高二精选题库数学 课堂训练9-4北师大版
高二精选题库 数学7-4北师大版
第7模块第4节[知能演练]一、选择题1．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是() A．异面B．相交C．平行D．不确定解析：由线面平行的性质定理容易推出，该直线应该与交线平行．答案：C2．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题是真命题的是()①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②m⊥n，m⊥β，则n∥β；③α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.A．①③B．②③C．③④D．④解析：①中m、n可能异面，②中n可能在平面β内，③中m可能在平面α或β内．答案：D3．下列命题正确的是() A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行B．如果两条直线与平面α所成的角相等，则这两条直线平行C．垂直于同一直线的两个平面平行D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直解析：当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线与平面α所成的角相等时，这两条直线可以平行，但也可能相交或异面，故选项B错误；直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确．答案：C4．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中为假命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：①为真，依据的是异面直线的判定法则；②为真，l ，m 在α内的射影为两相交直线l ′，m ′，可知l ′∥l ，m ′∥m ，又n ⊥l ，n ⊥m ，所以n ⊥l ′，n ⊥m ′，所以n ⊥α；③中l 、m 可能平行，也可能相交或异面，为假命题；④由两平面平行的判定定理可知为真命题，故假命题为③.答案：C 二、填空题5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 为重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.解析：如下图，在△ABC 中，由余弦定理知BC ＝39，∵BC ∥α，∴MN ∥BC ，又G 是△ABC 的重心，∴MN ＝23BC ＝2393.答案：23936．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.解析：如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ， 又∵AP ＝a3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 答案：223a三、解答题7．如下图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．(1)求证：EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)求证：平面BDF ∥平面B 1D 1H .解：(1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体得BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D ，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .8．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .解：∵BE ⊥PC ，∴EC ＝BC 2－BE 2＝a 2－2a 23＝33a .在Rt △PBC 中，BE 2＝EP ·EC ，∴EP ＝BE 2EC ＝23a 233a ＝233a ，∴PE EC ＝2.当AFFB ＝2时，可以使EF ∥平面P AD .证明：如下图．在PD 上取一点G ，使PG GD ＝2，连结EG ，AG ，则有EG 綊23AB綊23CD ，∴EG 綊AF ，∴四边形AFEG 为平行四边形．∴EF ∥AG ，又∵AG ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .[高考·模拟·预测]1．下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①②中a 可与α相交，③中l ∥α，只能说明有一系列的平行线与l 平行，④中另一条线可能在面内，⑤正确，⑥正确．答案：B2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1、l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是() A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析：因m⊂α，l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，故选B.答案：B3．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：对于选项A、B、D均可能出现l∥β，而对于选项C是正确的．答案：C4．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误．．的为()A．O－ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角为45°D．二面角D－OB－A为45°解析：将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B.答案：B5．如下图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q 分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 解：(1)因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 由于PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD 从而PQ ∥平面ACD . (2)如下图，连接CQ ，DP .因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ， 所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC . 因此CQ ⊥EB ， 故CQ ⊥平面ABE .由(Ⅰ)知PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形， 故DP ∥CQ ，因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角． 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55. 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. [备选精题]6．如图平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M 、N 分别在对角线AC 、FB 上，且AM ∶MC＝FN ∶NB ，沿AB 折成直二面角．(1)证明：折叠后MN ∥平面CBE ；(2)若AM ∶MC ＝2∶3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN ∥平面CBE ？若存在，试确定点G 的位置．解：(1)如图，设直线AN 与BE 交于点H ，连接CH ，∵△ANF ∽△HNB ， ∴FN NB ＝AN NH ，又AM MC ＝FN NB ， ∴AN NH ＝AMMC，∴MN ∥CH . 又MN ⊄平面CBE ，CH ⊂平面CBE ， ∴MN ∥平面CBE .(2)存在，过M 作MG ⊥AB ，垂足为G ，连接NG ， 则MG ∥BC ， ∴MG ∥平面CBE .又MN ∥平面CBE ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MGN ∥平面CBE ，即G 在AB 线上，且AG ∶GB ＝AM ∶MC ＝2∶3.。
高二精选题库数学 课堂训练_2-1北师大版
第2章 第1节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·浙江嘉兴一中模拟]设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )答案：B解析：利用函数的定义，要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中(0,2]没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.2. 已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个答案：B解析：A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12得x ＝7π6，11π6，∴A 中最多有5个元素.3. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (3)的值为( )A. －1B. －2C. 1D. 2答案：B解析：f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1) ＝f (2－1)－f (2－2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 24＝－2.4. [2012·天津模拟]若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有 ( )A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个答案：C解析：先确定定义域的构成元素，再分类计数得到满足条件的定义域. 由已知x 2＝1，得x ＝±1； x 2＝4，得x ＝±2.∴“同族函数”的定义域必须是由±1，±2两组数中至少各取一个构成的集合. 当定义域中有两个元素时有{－1，－2}，{－1,2}，{1，－2}，{1,2}共4个. 有三个元素时有{－1，－2,2}，{－1，－2,1}，{－1,2,1}，{－2,2,1}共4个. 有四个元素时有{－2，－1,1,2}1个. 综上共有：4＋4＋1＝9个.5. [2012·福建省宁德市模拟]若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，34)C. [0，34]D. [0，34)答案：D解析：∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，当m ＝0，∴mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意. 当m >0时，Δ＝16m 2－12m <0， 解得0<m <34，当m <0时，Δ＝16m 2－12m <0，无解. 综上，0≤m <34，即m ∈[0，34).6. [2012·宁波市“十校联考”]设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A 2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A. (0，14]B. (14，12)C. (14，12]D. [0，38]答案：B解析：因为f [f (x 0)]＝f (x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0，所以0≤1－2x 0<12，故14<x 0≤12，又x 0∈A ，所以14<x 0<12.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f (3)]的值等于__________.答案：2解析：f [1f (3)]＝f (1)＝2.8. (1)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，则f (x )＝__________；(2)若函数f (x )＝xax ＋b ，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.答案：(1)x 3＋1 (2)2xx ＋2解析：(1)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.(2)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，又∵方程有唯一解，∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.9. [2012·南通六校联考(一)]定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为__________.