四边形知识点经典总结
四边形知识点归纳
四边形知识点归纳四边形是一个具有四个边和四个角的多边形。
四边形的性质和特点因其形状和边长的不同而不同。
在以下内容中，我将对四边形的几个主要性质和特点进行详细归纳。
一、四边形的基本性质：1.四边形的内角和为360度：四边形的四个内角之和始终等于360度。
换句话说，四边形的任意两个相邻内角的和始终等于180度。
2.对角线交点：四边形的对角线是相邻顶点之间的连线。
对角线的交点称为对角线交点（或称为对角线的交叉点）。
对角线交点将四边形分为两个三角形。
3.对称关系：四边形中有两种对称关系，即对边对称和对角线对称。
对边对称是指围绕四边形的中心点将对边进行折叠，使得两条对边重合。
对角线对称是指围绕四边形的对角线交点将对边进行折叠，使得两条对边重合。
二、四边形的分类：1.平行四边形：有两组对边平行的四边形被称为平行四边形。
它的对角线相等且对角线互相平分。
2.矩形：具有四个直角（内角为90度）的四边形被称为矩形。
它的对边相等且平行。
3.正方形：具有四个直角（内角为90度）和相等对边的矩形被称为正方形。
它的对角线相等且互相平分。
4.梯形：具有两边平行的四边形被称为梯形。
它的对角线不相等，且其中一条对角线是另一条对角线的中线。
5.平行四边形的性质：（1）对边平行：平行四边形的对边互相平行。
（2）对边相等：平行四边形的对边相等。
（3）对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
6.矩形的性质：（1）四个直角：矩形的四个内角均为90度。
（2）对边相等：矩形的对边相等且平行。
（3）对角线相等：矩形的对角线相等。
（4）对角线互相平分：矩形的对角线互相平分。
7.正方形的性质：（1）四个直角：正方形的四个内角均为90度。
（2）对边相等：正方形的对边相等且平行。
（3）对角线相等：正方形的对角线相等且互相平分。
8.梯形的性质：（1）两边平行：梯形的两边平行，且不平行的两边称为梯形的斜边。
（2）底角相等：梯形的相邻底角（底边上的内角）相等。
四边形知识点总结
四边形知识点总结一、四边形概念四边形是一个平面图形，它有四条边和四个顶点。
四边形是几何学中的一个基本概念，也是我们日常生活中经常遇到的图形。
四边形可以根据其性质和特征分为多种不同的类型，我们可以通过这些性质和特征来研究和分析四边形图形的性质和关系。
二、四边形的分类1. 矩形矩形是一种特殊的四边形，它的对边相等且平行，且每个角都是直角。
矩形是一个非常常见的图形，它有着许多特殊的性质和特征，比如对角线相等，对边平行等。
2. 平行四边形平行四边形是一种四边形，它的对边两两平行。
平行四边形具有许多特殊的性质，比如对角线相等，对边平行等。
3. 梯形梯形是一种至少有一对对边平行的四边形，它有两条并不相等的对边。
梯形也是一种常见的图形，它有着许多特殊的性质，比如对角线平行等。
4. 菱形菱形是一种特殊的平行四边形，它的四边都相等，且对角相等。
菱形具有一些特殊的性质，比如对角线相等，对边平行等。
5. 正方形正方形是一种特殊的矩形和菱形，它的四条边相等且每个角都是直角。
正方形是一种非常常见的图形，它有着许多特殊的性质和特征，比如对角线相等，对边平行等。
三、四边形的性质1. 对角线性质对于任意一个四边形，其对角线之间的距离是相等的，即对角线相等。
这个性质是许多四边形的共同性质，比如矩形、菱形和正方形。
2. 对边平行性质对于平行四边形和梯形，它们的对边两两平行。
这个性质为我们研究和分析这些四边形图形提供了重要的线索。
3. 相邻角性质四边形的相邻两个角的和为180度。
这个性质可以帮助我们计算出四边形内部角的大小，以及判断四边形的类型。
4. 对边长度性质对于矩形、菱形和正方形，它们的对边长度相等。
这个性质可以帮助我们判断四边形的类型，以及求解四边形的边长。
5. 对角度性质对于矩形和正方形，它们的每个角都是直角。
菱形的每个角也都相等。
这些性质可以帮助我们判断四边形的类型，以及求解四边形的角度大小。
四、四边形的计算1. 周长四边形的周长等于其四条边的长度之和。
四边形知识点
四边形知识点四边形是平面几何中的一个重要概念，它具有许多特征和性质。
在本文中，我们将一步一步地介绍四边形的定义、分类和相关性质。
让我们开始吧！什么是四边形？四边形是指一个有四条边的平面图形。
它由四条线段连接的四个顶点组成，并且每个顶点都与相邻的两个顶点通过一条边相连。
四边形是平面几何中最简单的多边形之一，也是许多更复杂形状的基础。
四边形的分类四边形可以根据其边长、角度和对称性进行分类。
下面是常见的四边形分类：1.矩形：具有四条相等的边和四个直角的四边形。
矩形是一种特殊的正方形，其对角线相等且互相平分。
2.正方形：具有四条相等的边和四个直角的四边形。
正方形是一种特殊的矩形，其对角线相等且互相平分。
3.平行四边形：具有对边平行的四边形。
它的对边长度相等，且对边之间的夹角相等。
4.长方形：具有对边平行且相等的四边形。
长方形也是一种特殊的平行四边形，其所有角都是直角。
5.梯形：具有两条平行边的四边形。
梯形的非平行边可以是不等长的。
6.菱形：具有四条相等的边的四边形。
菱形的对角线相互垂直且互相平分。
四边形的性质四边形有许多有趣的性质，下面是一些常见的性质：1.内角和：四边形的内角和等于360度。
2.对角线：四边形的对角线是相邻顶点之间的直线段。
对角线可以相互平分，并且它们的交点将四边形分割成两个三角形。
3.邻边夹角：相邻边之间的夹角的和等于180度。
4.对边平行：平行四边形的对边是平行的。
5.对边长度：矩形和正方形的对边长度相等。
如何计算四边形的面积？根据四边形的类型，我们可以使用不同的方法来计算其面积：•矩形和正方形的面积等于两条相邻边的乘积。
•平行四边形的面积等于底边乘以高度。
•梯形的面积等于上底与下底的平均值乘以高度。
•菱形的面积等于对角线的乘积的一半。
总结四边形是平面几何中重要的概念，具有丰富的性质和分类。
通过学习四边形的定义、分类和性质，我们可以更好地理解几何形状和计算其面积。
希望本文能帮助您深入了解四边形知识点，并在几何学习中发挥作用！。
四边形基本知识点
第四章四边形性质探索知识点归纳 一．四边形的相关概念和性质（1）在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．四边形用表示它的各顶点的字母来表示．注意：表示四边形必须按顶点的顺序书写，可按照顺时针或逆时针的顺序．如图读作“四边形ABCD ” ．（2）在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线．注意：①四边形共有两条对角线．②连结四边形的对角线也是一种常用的辅助线作法．（3）四边形的不稳定性：三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性．但是，四边形四边长确定后，它的形状不能确定．这就是四边形具有不稳定性，它在生产、生活方面有很多的应用．（4）四边形的内角和等于 360．（5）四边形的外角和等于 360．注意：1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．二．多边形的概念和性质：（1）n 边形的内角和等于 180)2(⋅-n ．（2）任意多边形的外角和等于 360．（3）n 边形共有2)3(-n n 条对角线．（4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。
