山东省东营市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析
山东省东营市2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析
山东省东营市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得2ω=，且x ϕ=是()f x 的一条对称轴，即可求出ϕ的值，再根据三角函数的平移规则计算可得； 【详解】解：由已知得2ω=，x ϕ=是()f x 的一条对称轴，且使()f x 取得最值，则3πk ϕ=，π3ϕ=，π5ππ()cos 2cos 23122f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π()sin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题. 2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．12y x = B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-【答案】C 【解析】 【分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案. 【详解】因为函数12,2x y x y ==和1y x =-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减.故选：C 【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.3．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．83【答案】C 【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选C .4．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是( )A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量同的相关系数为1 C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关 【答案】D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确． 故选D ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．已知y ax b =+与函数()2ln 5f x x =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的面积为（ ） A ．2π B ．3πC ．6πD ．12π【答案】B 【解析】 【分析】根据直线y ax b =+与()f x 和()g x 都相切，求得,a b 的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆2222220x y x y ++--=，由此求得正确选项.【详解】()()''2,2f x g x x x==.设直线y ax b =+与()f x 相切于点()00,2ln 5A x x +，斜率为02x ，所以切线方程为()()00022ln 5y x x x x -+=-，化简得0022ln 3y x x x =++①.令()'022g x x x ==，解得01x x =，200114g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以切线方程为20001214y x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得200214y x x x =-+②.由①②对比系数得02012ln 34x x +=-+，化简得02012ln 10x x +-=③.构造函数()()212ln 10h x x x x=+->，()()()'3321122x x h x x x x+-=-=，所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()h x 在1x =处取得极小值也即是最小值，而()10h =，所以()0h x =有唯一解.也即方程③有唯一解01x =.所以切线方程为23y x =+.即2,3a b ==.不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩即230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩，画出其对应的区域如下图所示.圆2222220x y x y ++--=可化为()()221124x y ++-=，圆心为()1,1A -.而方程组230320x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解也是11x y =-⎧⎨=⎩.画出图像如下图所示，不等式组230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的部分如下图阴影部分所示.直线230x y -+=的斜率为12，直线320x y +-=的斜率为13-.所以()tan tan BAC AED ADE ∠=∠+∠1123111123+==-⨯，所以4BAC π∠=，而圆A 的半径为2426=，所以阴影部分的面积是()2126324ππ⨯⨯=.故选：B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题. 6．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ） A 131 B 132+ C 151 D 152+【答案】A 【解析】 【分析】根据平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，则球心在过BC 的中点E 的面的垂线上，又ΔSAD 是等边三角形，所以球心也在过SAD ∆的外心F 面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可. 【详解】 依题意如图所示：取BC 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD 外接圆的圆心， 取F 是SAD ∆的外心，作OE ⊥平面,ABCD OF ⊥平面SAB ， 则O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，且3,2==OF SF ，设四棱锥S ABCD -的外接球半径为R ，则22213R SF OF =+=，而1OE =， 所以max 131d R OE =+=+， 故选：A. 【点睛】本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题. 7．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确. 【详解】1.11.1ln |1.1|( 1.1)0f e--=<，排除掉C ，D ；1211ln 122()2f e---==1ln 22<=2，1()12f ∴-=<.故选：A ． 【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.8．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥【答案】A 【解析】 【分析】 先求出UM ，再与集合N 求交集.【详解】 由已知，{|1}UM x x =≥，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A. 【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.9．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【答案】C先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题. 11．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出23x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域. 【详解】50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， 因此，函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.12．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算，即可容易求得结果. 【详解】3(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i ----====--++-.故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省东营市2021届新高考第二次适应性考试数学试题含解析
山东省东营市2021届新高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85-【答案】C【解析】【分析】根据正负相关的概念判断．【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．故选：C ．【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．2．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．233⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．31,3⎛ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(3 【答案】A【解析】【分析】 依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-=即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围；【详解】解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++112PE PF EF a =++-1224PF a b ≥-=()12242PF a b a c ∴=+>+所以2b c >则22244c a c ->所以2234c a > 所以22243c e a => 所以23e >，即23,3e ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.3． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）A ．56383B ．57171C ．59189D ．61242【答案】C【解析】【分析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a则()233513512n a n n =+-=-令35122020n a n =-≤，解得25835n ≤. 故该数列各项之和为5857582335591892⨯⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。
山东省东营市2021届新高考数学二模试卷含解析
山东省东营市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ） A ．()0,2 B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21xf x x =+-.分析知，函数()f x 在R上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.2．已知函数2()e (2)e x x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ） A ．1 B ．12或0 C ．1或0 D ．2或0【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=，令1()ln 1g t t t=-+，利用导数求其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【详解】 解：∵2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），∴()()2()2e(2)e 1e 12e 1xx x x f x t t t '=+--=-+，∴当0t >时，由()0f x '=得ln x t =-，则()f x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增， 所以(ln )f t -是极小值，∴只需(ln )0f t -=， 即1ln 10t t -+=.令1()ln 1g t t t =-+，则211()0g t t t'=+>，∴函数()g t 在(0,)+∞上单调递增.∵(1)0g =，∴1t =；当0t =时，()2e x f x x =--，函数()f x 在R 上单调递减，∵(1)2e 10f =--<，2(2)22e 0f --=->，函数()f x 在R 上有且只有一个零点，∴t 的值是1或0. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.3．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ； 若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.4．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A 【解析】 【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 5．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1 B ．2C ．3D ．5【答案】D 【解析】()12,2,2x x i i y i xi y i y =-⎧+=-∴-+=-∴⎨=-⎩Q ，则12 5.x yi i -=-+= 故选D.6．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．32【答案】A 【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A.7．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.8．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．2C ．23D ．163【答案】C 【解析】 【分析】过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ，当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得EF PC ⊥，再由2112PCE S PC EF PE =⋅=-V PE 的最大值即可.【详解】在BPD △和BCD V 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以BPD BCD V V ≌，则PBD CBD ∠=∠，过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE V V ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PE CE E =I ，所以BD ⊥平面PCE ， 所以1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ，当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥， 所以2112PCE S PC EF PE =⋅=-V ， 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=， 所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8223⨯1623=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．66C ．34D 3【答案】B 【解析】 【分析】设1AA c=u u u v v，AB a =u u u vv，AC b =u u u v v，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c=u u u v v，AB a =u u u vv，AC b =u u u v v由题意得：12a b⋅=vv，12b c⋅=v v，12a c⋅=v v1AB a c=+u u u v v vQ，11BC BC BB b a c=+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v vv v v v v v v v v v v v又()222123AB a c a a c c=+=+⋅+=u u u v v v v v v v()222212222BC b a c b a c a b b c a c=-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u v v v v vv v v v v v v v1111116cos,66AB BCAB BCAB BC⋅∴<>===⋅u u u v u u u u vu u u v u u u u vu u u v u u u u v即异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为：6本题正确选项：B【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.10．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB AC、，已知以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，记ABCα∠=，则2cos sin2αα+=（）A．35B．45C．1 D．85【答案】D【解析】【分析】根据以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比求得12ACAB=，即tanα的值，由此求得sinα和cosα的值，进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，所以12ACAB=，即1tan2α=，所以sin ,cos 55αα==，所以2cos sin 2αα+=4825555+⨯⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 11．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．12．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考数学真题评析(新高考全国1卷带解析)
二、试卷总评
2021 年高考数学全国卷命题,试题突出数学本质,重视理性思维,坚持素养导向、能力为重的命题原则； 倡导理论联系实际、学以致用,关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果,通过设计真实问题情境, 体现数学的应用价值；科学把握必备知识与关键能力的关系,科学把握数学题型的开放性与数学思维的开放 性,稳中求新,体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求.
