2020届高考数学江苏省二轮课件：第14讲 函数的零点问题
2020届高考数学函数中的零点问题课件(共14张PPT)
9 ln10
10 ln10
由零点存在定理x0 9,10 , 使得h '(x0 ) 0.
x 9, x0 , h '(x) 0, h(x)单调递增，
探究：若函数y h(x) x2 20x 99 lg x,
h '(x) 20 (2x 1 )， x ln10
x x0 ,10 , h '(x) 0, h(x)单调递减.
例题激活
解：f
( x)的定义域为 0,1 ，f
'( x)
2e2 x
a x
2xe2 x x
a
,
设 (x) 2xe2x a,(x) 4x 2 e2x ,
当x 0,1 ,(x) 0，即 (x)在区间0,1 为增函数, ( x) a, 2e2 a . 又因为a 0, 2e2 ，所以 (0) a 0, (1) 2e2 a 0，
( x0 )
a 2 x0
2ax0
a ln
2 ，然后使用基本不等式求出最 a
小值同时消掉x0，在求解的过程中，不要急于消掉x0，而应该
着眼于将超越式化简为普通代数式，借助f ( x0 ) 0整体代换.
归纳小结
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点 方程f (x0 ) 0，并结合f (x)的单调性得到零点的范围；
问题引入
探究：若函数y f (x) x R f (x 2) f (x)，且x 1,1，f (x) 1 x2,
函数g(x)
lg x , x
1, x 0
0 则函数h( x)
f (x) g(x)在区间5,10上零点个数为__1_5__.
h '(9)=2 1 0, h '(10)= 1 0,
2020届高考数学江苏省二轮课件：第14讲 函数的零点问题
∴f(x)=1 a 和f(x)= a-1共有5个零点.
2
2
a
①
0
2
1 1, a-1 2
f (x)有3个零点,
解得1<a<3.
1, f (x)有2个零点,
a-1
② 2
0
a
1,
1 2
1,
无解.
综上,a的取值范围是(1,3).
4.若函数f(x)=x2-mcos x+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m所组成的集
4
因为
x1 x1x2
x2
1 2
k 2 0,
0,
所以0<x1<x2,
所以f '(x)≥0的解集为 0, k-
k
2
-8
∪
k
4
k 4
2
-8
,
,
故函数f(x)的单调递增区间为 0, k-
k
2
-8
和
k
4
如果x<a, f(x)=x3+3x-4a=0,即函数y=x3与y=-3x+4a的图象在(-∞,0)上有交点,由 图象可知不存在.
(2)当a<0时, 如果x≥a, f(x)=x3-3x+2a=0,即函数y=x3与y=3x-2a在(-∞,0)上有交点,如图,两图 象相切时,y'=3x2=3,x=-1,切点为(-1,-1),代入y=3x-2a,得a=-1, 所以,当-1≤a<0时,在x<0且x≥a处有交点,即存在x0<0,使得f(x0)=0.
高考文科数学专题复习《函数的零点精选课件
“对对，放点醋，这样好吃，我去拿。” 她转身去厨房拿来醋，给我碗里倒。 “怎么样，淡不淡，再放点盐？” 我摇摇头。
“当花瓣离开花朵，暗香残留，香消在风起雨后，无人来嗅”忽然听到沙宝亮的这首《暗香》，似乎这香味把整间屋子浸染。我是如此迷恋香味，吸进的是花儿的味道，吐出来的是无尽的芬芳。轻轻一流转，无限风情，飘散，是香，是香，它永远不会在我的时光中走丢。 旧的东西其实极好。学生时代喜欢写信，只是今天书信似乎早已被人遗忘，那些旧的记忆，被尘埃轻轻覆盖，曾经的笔端洇湿了笔锋，告慰着那时的心绪。现在读来，仿佛嗅到时光深处的香气，一朵墨色小花晕染了眼角，眉梢，是飞扬的青春，无知年少的轻狂，这份带不走的青涩，美丽而忧伤。 小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎是在医院渡过，然而和母亲在一起的毎一刻都是温暖美好的。四年前，母亲还是离开了这个世界，离开了我。生命就是如此脆弱，逝去和別离，陈旧的情绪某年某月的那一刻如水泻闸。水在流，云在走，聚散终有时，不贪恋一生，有你的这一程就是幸运。那是地久天长的在我的血液中渗透，永远在我的心中，在我的生命里。 时光就是这么不经用，很快自己做了母亲，我才深深的知道，这样的爱，不带任何附加条件，不因万物毁灭而更改。只想守护血浓于水的旧时光，即便峥嵘岁月将容颜划伤，相信一切都是最好的安排。那时的时光无限温柔，当清水载着陈旧的往事，站在时光这头，看时光那头，一切变得分明。执笔书写，旧时光的春去秋来，欢喜也好，忧伤也好，时间窖藏，流光曼卷里所有的宠爱，疼惜，活色生香的脑海存在。 回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。 是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。 听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。 唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。
2020届高考数学二轮复习专题《用零点、极值解决不等式问题》
所以f(x)在
－∞，1－
a 3
单调递增，在
1－
a3，1＋
a 3
单调递减，在
1＋ a3，＋∞单调递增 因为f(x)存在极值点，所以a＞0，且x0≠1.