答案：[－4,6]解析：由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]x 3－2，x ∈(1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]，当x∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6].三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. (1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域； (2)已知f (x 2－3)＝lg x 2x 2－6，求f (x )的定义域.解：(1)依题意，0≤x ＋1<1，∴－1≤x <0， ∴f (x ＋1)的定义域为[－1,0).由0≤x 2<1得－1<x <1，∴f (x 2)的定义域为(－1，1). (2)令u ＝x 2－3，则f (x )的定义域就是u 的值域. 要使lg x 2x 2－6有意义，只需x 2>6，即x 2－3>3，∴u >3， 即f (x )的定义域是(3，＋∞).11.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动.设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图像.解：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ，∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x )＝－12x 2＋3x －3；当x >3时，S ＝32.所以S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3).32(x >3)函数图像如图所示.12. 定义在正整数集上的函数f (x )对任意m ，n ∈N *，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )＋4(m ＋n )－2，且f (1)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若m 2－tm －1≤f (x )对于任意的m ∈[－1,1]，x ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)取m ＝1，则有f (n ＋1)－f (n )＝f (1)＋4(1＋n )－2＝4n ＋3，当n ≥2时，f (n )＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋…＋[f (n )－f (n －1)]＝2n 2＋n －2， 又f (1)＝1，∴f (x )＝2x 2＋x －2(x ∈N *). (2)f (x )＝2(x ＋14)2－178，∴x ＝1时f (x )min ＝1，由条件得m 2－tm －1≤1在m ∈[－1,1]上恒成立，即m 2－tm －2≤0， 若m ＝0，则t ∈R ，若0<m ≤1，则t ≥m －2m ，即t ≥－1，若－1≤m <0，则t ≤m －2m ，即t ≤1，综上－1≤t ≤1.。
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第9模块 第3节[知能演练]一、选择题1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式解析：两条直线平行，同旁内角互补大前提 ∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角小前提 ∠A ＋∠B ＝180°结论 答案：A2．“所有9的倍数(M )都是3的倍数(P )，某奇数(S )是9的倍数(M )，故此奇数(S )是3的倍数(P )”，上述推理是( )A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错解析：大前提正确，小前提正确，故命题正确． 答案：C3．已知a i ，b i ∈R (i ＝1,2,3，…，n )，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝1，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A ．1B ．2C ．n 2D ．2n解析：此结论为“若a ，b ，c ，d ∈R ，a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，则ac ＋bd ≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝1”的推广，类比可得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 21＋b 212＋a 22＋b 222＋…＋a 2n ＋b 2n2＝1.答案：A4．如右图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：记a n 表示青蛙第n 次跳后所在的点数，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝1，a 5＝2，a 6＝4，…，显然{a n }是一个周期为3的数列，故a 2008＝a 1＝1，答案为A.答案：A 二、填空题5．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是________．解析：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即n 2－n 2个．因此第n 行第3个数是全体正整数中的第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋626．有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：(1)在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数填满整个格子；(2)每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也要有1到9的数字，并且一个数字在每行每列及每个小九宫格里只能出现一次，即不能重复也不能少，那么A 处应填入的数字为__________；B 处应填入的数字为__________．解析：依题意从第二行看，A 处可填入1,2,4,6,8，从第三列看，A 处可填入1,3,5,7,9，所以A 处填入1；同理可推出B 处可填入1,3，而B 的左边应填入1，进而可知B 处应填3.答案：1 3 三、解答题7．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明． 解：一般性的命题为sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32.证明如下：左边＝1－cos(2α－120°)2＋1－cos2α2＋1－cos(2α＋120°)2＝32－12[cos(2α－120°)＋cos2α＋cos(2α＋120°)] ＝32＝右边． ∴结论正确．8．在△ABC 中，射影定理可以表示为a ＝b cos C ＋c cos B ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想．解：如右图，在四面体P －ABC 中，S 1、S 2、S 3、S 分别表示△P AB 、△PBC 、△PCA 、△ABC 的面积，α、β、γ依次表示面P AB 、面PBC 、面PCA 与底面ABC 所成角的大小，我们猜想将射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ.[高考·模拟·预测]1.把正整数按一定的规则排成了如右图所示的三角形数表．设a ij是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若a ij＝2009，则i与j的和为() A．105B．106C．107D．108解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.答案：C2．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是()A.20.6C．22 D．23解析：由于“以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次”，并且求“最短路线的距离”，由选项判断，A中20.6在表中只有C和E之间的距离8.6是出现小数部分的，故CE必定是经过的路线，又因为A为起点，E为终点，故如果A正确，那么路线必然是：1.A－B－D－C－E或2.A－D－B－C－E，进行验证：线路1的距离之和为5＋6＋9＋8.6＝28.6，故线路1不符合；线路2的距离之和为5＋6＋7＋8.6＝26.6，线路2也不符合，故排除A；再验证选项B，发现线路A－C－D－B－E的距离之和为4＋9＋6＋2＝21符合，故选B.答案：B3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__________．解析：由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.下面计算验证．假设两个正四面体的棱长分别为1和2，如右图，正四面体ABCD 的棱长为1，取BC的中点E ，作AO ⊥ED 于O ，则OD ＝23ED ＝23×32＝33，又在Rt △AOD 中，AO ＝1－OD 2＝1－(33)2＝63， 则V 正四面体ABCD ＝13S △BCD ·AO ＝13×34×1×63＝212；同理可算得棱长为2的正四面体的体积V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝223.∴V 正四面体ABCD ∶V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝212223＝18.答案：1∶84．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，__________，__________，T 16T 12成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 85．(南通第一次调研)根据下面一组等式：可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝__________.解析：从已知数表得S 1＝1，S 1＋S 3＝16＝24，S 1＋S 3＋S 5＝81＝34， 从而猜想S 1＋S 3＋…＋S 2n －1＝n 4. 答案：n 46．已知数列{a k }的前k 项和为S k ，且S k ＝12ka k ＋1，其中a 1＝1.(1)求证a k ≠0(k ∈N )； (2)求数列{a k }的通项公式；(3)对任意给定的正整数n (n ≥2)，数列{b n }满足b k ＋1b k ＝k －na k ＋1(k ＝1,2，…，n －1)，b 1＝1，求b 1＋b 2＋…＋b n .解：(1)当k >1时，由a k ＝S k －S k －1＝12ka k ＋1－12(k －1)a k ，得(k ＋1)a k ＝ka k ＋1.若存在a m ＝0(m >1)，由ma m －1＝(m －1)a m ，m >1，得a m －1＝0， 从而有a m －2＝0，…，a 2＝0，a 1＝0，与a 1＝1矛盾，所以a k ≠0.(2)由(1)知，a k ＋1a k ＝k ＋1k ，得a k ＝a k a k －1·a k －1a k －2·…·a 2a 1·a 1＝k .(3)因为a k ＝k ，所以b k ＋1b k ＝－n －k a k ＋1＝－n －kk ＋1.所以b k ＝b k b k －1·b k －1b k －2·…·b 2b 1·b 1＝(－1)k －1·(n －k ＋1)(n －k ＋2)…(n －1)k ·(k －1)·…·2·1·1＝(－1)k －1·1n C k n (k ＝1,2，…，n )，故b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1n [C 1n －C 2n ＋C 3n －…＋(－1)n －1·C n n ]＝1n{1－[C 0n －C 1n ＋C 2n －…＋(－1)n ·C n n ]}＝1n.。
串讲02 第一章 圆与圆的方程(考点串讲)高二数学上学期期中考点(北师大版2019选择性必修第一册)
考点7.直线与圆的位置关系的判断
r |y|≤ 02 ___．这说明圆上的所有点都在两条平行直线 x＝－r，x＝r 和两条平行直线 y＝－r，y＝r 围成的正方形之间(如图所示)．
考点2.圆x2＋y2＝r2的简单几何性质
(2)对称性 根据方程①的结构特点，可以发现：若点 P 的坐标(x，y)满足方程①，则点 P 分 别关于 x 轴、y 轴和原点 O 对称的点 P1(x，－y)，P2(－x，y)，P3(－x，－y)的坐标也 都满足方程①. 这说明圆①既是关于 03 _x_轴___和 04 _y_轴___的轴对称图形，也是关于 05 _原__点__的中 心对称图形．
解 (1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即 4m2＋4－4m2－20m>0，解得 m<15， 故实数 m 的取值范围为－∞，15. (2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成圆的标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.