对于
A,当
x
0,
π 2
时
π 6
x
π 6
π 3
,
f
x
0
恒成立,A
满足条件；
对于
B,当
x
π 2
,
π
时,由
f
5π 6
cos
2π 3
1 2
0
,可得
B
不满足条件；
对于
C,当
x
π,
3π 2
时,由
f
7π 6
cos π
1
0
,可得
C
不满足条件；
对于
D,当
x
3π 2
,
2π
时,由
f
19π 12
5
椭圆与基本不等式
6
三角变换及求值
7
曲线的切线条数
8
相互独立事件的概率
9
样本的数字特征
10
平面向量的数量积
11
圆的方程与性质
12
三棱柱与空间向量
13
函数的奇偶性
14
抛物线的方程及几何性质
15
导数及函数最值
16
实际问题中的数列求和
17
数列的通项与求和
18
山东省东营市2021届新高考数学四模试卷含解析
山东省东营市2021届新高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数21i z i =-（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A ．3B ．C ．2D【答案】D【解析】【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解.【详解】 ()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，所以1z i =--，z =，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.2．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.3．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．8【答案】C【解析】【分析】 根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.【详解】初始值0n =，1S =第一次循环：1n =，11122S =⨯=； 第二次循环：2n =，121233S =⨯=； 第三次循环：3n =，131344S =⨯=； 第四次循环：4n =，141455S =⨯=； 第五次循环：5n =，151566S =⨯=； 第六次循环：6n =，161677S =⨯=； 第七次循环：7n =，171788S =⨯=； 第九次循环：8n =，181899S =⨯=； 第十次循环：9n =，1910.191010S =⨯=≤； 所以输出190.910S =⨯=. 故选：C本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项.【详解】 由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.5．二项式22()n x x +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180B ．90C ．45D ．360 【答案】A【解析】试题分析：因为22()n x x +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，551021101022•()?()2r rr r r r r T C x C x x--+==，令5502r -=，则2r =，23104180T C ==. 考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.6．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r ＝.答案：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.7．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A．甲的数据分析素养优于乙B．乙的数据分析素养优于数学建模素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数学运算最强【答案】D【解析】【分析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=，乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C正确；对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；故选：D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.8．已知函数ln(1),0()11,02x xf xx x+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n<,且()()f m f n=，则n m-的取值范围为（）A．[32ln2,2)-B．[32ln2,2]-C．[1,2)e-D．[1,2]e-【答案】A【解析】分析：作出函数()f x的图象，利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数()f x的图象，如图所示，若m n<，且()()f m f n=，则当ln(1)1x+=时，得1x e+=，即1x e=-，则满足01,20n e m<<--<≤，则1ln(1)12n m+=+，即ln(1)2m n=+-，则22ln(1)n m n n-=+-+，设()22ln(1),01h n n n n e=+-+<≤-，则()21111nh nn n-=+=++'，当()0h n'>，解得11n e<≤-，当()0h n'<，解得01n<<，当1n=时，函数()h n取得最小值()1122ln(11)32ln2h=+-+=-，当0n=时，()022ln12h=-=；当1n e=-时，()1122ln(11)12h e e e e-=-+--+=-<，所以32ln2()2h n-<<，即n m-的取值范围是[32ln2,2)-，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.9．如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）.A ．33B ．72C 3D 7【答案】C【解析】【分析】易得||2AF a =，||4BF a =，又1()2FO FB FA =+u u u r u u u r u u u r ，平方计算即可得到答案. 【详解】设双曲线C 的左焦点为E ，易得AEBF 为平行四边形，所以||||||||2BF AF BF BE a -=-=，又||2||BF AF =，故||2AF a =，||4BF a =，1()2FO FB FA =+u u u r u u u r u u u r ， 所以2221(41624)4c a a a a =+-⨯，即223c a =， 故离心率为3e =故选：C.【点睛】 本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，是一道中档题.10．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( )A ．34B ．43C ．-43D ．-34【答案】A【解析】分析：计算2z a i =-，由z 1()2z 3a 44a 3i =++-，是实数得4a 30-=，从而得解.详解：复数z 1=3+4i,z 2=a+i,2z a i =-. 所以z 1()()()2z 34i a i 3a 44a 3i =+-=++-，是实数，所以4a 30-=，即3a 4=. 故选A.点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.11．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ）A ．17B ．4C ．2D ．117+ 【答案】B【解析】【分析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案.【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-，过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号，∴MP d +的最小值为4.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 12．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ）A．i-B．i C．1-D．1【答案】D【解析】【分析】由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得z，即可得z的虚部.【详解】由zi＝1﹣i，∴z＝()()111·i iiii i i---==---，所以共轭复数z=-1+i，虚部为1故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年山东省新高考高考数学二模试卷(三) (解析版)
2021年山东省新高考高考数学二模试卷（三）一、单项选择题（每小题5分）.1．设f（z）＝z，z1＝3+4i，z2＝﹣2﹣i，则f（z1﹣z2）等于（）A．1﹣3i B．﹣2+11i C．﹣2+i D．5+5i2．集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|y＝}，则集合A∪B等于（）A．[0，]B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，+∞）3．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），满足f（2）＝1且对于定义域内任意x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y）成立，那么f（2）+f（4）的值为（）A．1B．2C．3D．44．一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83B．108C．75D．635．若向量，满足||＝2，||＝1，且＜，＞＝，则＜﹣，＞＝（）A．B．C．D．6．已知直线l：ax+y﹣2＝0与⊙C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A、B两点，则△ABC 为钝角三角形的充要条件是（）A．a∈（1，3）B．a∈（2﹣，2+）C．a∈（2﹣，1）∪（1，2+）D．7．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）＝cos（x﹣）B．f（x）＝cos（x+）C．f（x）＝cos（﹣）D．f（x）＝cos（+）8．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A．8B．10C．12D．14二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图象关于直线x＝1对称，则下列说法中正确的有（）A．y＝g（f（x）+1）为偶函数B．y＝g（f（x））为奇函数C．y＝f（g（x））的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（g（x+1））为偶函数10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（）A．直线B1D⊥平面A1C1DB．二面角B1﹣CD﹣B的大小为C．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值D．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[，]11．已知实数a，b满足a2﹣ab+b＝0（a＞1），下列结论中正确的是（）A．b≥4B．2a+b≥8C．D．12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段AB的中点M 且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N．则（）A．|PM|＝|NQ|B．若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2C．若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|PQ|＞|OQ|D．若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|NQ|＞|OQ|三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知二项式（3﹣）n的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是．14．如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°．定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB＝θ．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为．15．已知直线y＝kx是曲线y＝e x的切线，也是曲线y＝lnx+m的切线，则实数k＝，实数m＝．16．已知函数，x∈R，若使关于θ的不等式f（2sinθ⋅cosθ）+f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＜2成立，则实数m的范围为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为．（1）若{a n}为等差数列，S11＝165，a3+a8＝28，求{a n}的通项公式；（2）若数列{S n}满足，求S n．18．在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．（1）若∠ABD＝，求BC的长；（2）若AC＝3，求cos∠BAD．19．近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务均为好评的有80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望．参考公式：独立性检验统计量K2＝，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，∠ASD ＝90°，且SC＝2．（1）证明：平面SAD⊥平面ABCD；（2）当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，求二面角B﹣SC﹣D的余弦值．21．已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q，求证：△BPQ为等腰三角形．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1，g（x）＝kx2．（1）当a＞0时，求f（x）的值域；（2）令a＝1，当x∈（0，+∞）时，恒成立，求k的取值范围．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设f（z）＝z，z1＝3+4i，z2＝﹣2﹣i，则f（z1﹣z2）等于（）A．1﹣3i B．﹣2+11i C．﹣2+i D．5+5i解：z1＝3+4i，z2＝﹣2﹣i，则z1﹣z2＝5+5i，∵f（z）＝z，则f（z1﹣z2）＝z1﹣z2＝5+5i．故选：D．2．集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|y＝}，则集合A∪B等于（）A．[0，]B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，+∞）解：∵＝{x|0＜1﹣x≤1}＝{x|0≤x＜1}，∴A∪B＝（﹣1，1）．故选：C．3．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），满足f（2）＝1且对于定义域内任意x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y）成立，那么f（2）+f（4）的值为（）A．1B．2C．3D．4解：∵f（4）＝f（2×2）＝f（2）+f（2）＝2f（2），∴f（4）＝2．∴f（2）+f（4）＝1+2＝3，故选：C．4．一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83B．108C．75D．63解：等比数列的第一个n项的和为：48，第二个n项的和为60﹣48＝12∴第三个n项的和为：12×＝3∴前3n项的和为60+3＝63故选：D．5．若向量，满足||＝2，||＝1，且＜，＞＝，则＜﹣，＞＝（）A．B．C．D．解：因为向量，满足||＝2，||＝1，且＜，＞＝，∴|﹣|＝＝＝，∴cos＜﹣，＞＝＝＝0，又因为向量的夹角θ∈[0，π]．∴＜﹣，＞＝，故选：B．6．已知直线l：ax+y﹣2＝0与⊙C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A、B两点，则△ABC 为钝角三角形的充要条件是（）A．a∈（1，3）B．a∈（2﹣，2+）C．a∈（2﹣，1）∪（1，2+）D．解：⊙C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4的圆心为C（1，a），半径r＝2，故点C到直线l：ax+y﹣2＝0的距离为，故AB＝，又CA＝CB＝2，因为△ABC为钝角三角形，故AC2+BC2＜AB2，即4+4，化简可得a2﹣4a+1＜0，解得，当三点A，B，C共线时，有a+a﹣2＝0，即a＝1，此时△ABC不存在，所以△ABC为钝角三角形的充要条件是a∈（2﹣，1）∪（1，2+）．故选：C．7．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）＝cos（x﹣）B．f（x）＝cos（x+）C．f（x）＝cos（﹣）D．f（x）＝cos（+）解：由图知，A＝，把点（0，）代入f（x）得，cosφ＝，∴cosφ＝，∵φ∈（0，π），∴φ＝，∴f（x）＝cos（ωx+），把点（，﹣）代入得，cos（ω+）＝﹣1，∴ω+＝π+2kπ，k∈Z，∴ω＝+k，k∈Z，∵ω＞0，∴ω＝，∴f（x）＝cos（x+），故选：D．8．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A．8B．10C．12D．