2020届高考数学(文)总复习：第三章 第八节 解三角形的应用举例

离为( )
A. 5 海里
B．2 海里
C.
6＋ 2
2 海里
D．( 2＋1) 海里
解析：∠ADB＝180°－30°－45°－45°＝60°，
在△ABD 中，由正弦定理，得 BD＝
3sinsin607°5°＝
6＋ 2
2，
在△ABC 中，∠ACB＝180°－30°－45°－75°＝30°，
所以 BC＝BA＝ 3，
A．20(1＋
3 3 )m
B．20(1＋ 3)m
C．10( 2＋ 6)m
D．20( 2＋ 6)m
解析：如图，设 AB 为阳台的高度，CD 为小高层的高度，AE 为水平线．由题意知 AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，
Earlybird
故 DE＝20 m，CE＝20 3 m．所以 CD＝20(1＋ 3)m.故选 B.
∴AC＝10 7(km)．
答案：D 2.(2019·银川一中月考)如图，设 A，B 两点在河的两岸，
一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测 出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后， 就可以计算出 A，B 两点的距离为( )
A．50 2 m
B．50 3 m
3
Earlybird
则 B 与 C 之间的距离是 12 千米．
答案：D
13．(2019·长沙模拟)地面上有两座塔 AB，CD，相距 120 米，一人
分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的 2 倍，在两
塔底连线的中点 O 处测得塔顶的仰角互为余角，则两塔的高
度分别为( )
A．50 米，100 米
3 2 答案：C 5．为绘制海底地貌图，测量海底两点 C，D 之间的距离， 海底探测仪沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B， C，D 在同一个铅垂平面内，海底探测仪测得∠BAC ＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，
A，B 两点的距离为 3 海里，则 C，D 之间的距
2×10×9x×cos 120°， 整理，得 36x2－9x－10＝0， 解得 x＝23或 x＝－152(舍)． 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时． 答案：23
16．如图，现要在一块半径为 1 m，圆心角为π3的扇形白铁片 AOB 上剪出一个平 行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上， 设∠BOP＝θ，平行四边形 MNPQ 的面积为 S.
C．25 2 m
25 2 D. 2 m
解析：由正弦定理得sin∠ABACB＝sAinCB，
∴AB＝AC·ssiinn∠BACB＝50×1
2 2 ＝50
2，故 A，B 两点的距离为 50
2 m.
2
答案：A
3．某位居民站在离地 20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为 60°，小
高层底部的俯角为 45°，那么这栋小高层的高度为( )
此船的航速是________ n mile/h. 解析：设航速为 v n mile/h，在△ABS 中，AB＝12v，BS＝8 2 n mile，∠BSA＝45°，由正弦定理，得si8n 320°＝sin12v45°，所以 v ＝32. 答案：32 8.(2019·西安模拟)游客从某旅游景区的景点 A 处至 景点 C 处有两条线路．线路 1 是从 A 沿直线步行到 C，线路 2 是先从 A 沿直线步行到景点 B 处，然后
为π2－β， 即 tan β＝6H0，tan2π－β＝6h0， 根据诱导公式有6H0＝6h0②， 联立①②得 H＝90，h＝40.
即两座塔的高度为 40 米，90 米．
答案：B
14.(2019·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点 A 处测
得塔顶 D 的仰角为 30°，塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15°角，小王向前走了 1 200
m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60°角，则电视塔 CD 的高度
为__________．
解析：在△ACM 中，
∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，
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由正弦定理得sin∠AMMCA＝sin∠ACAMC，
即1
200＝AC，解得 23
持续时间为( )
A．0.5 小时
B．1 小时
C．1.5 小时
D．2 小时
解析：根据题意画出相应的图形，如图所示．BE＝BF＝30 km，△ABD 为等
腰直角三角形且 AB＝40 km，由勾股定理得 AD＝
BD＝20 2 km，由 BD⊥AD， 可得 ED＝DF，在
Rt△BED 中，由勾股定理得 ED＝ BE2－BD2＝10
(1)求 S 关于 θ 的函数关系式．
Earlybird
(2)求 S 的最大值及相应的 θ 角．
解析：(1)分别过 P，Q 作 PD⊥OB 于点 D，QE⊥OB 于点 E，则四边形 QEDP
为矩形．
由扇形半径为 1 m，
得 PD＝sin θ，OD＝cos θ.
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A．5( 6＋ 2) km
B．5( 6－ 2) km
C．10( 6－ 2) km
D．10( 6＋ 2) km
解析：
由题意知∠BAC＝60°－30°＝30°，
∠CBA＝30°＋45°＝75°，所以∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，故 AC＝AB，
因为 AB＝40×12＝20，所以 AC＝AB＝20.在△ABC 中，由余弦定理得：BC2 ＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB＝400＋400－2×20×20cos 30°＝400(2－
Earlybird
课时规范练 A 组 基础对点练 1．已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得∠ AB＝120°，则 A，C 两地间的距离为( )
A．10 km
B．10 3 km
C．10 5 km
D．10 7 km
解析：如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－ 2×10×20×cos 120°＝700，
9x 在△ABC 中由余弦定理可知 cos∠BAC＝AB2＋2AABC·A2－C BC2 ＝1 024×021＋01402×6012－2650002＝8941＝1123，
所以 sin∠BAC＝ 1－cos2∠BAC＝ 答案：153
1－11232＝153.