同理，得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x＋y＋5＝0. 由x2－x＋7yy＋＋150＝＝00，，得圆心的坐标为(－3，1)． 又圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（1－5）2＝5， 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
解
考点3.点与圆的位置关系
【例题 3】已知 a，b 是方程 x2－x－ 2＝0 的两个不等的实数根，则点
①x2，y2 的系数相同，且不等于 0，即 06 ___A_＝__B_≠_0___； ②不含 xy 这样的二次项，即 07 __C__＝__0___． 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．
北师大版高二数学练习册试题及答案
北师大版高二数学练习册试题及答案【导语】当一个小小的心念变成成为行为时，便能成了习惯；从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。
成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。
xx高二频道为莘莘学子整理了《北师大版高二数学练习册试题及答案》，希望对你有所帮助！【一】1．下列说法中不正确的是()A．数列a，a，a，…是无穷数列B．1，－3，45，－7，－8，10不是一个数列C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列解析：选B.A，D显然正确；对于B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选B.2．已知数列{an}的通项公式为an＝1＋（－1）n＋12，则该数列的前4项依次为()A．1，0，1，0B．0，1，0，1C.12，0，12，0D．2，0，2，0解析：选A.当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，那么()A．30是数列{an}的一项B．44是数列{an}的一项C．66是数列{an}的一项D．90是数列{an}的一项解析：选C.分别令2n2－n的值为30，44，66，90，可知只有2n2－n＝66时，n＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{an}的一项．4．已知数列的通项公式是an＝2，n＝1，n2－2，n≥2，则该数列的前两项分别是()A．2，4B．2，2C．2，0D．1，2解析：选B.当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝22－2＝2.5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝n（n－1）2C．an＝n（n＋1）2D．an＝n（n＋2）2解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a1＝1×22，a2＝2×32，a3＝3×42，a4＝4×52，所以猜想an＝n（n＋1）2，故选C.6．若数列{an}的通项满足ann＝n－2，那么15是这个数列的第________项．解析：由ann＝n－2可知，an＝n2－2n.令n2－2n＝15，得n＝5.答案：57．已知数列{an}的前4项为11，102，1003，10004，则它的一个通项公式为________．解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.答案：an＝10n＋n8．已知数列{an}的通项公式为an＝2021－3n，则使an>0成立的正整数n的值为________．解析：由an＝2021－3n>0，得n76，n 当且仅当n＝2时，上式成立，故区间13，23内有数列中的项，且只有一项为a2＝47.【二】1．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A．50B．40C．25D．20解析：选C.根据系统抽样的特点，可知分段间隔为100040＝25.2．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户，其中农民家庭1800户，工人家庭100户，知识分子家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，以调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有()①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．A．②③B．①③C．③D．①②③解析：选D.由于各类家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从三类家庭中抽出若干户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法．3．从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先利用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会()A．不全相等B．均不相等C．都相等D．无法确定解析：选C.系统抽样是等可能的，每人入样的机率均为502004.4．总体容量为524，若采用系统抽样，当抽样的间距为下列哪一个数时，不需要剔除个体()A．3B．4C．5D．6解析：选B.由于只有524÷4没有余数，故选B.5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为()A．11B．12C．13D．14解析：选B.法一：分段间隔为84042＝20.设在1，2，…，20中抽取的号码为x0，在[481，720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*，所以24120≤k＋x020≤36.因为x020∈120，1，所以k＝24，25，26， (35)所以k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.法二：使用系统抽样的方法，从840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在区间[481，720]抽取的人数为720－48020＝12.6．为了了解1203名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，现采用选取的号码间隔一样的系统抽样方法来确定所选取样本，则抽样间隔k＝________．解析：由于120340不是整数，所以从1203名学生中随机剔除3名，则抽样间隔k＝120040＝30.答案：307．某高三(1)班有学生56人，学生编号依次为01，02，03，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为06，34，48的同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为564＝14，所以样本编号应为06，20，34，48.答案：208．为了了解学生对某网络游戏的态度，高三(11)班计划在全班60人中展开调查．根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号：01，02，03，…，60.已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中的编号为________．解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽样距为k＝9－3＝6，而总体容量N＝60，所以样本容量n＝Nk＝10，即抽取10名同学，的编号为第10组抽取的个体的编号，故编号为3＋9×6＝57.答案：579．某批产品共有1564件，产品按出厂顺序编号，号码从1到1564，检测员要从中抽取15件产品做检测，请你给出一个系统抽样方案．解：(1)先从1564件产品中，用简单随机抽样的方法抽出4件产品，将其剔除．(2)将余下的1560件产品编号：1，2，3， (1560)(3)取k＝156015＝104，将总体均分为15组，每组含104个个体．(4)从第一组，即1号到104号利用简单随机抽样法抽取一个编号s.(5)按编号把s，104＋s，208＋s，…，1456＋s共15个编号选出，这15个编号所对应的产品组成样本．10．下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数：1200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；抽样间隔：120030＝40；确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户；…(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题？试修改；(3)何处是用简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：从标有1～10的号码中随机抽取一张，为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户．(3)确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.[B能力提升]11．为了检测125个电子元件的质量，欲利用系统抽样的方法从中抽取容量为1Δ(Δ中的数字被墨水污染，无法分辨)的样本进行检测，若在抽样时首先利用简单随机抽样剔除了5个个体，则Δ中的数字有()A．1种可能B．2种可能C．3种可能D．4种可能解析：选C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3种可能，分别为0，2，5.12．已知某种型号的产品共有N件，且40＜N＜50，现需要利用系统抽样抽取样本进行质量检测，若样本容量为7，则不需要剔除；若样本容量为8，则需要剔除1个个体，则N＝________．解析：因为样本容量为7时，不需要剔除，所以总体的容量N为7的倍数，又40＜N＜50，所以N＝42或49.若N＝42，因为42除以8的余数为2，所以当样本容量为8时，需要剔除2个个体，不符合题意；若N＝49，因为49除以8的余数为1，所以当样本容量为8时，需要剔除1个个体，满足题意，故N＝49. 答案：4913．为了调查某路口一个月的车流量情况，*采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为*这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？解：*所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.14．(选做题)一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0，1，2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．解：(1)由题意知此系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第1组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，则在第2组抽取的号码是290，…故依次是24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187得x＝88…，依次求得x值可能为21，22，23，54，55，56，87，88，89，90.。
高二精选题库数学 课堂训练5-4北师大版
第5章 第4节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A. 13B. 512C. 12D. 712答案：B解析：b n ＝1a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512. 2．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n，…的前n 项和为( ) A.2n2n ＋1 B.2nn ＋1 C.n ＋2n ＋1D.n2n ＋1 答案：B 解析：a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2n －2n ＋1，∴S n ＝(21－22)＋(22－23)＋(23－24)＋…＋(2n －2n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1.3. [原创题]已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝3n 2(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项的和为( )A. 32(3n －1)B. 92(3n －1) C. 38(9n －1) D. 98(9n －1)答案：C解析：当n ＝1时，a 1＝T 1＝3，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝3n 23(n －1)2＝32n －1，当n ＝1时也适合上式，所以当n ∈N *时，a n ＝32n －1，于是前n 项的和S n ＝3(1－9n )1－9＝38(9n－1)，故选C.4. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A. 13B. 10C. 9D. 6答案：D解析：∵a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝(1－12)＋(1－14)＋(1－18)＋…＋(1－12n )＝n －(12＋14＋18＋…＋12n )＝n －12[1－(12)n ]1－12＝n －1＋12n ，令n －1＋12n ＝32164，可得n ＝6.5．[2012·皖南联考]今年“十一”迎来祖国62周年华诞，北京十家重点公园将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )A ．211－47 B ．212－57 C ．213－68 D ．214－80答案：B解析：由题意可知，从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n 个30分钟内进入公园的人数为a n ，第n 个30分钟内出来的人数为b n ，则a n ＝4×2n －1，b n＝n ，则上午11时30分公园内的人数为S ＝2＋4(1－210)1－2－10(1＋10)2212－57，所以答案为B.6. 