（5）正多边形的每个内角等于n n 180).2(-三、平行四边形．1．平行四边形的性质(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．(2)平行四边形的对边平行且相等．(3)夹在两条平行线间的平行线段相等．(4)平行四边形的对角线互相平分．（5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
(6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积．2．平行四边形的判定(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．3．两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等．注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值．(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变．(3)平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．4．平行四边形的面积S=底边长×高=ah(a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对（1）、平行四边形边的距离)．（2）、同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．四．矩形、1．矩形的定义：_________________________________2．矩形的性质：(1)对边平行且相等。
初中数学四边形知识点归纳
初中数学四边形知识点归纳四边形(四边形具有不稳定性)1定理四边形的内角和等于360°2四边形的外角和等于360°3多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°4推论任意多边的外角和等于360°5平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等6平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等7推论夹在两条平行线间的平行线段相等8平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线相互平分9平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形10平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形11平行四边形判定定理3 对角线相互平分的四边形是平行四边形12平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形13矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角14矩形性质定理2 矩形的对角线相等15矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形16矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形17菱形性质定理1 菱形的四条边都相等18菱形性质定理2 菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角19菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a×b)÷220菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形216菱形判定定理2 对角线相互垂直的平行四边形是菱形22正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等23正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角24定理1 关于中心对称的两个图形是全等的25定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分26逆定理假如两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称27等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等28等腰梯形的两条对角线相等29等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形30对角线相等的梯形是等腰梯形31平行线等分线段定理假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等32 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰33推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边34 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半36 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=(a+b)÷2 s=l×h37 (1)比例的基本性质假如a:b=c:d,那么ad=bc 假如ad=bc,那么a:b=c:d38 (2)合比性质假如a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d39 (3)等比性质假如a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b40平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例41 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例42 定理假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边43平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例44 定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相像45 