甘肃省通渭县马营中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案

马营中学2017-2018学年度高三级第1次月考
数学（理） 试卷
班级 ＿＿＿＿座位号： 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿得分＿＿＿＿＿＿
一选择题(共12小题,每小题5分)
1.已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则( )
A ．A
B
B ．B
A
C ．A ＝B
D ．A ∩B ＝∅
2.命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x >1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1
3.设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( ) A ．(1，2) B ．[1，2] C ．[1，2)
D ．(1，2]
4.命题“若α＝π
4，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A ．若α≠π4，则tan α≠1
B ．若α＝π
4 ，则tan α≠1
C ．若tan α≠1，则α≠π4
D ．若tan α≠1，则α＝π
4
5.已知全集U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B ＝{2，4，5，6，8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )
A ．{5，8}
B ．{7，9}
C ．{0，1，3}
D ．{2，4，6}
6.设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1”是“
1a ＋1b ＋1
c
≤a ＋b ＋c ”的( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要的条件
7.已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )
A ．A ⊆
B B ．
C ⊆B C ．
D ⊆C
D ．A ⊆D
8.已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)＞0；②f (0)f (1)＜0；③f (0)f (3)＞0；④f (0)f (3)＜0.
其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③
D ．②④
9. 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
10.已知a ＝21.2
，b ＝⎝⎛⎭
⎫12－0.8
，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c <b <a
B ．c <a <b
C ．b <a <c
D ．b <c <a
11.函数y ＝cos 6x 2x －2－x
的图象大致为( )
12.已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )
二,填空题(共4小题,每小题5分)
13.设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x
x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．
14.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上， f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .
若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫
32，则a ＋3b 的值为________．
15、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 . 16.已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0，0)、B ⎝⎛⎭⎫12，1、C (1，0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为__________．
三.解答题(共6小题,每小题12分)
17.解不等式213+<-x x 。

18.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .
(Ⅰ) 求A ；
(Ⅱ) 若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .
19.设0＜a ＜1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B .
(1)求集合D (用区间表示)；
(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．
20.设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1
ax
＋b (a ＞0)．
(Ⅰ)求f (x )的最小值；
(Ⅱ)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3
2x ，求a ，b 的值．
21.设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：
(Ⅰ)当x >1时，f (x )<3
2(x －1)；
(Ⅱ)当1<x <3时，f (x )<9（x －1）
x ＋5.
22.已知f (x )＝lg(x ＋1)．
(1)若0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围；
(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1，2])的反函数．
马营中学2016-2017高三第一次月考数学试卷(理)答案
1.B. A ＝{x |－1<x <2}，∴B
A .
2.C ∃x ∈R ，使x ＞1的否定为： ∀x ∈R ，使x ≤1.
3.D A ＝[－1，2]，B ＝ (1，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]．
4.C 由“若α＝π4，则tan α＝1”，得逆命题“若tan α＝1，则α＝π
4”，得逆否命题“若
tan α≠1，则α≠π
4
”．
5.B ∁U A ＝{2，4，6，9，7}，
∁U B ＝{0，1，3，9，7}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{7，9}． 6.A
1a ＋1b ＋1
c
≤a ＋b ＋c ⇔ab ＋ac ＋bc ≤(a ＋b ＋c )abc ⇒ab ＋ac ＋bc ≤a ＋b ＋c ，
而ab ＋bc ＋ca ≤a ＋b ＋c 显然成立， 故“abc ＝1”是“
1a ＋1b ＋1
c
≤a ＋b ＋c ”的充分但不必要条件． 7.B 因为平行四边形包含矩形、正方形、菱形，矩形又包含正方形．故选B. 8.C ∵f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，
∴f (x )在(－∞，1)，(3＋∞)上单调递增， f (x ) 在(1，3)上单调递减． 又f (a )＝f (b )＝f (c )＝0， ∴f (x )的草图如下．
由图象可知f (1)>0，f (3)<0且a <1<b <3<c ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧4－abc >0
abc >0， 故0<abc <4. ∴a >0.
即0<a <1<b <3<c . ∴f (0)·f (1)<0，f (0)·f (3)>0.
故选C.
9.C 前m 年的年平均产量最高，而S m
m 最大，由图可知，前9年(含第9年)直线递增，
当m ＞9(m ∈N ＋)时，总产量S n 递增放慢，故m ＝9.
10.A ∵b ＝⎝⎛⎭
⎫
12－0.8
＝20.8<21.2＝a ，且b >1，
又c ＝2log 52＝log 54<1， ∴c <b <a .
11.D y ＝cos6x 2x －2－x
为奇函数，
排除A 项．y ＝cos6x 有无穷多个零点，排除C 项．当x →0＋
时，2x －2－
x ＞0，cos6x →1，∴y ＞0，故选D.
∴a >0.
即0<a <1<b <3<c . ∴f (0)·f (1)<0，f (0)·f (3)>0. 故选C.
12.B 由f (x )――→关于y 轴
对称f (－x )――→右移2个单位
f [－(x －2)]――→沿x 轴翻折－f (2－x )．
13. 2 f (x )＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )为奇函数，对于一个奇函数，其
最大值与最小值之和为0，即g (x )max ＋g (x )min ＝0，而f (x )max ＝1＋g (x )max ，f (x )min ＝1＋g (x )min ，∴f (x )max ＋f (x )min ＝M ＋m ＝2.