设f (x )是定义在R 上恒不为0的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n 为常数)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A. [12，2)B. [12，2]C. [12，1]D. [12，1)答案：D解析：f (2)＝f 2(1)，f (3)＝f (1)f (2)＝f 3(1)， f (4)＝f (1)f (3)＝f 4(1)，a 1＝f (1)＝12，∴f (n )＝(12)n ，S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n ∈[12，1)．二、填空题(每小题7分，共21分)7. 若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋ann ＋1＝__________.答案：2n 2＋6n解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)．于是a n n ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋an n ＋1＝2n 2＋6n .8. 对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.答案：2n ＋1－2解析：由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.9．等差数列{a n }的公差不为零，a 4＝7，a 1，a 2，a 5成等比数列，数列{T n }满足条件T n＝a 2＋a 4＋a 8＋…＋a 2n ，则T n ＝________.答案：2n ＋2－n －4解析：设{a n }的公差为d ≠0，由a 1，a 2，a 5成等比数列， 得a 22＝a 1a 5，即(7－2d )2＝(7－3d )(7＋d ) ∴d ＝2或d ＝0(舍去)． ∴a n ＝7＋(n －4)×2＝2n －1. 又a 2n ＝2·2n －1＝2n ＋1－1，∴T n ＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n ＋1－1) ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－n ＝2n ＋2－n －4.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．[2012·福建质检一]在等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为前n 项和，且满足S 2n －2S n ＝n 2，n ∈N *.(1)求a 2及{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n ＋qa n (q >0)，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)令n ＝1，由S 2n －2S n ＝n 2得S 2－2S 1＝12，即a 1＋a 2－2a 1＝1.又∵a 1＝1，∴a 2＝2，∴公差d ＝1. ∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)由(1)得b n ＝n ＋q n ，若q ≠1，则T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(q 1＋q 2＋…＋q n)＝n (n ＋1)2＋q (1－q n )1－q.若q ＝1，则b n ＝n ＋1，T n ＝n ·(b 1＋b n )2＝n (n ＋3)2.11. 等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数， a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝8或⎩⎨⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)， 所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)12. 已知函数f (x )对任意实数p ，q 都满足：f (p ＋q )＝f (p )·f (q )，且f (1)＝13.(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝nf (n )(n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项的和，求证：S n <34(3)设b n ＝nf (n ＋1)f (n )(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n与6的大小．解：(1)由题意知，f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，f (1)＝13，∴f (n ＋1)＝13f (n )(n ∈N *)，∴数列{f (n )}(n ∈N *)是以f (1)＝13为首项，13为公比的等比数列，∴f (n )＝13×(13)n －1，即f (n )＝(13)n (n ∈N *)．(2)由(1)知，a n ＝n (13)n ，则S n ＝1×13＋2×(132＋3×(13)3＋…＋(n －1)(13)n －1＋n (13)n ，①13S n ＝1×(13)2＋2×(13)3＋3×(13)4＋…＋(n －1)(13)n ＋n (13)n ＋1，② ①－②得：23S n ＝13＋(13)2＋(13)3＋…＋(13)n －n (13)n ＋1 ＝13[1－(13)n]1－13－n (13)n ＋1＝12[1－(13)n ]－n (13)n ＋1， ∴S n ＝34－34(13)n －n 2(13)n .∵n ∈N *，∴S n <34.(3)由题意知，b n ＝nf (n ＋1)f (n )＝13n ，则T n ＝13×n (n ＋1)2＝n (n ＋1)6，∴1T n ＝6(1n －1n ＋1)．∴1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ＝6(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝6(1－1n ＋1)． ∵n ∈N *，∴1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n<6.。
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第7章第4节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．下列命题中正确的是()A．过平面外一点作此平面的垂面是唯一的B．过直线外一点作此直线的垂线是唯一的C．过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的D．过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的答案：C解析：A、D中满足条件的平面是无数个，B中满足条件的直线也有无数条，故选C.2. 如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A. 平面ABC⊥平面ABDB. 平面ABD⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案：C解析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.所以选C.3. [2011·浙江卷]下列命题中错误的是()A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，，α∩β＝l，那么l⊥平面γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D解析： 不妨取一个长方体，面ABB 1A 1⊥面A 1B 1C 1D 1，而 C 1D 1 平面A 1B 1C 1D 1，C 1D 1∥面ABB 1A 1，从而D 错误，故选D.4．已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，则( )A ．α>β>γB ．α>γ>βC ．β>α>γD ．γ>β>α答案：B解析：如图，取底面BCD 的中心为点O ，连接AO ，BO ，易知∠ABO ＝β，取BC 的中点E ，连接AE 、OE ，易知∠AEO ＝γ，易知0<β<γ<π2，延长BO 交CD 于F ，则BF ⊥CD ，又AO ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AB ，即α＝π2，∴α>γ>β，故选B.5. m 、n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．下列命题中，①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ.正确的命题是( ) A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④答案：C解析：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中AA 1⊥平面ABCD ，A 1B 1∥平面ABCD ，则AA 1⊥A 1B 1，故①正确；平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面BB 1C 1C ⊥平面ABCD ，而平面ABB 1A 1∩平面BB 1C 1C ＝BB 1，故②错误；A 1B 1∥平面ABCD ，B 1C 1∥平面ABCD ，而A 1B 1∩B 1C 1＝B 1，故③错误；由α∥β，β∥γ，则α∥γ，如AA 1⊥平面ABCD ，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，则AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，故若m ⊥α，则m ⊥γ，故①④正确．选C.6. [2012·海淀模拟]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是 ( )A. {2}B. {255}C. {t |2≤t ≤22}D. {t |255≤t ≤2}答案：C解析：由下图可知，点F 在线段C 1D 1，C 1C 中点的连线段MP 上，不妨设正方体棱长为2，线面角为α，则tan α＝B 1C 1C 1F ＝2C 1F ，∵C 1F ∈[22，1]，∴tan α∈[2,22]．二、填空题(每小题7分，共21分)7．已知平面α，β和直线m ，n ，给出条件： ①m ∥α；②m ⊥α；③m α；④α⊥β；⑤α∥β. (1)当满足条件________时，有m ∥β； (2)当满足条件________时，有m ⊥β.(填所选条件的序号) 答案：(1)③⑤ (2)②⑤解析：若m α，α∥β，则m ∥β；若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β.8. 如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别为B ，D ，若增加一个条件，就能推出BD ⊥EF .现有①AC ⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF .那么上述几个条件中能成为增加条件的是______． 答案：①②③解析：①AC ⊥β可以得到AC ⊥EF ，又CD ⊥EF ，可得EF ⊥面ABDC ，推得BD ⊥EF .②③也可以推得BD ⊥EF ；④若AC ∥EF ，则AC 与BD 异面垂直才能推出BD ⊥EF ，又因为AB ∥CD ，故不可能成立．9. [2011·全国]已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于__________．答案：23解析：延长FE 、CB 相交于点G ，连结AG ，设正方体的棱长为3，则GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于H ，连结EH ，则∠EHB 为所求二面角的平面角．∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EB BH ＝23.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [2011·广东]如图，在锥体P －ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB ＝60°，P A ＝PD ＝2，PB ＝2，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(1)证明：AD ⊥平面DEF ； (2)求二面角P －AD －B 的余弦值．解：(1)证明：取AD 的中点O ，连结OP ，OB . ∵四边形ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB ＝60°， ∴△ABD 是边长为1的正三角形，得OB ⊥AD ，且OB ＝32. ∵P A ＝PD ＝2，∴PO ⊥AD ，且OP ＝72，∴AD ⊥面POB ，∵E ，F 分别是BC ，PC 的中点，∴EF ∥PB ，BE 綊DO ，即四边形DEBO 为平行四边形，得DE ∥BO ， ∴面DEF ∥面POB ，∴AD ⊥面DEF .(2)由(1)知：∠POB 为二面角P －AD －B 的平面角，又PB ＝2， ∴cos ∠POB ＝OP 2＋OB 2－PB 22OP ·OB＝74＋34－42×72×32＝－217，即二面角P －AD －B 的余弦值为－217. 11. [2011·全国]如图，四棱锥S －ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.(1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值．解：(1)证明：取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE ＝CB ＝2， 连结SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝ 3. 又SD ＝1，故ED 2＝SE 2＋SD 2， 所以∠DSE 为直角，由AB ⊥DE ，AB ⊥SE ，DE ∩SE ＝E ，得 AB ⊥平面SDE ，所以AB ⊥SD . SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直． 所以SD ⊥平面SAB .(2)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .