2.2 命题与证明

第2章
三角形
【预习诊断】 (对的打“√”,错的打“×”) 1.原命题是真命题,那么它的逆命题也是真命题.( × ) 2.如果两个命题是互逆定理,那么这两个命题都是真命题.( √ )
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三角形
探究点断命题的真假.
(1)负数都小于零;
(2)过直线l外一点作l的平行线; (3)如果a>b,a>c,那么b=c. 【导学探究】 判断命题的关键是看它是否做出了 判断 . 解:(1)是命题,是真命题. (2)不是命题,没有对一件事情做出判断.
证明:如图, ∵∠BAF=∠2+∠3, ∠CBD= ∠1+∠3 ∠ACE=∠1+∠2, ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的 性质). ∵∠1+∠2+∠3=180°(
三角形内角和定理
,
),
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
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【测控导航表】 知识点 命题 互逆命题 几何命题的证明 题号 1 、2 、6 、8 3 、7 、9 4、5、10
(C)无理数包括正无理数、0、负无理数
(D)两点之间,线段最短 解析:A、B、D都是真命题,都正确,C.0不是无理数,所以该命题错误,故 选C.
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变式训练1-2:已知下列命题: ①若a>0,b>0,则a·b>0; ②若x≥1,则|x-1|=x-1;
③内错角相等;
④直角都相等. 其中原命题是真命题并且逆命题是假命题的是( A )
【导学探究】 1.要证明BD∥CE,需先证得∠3= 2.由∠1=∠2,可证得AD∥ BE 证明:∵∠1=∠2(已知), ∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行), ∴∠D=∠DBE(两直线平行,内错角相等). ∠DBE . ,进一步证明∠D= ∠DBE .
∵∠3=∠D(已知),
∴∠3=∠DBE(等量代换), ∴BD∥CE(内错角相等,两直线平行).
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2.2 命题与证明
一、命题 1.定义:对某一件事情作出 判断 的语句(陈述句)叫作命题. 2.结构与形式:命题可以写成“如果„„,那么„„”的形式,其中“如果” 引出的部分是 条件 ,“那么”引出的部分是 结论 .
正确 的命题叫作真命题 真命题： 3.分类 错误 的命题叫作假命题 假命题：
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1.下列语句是命题的是( D
)
(A)我真希望天空每天都是蓝的 (B)|a|一定大于a吗? (C)你了解每个同学吗? (D)一个角与它补角的和等于180° 解析:只有选项D是表示判断的陈述句,是命题.故选D.
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)
2.下列命题是真命题的是( A (B)互补的两个角一定是邻补角
(A)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角
(B)若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 (C)相等的两个角是对顶角 (D)如果a=b,那么a2=b2 解析:选项A.逆命题为同旁内角互补,两直线平行,成立.选项B.逆命题为如 果两个数相等,那么这两个数的绝对值也相等,成立.选项C.逆命题为对顶角 相等,成立.选项D.如(-3)2=32但3≠-3,所以如果a2=b2,那么a=b不成立,故
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4.互逆命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的 结论 和 条件 .这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫作原命 题,另一个叫作逆命题. 5.要判断一个命题是假命题,通常用 举反例 的方法. 二、定理 1.定义:经过证明为真的命题叫作定理. 2.推论:由某定理直接得出的 真命题 叫作这个定理的推论. 3.互逆定理:如果一个定理的逆命题能被证明是真命题,那么就叫它是原 定理的 逆定理 ,这两个定理叫作 互逆定理 . 三、证明 1.定义:要判断一个命题为真命题,从命题的条件出发,通过推理,得出结 论成立,从而判断命题是真命题,这个过程叫作证明. 2.反证法:先假设命题 不成立 ,然后利用命题的条件或有关的结论,通过 推理导出 矛盾 ,从而得出假设不成立,这种证明方法称为反证法.
(C)如果a2=b2,那么a=b
(D)如果两个角是同位角,那么这两个角一定相等 解析:选项A正确;互补不一定邻补,故选项B错误;当a2=b2时,a=b或a=-b,故 选项C错误;只有两直线平行,同位角才相等,故选项D错误.
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)
3.下列命题的逆命题不成立的是( D
(A)两直线平行,同旁内角互补
(A)①④ (B)①③ (C)②④ (D)①②④
解析:①原命题正确,逆命题错误; ②原命题正确,逆命题也正确; ③原命题错误; ④原命题正确,逆命题错误. 故选A.
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探究点二:几何问题的证明与反证法 【例2】已知,如图,A、B、C三点在同一条直线上,且∠1=∠2,∠3=∠D.
求证:BD∥CE.
选D.
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4.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先
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证明中的每一步推理都要有根据,不能想当然,这些根据,
可以是已知条件,也可以是定义、公理、已经学过的定理.
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变式训练2-1:举例说明:“一个角的余角大于这个角”是假命题,错误的 是( B )
(A)设这个角45°,它的余角45°,但45°=45°
(B)设这个角30°,它的余角60°,但30°<60° (C)设这个角60°,它的余角30°,但30°<60°
(3)是命题,是假命题,如5>3,5>2,但3≠2.
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判断一个语句是否为命题,不能依其对错为标准,主要看其
是否有判断作用.对于疑问句、做一个事件、图形的作法等都不是命题.
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C )
变式训练1-1:(2014襄阳)下列命题错误的是(
(A)所有的实数都可用数轴上的点来表示 (B)等角的补角相等
(D)设这个角50°,它的余角40°,但40°<50°
解析:B选项,一个角为30°,它的余角60°,60°>30°.说明“一个角的余 角大于这个角”是假命题是错误的.故选B.
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变式训练2-2:完成下面的证明并注明推理的根据. 已知:如图,∠BAF,∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角. 求证:∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.