相像三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相像(asa)46 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相像47 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像(sas)48 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相像(sss)49 定理假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像50 性质定理1 相像三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比51 性质定理2 相像三角形周长的比等于相像比52 性质定理3 相像三角形面积的比等于相像比的平方53任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值54任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值大家看过中学数学知识点归纳之四边形，大家要熟记多边形内角和定理为n边形的内角的和等于(n-2)×180°。
小学数学知识归纳认识四边形的性质和分类
小学数学知识归纳认识四边形的性质和分类小学数学知识归纳：认识四边形的性质和分类四边形是数学中一个重要的几何图形，它由四条线段组成，围成一个封闭的平面图形。
在小学数学中，学生需要了解和熟悉四边形的性质和分类。
本文将系统介绍四边形的定义、性质以及最常见的分类，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、四边形的定义四边形是由四条线段组成的闭合图形。
它有四个顶点、四条边和四个内角。
四边形的边可以是直线段，也可以是曲线段。
图形中的每两条边都有一个交点，它们称为交点。
四边形是平面几何中的基本图形之一，也是许多其他几何图形的基础。
二、四边形的性质1. 内角和为360度：四边形的四个内角之和等于360度。
这意味着，无论四边形的形状如何变化，其内角的总和始终保持不变。
2. 对角线交点连线：四边形的对角线是连接四边形不相邻顶点的线段。
对角线的交点连线将四边形分成两个三角形。
对角线之间的关系是四边形性质的重要组成部分。
3. 相邻内角补角关系：四边形中相邻内角的补角相等。
也就是说，如果两个内角是相邻的，并且其中一个角是直角（90度），则另一个角也是直角。
4. 等边四边形：如果一个四边形的四条边都相等，则称为等边四边形。
等边四边形的内角都是90度，形状是正方形。
5. 等腰四边形：如果一个四边形的对边边长相等，则称为等腰四边形。
等腰四边形的对角线相等，且对角线平分内角。
6. 平行四边形：如果一个四边形的对边是平行的，则称为平行四边形。
平行四边形的对角线互相平分，且对角线之间的夹角是180度。
7. 矩形：矩形是一种特殊的平行四边形，它的四个内角都是直角（90度）。
矩形的对边相等且平行，对角线相等，且互相平分。
8. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，它的四条边和四个内角都相等。
正方形也是一种特殊的等边四边形，其对角线相等且互相平分。
三、四边形的分类根据四边形的性质和形状，我们可以将四边形分为以下几种常见类型：1. 不规则四边形：四边形的四边长度和内角大小都各不相同的四边形。
四边形基本图形知识点总结
四边形基本图形知识点总结四边形是几何学中常见的图形，它有许多重要的性质和知识点。
本文将带您深入了解四边形的基本概念、分类和特性。
一、四边形的基本概念四边形是指具有四条边的图形。
它是多边形的一种特殊情况，由四个顶点和四条边构成。
尽管四边形是一个广义的概念，但在几何学中我们通常讨论的是平面四边形。
二、四边形的分类根据四边形的性质，我们可以将其分类为以下几种常见类型：1.矩形：四个角都是直角的四边形。
矩形的对边相等且平行。
2.正方形：具有四个相等边长和四个直角的矩形。
3.平行四边形：有两组对边分别平行的四边形。
4.梯形：有一对对边平行的四边形。
5.菱形：四个边长相等的梯形。
6.不规则四边形：没有对边平行或边长相等的四边形。
三、四边形的性质和特性1.内角和：四边形的内角和等于360度。
2.外角和：四边形的外角和等于360度。
3.对角线：四边形的对角线是相邻顶点之间的直线段。
对角线有以下重要性质：–矩形的对角线相等；–平行四边形的对角线互相平分；–菱形的对角线互相垂直且平分；–梯形的对角线不相交。
4.邻边和对边：在平行四边形中，邻边是指两个相邻的边，对边是指不相邻但平行的边。
在矩形和正方形中，邻边和对边是相同的。
5.矩形和正方形的特性：–矩形的对边相等且平行；–矩形的对角线相等；–正方形是一种特殊的矩形，具有四个相等的边长和四个直角。
四、四边形的计算在解决与四边形相关的问题时，我们经常需要计算其面积和周长。
下面是一些常见四边形的计算公式：1.矩形的面积为长度乘以宽度，周长为两倍长度加两倍宽度。
2.正方形的面积为边长的平方，周长为四倍边长。
3.平行四边形的面积为底边乘以高，周长为两倍底边加两倍高。
4.梯形的面积为上底加下底乘以高的一半，周长为所有边长之和。
五、应用实例四边形的概念和性质在日常生活和工作中都有广泛的应用。
例如：1.建筑设计：在建筑设计中，矩形和正方形的特性被广泛应用于房屋的布局和结构设计。
2.地理测量：平行四边形的特性可用于测量地块面积或河流的宽度。
四边形的性质知识点
四边形的性质知识点四边形是平面几何中常见的图形，它具有许多独特的性质和特点。
在本文中，我们将探讨四边形的性质，包括各类四边形的定义、特征、性质和关联定理等。
一、四边形的定义和分类四边形是由四条线段所组成的封闭图形，它具有以下两个基本性质：1. 四边形的四条边相互连接而形成的线段叫做对边。
对边具有相等的性质，即相对的两条边长度相等。
2. 四边形的四个顶点两两相连而形成的线段叫做对角线。
对角线的特点是相交于一点，并且在这个交点处相互平分。
根据四边形的边长和角度，我们可以将其分为以下几类：1. 矩形：具有四个直角（即90度）的四边形，对边相等并且对角线相等。
2. 正方形：具有四个直角和四条相等的边的四边形，对角线相等且相互平分。
3. 平行四边形：具有对边平行的四边形，对边相等但对角线不相等。
4. 菱形：具有对角线相等的四边形，相邻边相等但对角线不平分。
5. 梯形：具有两对平行边的四边形，没有边相等但对边平行。
6. 不规则四边形：指既不是矩形、正方形、平行四边形、菱形或梯形的四边形。
二、四边形的性质和关联定理1. 矩形的性质：矩形的对边相等且平行，对角线相等、相互平分且垂直于对边。
2. 正方形的性质：正方形是矩形的特例，具有所有矩形的性质，同时具有四条相等的边和四条相等的对角线。
3. 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线不相等但相互平分。
4. 菱形的性质：菱形的对边相等且平行，对角线相等且相互平分。