作SF ⊥DE ，垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，SF ＝SD ×SE DE ＝32，作FG ⊥BC ，垂足为G ，则FG ＝DC ＝1， 连结SG ，则SG ⊥BC .又BC ⊥FG ，SG ∩FG ＝G ，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG . 作FH ⊥SG ，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC . FH ＝SF ×FG SG ＝37，即F 到平面SBC 的距离为217.由于ED ∥BC ，所以ED ∥平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也为217. 设AB 与平面SBC 所成的角为α， 则sin α＝d EB ＝217.12．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ＝2，平面PBC ⊥平面ABCD ，O 是BC 的中点，AO 交BD 于点E .(1)试探求直线P A 与BD 的位置关系；(2)点M 为直线P A 上的一点，当点M 在何位置时有P A ⊥平面BDM?(3)判定平面P AD 与平面P AB 的位置关系． 解：(1)P A ⊥BD .下面给出证明：∵PB ＝PC ，且O 是BC 的中点，∴PO ⊥BC ，又∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，∴PO ⊥平面ABCD .∵BD 平面ABCD ，∴PO ⊥BD .在梯形ABCD 中，可得Rt △ABO ≌Rt △BCD ，∵∠BEO ＝∠OAB ＋∠DBA ＝∠DBC ＋∠DBA ＝90°，即AO ⊥BD . ∵PO ∩AO ＝O ，∴BD ⊥平面P AO . 又P A 平面P AO ，∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接BM 、DM ，由于AB ＝PB ，则P A ⊥BM .又P A ⊥BD ，所以P A ⊥平面BDM .故当点M 为P A 的中点时，P A ⊥平面BDM . (3)平面P AD ⊥平面P AB .下面给出证明：取PB 的中点N ，连接CN .∵PC ＝BC ，∴CN ⊥PB ， ① ∵AB ⊥BC ，且平面PBC ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥平面PBC .∵AB 平面P AB ，∴平面PBC ⊥平面P AB . ② 由①、②可知CN ⊥平面P AB . 连接MN ，则由MN ∥AB ∥CD ，MN ＝12AB ＝CD ，得四边形MNCD 为平行四边形．∴CN ∥DM ，∴DM ⊥平面P AB .∵DM 平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB .。
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高二精选题库数学选修4 4 2北师大版高二精选题库数学选修4-4-2北师大版选修课4-4第2节[知能演练]一、多项选择题x＝t1.参数方程是？（t为参数）等效的一般方程为y＝21－t()a．x2＋y24＝1．x2＋y2b4＝1(0≤十、≤1)．x2＋y2c4＝1(0≤Y≤2)d．x2＋y24＝1(0≤十、≤1,0≤Y≤2)解析：x2=t，y24=1－t=1－x2，x2＋y24=1，t≥ 0,0 ≤ 1-T≤ 1, 0 ≤ Y≤ 2.答案：d2.如果曲线C的参数方程为x＝1＋cos2θy＝sin2θ（θ是一个参数），那么曲线C上点的轨迹是（a.直线x+2y-2=0b.射线，以（2,0）为端点C.圆（x-1）2+y2=1d．以(2,0)和(0,1)为端点的线段分析：将曲线的参数方程转化为普通方程，得到x+2y-2=0（0≤ 十、≤ 2,0 ≤ Y≤ 1). 回答：D3．直线x＝－2＋t1－t(t为参数)被圆(x－3)2＋(y＋1)2＝25所截得的弦长为y＝a.98b.4014c.82d、 93＋43x＝－?x＝－2＋2t×2决议：？2＋ty＝1－t2.y＝1－2t×22))x＝－2＋t把直线?代入(x－3)2＋(y＋1)2＝25得(－5＋t)2＋(2－t)2＝25，t2－7t＋2＝0y＝1－t？|t1－t2|＝?t1＋t2?2－4t1t2＝41，弦长为2|t1－t2|＝82.答案：c二、填空题x＝1＋cosθ？4.圆C：（θ）（参数）的一般方程为____________________？y0)在c上运动，点p(x，y)是线段om的中点，则点p的轨迹方程为________．x－1＝cosθ答案：∵?y＝sinθ？∴(x－1)2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＝1.∴普通方程为(x－1)2＋y2＝1.点m的坐标可以设置为m（1+COS）θ，sinθ）2x－1＝cosθ，1＋cosθsinθ那么p（，），就是？22?2y＝sinθ，?∴（2x－1）2＋（2y）2＝cos2θ＋sin2θ＝一点一∴点p的轨迹方程为(x－)2＋y2＝.二千四百一十一答案：(x－1)2＋y2＝1(x－)2＋y2＝24x＝1＋tsinα，?π5.已知直线l的参数方程是什么？（t是参数），其中实数α的范围为（0，），2??y＝－2＋tcosα那么直线L的倾角是___解析：首先要根据α的范围把直线的参数方程化为标准参数方程，根据标准式结合αx＝1＋总体拥有成本？2－α?，的范围得出直线的倾斜角．直线l的参数方程可以化为?πy＝2＋钦？－α?? 二π因此，根据方程式，直线的倾角为-α。
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第7章 第6节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④答案：A解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，综上①②符合题意．2．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →可表示为(用a ，b ，c 表示)．( )A.12a ＋14b ＋14B.12a ＋13b －12cC.13a ＋14b ＋14cD.13a －14b ＋14c 答案：A解析：OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14→＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 3. 设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则点A 在平面BCD 内的射影是三角形BCD 的( )A ．垂心B ．外心C ．内心D ．不能确定答案：A解析：由AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0得AB →·AC →－AC →·AD →＝AC →·(AB →－AD →)＝AC →·DB →＝0，所以AC ⊥DB ，同理可得AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，所以A 点在平面BCD 内的射影是三角形BCD 的垂心．4．已知空间四边形ABCD 中，M 、G 分别为BC 、CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 答案：A解析：如图所示：12(BD →＋BC →)＝BG →，AB →＋BG →＝AG →. 5. [2012·广东揭阳一模]已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A. －2B. －143C. 145D. 2答案：D解析：a －λb ＝(λ－2,1－2λ，3－λ)，由a ⊥(a －λb )， 得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2.6. [2012·海淀一模]在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的值有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C解析：建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)，O (1,1,0)，∴OP 的中点坐标为(x ＋12，y ＋12，1)，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3，∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1.∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．其中真命题是__________． 答案：③解析：①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13→＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋M C →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC →共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．8．已知空间三点A (1,1,1)、B (－1,0,4)、C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________． 答案：120°解析：AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)， cos 〈AB →，CA →〉＝AB →·CA→|AB →||CA →|＝2－3－614×14＝－714＝－12， ∴〈AB →，CA →〉＝120°，即θ＝120°.9. 已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ等于__________．答案：657解析：由于a ，b ，c 三个向量共面，所以存在实数m ，n 使得c ＝ma ＋nb ，即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n 5＝－m ＋4nλ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657. 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)EF →·FC 1→. 解：如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC →·ED 1→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16.(2)EF →·FC 1→＝[12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a )＝12(－a ＋b ＋c )·(12b ＋a ) ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.11. 如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．解：∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·(AC →－AB →) ＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC→|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225故OA →，BC →夹角的余弦值为3－225，即直线OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.12．直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 解：(1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a|，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
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第6章 第7节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 证明1＋12＋13＋14＋…＋12n <n ＋1(n >1)，当n ＝2时，左边式子等于( )A. 1B. 1＋12C. 1＋12＋13D. 1＋12＋13＋14答案：D解析：当n ＝2时，左边的式子为 1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.2．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案：C3. [2012·辽宁沈阳质检]用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B解析：左边＝1＋12＋14…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案：A解析：假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．5. [2012·怀化模拟]用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 答案：D解析：A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数． 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，则猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n－1D.22n －1答案：B解析：由S n ＝n 2a n 知，S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1， 所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 所以a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 所以a n ＋1＝nn ＋2a n(n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，所以a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的所有正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取______．