14解：根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两个人安装同一个吉祥物，则剩下3人安装另外1个，有2种安装方案，②小明和小李和另外一人安装同一个吉祥物，则剩下2人安装另外1个，有C31×2＝6种安装方案，则有2+6＝8种不同的安装方案，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图象关于直线x＝1对称，则下列说法中正确的有（）A．y＝g（f（x）+1）为偶函数B．y＝g（f（x））为奇函数C．y＝f（g（x））的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（g（x+1））为偶函数解：根据题意，f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（x）图象关于直线x＝1对称，则g（1﹣x）＝g（1+x），据此分析选项：对于A，对于y＝g（f（x）+1），g（f（﹣x）+1）＝g（1﹣f（x））＝g（f（x）+1），则函数y＝g（f（x）+1）为偶函数，A正确；对于B，对于y＝g（f（x）），有g（f（﹣x））＝g（﹣f（x））≠﹣g（f（x）），不是奇函数，B错误；对于C，g（x）图象关于直线x＝1对称，则函数y＝f（g（x））图象关于直线x＝1对称，C正确；对于D，g（x）图象关于直线x＝1对称，则g（1﹣x）＝g（1+x），对于y＝f（g（x+1）），有f（g（﹣x+1））＝f（g（x+1）），则f（g（x+1））为偶函数，D正确；故选：ACD．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（）A．直线B1D⊥平面A1C1DB．二面角B1﹣CD﹣B的大小为C．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值D．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[，]解：如图，在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D，故A正确；在B中，由正方体可知平面B1CD不垂直平面ABCD，故B错误；在C中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故C正确；在D中，当点P与线段B1C的端点重合时，异面直线AP与A1D所成角取得最小值为，故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[，]，故D错误，故选：AC．11．已知实数a，b满足a2﹣ab+b＝0（a＞1），下列结论中正确的是（）A．b≥4B．2a+b≥8C．D．解：实数a，b满足a2﹣ab+b＝0（a＞1），A．b＝＝＝a+1+＝a﹣1++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝2时取等号，因此正确；B.2a+b＝2a+a+1+＝3（a﹣1）++4≥2+4＝2+4，当且仅当a＝1+取等号，因此不正确；C．∵a＞1，∴∈（0，1），+＝+＝﹣+＝﹣+1＜1，因此不正确；D．ab＝a•＝，令f（x）＝，（x＞1）．f′（x）＝，可得x＝时，函数f（x）取得极小值，即最小值．f（）＝＝，∴f（x）≥，即ab≥，因此正确．故选：AD．12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段AB的中点M 且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N．则（）A．|PM|＝|NQ|B．若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2C．若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|PQ|＞|OQ|D．若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|NQ|＞|OQ|解：抛物线的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），k＞0，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则x1+x2＝2+，x1x2＝1，∴x M＝＝1+，y M＝k（x M﹣1）＝，直线MN的方程为y＝，∵O，P，A共线，∴＝，x P＝＝＝＝，同理x Q＝，x P+x Q＝＝＝，x M+x N＝1+﹣1＝＝x P+x Q，∴x M﹣x P＝x Q﹣x N，即|MP|＝|NQ|，A正确；若P，Q是线段MN的三等分点，则|PQ|＝|MN|，＝（1++1）＝（2+），y1﹣y2＝，又y1+y2＝2y M＝，y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2（x1x2﹣x1﹣x2+1）＝﹣4，∴y1﹣y2＝＝，∴＝，解得k＝2，（∵k＞0），B正确；由k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，得x＝，x2＝，∴y2＝k（x2﹣1）＝，x Q＝＝，又y Q＝y M＝，∴|OQ|＝＝，|PQ|＝＝，∴|OQ|2﹣|PQ|2＝＝，当k＞2时，|OQ|＞|PQ|，C错误；由图可知|NQ|≤1，而|OQ|≥y Q＝，只要0＜k＜2，就有|OQ|＞1＞|NQ|，D错误，故选：AB．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知二项式（3﹣）n的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是1215．解：∵二项式（3﹣）n的展开式中，所有项的系数之和为2n＝64，∴n＝6．∴它的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•36﹣r•，令3﹣＝0，可得r＝2，故二项式（3﹣）n的展开式的常数项为•34＝1215，故答案为：1215．14．如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°．定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB＝θ．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为．解：由题意可知将“直接监测覆盖区域”面积转化为三角形△ABC和三角形△AOB的面积之和，×OA×OB×sinθ＝10000sinθ；在三角形△AOB中，AB2＝OB2+OA2﹣2OB×OA×cosθ＝50000﹣40000cosθ，三角形△ABC为等腰直角三角形，∴＝25000﹣20000cosθ，所以“直接监管覆盖区域”面积为s△AOB+s△ABC＝25000+10000sinθ﹣20000cosθ＝25000+10000sin（θ﹣α），其中tanα＝2，当sin（θ﹣α）＝1时，面积取得最大值为25000+10000，故答案为：25000+10000．15．已知直线y＝kx是曲线y＝e x的切线，也是曲线y＝lnx+m的切线，则实数k＝e，实数m＝2．解：对于y＝e x，设切点为（n，e n），因为y′＝e x，故切线斜率k＝e n，故切线方程为y﹣e n＝e n（x﹣n），由已知得切线过（0，0），所以﹣e n＝e n（﹣n），故n＝1，所以k＝e．对于y＝lnx+m，设切点为（c，lnc+m），所以，因为切线为y＝ex，得，所以，所以切点为（），代入y＝lnx+m得，所以m＝2．故答案为：e；2．16．已知函数，x∈R，若使关于θ的不等式f（2sinθ⋅cosθ）+f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＜2成立，则实数m的范围为m＞2．解：令g（x）＝，则g（﹣x）＝，而g（x）+g（﹣x）＝＝0，所以g（x）是奇函数，而在R上单调递增，在R上单调递增，所以g（x）是在R上的单调递增函数且为奇函数，而f（2sinθ⋅cosθ）+f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＜2可变形成f（2sinθ⋅cosθ）﹣1＜1﹣f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m），即g（2sinθ⋅cosθ）＜﹣g（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＝g（2sinθ+2cosθ+m﹣4），由g（x）是在R上的单调递增函数，则使关于θ的不等式2sinθ⋅cosθ＜2sinθ+2cosθ+m﹣4成立，即﹣m＜2（sinθ+cosθ）﹣2sinθ⋅cosθ﹣4，设t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），，则t∈，2sinθ⋅cosθ＝t2﹣1，令h（t）＝2t﹣（t2﹣1）﹣4＝﹣t2+2t﹣3＝﹣（t﹣1）2﹣2，t∈，则h（t）的最大值为﹣2，所以﹣m＜﹣2即m＞2．综上所述：实数m的范围为m＞2．故答案为：m＞2．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为．（1）若{a n}为等差数列，S11＝165，a3+a8＝28，求{a n}的通项公式；（2）若数列{S n}满足，求S n．【解答】（1）由题意可设等差数列的公差为d，则，解得，∴a n＝2n+3；（2）当n＝1时，，∴a1＝S1＝16，当①﹣②得，，∴，当n＝1时，S1＝16不适合上式，∴．18．在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．（1）若∠ABD＝，求BC的长；（2）若AC＝3，求cos∠BAD．解：（1）在△ABD中，由余弦定理知，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD，∴8＝16+BD2﹣2•4•BD•cos，化简得BD2﹣4BD+8＝0，解得BD＝2，∵E是BD的中点，∴BE＝BD＝，在△ABE中，由余弦定理知，AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cos∠ABD＝16+2﹣2×4××＝10，∴AE＝，∵＝2，∴AC＝AE＝，由余弦定理知，cos∠BAC＝＝＝，在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC＝16+﹣2×4××＝，∴BC＝．（2）∵AC＝3，＝2，∴AE＝2，∵∠AEB+∠AED＝π，∴cos∠AEB＝﹣∠AED，设BE＝DE＝x，则＝﹣，即＝﹣，解得x＝2，∴BD＝2BE＝4，在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BAD＝＝＝﹣．19．近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务均为好评的有80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望．参考公式：独立性检验统计量K2＝，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（1）由题意可知关于服务与评价的2×2列联表对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意602080合计14060200K2＝＝1.587＜2.706,所以不可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0,1,2,3,4，P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝．故X的分布列为：X01234P由于X~B(4,),∴E(X)＝4×＝．20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，∠ASD ＝90°，且SC＝2．（1）证明：平面SAD⊥平面ABCD；（2）当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，求二面角B﹣SC﹣D的余弦值．解：（1）证明：如图，取AD的中点O，连接SO、CO、AC，∵∠ADC＝∠ABC＝60°，且AD＝DC，又AD＝CD＝2，则△ACD为正三角形，∴CO⊥AD，CO＝，又∵∠ASD＝90°，∴△ASD为直角三角形，∴SO＝＝1，在△ACS中，CO2+SO2＝SC2，则CO⊥SO，又AD∩SO＝O，AD、SO⊂平面ADS，∴CO⊥平面ADS，又∵CO⊂平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD．（2）∵∠ASD＝90°，则点S在以AD为直径的圆上，且SO＝1，设点S到平面ABCD的距离为d，∴V S﹣ABCD＝，而S矩形ABCD＝2××2×2×sin60°＝2，∴当d取最大值时四棱锥S﹣ABCD的体积最大，此时SO⊥平面ABCD，又由（1）可知CO⊥AD，如图建系，则B（），S（0，0，1），C（，0，0），D（0，1，0），则＝（﹣，2，1），＝（，0，﹣1），＝（0，1，﹣1），设平面SBC的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，则＝（1，0，），设平面SCD的法向量为＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，），则cos＜＞＝＝＝，设二面角B﹣SC﹣D的平面角为θ，经观察θ为钝角，则cosθ＝﹣＝﹣，故二面角B﹣SC﹣D的余弦值为﹣．21．已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q，求证：△BPQ为等腰三角形．解：（1）根据题意可得，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）证明：设直线A2M的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0且k≠±），直线A1B的方程为y＝x+1，联立，解得P（，），联立，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4＝0，所以2x M＝，则x M＝，y M＝，即M（，），所以k＝＝，于是直线A1M的方程为y＝﹣（x+2），直线A2B的方程为y＝﹣x+1，联立，解得Q（，），于是x P＝x Q，所以PQ⊥x轴，设PQ的中点为N，则点N的纵坐标为＝1，所以PQ的中点在定直线y＝1上，所以点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|＝|BQ|．所以△BPQ为等腰三角形．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1，g（x）＝kx2．（1）当a＞0时，求f（x）的值域；（2）令a＝1，当x∈（0，+∞）时，恒成立，求k的取值范围．解：（1）函数f（x）＝e x﹣ax﹣1，所以f'（x）＝e x﹣a，令f'（x）＝0，解得x＝lna，所以f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在区间[lna，+∞）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（lna）＝e lna﹣alna﹣1＝a﹣alna﹣1，故函数f（x）的值域为[a﹣alna﹣1，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝e x﹣x﹣1，不等式可变形为[f（x）+x]ln（x+1）≥kx2（x＞0），即（e x﹣1）ln （x+1）≥kx2，所以，因为对x∈（0，+∞）恒成立，所以对x∈（0，+∞）恒成立，令，则，令n（x）＝（x﹣1）e x+1，则n'（x）＝xe x，因为x＞0，所以n'（x）＞0，故n（x）在（0，+∞）上单调递增，所以n（x）＞n（0）＝0，故m'（x）＞0，所以m（x）在（0，+∞）上单调递增，则m（x）＞0（x＞0），又由（1）可知，当a＝1，且x＞0时，f（x）＝e x﹣x﹣1的值域为（0，+∞），即f（x）＝e x﹣x﹣1＞0，所以e x＞x+1恒成立，即x＞ln（x+1），所以m（x）＞m（ln（x+1）），即，又对x∈（0，+∞）恒成立，所以k≤1，故实数k的取值范围为（﹣∞，1]．。
山东省东营市2021届新高考数学五模考试卷含解析