5. 梯形的性质：梯形的两对边分别有一对平行边，底边上的两个角相等，对角线无特殊性质。
对于某些具体的四边形，还有一些额外的性质和关联定理：1. 矩形的关联定理：矩形的对边对角线关联定理，即对边互相垂直，并且对角线相等。
2. 正方形的关联定理：正方形的对边对角线关联定理，即对边互相垂直，并且对角线相等。
3. 平行四边形的关联定理：平行四边形的对角线关联定理，即对角线互相平分。
4. 菱形的关联定理：菱形的对边对角线关联定理，即对边互相垂直，并且相交角为直角。
四边形知识点总结
四边形知识点总结1.四边形的内角和与外角和定理：1) 四边形的内角和等于360°；2) 四边形的外角和等于360°.2.多边形的内角和与外角和定理：1) n边形的内角和等于(n-2)180°；2) 任意多边形的外角和等于360°.3.平行四边形的性质：1) 两组对边分别平行；2) 两组对边分别相等；3) 两组对角分别相等；4) 对角线互相平分；5) 邻角互补.4.平行四边形的判定：1) 两组对边分别平行；2) 两组对边分别相等；3) 两组对角分别相等，即ABCD是平行四边形；4) 一组对边平行且相等；5) 对角线互相平分.5.矩形的性质：1) 具有平行四边形的所有通性；2) 四个角都是直角；3) 对角线相等.6.矩形的判定：1) 平行四边形加一个直角；2) 三个角都是直角，即四边形ABCD是矩形；3) 对角线相等的平行四边形.7.菱形的性质：1) 具有平行四边形的所有通性；2) 四个边都相等；3) 对角线垂直且平分对角.8.菱形的判定：1) 平行四边形加一组邻边等；2) 四个边都相等，即四边形ABCD是菱形；3) 对角线垂直的平行四边形.9.正方形的性质：1) 具有平行四边形的所有通性；2) 四个边都相等，四个角都是直角；3) 对角线相等垂直且平分对角.10.正方形的判定：1) 平行四边形加一组邻边等加一个直角；2) 菱形加一个直角，即四边形ABCD是正方形；3) 矩形加一组邻边等.11.等腰梯形的性质：1) 两底平行，两腰相等；2) 同一底上的底角相等；3) 对角线相等.12.等腰梯形的判定：1) 两底角相等的平行四边形.。
初中四边形知识点总结归纳
初中四边形知识点总结归纳四边形作为初中数学中的重要内容，是学习几何学不可或缺的一部分。
在初中阶段，我们需要系统地学习和掌握四边形的性质、分类以及相关的定理。
本文将对初中四边形的知识点进行总结和归纳，帮助大家更好地理解和掌握这一部分知识。
1. 四边形的定义四边形是由四条线段组成的图形。
四边形的特点是有四个顶点、四条边和四个内角。
2. 四边形的分类根据边长和角度的不同，四边形可以分为以下几类：1) 矩形：具有四个右角的四边形，对边相等。
2) 正方形：具有四个相等边和四个右角的四边形。
3) 平行四边形：具有两对平行边的四边形。
4) 长方形：具有四个右角的四边形，对边相等。
5) 菱形：具有四个相等边的四边形。
6) 梯形：具有两对平行边的四边形。
7) 不规则四边形：没有特殊性质的四边形。
3. 四边形的性质1) 内角和定理：任意四边形的内角和等于360度。
2) 对角线性质：- 矩形、正方形和菱形的对角线相互平分。
- 平行四边形的对角线互相等长。
- 不规则四边形的对角线一般不相等。
3) 矩形、正方形和菱形的边长关系：正方形的边长等于矩形或菱形的长度，矩形和菱形的边长相等。
4) 平行四边形的边长关系：对边相等。
5) 梯形的特点：有一个对角线作为它的中线，两腰相等的梯形是等腰梯形。
6) 不规则四边形的特点：没有特殊性质，边长和角度都可能不相等。
4. 四边形的重要定理1) 矩形的重要定理：- 矩形的对角线相等。
- 矩形的四个角都是直角。
- 矩形的边互相垂直。
2) 正方形的重要定理：- 正方形的对角线相等且垂直。
- 正方形的对角线平分角。
- 正方形的四个角都是直角。
3) 平行四边形的重要定理：- 平行四边形的对边平行且相等。
- 平行四边形的对角线互相平分。
4) 菱形的重要定理：- 菱形的对角线互相垂直。
- 菱形的对角线平分角。
5. 解题技巧和注意事项1) 综合运用已知条件和四边形的性质来解题。
2) 注意图形的标记和注释，保持清晰易懂。
数学四边形知识点大全总结
数学四边形知识点大全总结一、四边形的定义四边形是指一个平面图形，其中有四条边和四个顶点。
四边形是平面图形中最简单的多边形之一，同时也是很多其他几何图形的基础和组成部分。
二、四边形的分类根据四边形的性质和特点，可以将其分为以下几种主要类型：1. 矩形：拥有四个直角的四边形，对角线相等，且对角线互相垂直；2. 正方形：拥有四条相等边和四个直角的四边形；3. 平行四边形：拥有对边平行且长度相等的四边形；4. 菱形：拥有四条相等边但非直角的四边形；5. 梯形：至少有一对对边平行的四边形；6. 不规则四边形：没有特定性质和特点的四边形。
在这些基本类型的基础上，还可以根据四边形的角度、边长、对角线等特点对其进行更详细的分类和讨论。
三、四边形的性质1. 任意四边形的内角和等于360度；2. 对角线互相垂直的矩形和正方形；3. 平行四边形的对边相等且平行；4. 菱形的对角线互相垂直，且互相垂直；5. 梯形的一对对边平行；6. 不规则四边形没有特定的性质和特点。
四、四边形的相关定理1. 四边形内角和定理：任意四边形的内角和等于360度；2. 平行四边形定理：如果一对对边平行且长度相等，则该四边形是平行四边形；3. 矩形的性质定理：对角线平分，互相垂直；4. 正方形的性质定理：拥有四条相等边和四个直角；5. 平行四边形的性质定理：对边相等且平行；6. 菱形的性质定理：对角线互相垂直；7. 梯形的性质定理：一对对边平行。
五、四边形的应用和延伸1. 利用四边形的性质和定理进行几何证明和计算；2. 将四边形的性质应用到实际问题中，如建筑设计、工程测量等；3. 通过四边形的性质和特点，进行图形的合理分类和摆放，以满足设计和美学的要求；4. 采用四边形的相关知识进行几何推理和问题解决，培养逻辑思维和问题解决能力。
总结：四边形作为平面几何中最基本的图形之一，其性质和特点对于理解和运用其他更复杂的几何图形具有重要意义。
通过系统地学习和掌握四边形的定义、分类、性质和定理等知识点，可以提高学生的几何思维和解决问题的能力，在实际生活和工作中有着广泛的应用价值。
四边形的分类知识点
四边形的分类知识点四边形是指一个有四条边的图形，它们分为不同的类型和性质。
在几何学中，四边形是一个重要的概念，学习四边形的分类和特点有助于我们更好地理解和应用几何知识。
本文将介绍四边形的分类及其相关知识点。
一、四边形的定义四边形是由四条线段构成的简单封闭图形。
它有四个顶点、四条边和四个角。
四条边的相邻线段不共线，且相交于共同点。
四边形的边可以是直线段也可以是曲线段。
二、四边形的常见分类1. 矩形矩形是一种具有特殊性质的四边形，它有四条边，并且所有角都是直角，也就是说矩形的内部角度都是90度。
矩形的对边相等且平行，对角线相等。
2. 正方形正方形是一种具有特殊性质的矩形，它的四条边都相等且平行，所有角度都是直角。
由于正方形的特殊性质，它也是一个菱形（即下述第3点）和长方形（即下述第4点）。
