹣3），即2m﹣1＞m﹣3，解之即可．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣3x﹣sinx=﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数，又f′（x）=3+cosx＞0，可得f（x）为R上的增函数．故不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0可化为：f（2m﹣1）＞﹣f（3﹣m）=f（m﹣3）故2m﹣1＞m﹣3，解得m＞﹣2．故答案为：m＞﹣2【点评】本题以不等式为载体，考查函数的单调性和奇偶性，属基础题．3．已知函数f（x）=|x+2|，g（x）=a﹣|x﹣4|，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）的图象的上方，则实数a的取值范围是（﹣∞，6）．【分析】根据题意得出|x+2|＞a﹣|x﹣4|，化为a＜|x+2|+|x﹣4|恒成立，求出h（x）=|x+2|+|x ﹣4|的最小值即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=|x+2|的图象恒在函数g（x）=a﹣|x﹣4|的图象的上方，∴|x+2|＞a﹣|x﹣4|，即不等式a＜|x+2|+|x﹣4|恒成立，令h（x）=|x+2|+|x﹣4|由|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）+（4﹣x）|=6，得h（x）min=6，则实数a的取值范围a＜6．故答案为：（﹣∞，6）．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质以及不等式恒成立的问题，解题时应注意运用参数分离和分类讨论的思想，是基础题目．4．下列四个函数中：①y=﹣；②y=log2（x+1）；③y=﹣；④y=．在（0，+∞）上为减函数的是①④．（填上所有正确选项的序号）【分析】根据单调性的定义，对数函数和指数函数的单调性，以及不等式的性质即可判断每个函数在（0，+∞）上的单调性，从而写出在（0，+∞）上为减函数的序号．【解答】解：∵x∈（0，+∞）；①x增大时，增大，﹣减小，即y减小，∴该函数在（0，+∞）上为减函数；②x增大时，x+1增大，log2（x+1）增大，即y增大，∴该函数在（0，+∞）上为增函数；③x增大时，x+1增大，减小，增大，∴该函数在（0，+∞）上为增函数；④x增大时，x﹣1增大，减小，即y减小，∴该函数在（0，+∞）上为减函数；∴在（0，+∞）上为减函数的是①④．故答案为：①④．【点评】考查函数单调性的定义，以及对数函数、指数函数及反比例函数的单调性，不等式的性质．5．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0]．【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：由y=x2在（﹣∞，0）递减，故a≤0，由x+1＞0，解得：x＞﹣1，故a≥﹣1，故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查了二次函数以及对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．6．函数的单调递增区间是（2，3）．【分析】由函数，知﹣x2+4x﹣3＞0，由t=﹣x2+4x﹣3是开口向下，对称轴为x=2的抛物线，利用复合函数的单调性的性质能求出函数的单调递增区间．【解答】解：∵函数，∴﹣x2+4x﹣3＞0，解得1＜x＜3，∵t=﹣x2+4x﹣3是开口向下，对称轴为x=2的抛物线，∴由复合函数的单调性的性质知函数的单调递增区间是（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题考查复合函数的单调性的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．7．a＞1，则的最小值是3．【分析】根据a＞1可将a﹣1看成一整体，然后利用均值不等式进行求解，求出最值，注意等号成立的条件即可．【解答】解：∵a＞1，∴a﹣1＞0=a﹣1++1≥2+1=3当a=2时取到等号，故答案为3【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及均值不等式的应用，属于基础题．8．已知函数则f（f（3））=﹣3，函数f（x）的最大值是1．【分析】由分段函数求f（3）=﹣1，再求f（﹣1），可得f（F（3））；运用对数函数和二次函数的单调性，可得f（x）的最大值．【解答】解：函数可得f（3）==﹣1，f（f（3））=f（﹣1）=﹣1﹣2=﹣3：当x＞1时，f（x）=递减，可得f（x）＜0：当x≤1时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1递增，可得f（x）≤1．综上可得，f（x）的值域为f（x）的最大值为1．故答案为：﹣3，1．【点评】本题考查分段函数的函数值和最值的求法，注意运用对数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．9．函数y=的奇偶性为奇函数，函数f（x）=+1的对称中心为（0，2）．【分析】利用奇函数的定义验证函数是奇函数，利用奇函数的对称性，可得结论．【解答】解：令g（x）=，则g（﹣x）==﹣=﹣g（x），∴函数y=是奇函数；函数f（x）=+1=﹣+2，∵函数y=﹣是奇函数，关于原点对称，∴函数f（x）=+1的对称中心为（0，2）．故答案为：奇函数；（0，2）．【点评】本题考查函数的奇偶性与对称性，考查学生的计算能力，比较基础．10．设函数，若f（x）是奇函数，则的值为2【分析】根据函数的解析式，求得：=f（﹣），进而根据函数的奇偶性求得=﹣f（）根据f（x）的解析式求得f（），答案可得．【解答】解：=f（﹣）=﹣f（）=﹣log3=2故答案为2【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用．本题的解题过程要特别注意函数的定义域．11．已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若f（m）=2，则f（﹣m）=4028．【分析】根据解析式得出f（﹣x）+f（x）=4030，f（m）+f（﹣m）=4030，即可求解．【解答】解：∵函数f（x）=tanx+sinx+2015，∴f（﹣x）=﹣tanx﹣sinx+2015，∵f（﹣x）+f（x）=4030，∴f（m）+f（﹣m）=4030，∵f（m）=2，∴f（﹣m）=4028．故答案为：4028．【点评】本题考查了函数的性质，整体运用的思想，属于容易题，难度不大．12．已知f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则f（x）＜0的解集是（﹣1，1）．【分析】当x≥0时，利用已知的解析式，可解f（x）＜0；而当x＜0时，利用函数为偶函数，确定函数的解析式，再解f（x）＜0，从而可得满足f（x）＜0的实数x的取值范围．【解答】解：∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣1，∴当x≥0时，f（x）＜0，即x﹣1＜0∴0≤x＜1设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣x﹣1∵函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）∴x＜0时，f（x）=﹣x﹣1∴x＜0时，f（x）＜0，即﹣x﹣1＜0∴﹣1＜x＜0综上，得满足f（x）＜0的实数x的取值范围是﹣1＜x＜1故答案为：（﹣1，1）【点评】本题的考点是函数奇偶性的性质，考查用函数的性质解不等式，确定函数的解析式是解决本题的关键13．若函数为奇函数，则a=﹣1．【分析】根据函数奇偶性的性质得到f（﹣x）=﹣f（x），从而得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：若函数为奇函数，则f（﹣x）=﹣x﹣+2a+1+1=﹣f（x）=﹣x﹣﹣（2a+1）﹣1，∴2（2a+1）+2=0，则a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键，本题是一道基础题．14．已知函数为偶函数，则实数a=﹣1．【分析】根据函数奇偶性的定义，结合奇函数f（0）=0进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为R，若函数f（x）是偶函数，则g（x）=e x+是奇函数，则f（0）=0，即f（0）=1+a=0，则a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据奇函数的性质，利用f（0）=0进是解决本题的关键．比较基础．15．设函数，若f（x）为奇函数，则的值为2．【分析】由题意可得g（﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣，再利用对数的运算性质，求得结果．【解答】解：g（﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=log24=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题．16．若函数为奇函数，则实数a=1．【分析】根据奇函数的性质得f（﹣x）=﹣f（x），代入解析式化简后求出a的值．【解答】解：因为函数为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即，化简得，，则a=1，故答案为：1．【点评】本题考查奇函数的性质：f（﹣x）=﹣f（x）的应用，以及化简能力，属于基础题．17．已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+6，则g（﹣10）=2016．【分析】根据函数y=f（x）+x3为偶函数、f（10）=10，由偶函数的性质列出方程求出f（﹣10）的值，代入函数g（x）=f（x）+6求出g（﹣10）的值．【解答】解：因为函数y=f（x）+x3为偶函数，所以f（10）+103=f（﹣10）+（﹣10）3，由f（10）=10得，f（﹣10）=2010，因为函数g（x）=f（x）+6，所以g（﹣10）=2016，故答案为：2016．【点评】本题考查奇函数的性质：f（﹣x）=﹣f（x）的应用，以及化简能力，属于基础题．18．函数f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，则f（﹣a）=2017．【分析】可由f（a）=2015求得a3+sina=﹣1，而f（﹣a）=﹣（a3+sina）+2016，这样便可得出f（﹣a）的值．【解答】解：f（a）=a3+sina+2016=2015；∴a3+sina=﹣1；∴f（﹣a）=（﹣a）3+sin（﹣a）+2016=﹣（a3+sina）+2016=1+2016=2017．故答案为：2017．【点评】考查函数奇偶性的概念及判断，注意不要将本题的f（x）当成奇函数，以及三角函数的诱导公式．19．函数g（x）=log3（+x）为奇函数，则t=．【分析】由奇函数可得g（﹣x）+g（x）=0，由对数的运算解方程可得t值．【解答】解：∵函数g（x）=log3（+x）为奇函数，∴g（﹣x）+g（x）=0，即log3（﹣x）+log3（+x）=0，由对数的运算可得log32t=0，即2t=1，解得t=，故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性，涉及对数的运算，属基础题．20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）=2x+1，则f（﹣2）等于5．【分析】根据偶函数的定义有f（﹣2）=f（2），从而将x=2带入x＞0时的解析式f（x）=2x+1即可求出f（2），从而得出f（﹣2）的值．【解答】解：f（﹣2）=f（2）=22+1=5．故答案为：5．【点评】考查偶函数的定义，以及已知函数求值时，要注意函数的定义域．21．函数f（x）=是奇函数，则实数a=﹣2．【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（x）==x++a+2若函数f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即﹣x﹣+a+2=﹣（x++a+2）=﹣x﹣﹣（a+2），则a+2=﹣（a+2），即a+2=0，则a=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据定义建立方程关系是解决本题的关键．比较基础．22．设函数f（x）=，且函数f（x）为奇函数，则g（﹣2）=﹣6．【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣2）=g（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22+2）=﹣6；故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键．23．