高中数学人教A版必修4课件：1-3三角函数与恒等变换
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高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
高中数学 第三章 三角恒等变换 3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式 新人教A版必修4
π 2
(k∈Z)，且
α≠kπ＋4π(k≠Z)．当α＝kπ＋π2时，求tan2α应使用诱导公式．请
读者自己寻求tan2α＝2tanα的条件．
3．使用二倍角公式应注意的问题
(1)对“二倍角”应该有广义上的理解，不仅局限于2α是α
的2倍．只要公式中等号左边的角是右边角的2倍，就可以使用
二倍角公式，如3α与
自 (1)2sinαcosα S2α 我 (2)cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α C2α
校
2tanα
对 (3)1－tan2α T2α
思考探究 上述公式如何推导得到？ 提示 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α即可 得到．
名师点拨 1.对“倍角”的理解 (1)本节所说的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍 角”等名词时，“三”字不能省略． (2)“倍”是描述两个数量关系的，2α是α的二倍，4α是2α 的二倍，α2是α4的二倍，这里蕴含着换元思想．
变式训练2 求下列各式的值：(1)cos215°－sin215°； (2)cos1π2cos152π；(3)sin150°＋cos530°.
解
(1)原式＝cos(2×15°)＝cos30°＝
3 2.
(2)原式＝cos1π2sin1π2＝12sin6π＝14.
(3)原式＝coss5in05°＋0°co3ss5i0n°50°
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2．正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、 求值、证明.
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换
理网络·明结构
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
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人教A版高中数学：三角恒等变换【精品课件】
B．－171
7 C.13
D．－173
解析：tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1－4＋4×3 3＝－171. 答案：B
4．已知 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则 sin(α＋β)＝ ________.
解析：由 sin α＋cos β＝1 与 cos α＋sin β＝0 分别平方相加得 sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋cos2α＋2cos αsin β＋sin2β＝1， 即 2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1， 所以 sin(α＋β)＝－12. 答案：－12
跟踪训练 2 已知 α，β∈0，π2，且 sin α＝45，cos(α＋β)＝－1665， 求 cos β 的值．
解析：因为 α，β∈0，2π，所以 0<α＋β<π， 由 cos(α＋β)＝－1665，得 sin(α＋β)＝6635， 又 sin α＝45，所以 cos α＝35， 所以 cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝ －1665×35＋6635×45＝322054.
知识点一 两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝_c_o_s_α_c_o_s__β_－__s_in__α_s_in__β_，简记为__C_(_α_＋_β)__，使用的 条件为__α_，__β_为__任__意 ___角___．
知识点二 两角和与差的正弦公式
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正弦
S(α＋β)
解析：（1）cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin
30°＝ 22× 23＋ 22×12＝
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
高中数学人教A版必修4课件：目录
数学
人教版·必修4
温馨提示
① 本光盘课件全部为PPT格式，教师使用时如需加工可把光盘中的PPT文件复 制到本地磁盘上进行编辑。
② 光盘为自动播放模式，如不能播放则是电脑做了拦截，可将电脑调至自动播 放模式，也可直接从“我的电脑”中，双击相应光盘图标或在此处右键点击 “打开”，然后双击光盘中的“play.bat”文件即可以全屏的方式播放（点击 后有缓冲过程，稍加等待后，便可出现相关内容）。
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 1.4.3 正切函数的性质与图象
习题课(二) 诱导公式、三角函数的图象与性质 1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一) 1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二) 1.6 三角函数模型的简单应用 本章回顾总结 阶段质量评估(一)
③ 进入目录，可按上下键、空格键或点击鼠标等进行浏览。 ④ 如需返回，可按ESC键。 ⑤ 为保证内容中一些符号及英语音标显示正确，请先把字体包中的字体直接复
制粘贴到Windows目录下的Fonts中,然后重启机器即可。
制作QQ：695281391.1.2 弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一) 1.2.1 任意角的三角函数(二) 1.2.2 同角三角函数的基本关系 习题课(一) 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 1.3.1 三角函数的诱导公式一～四 1.3.2 三角函数的诱导公式五～六
习题课(四) 平面向量的基本定理及坐标表示 2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 2.5 平面向量应用举例 本章回顾总结 阶段质量评估(二)
人教版·必修4
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1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 1.4.3 正切函数的性质与图象
习题课(二) 诱导公式、三角函数的图象与性质 1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一) 1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二) 1.6 三角函数模型的简单应用 本章回顾总结 阶段质量评估(一)
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习题课(四) 平面向量的基本定理及坐标表示 2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 2.5 平面向量应用举例 本章回顾总结 阶段质量评估(二)
人教A版高中数学必修4PPT课件：简单的三角恒等变换(共2课时)
14
»感受三角变换的魅力
引进辅助角法：
a2 b2
b
a sin x bcos x a2 b2 sin(x ) a
其中tan b a
设 y a sin bcos
使 y Asin(x ) 函数
的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简 三角函数式中的作用．
15
»感受三角变换的魅力
变式练习：
思考：
在例2证明过程中用到了哪些 数学思想方法?