9.如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝ 3，BC＝1，
B．30 千米
C．12 3千米
D．12 千米
解析：依题意得，AC＝2 6，sin∠BAC＝sin2π＋α＝cos α＝ 36， sin B＝sin2π－2α＝cos 2α＝2cos2α－1＝13， 在△ABC 中，由正弦定理得，BC＝ACssinin∠BBAC＝
2
6× 1
6 3 ＝12，
P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°.
(1)若 PB＝12，求 PA； (2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA.
解析：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA 中，由余弦定理得 PA2＝3＋14－2×
3×12cos
30°＝74.故
PA＝
7 2.
(2)设∠PBA＝α，由已知得 PB＝sin α.
AC＝600
6.
22
在 Rt△ACD 中，因为 tan∠DAC＝DACC＝ 33，
所以 DC＝ACtan∠DAC＝600 6× 33＝600 2(m)．
答案：600 2 m
15．(2019·遂宁模拟)海轮“和谐号”从 A 处以每小时 21 海里的速度出发，海轮 “奋斗号”在 A 处北偏东 45°的方向，且与 A 相距 10 海里的 C 处，沿北偏 东 105°的方向以每小时 9 海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗 号”相遇所需的最短时间为__________小时． 解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 x 小时， 如图，则由已知得△ABC 中，AC＝10，AB＝21x， BC＝9x，∠ACB＝120°， 由 余 弦 定 理 得 ： (21x)2 ＝ 100 ＋ (9x)2 －
来自百度文库
(1)求 AC 的长； (2)如果下次航行直接从 A 出发到达 C，求∠CAB 的大小． 解析：(1)由题意，在△ABC 中， ∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2 3－2，BC＝4， 根据余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC ＝(2 3－2)2＋42＋(2 3－2)×4＝24，
3)，故 BC＝ 4002－ 3＝ 200 3－12＝10( 6－ 2)． 答案：C
12．(2019·广州模拟)如图，在海岸线上相距 2 6千米的 A，C 两地分别测得小岛
B 在 A 的北偏西 α 方向，在 C 的北偏西2π－α 方向，且 cos α＝ 36，则 B，C 之间的距离是( )
A．30 3千米
所以 AC＝2 6. (2)根据正弦定理得，
4× sin∠BAC＝
2
3 2＝ 6
22，
所以∠CAB＝45°. B 组 能力提升练
11．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h 的速度由 A 处出发，沿北偏 东 60°方向进行海上巡逻，当航行半小时到达 B 处时，发现北偏西 45°方向 有一艘船 C，若船 C 位于 A 的北偏东 30°方向上，则缉私艇所在的 B 处与船 C 的距离是( )
在△PBA 中，由正弦定理得，sin 1350°＝sins3i0n°α－α，
化简得 3cos α＝4sin α.
所以 tan α＝ 43，
即
tan∠PBA＝
3 4.
Earlybird
10．(2019·宜宾模拟)一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75°的方向航行(2 3－2)n mil 到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东 15°的方向航行 4 n mile 到达海岛 C.
B．40 米，90 米
C．40 米，50 米
D．30 米，40 米
解析：设高塔高 H，矮塔高 h，在矮塔下望高塔仰角为 α，在
O 点望高塔仰角为 β.
分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍，所以
在高塔下望矮塔仰角为α2，即 tan α＝1H20，tan 2α＝1h20， 根据倍角公式有1H20＝1－2×11h22h002①， 在塔底连线的中点 O 测得两塔顶的仰角互为余角，所以在 O 点望矮塔仰角
答案：B
4．某船开始看见灯塔在南偏东 30°方向，后来船沿南偏东 60°的方向航行 15 km
后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )
A．5 km
B．10 km
C．5 3 km
D．5 2 km
解析：作出示意图(如图)，点 A 为该船开始的位置，点 B 为灯塔的位置，点 C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中， 有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15， 由正弦定理，得sin11520°＝sinBC30°， 即 BC＝15×12＝5 3，即这时船与灯塔的距离是 5 3 km.
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在△BCD 中，由余弦定理，得 CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠
DBC＝3＋
6＋ 2
22－2×
3×
6＋ 2
2×
6－ 4
2＝5，所以 CD＝
5.
答案：A
6．台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千
米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内的
km，所以 EF＝2ED＝20 km，因此 B 市处于危险 区内的时间为 20÷20＝1(h)． 答案：B 7．如图，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，
此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处，且与它相距 8 2 n mile.
Earlybird
从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处同时出发匀速步行，甲的速度 是乙的速度的191倍，甲走线路 2，乙走线路 1，最后他们同时到达 C 处．经测量， AB＝1 040 m，BC＝500 m，则 sin∠BAC 等于__________． 解析：依题意，设乙的速度为 x m/s， 则甲的速度为191x m/s， 因为 AB＝1 040，BC＝500， 所以AxC＝1 04101＋500，解得：AC＝1 260，