江苏省南京市2011届四星高中高三数学摸底试卷一

江苏省南京市2011届四星高中高三摸底试卷一（数学）

一、填空题：本大题共14小题，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．

1．若复数(2)a ai +-（i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．

2．若1sin()63

π

α-=-，则cos()3πα+= ▲ ． 3．过原点作曲线x y e =的切线，则切线方程为 ▲ ． 4．设集合11{33},{0}3x x A x B x x

-=<<=<，则A B =____ ▲ _______. 5．根据《中华人民共和国道路交通安全法》

规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80

mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；

血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，

属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3

月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和

醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒

后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的

频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为

_______▲______．

6. 已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的面积为

______▲_______．

7. 将函数sin 2y x =的图象向左平移

4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是______▲_______．

8. 把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为______▲_______．

9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图2所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为______▲_______．

10. 已知抛物线)0(22>=p px y 焦点F 恰好是双曲线22221x y a b -=的右焦点，且双曲线过点（2232,a b p p ），则该双曲线的渐近线方程为______▲_______．

11. 已知函数22log (1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩ 若函数元

频率

组距 20 30 40 50 60 0.01 0.036

0.024

图2

()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是______▲_______．

12. 当210≤

≤x 时，2

1|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是______▲_______． 13. 首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n a a n N ++=+∈,若对一切n N +∈都有1n n a a +>，则1a 的取值范围是______▲_______．

14．已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：

① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；

② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；

③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；

④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.

其中真命题的序号为______▲_______．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. （本小题满分14分）已知A B C 、、为ABC ∆的三个内角，且其对边分别为a b c 、、，且22cos cos 02

+=A A ．（1）求角A 的值； （2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．

16、如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=1，AD=3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．

（1）求三棱锥E －PAD 的体积；

（2）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置

关系，并说明理由；

（3）证明：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF ．

17. 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为(102420)2100x x k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦

元。假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元。

（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

18. 已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 坐标轴上，且经过点(0,23)A ,离心率为12

（1）求椭圆P 的方程：（2）是否存在过点E （0，－4）的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足167

OR OT ⋅= ．若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

19. 数列{}n a 满足：2133n n n a a a +=-，1,2,3,n = .（Ⅰ）若数列{}n a 为常数列，求1a 的值； （Ⅱ）若112a =，求证：22334n a <≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列2{}n a 单调递减.

20. 已知函数()()||2

0,1x x f x a a a a =+>≠，

（1）若1a >，且关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；

（2）设函数()()[),2,g x f x x =-∈-+∞，()g x 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关.试求a 的取值范围．