数形结合法在解题中的应用
数形结合思想方法在高中数学解题中的应用
数形结合思想方法在高中数学解题中的应用山西省阳泉市第一中学高硕数形结合思想方法是高中数学学习和解题的重要思想方法，它把“数”和“形”有机地结合在一起，可以起到以“数”助形和以“形”解“数”的目的，从而把许多复杂抽象、难以理解的数学问题变成形象、直观的问题，有助于学生更方便快捷地解题。
一、数形结合思想方法的应用原则在高中数学解题中，数形结合思想方法的应用要坚持以下几点原则：一是等价原则。
就是“数”的代数性质和“形”的几何性质两者在转换时要等价，也就运用图形反映的问题和数量表示的问题要有一致性；二是双向原则。
就是要在解题中既要注重对“数”的抽象性进行探索，又要对“形”的直观性进行探索，避免“数”或“形”单独探索给解题造成局限性；三是简洁原则。
在进行数形转换过程中，尽量使图形和代数式保持简洁，以避免繁琐的计算而造成错误，这样才能更好地达到“化繁为简”与“化难为易”的解题目的，使数形结合思想的作用发挥出来；四是直观与创新原则。
就是要充分利用图形和坐标系的直观性，来表示抽象的概念具体化、直观化。
数形结合思想方法在解题中的运用不可照搬，需要活学活用和创新运用，才能更好发挥其功能。
二、数形结合思想方法的应用策略（一）以形助数，使抽象问题变得形象直观在高中数学解题中，特别是对于一些数量关系既复杂又抽象的问题，学生难以理解，不容易找到解题的思路和方法。
如果运用数形结合的思想方法，就可以把复杂抽象“数”的问题用直观的图形问题来解决，这样就可以绕开冗长繁琐的数量计算的过程，利用图形能够帮助学生有效解决复杂的数量问题，使学生对题目中的数量关系能够正确理解， 即能够把题目中抽象的数量问题变成形象直观的图形问题，可以使学生容易理解题意，快速准确地找出已知条件、未知关系，就容易快速形成解题思路，快速正确找出数量关系式，从而有效突破解题难点。
例1：已知一个动圆P 与两个定圆相外切，定圆C 1方程是：（x +4）2+y 2=100, 定圆C 2方程是：（x −4）2+y 2=4,求这个动圆P 的圆心轨迹的方程。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。
在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。
本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。
1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。
数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。
例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。
2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。
例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。
3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。
4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。
结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。
教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。
数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用2012年秋季学期，广西将进入高中新课程改革，新课程理念逐渐深入人心；学习新理念，转变旧观念正成为高中教师重要的课题.数学课程改革的重心是发展学生的广泛的数学能力，注重数学思想、方法的教学渗透,培养学生形成良好的数学素质.数形结合是高中数学中重要的思想方法，通过数形结合可沟通数与形的内在联系，把代数语言的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能使高中数学中许多复杂问题迎刃而解，收到事半功倍的效果.【例1】解不等式x+2＞x.解法一：原不等式可化为x≥0x+2≥0x+2≥x2或x＜0x+2≥0，解得0≤x＜2或-2≤x＜0，∴原不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.解法二：设y1=x+2,y2=x,在同一坐标系中作出这两个函数的图象（如图1），则不等式x+2＞x的解就是y1=x+2的图象在y2=x的上方的那一段对应的横坐标，即不等式的解集为{x|xa≤x＜xb}，其中xa=-2，解方程x+2=x得xb=2.∴原不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.评析：比较上述两种解法，可以看到用图形直观地反映数量关系，解决问题简洁明了.【例2】设f(x)=x2-2ax+2-a，当x∈［-1,+∞］时，f(x)＞a恒成立，求实数a的取值范围.解法一：f(x)＞a在x∈［-1,+∞)上恒成立等价于x2-2ax+2-a ＞0在x∈［-1,+∞)上恒成立.设函数g(x)=x2-2ax+2-a，其图象在x∈［-1,+∞)时位于x轴上方有两种情况（如图2、图3所示）.(1)δ=4a2-4(2-a)＜0,解得-2＜a＜1；(2)δ=4a2-(2-a）≥0a＜-1g(-1)=a+3＞0，解得-3＜a≤-2.故实数a的取值范围是(-3,1).解法二：由f(x)＞a得x2+2＞a(2x+1)，设h(x)=x2+2，t(x)=a(2x+1),在同一坐标系中这两个函数的图象如图4所示，直线l1与抛物线相切，的对应值为1，直线l2经过点(- 12,0) 和点（-1，3），a的对应值为-3，符合题意的直线t(x)=a(2x+1)恒过点(-12,0)且位于l1与l2之间，故实数a的取值范围是(-3,1).图5【例3】已知：椭圆x29+y24=1 与抛物线y=x2+m有四个不同的交点，求实数m的取值范围.错解：在同一坐标系中作出椭圆和抛物线的图象（如图5），根据图象可得：m＜-2-m＜3，解得-9＜m＜-2.评析：图形的直观性给解决问题提供了很大的帮助，但离开了严格的数学推理，往往受图形直观错觉的影响得出错误的结论.图6正解：联立椭圆和抛物线的方程，得x29+y24 =1y=x2+m ，消去y,整理得9x4+(18m+4)x2+9m2-36=0，令t=x2,得9t2+(18m+4)t+9m2-36=0.设f(t)=9t2+(18m+4)t+9m2-36，根据题意知方程f(t)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根（如图6），即得δ=(18m+4)2-36(9m2-36)＞0，-18m+418 ＞0，f(0)=9m2-36＞0解得-829＜m＜-2 .评析：这是一个关于图形交点的问题，求解过程却是从分析方程的根的情况入手，而在讨论方程f(t)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根时，又需要利用二次函数的图象特征，这样数和形的密切结合、相互补充，使问题得到了圆满的解决.(责任编辑黄春香）。