已知函数f（x）=是奇函数，则a=﹣1，f（f（1））=1．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质，建立方程关系即可求出a=﹣1，利用分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．【解答】解：若函数f（x）是奇函数，则f（﹣1）=﹣f（1），即a+2=﹣（1﹣2）=1，则a=﹣1，则f（1）=1﹣2=﹣1，f（﹣1）=a+2=﹣1+2=1，故答案为：﹣1，1【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数值的计算，利用方程求出a的值是解决本题的关键．24．已知f（x）是奇函数，g（x）=，若g（2）=3，则g（﹣2）=﹣1．【分析】求出f（2）的值，结合函数的奇偶性，从而求出g（﹣2）的值即可．【解答】解：∵g（2）==3，解得：f（2）=1，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x=﹣f（x），∴g（﹣2）===﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，熟练掌握函数奇偶性的性质是解题的关键，本题是一道基础题．25．若函数f（x）=，x∈（﹣∞，b）∪（b+2，+∞）是奇函数，则a+b=﹣1．【分析】由题意，f（0）=0，得a=0，利用定义域的对称性求出b，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（0）=0，得a=0；∵x∈（﹣∞，b）∪（b+2，+∞），∴b+b+2=0，∴b=﹣1，∴a+b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查奇函数的性质，考查学生的计算能力，比较基础．26．已知f（x）为奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于直线y=x+1对称．若g（1）=4．则f（﹣3）=﹣2．【分析】求出（1，4）关于直线y=x+1的对称点，代入f（x），利用f（x）的奇偶性得出．【解答】解：设A（1，4），A关于直线y=x+1的对称点为A'（a，b）．则，解得．∵函数g（x）与f（x）的图象关于直线y=x+1对称，g（1）=4，∴f（3）=2，∵f（x）为奇函数，∴f（﹣3）=﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，函数的对称性，属于中档题．27．若函数f（x）=为奇函数，则f（g（﹣1））=﹣15．【分析】根据题意，由f（x）是奇函数，可得g（﹣1）=﹣f（1），计算可得g（﹣1）=﹣3，进而可得f（g（﹣1））=﹣f（3），由x≥0时f（x）的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，当x＜0时，f（x）=g（x），f（x）为奇函数，g（﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12+2×1）=﹣3，则f（g（﹣1））=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（32+2×3）=﹣15；故答案为﹣15．【点评】本题考查函奇偶性的运用，解题时不必求出g（x）的解析式，直接由奇函数的性质转化为x＞0时的解析式即可．28．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，+∞）上单调递减，若f（3x+1）+f（1）≥0，则x的取值范围是（﹣∞，﹣]．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性可得f（3x+1）≥﹣f（﹣1），由3x+1≤﹣1，求得x的范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，+∞）上单调递减，若f（3x+1）+f（1）≥0，即f（3x+1）≥﹣f（1）=f（﹣1），则3x+1≤﹣1，求得x≤﹣，即x的取值范围（﹣∞，﹣]，故答案为：（﹣∞，﹣]．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于基础题．29．奇函数f（x）的定义域为（﹣5，5），若x∈[0，5）时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，5）．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f（x）在（﹣5，0]上的图象，这样根据f （x）在（﹣5，5）上的图象便可得出f（x）＜0的解集．【解答】解：根据奇函数的图象关于原点对称得出f（x）在（﹣5，0]上的图象如下所示：∴f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，5）．故答案为：（﹣2，0）∪（2，5）．【点评】考查奇函数的概念，奇函数图象的对称性，由函数图象解不等式f（x）＜0的方法．30．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（2m﹣1）+f（m2+1）＞0，则m的取值范围为m＜﹣2或m＞0．【分析】利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式，解出即可．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（2m﹣1）+f（m2+1）＞0，可化为f（m2+1）＞f（1﹣2m）f（x﹣1）＜﹣f（3x﹣1）=f（1﹣3x），又f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在R上是增函数，∴m2+1＞1﹣2m，解得m＜﹣2或m＞0，故答案为：m＜﹣2或m＞0．【点评】本题考查函数的奇偶性单调性的综合应用，属基础题，解决本题的关键是利用函数的性质化抽象不等式为具体不等式．。
专题3.2 函数基本性质(解析版)
专题3.2函数的基本性质知识点一：函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数.如果对于D 内的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说()f x 在区间D 上是减函数.知识点诠释：(1)属于定义域A 内某个区间上；(2)任意两个自变量12,x x 且12x x <；(3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或；(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数f (x )的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.知识点诠释：①单调区间与定义域的关系：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间；④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？3.证明函数单调性的步骤(1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.4.函数单调性的判断方法(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。
(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。
函数的基本性质老师版(部分含答案)
函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。
（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。
）3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加；当0<a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；例1：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。
练习：讨论函数()2-21f x ax x =+在（-1，1）内的单调性。
4．证明方法和步骤：⑴设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；⑵作差：)()(21x f x f -；⑶变形：（如因式分解、配方等）；⑷定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；⑸根据定义下结论。
例2、判断函数1()x f x x +=在)0,(-∞上的单调性并加以证明.练习： 判断函数2()1x f x x +=-在（-∞，0）上的单调性并加以证明。
[例3] 求证函数f (x )＝x ＋xa (a .,>0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 分析 利用定义证明，证明函数单调性的关键在于作差变形．证明 (1)设0<x 1<x 2≤a ,则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x a －x 2－2x a ＝(x 1－x 2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211x x a ． 因为0<x 1<x 2≤a ，所以x 1－x 2<0，0<x 1x 2<a .，所以\21x x a >1，所以211x x a -<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，\r(a .,)]上为减函数．(1) 设a ≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211x x a ． 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>a .,，所以\21x x a <1， 所以211x x a ->0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
函数的简单性质基础解答题(含答案)
2.2函数的简单性质基础解答题一．解答题（共30小题）1．（2016•崇明县二模）已知函数f（x）=3x+λ•3﹣x（λ∈R）（1）当λ=﹣4时，求解方程f（x）=3；（2）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．2．（2016春•淄博校级期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（1﹣x）．（1）求f（0），f（1）；（2）求函数f（x）的解析式．3．（2016春•西宁校级月考）已知函数f﹙x﹚=x3﹣3x．（1）求函数f﹙x﹚的单调区间；（2）求函数f﹙x﹚在区间[﹣3，2]上的最值．4．（2016春•怀仁县校级月考）试用定义讨论并证明函数f（x）=（a≠）在（﹣∞，﹣2）上的单调性．5．（2015•武汉校级模拟）函数（a为常数）的图象过点（2，0），（Ⅰ）求a的值并判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2x﹣m]在区间[2，3]上有意义，求实数m的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x的方程|f（x）|=t+4x﹣x2（t为常数）的正根的个数．6．（2015•奉贤区一模）判断函数的奇偶性．7．（2015秋•德宏州校级月考）讨论函数f（x）=（a＞0）在x∈（﹣1，1）上的单调性．8．（2015秋•呼伦贝尔校级期末）已知函数的图象经过点（1，3），并且g（x）=xf（x）是偶函数．（1）求实数a、b的值；（2）用定义证明：函数g（x）在区间（1，+∞）上是增函数．9．（2015秋•漳州期末）已知函数f（x）=+（其中m＞0，e为自然对数的底数）是定义在R上的偶函数．（1）求m的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．10．（2015秋•成都期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣1（Ⅰ）求f（0），f（﹣2）的值（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．11．（2015秋•拉萨校级期末）已知函数f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性．12．（2015秋•阜阳校级期末）已知函数f（x）=lg（2016+x），g（x）=lg（2016﹣x）（1）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明．（2）求使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合．