例２证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习当中还有六个关于积化和差、 和差化积的公式．
人教A版高中数学必修4PPT课件：简单 的三角 恒等变 换(共2 课时)
人教A版高中数学必修4PPT课件：简单 的三角 恒等变 换(共2 课时)
以从右边着手
sin(+) ＝ sincos+cossin
sin(-) ＝ sincos-cossin
两式相加,得
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
sin cos 1 sin sin
2
人教A版高中数学必修4PPT课件：简单 的三角 恒等变 换(共2 课时)
人教A版高中数学必修4PPT课件：简单 的三角 恒等变 换(共2 课时)
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2 ,以 代替 ,
cos 2 cos2 1
人教A版高中数学必修四课件3.2简单的三角恒等变换课件
2cos 20° cos 10° sin 30° ＋ sin 10° cos 30° ＝ － 2cos 40° sin 20° 2cos 20° sin 40° －2sin 20° cos 40° 2sin 20° ＝ ＝ ＝2. sin 20° sin 20° 1－ cos 2α－ 60° 1－ cos 2α＋ 60° 1－ cos 2α (2)原式＝ ＋ － 2 2 2 1 1 ＝ － [cos(2α－60° )＋ cos(2α＋ 60° )－ cos 2α] 2 2 1 1 1 ＝ － (2cos 2αcos 60° － cos 2α)＝ . 2 2 2
α 2 5 sin 2 5 α tan ＝ ＝ ＝－2. 2 α 5 cos 2 －5
【名师点评】
已知三角函数式的值，求其他三角函数
式的值，一般思路为： (1)先化简所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系 (从三角函数名及
角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
跟踪训练
12 3π 1．已知 sin 2α＝－ ，π<2α< ，求 sin α， cos α. 13 2
第三章
三角恒等变换
3．2
简单的三角恒等变换
学习导航
学习目标 和差公式 ― ― → 二倍角公式 ― ― →
理解 掌握
化简、求值或证明 重点难点 重点：运用和差的正余弦公式进行相关计算
及化简、证明． 难点：运用半角公式求值．
新知初探思维启动
1．和、差角公式及倍角公式 sinαcosβ＋cosαsinβ (1)sin(α＋β)＝__________________________ ； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； 2sinαcosα (2)sin 2α＝__________________ ； cosαcosβ－sinαsinβ (3)cos(α＋β)＝________________________ ； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
高中数学人教A版必修4课件：1-3三角函数与恒等变换
第3课时
三角函数与恒等变换
-1-
高考调研 ·新课标 ·数学（必修四）
知识网络 要点梳理
D自主梳理 S专题整合
I ZHU SHU LI
HUANTIZHENGHE来自概念:一条射线绕其端点旋转所成的图形 角的概念 任意角 分类:正角、负角、零角 象限角:终边落在第几象限就是第几象限角 终边相同的角:与������终边相同的角表示为(1) 1 弧度的角:(2) 三角函数 弧度制 角度与弧度的转化:(3) 弧长公式与面积公式:������ = (4) 三角函数定义:sin������ = (6) 同角关系公式 平方关系:(9) 商数关系:(10) ;cos������ = (7) ;������ = (5) ;tan������ = (8)
2tan������ 1-cos2������ 1+cos2������ 2α= ;(19) 2 ;(20) 2 ;(21) 1-tan2 ������
������2 + ������2 .