3. 菱形菱形是指具有两组相等对边的四边形。
菱形的两组对边都平行，对角线互相垂直并平分彼此。
4. 长方形长方形是一种具有特殊性质的矩形，它有四条边，并且相邻边相等而且平行。
所有角度都是直角。
5. 平行四边形平行四边形是一种具有两组平行边的四边形。
平行四边形的对边相等，对角线互相平分彼此。
6. 梯形梯形是一种至少有一对对边平行的四边形。
梯形的对边不平行。
梯形分为等腰梯形和直角梯形，具体区分取决于其边和角的性质。
7. 不规则四边形不规则四边形不具备其他类型四边形所具有的特殊性质，其边长和角度都可以是任意值。
不规则四边形的对边既不平行也不相等。
三、四边形的性质与关系1. 对边关系对边是指四边形相对的两条边，并且相交于四边形的两个不共线顶点。
对边有以下性质：（1）平行四边形的对边相等。
（2）矩形、正方形和菱形的对边相等。
（3）对边相等的四边形不一定是平行四边形、矩形、正方形或菱形。
2. 角关系四边形的角有以下性质：（1）矩形、正方形、菱形的内部角都是直角（90度）。
（2）平行四边形的内部对角线互补，即相互补角的两条边互相平行。
四边形知识点汇总
第十八章四边形平行四边形知识要点：一、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作：“ABCD”，读作：“平行四边形ABCD”.二、平行四边形的性质：1．边：平行四边形两组对边平行且相等；2．角：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线：平行四边形的对角线互相平分；4．是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.说明（1）：三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的数量关系，位置关系，（2）：三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的1/4，（3）：三角形的中位线不同于三角形的中线五、平行线间的距离1.两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正值.2.平行线间的距离处处相等两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.3.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等特殊的平行四边形（矩形）知识要点：一、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.二、矩形的性质(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形，过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分。
(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.(3)矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质：从边看：矩形对边平行且相等；从角看：矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等。
四边形知识点总结
四边形知识点总结四边形是平面上由四条线段组成的图形，是几何学中的重要概念之一。
它具有各种性质和分类，包括矩形、正方形、平行四边形、菱形等。
下面将对四边形的知识点进行总结。
1. 四边形的定义：四边形是平面上由四条线段组成的图形。
它有四个顶点、四条边和四个内角。
2. 内角和：四边形的四个内角之和为360度。
3. 对角线：四边形的对角线是相邻顶点之间的线段。
一个四边形有两条对角线。
4. 平行四边形：如果一个四边形的对边是平行的，则它是一个平行四边形。
平行四边形的对边长度相等。
5. 矩形：矩形是一个拥有四条直角和对边相等的平行四边形。
它的对角线相等且相交于中点。
6. 正方形：正方形是一个特殊的矩形，它的四条边和四个角都相等。
7. 菱形：菱形是一个拥有对边相等的平行四边形。
它的对角线相互垂直且相交于中点。
8. 三角形是四边形：三角形可以看作是一个拥有一个内角为180度的平行四边形的一半。
9. 四边形的性质：四边形有很多性质值得注意。
例如，它的对边平行、对角线相等等。
这些性质可以用来解决四边形相关问题。
10. 面积计算：计算四边形的面积需要知道它的底和高，或者它的边长和对角线长度。
不同形状的四边形有不同的面积计算公式。
11. 角的测量：我们可以使用直角器或量角器来测量四边形的角度。
12. 内切四边形：内切四边形是指一个四边形可以被另外一个四边形完全包围在内部。
一个内切四边形的边和角可以与外部四边形相互对应。
13. 外接四边形：外接四边形是指一个四边形可以与一个外部的圆完美地相切。
它的边和角可以与外部圆相互对应。
14. 相似四边形：两个四边形如果对应角相等并且对应边成比例，则它们是相似四边形。
15. 勾股四边形：一个四边形如果满足勾股定理（两条对边的平方和等于另外两条对边的平方和），则它是一个勾股四边形。
总之，四边形是几何学中的重要概念，具有丰富的性质和分类。
熟练掌握四边形的知识，可以帮助我们解决各种与四边形相关的问题，进而提高数学和几何学的能力。
三年级四边形知识点归纳总结
三年级四边形知识点归纳总结在三年级数学学习中，四边形是一个重要的知识点。
掌握好四边形的性质和分类，对于学生的几何思维能力和解题能力有很大的帮助。
本文将对三年级四边形的知识点进行归纳总结。
一、四边形的定义四边形是由四条线段组成的图形，它的四条边两两相连，围成一个封闭的区域。
二、四边形的分类1. 矩形矩形是一种特殊的四边形，它的四个内角都是直角（90度）。
矩形的特点是对角线相等且互相平分。
2. 正方形正方形也是一种特殊的四边形，它的四个内角都是直角（90度），并且四条边的长度相等。
3. 长方形长方形也是一种特殊的四边形，它的四个内角都是直角（90度），但是它的对边长度不一定相等。
4. 平行四边形平行四边形是指四边形的对边是平行的。
它的相邻两边相等，相邻两角互补。
5. 梯形梯形是指四边形有两条平行边的四边形。
梯形的特点是两条底边平行，两条斜边不平行。
6. 三角形如果将一个四边形的一条边延长，使其和另一条边相交，形成一个三角形，则这个四边形是一个三角形。
三、四边形的性质1. 对角线性质一个四边形的两条对角线将这个四边形分成4个三角形。
对角线的性质是互相垂直且互相平分。
2. 内角和性质一个四边形的四个内角的和等于360度。
3. 边的关系平行四边形的相邻两边相等。
长方形的对边相等。
正方形的对边和对角线都相等。
四、解题技巧1. 判断四边形的类型通过观察四边形的边长和角度，可以判断出它的类型。
例如，如果四边形的对边长度相等，则可以判断它是一个长方形。
2. 运用四边形的性质解题在解题过程中，可以利用四边形的性质来推导和解决问题。
例如，利用平行四边形的对边平行性质，可以计算出未知边长。