由题意得f′(x0)＝3(x0－1)2－a＝0，即(x0－1)2＝
a 3
，而f(x0)＝(x0－1)3－ax0－b＝(x0－
1)2(－2x0－1)－b. f(3－2x0)＝(2－2x0)3－3(x0－1)2(3－2x0)－b＝(x0－1)2[8－8x0－9＋6x0]－b＝(x0－
用零点、极值解决不等式问题
在导数的综合应用中，经常涉及到与函数零点与极值点有关的一些问题．处理这类 问题，我们需要通过零点与极值点的概念，通过构造方程或方程组，简化函数或方程的 表达式，从而解决与零极值点有关的等式与不等式问题．考查函数与方程思想，转化与 化归思想，同时考查抽象概括、综合分析问题和解决问题的能力.
明．
求得f(x)的导数，可得极值点满足的方程，运用分析法化简整理，即可得到证
已知函数f(x)＝x2－x－xlnx，证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2<f(x0)<2－2. f(x)＝x2－x－xlnx，f′(x)＝2x－2－lnx. 设h(x)＝2x－2－lnx，则h′(x)＝2－1x. 当x∈ 0，12时，h′(x)<0；当x∈ 12，＋∞时，h′(x)>0.所以h(x)在 0，12单调递减，在 12，＋∞单调递增．
1)2(－2x0－1)－b
∴f(3－2x0)＝f(x0)且3－2x0≠x0，由题意知，存在唯一实数x1满足f(x1)＝f(x0)，且
x1≠x0，因此x1＝3－2x0，所以x1＋2x0＝3.
(2019·全国卷)已知函数f(x)＝lnx－xx＋ －11. (1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
函数的零点 PPT课件 苏教版
§2.5 函数与方程
你会解方程lgx+x－3=0吗？
你能初步确定它的根在什么范围内吗？
§2.5.1 函数的零点
观察二次函数y=x2-2x-3的图像. 指出x取哪些值时，y=0.
y
y=0时，x的取值
-1 0 1 3 x x2-2x-3=0的实数根
图象与x轴交点的横坐标
•
80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
思考：
y
如果x0是二次函数y＝f(x) 的零点，且m<x0<n,那么 f(m)f(n)<0一定成立吗？ -1
1
o 2 3x
函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点， f(a)·f(b)<0吗？
从课本76页“思考”出发，研究课题： 函数的零点与一元二次方程的实根的分布.
1．画出函数y=x2-x-2的图象，并指出函数 y=x2-x-2的零点。 2．证明：（1）函数y=x2+6x+4有两个不 同的零点；
（2）函数f(x)=x3+3x-1在区间（0，1）上 有零点。
一般地，我们把使函数y＝ f(x) 的值为0 的实数x称为函数y＝f(x)的零点.
函数零点方程根， 形数本是同根生。 有无零点端点判， 图象连续方显灵。
一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x) 在区间(a，b)上有零点.
b2 4ac 2a
b x1 x2 2a
无零点
一般地，我们把使函数
我们把使二次函数y=yx＝2-2f(xx-)3的值为0的实数x（即
y＝ f(x) 的值为0的实数x称 方程x2-f2(xx)-=30=0的实数根）称为二次函数y=yx＝2-2f(xx-)3的
函数的零点问题课件高三数学二轮复习
所以函数h(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减，且h(1)＝0， 当0<x<1时，h(x)>0，则g′(x)>0， 所以函数g(x)在(0,1)上单调递增， 当x>1时，h(x)<0，则g′(x)<0， 所以函数g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(x)极大值＝g(1)＝1， 当x→＋∞时，g(x)→0，且g(x)>0， 当x→0时，g(x)→－∞， 由题意可知，直线y＝a与函数g(x)的图象有两个交点，如图所示. 由图可知，0<a<1，故实数a的取值范围是0<a<1.