13．（2015秋•丰台区期中）已知f（x）=．（1）证明f（x）是奇函数；（2）证明f（x）是增函数．14．（2015秋•北京校级期中）已知函数f（x）=2x+2﹣x（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明（Ⅱ）证明f（x）在[0，+∞）上为单调增函数．15．（2015秋•北京校级期中）已知（Ⅰ）求f（﹣1），f（1）的值；（Ⅱ）求f（a）+f（﹣a）的值；（Ⅲ）判别并证明函数f（x）的单调性．16．（2015秋•北京校级期中）已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求f（x）；（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．17．（2015秋•安阳校级期中）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意的x∈D，都存在常数M≥0，使|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为f（x）的一个上界．已知（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间上的所有上界构成的集合．18．（2015秋•北京校级期中）已知函数且f（1）=2．（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．19．（2014•赫山区校级三模）设p：函数f（x）=的定义域为（﹣∞，0]，q：关于x的不等式ax2﹣x+a＞0的解集为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求a的取值范围．20．（2014秋•珠海期末）已知函数．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数．21．（2014秋•乳源县校级期末）用单调性定义证明函数在区间[1，+∞）上是增函数．22．（2013秋•河南期末）设f（x）=x2+ax是R上的偶函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上为增函数．23．（2014秋•佛山期末）已知函数f（x）=2﹣．（1）判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并用定义证明；（2）求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]上的最值．24．（2014春•萍乡期末）已知函数f（x）=（x≠a）．（1）证明：函数f（x）在区间（a，+∞）上是增加的；（2）当x∈[a+，a+1]时，求函数f（x）的取值范围．25．（2014秋•广州期末）已知函数f（x）=a x+，且f（1）=．（1）求a的值；（2）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）令函数g（x）=f（x）﹣5，且g（a）=8，求g（﹣a）的值．26．（2014秋•安庆校级期末）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sin（2x+）．（1）求x∈[﹣，0]时，f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单增区间．27．（2014秋•郑州期末）已知函数．（Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣a为奇函数，求a的值；（Ⅱ）试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．28．（2013秋•中山期末）（I）求值：；（Ⅱ）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）=f（x﹣2），当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，求的值．29．（2014秋•海淀区校级期中）已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=2．（1）求函数f（x）和g（x）；（2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性．30．（2014秋•浠水县校级期中）对于函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）确定f（x）的单调区间；（2）求实数a，使f（x）是奇函数，在此基础上，求f（x）的值域．2.2函数的简单性质基础解答题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•崇明县二模）已知函数f（x）=3x+λ•3﹣x（λ∈R）（1）当λ=﹣4时，求解方程f（x）=3；（2）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）当λ=﹣4时，令t=3x＞0，则原方程可化为t2﹣3t﹣4=0，求得t的值，可得x 的值．（2）函数的定义域为R，分当λ=1、当λ=﹣1、当|λ|≠1三种情况，分别根据奇偶函数的定义进行判断，可得结论．【解答】解：（1）当λ=﹣4时，由f（x）=3，得3x﹣4•3﹣x=3．令t=3x＞0，则原方程可化为t2﹣3t﹣4=0，解得t=4，或t=﹣1（舍去），所以，x=log34．（2）函数的定义域为R，当λ=1时，f（x）=3x+3﹣x，f（﹣x）=f（x），函数为偶函数；当λ=﹣1时，f（x）=3x﹣3﹣x，f（﹣x）=﹣f（x），函数为奇函数；当|λ|≠1时，，此时f（﹣1）≠﹣f（1）且f（﹣1）≠f（1），所以函数为非奇非偶函数．【点评】本题主要考查指数方程的解法，函数的奇偶性的判断，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．2．（2016春•淄博校级期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（1﹣x）．（1）求f（0），f（1）；（2）求函数f（x）的解析式．【分析】（1）利用函数的奇偶性的性质，求解函数值即可．（2）利用函数的奇偶性以及已知条件真假求解函数的解析式即可．【解答】解：（1）f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（1﹣x）．f（0）=0，f（1）=f（﹣1）=log（1+1）=﹣1．（2）f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（1﹣x）．x＞0时，f（x）=f（﹣x）=log（1+x）．可得：f（x）=．【点评】本题考查函数的性质，函数值以及函数的解析式的求法，考查计算能力．3．（2016春•西宁校级月考）已知函数f﹙x﹚=x3﹣3x．（1）求函数f﹙x﹚的单调区间；（2）求函数f﹙x﹚在区间[﹣3，2]上的最值．【分析】（1）求出导数，令导数大于0，得增区间．令导数小于0，得减区间；（2）求出函数的导数，求得极值和端点的函数值，比较即可得到最值．【解答】解：（1）函数f﹙x﹚=x3﹣3x的导数为f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）＞0，可得x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜1，即有f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，﹣1），减区间为（﹣1，1）；（2）由f′（x）=3x2﹣3=0，可得x=±1，由（1）可得f（﹣1）为极大值，且为2，f（1）为极小值，且为﹣2，又f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（2）=8﹣6=2，即有f（x）的最小值为﹣18，最大值为2．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查解二次不等式的运算能力，属于基础题．4．（2016春•怀仁县校级月考）试用定义讨论并证明函数f（x）=（a≠）在（﹣∞，﹣2）上的单调性．【分析】先将f（x）变成：f（x）=，根据单调性的定义，设x1，x2∈（﹣∞，﹣2），且x1＜x2，通过作差并讨论a的取值即可判断f（x1），f（x2）的大小，从而判断f（x）在（﹣∞，﹣2）上的单调性．【解答】解：f（x）=；设x1，x2∈（﹣∞，﹣2），且x1＜x2；=；∵x1，x2∈（﹣∞，﹣2），且x1＜x2；∴（x1+2）（x2+2）＞0，x2﹣x1＞0；∴若1﹣2a＜0，即a时，f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增；若1﹣2a＞0，即a时，f（x1）＞f（x2），∴此时f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减．【点评】考查分离常数法化简f（x），以及函数的单调性定义，根据函数单调性定义讨论f （x）单调性的过程．5．（2015•武汉校级模拟）函数（a为常数）的图象过点（2，0），（Ⅰ）求a的值并判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2x﹣m]在区间[2，3]上有意义，求实数m的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x的方程|f（x）|=t+4x﹣x2（t为常数）的正根的个数．【分析】（Ⅰ）先依题意有，从而得出函数的解析式：，再根据函数奇偶性的定义：由f（﹣x）=﹣f（x）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2x﹣m]在区间[2，3]上有意义，等价于对x∈[2，3]恒成立，得，下面研究，x∈[2，3]的单调性即可得出实数m的取值范围；（III）设y1=|f（x）|，y2=t+4x﹣x2结合图象得出结论：①当t＜﹣4时，正根的个数为0；②当t=﹣4时，正根的个数为1；③当t＞﹣4时，正根的个数为2．【解答】解：（Ⅰ）依题意有，此时，其定义域为x|x≠0，由f（﹣x）=﹣f（x）即为奇函数；（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2x﹣m]在区间[2，3]上有意义，即对x∈[2，3]恒成立，得令，x∈[2，3]先证其单调递增：任取2≤x1＜x2≤3，则因为2≤x1＜x2≤3，则h（x2）﹣h（x1）＞0，故h（x）在x∈[2，3]递增，则的最小值h（2）=4，∴m＜4；（III）设y1=|f（x）|，y2=t+4x﹣x2结合图象得：①当t＜﹣4时，正根的个数为0；②当t=﹣4时，正根的个数为1；③当t＞﹣4时，正根的个数为2．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．6．（2015•奉贤区一模）判断函数的奇偶性．【分析】根据函数奇偶性的定义即可得到结论．【解答】解：∵，（1分）∴函数f（x）的定义域是（﹣1，1），（2分）定义域关于原点对称，（3分），（4分）=，（5分）而，，∴，（6分）∴f（x）是奇函数不是偶函数．（7分）【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据对数函数的性质是解决本题的关键．7．（2015秋•德宏州校级月考）讨论函数f（x）=（a＞0）在x∈（﹣1，1）上的单调性．【分析】根据函数单调性的定义讨论函数的单调性，是必须掌握的基本方法．【解答】解：设﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣==．∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2+1＞0，（x12﹣1）（x22﹣1）＞0．又a＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数．【点评】证明函数单调性的步骤：1、取值：2、作差变形：变形的常用方法：因式分解、配方、有理化等；3、定号；4、下结论：由定义得出函数的单调性．8．（2015秋•呼伦贝尔校级期末）已知函数的图象经过点（1，3），并且g（x）=xf（x）是偶函数．（1）求实数a、b的值；（2）用定义证明：函数g（x）在区间（1，+∞）上是增函数．【分析】（1）根据g（﹣x）=g（x）恒成立得出b的值，将（1，3）代入f（x）解出a；（2）设x2＞x1＞1，化简g（x2）﹣g（x1）并判断符号得出g（x2）与g（x1）的大小关系．【解答】解：（1）∵函数是偶函数，则g（﹣x）=g（x）．∴=恒成立，即x﹣b=x+b恒成立，∴b=0．又函数f（x）的图象经过点（1，3），∴f（1）=3，即1+a=3，∴a=2．（2）由（1）知：g（x）=xf（x）=2x2+1．设x2＞x1＞1，则=2（x2﹣x1）（x2+x1）．∵x2＞x1＞1，∴（x2﹣x1）（x2+x1）＞0∴g（x2）＞g（x1），∴函数g（x）在区间（1，+∞）上是增函数．【点评】本题考查了函数奇偶性与单调性的判断与证明，使用定义判断非常重要的解题方法．