49.数形结合思想在解题中的应用(王景超)
解析： 已 知 可 联 想 到 长 方 体 的 对 角 线 与 过 同 一 由
点的三条棱所成的角 的关 系． ， ， ａ （ ７可 以看做是长方 ３
体 的一 条对 角 线 与 过 这 条 对 角 线 一 端 的 三 条 棱 所 成 的 角 ． 样 通 过 构 造 长 方 体 模 型 ， 使 问题 迎 刃 而解 ． 这 可 构 造 如 图 ５所 示 的 长 方 体 ＡＢＣ － Ｂ， ， Ｄ Ａ， ， Ｃ Ｄ，
求得 ｙ 。 一万 ＋－ 二６ ； ． 一６ ｙ 、 十棍 图３ ｒ 已知点（ ， ） 二 ， 满足的一 平面区域 ， 罕 。 十ｂ 的 最值 问 求 牛 ． ｙ
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设 艺 ＤＡＣ “ａ 匕 Ｂ ， ， Ａ， ， ， ， ， ＡＣ ＝召 乙 ＡＣ ＝ｙ ＡＤ＝ａ ＡＢ ， ＝ｂ Ａ ＝（ 连结 Ｄ ， ， Ｃ ， ， Ａ， 一 Ｃ ， Ｃ ， ，易知 ｃｓａ ｃ ｓ３ ｃｓｙ ． Ｂ Ａ， ｏ ＇ ｏｔ ｏｔ ＋ （ ＋ ＝１
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成功是寻海人经过长途跋 涉后 看到 大海时的那份欣喜 。 — 贵州盘县第二 中学高三（ｏ 班 ｌ） 陈 刚
中 举 生 数 理 化
解 析 ： Ｆ（ ） （ ）． （ ） 由 已知 得 Ｆ（ ） 征 ： 设 二 －ｆ 二 ｇ 二 ， 二特 ０ 二 是 奇 函 数 ； １Ｆ（ ） ② 当 二 时 ， ｘ ＞０所 以 二 时 ， （ ） ＜０ 尸＜ ） ， ＜。 Ｆ 二 为增 函数 ； ③ （ ） ｆ 一３ ｇ 一３ 二０ Ｆ 一３ ＝ （ ）・ （ ） 二Ｆ（ ） ３． 根 据 ＦＣ ） ｘ 的性 质 大 致 画 出 Ｆ（ ） 图 象 ， 图 ４ 观 察 二 的 如 ． 一３Ｕ ３ 故选 Ｄ （ ） ０ ・ 知 不 等 式 Ｆ（ ） Ｏ的 解 集 是 （ ｘＧ 一二 ， ） ， ，
数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用（一）教学目标：1．利用图形来处理方程及函数问题和不等式问题，求函数的值域，最值等问题时能运用数形结合思想，避免复杂的计算与推理，在解题时能提高效率。
2．增养学生问题转化的意识。
重点：“以形助数”，培养学生在解题过程中运用数形结合的意识。
难点：问题的转化。
利用多媒体形象地展示图形在解题中的应用，克服解题中的困难.数形结合作为一种重要的数学思想，历年来一直是高考考查的重点之一.这种思想体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.本节课着重研究在函数与不等式问题中，在求函数的值域、最值问题时，运用数形结合的思想，使某些问题直观化、生动化、能够变抽象思维为形象思维，达到发现解题途径，避免复杂的计算和推理，简化解题过程的目的。
一、基础训练：1．方程lgx = sinx 的实根的个数为 [ ] A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个解：画出y = lgx 和y = sinx 在同一坐标系中的图象，两图象有3个交点，选C.2．函数y = a |x|与y = x + a 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是[ ] A ．(1，+∞)B ．(- 1，1)C ．(- ∞，- 1]∪[1，+∞)D ．(- ∞，- 1)∪(1，+∞)解：画出y = a |x|与y = x + a 的图象，两图象有两个交点的情形如下：情形1：⎩⎨⎧a > 0a > 1 => a > 1 情形2：⎩⎨⎧a < 0a < - 1 => a < - 1 选D3．不等式x + 2 > x 的解集是______________. 解法一：（常规解法）教师：杨如钢2007-4-23原不等式等价于（Ⅰ）⎩⎪⎨⎪⎧x ≥ 0x + 2≥0x + 2 > x2，或（Ⅱ）⎩⎨⎧x < 0x + 2≥0，解（Ⅰ）得0≤x < 2；解（Ⅱ）得- 2≤x < 0.综上可知，原不等式的解集为{x|- 2≤x < 0}∪{x|0≤x < 2}= {x|- 2≤x < 2} 解法二：（数形结合解法） 令y 1 = x + 2，y 2 = x ，则不等式x + 2 > x 的解就对应于：函数y 1 = x + 2的图象在y 2 = x 上方的图象的部分在x 轴上的射影.如图，不等式的解集为{x|x A < x < x B }，由x + 2 = x 得x B = 2，而x A = - 2，∴不等式的解集是{x| - 2≤x < 2}.变题：不等式x + 2 > kx 的解集为M ，且M ⊆{x| - 2≤x < 2}，则k ∈____________. 答案：[1，+∞）4．函数y = sinx + 2cosx - 2的值域为_______________.解法一：（代数法）由y =sinx + 2cosx - 2得ycosx – 2y = sinx + 2，∴sinx – ycosx = - 2y – 2，∴y 2 + 1sin(x + φ) = - 2y – 2， ∴sin(x + φ) = - 2y – 2y 2 + 1，而|sin(x + φ)|≤1， ∴|- 2y – 2y 2 + 1|≤1，解不等式得- 4 - 73≤y ≤- 4 + 73，∴函数的值域为[- 4 - 73，- 4 + 73].