答案：5解析：当n ＝1时，2>2不成立；当n ＝2时，4>5不成立；当n ＝3时，8>10不成立；当n ＝4时，16>17不成立；当n ＝5时，32>26成立；当n ＝6时，64>37成立，由此猜测n 0应取5.8. [2012·淮南调研]若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2， ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.9．如下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，则第n 个图中所含化学键的个数为________．答案：5n ＋1解析：每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n 个结构简图有(5n ＋1)个化学键．可用数学归纳法验证该结论是否正确．三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1， n ＝2，左边＝54，右边＝65，∴左≥右，即命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k2k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1， 只要证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3. ∵3(k ＋1)2k ＋3－3k 2k ＋1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1] ＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)<0，∴3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)、(2)知，不等式对一切n ∈N *均成立．11. [2012·浙江宁波]是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立，若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由．解：假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立．当n ＝1时，a (b ＋c )＝1； 当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6； 当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a (b ＋c )＝1，a (4b ＋c )＝3，3a (9b ＋c )＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下：①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)；当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2 ＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3) ＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]． 即n ＝k ＋1时，等式成立．因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N *都成立．12. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝(2－1)(a n ＋2)，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }中，b 1＝2，b n ＋1＝3b n ＋42b n ＋3n ＝1,2,3，…，证明：2<b n ≤a 4n －3，n ＝1,2,3，….解：(1)因为a n ＋1＝(2－1)(a n ＋2)＝(2－1)(a n －2)＋(2－1)(2＋2)＝(2－1)(a n －2)＋2，所以a n ＋1－2＝(2－1)(a n －2)．所以数列{a n －2}是首项为2－2，公比为 2－1的等比数列， 所以a n －2＝2(2－1)n，即{a n }的通项公式a n ＝2[(2－1)n ＋1]，n ＝1,2,3，…. (2)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝1时，因为2<2＝b 1＝a 1＝2，所以2<b 1≤a 1，结论成立；(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即2<b k ≤a 4k －3，即0<b k －2≤a 4k －3－ 2. 当n ＝k ＋1时，b k ＋1－2＝3b k ＋42b k ＋3－ 2＝(3－22)b k ＋(4－32)2b k ＋3＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3>0，又12b k ＋3<122＋3＝3－22，所以b k ＋1－2＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3<(3－22)2(b k －2)≤(2－1)4(a 4k －3－2)＝a 4k ＋1－2.也就是说，当n ＝k ＋1时，结论成立． 根据(ⅰ)和(ⅱ)知，2<b n ≤a 4n －3，n ＝1,2,3，….。
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第9模块第2节[知能演练]一、选择题1．运行下面的程序时，WHILE循环语句的执行次数是()A．3B．4C．15 D．19解析：解读程序时，可采用一一列举的形式：(1)N＝0＋1＝1；N＝1×1＝1；(2)N＝1＋1＝2；N＝2×2＝4；(3)N＝4＋1＝5；N＝5×5＝25.故选A.答案：A2．下面程序的运行结果是()A．10,200 B．11,200C．11,210 D．12,210解析：采用一一列举的形式，寻求规律：答案：D3．用辗转相除法求713和207的最大公约数时，需要做除法的次数是()A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：713＝3×207＋92， 207＝2×92＋23， 92＝4×23，需要做3次除法．故答案是C. 答案：C4．将三进制数2 化为十进制数为 ( )A ．3n －1 B.3n－12C.2(10n －1)9D.10n －19解析：三进制数＝2＋2·3＋2·32＋…＋2·3n －1＝3n －1.选A. 答案：A 二、填空题5．已知f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1.(1)用秦九韶算法计算函数值时，首先将f (x )化为__________．(2)用秦九韶算法求f (0.4)的值时，需要进行__________次乘法运算，__________次加法运算；(3)按照秦九韶算法计算公式v 0＝a n ，v 1＝v 0x ＋a n －1，…，v n ＝v n －1x ＋a 0，计算f (0.4)的过程中可得到一个数列{v n }，则数列{v n }为________．答案：(1)f (x )＝(((((3x ＋4)x ＋5)x ＋6)x ＋7)x ＋8)x ＋1) (2)6 6(3)3,5.2,7.08,8.832,10.5328,12.21312,5.885248.6．下面的程序运行后，其输出的n 的值是__________．解析：程序执行如下：(1)j ＝1＋1＝2，j ＝2＋1＝3；(2)j ＝3＋1＝4，n ＝0＋1＝1，j ＝4＋1＝5； (3)j ＝5＋1＝6，j ＝6＋1＝7；(4)j ＝7＋1＝8，n ＝1＋1＝2，j ＝8＋1＝9； (5)j ＝9＋1＝10，j ＝10＋1＝11；(6)j ＝11＋1＝12，n ＝2＋1＝3，j ＝12＋1＝13. 答案：3 三、解答题7．(1)把六进制数5342化为十进制数； (2)把九进制数387化为五进制数．解：(1)因为5342(6)＝5×63＋3×62＋4×6＋2＝1214， 所以六进制数5342化为十进制数是1214.(2)把九进制数387化为十进制数：387(9)＝3×92＋8×9＋7＝322， 把十进制数322化为五进制数：所以387(9)＝2442(5)．8．数列{a n }满足a n ＝a n －1＋a n －22(n ＝3,4，…)，已知a 3＝0．25，a 4＝－0.125.试编写程序列出数列的前20项，并求前20项的和． 解：首先直接用公式计算出a 2＝－0.5，a 1＝1， 编写程序如下：[高考·模拟·预测]1．下边方框中为一个求20个数的平均数的程序，则在横线上应填的语句为( )A ．i >20B ．i <20C ．i >＝20D ．i <＝20解析：加完第20个数，i ＝21，应是第1次满足条件，故选A. 答案：A2．下图是把二进制数11111(2)化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( )A ．i >5B ．i ≤4C ．i >4D ．i ≤5 解析：s ＝1×24＋1×23＋1×22＋1×21＋1＝((((2×1＋1)×2＋1)×2＋1)×2＋1)×2＋1(秦九韶算法)． 循环体需执行4次后跳出，故选C. 答案：C3．下边的程序语句输出的结果S 为( )A ．17B ．19C ．21D ．23解析：I 从1开始，依次取3,5,7,9，…，当I<8时，循环继续进行，故当I ＝9时，跳出循环．故输出S ＝2×7＋3＝17，选A .答案：A4．给出一个算法：根据以上算法，可求得f (－1)＋f (2)＝__________.解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≤0，2x ，x >0，∴f (－1)＋f (2)＝－4＋22＝0. 答案：05．为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是__________．解析：程序对应的函数是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x <0，(x －1)2，x ≥0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，(x ＋1)2＝25或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，(x －1)2＝25， 得x ＝－6或x ＝6. 答案：6或－66．设函数f (x )＝15x 5－16x ＋c .(1)求函数f (x )的极值点a ，b (a <b )；(2)若方程f (x )＝0在[a ，b ]内有解，求c 的取值范围C ；(3)设常数c 0＝0，试写出用二分法求f (x )＝0的精确度为0.0001的近似解的程序框图和程序．解：(1)f ′(x )＝x 4－16＝(x 2－4)(x 2＋4)， ∴方程f ′(x )＝0的解为x ＝±2.∵当x <－2或x >2时，f ′(x )>0，当－2<x <2时，f ′(x )<0. ∴f (x )的极大值点a ＝－2，极小值点b ＝2.(2)若方程f (x )＝0在[a ，b ]内有解，即c ＝－15x 5＋16x ，故c 的取值范围C 即为y ＝－15x 5＋16x (－2≤x ≤2)的值域．∵y ＝－15x 5＋16x 在[－2,2]上单调递增，∴C ＝{c |－1285≤c ≤1285}．(3)程序框图如下图所示．程序如下：。
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第10章 第6节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)＝( )A. 15 B. 25 C. 35 D. 45答案：D解析：P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝C 34C 36＋C 24C 12C 36＝45.2．若离散型随机变量ξ的分布列为( )则常数c 的值为( ) A.23或13 B.23 C.13 D ．1 答案：C解析：由题意知(9c 2－c )＋(3－8c )＝1， 解得c ＝23或c ＝13，当c ＝23时，3－8c ＝－73<0，不合题意，当c ＝13时，3－8c ＝13，9c 2－c ＝23，∴c ＝13.3．某射手射击所得环数X 的分布列为：A ．0.28B ．0.88C ．0.79D ．0.51答案：C解析：P (X >7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)答案：C解析：X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，k ＝4.5．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么( ) A ．n ＝3 B ．n ＝4 C ．n ＝10 D ．n ＝9答案：C解析：∵P (X ＝k )＝1n(k ＝1,2,3，…，n )，∴0.3＝P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n，∴n ＝10.6．[2012·山东烟台]一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值是( )A.1220B.2755C.27220D.2155答案：C解析：“X ＝4”表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.二、填空题(每小题7分，共21分) 7．已知随机变量ξ的分布列为若η＝2ξ－3，则η答案：解析：由η＝2ξ－38．随机变量ξ的分布列如下：若a 、b 、c 成等差数列，则答案：23解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1， ∴b ＝13，∴P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.9．抛掷两颗骰子，设掷得点数和为随机变量ξ，则P (3<ξ<7)＝__________. 答案：13解析：抛掷两颗骰子所得的点数之和情况如下表：因此P (ξ＝4)＝336＝112；P (ξ＝5)＝436＝19；P (ξ＝6)＝536.故P (3<ξ<7)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＋P (ξ＝6)＝13.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [2012·江西六校联考]小明打算从A 组和B 组两组花样滑冰动作中选择一组参加比赛．