属于基础题．9．（2015秋•漳州期末）已知函数f（x）=+（其中m＞0，e为自然对数的底数）是定义在R上的偶函数．（1）求m的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．【分析】（1）根据f（x）为R上的偶函数，从而有f（﹣1）=f（1），这样即可得出，由m＞0从而得出m=1；（2）写出，根据单调性的定义，设任意的x1＞x2＞0，然后作差，通分，提取公因式，从而得到，根据x1＞x2＞0及指数函数的单调性便可判断f（x1），f（x2）的关系，从而得出f（x）在（0，+∞）上的单调性．【解答】解：（1）f（x）为R上的偶函数；∴f（﹣1）=f（1）；即；∴；∴；∵m＞0，∴解得m=1；（2），设x1＞x2＞0，则：=；∵x1＞x2＞0；∴，x1+x2＞0，；∴；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．【点评】考查偶函数的定义，函数单调性的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式，以及指数函数的单调性．10．（2015秋•成都期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣1（Ⅰ）求f（0），f（﹣2）的值（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．【分析】（Ⅰ）根据f（x）为R上的奇函数便可得到f（0）=0，而由x＞0时的解析式便可求出f（2）=，从而便得出f（﹣2）的值；（Ⅱ）根据减函数的定义，设任意的x1＞x2＞0，然后作差，通分，从而得到，证明f（x1）＜f（x2）便可得到f（x）在（0，+∞）上为减函数．【解答】解：（Ⅰ）f（x）是定义在R上的奇函数；∴f（0）=0；x＞0时，f（x）=，∴；∴；（Ⅱ）证明：设x1＞x2＞0，则：；∵x1＞x2＞0；∴x2﹣x1＜0，x1x2＞0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的一般要通分．11．（2015秋•拉萨校级期末）已知函数f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性．【分析】（1）欲使f（x）有意义，须有，解出即可；（2）利用函数奇偶性的定义即可作出判断；【解答】解：（1）依题意有，解得﹣3＜x＜3，所以函数f（x）的定义域是{x|﹣3＜x＜3}．（2）由（1）知f（x）定义域关于原点对称，∵f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）=lg（9﹣x2），∴f（﹣x）=lg（9﹣（﹣x）2）=lg（9﹣x2）=f（x），∴函数f（x）为偶函数．【点评】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决函数奇偶性的基本方法．12．（2015秋•阜阳校级期末）已知函数f（x）=lg（2016+x），g（x）=lg（2016﹣x）（1）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明．（2）求使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合．【分析】（1）可设h（x）=f（x）﹣g（x），可以求出h（x）的定义域为（﹣2016，2016），并容易得到h（﹣x）=﹣h（x），这样便得出f（x）﹣g（x）为奇函数；（2）根据对数函数的单调性和函数f（x）﹣g（x）的定义域便可由f（x）﹣g（x）＜0得到，解该不等式组便可求出x的集合．【解答】解：（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lg（2016+x）﹣lg（2016﹣x），h（x）的定义域为（﹣2016，2016）；h（﹣x）=lg（2016﹣x）﹣lg（2016+x）=﹣h（x）；∴f（x）﹣g（x）为奇函数；（2）由f（x）﹣g（x）＜0得，f（x）＜g（x）；即lg（2016+x）＜lg（2016﹣x）；∴；解得﹣2016＜x＜0；∴使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合为（﹣2016，0）．【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，对数的真数需大于0，以及对数函数的单调性．13．（2015秋•丰台区期中）已知f（x）=．（1）证明f（x）是奇函数；（2）证明f（x）是增函数．【分析】（1）利用函数奇偶性的定义，即可证明f（x）是定义域R上的奇函数；（2）利用函数单调性的定义，即可证明f（x）是定义域R上的增函数．【解答】解：（1）证明：任取x∈R，都有：=﹣f（x），∴f（x）是定义域R上的奇函数；（2）证明：令x1＜x2，则，∵x1＜x2，∴，∴，则f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是增函数．【点评】本题考查了利用定义证明函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目．14．（2015秋•北京校级期中）已知函数f（x）=2x+2﹣x（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明（Ⅱ）证明f（x）在[0，+∞）上为单调增函数．【分析】（Ⅰ）可看出f（x）为偶函数，根据偶函数的定义证明即可；（Ⅱ）根据增函数的定义，设任意的x1＞x2≥0，然后作差，通分，提取公因式，从而得到，这样证明f（x1）＞f（x2）便可得出函数f（x）在[0，+∞）上为单调增函数．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）是偶函数；证明：f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x）；∴f（x）为偶函数；（Ⅱ）证明：设x1＞x2≥0，则：==；∵x1＞x2≥0；∴，，x1+x2＞0，，；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在[0，+∞）上为单调增函数．【点评】考查偶函数的定义及判断方法和过程，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的一般要通分，能提取公因式的要提取公因式，以及指数函数的单调性．15．（2015秋•北京校级期中）已知（Ⅰ）求f（﹣1），f（1）的值；（Ⅱ）求f（a）+f（﹣a）的值；（Ⅲ）判别并证明函数f（x）的单调性．【分析】（Ⅰ）根据函数的解析式计算f（﹣1）和f（1）的值；（Ⅱ）根据函数解析式计算f（a）+f（﹣a）的值；（Ⅲ）函数f（x）是定义域R上的单调增函数，用单调性的定义即可证明．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f（﹣1）==，f（1）==；（Ⅱ）f（a）+f（﹣a）=+=+=1；（Ⅲ）函数f（x）是定义域R上的单调增函数，证明如下：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，∴＜，（1+）（1+）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是定义域R上的单调增函数．【点评】本题考查了利用函数的解析式求函数值以及利用定义证明函数的单调性问题．是基础题目．16．（2015秋•北京校级期中）已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求f（x）；（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．【分析】（1）根据f（x）是R上的奇函数，f（0）=0，求出b的值1即可；（2）化简f（x），判断f（x）在R上为减函数；（3）利用f（x）的单调性与奇偶性，化简不等式并求出解集．【解答】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，即=0，解得b=1；从而有；…（2分）经检验，符合题意；…（3分）（2）由（1）知，f（x）==﹣+；由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为减函数；…（6分）（3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x），即f（1+|x|）＜f（﹣x）；…（7分）又因f（x）是R上的减函数，由上式推得1+|x|＞﹣x，…（8分）解得x∈R．…（10分）【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．17．（2015秋•安阳校级期中）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意的x∈D，都存在常数M≥0，使|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为f（x）的一个上界．已知（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间上的所有上界构成的集合．【分析】（1）根据奇函数的定义，得出f（﹣x）+f（x）=0，列出方程求出a的值；（2）写出a=﹣1时函数f（x）的解析式，判断f（x）在区间上为单调增函数，求出f（x）的值域，即可得出M的取值集合．【解答】解：（1）∵，且f（x）为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=+==0，解得a=±1；当a=1时，不合题意，舍去，∴实数a的值是﹣1；（2）∵a=﹣1时，函数f（x）==（1+）∴f（x）在区间上为单调增函数，且f（）=（1+）=﹣2，f（3）=（1+）=﹣1，∴﹣2≤f（x）≤﹣1，∴|f（x）|≤2，∴M≥2，即所有上界构成的集合为[2，+∞）．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了求函数值域的应用问题，是基础题目．18．（2015秋•北京校级期中）已知函数且f（1）=2．（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．【分析】（1）由f（1）=2便可求出k=1，并容易求出函数f（x）的定义域；（2）可以判断在（1，+∞）上为增函数，根据增函数的定义，设任意的x1＞x2＞1，然后作差，通分，提取公因式，从而可证明f（x1）＞f（x2），这便可得出f（x）在（1，+∞）上为增函数．【解答】解：（1）f（1）=1+k=2；∴k=1，，定义域为{x∈R|x≠0}；（2）为增函数；证明：设x1＞x2＞1，则：==；∵x1＞x2＞1；∴x1﹣x2＞0，，；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．【点评】考查已知函数求值的方法，函数定义域的概念及求法，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的一般要通分，一般需提取公因式x1﹣x2．19．（2014•赫山区校级三模）设p：函数f（x）=的定义域为（﹣∞，0]，q：关于x的不等式ax2﹣x+a＞0的解集为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求a的取值范围．【分析】通过已知条件知命题p和q中一真命题，一假命题，所以分p真q假和p假q真两种情况去求a的取值范围即可．【解答】解：由已知条件知：命题p，和q中一个为真命题，一个为假命题；∴①若p为真命题，q为假命题：由命题p知0＜a＜1，要使q为假命题则：1﹣4a2≥0，或a≤0，解得；∴；②若p为假命题，q为真命题：∵p为假命题；由①知：a≤0，或a≥1 （1）；q为真命题，则，解得a（2）；∴由（1）（2）知a≥1．综上得a的取值范围是（0，]∪[1，+∞）．【点评】考查逻辑连接词的表示符号，以及命题p∨q和p∧q真假情况的判断，指数函数的单调性，一元二次不等式的解和判别式的关系．20．（2014秋•珠海期末）已知函数．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数．【分析】（1）先设x1＜x2，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x1）﹣f（x2）＜0，即可；（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（﹣x）=﹣f（x），从而求得a值即可．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，则=（4分）∵x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，（6分）即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（7分）（2）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，解得：．∴．