3. 利用图形画出四边形通过画图，对于一些复杂的题目可以更加清晰地理解和解决。
通过掌握上述四边形的知识点，并灵活运用解题技巧，三年级的学生可以更好地理解和应用这一知识点。
同时，老师和家长也可以根据这些知识点，设计出更有针对性的教学活动和练习题，帮助学生更好地掌握四边形的概念和解题方法。
初三四边形所有知识点总结
初三四边形所有知识点总结四边形是初中数学中重要的几何图形，在初三阶段，学生需要掌握四边形的定义、性质、分类、面积计算等知识点。
本文将对初三四边形的所有知识点进行总结，希望对学生的学习有所帮助。
一、四边形的定义和性质1. 四边形的定义四边形是一个有四条边的几何图形，它是由四个顶点和四条边组成的。
2. 四边形的性质（1）四边形的内角和四边形的内角和是360°。
即：A+B+C+D = 360°（2）四边形的对角线四边形有两条对角线，分别连接相对的顶点。
对角线的交点称为对角线的交点。
对角线的长度可以通过勾股定理求得。
（3）四边形的对边四边形的相对边称为对边。
二、四边形的分类根据四边形的特征和性质，可以将四边形分为以下几类：1. 平行四边形2. 矩形3. 菱形4. 正方形5. 梯形6. 平行四边形7. 不规则四边形三、平行四边形的性质1. 平行四边形的定义平行四边形是有两对边平行的四边形，即两对对边是平行的四边形。
2. 平行四边形的性质（1）对角线平行四边形的对角线相交于90°的角，并且两条对角线相等。
（2）对边及角平行四边形的对边相等，对角相等。
（3）周长和面积平行四边形的周长可以通过对边和对角线求得。
平行四边形的面积可以通过底和高求得。
四、矩形的性质1. 矩形的定义矩形是有四条边且所有内角都是直角的四边形。
2. 矩形的性质（1）四边相等矩形的四条边相等。
（2）对角线相等矩形的两条对角线相等。
（3）对边平行矩形的对边是平行的。
（4）周长和面积矩形的周长可以通过长和宽求得。
矩形的面积可以通过长和宽求得。
五、菱形的性质1. 菱形的定义菱形是有四条边且两两相等的四边形。
2. 菱形的性质（1）对角线相等菱形的两条对角线相等。
（2）相邻角相等菱形的两个相邻角是相等的。
（3）周长和面积菱形的周长可以通过边长求得。
菱形的面积可以通过对角线求得。
六、正方形的性质1. 正方形的定义正方形是有四条边，相等且所有内角都是直角的四边形。
小学四边形全套知识点总结
小学四边形全套知识点总结一、四边形的基本性质1.1 四边形的定义四边形是由四条边和四个顶点组成的封闭图形。
1.2 四边形的内角和四边形的内角和等于360度。
这是四边形的一个重要性质，可以通过各个角的计算相加来得出。
1.3 四边形的对角线四边形有两条对角线，对角线是连接四边形两个相对顶点的线段。
在矩形和菱形中，对角线相等；在平行四边形中，对角线相互平分。
1.4 四边形的对角线交点四边形的对角线交点可以将四边形分割成两个三角形，这是计算四边形面积的重要方法。
二、四边形的分类2.1 矩形矩形是一种特殊的四边形，它有四条边都相等，且所有内角都为90度。
矩形的对角线相等，相邻边互相垂直。
2.2 菱形菱形也是一种特殊的四边形，它有四条边都相等，且对角线相等。
菱形的相邻角相等，且相邻边互相垂直。
2.3 平行四边形平行四边形有两组平行的边，对角线互相平分。
它的相邻边互相平行，对角线互相等长。
2.4 不规则四边形不规则四边形是指除了以上三种特殊四边形以外的任意四边形，它的边和角没有特殊的关系。
三、四边形的周长和面积计算3.1 四边形的周长四边形的周长等于所有边长的和。
计算周长时，需要将四条边的长度相加。
3.2 四边形的面积计算四边形的面积可以通过以下公式：矩形的面积 = 长 × 宽菱形的面积 = 对角线1 × 对角线2 ÷ 2平行四边形的面积 = 底 × 高不规则四边形的面积可以通过将四边形分割成多个三角形，分别计算三角形的面积，然后相加得到四边形的面积。
3.3 特殊四边形的面积计算对于矩形和菱形，可以直接通过公式计算面积。
而对于平行四边形和不规则四边形，需要通过特定的方法或分割成三角形来计算面积。
四、四边形知识点的应用4.1 实际问题中的应用四边形的周长和面积计算在生活中有许多应用，比如房屋的围墙长度计算、地板的铺设面积计算等都需要用到四边形的相关知识。
4.2 综合练习通过综合练习，学生可以更好地掌握四边形的知识点，提高计算能力和解决问题的能力。
初中数学四边形知识点总结
初中数学四边形知识点总结一、四边形的基本概念。
1. 四边形的定义。
- 由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形。
在初中阶段，我们主要研究平面四边形。
2. 四边形的内角和与外角和。
- 内角和：四边形的内角和为360°。
可以通过将四边形分割成两个三角形，因为三角形内角和为180°，所以四边形内角和是360°。
- 外角和：四边形的外角和为360°。
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°。
3. 四边形的分类。
- 凸四边形：把四边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。
- 凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁的情况，这样的四边形叫做凹四边形。
初中重点研究凸四边形，凸四边形又包括平行四边形、梯形等特殊四边形。
二、平行四边形。
1. 平行四边形的定义。
- 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“▱”表示，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。
2. 平行四边形的性质。
- 边的性质：- 平行四边形的两组对边分别平行且相等。
即AB = CD，AD = BC，AB∥CD，AD∥BC。
- 角的性质：- 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补。
即∠A = ∠C，∠B = ∠D，∠A+∠B = 180°等。
- 对角线的性质：- 平行四边形的对角线互相平分。
即OA=OC，OB = OD（设AC、BD相交于点O）。
3. 平行四边形的判定。
- 边的判定：- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）。
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
- 角的判定：- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
- 对角线的判定：- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4. 平行四边形的面积。
四边形基本知识点