12
当－a＝2，即a＝－2时，函数f(x)与g(x)的图象只有一个交点，即函数 h(x)有一个零点； 当－a>2，即a<－2时，函数h(x)有两个零点， 理由如下： 因为h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1＋e－x＋1－a(x2－2x)， 所以h(1)＝2＋a<0，h(2)＝e＋e－1>0， 由函数零点存在定理，知h(x)在(1,2)内有零点. 又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
12
(2)讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数.
12
由h(x)＝0，得f(x)＝g(x)， 因此函数h(x)的零点个数等价于函数f(x)与g(x)的图象的交点个数， 因为g(x)＝a(x2－2x)(a<0)，所以g(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单 调递减区间是(1，＋∞)， 所以当x＝1时，g(x)取最大值g(1)＝－a， 由(1)可知，当x＝1时，f(x)取最小值f(1)＝2， 当－a<2，即－2<a<0时，函数f(x)与g(x)的图象没有交点，即函数h(x) 没有零点；
高考常考题- 函数的零点问题(含解析)
函数的零点问题一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23- B ．12-C ．34-D ．1-二、达标训练1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．1,0a b <>D ．1,0a b <<4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ） A ．12BC ．2e D5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
2020届高三数学复习 函数与方程、不等式 讲座 课件(共20张PPT)
借助于二次函数的图像特征来求解
尝试分离参数的方法，来回避分类讨论
总结
01 函数思想是一种思维习惯，要用变量和函数的
观点来思考问题
02 求 y f (x) 的零点和解 f (x) 0 求根是一致的，但方法是多样的，
特别要注意数形结合的使用。
如果要判断函数有几个零点，则必须结合其图像与性质（单调性、奇偶性）。
02 函数 f (x) 在[a,b]上是连续不断的曲线，且 f (a) f (b) 0 ，满足这些条件一定有零点。 但不满足这些条件也不能说一定没有零点。
产品介绍 Product introduction
关于零点存在性定理
如图：
已知 x, y 0 ，则有： x y 2 xy （当且仅当 x y 等号成立）
若 x y S (和为定值)，
则当 x y 时，积 xy 取得最大值 S 2 ； 4
即： xy （ x+y）2 = S 2 24
若 xy P (积为定值)
则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 P
则 f (x) a fmin (x) a
因为 x 0 ，由平均值不等式： x+ 1 2（当且仅当 x 1 ，即： x 1时等号成立），
x
x
所以： f (x)min 2 故： a 2
产品介绍 Product
introduction 函数与不等式
【例 3.】变式：关于 x 的不等式 x+ 1 a 0 对 x [2, ) 恒成立， x
【例 1】关于 x 的一元二次方程 x2 ax 3 a 0 ，求当 a 为何值时，分别有以下的结论：
2020届高三一轮复习专题：函数的零点问题及相关题型
函数的零点问题 (1)函数的零点的概念对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)函数的零点与方程的根的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )满足：⇔在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；⇔f (a )·f (b )＜0；则函数y ＝f (x )在(a ，b )上存在零点，即存在c ⇔(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 零点区间的判断题型结构特征：判别零点区间1.函数f （x ）=e x + x - 2 的零点所在的一个区间是（ ） A. （-2,-1） B. （-1,0） C.（0,1） D.（1,2） 【答案】C2.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间A.(,)a b 和(,)b c 内B.(,)a -∞和(,)a b 内C.(,)b c 和(,)c +∞内D.(,)a -∞和(,)c +∞内 【答案】A零点个数的判断题型结构特征：判别零点在区间上的个数问题 3.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B4.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为( )A. 1B. 2C.3D.4 【答案】A5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B6.已知函数f (x )是R 上的偶函数，且满足f (5＋x )＝f (5－x )，在[0，5]上有且只有f (1)＝0，则f (x )在[－2 015，2 015]上的零点个数为( )A ．808B ．806C ．805D ．804【答案】C零点存在性确定的参数范围问题题型结构特征：已知零点的个数存在性确定参数范围 7.函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2) 【答案】C8.[2015湖南文14]若函数f （x ）=| 2x -2 | - b 有两个零点，则实数b 的取值范围是___ 【答案】0<b<29.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是____【答案】194≤<a 10已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A. B ．C ． D. 【答案】C)(x f )()1(x f x f -=+)(x f ]1,0[∈x 2)(x x f =]3,1[-k kx x f x g --=)()()41,0(]21,0()21,41(]31,41[11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，求m 的取值范围．解析：作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，⇔要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3.12.已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）【答案】：C解答：⇔存在个零点，即与有两个交点，的图象如下：要使得与有两个交点，则有即，⇔选C.零点分布问题题型结构特征：根据零点的分布区域进行零点相关运算或不等关系的判断13.已知定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)2(,1)2(21)(x x x x f .