山东省东营市2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}21|A x log x =<，集合{}|2B y y x ==-，则A B =U （ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】 【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞U ．故选D ． 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 2．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-U 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A.故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.3．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x = A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证. 【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）； ③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）. 故选：B. 【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题. 4．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i - B ．33i +C ．13i +D ．13i -【答案】D 【解析】 【分析】直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.5．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限. 故选:B 【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力. 6．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．236【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因此，()()11517222266362E X a E X E X⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．7．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为m 的取值为 A ．9-或11B ．7-或11C ．7-D ．9-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】圆22(1)(1)25x y -+-=的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线l 的距离d ，结合弦长公式得=9m =-或11m =，故选A ． 8．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B 【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心(11)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心(45)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+;(45)F ，关于x 轴的对称点(45)F '-，，5PF PE PF PE EF -='-≤'==，故4PF PE -+的最大值为549+=，故选B ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值．9．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．1【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，55S =，3531m S =，求m 的值．因为()51512512a S -==-，解得1531a =，()51235311231m mS -==-，解得3m =．故选B ． 【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 10．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A ．2B ．3C ．1D ．6【答案】B 【解析】 【分析】首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长． 【详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为2221113l =++ 故选：B ． 【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．11．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C 【解析】 【分析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径225AC =AB +BC ，且2PB =. 所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．已知f(x)=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f(x-3)<f(9-x 2)的解集为（ ）A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为()1x x e f x ea-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，即()12111x x xe f x e e -==-++， 易知()f x 在R 上为增函数. 又()()239f x f x -<-，所以239x x-<-，解得43x -<<.故选：C. 【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届山东省东营市第一中学高三下学期第三次质量检测数学试题(解析版)
东营一中2021年高三第二学期第三次质量检测数学试题
一、单项选择题
1.已知集合1|244x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，1|lg 10B y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭,，则A B =（ ）
A. []22-,
B. (1,)+∞
C. (]1,2-
D. (](1)2-∞-⋃+∞,, 【答案】C
【解析】
【分析】 先解得不等式1244x ≤≤及110
x >时函数lg y x =的值域,再根据交集的定义求解即可. 【详解】由题,不等式
1244x ≤≤,解得22x -≤≤,即{}|22A x x =-≤≤； 因为函数lg y x =单调递增,且110
x >
,所以1y >-,即{}|1B y y =>-, 则(]1,2A B ⋂=-,
故选:C 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解指数不等式,考查对数函数的值域. 2.设i 是虚数单位，若复数5i 2i ()a a +
∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A. 3-
B. 3
C. 1
D. 1- 【答案】D
【解析】
【分析】 整理复数为b ci +的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.
【详解】由题,()()()()5252112222i i i a a a i a i i i i -+
=+=++=++++-, 因纯虚数,所以10a +=,则1a =-,
故选:D
【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.
3.“2a <”是“10,x a x x ∀>≤+
”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件。
山东省东营市2021届新高考数学第四次押题试卷含解析
山东省东营市2021届新高考数学第四次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为21()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为113b -≤,进而得出结论. 【详解】由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,所以X 的方差()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++ ()2a c a c =--++()2211a b b =--++- 21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12ba -=时,()D X 取最大值1b -, 又()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-成立,所以1 13b-≤,解得23b≥,故选:D.【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.2．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方()*3,n n≥∈N”是由前2n 个正整数组成的—个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）A．75 B．65 C．55 D．45【答案】B【解析】【分析】计算1225+++L的和，然后除以5，得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为12525122526555+⨯+++==L，故选B.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前n项和公式，属于基础题.3．已知实数x、y满足不等式组210210x yx yy-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y=-+的最大值为（）A．3B．2C．32-D．2-【答案】A【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时， 此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -，所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．4．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =C ．2y x =D ．y x =±【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ，从而解得渐近线方程.【详解】 如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ， 故渐近线方程为3y x =±， 故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=o是解题的关键，属于中档题.5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积. 【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4， 故()16444433V =⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题. 6．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 【答案】B 【解析】 【分析】 易得2i1iz +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） A ．65,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B ．665,533⎛⎛--⎝⎭⎝U C ．65⎝D ．665,5⎛- ⎝⎭⎝U【答案】D 【解析】 【分析】设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212860k x kx +++=，Q ()226424120k k ∆=-+>，∴解得k >或k <，∴122812k x x k +=-+，122612x x k =+， Q 02POQ π<∠<，∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r()()21212124kx x k x x =++++()222222611610240121212k k k k k k+-=-+=>+++， ∴解得k <<∴直线l 的斜率k的取值范围为22k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．8．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.35【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率． 【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的车辆数为：0.31000300⨯=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确. ③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误. 故选：B 【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想. 10．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B 【解析】 【分析】化简到()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案.【详解】22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝⎭，故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误； 当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确；当4πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误.平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.11．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，可得1551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与11,2对比，即可求出结论.【详解】由题知105441551,1log log 22a b =>=>=>=，51log 2log 2c =<=，则a b c >>. 故选:A. 【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..12．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πBC ．12πD ．24π【答案】C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，22PB =Q 211822AO PA x ∴==+ 122AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=， 即222211822x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()()2221122422322x AO +=+==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C . 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省东营市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
山东省东营市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】 根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】∵当函数()()2231a f x b b x =--为幂函数时，22311b b --=， 解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231a f x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.2．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．5C ．5D ．5【答案】C【解析】【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t 的范围求得|AB|的最大值．【详解】 解：设直线l 的方程为y ＝x+t ，代入24x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx+t 2﹣1＝0， 由题意得△＝（2t ）2﹣1（t 2﹣1）＞0，即t 2＜1．弦长|AB|＝．故选：C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．3．已知函数3sin ()(1)()x x x x f x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】【分析】根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值.【详解】依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x x y e e -=+为偶函数，所以()()()1g x x m x =+-为偶函数，故()()0g x g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.故选：B【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.4．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ）A ．33i -B ．33i +C ．13i +D ．13i -【答案】D【解析】【分析】直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果【详解】∵21()()13z i i i =++=+∴其共轭复数为13i -.故选：D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -【答案】B【解析】【分析】【详解】 因为1i 2i 13i z =--=-，所以z 的虚部是3-.故选B ．6．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm【答案】B【解析】【分析】 »AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB 所在圆的半径为r ，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解.【详解】如图所示，»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，则643258AB cm =⨯=15CD cm =设弧AB 所在圆的半径为r ，则222()r r CD AC =-+解得562r cm ≈129sin 0.23562AOD ∠=≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈于是0.46AOB ∠≈，»AB 长5620.46258.5≈⨯≈所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能，因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526x x π≈⇒< 所以弧长5622946π<⨯≈.