已知小明选择A 组动作的概率是选择B 组动作的概率的3倍，若小明选择A 组动作并正常发挥可获得10分，没有正常发挥只能获得6分；若小明选择B 组动作则一定能正常发挥并获得8分．据平时训练成绩统计，小明能正常发挥A 组动作的概率是0.8.(1)求小明选择A 组动作的概率；(2)设x 表示小明比赛时获得的分数，求x 的分布列．解：(1)设小明选择A 组动作的概率为P (A )，选择B 组动作的概率为P (B )， 由题知P (A )＝3P (B )，P (A )＋P (B )＝1， 解得P (A )＝0.75.(2)由题知x 的取值为6,8,10. P (x ＝6)＝0.75×0.2＝0.15， P (x ＝8)＝0.25，P (x ＝10)＝0.75×0.8＝0.6.其分布列为11.[2011·湖南]3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列．解：(1)P (“当天商店不进货”)＝P (“当天商店销售量为0件”)＋P (当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (“当天商品销售量为1件”)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为2件”)＋P (“当天商品销售量为3件”)＝120＋920＋520＝34.故X 的分布列为12.40人，成绩分为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人．将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片上队员的跳高成绩为X ，跳远成绩为Y ，设X ，Y 为随机变量(注：没有相同姓名的队员)．(1)求X ＝4的概率及X ≥3且y ＝5的概率； (2)求m ＋n 的值；(3)若Y 的均值为10540，求m ，n 的值.解：(1)当X ＝4时的概率为P 1＝940；当X ≥3且Y ＝5时的概率为P 2＝440＝110.(2)m ＋n ＝40－37＝3.(3)P (Y ＝1)＝8＋n 40；P (Y ＝2)＝14；P (Y ＝3)＝14；P (Y ＝4)＝4＋m 40；P (Y ＝5)＝18.因为Y 的均值为10540，所以99＋n ＋4m 40＝10540，于是m ＝1，n ＝2.。
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第10章 第8节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1．随机变量ξ的分布列为，则E (5ξ＋4)等于( ) A ．13 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 答案：A 解析：由已知得E (ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E (5ξ＋4)＝5E (ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13. 2. [2012·荆州质检]随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝3，则D (ξ)的值是( )A. 13B. 23 C. 59 D. 79答案：C解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，且E (ξ)＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13，∴a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.3. 设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A. 53B. 73C. 3D.113答案：C解析：由E (ξ)＝43，D (ξ)＝29得：⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝43(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2·13＝29，解得：⎩⎨⎧x 1＝53x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2，由于x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.4. [2012·浙江嘉兴]甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数ξ的期望是( )A. 43B.119C. 1D. 89答案：A解析：依题意，ξ的取值为0,1,2. 且P (ξ＝0)＝(1－23×(1－23)＝19，P (ξ＝1)＝23×(1－23)＋(1－23)×23＝49，P (ξ＝2)＝23×23＝49.故ξ的期望E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43.5．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie－(x －μi )22σ2i(x ∈R，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 答案：D解析：正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图像一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6. 若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则2D (ξ)－1E (ξ)的最大值为( )A. 2＋2 2B. 2 2C. 2－ 2D. 2－2 2答案：D解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，∴E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (ξ)＝(0－p )2·(1－p )＋(1－p )2·p ＝p －p 2，∴2D (ξ)－1E (ξ)＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥ 22，当且仅当2p ＝1p p ＝22时等号成立，因此当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取最大值2－2 2. 二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2011·上海]马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝__________.答案：2解析：设P (ξ＝1)＝x ，则P (ξ＝2)＝1－2x ，P (ξ＝3)＝x ， ∴E (ξ)＝1·x ＋2·(1－2x )＋3·x ＝2.8．[2012·广东江门]已知X ～N (μ，σ2)，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.68，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布N (100,100)，则本次考试120分以上的学生约有__________．答案：500解析：依题意可知μ＝100，σ＝10， 由于P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95， 所以P (80<X ≤120)＝0.95，因此本次考试120分以上的学生约有 20000×(1－0.95)2＝500.9．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 答案：乙解析：甲、乙的均值分别为Eξ＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， Eη＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以Eξ>Eη， 故乙的技术较好．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 的值，并求E (ξ)，D(ξ)的值.解：(1)0≤P i ≤1 i ＝1,2，...； (2)p 1＋p 2＋ (1)所以有⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2q ≤1，q 2≤1，解得q ＝1－12. 故ξ的分布列应为：所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(32－2)＝1－2，D (ξ)＝[－1－(1－2)]2×12＋[0－(1－2)]2×(2－1)＋[1－(1－2)]2×(32－2)＝2－1.11. [2011·天津]学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )． 解：(1)设A i ＝“在1次游戏中摸出i 个白球”(i ＝0,1,2,3)，则①P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15，②P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12.又A 2与A 3互斥，∴P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.即获奖的概率为710.(2)X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12·710·(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝C 22(710)2＝49100.所以X 的分布列是∴X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.12. [2011·福建]某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3P 22222＝7)＋8P (X 2＝8) ＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．现由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．。
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第2章 第2节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 函数f (x )＝ln (4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A. (－∞，32]B. [32，＋∞) C. (－1，32]D. [32，4)答案：D解析：函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－(x －32)2＋254的减区间为[32，4)，∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4).2. [2012·安徽省“江南十校”联考]已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，则f (1)的值( )A. 恒为正数B. 恒为负数C. 恒为0D. 可正可负答案：A解析：∵定义在R 上的奇函数有f (0)＝0，f (x )在R 上递增， ∴f (1)>f (0)＝0，故选A.3. [2012·安庆一模]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ， x <0a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,1)B. [13，1) C. (0，13]D. (0，23]答案：B解析：据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 4. [2012·山东济宁一模]定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足f (log18x )>0的x 的取值范围是( )A. (0，＋∞)B. (0，12)∪(2，＋∞)C. (0，18)∪(12，2)D. (0，12)答案：B解析：由f (x )＝f (－x )＝f (|x |)得 f (|log 18x |)>f (13)，于是|log 18x |>13，解得选B.5. [2012·广东省江门市调研]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝x ·2x ，则当x >0时，f (x )等于( )A. x ·2－xB. －x ·2xC. －x ·2－xD. x ·log 2x答案：A解析：∵x >0，∴－x <0，∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x )·2－x ＝x ·2－x .6. [2011·湖南]已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A. [2－2，2＋2]B. (2－2，2＋2)C. [1,3]D. (1,3)答案：B解析：根据条件可得e a －1＝－b 2＋4b －3， ∵e a >0，∴－b 2＋4b －2>0， 即b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b <2＋ 2. 故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·浙江省金华十校高考模拟]已知函数f (x )为奇函数，函数f (x ＋1)为偶函数，f (1)＝1，则f (3)＝__________.答案：－1解析：法一：根据条件可得f (3)＝f (2＋1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.法二：使用特殊值法，寻求函数模型，令f (x )＝sin π2x ，则f (x ＋1)＝sin (π2x ＋π2)＝cos π2x ，满足以上条件，所以f (3)＝sin3π2＝－1.8. 若在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________.答案：3解析：对于g (x )＝x ＋1x 在x ＝1时，g (x )的最小值为2，则f (x )在x ＝1时取最小值2， ∴－p2＝1，4q －p 24＝2.∴p ＝－2，q ＝3. ∴f (x )＝x 2－2x ＋3，∴f (x )在该区间上的最大值为3.9. [2012·安徽省淮南市第一次模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，(x ≤0)2ax －1，(x >0)(a 是常数且a >0).