解法二（几何法）：y = sinx + 2cosx - 2的形式类似于斜率公式k = y 2 - y 1x 2 - x 1，∴y =sinx + 2cosx - 2表示过两点P 0(2，- 2)及P(cosx ，sinx)的直线的斜率，由于点P 在单位圆x 2 + y 2 = 1上（如图），显然A P k 0≤y ≤B p k 0，设过P 0的圆的切线方程为y + 2 = k(x – 2)， 则有|2k + 2|k 2 + 1= 1，解得k = - 4±73，即A P k 0=- 4 - 73，B p k 0= - 4 + 73∴- 4 - 73≤y ≤- 4 + 73，∴函数的值域为[- 4 - 73，- 4 + 73]5．过圆M ：(x -1)2＋(y -1)2=1外一点P 向此圆作两条切线，当这两切线互相垂直时，动点P 的轨迹方程是_____________．解：如图，设切点为A 、B ，连结MA 、MB 、PM ，则MA ⊥AP ，MB ⊥PB ，又AP ⊥PB ，且|PA|=|PB|，那么MBPA 是正方形，从而|PM| = 2|MA| = 2.设动点P(x ，y)，则(x －1)2+(y-1)2=2，这就是所求的轨迹方程． 二、例题：例1．若关于x 的方程x 2 + 2kx + 3k = 0的两根都在-1和3之间，求k 的取值范围. 解：解法一：令f (x) = x 2 + 2kx + 3k ，其图象与x 轴交点的横坐标就是方程f (x) = 0的解，由y = f(x)的图象可知，要使两根都在-1和3之间，只需⎩⎨⎧f (-1) > 0f (3) > 0- 1 < - k < 34k 2- 12k ≥0，∴k ∈(- 1，0].解法二：设函数f (x) = x 2，g(x) = -2k(x +32)，问题转化为两函数图象的两个交点的横坐标必须在- 1和3之间.画出两函数图象（如图），而PA 、PB 的斜率相等，都是2，∴0≤- 2k < 2，即k ∈(- 1，0] 例2．定圆C ：(x – 3) 2 + (y – 3) 2 = (52) 2上有动点P ，它关于定点A(7，0)的对称点为Q ，点P 绕圆心C 依逆时针方向旋转120°后到达点R ，求线段RQ 长度的最大值和最小值．[分析]本题一般解法是，设点P(3 + 52cosα，2 + 52sinα)，然后求出点Q 、R 的坐标，最后用两点间距离公式，求出|RQ|的最值．但这种解法运算量较大，还易出错．观察图，在△PRQ 中，欲求|RQ|，因A 是PQ 的中点，易想起三角形的中位线. 解： 取PR 的中点B ，连结BA ，则|RQ|=2|AB|．又B 是弦RP 的中点，连CB ，则CB ⊥RP ，∠BCP = 12∠PCR = 60°，∴|BC| = 12|CP| = 54.∴点B 的轨迹是以C 为圆心，54为半径的圆.这时求|QR|的最值，转化为求点A 与所作圆上点的距离的最值．过C 、A 作直线，交所作圆于B 1、B 2两点，则由平面几何知，|AB|的最大值为|AB 2| = |AC| + |CB 2| = (7 - 3) 2 + (0 - 3) 2 + 54 = 254，|AB|的最小值为|AB 1| =|AC| - |CB 1| = 5 - 54 = 154.故|QR|的最大值、最小值分别是252和152.例3. 求函数u = 2t + 4 + 6 - t 的最值.[分析]由于等式右端根号内同为t 的一次式，故作简单换元，设2t + 4 = m ，无法转化为一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。
例谈数形结合思想在解题中的应用
中 的应 用
程组｛ Ｌ 戈 ： 十 ： Ｖ 一 — ３ ｊ ： ＝ ０ Ｕ 得
＝
—
３
０ 雪
曰
根据 函数的图像 ，讨论方程 的解 的个数是一种 重要 的思想方法 ，基本 思想是把方程两边 的代数式 看作是两个熟悉函数的表达式 ，然后在 同一坐标系 中作 出两个 函数的图像 ，图像 的交点个数 即为解 的 个数 。 例１（ ２ ０ １ ２ 辽 宁卷 ） 设 函数厂 （ ） （ Ｒ） 满 足 ） ＝ 厂 【 ） ， ） ＝ ２ ） ， 且 当 ∈［ ０ ， １ ］ 时， ） ， 又 函数 （ ） ＝ ｌ ｃ ｏ ｓ （ ） Ｉ ， 则 函数ｈ （ ） （ ） － ｆ （ ） 在
实数ｃ 的取 值范围 是（ 一 ， 一 ２ ］ ｕ ｆ 一 １ ， 一 ÷１ 。 故选Ｂ 。
运用 数形结 合 的思想解 决一些 抽象 的数 学 问 题， 可起到事半功倍的效果 。 一方面借助“ 形” 的生动 ｆ ｘ ＋ ｙ 一 ３≤０ 性和 直观性来 阐述 “ 数” 的联系 ， 另一 方面 ， 也借助 点（ ， ＇ ， ） 满足约束条件｛ 【 一 ２ 一 ３ ≤０ ， 则实数ｍ 的最大 “ 数” 的精确性 ， 规范性及 严密性来 阐明“ 形” 的某些 ≥ 属性。重点是研究 “ 以形助数 ” ， 在学习中要争取“ 胸 值为 （ ） 有成图” ， “ 见数想图” ， “ 依图判性” ， 以开拓 自己解题
ｒ １ １
１ ， 所 以ｍ≤Ｉ ， 故
／
－ ｙ 一 ３ ＝ ０
选Ｂ 。
一 ２ ｒ － ３ ＝ ０ 戈 ：
三、 数 形 结 合 思 想 在 求 参 数 取 值 范 围 中 的 应 用
例３ （ ２ ０ １ １ 天 津卷 ） 对 实 数ｎ 和ｂ ， 定 义 运 算
浅谈数形结合在解题中的应用
浅谈数形结合在解题中的应用数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，通过在一定条件下的相互转化，使数量关系与空间形式和谐地结合起来，并在解题实践中降低难度，起到解题利器的作用。
数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”、“以数解形”、“数形转换”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分为三种情形：一是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”；三是充分的分析问题图形与数量关系，使它们互为补充，化抽象为直观，化难为易，即“数形转换”。
下面，就这三个问题来谈谈数形结合在解题中的应用：一、借助于数的精确性来阐明形的某些属性一些几何问题，如果运用数与形结合的观点去考虑形向数转化，即用代数、三角、解析几何的方法去解决，解题方法变得容易寻找。