若关于x 的方程0)()(2=++b x af x f 有三个不同的实根321,,x x x ，求232221x x x ++的值为（ ）e 0()ln 0x xf x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()()g x f x x a =++2()y f x =y x a =--)(x f y x a =--)(x f 1a -≤1a ≥-A. 10 B .12 C. 14 D.16 【答案】C二次函数零点区间讨论法题型结构特征：已知二次函数的零点存在区间求参数范围14已知a 是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a 的取值范围【答案】a>1或253--≤a 15已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的取值范围 【答案】（1）（2165--，）（2）），（2121-- 16已知函数22||,2()(2)x 2x x f x x ≤⎧=⎨->⎩，,函数()3(2)g x f x ,则函数y ()()f x g x 的零点的个数为A. 2B. 3C.4D.5 【答案】A17. 已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解析：法一：设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)＜0，⇔x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＜0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1＜0， 即a 2＋a －2＜0， ⇔－2＜a ＜1.18已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ⇔R)满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，则实数b 的取值范围为____()a x ax x f --+=3222()x f y =[]1,1-【答案】⎪⎭⎫⎝⎛75,51 19.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ⇔R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为____ 【答案】920.已知二次函数f(x)＝x 2－ax ＋3 - a 的两零点均为正数的实数，则实数a 的取值范围是_____ 【答案】2<a<321.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3)B ．[－3，－1]C ．[－3,3)D ．[－1,1)【答案】A22.已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数．当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧54sin ⎝⎛⎭⎫π2x 0≤x ≤1⎝⎛⎭⎫14x＋1x >1，若关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ⇔R )有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)⇔⎩⎨⎧⎭⎬⎫54B ．[0,1]⇔⎩⎨⎧⎭⎬⎫54C ．(0,1]⇔⎩⎨⎧⎭⎬⎫54D.⎝⎛⎦⎤1，54⇔{0} 解析：作出f (x )＝⎩⎨⎧54sin ⎝⎛⎭⎫π2x 0≤x ≤1⎝⎛⎭⎫14x＋1x >1的大致图象如图所示，又函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数，且关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ⇔R )有且仅有6个不同的实数根，等价于f (x )＝65和f (x )＝a (a ⇔R )有且仅有6个不同的实数根．由图可知方程f (x )＝65有4个不同的实数根，所以必须且只需方程f (x )＝a (a ⇔R )有且仅有2个不同的实数根，由图可知0<a ≤1或a ＝54.故选C.【答案】：C23.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________． 解析：若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则方程2a ＝|x －a |－1只有一解，即方程|x －a |＝2a ＋1只有一解，故2a ＋1＝0，所以a ＝－12.【答案】：－1224.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：问题可转化为y ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10. 【答案】：1025.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________．解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0得，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |－1，作出y ＝f (x )，y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－1的图象，由图象可知共有2个交点，故函数的零点个数为2.【答案】：226.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1x ≥221≤x ＜2，若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，当直线y ＝ax ＋1过点B (2,2)时，a ＝12，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1与f (x )＝2x －1(x ≥2)的图象相切时，a ＝－1＋52，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1过点A (1,2)时，a ＝1，满足方程恰有一个解．故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12⇔⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1.【答案】：⎝⎛⎭⎫0，12⇔⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，127.对于函数f (x )和g (x )，设α⇔{x |f (x )＝0}，β⇔{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,4]B ．⎣⎡⎦⎤2，73 C.⎣⎡⎦⎤73，3D ．[2,3]解析：函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，⇔0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3的图象过点(－1,4)，⇔要使其零点在区间[0,2]上，则g ⎝⎛⎭⎫a 2≤0，即⎝⎛⎭⎫a 22－a ·a 2－a ＋3≤0，解得a ≥2或a ≤－6(舍去)，易知g (0)≥0，即a ≤3，此时2≤a ≤3，满足题意． 【答案】D28.设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＜33，则这样的零点有( ) A ．61个 B ．63个 C ．65个D ．67个解析：依题意，由f (x 0)＝sin πx 0＝0得，πx 0＝k π，k ⇔Z ，即x 0＝k ，k ⇔Z .