第 3页
高考调研 ·新课标 ·数学（必修四）
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I ZHU SHU LI
答案:(1)β=α+2kπ,k∈Z;(2)等于半径长的圆弧所对的圆周角是一弧 度的
π 1 ������ ������ ������ 角;(3)1rad= °,1°= rad;(4)|α|R;(5) lR;(6) ;(7) ;(8) ;(9)sin2α 180 2 ������ ������ ������ sin������ 2 +cos α=1;(10)tan α=cos������;(11)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin 180 π
三角函数与恒等变换
-1-
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HUANTIZHENGHE来自概念:一条射线绕其端点旋转所成的图形 角的概念 任意角 分类:正角、负角、零角 象限角:终边落在第几象限就是第几象限角 终边相同的角:与������终边相同的角表示为(1) 1 弧度的角:(2) 三角函数 弧度制 角度与弧度的转化:(3) 弧长公式与面积公式:������ = (4) 三角函数定义:sin������ = (6) 同角关系公式 平方关系:(9) 商数关系:(10) ;cos������ = (7) ;������ = (5) ;tan������ = (8)
2tan������ 1-cos2������ 1+cos2������ 2α= ;(19) 2 ;(20) 2 ;(21) 1-tan2 ������
������2 + ������2 .
第 3页
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答案:(1)β=α+2kπ,k∈Z;(2)等于半径长的圆弧所对的圆周角是一弧 度的
π 1 ������ ������ ������ 角;(3)1rad= °,1°= rad;(4)|α|R;(5) lR;(6) ;(7) ;(8) ;(9)sin2α 180 2 ������ ������ ������ sin������ 2 +cos α=1;(10)tan α=cos������;(11)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin 180 π
人教A版高中数学必修四课件3.2简单的三角恒等变换1
的最小正周期为π，最大值为，最小值为。
A． 0
B．
C．
D．－1
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
6．化简：
小结 对变换过程中体现的换元、逆向使用公式 等数学思想方法加深认识，学会灵活运用
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin
在Rt△OAD中,
设矩形ABCD的面积为S,则
通过三角变换把 形如 y=asinx+bcosx的 函数转化为形如 通过三角变换把 形如 y=asinx+bcosx的 函数转化为形如 y=Asin(+)的 函数,从而使问题 得到简化
练习
分析：欲求最小正周期主最大最小值，首 先要将函数式化为单一函数．
第三章三角恒等变换
3.2简单的三角恒等变换
例1 解
例2
求证
解 (1)sin(+)＝sincos+cossin sin(-)＝sincos-cossin 两式相加,得 sin(+)+sin(-)＝2sincos
(2)由(1)可得 sin(+)+sin(-)＝2sincos① 设+=,-=
把,的值代入①,即得
例２证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式； 在后面的练习当中还有六个关于积化和 差、和差化积的公式．
分析：利用三角恒等变换，先把函数式 化简，再求相应的值.
例4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大,可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
高中数学人教A版必修4课件：模块复习课 第四课 三角恒等变换
•
11、人总是珍惜为得到。2021/5/22021/5/22021/5/2M ay-212-May-21
•
12、人乱于心，不宽余请。2021/5/22021/5/22021/5/2Sunday, May 02, 2021
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2021/5/22021/5/22021/5/22021/5/25/2/2021
第四课 三角恒等变换
【体系构建】
【核心速填】
1.两角和与差的正余弦、正切公式
sin(α±β)=_s_i_n_α__c_o_s_β__±__c_o_s_α__s_i_n_β__.
cos(α±β)=_c_o_s_α__c_o_s_β__∓_s_i_n_α__s_i_n_β__.
tan tan
tan(α±β)=_1__t_an__t_an__.