这是因为某些几何问题，虽然图形较直观，但其已知条件和结论之间相距甚远，解题途径不易找到。
特别是需要添加辅助线才能解决的那些问题。
例1、已知：平行四边形ABCD求证：证明：如图，，,即，点评：用向量的代数方法解决平面几何问题，使问题迎刃而解，避开了繁难的几何思维问题。
二、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系根据题意正确绘制相应图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，通过图形中某些元素的具体意义来求得数量关系。
例2、求不等式（1）x2-x-2＞0（2）x2-x-2＜0的解集。
分析：对于（1），用代数解法是按以下程序由x2-x-2＞0得(x+1)(x-2)＞0或或x＞0。
的解集为：x|x＜-1或x＞2 ，虽然解集被求出，但解题结论规律性并不强，不能方便学生快捷的得出解集。
数形结合思想在解题中的运用
０
解析： （ １ ， ＋ ｏ 。 ） 。 瓜ｇ （ ） ： ， （ Ｄ０ 且ｎ ≠ ０ ） ， （ ） ＝ 则 圆 心 Ｄ到 直 线 Ｙ：
＋ 口 ， 分Ｏ ＜ 口 ＜ １ ， １ 两种情况 ， 在 同一坐标系 中画 出两
个函数的图像， 如图， 若函数 ） ＝ 一 。 有两个不同
叮 ｆ ４
＝——１ Ｔ０
２ ３
像， 且 图像 的最高点 为Ｓ （ ３ ， ２ 、 ／ 了） ； 赛 道 的后 一部 分 为折线段ＭＮ Ｐ ，为保证参赛运动员 的安全 ，限定 ／ ＿ Ｍ Ｎ Ｐ ＝ １ ２ ０ 。 。求Ａ， 的值和Ｍ， Ｐ 两点间的距离 。
点评 ： 本题主要 考查 圆的参数方程 ， 点 到直线 的 距离 ， 倾斜角及数形结合思想 。
＠
技 法 点 拨
数形结合思想在解题中白 Ｉ ） 运用
一 ～ Ｑ 一 ■ 曾雪萍
解析： Ａ： ２ Ｖ＇ － ３ － ， ｃ Ｅ Ｊ ： ， ＭＰ ＝ ５ 。依题 意 ， 有Ａ：
数形结合思想在 解题 过程 中应 用十分广 泛 ， 如 在解方程 ， 求三 角函数 、 几何 的斜率 、 距离 等 问题 中 都有充分体现。运用数形结合思想解题 ， 不仅直观 ， 易于寻找解题 途径 ， 而且能避 免复杂 的计算和推理 。 在近年来的高考题 中 ， 数形结合思想在选择题 、 填空 题、 大题 中均有 出现。复习时要 以熟练技能 、 方法 为 目标。 现通过高考真题 ， 强化数形结合这一重要 思想
Байду номын сангаас
２，
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３ Ｌ Ａ Ｄ ＝ Ｂ Ｄ， 因此有 删
： ，
４
点评 ： 本题 考查函数零点 的概 念 ， 指数 函数 、 一 次函数的基础知识 ， 考查 等价转化 、 数形结合 的思想 方法等。
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
22-+-=214x y如等式()()3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析 例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2.解不等式x x +>2解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x yx 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合是数学中一种重要的解题方法，尤其在初中数学中的应用更为广泛。
数形结合通过将数学问题与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解和解决问题。
下面就以几个具体的例题来说明数形结合在初中数学解题中的应用。
例题一：设正方形ABCD的面积为16平方厘米，点E是边AB的中点，连接DE交BC于点F。
如果BE的长度为2厘米，求△DEF的面积。
解析：首先根据题目中给出的信息，我们可以画出如下的图形：```A------F-------------B| || || |D------E-------------```根据平行四边形面积公式，△DEB的面积可以通过三角形的底边DE和高EB来计算，即：△DEB = 1/2 × DE × EB = 1/2 × 4 × 2 = 4平方厘米。
所以，△DEF的面积等于△DEB的面积的一半，即：△DEF = 1/2 × 4 = 2平方厘米。
△DEF的面积为2平方厘米。
通过这个例题，我们可以看到，数形结合的方法可以帮助我们更好地理解问题，并且能够直观地画出图形，从而更好地解决问题。
例题二：已知折线ABCDE是一个凸五边形，AB=BC=CD，∠BCD=108°，连接AC，求∠ABC 的度数。
解析：我们可以通过解题思路问自己：如果折线ABCDE是一个凸五边形，那么角ABC、角BCD、角CDE、角EDA的度数分别是多少？由于AB=BC=CD，所以∠ABC=∠CD E。
又因为折线ABCDE是一个凸五边形，所以∠BCD < 180°。
已知∠BCD=108°，所以∠BCD< 180°。
根据凸五边形内角和公式，我们可以得到：∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠EDA+∠DAB=360°。
将已知条件代入，即可得到：2∠ABC+2×108°=360°。
数形结合作用
数形结合作用
数形结合是一种重要的数学思想方法，它将数学问题的数量关系和几何图形结合起来，通过相互转化和利用，使问题得以简化和解决。
数形结合的作用主要体现在以下几个方面：
简化问题：通过将数量关系和几何图形结合起来，可以将一些复杂的数学问题转化为直观的图形问题，从而简化问题的求解过程。
加深理解：数形结合有助于深入理解数学概念和原理，通过直观的图形展示，可以更加清晰地理解数学问题的本质和内涵。
拓展思维：数形结合能够拓展思维，激发创新灵感。
通过将数量关系和几何图形相互转化，可以开拓解题思路，发现新的解题方法。
提高解题效率：数形结合能够提高解题效率，减少计算量。
通过直观的图形展示，可以迅速找到问题的关键所在，从而快速求解。
总之，数形结合在数学学习和研究中具有重要的作用，它能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，简化问题求解过程，加深理解，拓展思维，提高解题效率。