（12分）【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．21．（2014秋•乳源县校级期末）用单调性定义证明函数在区间[1，+∞）上是增函数．【分析】任取区间[1，+∞）上两个实数a，b，且a＜b，判断f（a）﹣f（b）的符号，进而得到f（a），f（b）的大小，根据单调性的定义即可得到答案．【解答】证明：任取区间[1，+∞）上两个实数a，b，且a＜b则a﹣b＜0，ab＞1，ab﹣1＞0则f（a）﹣f（b）=（）﹣（）=a﹣b+=a﹣b+=（a﹣b）（1﹣）=＜0即f（a）＜f（b）故函数在区间[1，+∞）上是增函数【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，利用定义法（作差法）证明单调性的步骤是：设元→作差→分解→断号→结论．22．（2013秋•河南期末）设f（x）=x2+ax是R上的偶函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上为增函数．【分析】（I）由f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x），求得a的值；（Ⅱ）用定义证明f（x）的单调性，基本步骤是：取值，作差，判正负，下结论．【解答】解：（I）对任意的x∈R，﹣x∈R，∴f（﹣x）=（﹣x）2+a（﹣x），即f（﹣x）=x2﹣ax，又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣ax=x2+ax，∴﹣a=a，即a=0；（II）由（I）知f（x）=x2，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=（x1+x2）（x1﹣x2），∵x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2∴x2+x1＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．【点评】本题考查了函数奇偶性的应用与单调性的判定问题，是基础题．23．（2014秋•佛山期末）已知函数f（x）=2﹣．（1）判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并用定义证明；（2）求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]上的最值．【分析】（1）由条件利用函数的单调性的定义证得函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增．（2）由（1）可得函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]上单调递增，由此求得f（x）在区间[﹣3，﹣1]上的最值．【解答】解：（1）证明：对于函数f（x）=2﹣，令x1＜x2＜0，由于f（x1）﹣f（x2）=﹣+=，而由题设可得x1•x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增．（2）由（1）可得函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]上单调递增，故当x=﹣3时，f（x）取得最小值为2+=，当x=﹣1时，f（x）取得最大值为2+2=4．【点评】本题主要考查函数的单调性的定义，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．24．（2014春•萍乡期末）已知函数f（x）=（x≠a）．（1）证明：函数f（x）在区间（a，+∞）上是增加的；（2）当x∈[a+，a+1]时，求函数f（x）的取值范围．【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（a，+∞）上是增函数．（2）由（1）可得f（x）在[a+，a+1]上是增函数，从而求得当x∈[a+，a+1]时，求函数f （x）的取值范围．【解答】（1）证明：对于f（x）=（x≠a）==﹣1+，设a＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（﹣1+）﹣（﹣1+）=，由a＜x1＜x2，可得x1﹣x2＜0，a﹣x1＜0，a﹣x2＜0，∴f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在区间（a，+∞）上是增函数．（2）由（1）可得f（x）在[a+，a+1]上是增函数，故当x=a+时，f（x）取得最小值为﹣3；当x=a+1时，f（x）取得最大值为﹣2，故f（x）的值域为[﹣3，﹣2]．【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和证明，利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题．25．（2014秋•广州期末）已知函数f（x）=a x+，且f（1）=．（1）求a的值；（2）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）令函数g（x）=f（x）﹣5，且g（a）=8，求g（﹣a）的值．【分析】（1）运用代入法，解方程即可得到a；（2）运用奇偶性的定义，求出定义域，再计算f（﹣x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；（3）求出f（a），由奇偶性得到f（﹣a），进而得到g（﹣a）．【解答】解：（1）因为，所以，所以a=3；（2）由（1）得，所以f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），，所以f（x）=f（﹣x），所以f（x）为偶函数；（3）因为g（x）=f（x）﹣5，g（a）=8，所以f（x）=g（x）+5，所以f（a）=g（a）+5=13因为f（x）为偶函数，所以f（﹣a）=g（﹣a）+5=13，所以g（﹣a）=8．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和运用：求函数值，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．26．（2014秋•安庆校级期末）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sin（2x+）．（1）求x∈[﹣，0]时，f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单增区间．【分析】（1）根据函数f（x）在[0，]的解析式，结合函数的奇偶性，求出f（x）在[﹣，0]上的解析式；（2）根据函数f（x）的周期性与奇偶性，求出f（x）的单调性与单调增区间即可．【解答】解：（1）当x∈[﹣，0]时，﹣x∈[0，]，∴f（﹣x）=sin（﹣2x+）=﹣sin（2x﹣）；又∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=﹣sin（2x﹣）；…（6分）（2）当x∈[0，]时，，由2x+∈[，]，解得x∈[0，]，∴f（x）在[0，]上是单调增函数，…（8分）同理，当x∈[﹣，0]时，f（x）在x∈[﹣，﹣]上是单调增函数；…（10分）由函数的周期性知，f（x）的单调递增区间是[kπ，+kπ]、[﹣+kπ，﹣+kπ]，（k∈Z）；…（12分）【点评】本题考查了三角函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的应用问题，是基础题目．27．（2014秋•郑州期末）已知函数．（Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣a为奇函数，求a的值；（Ⅱ）试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．【分析】（I）根据f（x）表达式，得g（x）=，再根据奇函数的定义采用比较系数法即可求出实数a的值．（II）设0＜x1＜x2，将f（x1）与f（x2）作差、因式分解，得f（x1）＜f（x2），结合函数奇偶性的定义得到函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．【解答】解：（Ⅰ）∵∴g（x）=f（x）﹣a=，…（2分）∵g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），即，解之得a=1．…（5分）（Ⅱ）设0＜x1＜x2，则=．（9分）∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，从而，（11分）即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．（12分）【点评】本题给出含有分式的基本初等函数，讨论函数的单调性与奇偶性质．着重考查了函数的奇偶性的定义和用定义法证明单调性等知识，属于基础题．28．（2013秋•中山期末）（I）求值：；（Ⅱ）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）=f（x﹣2），当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，求的值．【分析】（I）利用对数的运算性质，分别计算即可，结合a0=1，即可得到答案；（Ⅱ）根据题意，可以确定函数的周期性，利用函数的周期性和奇偶性，将转化为f（）求解即可．【解答】解：（I）=﹣1=﹣1=1﹣1=0；（Ⅱ）∵f（x）=f（x﹣2），∴f（x+2）=f（x），故函数f（x）是周期函数，且周期为2，又∵函数f（x）为偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，∴．故=．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了函数的求值以及函数性质的应用．解题时要注意非零实数的零次幂等于1，考查了函数的周期性和奇偶性的综合应用，要熟练掌握函数的性质的综合应用．属于中档题．29．（2014秋•海淀区校级期中）已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=2．（1）求函数f（x）和g（x）；（2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性．【分析】（1）待定系数法：设出函数的解析式，利用f（1）=1，g（1）=2，即可求得结论；（2）根据奇偶性的定义：先确定函数的定义域，再验证h（﹣x）与h（x）的关系，即可得到结论；【解答】解：（1）设f（x）=k1x，g（x）=，其中k1k2≠0，∵f（1）=1，g（1）=2，∴k1×1=1，=2，∴k1=1，k2=2，∴f（x）=x，g（x）=；（2）设h（x）=f（x）+g（x），则h（x）=x+，∴函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），因为对定义域内的每一个x，都有h（﹣x）=﹣（x+）=﹣h（x），∴函数h（x）是奇函数，即函数f（x）+g（x）是奇函数．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，函数的奇偶性的判断，属基础题．30．（2014秋•浠水县校级期中）对于函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）确定f（x）的单调区间；（2）求实数a，使f（x）是奇函数，在此基础上，求f（x）的值域．【分析】（1）先求函数的定义域，再对函数求导，由导数的符号确定函数的单调区间；（2）由f（x）是奇函数，得f（0）=0，从而=0，可得a=1，把a代入函数的表达式再求函数的值域．【解答】解：（1）∵对任意实数x，函数都有意义，∴函数的定义域为（﹣∞，+∞），=＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，∴f（x）的递增区间是（﹣∞，+∞）．（2）由f（x）是奇函数，得f（0）=0，∴=0，∴a=1．∴∵e x＞0，∴e x+1＞1，∴∈（0，1），∴∈（﹣2，0），∴∈（﹣1，1），∴f（x）的值域是（﹣1，1）【点评】本题考查函数的性质、单调性的判断及函数值域的求解，考查学生解决问题的能力．。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域； （2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。
（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。
（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。
二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞． 考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。
函数的基本性质(含答案)
x＋ ≥2 ＝ （当且仅当x= 即x= 时取“=”）.