故选：B【点睛】 本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.7．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85B ．852C ．35D ．352【答案】B【解析】【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式，求得1,a d ，由此求得10S .【详解】 设公差为d ，则11522234a d a d ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，所以322d =，34d =，178a =，101138510109242S a =+⨯⨯⨯=. 故选：B【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和的计算，属于基础题.8．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．163,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,4【解析】【分析】令()f x t =，则2230t at a -+=，由图象分析可知2230t at a -+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.【详解】令()f x t =，则2230t at a -+=，如图y t =与()y f x =顶多只有3个不同交点，要使关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则2230t at a -+=有两个不同的根12,(2,4]t t ∈，设2()23g t t at a =-+由根的分布可知， 24120(2,4)(2)0(4)0a a a g g ⎧∆=->⎪∈⎪⎨>⎪⎪≥⎩，解得1635a <≤. 故选：B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.9．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况， 此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法；故选：C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠ 【答案】B【解析】【分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值.【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d .所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.以下命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】【分析】先判断命题,p q 的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.【详解】 1log log b a a b =，1log log c a a c =，因为1a >，1b c >>，所以0log log a a c b <<，所以11log log a a c b>，即命题p 为真命题；画出函数2x y =和3log y x =图象，知命题q 为假命题,所以()p q ∧⌝为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题,p q 的真假,难度较易.12．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A ．25B ．5C 5D ．25- 【答案】A【解析】【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβo =+，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β==+ 依题有OA OB ⊥,则90αβo =+， 所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A【点睛】 本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省东营市2021届新高考数学二模试卷含解析
山东省东营市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ） A ．()0,2 B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21xf x x =+-.分析知，函数()f x 在R上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.2．已知函数2()e (2)e x x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ） A ．1 B ．12或0 C ．1或0 D ．2或0【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=，令1()ln 1g t t t=-+，利用导数求其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【详解】 解：∵2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），∴()()2()2e(2)e 1e 12e 1xx x x f x t t t '=+--=-+，∴当0t >时，由()0f x '=得ln x t =-，则()f x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增， 所以(ln )f t -是极小值，∴只需(ln )0f t -=， 即1ln 10t t -+=.令1()ln 1g t t t =-+，则211()0g t t t'=+>，∴函数()g t 在(0,)+∞上单调递增.∵(1)0g =，∴1t =；当0t =时，()2e x f x x =--，函数()f x 在R 上单调递减，∵(1)2e 10f =--<，2(2)22e 0f --=->，函数()f x 在R 上有且只有一个零点，∴t 的值是1或0. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.3．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ； 若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.4．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A 【解析】 【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 5．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1 B ．2C ．3D ．5【答案】D 【解析】()12,2,2x x i i y i xi y i y =-⎧+=-∴-+=-∴⎨=-⎩Q ，则12 5.x yi i -=-+= 故选D.6．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．32【答案】A 【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A.7．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.8．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．2C ．23D ．163【答案】C 【解析】 【分析】过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ，当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得EF PC ⊥，再由2112PCE S PC EF PE =⋅=-V PE 的最大值即可.【详解】在BPD △和BCD V 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以BPD BCD V V ≌，则PBD CBD ∠=∠，过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE V V ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PE CE E =I ，所以BD ⊥平面PCE ， 所以1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ，当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥， 所以2112PCE S PC EF PE =⋅=-V ， 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=， 所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8223⨯1623=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．66C ．34D 3【答案】B 【解析】 【分析】设1AA c=u u u v v，AB a =u u u vv，AC b =u u u v v，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c=u u u v v，AB a =u u u vv，AC b =u u u v v由题意得：12a b⋅=vv，12b c⋅=v v，12a c⋅=v v1AB a c=+u u u v v vQ，11BC BC BB b a c=+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v vv v v v v v v v v v v v又()222123AB a c a a c c=+=+⋅+=u u u v v v v v v v()222212222BC b a c b a c a b b c a c=-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u v v v v vv v v v v v v v1111116cos,66AB BCAB BCAB BC⋅∴<>===⋅u u u v u u u u vu u u v u u u u vu u u v u u u u v即异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为：6本题正确选项：B【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.10．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB AC、，已知以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，记ABCα∠=，则2cos sin2αα+=（）A．35B．45C．1 D．85【答案】D【解析】【分析】根据以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比求得12ACAB=，即tanα的值，由此求得sinα和cosα的值，进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，所以12ACAB=，即1tan2α=，所以sin ,cos 55αα==，所以2cos sin 2αα+=4825555+⨯⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 11．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．12．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年山东省新高考质量测评联盟高考数学联考试卷(2021.04)(解析版)
2021年山东省新高考质量测评联盟高考数学联考试卷（4月份）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣2|≤1}，B＝{y|y＝x2﹣2}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]∪[3，+∞）C．[﹣2，1）∪（3，+∞）D．[﹣2，1]∪（3，+∞）2．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则z＝（）A．0B．i C．1+i D．1﹣i3．如图，两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为（）A．B．C．D．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中正确的命题是（）A．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．抛物线y＝2x2的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|＝（）A．4B．1C．D．7．五声音阶，古代文献酒常称为“五声”、“五音”等，是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫、商、角、徵（zhi）、羽．如按音高顺序排列，即为：12356宫商角徵羽．中国传统乐学理论对“音阶”这个现代概念，常分别从“音”、“律”、“声”等不同角度揭示其内涵，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，可排成不同音序的种数为（）A．20B．28C．32D．408．已知数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），S n为数列{b n}的前n项和，则S100＝（）A．472B．480C．580D．769二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若a＞b＞0，且ab＝1，则（）A．a＞b+1B．C．（）a＞（）b D．log2（a+b）＞110．如图．统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（）A．这五年基础研究经费支出与年份线性相关B．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变C．这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高D．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关11．已知f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．关于x的方程f（x）＝（）n（n∈N*）有2n+2个不相等的实数根B．y＝f（x）与g（x）＝3x的图象上存在2对关于直线y＝x的对称点C．∀x∈[1，8]，有xf（x）≤3恒成立D．当x∈[2n﹣1，2n]，n∈N*，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积S＝112．已知双曲线方程为＝1，A为双曲线右支上任意一点，F1，F2为左、右焦点，△AF1F2的内切圆圆心为I，⊙I与x轴切于点N，线段AI的延长线与x轴交于点M（x0，0）．则以下结论正确的有（）A．|F1N|﹣|F2N|为定值B．I的横坐标为定值C．x0的范围是（0，3）D．⊙I半径的最大值为4三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，则f（）＝．14．平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．且|﹣﹣|＝2，则||的最大值为．15．若对于任意实数m，函数f（x）＝ωx+cosωx．在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，则ω的最小正整数值为．16．在三棱锥V﹣ABC中．△ABC是边长为6的正三角形．VA＝VB＝VC＝2，其内有n个小球，球O1与三梭锥V﹣ABC的四个面都相切，则球O1的半径为，球O2与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O1都相切，以此类推，……，球O n与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O n﹣1（n≥2，n∈N*）都相切，则球O n 的表面积等于．四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，b＝c＝4且满足______．①a sin B＝b cos（A+），②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），③，在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答问题．（1）求角A；（2）点P为△ABC内一点，当∠BPC＝时，求△BPC面积的最大值．18．随着我国市场经济体制的逐步完善，顾客购买心理不断成熟，影响顾客购买的因素越来越多，创建﹣一个规范有序的市场环境，提高消费者满意度，有助于当地经济的发展.2020年，淄博市市场监督管理部门共受理消费者投诉、举报43548件，为消费者挽回经济损失9300.19万元，连续两年进人全国城市消费者满意度测评前100名淄博市某调查机构对2020年的每个月的满意度进行了实际调查，随机选取了几个月的满意度数据如图：月份x234567101125.23342393658.87278满意度y（%）参考数据：x i＝6，＝＝48，＝72，＝2598.48，＝414．