因此，在数学学习和研究中，应该注重数形结合的思想方法的应用。
数形结合方法在解题中的应用
数形结合方法在解题中的应用作者：刘淑娟来源：《数理化学习·初中版》2013年第08期数形结合思想是指把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法.主要包含“以形助数”和“以数助形”两个方面.其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明“数”之间的联系，即以形作为手段，数作为目的；二是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的某些属性，即以“数”作为手段，“形”作为目的.纵观多年来的中考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，下面结合几个例题作一阐述.例1如图1，抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0）两点，则一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根是.分析：解答这个问题可以有两种方法.方法1：把A（-1，0），B（3，0）两点代入y=x2+bx+c中，得到关于b，c的方程组，求出b，c的值，再解一元二次方程x2+bx+c=0.从而解答问题.方法2：借助二次函数y=x2+bx+c的图象，利用一元二次方程x2+bx+c=0与二次函数y=x2+bx+c的关系来解答问题.一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根就是抛物线y=x2+bx+c 与x轴的两个交点A（-1，0），B（3，0）的横坐标，所以方程的两个实数根分别是-1，3.点评：做这个题时若用方法1，必须有较强的计算能力（如必须能准确求出关于b，c的方程组的解），否则不能正确解答问题.若想到用方法2解答会既简单又准确.图2图3例2用铝合金型材做一个形状如图2所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透光面积为y m2，y与x的函数图象如图3所示.（1）观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？分析：对于第（2）问的解答，也有两种不同的解答方法.方法1：观察图象可以得出图象经过三个点：（0，0），（2，0），顶点（1，1.5），先求出抛物线的解析式，再求出函数的最大值.方法2：由图象知当x=1时，y最大，即透光面积最大；最大面积为1.5，根据图形是矩形，由面积公式求出另一边为1.5米.图4例3二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图4所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）（A） k-3（C） k3图5分析：这道题中方程|ax2+bx+c|=k含有绝对值，去绝对值后再根据根的判别式去求k 的取值范围，显然比较复杂，并且学生也不会分情况去绝对值.而先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象求出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围，会比较清晰简单.解：根据题意得：因为当ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，所以此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，所以此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，因为当ax2+bx+c3，故选（D）.点评：本题解题的关键是根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象得出k的取值范围.引导学生学会解答问题的同时领悟隐含于问题中的数学思想方法，这样在遇到同类问题时才能轻松解决.而数形结合思想方法就是一种重要的数学思想和一把解题利剑，所以，我们要引导学生学会并运用这种思想方法解决问题.。
“数形结合”在高中数学解题中的应用
Ａ
是 首先 找 出 （ 构 造 出） 面 角 或 二
的平 面角 ， 其次 尽 量将 其 放 置 于
特 殊 的 平 面 图形 中 （ 常 是 三 角 通
“ 数形结合 ＂在 高中数 学 解 题 中的应 用
（ 般 是余 ， 一 弦 定 理 ） 解 ， 后 结 合 题 目写 求 最 出正确 的结 果 （ 意 到是 锐 二 面 注
“ ” 形 的转 化 ． 者 结 合 多 年 的教 学 实 践 ， 换 个 角 度 笔 就
成锐 二 面角 的大 小 ； 是 向量 法 ： 各 自求 出 两 平 面 二 先
的一 个法 向量 ｍ 和 ，， 二 面 角 转 为 两 向 量 的夹 角 ｌ将
即可 ．
思 考 问题 与“ 形 结合 ” 想 在 高 中数 学 中的应 用 ， 数 思 进 行 了例 析 和整 理 ， 同仁参 考． 供
Ａ Ａ ＝ ４５ ． Ｍ 。
解 或解 的个数 或 范 围时非 常有效 ．
例 １ Ｎ ￣， ｚ 的 方 程 ａ＂ 一 ｚ ２ Ｎ Ｔ 一 Ｊ ＋ ｚ＋
解 法 ２ 过 Ａ 作 ＡＡ 上 Ｂ 于 Ｍ ， Ｃ 因为 ＡＡ 上 面 ＡＢ 所 以 ＡＭ 为 Ａ Ｍ 在 面 ＡＢＣ 内 的射 影 ， 是 由 Ｃ， 于
化 为借 助 ２个 函数 交点 的横 坐标 问题 求解 ．
当 ｎ １时 ， ＞ Ｙ 一ｎ 一ｎ是 增 函数 ， － 上点 （ ， 过 ｚ轴 １ Ｏ， ） Ｙ轴上 点 （ ， － ａ ． ０１ ） 又 １ ＜０ 所 以这 ２个 函数 图象 必有 ２个 交点 ； 一ａ ， 当 Ｏ ＜ １时 ， 得 ２个 函数 图象有 ２ 交 点． ＜ａ 可 个 所 以原方 程有 ２个 实数 根 ．
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用数学是一门抽象而又具体的科学，数形结合思想是数学中的一种重要解题方法。
在初中数学中，数形结合思想的应用非常广泛，能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
