广东省惠州市惠阳一中2018届高三上学期第二次月考数学试卷理科 含解析

2018-2018学年广东省惠州市惠阳一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．）1．设U=R，A={x|2x＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩∁U B=（）A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x＜1}2．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．43．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8=6+a11，则S9的值等于（）A．36 B．45 C．54 D．275．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（）A．B．C．D．6．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．27．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为（）A．6cm3 B．12cm3C．18cm3D．36cm38．若曲线f（x）=在点（1，f（1））处的切线过点（0，﹣2e），则函数y=f（x）的极值为（）A．1 B．2 C．3 D．e9．若如图是函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，则函数g（x）的解析式可能是（）A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x﹣）C．g（x）=cos（2x﹣）D．g（x）=cos（2x﹣）10．非零向量，夹角为120°，且|﹣|=1，则|+|的取值范围为（）A．（1，]B．[，1）C．（，1）D．[，3]11．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（，0）B．（，2] C．[，2）D．[，2]12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣1，且f（1）=1，则不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上．）13．已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是．14．若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则（2x2﹣4x）dx=．15．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|﹣|=|+﹣2|，则△ABC的形状为．16．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）=．三、解答题本大题共5小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．18．已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．19．设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；（2）判断f（x）在R上的单调性；（3）设集合A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax﹣y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=3，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x2﹣3x﹣4|＜2x+2的解集为{x|a＜x＜b}．（1）求a、b的值；（2）若m，n∈（﹣1，1），且mn=，S=+，求S的最大值．2018-2018学年广东省惠州市惠阳一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．）1．设U=R，A={x|2x＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩∁U B=（）A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用对数函数的性质，求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，利用指数函数的性质确定出集合B，由全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合【解答】解：易知A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩C U B={x|0＜x≤1}，故选C．2．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复数求模．【分析】变形已知条件可得z+i=，化简可得z，可得模长．【解答】解：∵（z+i）（1+i）=1﹣i，∴z+i====﹣i，∴z=﹣2i∴|z|=2故选：B．3．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．【解答】解：3cos2α=sin（﹣α），可得3cos2α=（cosα﹣sinα），3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，上式化为：sinα+cosα=，两边平方可得1+sin2α=．∴sin2α=．故选：D．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8=6+a11，则S9的值等于（）A．36 B．45 C．54 D．27【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知式子可得a5=6，再由求和公式和性质可得S9=9a5，代值计算可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a8=6+a11，∴2（a5+3d）=6+a5+6d，变形可得a5=6，∴S9==×2a5=9a5=54故选：C5．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据等边三角形的性质，分别求出任取两个点间的距离，然后求出这7个点中任取两个点的所有种数，找到满足两点间的距离小于1的种数，根据概率公式计算即可．【解答】解：如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别为BC，AC，AB上中点，交点为O，∴AB=BC=AC=2，AD=BE=CF=，EF=DE=DF=1，AE=CE=AF=BF=BD=CD=1，A0=BO=CO=，OD=OE=OF=，由这7个点中任取两个点共有C72=21种，其中这两点间的距离小于1只能是OD，OE，OF 共三种，故这两点间的距离小于1的概率是=，故选：A．6．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是求分段函数y=的函数值，分类讨论即可得解．【解答】解：这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值，当x≤2时，令x2=x，得x=0或1；当2＜x≤5时，令2x﹣3=x，得x=3；当x＞5时，令=x，得x=6或﹣6，（舍去），故只有4个值符合题意．故选：B．7．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为（）A．6cm3 B．12cm3C．18cm3D．36cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体是三棱柱去掉一个角，底面是等腰直角三角形，腰长为3cm，高为4cm，三棱锥底面是等腰直角三角形，高为4cm，利用体积公式可得结论．