当k 是奇数时，f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝sin π⎝⎛⎭⎫k ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝－1，|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝|k |－1＜33，|k |＜34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝sin π⎝⎛⎭⎫k ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝1，|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝|k |＋1＜33，|k |＜32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65(个)，选C. 【答案】C29.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x <11x ＋1－1，－1<x <0，设函数g (x )＝f (x )－4mx －m ，其中m ≠0.若函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥14或m ＝－1B ．m ≥14C ．m ≥15或m ＝－1D ．m ≥15【答案】C30.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C．2 D．3解析：当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝1x－1＝1－xx，所以x⇔(0,1)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；x⇔(1，＋∞)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减．因此，当x>0时，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y＝f(x)与y＝e x的大致图象，如图，观察到函数y＝f(x)与y＝e x的图象有两个交点，所以函数g(x)＝f(x)－e x(e为自然对数的底数)有2个零点．故选C.【答案】C31.已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x有两个零点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(0,1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，1＋ee2 D.⎝⎛⎭⎫0，1＋ee2解析：依题意，关于x的方程ax－1＝ln xx有两个不等的正根．记g(x)＝ln xx，则g′(x)＝1－ln xx2，当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)在区间(0，e)上单调递增；当x>e时，g′(x)<0，g(x)在区间(e，＋∞)上单调递减，且g(e)＝1e，当0<x<1时，g(x)<0.设直线y＝a1x－1与函数g(x)的图象相切于点(x0，y0)，则有⎩⎨⎧a1＝1－ln x0x20a1x0－1＝ln x0x0，由此解得x0＝1，a1＝1.在坐标平面内画出直线y＝ax－1(该直线过点(0，－1)、斜率为a)与函数g(x)的大致图象，结合图象可知，要使直线y＝ax－1与函数g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是(0,1)，选B.【答案】B32.已知f′(x)为函数f(x)的导函数，且f(x)＝12x2－f(0)x＋f′(1)ex－1，g(x)＝f(x)－12x2＋x，若方程g⎝⎛⎭⎫x2a－x－x＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)⇔{1}B ．(－∞，－1]C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：⇔f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，⇔f (0)＝f ′(1)e －1，f ′(x )＝x －f (0)＋f ′(1)e x －1，⇔f ′(1)＝1－f ′(1)e －1＋f ′(1)e 1－1，⇔f ′(1)＝e ，⇔f (0)＝f ′(1)e －1＝1，⇔f (x )＝12x 2－x ＋e x ，⇔g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝12x 2－x ＋e x －12x 2＋x ＝e x，⇔g ⎝⎛⎭⎫x 2a －x －x ＝0，⇔g ⎝⎛⎭⎫x 2a －x ＝x ＝g (ln x )，⇔x 2a －x ＝ln x ，⇔x 2a ＝x ＋ln x ．当a >0时，只有y ＝x2a(x >0)和y ＝x ＋ln x 的图象相切时，满足题意，作出图象如图所示，由图象可知，a ＝1，当a <0时，显然满足题意，⇔a ＝1或a <0，故选A. 【答案】A33.已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( )A.1e＜x 1x 2＜1 B ．1＜x 1x 2＜e C ．1＜x 1x 2＜10D ．e ＜x 1x 2＜10解析：在同一直角坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象(图略)，结合图象不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1⇔(0,1)，x 2⇔(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1⇔(e－1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2⇔(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)⇔(－1，0)，于是有e －1＜x 1x 2＜e 0，即1e ＜x 1x 2＜1，故选A. 【答案】A34.已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，设函数f (x )＝sgn 1－x ＋12·f 1(x )＋sgn x －1＋12·f 2(x )，其中f 1(x )＝x 2＋1，f 2(x )＝－2x ＋4.若关于x 的方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，94)B ．(－∞，94]C ．[2，94]D ．(2，94)解析：⇔若x ＞1，则f (x )＝－1＋12·f 1(x )＋1＋12·f 2(x )＝－2x ＋4.⇔若x ＝1，则f (x )＝0＋12·f 1(x )＋0＋12·f 2(x )＝x 2－2x ＋52＝2.⇔若x ＜1，则f (x )＝1＋12·f 1(x )＋－1＋12·f 2(x )＝x 2＋1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＜1，2，x ＝1，－2x ＋4，x ＞1，作出其图象如图所示．若要使方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根，令t ＝f (x )，则关于t 的方程t 2－3t ＋m ＝0需有两个不相等的实数根，故Δ＝9－4m ＞0，得m ＜94.