∴当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160 a＋ a）元.
答案：y=12a（x+ ）+ a（0，+∞） 160 a+ a
【课堂小练】
1．已知 是定义 上的奇函数，且 在 上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )
A． B．
∴－ ≤x≤ .
∴不等式的解集为{x|－ ≤x≤ }.
（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，
∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.
由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q= ，
∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜－1.
教师辅导讲义
年 级： 高一辅导科目： 数学 课时数：3
课 题
函数的基本性质
教学目的
通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法
教学容
【知识梳理】
函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）
【典型例题分析】
例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.
（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.
假期辅导学案函数的简单性质(含答案)
函数的简单性质一、知识梳理 1.函数的单调性 单调函数的定义2.函数的最值【知识拓展】 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数.(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ].(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”. 3.函数的奇偶性4.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.【知识拓展】 1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 2.函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0). (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0). 二、诊断训练1.(教材改编)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0的单调增区间为__[0，＋∞)________；单调减区间为__________. (－∞，0)2.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上是增函数，则实数a 的取值范围为_____________.(－∞，1]3.(教材改编)若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________.14.(2016·四川)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________.－2 三、典型例题例1.(1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________.1 (2)函数f (x )＝x 2＋8x －1(x >1)的最小值为________.8例2.(2016·南通)已知函数f (x )＝－(x ＋1)2＋2|x ＋1|＋3. (1)试求函数f (x )的单调区间，并指出相应的单调性；(2)若f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 (1)当x ≥－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2－2(x ＋1)＋1]＋4 ＝－[(x ＋1)－1]2＋4＝－x 2＋4，当x <－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＋4 ＝－[(x ＋1)＋1]2＋4＝－(x ＋2)2＋4，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4(x ≥－1)，－(x ＋2)2＋4(x <－1)， 其大致图象如图所示.由图易知函数f (x )在区间(－∞，－2]，(－1，0]上单调递增，在区间(－2，－1]，(0，＋∞)上单调递减. (2)易知2a 2＋a ＋1>0且3a 2＋2a ＋1>0恒成立，由(1)知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 故由f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)， 得2a 2＋a ＋1>3a 2－2a ＋1， 即a 2－3a <0，解得0<a <3， ∴a 的取值范围为{a |0<a <3}.例3.（2014·常州高一期末）已知函数12()21xx f x -=+．（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明； （2）当(1,)x ∈+∞时，求函数()f x 的值域． 解：（1）∵x ∈R ，1112212()()1211212xx x x xxf x f x ------====-+++， ---------------------------4分∴()f x 是奇函数． ---------------------------5分 （2）令2x t =，则12()111t g t t t -==-+++． -------------------------7分 ∵(1,)x ∈+∞，∴2t >，∴2213,013t t +><<+，∴11()3g t -<<-， 所以()f x 的值域是1(1,)3--． ---------------------------10分例4.(2018·宿迁高一期末)已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设函数()()f xg x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； (1) 由1||12()=1122a f -=，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以|1|()x f x x-=. …………………2分当1x >时，11()=1x f x x x-=-，任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则12122112121211(1)(1)()()=x x x x x x f x f x x x x x ------=-12212212(1)(1)=x x x x x x ---1212=x x x x -，………3分 因为12x x <<1，则1212<0,0x x x x ->，12()()0f x f x -<，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数； …………………4分（2）2221,1()|1|()==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧⎪-⎪=⎨-⎪<⎪⎩≤≤4≤， …………………6分 当1x ≤≤4时，222111111()=()24x g x x x x x -==---+，因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，max 1()=4g x ； …………………8分当112x <≤时，222111111()=()24x g x x x x x -==---， 因为112x <≤时，所以11x <≤2，所以当1=2x时，max ()=2g x ；综上，当1=2x 即1=2x 时，max ()=2g x . …………………10分四、巩固训练1.(2018·南京高一期末)若函数 f (x )＝cos x ＋|2x －a | 为偶函数，则实数a 的值是 ．02.(2016·连云港高一期末)函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间是______________.(－∞，－2)3.(2016·盐城)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________.134.(教材改编)已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，则f (x )＝____________.x 2－25.(2016·南通)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是______(13，23)____.6.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________. 答案 27.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.-108.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos π6x (0＜x ≤8)，log 2x (x >8)，则f (f (－16))＝________.答案 129.(2016·连云港)已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2(a ＞0)在区间[0，1]内有一个最大值－5，则a 的值为________.5410.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.(－∞，－2)11.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，(4－a2)x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________.[4，8) 12.(2018·盐城高一期末)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞， 当12≠x x 时，都有112212()()0x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x <的解集为 ．()()101-∞-，，13.(2017·镇江高一期末)已知函数f （x ）=x |2a ﹣x |+2x ，a ∈R ． （1）若a=0，判断函数y=f （x ）的奇偶性，并加以证明； （2）若函数f （x ）在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； 解：（1）函数y=f （x ）为奇函数． 当a=0时，f （x ）=x |x |+2x ， ∴f （﹣x ）=﹣x |x |﹣2x=﹣f （x ）， ∴函数y=f （x ）为奇函数； （2）f （x ）=，当x ≥2a 时，f （x ）的对称轴为：x=a ﹣1； 当x ＜2a 时，y=f （x ）的对称轴为：x=a +1； ∴当a ﹣1≤2a ≤a +1时，f （x ）在R 上是增函数， 即﹣1≤a ≤1时，函数f （x ）在R 上是增函数；14.(2017·镇江)已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=2x+x ﹣m （m 为常数）．（1）求常数m 的值． （2）求f （x ）的解析式．解：（1）∵f （x ）是奇函数，且定义域为R ； ∴f （0）=0；∵当x ≥0时，f （x ）=2x+x ﹣m （m 为常数）； ∴f （0）=1﹣m ，∴1﹣m=0； ∴m=1；（2）由（1）知，m=1； ∴当x ≥0时，f （x ）=2x +x ﹣1；设x ＜0，则﹣x ＞0，且f （x ）为奇函数，所以： f （﹣x ）=2﹣x ﹣x ﹣1=﹣f （x ）；∴f （x ）=﹣2﹣x+x +1；∴；。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)学案(含答案)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）学案（含答案）14.2正弦函数正弦函数..