下面将从几何、代数和应用题三个方面来探讨数形结合思想在初中数学解题中的应用。
一、几何问题在初中数学中，几何问题是学生们比较容易遇到的难题，而数形结合思想可以帮助学生更好地理解和解决几何问题。
在计算多边形的面积时，可以利用数形结合思想将多边形分解为若干个简单的几何形状，然后计算每个几何形状的面积再相加即可。
又在计算三角形的面积时，可以利用数形结合思想将三角形划分为两个简单的图形，然后计算每个简单图形的面积再相加即可。
这种数形结合的思想不仅能够帮助学生更好地理解几何问题，还能够使计算更加简便和直观。
二、代数问题在代数问题中，数形结合思想也能够派上用场。
在解决一元二次方程时，可以利用图形的对称性来帮助理解和解决问题。
当一元二次方程的图像是抛物线时，通过观察抛物线的对称轴和顶点，可以很容易地找到一元二次方程的解。
又在解决函数图像的性质问题时，可以利用图形的变化来推导函数的变化规律。
通过将函数的图像与数学公式相结合，可以更加清晰地理解函数的性质和规律。
三、应用题在应用题中，数形结合思想也能够帮助学生更好地理解和解决问题。
在解决速度、时间、距离之间的关系问题时，可以利用图形表示速度、时间和距离的关系，从而更加直观地理解三者之间的关系。
通过将问题抽象成图形，再结合数学方法来解决问题，能够使学生更快地找到解题的方法和规律。
又在解决物体的测量问题时，可以利用图形来帮助理解和解决问题。
通过将物体的形状抽象成图形，再结合几何和代数的方法来解决问题，能够使学生更好地掌握物体测量的方法和技巧。
数形结合在解题中的运用
２５０ ） ２４ ０
解不等式 ， 以及 借 助 数 形 结 合 思 想 解 决 问题 的能 力 。
： １ ～ ｔ ／ ＿ 一
…
能力， 并提 高 对 现 实世 界 的 认 识 能 力 ， 而提 高 数 学 素 养 ， 从 不
断 完善 自己 。
图１ 解题 运 用
图２
关 键 词 ：数 形 结 合
分 析 ： 妨 设 Ｐ ｑ， 于 在 等 不 ＜ 由 差数列 中． ａ关 于ｎ 图 像 是 一 条 的 直 线 上 均 匀 排 开 的 一 群 孤 立 的
图３
点 ， 三 点 （ ， ） （ ， ） （ ＋ ， 共 线 ， ｔ ｑ ｍ， 已 知 ， 故 ｐ ｑ ， ｑ ｐ ， ｐ ｑ ｍ） ｔ ａ＋ ＝ 由 Ｓ 得 三 点 （ ， ， ｑ ａ ） （ ， ｑ ｐ ａ ） （ ， ， ｐ ｑ ａ＋ ）共 线 。Ｓ ｋ ｋ ｔ ＝ Ｊ
．
一
用
数
形
结
合 在
解
题
中 的 运
吴 春 林
（ 兴 市第 四 高 级 中 学 横 垛 分 校 ， 泰 江苏 泰 兴
摘 要 ： 形 结 合 是 高 中数 学 新 课 程 所 渗 透 的 重 要 思 想 数 方 法 之 一 。新 教 材 中 的 内容 能很 好 地 培 养 和 发 展 学 生 的数 形 结 合 思 想 。 材 中这 一 方 法的 渗 透 对 发 展 学 生 的 解题 思路 、 教 寻 找 最 佳 解 题 方 法有 着指 导性 的作 用 ，可 对 问题 进 行 正 确 的分 析、 比较 、 理 联 想 ． 步 形 成 正 确 的 解 题 观 ． 可 在 学 习 中 引 合 逐 还 导 学 生对 抽 象概 念 给 予 形 象 化 的 理 解 和 记 忆 ，提 高数 学认 知
数形结合在中学数学解题中的应用
数形结合在中学数学解题中的应用（湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石435002）1.引言数形结合思想方法是数学知识的本质之一、基础之一，也是重点之一，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。
所谓数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，并且解法简便。
在国内，我国数学方法论的倡导者、数学家徐利治陆续发表了《浅谈数学方法论》、《数学方法论宣讲》等论著，并提出了很多创新性的观点，在数学界中引起了强烈的共鸣；在国外，日本著名数学家、教育家米山国藏发表了《数学的精神、思想与方法》，系统论述了贯穿于整个数学的数学精神、重要数学思想与若干有效的数学方法。
纵观国内外数学思想方法方面研究的现状，可以看出，虽然很多数学专家对于数学思想方法的含义及教学有过很深层次的探讨，且有了较为明显的成效，但在新课程改革不断发展的今天，这方面的研究工作还有待于完善，更重要的是要真正的实践到教学中去。
作为一名高中数学教师，在近两个多月亲身高中数学教学实践中，我发现高中学生大多数把数形结合等同于“借助图象来解题”，对数形结合的背景知识知道的非常少。
而且有些老师只重视知识的传授或是进行大运动量的习题训练，一些数学思想往往会被忽视。
由此引发了我的思考，同时我也在学术期刊网上下载了几十篇进行研读。
根据近期我所研读的材料可以概括出数形结合主要包含“以形助数”、“以数辅形”和“数形互动”三个方面。
数形结合的思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，能否有意识地运用数形结合思想方法解答数学问题，是衡量学生数学素养和数学能力的重要指标，而让学生真正掌握、熟练的运用才是最终的目的。
浅谈数形结合在解题中的应用
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功 倍 之 效 ， 图形 一定 要 作 准 确 ． 但
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例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合是指在数学问题中，通过借助几何图形来辅助解题的方法。
在初中数学中，数形结合的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
本文将从几何问题与代数问题的转化、图形的分析与推理以及应用实例等方面，详细介绍数形结合在初中数学解题中的应用。
数形结合主要应用在几何问题与代数问题的转化过程中。
几何问题往往通过画图来解决，而代数问题则通过方程和不等式来表示。
在实际解题中，我们可以将几何问题转化为代数问题，也可以将代数问题转化为几何问题，从而达到更好地进行分析和解决。
数形结合的思想是将几何图形和代数式有机地结合在一起，通过几何图形的特性和代数式的运算，相互辅助解决问题。
数形结合在初中数学解题中的应用还体现在对图形的分析与推理过程中。