3 sinα±cosα=_2_s_in_(___6__) ， sinα± 3 cosα=_2_s_in_(___3__) .
【易错警示】(此栏目为教师用书独具) 1.熟练把握三角中的相关公式 本章中的公式较多,又比较相似,在应用过程中,可能 因为对公式的记忆不准确或记忆错误导致运算结果出 现错误,熟练把握公式是关键.
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年5月2日 星期日2021/5/22021/5/22021/5/2
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2021年5月 2021/5/22021/5/22021/5/25/2/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/5/22021/5/2May 2, 2021
•
11、人总是珍惜为得到。2021/5/22021/5/22021/5/2M ay-212-May-21
2021版高中数学人教A必修4课件：3.2.1 三角恒等变换
题型一 题型二 题型三
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
-19-
M 第1课时 三角恒等变换
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
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M 第1课时 三角恒等变换
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3.2 简单的三角恒等变换
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第1课时 三角恒等变换
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D典例透析 IANLI TOUXI
1.了解半角公式(不要求记忆)的推导过程及其应用. 2.能利用两角和与差公式、二倍角公式进行简单的三角函数式 的求值、化简与证明.
人教A版高中数必修四三角恒等变换
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作三角恒等变换A 组1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ）A .5π B .2πC .πD .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定 4．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，62c =， 则,,a b c 大小关系（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b << 5．函数2sin(2)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）A .周期为4π的奇函数 B .周期为4π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2π的偶函数6．已知2cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．97D ．1- 二、填空题1．求值：0000tan 20tan 403tan 20tan 40++=_____________。
2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= 。
3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。
4．已知23sincos,223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。
5．ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为 。
三、解答题1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.2．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。
新课标高中数学人教A版必修四全册课件3.2简单的三角恒等变换(一)
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
第三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
2. 三角函数的倍角公式:
sin 2 2sin cos
tan 2
2 tan 1 tan2
第四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
且还会有所包含的角，以及这些角的三角
函数种类方面的差异，因此三角恒等变换 常常首先寻找式子所包含的各个角之间的 联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
第七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例2. 已知sin 5 ,且在第二象限,
13
求tan 的值.
2
第八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲授新课
思考： 与 有什么样的关系？
2
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例1. 试以cos表示 sin2 , cos2 ,
2
2
tan2 .
2
第六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
思考：
代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式
的变换．对于三角变换，由于不同的三角 函数式不仅会有结构形式方面的差异，而
第十二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
练习：
教材P.142练习第1、2、3题.
第十三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课堂小结
要对变换过程中体现的换元、
逆向使用公式等数学思想方法加
深认识，学会灵活运用．
第十四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课后作业
1. 阅读教材P.139到P.142; 2.2. 《习案》作业三十三.
tan( ) tan tan 1 tan tan
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复习引入
2. 三角函数的倍角公式:
sin 2 2sin cos
tan 2
2 tan 1 tan2
第四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
且还会有所包含的角，以及这些角的三角
函数种类方面的差异，因此三角恒等变换 常常首先寻找式子所包含的各个角之间的 联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
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讲解范例：
例2. 已知sin 5 ,且在第二象限,
13
求tan 的值.
2
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讲授新课
思考： 与 有什么样的关系？
2
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例1. 试以cos表示 sin2 , cos2 ,
2
2
tan2 .
2
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思考：
代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式
的变换．对于三角变换，由于不同的三角 函数式不仅会有结构形式方面的差异，而
第十二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
练习：
教材P.142练习第1、2、3题.
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课堂小结
要对变换过程中体现的换元、
逆向使用公式等数学思想方法加
深认识，学会灵活运用．
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课后作业
1. 阅读教材P.139到P.142; 2.2. 《习案》作业三十三.
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π 1 ������ ������ ������ 角;(3)1rad= °,1°= rad;(4)|α|R;(5) lR;(6) ;(7) ;(8) ;(9)sin2α 180 2 ������ ������ ������ sin������ 2 +cos α=1;(10)tan α=cos������;(11)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin 180 π
3π -������ 2
=-cos α.