余弦函数的性质余弦函数的性质一一学习目标1.了解周期函数.周期.最小正周期的定义.2.会求函数yAsinx 及yAcosx的周期.3.掌握函数ysinx，ycosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性知识点一函数的周期性1对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做fx的最小正周期知识点二正弦函数.余弦函数的周期性由sinx2ksinx，cosx2kcosxkZ 知，ysinx与ycosx都是周期函数，2kkZ且k0都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2.知识点三正弦函数.余弦函数的奇偶性1对于ysinx，xR，恒有sinxsinx，所以正弦函数ysinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称2对于ycosx，xR，恒有cosxcosx，所以余弦函数ycosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称1函数fxx2满足f36f3，所以fxx2是以6为周期的周期函数提示周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有fxTfx，对于fxx2，f00，f06f636，f0f06，fxx2不是以6为周期的周期函数2ycos2x是偶函数3任何周期函数都有最小正周期提示常函数fxc，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期4y|sinx|是周期函数题型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期1ysin2x3xR；2y|sinx|xR考点正弦.余弦函数的周期性题点正弦.余弦函数的周期性解1方法一令z2x3，因为xR，所以zR.函数fxsinz的最小正周期是2，即变量z只要且至少要增加到z2，函数fxsinzzR的值才能重复取得而z22x322x3，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，所以函数fxsin2x3xR的最小正周期是.方法二fxsin2x3的最小正周期为22.2因为y|sinx|sinx，2kx2k，sinx，2k0，1cosx0，得1cosx0的最小正周期为23，则f.考点正弦.余弦函数的周期性题点正弦.余弦函数的周期性答案32解析由已知223，得3，所以fx3cos3x3，所以f3cos333cos33cos2332.4已知aR，函数fxsinx|a|，xR为奇函数，则a.考点正弦.余弦函数的奇偶性与对称性题点正弦.余弦函数的奇偶性答案0解析因为fxsinx|a|，xR为奇函数，所以f0sin0|a|0，所以a0.5已知函数fxaxbsinx1，若f20207，则f2020.考点正弦.余弦函数的奇偶性与对称性题点正弦.余弦函数的对称性答案5解析由f20202020absin20xx，得2020absin20206，f20202020absin202012020absin20xx15.1求函数的最小正周期的常用方法1定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使fxTfx 成立的T.2图象法，即作出yfx的图象，观察图象可求出T，如y|sinx|.3结论法，一般地，函数yAsinx其中A，，为常数，A0，0，xR的周期T2.2判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键如果定义域关于原点对称，再看fx与fx的关系，从而判断奇偶性。
函数的基本性质基础训练及答案
那么 f (x) 在区间 7,3上是（
）
A 增函数且最小值是 5
B 增函数且最大值是
C 减函数且最大值是 5
D 减函数且最小值是
5 设 f (x) 是定义在 R 上的一个函数，则函数 F(x) f (x) f (x)
在 R 上一定是（ ）
A 奇函数
B 偶函数
C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数
5
1 （1） x 2且x 1，不存在；（2）函数是特殊的映
射；（3）该图象是由
离散的点组成的；（4）两个不同的抛物线的两
部分组成的，不是抛物线
三、解答题
1 解：当 k 0 ， y kx b 在 R 是增函数，当 k 0 ， y kx b 在 R 是减 函数；
当 k 0 ， y k 在 (,0),(0, ) 是减函数， x
⑷ ， ； f (x) 3 x4 x3 F (x) x 3 x 1
⑸ ， f1(x) ( 2x 5)2
f2 (x) 2x 5
A ⑴、⑵ B ⑵、⑶ C ⑷ D ⑶、⑸
2 已知函数 f (x) (m 1)x2 (m 2)x (m2 7m 12) 为偶函数， 则m 的值是（ ）
A 1B 2
∴ f (x)max 37, f (x)min 1
（2）对称轴 x a, 当 a 5或 a 5时， f (x) 在5,5 上单调
∴ a 5 或 a 5
789
2 解：当 m 1 2m 1，即 m 2时， B , 满足 B A ，即 m 2；
当 m 1 2m 1，即 m 2 时， B 3, 满足 B A ，即 m 2 ；
x
2
(1
x
2)
，若
f
(x)
最新苏教版必修一数学： 函数的简单性质第2课时 Word版含答案
1．对于定义在R上的任意奇函数f(x)，下列式子中恒成立的序号是________．(1)f(x)－f(－x)≥0；(2)f(x)－f(－x)≤0；(3)f(x)·f(－x)≤0；(4)f(x)·f(－x)≥0；(5)f(x)＋f(－x)＝0；(6)()1 ()f xf x=--.2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，其定义域是，则a＝________，b＝________.3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________.4．已知奇函数f(x)在x＜0时，函数解析式为f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，函数解析式f(x)＝______________.5．若f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是单调减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是______．6．若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝－f(x)，给出下列4个结论：①f(2)＝0；②f(x)＝f(x＋4)；③f(x)的图象关于直线x＝0对称；④f(x＋2)＝f(－x)，其中所有正确结论的序号是______．7．判断下列函数的奇偶性： (1)43()1x x f x x -=-；(2)2()1x f x x =+；(3)323231,0,()31,0.x x x f x x x x ⎧+-<⎪=⎨-+>⎪⎩；(4)2()a f x x x=+ (a ∈R )． 8．设f (x )为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ；当x ＞2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3, 4)且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)写出函数f (x )的值域．参考答案1．(3)(5) 解析：由奇函数的定义知，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝f(x)·＝－2≤0，且f(x)＋f(－x)＝0，∴(3)(5)正确，(1)(2)(4)错，(6)当f(－x)≠0时成立，故不恒成立．2.130 解析：∵函数具有奇偶性时，定义域必须关于原点对称，故a－1＝－2a，∴13a ，又对于f(x)有f(－x)＝f(x)恒成立，∴b＝0.3．－26 解析：方法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)是奇函数．∴f(－2)＝g(－2)－8＝－g(2)－8＝10，∴g(2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.方法二：∵f(－x)＋f(x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)－8＋x5＋ax3＋bx－8＝－16，∴f(－2)＋f(2)＝－16，又f(－2)＝10，∴f(2)＝－16－f(－2)＝－16－10＝－26.4．－x(x＋1) 解析：设x＞0时，则－x＜0，由条件，得f(－x)＝－x(－x－1)∵函数为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(－x－1)，∴f(x)＝－x(x＋1)(x＞0)．5．(－2,2) 解析：方法一：f(2)＝0，f(－2)＝0，f(x)在(－∞，0]上单调递减，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在时，f(x)＜f(－2)＝0，当x∈上是单调减函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是单调增函数，∵f(2)＝0，∴f(－2)＝f(2)＝0，由单调性易知使f(x)＜0的x的取值范围是(－2,2)，借助图形更直观，如图．6．①②④解析：由题意，知f(0)＝－f(2)，∴f(2)＝－f(0)，又f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(2)＝0，故①正确；∵f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴②正确；∵f(x)为奇函数，∴图象关于原点对称，③不正确；∵f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，∴④正确．7．解：(1)433()1x xf x xx-==-，但f(x)的定义域为{x|x≠1}，关于原点不对称，故此函数是非奇非偶函数．(2)f (x)的定义域为R，∵对任意的x∈R，都有()()22()()11x xf x f xxx--==-=-++-，∴函数f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)∴对定义域内的任意x，都有f(－x)＝－f(x)∴函数f(x)为奇函数．(4)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴函数f (x )为偶函数．当a ≠0时，2()a f x x x=+(a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．8．解：(1)当x ＞2时，设f (x )＝a (x －3)2＋4.又因为过A (2,2)，所以f (2)＝a (2－3)2＋4＝2，解得a ＝－2，所以f (x )＝－2(x －3)2＋4.设x ∈(－∞，－2)，则－x ＞2，所以f (－x )＝－2(－x －3)2＋4.又因为f (x )在R 上为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝－2(－x －3)2＋4，即f (x )＝－2(x ＋3)2＋4，x ∈(－∞，－2)．(2)图象如图所示，(3)由图象观察知f (x )的值域为{y |y ≤4}．。
高中数学人教A版必修学案函数的基本性质互动课堂学案(含答案)
反的单调性.
(3)若
f(x)≠0，则函数
f(x)与
F
1 (x)
具有相反的单调性.
(4)若函数 f(x)、g(x)都是增(减)函数，则 f(x)+g(x)仍是增(减)函数.
(5)若 f(x)＞0，g(x)＞0，且 f(x)与 g(x)都是增(减)函数，则 f(x)·g(x)也是增(减)函数；
若 f(x)＜0，g(x)＜0，且 f(x)与 g(x)都是增(减)函数，则 f(x)·g(x)是减(增)函数.
f(x1)＞f(x )，那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数.
1
如果函数 f(2x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 f(x)在这一区间具有(严格的)
单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间.