对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在[12，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2.其中正确命题的序号是__________.答案：①③④解析：如图，①正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；若f (x )>0在[12，＋∞)上恒成立，则2a ×12－1>0，a >1，③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2成立，④正确.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25. (1)求函数f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0f (12)＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0a 2＋b 1＋14＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，∴f (x )＝x1＋x 2(－1<x <1).(2)设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1＋x 21>0,1＋x 22>0，又∵－1<x 1x 2<1，∴1－x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x )在(－1,1)上是增函数.(3)f (t －1)＋f (t )<0，即f (t －1)<－f (t )＝f (－t )，∵f (x )在(－1,1)上是增函数，∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12.∴不等式的解集为{t |0<t <12}.11. [2012·南昌调研]设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(t ∈R ，t >0). (1)求f (x )的最小值s (t )；(2)若s (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)时恒成立，求实数m 的取值范围. 解：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(t ∈R ，t >0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取得最小值f (－t )＝－t 3＋t －1. 即s (t )＝－t 3＋t －1.(2)令h (t )＝s (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m . 由h ′(t )＝－3t 2＋3＝0，得t ＝1或t ＝－1(舍去). 则有∴h (t )在(0,2)∴s (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)时恒成立等价于h (t )<0恒成立，即1－m <0，∴m >1. 12. 已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①∀x ，y ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )>0，且f (2)＝1.(1)试判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (3)求函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集.解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1×1)＝f (1)＋f (1)，得f (1)＝0； 再令x ＝y ＝－1，则f [(－1)·(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，得f (－1)＝0. 对于条件f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－1， 则f (－x )＝f (x )＋f (－1)，所以f (－x )＝f (x ).又函数f (x )的定义域关于原点对称，所以函数f (x )为偶函数. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则有x 2x 1>1.又∵当x >1时，f (x )>0，∴f (x 2x 1)>0.而f (x 2)＝f (x 1·x 2x 1)＝f (x 1)＋f (x 2x 1)>f (x 1)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(3)∵f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，又f (2)＝1，∴f (4)＝2.又由(1)(2)知函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f (4)＝f (－4)＝2.(4)∵f (3x －2)＋f (x )＝f [x (3x －2)]，4＝2＋2＝f (4)＋f (4)＝f (16)，∴原不等式等价于f [x (3x －2)]≥f (16)，又函数f (x )为偶函数，且函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x (3x －2)|≥16，即x (3x －2)≥16或x (3x －2)≤－16，解得x ≥83或x ≤－2.∴不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集为{x |x ≤－2或x ≥83}.。
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第9章 第4节
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分) 1．观察下列各图形：
其中两个变量x 、y 具有相关关系的图是( ) A ．①② B ．①④ C ．③④ D ．②③
答案：C
解析：相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关．①②是不相关的，而③④是相关的．
2. [2012·江西八校联考]在2011年3月15日那天，南昌市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：
通过散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线的方程是y ^
＝－3.2x ＋a ，则a ＝( )
A. －24
B. 35.6
C. 40.5
D. 40
答案：D
解析：由题意得到x ＝15×(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，y ＝1
5×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，且回归直线
必经过点(x ，y )＝(10,8)，则有8＝－3.2×10＋a ，a ＝40，选D.
3. [2011·山东]某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A. 63.6万元
B. 65.5万元
C. 67.7万元
D. 72.0万元
答案：B
解析：据表可得x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42，因为回归直线过样本中心点(7
2，42)，
且b ^＝9.4，∴a ^＝9.1.即回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，∴当x ＝6时，y ^
＝65.5万元，故选B.
4．[2012·山东烟台]下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( ) A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5
答案：A
解析：样本中心点是(x ，y )，即(4.5，11＋t 4)．因为回归直线过该点，所以11＋t
4
＝0.7×4.5＋0.35，解得t ＝3.
5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )
A ．若K 2的观测值为K 2＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B ．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
C ．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误
D ．以上三种说法都不正确 答案：C
6．[2011·江西]变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )
A ．r 2<r 1<0
B ．0<r 2<r 1
C ．r 2<0<r 1
D ．r 2＝r 1
答案：C
解析：对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2<0，所以有r 2<0<r 1.故选C.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. [2012·佛山一模]在2012年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：
x 的回归直线方程为__________．
答案：y ^
＝－3.2x ＋40
解析：∑i ＝1
5
x i y i ＝392，x ＝10，y ＝8，∑i ＝1
5
(x i －x )2＝2.5，代入公式，得b ＝－3.2，所以a ＝y －b x ＝
40，故回归直线方程为y ^
＝－3.2x ＋40.
8．[2011·广东]某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________cm.
答案：185
解析：设父亲身高为x cm ，儿子身高为y cm ，则
x ＝173，y ＝176，b ^
＝0×(－6)＋(－3)×0＋3×6
02＋9＋9
＝1，
a ^＝y －
b ^x ＝176－1×173＝3，∴y ^＝x ＋3，当x ＝182时，y ^
＝185.
9．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表的数据，可以有________%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
独立性检验临界值表
K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
.
答案：97.5
解析：根据公式K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，代入数据可求得：K 2＝5.934，根据独立性检验临界值
表可知P (K 2≥5.024)＝0.025，所以我们有97.5%的把握认为该校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．
三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10．现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x 与入学后的第一次数学成绩y ，数据如下：
问这解：应用散点图分析．两次数学考试成绩散点图如图所示：
由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，且y 随x 的变大而变大．具有正相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．
11．[2011·安徽]某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝bx ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，
b ＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42
＝26040＝6.5，a ＝y －b x ＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ^
－257＝b (x －2006)＋a ＝6.5(x －2006)＋3.2， 即y ^
＝6.5(x －2006)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为 6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
12．某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量值落在[495,510)的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．
表1
(1)根据上表数据作出甲流水线样本的频率分布直方图；
(2)若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率；
(3)由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.
附：K2＝n(
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中n＝a＋b＋c＋d.
(2)由图1知，乙样本中合格品的频率为(0.06＋0.09＋0.03)×5＝0.9，
故从乙流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率P＝0.9.
设ξ为从乙流水线上任取5件产品中的合格品数，则ξ～B(5,0.9)，∴P(ξ＝3)＝C35×(0.9)3×(0.1)2＝0.0729.
即从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率为0.0729.
(3)2×2列联表如下：
∵K2＝n(ad－bc)
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
＝80×(120－360)2
66×14×40×40
≈3.117>2.706，
∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．。