运筹学2-2

2 x1 3 x 2 24
0
Q1 (26 3 ,0) 12
x1
4 x1 3x2 0
x (6,4)T , Z 4 6 3 4 36
2.
min Z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4 x1 s.t. x2 3 x , x 0 1 2
最优值： Z ＊ cx*
3. 基： 设 A R mn , rank( A) m n.
设B是A的m个列向量组成的子阵， 如 B 0
( rank( B) m B非奇异）
则称B是线性规划的一个基
4. 设基B (Pj , j I ), I 1,, n, I m, J 1,, n\ I
B 1 b (4). 退化与非退化： 设x 0
是一个基可行解，
如B 1b 0, 称之为非退化的基可行解，否则称之为退化的；
如线性规划的每一个基可行解都是非退化的 ，则称之为 非退化的。
(5). 基解，基可行解的个数：
基可行解个数

基解个数

本节作业：P64 2.3(1)
1 2 x x ( 1 ) x , 1 2 ( 0 , 1 ), x , x K
x x
1
2
即点x 不能表为K 中两个不同点的严格凸 组合。
O,P,Q,A,B,C,D均为极点。 3. 定理1. 线性规划可行集D 是凸集。 （自证）
T x ( x , x , , x ) D是线性规划的基可行解 4. 定理2. 1 2 n
n
则标准型可表为:
max Z cx
s.t. Pj x j b
j 1
x j 0 , j 1 ~ n ----向量形式
矩阵形式：
max Z cx
s.t. Ax b x0
名称： A ---- 资源消耗系数矩阵 b ---- 资源限制向量 c ---- 价格向量
x
---- 决策变量向量
4
x2
x1 4
* x 4 1 x : * * x 2 x 2 8 1
3
x2 3
D
4
n
x
8
x1
0
x * (4,2) T
x1 2 x2 8 2 x1 3x2 0
3. 有无穷多解： max Z 4 x 6 x 1 2
2 x1 3x2 24 s.t. 3x1 2x3 26 x 0, x 0 2 1 x2
xi x x , x 0 , x 0 4. 无 " xi 0 " 的自由变量
' i '' i ' i '' i
注： xni 称为松驰变量
五. 标准化示例 例3. (例1模型) max Z 4 x1 3x2
s.t. 2 x1 3x2 24
max Z 4x1 3x2 0x3 0x4
n n m n
l
本节作业 P64 2.2 (1)(2)(3)(选作)
2.2.2 线性规划的有关概念
讨论标准型
max Z cx s.t. Ax b
n
x0
1. 可行集
D {x R : Ax b, x 0}
可行解 x : x D * * * x D , cx cx, x D " 任意" 2. 最优解x :
(1)基解： 令 x J 0, x I
1
(2)基可行解：如B b 0,
一个基可行解
B 1 b 称x 0 为线性规划的
B 1b (3) .最优基与基最优解： 如基可行解 x 0
为线性规划的最优解，称B为最优基， x为基最优解。
四. 一般型如何标准化
1. min Z cx
2. aij x j bi
j 1
n

max Z cx
n
n a ij x j x n i bi j 1 x ni 0
n a x x b ij j n i i 3. aij x j bi j 1 j 1 x ni 0
k
k

7. 定理4. 如线性规划有最优解，则一定有基最优解，即最 优值一定可在某个基可行解处达到。 证明： 只证明D 有界的情形，
设D的基可行解 (极点)为x1 ,, x k , 由引理有
D x
令 cx
则
*
maxcx
i 1
k i 1
i x i : i 0, i 1
3. 利用等值线沿法向 n (c1 , c2 ) T 平移，c0 增大， 反之c0 减小的原理求出最优解 Z ；
(1) 如是求最大值，将等值 线沿 n 平移，直至 最后与D交于一点x , x 即为最优解。
等值线；
(2) 如是求最小值，沿n 的反方向平移，直至 最后与D交于一点x , x *即为最优解。
j 1
x j 0 ( 0) 或无此限制
二. 线性规划的标准型
为研究方便规定以下形式为标准型
max Z c j x j
n
s.t. aij x j bi , i 1 ~ m
j 1
n
j 1
x j 0 , j 1 ~ n.
三. 标准型的向量形式和矩阵形式 记 x
1 x x n