【解答】解：由题意，几何体是三棱柱去掉一个角，底面是等腰直角三角形，腰长为3cm，高为4cm，三棱锥底面是等腰直角三角形，高为4cm，所以体积为﹣×=12cm3．故选：B．8．若曲线f（x）=在点（1，f（1））处的切线过点（0，﹣2e），则函数y=f（x）的极值为（）A．1 B．2 C．3 D．e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，解方程可得a=2，求出f（x）的单调区间，即可得到f（x）的极大值．【解答】解：f（x）=的导数为f′（x）=，可得在点（1，0）处的切线斜率为k=ae，由两点的斜率公式，可得ae==2e，解得a=2，f（x）=，f′（x）=，当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减；当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有x=e处f（x）取得极大值，且为f（e）=2．故选：B．9．若如图是函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，则函数g（x）的解析式可能是（）A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x﹣）C．g（x）=cos（2x﹣）D．g（x）=cos（2x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的对称性求得f（x）=sin2x的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标，可得函数g（x）的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标，可得由f（x）=sin2x 的图象如何平移得到g（x）的图象，从而得到g（x）的解析式．【解答】解：由函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，可得f（x）=sin2x的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．设函数g（x）的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m，则有，解得m=．故把函数f（x）=sin2x的图象向右平移=个单位，即可得到函数g（x）的图象．故g（x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），故选B．10．非零向量，夹角为120°，且|﹣|=1，则|+|的取值范围为（）A．（1，]B．[，1）C．（，1）D．[，3]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量数量积的定义和性质，可得（﹣）2=||2+||2+||•||，再由基本不等式可得0＜||•||≤，即可得到所求范围．【解答】解：非零向量，夹角为120°，且|﹣|=1，即有（﹣）2=2﹣2•+2=2﹣2||•||cos120°+2=||2+||2+||•||≥2||•||+||•||=3||•||，即有0＜||•||≤，当且仅当||=||，取得等号．则|+|==，即有≤|+|＜1．故选：B．11．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（，0）B．（，2] C．[，2）D．[，2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=f（x+4），推出函数的周期是4，根据函数f（x）是偶函数，得到函数f （x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论．【解答】解：由f（x）=f（x+4），得函数f（x）的周期为4，∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴若x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，则f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1=f（x），即f（x）=2x﹣1，x∈[0，2]，由f（x）﹣log a（x+2）=0得f（x）=log a（x+2），作出函数f（x）的图象如图：当a＞1时，在区间（﹣2，6）要使方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数根，则等价为函数f（x）与g（x）=log a（x+2）有3个不同的交点，则满足，即，即，解得＜a≤2，故a的取值范围是（，2]，故选：B．12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣1，且f（1）=1，则不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，f（log2|3x﹣1|）+log2|3x﹣1|＜f（1）+1，可得﹣2＜3x﹣1＜2，且3x﹣1≠0，由此求得x的范围．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣1，即＞0，故函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，由不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|，可得f（log2|3x﹣1|）+log2|3x﹣1|＜2=f（1）+1，∴log2|3x﹣1|＜1，故﹣2＜3x﹣1＜2，且3x﹣1≠0，求得3x＜3，且x≠0，解得x＜1，且x≠0，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上．）13．已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是9．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A，y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，4），代入z=x+2y=1+2×4=9．即目标函数z=x+2y最大值为9．故答案为：9．14．若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则（2x2﹣4x）dx=．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理的通项公式可得m，再利用微积分基本定理即可得出．=【解答】解：二项式（x2+）6的展开式中的通项公式T r+1=x12﹣3r，令12﹣3r=0，解得r=4．∴m==3．则（2x2﹣4x）dx=（2x2﹣4x）dx==．故答案为：．15．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|﹣|=|+﹣2|，则△ABC的形状为直角三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】由向量的减法法则，将题中等式化简得，进而得到，由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形，得到△ABC是直角三角形．【解答】解：∵，，∴，即||=∵，∴，由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形，∴∠BAC=90°，得△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．16．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）=2018．【考点】类比推理．【分析】由题意可推出（，1）为f（x）的对称中心，从而可得f（）+f（）=2f（）=2，从而求f（）+f（）+f（）+…+f（）=2018的值．【解答】解：f′（x）=x2﹣x+3，由f′′（x）=2x﹣1=0得x0=，f（x0）=1，则（，1）为f（x）的对称中心，由于，则f（）+f（）=2f（）=2，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=2018．