（1）从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度y（%）关于月份x的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程y ＝中，＝＝，．19．已知数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n（n∈N*）．（1）求a1的值和{b n}的通项公式；（2）令c n＝2n+1﹣a n ，求．20．已知四边形ABCD，∠BAC＝∠ADC＝90°，DC＝DA ＝AB，将△ADC沿AC翻折至△PAC．（1）若PA＝PB，求证PA⊥BC；（2）若二面角P﹣AC﹣B为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．21．在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）点P为直线x＝3上一动点，过P点作曲线E的切线，切点为Q，线段PQ的中点为N，问是否存在定点T，满足|PQ|＝2|NT|？若存在求出定点T的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝+ax+a2lnx（a∈R）f'（x）是f（x）的导函数．（1）若a＞0，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y＝x+b，求a，b的值；（2）设g（x）＝xf'（x）﹣e x，若g（x）≤0，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣2|≤1}，B＝{y|y＝x2﹣2}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]∪[3，+∞）C．[﹣2，1）∪（3，+∞）D．[﹣2，1]∪（3，+∞）解：∵|x﹣2|≤1，∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}，∴∁R A＝{x|x＜1或x＞3}，∵y＝x2﹣2≥﹣2，∴B＝{y|y≥﹣2}，∴（∁R A）∩B＝[﹣2，1）∪（3，+∞），故选：C．2．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则z＝（）A．0B．i C．1+i D．1﹣i解：z＝1+i+i2+i3+…+i2021＝．故选：C．3．如图，两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为（）A．B．C．D．解：因为大轮有64齿，小轮有24齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度为2π×＝，故选：D．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中正确的命题是（）A．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n解：若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n⊥β，则m∥n，故A错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n∥β，可得α∥β或α与β相交，相交也不一定垂直，故C错误；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故D正确．故选：D．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．解：令f（x）＝0，解得，故函数f（x）的零点为，故选项B，D错误；因为，当x＜0时，f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，故选项C错误，选项A正确．故选：A．6．抛物线y＝2x2的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|＝（）A．4B．1C．D．解：抛物线y＝2x2的焦点F（0，），准线方程为y＝﹣，∴直线AB的方程为y＝x﹣，代入y＝2x2可得2x2﹣x+＝0∴x A+x B＝，y A＝x A﹣，y B＝x B﹣，所以y A+y B＝x A+x B﹣﹣＝﹣＝，由抛物线的定义可知，|AB|＝|AF|+|BF|＝y A+y B+p＝＝．故选：D．7．五声音阶，古代文献酒常称为“五声”、“五音”等，是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫、商、角、徵（zhi）、羽．如按音高顺序排列，即为：12356宫商角徵羽．中国传统乐学理论对“音阶”这个现代概念，常分别从“音”、“律”、“声”等不同角度揭示其内涵，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，可排成不同音序的种数为（）A．20B．28C．32D．40解：根据题意，分3步进行分析：①排好宫、羽、角三种音阶，要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，有2种情况，②排好后，有4个空位，将商安排到4个空位中，有4种情况，③排好后，有5个空位，将徵安排到5个空位中，有5种情况，则有2×4×5＝40种不同的顺序，故选：D．8．已知数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），S n为数列{b n}的前n项和，则S100＝（）A．472B．480C．580D．769解：数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，令m＝1，则a n+1＝a n+a1＝a n+2，故a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}为等差数列，故a n＝2+2（n﹣1）＝2n，由于b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），所以b1＝1，b2＝b3＝2，b4＝b5＝…＝b7＝3，b8＝b9＝…＝b15＝4，b16＝b17＝…＝b31＝5，b32＝b33＝…＝b63＝6，b64＝b65＝…＝b100＝7，故S100＝1+2×2+3×4+4×8+16×5+32×6+37×7＝580．故选：C．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若a＞b＞0，且ab＝1，则（）A．a＞b+1B．C．（）a＞（）b D．log2（a+b）＞1解：由于a＞b＞0，且ab＝1，则a＞1＞b＞0，对于A：，故确定不了与0的关系，故A错误；对于B：a2+1＞b2+1，故，故B正确；对于C：由于f（x）＝为减函数，故f（b）＞f（a），所以，故C错误；对于D：log2（a+b），故D正确；故选：BD．10．如图．统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（）A．这五年基础研究经费支出与年份线性相关B．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变C．这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高D．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关解：由条形图可知，五年基础研究经费随年份的增长而增长，呈线性相关，故选项A正确；由折线图可知，从2018～2019，2019～2020的折线的斜率反生变化，故年增长率发生变化，故选项B错误；由条形图对应的斜率以及折线图对应的斜率可知，基础研究经费支出的增长率大于发明专专利授权数的增长率，故选项C正确；由统计图可知，发明专利授权数与基础研究经费支出呈正相关，故选项D错误．故选：AC．11．已知f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．关于x的方程f（x）＝（）n（n∈N*）有2n+2个不相等的实数根B．y＝f（x）与g（x）＝3x的图象上存在2对关于直线y＝x的对称点C．∀x∈[1，8]，有xf（x）≤3恒成立D．当x∈[2n﹣1，2n]，n∈N*，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积S＝1解：当1时，f（x）＝2﹣（6﹣4x）＝4x﹣4，当时，f（x）＝2﹣（4x﹣6）＝8﹣4x，当2＜x＜3时，，f（）＝x﹣2，当3≤x≤4时，，f（）＝4﹣x，由此可知，当2n﹣1≤x≤3•2n﹣1时，f（x）＝24﹣2n（x﹣2n﹣1）；当3•2n﹣1＜x＜2n时，f（x）＝24﹣2n（2n﹣x）．对于A：f（x）与有2n+1个交点，A错误；对于B：作出g（x）关于直线y＝x对称的图像，即g（x）的反函数h（x）＝log3x，由图像可知，f（x）与h（x）有3个交点，即f（x）与g（x）有3对对称点，B错误；对于C：当1≤x≤8时，，C正确；对于D：当2n﹣1≤x≤2n时，函数f（x）与x轴围成的图形为三角形，底为2n﹣2n﹣1，高为，则S＝＝1，D正确．故选：CD．12．已知双曲线方程为＝1，A为双曲线右支上任意一点，F1，F2为左、右焦点，△AF1F2的内切圆圆心为I，⊙I与x轴切于点N，线段AI的延长线与x轴交于点M（x0，0）．则以下结论正确的有（）A．|F1N|﹣|F2N|为定值B．I的横坐标为定值C．x0的范围是（0，3）D．⊙I半径的最大值为4解：双曲线方程为＝1的a＝3，b＝4，c＝5，⊙I与x轴切于点N，与AF1切于点P，与AF2切于点T，因为I的横坐标与N的横坐标相等，设I（x N，r），由切线长相等，可得|PF1|＝|NF1|，|PA|＝|TA|，|TF2|＝|NF2|，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，即有|NF1|﹣|NF2|＝2a，又|NF1|+|NF2|＝2c，解得|NF2|＝c﹣a，可得|ON|＝a，则A，B都正确；由内角平分线的性质定理可得＝＝，即有|AF2|＝3（﹣1）＞c﹣a＝2，解得0＜x＜X0＜3，故C正确；可设A（m，n），m，n＞0，△AF1F2的内切圆的半径为r，则﹣＝1，①又S＝•2c•n＝r（2c+|AF1|+|AF2|），即为5n＝r（5+3+|AF2|）＝r（8+em﹣a）＝r（5+m），化为n＝r（1+m），若r＝4，则n＝4（1+m），②联立①②，可得方程组无解．故D错误．故选：ABC．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，则f（）＝．解：已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，函数f（x）的定义域为R，f′（x）＝cos x﹣2f'（）sin x，所以f′（）＝cos﹣2f'（）sin，解得f′（）＝，所以f（）＝sin+2f'（）cos＝，故答案为：．14．平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．且|﹣﹣|＝2，则||的最大值为7．解：∵平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．故可建立如图所示的坐标系，则A（3，0），B（0，4），设C（x，y），因为|﹣﹣|＝2，∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，即表示以D（3，4）为圆心，2为半径的圆上的点，因为OD＝＝5，故||的最大值为：5+2＝7，故答案为：7．15．若对于任意实数m，函数f（x）＝ωx+cosωx．在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，则ω的最小正整数值为10．解：f（x）＝ωx+cos x＝2sin（ωx+），因为f（x1）f（x2）＝4，则f（x1），f（x2）同时为函数的最小或同时为函数的最大值，因为f（x）在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，所以|x1﹣x2|≥T＝＝，故m+1﹣m×，所以ω≥3π，则ω的最小正整整数为10．故答案为：10．16．在三棱锥V﹣ABC中．△ABC是边长为6的正三角形．VA＝VB＝VC＝2，其内有n个小球，球O1与三梭锥V﹣ABC的四个面都相切，则球O1的半径为，球O2与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O1都相切，以此类推，……，球O n与三棱锥V﹣ABC 的三个面和球O n﹣1（n≥2，n∈N*）都相切，则球O n的表面积等于．解：如图，取O为三角形ABC的中心，M为AB的中点，连接OM，VM，则BM＝，OM＝，VM＝，∴VO＝，由对称性可知，球心O1在VO上，且O1O＝r1（r1为球O1的半径），作O1H⊥VM，则O1H＝r1，VO1＝4﹣r1，由Rt△VOM∽Rt△VHO1，可得，即，解得，则球O1的半径为；作球O1与底面ABC平行的切面A1B1C1，则球O2即为三棱锥V﹣A1B1C1的内切球，三棱锥V﹣A1B1C1的高，由V﹣A1B1C1与V﹣ABC相似，且长度相似比为，得，可得，则{r n}构成以为首项，以为公比的等比数列，∴，可得球O n的表面积为．故答案为：；．四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，b＝c＝4且满足______．①a sin B＝b cos（A+），②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），③，在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答问题．（1）求角A；（2）点P为△ABC内一点，当∠BPC＝时，求△BPC面积的最大值．解：选①a sin B＝b cos（A+），由正弦定理得sin A sin B＝sin B cos（A+），因为sin B≠0，所以sin A＝cos（A+）＝，即tan A＝，因为A∈（0，π），所以A＝；选②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），所以sin（A+B）﹣sin B＝sin（A﹣B），所以sin A cos B+sin B cos A﹣sin B＝sin A cos B﹣sin B cos A，即2sin B cos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以A＝；选③，由正弦定理得，整理得，2sin C cos A＝sin B cos A+sin A cos B＝sin（A+B）＝sin C，因为sin C≠0，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以A ＝；（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝16+16﹣2×＝32﹣16，△BPC中，由余弦定理得a2＝BP2+PC2﹣2BP•PC•cos＝BP2+PC2+BP•PC≥3BP•PC，当且仅当BP＝CP时取等号，所以BP•PC，S△BPC ＝＝，△BPC 面积的最大值．18．随着我国市场经济体制的逐步完善，顾客购买心理不断成熟，影响顾客购买的因素越来越多，创建﹣一个规范有序的市场环境，提高消费者满意度，有助于当地经济的发展.2020年，淄博市市场监督管理部门共受理消费者投诉、举报43548件，为消费者挽回经济损失9300.19万元，连续两年进人全国城市消费者满意度测评前100名淄博市某调查机构对2020年的每个月的满意度进行了实际调查，随机选取了几个月的满意度数据如图：月份x234567101125.23342393658.87278满意度y（%）参考数据：x i＝6，＝＝48，＝72，＝2598.48，＝414．（1）从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度y（%）关于月份x的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程y ＝中，＝＝，．解：（1）由题意可知，满意度小于35%的有2个月，不小于35%的由6个月，所以ξ的可能取值为1，2，3，故P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以ξ的分布列为：ξ123P故ξ的数学期望为E（ξ）＝1×+2×+3×＝；（2）去掉6月份的数据后可得新数据表如下；月份x234571011满意度y（%）25.233423958.87278则，，，，所以＝＝，所以＝49.714﹣5.75×6＝15.21，故剩下的数据所求出的线性回归方程为y＝5.75x+15.21；19．已知数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n（n∈N*）．（1）求a1的值和{b n}的通项公式；（2）令c n＝2n+1﹣a n，求．解：（1）数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n①．当n＝1时，整理得，解得a1＝1．当n≥2时，4T n﹣1＝a n﹣12+（2n﹣1+2）a n﹣1+4n﹣2+2n﹣1②，①﹣②得：2（b n+b n﹣1）＝（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1），由于a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，所以b n+b n﹣1＞0，整理得b n﹣b n﹣1＝2（常数），由于b1＝1+1＝2，故b n＝2+2（n﹣1）＝2n，所以．（2）由（1）得：c n＝2n+1﹣a n＝2n﹣1+1，所以＝，故＝．20．已知四边形ABCD，∠BAC＝∠ADC＝90°，DC＝DA＝AB，将△ADC沿AC翻折至△PAC．（1）若PA＝PB，求证PA⊥BC；（2）若二面角P﹣AC﹣B为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为DC＝DA＝AB，PA＝PB，所以PB＝PA＝DA＝AB，在△PAB中，有，所以PA⊥PB，又∠ADC＝90°，即∠APC＝90°，所以PA⊥PC，因为PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC；（2）解：取AC的中点E，BC的中点F，连结EF，PE，则EF∥AB，因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC，所以EF⊥AC，因为DC＝DA，即PC＝PA，所以PE⊥AC，所以∠PEF为二面角P﹣AC﹣B的平面角，∠PEF＝，设DC＝DA＝AB＝，则，PE＝，以点E为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面PBC的一个法向量为，则，即，令x＝1，则y＝0，，故，所以＝，故直线BC与平面PAB所成角的正弦值为．