数形结合知1＜f (x )＜2，所以函数g (t )＝t 2－3t ＋m 在(1,2)上有两个不同的零点，又函数g (t )图象的对称轴为t ＝32⇔(1,2)，所以需⎩⎪⎨⎪⎧g 1＞0，g 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3＋m ＞0，22－3×2＋m ＞0，得2＜m ＜94，故选D.【答案】D35.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜0|12x 2－2x ＋1|，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11)解析：首先作出函数f (x )的图象(如图)，对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧b ＞01－a ＋b ＜04－2a ＋b ＞0，画出可行域(图略)，计算出目标函数z ＝3a ＋b 的取值范围为(3,11)．【答案】D36.已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ⇔(0,1]． 【答案】(0,1]37.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．解析：当x ＞0时，令ln x －x 2＋2x ＝0，得ln x ＝x 2－2x ，作y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 图象，显然有两个交点． 当x ≤0时，令4x ＋1＝0， ⇔x ＝－14.综上共有3个零点． 【答案】338.已知函数f (x )＝|x －a |－2x ＋a ，a ⇔R ，若方程f (x )＝1有且只有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝|x －a |＋a ，h (x )＝2x ＋1，作出函数h (x )＝2x ＋1的图象，易知直线y ＝x 与函数h (x )＝2x ＋1的图象的两交点坐标为(－1，－1)和(2,2)，又函数g (x )＝|x －a |＋a 的图象是由函数y ＝|x |的图象的顶点在直线y ＝x 上移动得到的，且当函数h (x )＝2x ＋1的图象和g (x )＝|x －a |＋a 的图象相切时，切点为(2，1＋2)，(－2，1－2)，切线方程为y ＝－x ＋22＋1或y ＝－x －22＋1，又两切线与y ＝x 的交点分别为(1＋222，1＋222)，(1－222，1－222)，故a ＝1±222，结合图象可知a 的取值范围是(－∞，1－222)⇔(1＋222，2)． 【答案】(－∞，1－222)⇔(1＋222，2)39.若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是__________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，⇔方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域(图略)，可知14<b －2a －1<1.【答案】⎝⎛⎭⎫14，140.已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14 B ．18C ．－78D ．－38解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.【答案】：C41.已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：易知函数f (x )＝e |x |＋|x |为偶函数，故只需求函数f (x )在(0，＋∞)上的图象与直线y ＝k 有唯一交点时k 的取值范围．当x ⇔(0，＋∞)时，f (x )＝e x ＋x ，此时f ′(x )＝e x ＋1＞0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x ＞f (0)＝1，所以要使函数f (x )在(0，＋∞)上的图象与直线y ＝k 有唯一交点，只需k ＞1，故所求实数k 的取值范围是(1，＋∞)． 【答案】(1，＋∞)42.已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1＜f (x 1)＜x 2，则关于x 方程[f (x )]2－2af (x )－b＝0的实数根的个数不可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由题意，得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意，知函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，又x 1＜f (x 1)＜x 2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实根个数不可能为5，故选D.【答案】D43.设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )＜0＜f (b )B ．f (b )＜0＜g (a )C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0【答案】A44.已知λ⇔R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是_________．【答案】13λ<≤或4λ>.45.已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .【答案】46.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A.3B.2C.1D.0 【答案】B()4,8。
2020版高考数学复习课件： 数形结合法解决零点问题(共23张PPT)
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(第7题)
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学文科
微难点2 数形结合法解决零点问题
不同的 8. 实已数知根函，数则f(实x)＝数b|x的l2g－取－6值xx＋|范，4围，x<是x0≥，__0_，_2_，_若_1_47关__于__x．的方程[f(x)]2－bf(x)＋1＝0有8个
对应的部分相等，只需考虑 lg x 与每个周期内 x∉D 的部分的交点．
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学文科
微难点2 数形结合法解决零点问题
画出函数的图象如图所示，图中的交点除(1,0)外其他交点的横坐标均为无理 数，属于每个周期内x∉D的部分，且x＝1处(lg x)′＝xln110＝ln110<1，则在x＝1附近 仅有一个交点，因此方程的解的个数为8.
此范围内，x∈Q 且 x∉Z 时，设 x＝qp，p，q∈N*，p≥2 且 p，q 互质，若 lg x∈Q，则
由 lg
x∈(0,1)，可设 lg
x＝mn ，m，n∈N*，m≥2
且
m，n
n
互质，因此 10 m
＝qp，则
10n
＝qpm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 lg x∉Q，因为 D 是有理数集， 所以自变量 x∈D 所对应的函数值都为有理数，因此，lg x 不可能与每个周期内 x∈D
x1<x2<x3，由图象得－18<x1<0<x2<12<x3<1，x2＋x3＝1， －2x1＝－x22＋x2，所以 x1x2x3＝x22－2 x2·x2·(1－x2)＝ －x22－2 x22.当 0<x2<12时，x22－x2∈－14，0，所以 x1x2x3
函数零点问题课件-2025届高三数学一轮复习
h（x）＝x2＋4－4xsin x－4cos x＝x（x－4sin x）＋4（1－cos x）.