对于给定的图形，我们可以通过观察和分析图形的性质，从而得到一些关于图形的重要信息。
根据这些信息，我们可以进一步推理出一些结论，并运用数学方法对问题进行求解。
这种图形分析和推理的过程，有助于培养学生的逻辑思维和推理能力，提高他们解决问题的能力。
我们来看几个具体的应用实例，进一步说明数形结合在初中数学解题中的应用。
例1：求解一个正整数的问题。
如果一个正整数的十位数和个位数的和是9，十位数比个位数大3，那么这个正整数是多少？解析：根据题意，我们可以设这个正整数的十位数为x，个位数为y。
根据题目中的条件，我们可以列出如下方程：x + y = 9 （1）x = y + 3 （2）将方程（2）中的x代入方程（1），得到y + 3 + y = 9，即2y = 6，y = 3。
将y的值代入方程（2），得到x = 3 + 3 = 6。
所以这个正整数是63。
例2：解决一个简单的几何问题。
如图所示，ABCD是一个矩形，其中AE = 5cm，BF = 3cm，CE = CF。
求CE和CF的长度。
解析：由于矩形ABCD中，对角线AC和BD互相平分，所以AE = CF，BF = CE。
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目录0 引言 (1)1 以“数”化“形” (1)1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (2)1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集 (3)1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题 (3)2 以“形”变“数” (4)2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题 (4)3 “形”“数”互变 (6)3.1 数轴在有理数化简中的应用 (6)3.2 利用三角函数图象求角度 (7)3.3 利用数形结合解决平面几何问题 (7)结论 (9)致谢 (9)参考文献提纲1 以“数”化“形”1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题2 以“形”变“数”2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题3 “形”“数”互变3.1 数轴在有理数化简中的应用3.2 利用三角函数图象求角度3.3 利用数形结合解决平面几何问题。
摘要：数形结合法是解决数学问题中最基本、也最常用的思想方法。
本文就中学数学中的不等式、集合、函数、解析几何等内容，举例阐述数形结合法在解题中的三点应用。
关键词：数形结合；中学数学；应用；解决问题引言做事情，如果想要事半功倍，就必须讲究方法，其实，何止事半功倍，有时方法甚至起到了决定性的作用，缺乏有效的方法，不仅谈不上效率，而且问题不能解决，事情也就根本不能成功，数形结合法对解决某些数学问题就起到了决定性的作用，如果能将数与形巧妙地结合起来，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。
我国著名的数学家华罗庚曾精辟地概括了数形结合法的内涵：数与形，本是相倚依，焉能分作两边分，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合万般好，割离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！可见，数与形存在着十分密切的联系。
其实，在中学数学中，有很多内容就是集“数”“形”于一身的良好载体，例如：函数、解析几何等等，本文试从中学数学中的有理数、不等式、集合、三角函数、函数及其图象、平面几何、解析几何内容方面，举例说明数形结合法在中学数学解题中的三点应用：（1）以“数”化“形”；（2）以“形”变“数”；（3）“形”“数”互变。
1 以“数”化“形”在中学数学中的代数内容主要是数字和文字的运算，如：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方，这些概念、法则、算律都比较抽象，运算有时很繁琐，让人难以把握。
而“形”具有形象、直观的优点，因此，在思考和解决问题时，对于某些从表面上看来与图形不相关的概念和问题，有时可以从某种特定的角度，画一个草图、图像或者示意图把这种数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题。
1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。
例1某班举行数理化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数?思路分析：由于参加数、理、化三科竞赛人数相互交叉，不易理清参加三科竞赛的各科人数，利用韦恩图可以比较容易地分清它们的关系。
解：设参加数学、物理、化学竞赛的人构成的集合分别为A、B、C，由图知全班人数为：10+12+13+7+3+6+4=55（人）.由于叙述太长，单纯从文字语言不好理清思路，画出韦恩图，可以利用图形直观性进行计算。
1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集时，只要联想到对应的二次函数的图象确定抛物线的开口方向和与x 轴的交点情况，便可直接看出解集。
例2 解不等式x 2-x-6﹥0. 思路分析：我们可先联想到 对应的二次函数y= x 2-x-6的图象，从x 2-x-6=0解得x 1 =-2,x 2=3,由解知该抛物线与x 轴交点的横坐标为-2,3.当取交点两侧时，即x ﹤-2或x ﹥3时，y﹥0，即x 2-x-6﹥0，故可得不等式的解集为{ x ∣x ﹤-2 或x ﹥3}. 1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题例3 求函数y=1x 2++84x -x 2+的最小值.思路分析：观察式子，可发现从代数的角度求解，难度较大，这时利用数形结合法，巧用两点间距离公式可化为：1x 2+ +84x -x 2+=22)10()0(-+-x +22)20()2(-+-x ，令A （0,1），B （2,2），P （x ，0），则问题转化为在x 轴上求一点P ，使∣PA ∣+∣PB ∣有最小值.如图由于AB 在x 轴同侧，故取A 关于x 轴的对称点C （0，-1）,所以：（∣PA ∣+∣PB ∣）min=∣CB ∣=22)12()02(++-=13,即函数y=1x 2+ +84x -x 2+的最小值是13.通过以上三个例题可以看出利用图形来辅助数的计算使问题变得简单明了，而且能开阔思路。