21．在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）点P为直线x＝3上一动点，过P点作曲线E的切线，切点为Q，线段PQ的中点为N，问是否存在定点T，满足|PQ|＝2|NT|？若存在求出定点T的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设M（x，y），因为动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍，所以，化简整理可得，，故动点M的轨迹E的方程为；（2）由题意可知，直线PQ的斜率一定存在，设其方程为y＝kx+m，则点P（3，3k+m），联立直线PQ与椭圆E可得，则（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0，所以，求解可得，所以，椭圆右焦点F2（2，0），所以，，所以，所以QF2⊥PF2，因为N是PQ的中点，所以|QP|＝2|NF2|，所以存在定点T（2，0），满足|PQ|＝2|NT|．22．已知函数f（x）＝+ax+a2lnx（a∈R）f'（x）是f（x）的导函数．（1）若a＞0，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y＝x+b，求a，b的值；（2）设g（x）＝xf'（x）﹣e x，若g（x）≤0，求实数a的取值范围．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝x+a+，所以f′（1）＝+a+＝，解得a＝2或a＝﹣4（舍），所以f（1）＝，所以切点坐标为（1，），代入切线方程得b＝﹣，所以a＝2，b＝﹣．（2）g（x）＝x2+ax+﹣e x，x∈（0，+∞），所以g′（x）＝x+a﹣e x，设h（x）＝x+a﹣e x，x∈（0，+∞），所以h′（x）＝1﹣e x＜0，所以g′（x）在（0，+∞）上是减函数，且g′（x）＜g′（0）＝a﹣1，①当a﹣1≤0时，即a≤1时，g′（x）＜g′（0）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，所以g（x）＜g（0）＝﹣1≤0，解得﹣≤a≤，所以﹣≤a≤1．②当a﹣1＞0时，即a＞1时，g′（0）＝a﹣1＞0，g′（ln2a）＝ln2a﹣a，设m（a）＝ln2a﹣a，所以m′（a）＝﹣1＝＜0，所以m（a）在（1，+∞）上是减函数，所以g′（ln2a）＝ln2a﹣a＜m（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在唯一x0∈（0，ln2a）满足g′（x0）＝0，即x0+a﹣＝0，所以当x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（x0，ln2a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（x0）＝x02+ax0+﹣＝（x0+a）2﹣＝﹣≤0，解得0＜≤2，所以0＜x0≤ln2，因为a＝﹣x0且0＜x0≤ln2，设φ（x）＝e x﹣x，x∈（0，ln2]，所以φ′（x）＝e x﹣1＞0，所以φ（x）在（0，ln2]上是增函数，因为φ（0）＝0，φ（ln2）＝2﹣ln2，所以1＜a≤2﹣ln2，综上所述，实数a的取值范围是[﹣，2﹣ln2]．。
2021-2021年高中数学山东高考检测试卷[43]含答案考点及解析
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2021-2021年高中数学山东高考检测试卷[43]含答案考点及解析 2021-2021年高中数学山东高考检测试卷【43】含答案考点及解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________题号一二得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人三总分得分一、选择题1.下列函数中,与函数y=A．f(x)=lnx C．f(x)=|x| 【答案】A 【解析】由y=x有相同定义域的是( )B．f(x)= D．f(x)=ex可得定义域是x>0,f(x)=lnx的定义域x>0;f(x)=的定义域是x≠0;f(x)=|x|的定义域是x∈R;f(x)=e定义域是x∈R.故选A.2.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )．【答案】C【解析】空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长相等”，故正视图的底面边长为2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可能是C.3.已知两个正数，的等差中项是，一个等比中项是点坐标为（） A．，且，则抛物线的焦B．C．D．【答案】B 【解析】试题分析：依题意，点的坐标为，选B.，解得，，∴抛物线方程为，，∴其焦考点：等差中项，等比中项，抛物线的性质.4.如图，将一个正三棱柱截去一个三棱锥，得到几何体，则该几何体的主视图是( )A． B． C． D．【答案】C 【解析】试题分析：根据主视图的概念，从前面看CF的投影为面DEB的中线，∴主视图为选项C中的图，故选C考点：本题考查了三视图的运用点评：熟练掌握三视图的概念是解决此类问题的关键，属基础题 5.“是假命题”是“为真命题”的B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件A．充分而不必要条件 C．充要条件【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，由于“是假命题，则说明p,q都是假命题，而结论中“题”说明而来p为假命题，则可以条件能推出结论，反之，不一定成立，故选A. 考点：命题的真值判定点评：解决该试题的关键是对于复合命题的真值的判定和运用。
2021山东新高考Ⅰ卷数学真题及答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}2.已知z=2-i，则(z(z⃗+i)=A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A.2B.2√2C.4D.4√24.下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是A.(0,π2) B.(π2,π) C.(π,3π2) D.(3π2,2 π)5.已知F1,F2是椭圆C：x 29+y24=1的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13B.12C.9D.66.若tanθ=-2,则sinθ൫1+sin2θ൯sinθ+cosθ=A.−65B. −25C.25D. 657.若过点（a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则 A. e b<a B. e a <b C. 0<a<e bD. 0<b<e a8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
精品解析：2021年山东省高考数学试卷(新高考全国Ⅰ卷)(解析版) (2)
普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A. {x|2<x≤3}B. {x|2≤x≤3}C. {x|1≤x<4}D. {x|1<x<4}【答案】C【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.2.（）A. 1B. −1C. iD. −i【答案】D【解析】【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种【答案】C【解析】【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA 垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°【答案】B【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%【答案】C【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A. 1.2天 B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.【详解】因，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范用是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知曲线.（）A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D. 若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10.下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（）A. 若n=1，则H(X)=0B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大C. 若，则H(X)随着n的增大而增大D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y) 【答案】AC【解析】【分析】对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，所以，当时，，当时，，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________．【答案】【解析】【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A 是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】【解析】【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设，由题意，，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，，，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.16.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．【答案】.【解析】【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分。
山东省东营市2021届新高考数学二模考试卷含解析
山东省东营市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米 D ．600米【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.2．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r （O 为坐标原点），且123PF =u u u v u u u v，则双曲线的离心率为（）A ．212+ B ．21+C ．312+ D ．31+【答案】D 【解析】 【分析】利用向量运算可得220OA F P ⋅=u u u v u u u u v，即2OA F P ⊥u u u r u u u u r ，由OA 为12PF F ∆的中位线，得到12PF PF ⊥，所以()222122PF PF c +=，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取2PF 的中点A ，则由()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r 得220OA F P ⋅=u u u v u u u u v，即2OA F P ⊥u u u r u u u u r ；在12PF F ∆中，OA 为12PF F ∆的中位线， 所以12PF PF ⊥， 所以()222122PF PF c +=；由双曲线定义知122PF PF a -=，且123PF PF =，所以()312c a -=，解得31e =+， 故选：D 【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.3．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的数据分析素养优于甲B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数据分析最差 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项. 【详解】根据雷达图得到如下数据：由数据可知选C. 【点睛】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.4．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行化简计算，得到答案. 【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题. 5．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定【答案】C 【解析】【分析】由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．【详解】解：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，则2()3cos022x f x x ππ'=+>， 即3()sin ,[1,1]2x f x x x π=+∈-为增函数， 又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin 22m nn m ππ-<-， 即33sin sin 22m n m n ππ+<+， 所以()()f m f n <， 所以m n <． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题． 6．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-【答案】B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.7．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,1--C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析可得函数()f x 的图象关于2x =对称且在[)2,+∞上为减函数，则不等式()()31f a f a ≤+等价于231a a -≥-，解得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】解:因为函数()2y f x =+为偶函数， 所以函数()f x 的图象关于2x =对称，因为()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞ ()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，所以函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，则()()()()312312231f a f a f a f a a a ≤+⇔-≤+-⇔-≥-， 解得：1324a -≤≤. 即实数a 的取值范围是13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.8．已知集合{}|124A x x =<≤，|B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =ð（ ） A ．{}5|x x ≥B ．{}|524x x <≤C ．{|1x x ≤或}5x ≥D ．{}|524x x ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得； 【详解】解：∵2650x x -+->，解得15x << ∴{}|15B x x =<<，∴{}|524A B x x =≤≤ð. 故选：D 【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.9．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB P ，BP OA P ，则DP =u u u v（ ）A ．2DA DC +u u u v u u u vB ．32DA DC +u u uv u u u vC ．2DA DC +u u u v u u u vD ．3122DA DC +u u uv u u u v【答案】D 【解析】 【分析】连接OP ，根据题目，证明出四边形APOD 为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案 【详解】连接OP ，由AP OB P ，BP OA P 知，四边形APBO 为平行四边形，可得四边形APOD 为平行四边形，所以1122 DPDA DO DA DA DC=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r3122DA DC=+u u u r u u u r.【点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题10．已知x，y满足条件0020x yy xx y k≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k为常数），若目标函数3z x y=+的最大值为9，则k=（）A．16-B．6-C．274-D．274【答案】B【解析】【分析】由目标函数3z x y=+的最大值为9，我们可以画出满足条件件0,0(20x yy x kx y k⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．【详解】画出x，y满足的0,0(20x yy x kx y k⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y=+的最大值为9，可得直线0y=与直线93x y=+的交点(3,0)B，使目标函数3z x y=+取得最大值，将3x=，0y=代入20x y k++=得：6k=-．故选：B．【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值． 11．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120C ．-15D ．15【答案】C 【解析】 【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．12．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】C 【解析】 【分析】求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为90︒.故选:C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b⋅=r rr r r r 进行计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省东营市2021届新高考数学模拟试题(2)含解析