疑难疏引 (1)函数是增函数还是减函数，是对定义域内的某一个区间而言的，有的函数
在整个定义域里是增函数（减函数），也有的函数在定义域的某个区间上是增函数，而在另
1
1
∴函数 y=x＋ 1 在（1，＋∞）上为增函数. x
【溯源】 证明函数的单调性主要是利用定义来证明，其步骤为：
（1）取值：设 x1、x2 为该区间内任意的两个值，且 x ＜x2；
（2）作差变形：作差 f（x1）－f（x ），并通过因式分1 解、配方、有理化等方法，向有利于
判断差值符号的方向变形；
函数，不能说 y=f（x）在（a，b）∪（c，d）上一定是单调增（减）函数.即函数的单调性
是针对定义域内的某个区间而言的，而有些函数在整个定义域内具有单调性.而有些函数在
定义域内某个区间上是增函数，在另一些区间上是减函数. （3）函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在
函数的性质习题及解析
函数的性质习题及解析1、已知函数f (x )的定义域是[-1，4]，求函数f (2x +1)的定义域. 【答案】3 -12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【详解】已知f (x )的定义域是[-1，4]，即-1≤x ≤4.故对于f (2x +1)应有-1≤2x +1≤4，∴-2≤2x ≤3，∴-1≤x ≤32.∴函数f (2x +1)的定义域是3-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 2、已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【答案】[]4,22【详解】因为()31f x +的定义域为[]1,7，所以17x ≤≤，所以43122x ≤+≤．令31x t +=，则422t ≤≤．即()f t 中，[]4,22t ∈．故()f x 的定义域为[]4,22．3．已知函数(21)y f x =+的定义域为[]1,2-，则函数(1)=-y f x 的定义域为_________.【答案】[]0,6【详解】函数(21)y f x =+的定义域为[]12-，，即12x -≤≤，所以1215x -≤+≤， 所以115x -≤-≤，即06x ≤≤，所以函数的定义域为[]0,6.故答案为：[]0,6.4.已知函数347)(2+++=kx kx kx x f 的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
解：要使函数有意义，则必须0342≠++kx kx 恒成立，因为)(x f 的定义域为R ，即0342=++kx kx 无实数解讨论：①当0≠k 时，034162<⨯-=∆k k 恒成立，解得430<<k ； ②当0=k 时，方程左边03≠=恒成立。
综上得：k 的取值范围是430<≤k 。
5.已知狄利克雷函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域为[0,1]B ．()f x 定义域为RC ．(1)()f x f x +=D ．()f x 的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】BC【详解】对于A, ()f x 的值域为{}0,1，故A 错误；对于B, ()f x 定义域为R ，故B 正确；对于C ，当x 是有理数时，1x +也为有理数，当x 是无理数时，1x +也为无理数，故()()1f x f x +=成立，故C 正确；对于D ，因为112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()f x 的图象经过点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：BC. 6.已知函数f (x )=2102(1)0x x x x ⎧+≤⎪⎨⎪-->⎩，，，，则不等式f (x )≥1-的解集是____.【答案】[4-，2] 【详解】由题意得0112x x ≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，或20(1)1x x >⎧⎨--≥-⎩，， 解得4-≤x ≤0或0<x ≤2，即不等式的解集为[4-，2].故答案为：[4-，2].7．（多选）下列选项中所给图象是函数图象的为（ ）A ．B ．C ．D ．答案．CD解：根据函数的定义，在定义域内作一条直线x a =，将直线x a =在定义域内左右移动，如果直线与图象的交点始终只有一个，则图象是函数图象，据此可判断C ，D 选项所给图象是函数图象，故选：CD. 8（多选）．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V 甲和V 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是（ ）A ．在t 1时刻，甲车的速度大于乙车的速度B ．t 0时刻后，甲车的速度小于乙车的速度C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．在t 0时刻，甲车在乙车前面答案：BD【详解】由图可知，当时间为t 1时，甲车的速度小于乙车的速度，所以选项B 正确，选项A 错误；t 0时刻之前，甲车的速度一直大于乙车，时间相同的情况下，甲车行驶路程大于乙车行驶路程，故t 0时刻甲车在乙车前面.所以选项D 正确，选项C 错误.故选：BD9.已知下列表格表示的是函数()s g t =,写出(2),(0),g g g -.【答案】(2)1,(0)0,1g g g -=-==【详解】()2,0-∈-∞，{}00∈()0,+∞ ()21g ∴-=-，()00g =，1g =10.已知函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，()21x f x =-，则()2f -=（ ）A ．1B ．34-C ．3D ．3-【答案】D 【详解】当0x ≥时，()21x f x =-，则()22213f =-=，因为函数()f x 是奇函数，则()()223f f -=-=-.故选：D.11.若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf xg x e +=，求()g x . 解：因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-因为()()x f x g x e += ①所以()()x f x g x e --+-=所以()()x f x g x e -+-= ② 由①②式消去()f x ，得()2x xe e g x --=.。
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函数的简单性质一、知识梳理 1.函数的单调性 单调函数的定义2.函数的最值【知识拓展】 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数.(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ].(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”. 3.函数的奇偶性4.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.【知识拓展】 1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 2.函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0). (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0). 二、诊断训练1.(教材改编)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0的单调增区间为__[0，＋∞)________；单调减区间为__________. (－∞，0)2.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上是增函数，则实数a 的取值范围为_____________.(－∞，1]3.(教材改编)若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________.14.(2016·四川)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________.－2 三、典型例题例1.(1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________.1 (2)函数f (x )＝x 2＋8x －1(x >1)的最小值为________.8例2.(2016·南通)已知函数f (x )＝－(x ＋1)2＋2|x ＋1|＋3. (1)试求函数f (x )的单调区间，并指出相应的单调性；(2)若f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 (1)当x ≥－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2－2(x ＋1)＋1]＋4 ＝－[(x ＋1)－1]2＋4＝－x 2＋4，当x <－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＋4 ＝－[(x ＋1)＋1]2＋4＝－(x ＋2)2＋4，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4(x ≥－1)，－(x ＋2)2＋4(x <－1)， 其大致图象如图所示.由图易知函数f (x )在区间(－∞，－2]，(－1，0]上单调递增，在区间(－2，－1]，(0，＋∞)上单调递减. (2)易知2a 2＋a ＋1>0且3a 2＋2a ＋1>0恒成立，由(1)知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 故由f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)， 得2a 2＋a ＋1>3a 2－2a ＋1， 即a 2－3a <0，解得0<a <3， ∴a 的取值范围为{a |0<a <3}.例3.（2014·常州高一期末）已知函数12()21xx f x -=+．（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明； （2）当(1,)x ∈+∞时，求函数()f x 的值域． 解：（1）∵x ∈R ，1112212()()1211212xx x x xxf x f x ------====-+++， ---------------------------4分∴()f x 是奇函数． ---------------------------5分 （2）令2x t =，则12()111t g t t t -==-+++． -------------------------7分 ∵(1,)x ∈+∞，∴2t >，∴2213,013t t +><<+，∴11()3g t -<<-， 所以()f x 的值域是1(1,)3--． ---------------------------10分例4.(2018·宿迁高一期末)已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设函数()()f xg x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； (1) 由1||12()=1122a f -=，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以|1|()x f x x-=. …………………2分当1x >时，11()=1x f x x x-=-，任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则12122112121211(1)(1)()()=x x x x x x f x f x x x x x ------=-12212212(1)(1)=x x x x x x ---1212=x x x x -，………3分 因为12x x <<1，则1212<0,0x x x x ->，12()()0f x f x -<，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数； …………………4分（2）2221,1()|1|()==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧⎪-⎪=⎨-⎪<⎪⎩≤≤4≤， …………………6分 当1x ≤≤4时，222111111()=()24x g x x x x x -==---+，因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，max 1()=4g x ； …………………8分当112x <≤时，222111111()=()24x g x x x x x -==---， 因为112x <≤时，所以11x <≤2，所以当1=2x时，max ()=2g x ；综上，当1=2x 即1=2x 时，max ()=2g x . …………………10分四、巩固训练1.(2018·南京高一期末)若函数 f (x )＝cos x ＋|2x －a | 为偶函数，则实数a 的值是 ．02.(2016·连云港高一期末)函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间是______________.(－∞，－2)3.(2016·盐城)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________.134.(教材改编)已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，则f (x )＝____________.x 2－25.(2016·南通)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是______(13，23)____.6.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________. 答案 27.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.-108.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos π6x (0＜x ≤8)，log 2x (x >8)，则f (f (－16))＝________.答案 129.(2016·连云港)已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2(a ＞0)在区间[0，1]内有一个最大值－5，则a 的值为________.5410.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.(－∞，－2)11.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，(4－a2)x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________.[4，8) 12.(2018·盐城高一期末)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞， 当12≠x x 时，都有112212()()0x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x <的解集为 ．()()101-∞- ，，13.(2017·镇江高一期末)已知函数f （x ）=x |2a ﹣x |+2x ，a ∈R ． （1）若a=0，判断函数y=f （x ）的奇偶性，并加以证明； （2）若函数f （x ）在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； 解：（1）函数y=f （x ）为奇函数． 当a=0时，f （x ）=x |x |+2x ， ∴f （﹣x ）=﹣x |x |﹣2x=﹣f （x ）， ∴函数y=f （x ）为奇函数； （2）f （x ）=，当x ≥2a 时，f （x ）的对称轴为：x=a ﹣1； 当x ＜2a 时，y=f （x ）的对称轴为：x=a +1； ∴当a ﹣1≤2a ≤a +1时，f （x ）在R 上是增函数， 即﹣1≤a ≤1时，函数f （x ）在R 上是增函数；14.(2017·镇江)已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=2x +x ﹣m （m 为常数）．（1）求常数m 的值． （2）求f （x ）的解析式．解：（1）∵f （x ）是奇函数，且定义域为R ； ∴f （0）=0；∵当x ≥0时，f （x ）=2x+x ﹣m （m 为常数）； ∴f （0）=1﹣m ，∴1﹣m=0； ∴m=1；（2）由（1）知，m=1； ∴当x ≥0时，f （x ）=2x +x ﹣1；设x ＜0，则﹣x ＞0，且f （x ）为奇函数，所以： f （﹣x ）=2﹣x ﹣x ﹣1=﹣f （x ）；∴f （x ）=﹣2﹣x+x +1；∴；。