当x∈[4，＋∞）时，x－4sin x＞0，4（1－cos x）≥0，
∴h（x）＞0，∴h（x）无零点；
当x∈（0，4）时，h'（x）＝2x－4xcos x＝2x（1－2cos x），
当x∈
π
0,
3
时，h'（x）＜0；当x∈
当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增；
当x∈（e，＋∞）时，g'（x）＜0，此时g（x）单调递减.
1
故g（x）max＝g（e）＝ ，且当x＞e时，g（x）∈
e
1
0,
e
，又g（1）＝0，
【关键】准确判断g（x）的范围
ln 1
＜ ，解得a的取值范围是（1，e）∪（e，＋∞）.
e
2.已知函数h（x）＝x2＋4－4（xsin x＋cos x），试证明h（x）在R上有且仅有三
个零点.
证明：h（x）＝x2＋4－4xsin x－4cos x，
∵h（－x）＝x2＋4－4xsin x－4cos x＝h（x），
∴h（x）为偶函数.
又∵h（0）＝0，∴x＝0为函数h（x）的零点.
下面讨论h（x）在（0，＋∞）上的零点个数.
2
2.已知函数f（x）＝ex－ln x＋2sin α.证明：函数f（x）无零点.
1
x
证明：f'（x）＝e － ，x＞0，
1
x
令g（x）＝e － ，x＞0，
1
x
则g'（x）＝e ＋
2
＞0，
∴f'（x）在（0，＋∞）上单调递增，
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当y=k(x+2)与y= 1-(x-1)2 (0<x≤2)的图象相切时,求得k= 2 ,当直线y=k(x+2)过
4
(1,1)时,k= 1 ,
3
∴ 1 ≤k<
2
.
3
4
从而在(0,9]上,
f(x)=g(x)有8个不同实数根时,k的取值范围是
1 3
,
2
4
.
【方法归纳】 已知函数零点个数,求参数的取值范围一般利用等价转化、 数形结合等思想,将问题转化为动直线与定曲线的交点个数问题.
∴f(x)=1 a 和f(x)= a-1共有5个零点.
2
2
a
①
0
2
1 1, a-1 2
f (x)有3个零点,
解得1<a<3.
1, f (x)有2个零点,
a-1
② 2
0
a
1,
1 2
1,
无解.
综上,a的取值范围是(1,3).
4.若函数f(x)=x2-mcos x+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m所组成的集
4
因为
x1 x1x2
x2
1 2
k 2 0,
0,
所以0<x1<x2,
所以f '(x)≥0的解集为 0, k-
k
2
-8
∪
k
4
k 4
2
-8
,
,
故函数f(x)的单调递增区间为 0, k-
k
2
-8
和
k
4
x
x
由f '(x)≥0得2x2-kx+1≥0(*).
(i)当Δ=k2-8≤0,即-2 2≤k≤2 2时,(*)在R上恒成立,所以f(x)的单调递增区间
为(0,+∞).
(ii)当k>2
2 时,Δ=k2-8>0,此时方程2x2-kx+1=0的相异实根分别为x1= k-
k 2 -8
4 ,x2
= k k 2 -8 ,
f
3 2
=
7 >0,
8
f(2)=6>0,
∴f(x)的零点在1,
3 2
内.
∴k=1.
2.函数f(x)=
x
2
-2,x
0,
的零点个数是
.
2x-6 ln x,x 0
答案 2
解析 当x≤0时,f(x)=x2-2=0,解得x=- 2;当x>0时,f(x)=2x-6+ln x,其零点个数即 为方程2x-6+ln x=0(x>0)的实根个数,也即为函数y=6-2x,y=ln x,x>0图象的交点 个数,由函数图象可知f(x)=2x-6+ln x在(0,+∞)上有1个零点,故函数f(x)共有2 个零点.
【方法归纳】 (1)函数有零点即方程有解问题,一般解题策略是等价转化、 数形结合思想的灵活应用,利用等价转化思想将问题转化为两个函数图象有 交点时斜率的范围问题,或者转化为一个新的函数在某一区间上的值域.(2) 函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x轴的交点横坐标 是同一问题的三种不同说法.
3-1 若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是
x
递增,在(1,+∞)上递减,h(x)max=h(1)=-1<0,所以h(x)<0(x>0),即 ln x<x(x>0).因此,
f(x1)<x1-
x12
-2=-
x1
-
1 2
2
-
7 4
<0,又因为f(x)在(x1,x2)上递减,所以f(x2)<f(x1)<0,所以f
(x)在区间(0,x2)上不存在零点.