b1 b b m
c c1 , , cn
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n A a a a mn m1 m 2
1, P 2 ,, P n P
二. 图解法示例
1. 例1的生产计划模型 (有唯一解x )
max Z 4 x1 3x2
s.t. 2x1 3x2 24
3x1 2 x2 26
x2
3x1 2 x2 26
Q3 (0,8)
x1 , x2 0
n
D
x *Q2 (6,4)
* * 2 x 3 x 1 2 24 * x : * * 3 x 2 x 2 26 1
x1 x2 x3 2
x1 (x2' x2'' ) x3 x5 2
六. 一般数学规划模型
min(max) f ( x)
s.t. g ( x) 0
当
h( x ) 0
全为线性函数时,为线性规划; f , g, h
否则称为非线性规划。
f : E E, g : E E , h : E E
Pj : x j 0线性无关。 向量
5. 定理3. x D, 则 x 为 D的极点 x 为线性规划的基可行解 6.引理 如 K 是有界凸集，则K 的极点为有限个
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设为x 1,, x k , 且
K x
i x , i 0, i 1
i i 1 i 1
x1
0
Q3 (3,0)
Q4 (8,0)
三. 由图解法导出线性规划解的性质:
如线性规划有最优解，则解必可在可行 集D的某个极点达到。
本节作业：P64 2.1
2.2.4 基本定理
1. 凸集： 设K E , 称K为凸集，如 1 2 x , x K , [0,1]
n
x x1 (1 ) x 2 K
13
3x1 2 x2 26
Q3 (0,8) D n
x *Q2 (6,4)
Q1 (26 / 3,0)12
2 x1 3 x 2 24
0
Q2 , Q3上的任何一点均为最优 解
x1
4 x1 6 x2 0
4. 有可行解，但无最优解（有无界解）
max z x1 x2
x1 2 x2 4 s.t. x1, x 2 0
A B，N ，
Ax b
xI B 1b B Nx J
N ( Pj , j J ), xI B N x BxI Nx J b J 1
1 B b 1 称为Ax b的基解 B b, x 0
k
k
i
: i 1 ~ k cx ,
k i 1

i 1 t
cx
* * cx cx cx i i i
即基可行解 x t 为基最优解。
' '' s.t. x1 2( x2 x2 ) 3x3 x4 7
s.t. x1 2x2 3x3 7
' '' x x x 2 2 ' '' 3x1 x2 2x3 5 2 3 x ( x x 1 2 2 ) 2x3 5 ' '' x1 , x3 0 x1 , x2 , x2 , x3 , x4 , x5 0
5. 无可行解，即 D
x2
x1 2 x2 4
Z
Q1 (0,2)
x1
0
Q2 (4,0)
x2
x1 2 x2 8
max Z x1 x2
x1 x2 3 x 2x 8 s.t. 1 2 x , x 0 1 2
Q1 (0,4)
Q2 (0,3)
x1 x2 3
x
1
x
x
2
x1
凸
x2
x1非凸 x2
定理 K为凸集当且仅当
i i x K , x K , i 0, ai 1,整数k i i 1 i 1 k k
上述式子称为 k个点的凸组合，可用归 纳法证明
2. 极点： 设 K 为凸集，x K , 称 x 为 K 的一个极点，如
称Pj ( j I ) 为线性规划的基向量； Pj ( j J )称为非基向量
x j j I 基变量；
Ax b
x j ( j J ) 非基变量
5. 方程组 设
在基B下的等价表达：
xI ( xi , i I ), J 1,, n \ I , x J ( x j , j J )
2.2 线性规划的数学模型及基本理论
2.2.1 数学模型
2.2.2 线性规划的有关概念
2.2.3 E 中线性规划的图解法
2.2.4 基本定理
2
2.2.1 数学模型
一. 线性规划(LP)的一般模型
max(min) Z c j x j s.t.
n
a x
j 1
n
ij j
( , ) bi , i 1 ~ m
n! C m!(n m)!
m n
2 E 2.2.3 中线性规划的图解法
学习目的：
1. 解决 E 中线性规划的求解
2. 从几何直观猜测出E 中线性规划 解的重要性质，这是建 立一般解 法的重要依据。
n
2
一. 图解法思想或步骤
1. 在R 2中画出可行区域D，即满足所有约束条件 ；
2. 作出目标函数 Z c1 x1 c2 x2 c0 (如c0 0)的一条
s.t. 2x1 3x2 x3 24 3x1 2 x2 x4 26
3x1 2 x2 26
例4.
x1 0, x2 0
x1 , x2 , x3 , x4 0
min Z x1 2x2 3x3
' '' max Z ' x1 2( x2 x2 ) 3x3