山东省东营市2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．8 B．83C．822+D．842+【答案】D【解析】【分析】根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积．【详解】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2，所以1122222222284222S=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选：D【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题.2．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（）A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒【答案】D【解析】【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.3．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆2，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2CD ．3 【答案】B【解析】【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为b y x a =， 所以，00b y x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，12201223PF F S c y c b ∆=⋅⋅=⋅=，即3c =，即()22243c c a =-， 所以，双曲线的离心率为2e =.故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题.4．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 【答案】C【解析】【分析】()cos2f x x =，将2x 看成一个整体，结合cos y x =的对称性即可得到答案.【详解】由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈. 故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数cos x 的性质，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A【解析】【分析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可．【详解】结合题意，绘制图像要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以斜率为1041314k -==--，故选A ． 【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．6．已知直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．327 【答案】C【解析】【分析】根据()2222x y t t t R +=-∈表示圆和直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，得到403t ≤≤，再利用二次函数的性质求解. 【详解】因为()2222x y t t t R +=-∈表示圆，所以220->t t ，解得02t <<，因为直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，所以圆心到直线的距离d r ≤，即≤ 解得403t ≤≤， 此时403t ≤≤， 因为()()()224424=-=-+=--+f t t t t t t ，在40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增， 所以()4t t -的最大值34329⎛⎫= ⎪⎝⎭f . 故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ）A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --【答案】B【解析】【分析】 先根据复数的乘法计算出z ，然后再根据共轭复数的概念直接写出z 即可.【详解】由()()1213z i i i =++=+，所以其共轭复数13z i =-.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.8．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B【解析】【分析】 由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可.【详解】解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数.若输出16n = ，则()161mod3≡不符合题意，排除；若输出17n =，则()()172mod3,172mod5≡≡，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.9．已知0a >且1a ≠，函数()1log ,031,0a x x a x f x x ++>⎧=⎨-≤⎩，若()3f a =，则()f a -=（ ） A ．2B ．23C ．23-D ．89- 【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的解析式，知当0x ≤时，()131,x f x +=-且()3f x <，由于()3f a =，则()log 3a f a a a =+=，即可求出a .【详解】由题意知：当0x ≤时，()131,x f x +=-且()3f x <由于()3f a =，则可知：0a >，则()log 3a f a a a =+=，∴2a =，则2a -=-，则()()122313f a f --=-=-=-. 即()23f a -=-. 故选：C.【点睛】 本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.10．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-， B ．[42]-， C ．[0]2， D ．2[3]e -，【答案】B【解析】【分析】 由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【详解】由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-；当2[1,],[0,2]t e S ∈∈ 综上：[]42S ∈-，. 故选：B【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.11．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PABV 的面积为S ，则S AB -的最小值为( )A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427- 【答案】D【解析】【分析】设出,A B 坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求得P 到AB 的距离，得到PAB ∆的面积为S ，作差后利用导数求最值．【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --= 则124x x k +=，()21212242y y k x x k +=++=+ 则21244AB y y p k =++=+由24x y =，得24x y = 12y x ⇒'= 设()00,P x y ，则012x k = 02x k ⇒=，20y k = 则点P 到直线1y kx =+的距离1d =≥ 从而()21212S AB d k =⋅=+()()()22322141241S AB k k d d d -=++=-≥．令()3224f x x x =- ()()2681f x x x x ⇒-'=≥ 当413x ≤≤时，()0f x '<；当43x >时，()0f x '> 故()min 464327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，即S AB -的最小值为6427- 本题正确选项：D【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.12．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =u u u v u u u v ，且1OQ AB ⋅=u u u v u u u v ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>> D ．()223310,02x y x y +=>> 【答案】A【解析】【分析】 设,A B 坐标，根据向量坐标运算表示出2BP PA =u u u r u u u r，从而可利用,x y 表示出,a b ；由坐标运算表示出1OQ AB ⋅=u u u r u u u r ，代入,a b 整理可得所求的轨迹方程.【详解】设(),0A a ，()0,B b ，其中0a >，0b >2BP PA =u u u r u u u r Q ()(),2,x y b a x y ∴-=--，即()22x a x y b y ⎧=-⎨-=-⎩ 30230x a b y ⎧=>⎪∴⎨⎪=>⎩ ,P Q Q 关于y 轴对称 (),Q x y ∴-()(),,1OQ AB x y a b ax by ∴⋅=-⋅-=+=u u u r u u u r ()223310,02x y x y ∴+=>> 故选：A【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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山东省东营市2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足：()f x 的导函数存在，且()()f x x f x '<，则下列不等式成立的是（ ） A ．()()221f f < B ．()()3344ff <C ．()()2334f f <D ．()()3223f f <【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 是定义在()0,∞+上的增函数及()()f x f x '有意义可得()0f x '>，构建新函数()()f xg x x=，利用导数可得()g x 为()0,∞+上的增函数，从而可得正确的选项. 【详解】因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，故()0f x '≥.又()()f x f x '有意义，故()0f x '≠，故()0f x '>，所以()()f x f x x <'.令()()f xg x x =，则()()()20'-'=>xf x f x g x x， 故()g x 在()0,∞+上为增函数，所以()()32g g >即()()3232f f >， 整理得到()()2332f f >. 故选：D. 【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.2．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选B ．3．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π【答案】C 【解析】 【分析】 令()262x k k Z πππ-=+∈，求出在130,3⎡⎤π⎢⎥⎣⎦的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值.【详解】 令()262x k k Z πππ-=+∈，得()123x k k Z π=π+∈，即对称轴为()123x k k Z π=π+∈. 函数周期T π=，令113233k ππ+=π，可得8k =.则函数在130,3x ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：12312582322...2...26666n n x x x x x -ππππ⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2238100323+⨯ππ=⨯= 故选:C.本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式. 4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）【答案】B 【解析】，，∴．故选．5．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r，BM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设BD k BC =u u u r u u u r ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出BM u u u u r，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD =u u u u r u u u r()112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，1k k12λμ∴+=-.故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.6．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】 【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==. 由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩ ，得5sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5254sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.3A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()32122111111i i i ii i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.8．已知集合{(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数. 【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y 2y x =，2x =，整理得215x =，即x =±，当x =时，20y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解⎝⎭.故55A B ⎧⎫⎛⎪⎪⋂= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭.【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题. 9．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 10．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.11．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是 A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得1121AF BF p+==；再由基本不等式可求得4AF BF +的最小值． 【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l 过抛物线24y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知1121AF BF p+== 所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭ 441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭因为AF BF 、为线段长度，都大于0，由基本不等式可知4415BF AF AF BF ⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭522≥+⨯9≥，此时2BF AF =所以选B 【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题． 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9 B ．12C ．15-D ．18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。