14. －10 ∵f (32)＝f (－1
2
)，
∴f (12)＝f (－12)，∴1
2b ＋232＝－1
2
a ＋1，
易求得3a ＋2b ＝－2， 又f (1)＝f (－1)， ∴－a ＋1＝b ＋2
2，
即2a ＋b ＝0， ∴a ＝2，b ＝－4， ∴a ＋3b ＝－10. 15. 最大值3,最小值-17
16. 1
4
由题意易得
f (x )＝⎩⎨⎧2x （0≤x ≤1
2）－2x ＋2（1
2<x ≤1），
∴y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧2x 2
（0≤x ≤1
2）
－2x 2
＋2x （1
2<x ≤1）
，
∴所围成的图形的面积为 S ＝∫12
02x 2d x ＋∫11(－2x 2＋2x )d x
＝23x 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪1
20
＋（－23x 3＋x 2）112 ＝23×(12)3＋(－23)×1＋1＋23×(12)3－(12)2 ＝112－23＋1＋112－14 ＝14
. 17{x/ -1/4<x<3/2}
18.解：(Ⅰ)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1
2.
又0＜A ＜π，故A ＝π
3
.
(Ⅱ)△ABC 的面积S ＝1
2bc sin A ＝3，故bc ＝4.
而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.
19. 解：令g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ， Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9 ＝3(3a －1)(a －3)． (1)①当0＜a ≤1
3
时，Δ≥0.
方程g (x )＝0的两个根分别为x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94，x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋9
4.
所以g (x )＞0的解集为
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞.
因为x 1，x 2＞0，所以D ＝A ∩B ＝
⎝ ⎛⎭⎪
⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞.
②当1
3＜a ＜1时，Δ＜0，则g (x )＞0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)．
综上所述，当0＜a ≤1
3
时，D ＝
⎝ ⎛⎭⎪
⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；
当1
3＜a ＜1时，D ＝(0，＋∞)． (2)f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)，
令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝1. ①当0＜a ≤1
3
时，
由(1)知D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．
因为g (a )＝2a 2－3(1＋a )a ＋6a ＝a (3－a )＞0， g (1)＝2－3(1＋a )＋6a ＝3a －1≤0， 所以0＜a ＜x 1＜1≤x 2，
所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：
所以②当1
3
＜a ＜1时，由(1)知D ＝(0，＋∞)，
所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：
综上所述，当0＜a ≤1
3时，f (x )有一个极大值点x ＝a ，没有极小值点；
当1
3＜a ＜1时，f (x )有一个极大值点x ＝a ，一个极小值点x ＝1. 20 .解：(Ⅰ)法一：由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1
ax
＋b ≥2＋b ，
其中等号成立当且仅当ax ＝1， 即当x ＝1
a
时，f (x )取最小值为2＋b .
法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2
－1
ax 2
，
当x ＞1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在(1
a ，＋∞)上递增；
当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，1
a )上递减．
所以当x ＝1
a 时，f (x )取最小值为2＋
b .
(Ⅱ)f ′(x )＝a －
1ax 2
， 由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝3
2
，
解得a ＝2或a ＝－1
2(不合题意，舍去)，
将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝3
2，解得b ＝－1.
所以a ＝2，b ＝－1.
21.证明：(Ⅰ)法一：记g (x )＝ln x ＋x －1－3
2(x －1)，则当x >1时，
g ′(x )＝1x ＋12x －3
2<0.
又g (1)＝0，有g (x )<0， 即f (x )<3
2
(x －1)．
法二：由均值不等式，当x >1时，2x <x ＋1，故 x <x 2＋12
.①
令k (x )＝ln x －x ＋1， 则k (1)＝0，k ′(x )＝1
x －1<0，
故k (x )<0， 即ln x <x －1.②
由①②得，当x >1时，f (x )<3
2(x －1)．
(Ⅱ)法一：记h (x )＝f (x )－9（x －1）
x ＋5，由(Ⅰ)得
h ′(x )＝1x ＋12x －54
（x ＋5）2
＝
2＋x 2x －54（x ＋5）2<x ＋54x －54
（x ＋5）2
＝（x ＋5）3－216x
4x （x ＋5）2
.
令g (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时， g ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0. 因此g (x )在(1，3)内是递减函数． 又由g (1)＝0，得g (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1，3)内是递减函数， 又h (1)＝0，得h (x )<0.于是 当1<x <3时，f (x )<9（x －1）
x ＋5.
法二：记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1<x <3时，由(Ⅰ)得 h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9 <3
2(x －1)＋(x ＋5)⎝⎛⎭⎫1x ＋12x －9 ＝1
2x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x ⎣
⎡⎦⎤3x （x －1）＋（x ＋5）⎝⎛⎭⎫2＋x 2＋12－18x ＝1
4x (7x 2－32x ＋25)<0. 因此h (x )在(1，3)内单调递减， 又h (1)＝0，所以h (x )<0， 即f (x )<9（x －1）
x ＋5
.
22. 解：(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧2－2x >0x ＋1>0，得－1<x <1. 由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg
2－2x x ＋1
<1 得1<2－2x x ＋1<10. 因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，
－23<x <13
. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1－23<x <13
，得－23<x <13. (2)当x ∈[1，2]时，2－x ∈[0，1]，因此
y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．
由单调性可得y ∈[0，lg 2]．
因为x ＝3－10y ，所以所求反函数是y ＝3－10x ，x ∈[0，lg 2]．。