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������π ,������∈Z 2 3π ,������∈Z 2 π
. ,终边在坐标轴上的角的集合: ������ ������ =
(4)终边在 x 轴上角的集合:{α|α=kπ,k∈Z},终边在 y 轴上角的集
π ������π + 2 ,������∈Z
.
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π ± ������ 2
,cos2������ = (15) ,tan2������ = (18) ,cos2 ������ = (20) sin(������ + ������)
=
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要点梳理
答案:(1)β=α+2kπ,k∈Z;(2)等于半径长的圆弧所对的圆周角是一弧 度的
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要点梳理
2.三角函数的定义 (1)若角 α 的终边与单位圆的交点坐标是(x0,y0),则 sin α=y0,cos α=x0,tan
������0 α=������ . 0 ������ ������ ������
(2)若 α 的终边上任意一点 P(x,y)与原点的距离是 r(r= ������ 2 + ������ 2 >0),则 sin α=������ ,cos α=������,tan α=������称为角 α 的正弦、 余弦、 正切. (3)设角 α 的终边与以原点为圆心的单位圆交于点 P(如图),则图 中的有向线段 MP,OM,AT 叫做角 α 的正弦线、余弦线、正切线.
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要点梳理
3.同角三角函数关系式 (1)正确理解“同角”的含义:只要是“同一个角”,那么基本关系式 就成立,不拘泥于“角”的形式,例如:sin2 +cos2 =1,tan 3α= 是成立的,但 sin2α+cos2β=1 就不一定成立. (2)注意同角关系式的变 形:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,1=sin2α+cos2α,sin α=cos αtan α. 4.诱导公式 π (1)诱导公式是描述角 k· +α(k∈Z)与角 α 的三角函数值间的关 2
2tan������ 1-cos2������ 1+cos2������ 2α= ;(19) 2 ;(20) 2 ;(21) 1-tan2 ������
������2 + ������2 .
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要点梳理
1.任意角 (1)角的三要素:顶点、始边、终边. (2)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边 相同的角有无数个,它们之间相差 360°的整数倍. (3)角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在 y 轴的负半轴上 的角的集合可以表示为 ������ ������ = 2������π- 2 ,������∈Z ,也可以表示为 ������ ������ = 2������π + 合: ������ ������ =
诱导公式:2������π + ������(������∈Z),-������,π ± ������, 和与差的正弦:(11) 和差角公式 和与差的余弦:(12) 和与差的正切:(13) 恒等变换 二倍角公式:sin2������ = (14) (16) = (17) 降幂公式:sin2 ������ = (19) 辅助角公式:������sin������ + ������cos������ = (21)
������ 4 ������ 4 sin3������ 等都 cos3������
系,其口诀为:“奇变偶不变,符号看象限”. (2)“奇变偶不变”指的是在诱导公式中,当 k 为偶数时,函数名称 不变;当 k 为奇数时,函数变为其余函数;“符号看象限”指的是角 α 的 π 三角函数值前的符号是将 k· +α 中的角 α 看作锐角时原函数值的符 2 号,如 sin
第3课时 三角函数与恒等变换
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要点梳理
概念:一条射线绕其端点旋转所成的图形 角的概念 任意角 分类:正角、负角、零角 象限角:终边落在第几象限就是第几象限角 终边相同的角:与������终边相同的角表示为(1) 1 弧度的角:(2) 三角函数 弧度制 角度与弧度的转化:(3) 弧长公式与面积公式:������ = (4) 三角函数定义:sin������ = (6) 同角关系公式 平方关系:(9) 商数关系:(10) ;cos������ = (7) ;������ = (5) ;tan������ = (8)
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要点梳理
(5)在表示角的同一个表达式中,角度制和弧度制两种制度不能 混用,如与 30°角终边相同的角不能表示为 ������ ������ = ������· 360° +
π ,������∈Z 6
或{α|α=2kπ+30°,k∈Z}.
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β;(12)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;(13)tan(α±β)=
tan������±tan������ 1∓tan������tan������
;(14)2sin αcos
α;(15)cos2α-sin2α;(16)2cos2α-1;(17)1-2sin2α;(18)tan
3π -������ 2
=-cos α.