第四章四边形性质探索知识点归纳 一．四边形的相关概念和性质（1）在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．四边形用表示它的各顶点的字母来表示．注意：表示四边形必须按顶点的顺序书写，可按照顺时针或逆时针的顺序．如图读作“四边形ABCD ” ．（2）在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线．注意：①四边形共有两条对角线．②连结四边形的对角线也是一种常用的辅助线作法．（3）四边形的不稳定性：三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性．但是，四边形四边长确定后，它的形状不能确定．这就是四边形具有不稳定性，它在生产、生活方面有很多的应用．（4）四边形的内角和等于 360．（5）四边形的外角和等于 360．注意：1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．二．多边形的概念和性质：（1）n 边形的内角和等于 180)2(⋅-n ．（2）任意多边形的外角和等于 360．（3）n 边形共有2)3(-n n 条对角线．（4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。
（5）正多边形的每个内角等于n n 180).2(-三、平行四边形．1．平行四边形的性质(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．(2)平行四边形的对边平行且相等．(3)夹在两条平行线间的平行线段相等．(4)平行四边形的对角线互相平分．（5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
(6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积．2．平行四边形的判定(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．3．两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等．注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值．(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变．(3)平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．4．平行四边形的面积S=底边长×高=ah(a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对（1）、平行四边形边的距离)．（2）、同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．四．矩形、1．矩形的定义：_________________________________2．矩形的性质：(1)对边平行且相等。
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四边形知识点：一、 关系结构图：二、知识点讲解：1．平行四边形的性质（重点）：ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（2.平行四边形的判定（难点）：ABDOCC D AB A BCD O.3. 矩形的性质：因为ABCD 是矩形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴．4矩形的判定：矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形． ⇒四边形ABCD 是矩形. 5. 菱形的性质： 因为ABCD 是菱形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（6. 菱形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形四边形ABCD 是菱形.7.正方形的性质：ABCD 是正方形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（8. 正方形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是正方形.ABDOCAD BCAD BC OCDBAOCDBAO名称定义性质判定面积平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
①对边平行；②对边相等；③对角相等；④邻角互补；⑤对角线互相平分；⑥是中心对称图形①定义；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形。
S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③定义。
S=ab(a为一边长，b为另一边长)菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
除具有平行四边形的性质外，还有①四边形相等；②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①四条边相等的四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形；③定义。
①S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；②(b、c为两条对角线的长)正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角，四条边相等；②对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义。
①(a为边长)；②(b为对角线长)三．精典例题解答：1．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。
求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF。
证明：（1）∵ AE=CF ∴ AE+EF=CF+FE 即 AF=CE又ABCD是平行四边形，∴ AD=CB，AD∥BC ∴∠DAF=∠BCE在△ADF与△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS）（2）∵△ADF≌△CBE ∴∠DFA=∠BEC ∴ DF∥EB例1图例2图2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ OA=OC，OB=OD又∵ AE=CF∴ OA+AE=OC+CF 即 OE=OF∴四边形BFDE是平行四边形3．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD 上的点C’处，折痕DE交BC于点E，连结。
求证：四边形是菱形。