对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路是： ①明确题中所含的条件和所求目标；②从已知条件或结论出发，分析是否相似（相同）于已学过的图形表达式；③作出与之相适合的图形;④利用已作出的图形的性质，几何意义等，去解决问题。
2 以“形”变“数”中学数学中的几何是图文并茂的内容，但是，正如华罗庚所说：“形少数时难入微”，虽然，图形有形象、直观的特点，但在定量方面还必须借助代数的计算，不但要正确把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，把“形”正确表示成“数”的形式，再进行计算。
如平面解析几何中有关圆锥曲线问题的解决，下面举例说明。
2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题例4 已知点A （1,2），F 为椭圆252x +162y ＝1的右焦点，P 为椭圆上的动点，当∣PA ∣+35∣PF ∣取最小值时，求P 点的坐标.思路分析：已知e=53，而53∣PF ∣恰好是椭圆上的点到椭圆相应准线的距离。
解：∵椭圆方程为252x +162y =1，∴a=5，椭b=4,c=3. ∴ e=53.又∵A （1,2）是椭圆内部的点，圆的右准线方程为L:x=325,过点P 作PQ ⊥L 于点Q ，由椭圆的第二定义知：PQPF =e=53，即：PQ=35∣PF ∣，∴ ∣PA ∣+35∣PF ∣=∣PA ∣+∣PQ ∣，当且仅当P 、A 、Q 三点共线时，∣PA ∣+∣PQ ∣有最小值，过A 作AA′⊥L ，AA′与椭圆的交点即为所求，显然y p =2,代入椭圆方程可求x p =233，∴当∣PA ∣+35∣PF ∣取最小值时，点P 的坐标为（235,2）. 在涉及椭圆上的点与焦点有关的距离时，一定明确椭圆的第二定义及其相应的变形式子。
例5 已知F 1、F 2为双曲线52x -42y =1的左、右焦点，P （3,1）为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则∣AP ∣+∣AF 2∣的最小值为（C ）.A 、37+4B 、37-4C 、37-25D 、37+25 解析：如图，连接F 1P 交双曲线右支交于点A 0.∵∣AP ∣+∣AF 2∣=∣AP ∣+∣AF 1∣-25，∴要求∣AP ∣+∣AF 2∣的最小值，只需求 ∣AP ∣+∣AF 1∣的最小值. 当A 落在A 0时，∣AP ∣+∣AF 1∣=∣PF 1∣最小，最小值为37.∴∣AP ∣+∣AF 2∣的最小值为37-25，即C 答案正确.本题结合定义将问题转化为求∣AP ∣+∣AF 1∣-25的最小值，问题就迎刃而解。
有关解析几何的问题，大部分都会用到解析法，解决几何问题，由于几何研究的是图形，图形的直观会帮助我们打开思路，充分利用图形的性质和几何意义，把“形”正确表示成“数”，有效地解决问题。
对于“形”变“数”这类问题，解题的基本思路是：①明确题中所给的条件和所求的目标；②分析条件和目标在图形中的意义；③将题中用到的图形用已学过的代数式表达出来；④利用相应的公式或定理计算。
3 “形”“数”互变以“数”化“形”和以“形”变“数”是数形结合的两个重要方面，而在有些问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”，而是需要“形”“数”互相变换，解决问题时，问题的某些数量特征往往能给人们图形方面的提示，反过来，利用图形的结构特征又给人们打开解决问题的思路。
3.1 数轴在有理数化简中的应用例 6 实数a、b、c在数轴上的点如图所示，化简：a+∣a+b∣-2c-∣b-c∣.思路分析：本题运用了数与形的结合，由实数在数轴上的对应位置，既能比较它们的大小，又能确定a+b、b-c的符号，从而去掉绝对值的符号，完成化简。
解：由数轴知b ﹤0,c ﹤0,a ﹥0,a+b ﹤0,b-c ﹤0, 则a+∣a+b ∣-2c -∣b-c ∣ =a-a-b-(-c)+b =0.3.2 利用三角函数图象求角度例7 已知函数y=sin(ωx+ϕ) (ω﹥0,-π≤ϕ＜π)的图象所示，则ϕ= .思路分析：结合图象求出ω，再利用f （43π）=-1，求出ϕ的表达式，通过ϕ满足的条件求出ϕ的值。
解：由函数图象知y=sin(ωx+ϕ)的周期为2（2π-43π）=25π，y 有∴ωπ2 =25π∴ω=54，当ϕ=43π时，最小值-1.∴54×43π+ϕ=2kπ- 2π(k ∈z). ∵-π≤ϕ＜π，∴ϕ=109π. 已知三角函数值求三角函数解析式的方法：应先由三角函数的最值点，确定周期求出ω，然后根据图像上的特殊点求ϕ. 3.3 利用数形结合解决平面几何问题例8 在△ABC 中，已知AB=364， cos ∠ABC=66，AC 边上的中线BD=5，求sinA 的值.解：如图所示，过A 做AH ⊥BC 交BC 于点A ，延长BD 到P 使BD=DP ，连接AP 、PC 过P 作PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，则HB=ABcos ∠ABC=34.AH=22HB -AB =354. BN=22PN -BP =22AH -BP= ()2235452⎪⎪⎭⎫⎝⎛- =310. 而CN=HB=34，∴BC=BN-CN=2，HC=32.AC=22HC AH +=3212. 又由题意知sin ∠ABC=ABC ∠-2cos 1 =630. 由正弦定理得A sin 2=6303212=1470.∴sinA=1470. 例9 如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ,∠EOD=40°，则∠DCF 等于（D ）.A 、80°B 、50°C 、40°D 、20° 解析：G 是EF 的中点，且CD为直径，则D 为EF 的中点，所以，则∠EOD=2∠DCF，即∠DCF=21∠EOD=21×40°=20°，∴D 答案正确.此题综合应用了垂径定理及圆心角与圆周角的关系，在解决有关圆的问题时，每一个题的分析与思考必须联系图形建立直观可见的形象，这样才能快速准确地解决问题。