故答案为：2018．三、解答题本大题共5小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b n}的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b118=b118=…=b999=2，b10=3．，00数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．18．已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=1+2sin（2x﹣），由已知可求范围≤2x﹣≤，利用正弦函数的性质即可得解其值域．（Ⅱ）由已知去绝对值可得：f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，解不等式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x=[1﹣cos（+2x）]﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），又∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，即2≤1+2sin（2x﹣）≤3，∴f（x）∈[2，3]．（Ⅱ）∵|f（x）﹣m|＜2，可得：f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，又∵x∈[，]，∴m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2，∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．19．设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；（2）判断f（x）在R上的单调性；（3）设集合A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax﹣y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．【考点】函数单调性的判断与证明；集合关系中的参数取值问题；函数的值．【分析】（1）利用赋值法证明f（0）=1，因为f（m+n）=f（m）f（n），且当x＞0时，0＜f （x）＜1，利用赋值法，只需令m=x＜0，n=﹣x＞0，即可证明当x＜0时，有f（x）＞1．（2）利用函数单调性的定义判断，只需设R上x1，x2，且x1＜x2，再作差比较f（x2）与f （x1）的大小即可．（3）先判断集合A，B分别表示什么集合，两个集合都是点集，A表示圆心在（0，0），半径是1的圆的内部，B表示直线ax﹣y+2=0，因为A∩B=∅，所以直线与圆内部没有交点，直线与圆相离或相切，再据此求出参数的范围．【解答】解：（1）证明：∵f（m+n）=f（m）f（n），令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0），且由x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）＞0∴f（0）=1；设m=x＜0，n=﹣x＞0，∴f（0）=f（x）f（﹣x），∴f（x）=∵﹣x＞0，∴0＜f（﹣x）＜1，∴＞1．即当x＜0时，有f（x）＞1．（2）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴0＜f（x2﹣x1）＜1，∴f（x2）﹣f（x1）=f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x1）=f（x1）[f（x2﹣x1）﹣1]＜0，当m=n时，f（2n）=f（n）f（n）=f（n）2≥0，所以当x∈R，f（x）≥0，所以f（x1）≥0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2＞f（x1），∴f（x）在R上单调递减．（3）∵f（x2）f（y2）＞f（1），∴f（x2+y2）＞f（1），由f（x）单调性知x2+y2＜1，又f（ax﹣y+2）=1=f（0），∴ax﹣y+2=0，又A∩B=∅，∴，∴a2+1≤4，从而．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由切化弦公式，带入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（a x﹣1）lna，h'（x）=2+a x ln2a，当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0），故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）…（Ⅱ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…x f'x f x所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．…因为，令，因为，所以在a∈（0，+∞）上是增函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即，函数在a∈（0，1）上是减函数，解得．综上可知，所求a的取值范围为．…[选修4-1：几何证明选讲]22．（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=3，求AD的长．【考点】圆內接多边形的性质与判定；圆周角定理．【分析】（1）证明FB=FC，即证∠FBC=∠FCB，利用AD平分∠EAC，四边形AFBC内接于圆，可证得；（2）先计算得∠ACD=90°，∠DAC=60°，∠D=30°，在Rt△ACB中，求AC的长，在Rt△ACD中，求AD的长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC=∠FBC；…2′∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC． (5)（2）解：∵AB是圆的直径，∴∠ACD=90°∵∠EAC=120°，∴∠DAC=60°，∴∠D=30°…7′在Rt△ACB中，∵BC=3，∠BAC=60°，∴AC=3又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=3，∴AD=6 …10′[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2，展开为，把代入即可得出；（2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，得到根与系数的关系，利用直线参数的意义即可得出．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2，展开为，ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，∴，∴==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x2﹣3x﹣4|＜2x+2的解集为{x|a＜x＜b}．（1）求a、b的值；（2）若m，n∈（﹣1，1），且mn=，S=+，求S的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）对不等式的右边分解因式，可得x+1＞0，且|x﹣4|＜2，由绝对值不等式的解法，可得a，b的值；（2）可得mn=，运用基本不等式a+b≥2（a=b取得等号），以及a2+b2≥2ab（a=b取得等号），可得S的最大值．【解答】解：（1）因为|x2﹣3x﹣4|＜2x+2⇔|（x+1）（x﹣4）|＜2（x+1）⇔⇔2＜x＜6，所以a=2，b=6．（2）因为a=2，b=6，所以mn=，S=+，由m，n∈（﹣1，1），可得1﹣m2＞0，1﹣n2＞0，S=﹣2（+）≤﹣4=﹣4≤﹣4=﹣6，当且仅当m=n=±时取等号，所以S max=﹣6．2018年1月3日。