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������π ,������∈Z 2 3π ,������∈Z 2 π
. ,终边在坐标轴上的角的集合: ������ ������ =
(4)终边在 x 轴上角的集合:{α|α=kπ,k∈Z},终边在 y 轴上角的集
π ������π + 2 ,������∈Z
.
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π ± ������ 2
,cos2������ = (15) ,tan2������ = (18) ,cos2 ������ = (20) sin(������ + ������)
=
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答案:(1)β=α+2kπ,k∈Z;(2)等于半径长的圆弧所对的圆周角是一弧 度的
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2.三角函数的定义 (1)若角 α 的终边与单位圆的交点坐标是(x0,y0),则 sin α=y0,cos α=x0,tan
������0 α=������ . 0 ������ ������ ������
(2)若 α 的终边上任意一点 P(x,y)与原点的距离是 r(r= ������ 2 + ������ 2 >0),则 sin α=������ ,cos α=������,tan α=������称为角 α 的正弦、 余弦、 正切. (3)设角 α 的终边与以原点为圆心的单位圆交于点 P(如图),则图 中的有向线段 MP,OM,AT 叫做角 α 的正弦线、余弦线、正切线.
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3.同角三角函数关系式 (1)正确理解“同角”的含义:只要是“同一个角”,那么基本关系式 就成立,不拘泥于“角”的形式,例如:sin2 +cos2 =1,tan 3α= 是成立的,但 sin2α+cos2β=1 就不一定成立. (2)注意同角关系式的变 形:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,1=sin2α+cos2α,sin α=cos αtan α. 4.诱导公式 π (1)诱导公式是描述角 k· +α(k∈Z)与角 α 的三角函数值间的关 2
2tan������ 1-cos2������ 1+cos2������ 2α= ;(19) 2 ;(20) 2 ;(21) 1-tan2 ������
������2 + ������2 .
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1.任意角 (1)角的三要素:顶点、始边、终边. (2)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边 相同的角有无数个,它们之间相差 360°的整数倍. (3)角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在 y 轴的负半轴上 的角的集合可以表示为 ������ ������ = 2������π- 2 ,������∈Z ,也可以表示为 ������ ������ = 2������π + 合: ������ ������ =
诱导公式:2������π + ������(������∈Z),-������,π ± ������, 和与差的正弦:(11) 和差角公式 和与差的余弦:(12) 和与差的正切:(13) 恒等变换 二倍角公式:sin2������ = (14) (16) = (17) 降幂公式:sin2 ������ = (19) 辅助角公式:������sin������ + ������cos������ = (21)
������ 4 ������ 4 sin3������ 等都 cos3������
系,其口诀为:“奇变偶不变,符号看象限”. (2)“奇变偶不变”指的是在诱导公式中,当 k 为偶数时,函数名称 不变;当 k 为奇数时,函数变为其余函数;“符号看象限”指的是角 α 的 π 三角函数值前的符号是将 k· +α 中的角 α 看作锐角时原函数值的符 2 号,如 sin
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概念:一条射线绕其端点旋转所成的图形 角的概念 任意角 分类:正角、负角、零角 象限角:终边落在第几象限就是第几象限角 终边相同的角:与������终边相同的角表示为(1) 1 弧度的角:(2) 三角函数 弧度制 角度与弧度的转化:(3) 弧长公式与面积公式:������ = (4) 三角函数定义:sin������ = (6) 同角关系公式 平方关系:(9) 商数关系:(10) ;cos������ = (7) ;������ = (5) ;tan������ = (8)
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(5)在表示角的同一个表达式中,角度制和弧度制两种制度不能 混用,如与 30°角终边相同的角不能表示为 ������ ������ = ������· 360° +
π ,������∈Z 6
或{α|α=2kπ+30°,k∈Z}.
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β;(12)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;(13)tan(α±β)=
tan������±tan������ 1∓tan������tan������
;(14)2sin αcos
α;(15)cos2α-sin2α;(16)2cos2α-1;(17)1-2sin2α;(18)tan