证明：根据题意可知则，，∵ AD∥BC ∴∴∠CDE=∠CED∴CD=CE ∴∴四边形为菱形例3图4．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）。
试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。
解：HG=HB。
证法1：连结AH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形∴∠B=∠G=90°由题意知AG=AB，又AH=AH∴ Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）∴ HG=HB证法2：连结GB∵四边形ABCD，AEFG都是正方形∴∠ABC=∠AGF=90°由题意知AB=AG∴∠AGB=∠ABG∴∠ABC-∠ABG =∠AGF-∠AGB 即∠HBG=∠HGB∴ HG=HB5．如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。
（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n。
解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是____AO____和____DE____。
理由如下：∵在Rt△ADO与Rt△AEO中，AD=AE，AO=AO，∴ Rt△ADO≌Rt△AEO∴∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE）∴ AO⊥DE（等腰三角形的三线合一）注：其它的结论也成立如GD⊥BE。
（2）∵四边形AEOD的面积为∴三角形ADO的面积=∵ AD=2∴∴∠DAO=30°∴∠EAB=30°即旋转的角度是30°例5图例6图6．四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG。
（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。
证明：（1）如图，∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE∴△ADE≌△CDG∴ AE=CG（2）猜想：AE⊥CG。
证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N∵△ADE≌△CDG∴∠DAE=∠DCG又∵∠ANM=∠CND∴△AMN∽△CDN∴∠AMN=∠ADC=90°∴ AE⊥CG7．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。
证明：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC∴∠BAD=∠DAC∵ AN是△ABC外角∠CAM的平分线∴∠MAE=∠CAE∴又∵ AD⊥BC，CE⊥AN∴∠ADC=∠CEA=90°∴四边形ADCE为矩形（2）当时（答案不唯一），四边形ADCE是正方形。
证明：∵ AB=AC，AD⊥BC于D∴又∴ DC=AD由（1）四边形ADCE为矩形∴矩形ADCE是正方形例8图8．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。
（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。
证明：（1）由折叠可知：，，∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD∴∠B=∠D′，AB=AD′∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3∴∠1=∠3∴△ABE≌△AD′F（2）四边形AECF是菱形。
由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD∥BC∴∠5=∠6∴∠4=∠6∴ AF=AE∵ AE=EC∴ AF=EC又∵ AF∥EC∴四边形AECF是平行四边形∵ AF=AE ∴四边形AECF是菱形。
9．如下图，已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．（1）求证：BP=DP；（2）若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．思路分析：（1）解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP．解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．（2）不是总成立．当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时， DP>DC>BP，此时BP=DP不成立．说明：未用举反例的方法说理的不得分．（3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等．在图中，可证四边形PECF为正方形，在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC．从而有BE=DF10．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．11．如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°。
点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动。
（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围。
（2）设，用t表示△AMN的面积。
（3）求△AMN的面积的最大值，并判断取最大值时△AMN的形状。
解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P。
由已知：，。
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，∴∠PAN=∠D=30°。
在Rt△APN中，，即点N到AB的距离为。
∵点N在AD上，，点M在AB上，，∴ x的取值范围是。
（2）根据（1），。
（3）∵，∴当t=0时，即x=10时，有最大值25。
当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN。
此时，△AMN为等腰三角形。
12．（08通州22改编）如图，在ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，∠DAB=60°，点M是边AD上一点，且DM=2cm，点E、F分别是边AB、BC上的点，EM、CD的延长线交于G，GF交AD于O，设AE=CF=x，（1）试用含x的代数式表示△CGF的面积；（2）当GF⊥AD时，求AE的值。