第14讲 函数的零点问题
第14讲 函数的零点问题
1.(2019苏州中学期初,8)已知方程x3=4-x的解在区间
k
,k
1 2
内,k是
1的整数
2
倍,则实数k=
.
答案 1
解析 作出y=x3与y=4-x的图象,如图.
观察发现:两函数图象有1个交点,且在点(1,1)的右侧.
设f(x)=x3+x-4,则f(1)=-2<0,
h( ln
2)
1
-a, ln 2
-a
⇒h
-
9 8
<h(ln
2)<h(0)⇒h(ln
2)=0或h(0)=0,解得a=1或
22
1 ln 2 .
2
故实数a的取值集合为1,
1 ln 2
2
.
题型三 函数的零点存在问题
例3
(2019泰州期末,13)已知函数f(x)=
时, f(x)=x2+4cos x-4,有3个零点,不适合,舍去,故实数m的取值集合为{2}.
题型一 确定函数的零点个数 例1 设k∈R,函数f(x)=ln x+x2-kx-1,求: (1)k=1时,不等式f(x)>-1的解集; (2)函数f(x)的单调递增区间; (3)函数f(x)在定义域内的零点个数.
1 x-a,x 0, 2
0,
h'(x)=
4x
9 2
,x
0,
-
1 ex
1 ,x 2
0,
所以x<- 9 时,函数h(x)单调递减,- 9 <x<0时,函数h(x)单调递增,0<x<ln 2时,函数
8
8
h(x)单调递减,x>ln 2时,函数h(x)单调递增.
由hh(0-)981-a-,3429
解析 (1)k=1时,不等式f(x)>-1,即ln x+x2-x>0,设g(x)=ln x+x2-x,因为g'(x)= 1 +2x-
x
1= 2x2-x 1>0在定义域(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)
x
=0,所以f(x)>-1的解集为(1,+∞).
(2)f '(x)= 1+2x-k= 2x2 -kx 1(x>0),
如果x<a, f(x)=x3+3x-4a=0,即函数y=x3与y=-3x+4a的图象在(-∞,0)上有交点,由 图象可知不存在.
(2)当a<0时, 如果x≥a, f(x)=x3-3x+2a=0,即函数y=x3与y=3x-2a在(-∞,0)上有交点,如图,两图 象相切时,y'=3x2=3,x=-1,切点为(-1,-1),代入y=3x-2a,得a=-1, 所以,当-1≤a<0时,在x<0且x≥a处有交点,即存在x0<0,使得f(x0)=0.
f(x)>x2-kx-1>0.设0<x<
1,x2-kx-1<max{-1,-k}=λ,所以f(x)<ln x+λ,当0<x<e-λ时, f(x)<0,取n=min{1,e-λ},则
当x∈(0,n)时, f(x)<0.又函数f(x)在定义域(0,+∞)上连续不间断,所以函数f(x)在
定义域内有且仅有一个零点.
1-1
(2019金陵中学期中,12)已知函数f(x)=
2x |ln
1,x 0,则关于x的方程f[f(x)]=
x|,x 0,
3的解的个数为
.
答案 5
解析 由题意得,2f(x)+1=3或|ln f(x)|=3,即f(x)=1(舍去)或f(x)=e3或f(x)=e-3.若f
(x)=e3,则2x+1=e3或|ln x|=e3,故x= e3-1(舍去)或x=ee3 或x=e-e3 .若f(x)=e-3,则2x+1=e-3
x3 x3
-3x 2a,x 3x-4a,x
aa,,若存在x0<0,使得f(x0)=
0,则实数a的取值范围是
.
答案 [-1,0)
解析 (1)当a≥0时, 如果x≥a, f(x)=x3-3x+2a=0,即函数y=x3与y=3x-2a的图象在(-∞,0)上有交点,由 图象可知不存在.
k(x 2),0 x 1,
-
1 2
,1
x
2,
其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的
实数根,则k的取值范围是
.
答案
1 3
,
2
4
解析 根据函数f(x)的周期性及奇偶性作图,如图所示.
由图知,当x∈(0,2]时,g(x)与f(x)的图象在x轴上方有2个公共点,当x∈(2,4]时,g (x)与f(x)的图象在x轴下方有1个公共点. 由f(x)与g(x)的周期性知,当x∈(4,8]时,g(x)与f(x)的图象有3个公共点,当x∈(8, 9]时,g(x)与f(x)的图象有2个公共点.
②当k>2 2 时, f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上递增,在(x1,x2)上递减,其中2x1-kx1+1=0,2 x2-kx2+1=0, 则f(x1)=ln x1+ x12-kx1-1 =ln x1+ x12-(2 x12+1)-1 =ln x1- x12-2.