2019届高考数学第一轮知识点阶段滚动检测60
2019版一轮复习理数通用版：阶段滚动检测一检测范围：第一单元至第四单元.doc
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U 是实数集R, Venn 图表示集合M={x\x>2]与N ={兀|1"<3}的关系，那么阴影部分所表示的集合为()A ・{x|x<2} C ・[x\x>3]D ・{x*Wl}解析：选D 由Venn 图可知，阴影部分表示(5M )r )(%N), 因为 M={x\x>2}f N={x|l<xv3},所以C t ,M={x|x^2}, 1 或 x^3},则阴影部分表示的集合为(5M )a (5N) = t4rWl}・2.函数f(x)=y^ lg(2-x)的定义域为() A ・(0,2) B ・[0,2] C ・(0,2]D ・[0,2)解析：选D 由题意得解得0W*2・[2—x>0,B. {2}D. {-2, 一1,0,1,2}解析：选 B 由题意知，M={m\-2^m^29 /nEZ} = {-2, 一 1,0,1,2}, N={x|lvxW3}, 故 MQN={2}.4.下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0, +<-)上单调递减的是() A ・ y=x 2B. y=x+lC. j=-lg |x|D ・ J=-2X解析：选C y=x 2为偶函数，但在(0, +8)上单调递增，排除A; y=x+l 9 y=—2x为非奇非偶函数，故排除B 、D,只有选项C 符合.5•设且加H0, “不等式加+土>4”成立的一个充分不必要条件是()B. m>\ D> 24解析：选C 当〃2>0时，加+—$4,当且仅当m=2时，等号成立，所以加>0且加工2阶段滚动检测(一) 检测范围：第一单元至第四单元3・已知集合M=仏甘三住)冬4,/«ez N= Xk 则 MQN=(A ・0 C. {x|l<xW2}A. /«>0 C. m>2是“不等式加+土>4”成立的充要条件，因此，“不等式加+土>4”成立的一个充分不必要条件是m>29故选C.A. 偶函数，在［0, +8)上单调递增B. 偶函数，在［0, +8)上单调递减C. 奇函数，且单调递增解析：选 C 易知人0)=0,当 x>0 时，f(x)=l-2~x f -f(x)=2~x -l t 而一兀vO,则 f(-x)=2~x -l = -f(x);当兀v0 时，f(x)=2x -l f -f(x)=l-2x t 而一工>0,则 f(-x)=l-2_(_x)=l-2v =-/(x)・即函数/U)是奇函数，且单调递增，故选C ・解析：选A 由x 2-1^0,得xH±l,当x>l 时，y=—-~ 0,排除D;当兀<一1时,X Xy= <0,排除C;当Owl 时，y=<0,排除B,故选A ・勺F —1勺兀'—I 9.定义在R 上的函数yw 满足：(X ), /［0)=0, f (X )是心)的导函数，则不 等式eT 仗)>£一1(其中e 为自然对数的底数)的解集为()A. (一8, -1)U(O, +8)B. (0, +8) C ・(—8, O)U(1, +8)D. (―1, +°°)解析：选 B 设 g (兀)=e7lx)-e x +l,因为(x),6-已知函数何=I, x<0,则函数沧)是(D. 奇函数, 且单调递减B. m<n则加与n 的大小关系是(A. m>n D.无法确定8.函数丿=一^的图象大致是()所以 / (x)=eW+r (x)-l)>0,所以函数g(x)是R上的增函数，又因为人0)=0, g(O)=e°AO)-e°+l=O, 所以不等式t xfix)>e x-1的解集为(0, +8).[x 2+(4a —3)x+3a x<0, 10.已知函数f(x)=\ ,| . 、介 («>0,且aHl)在R 上单调递减，且log«(兀十1)十1，兀$0关于兀的方程\f(x)\=2-x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是()解析：选C 由j=lo^(x+l)+1在［0, +8)上递减，得oVaVl. 又由/U )在R 上单调递减，则 02+(4a —3)・0+3aMl,13］3—4a不如图所示，在同一坐标系中 ^034作出函数y=\f(x)\和y=2~x 的图象•由图象可知，在［0, +8)上|/<兀)|=2—工有且仅有一个解， 故在(一8, 0)上换x )|=2—兀同样有且仅有一个解.2当 3a>2,即 时，由 x 2+(4a~3)x+3a=2~x(其中 x<0),得 x 2+(4«-2)x+3a-2=0(其中 x<0),3 则 J = (4a-2)2-4(3«-2)=0,解得 a=^或 a=l(舍去); 1 2当1 W3aW2,即扌WaW ；时，由图象可知，符合条件.综上所述，aE | u|| }•故选C ・11.已知奇函数/(工)是定义在R 上的连续函数，满足几2)=务 且何在(0, +8)上的 疋一3 导函数f (x)<x 2,贝IJ 不等式f(x)>^-的解集为()A. (-2,2)B. (一8, 2)D .(—£,解析：选B 令g(x)=/U)-r —，因为奇函数几v)是定义在R 上的连续函数, 所以函数g(x)是定义在R 上的连续函数，x 3—32' 3C. D. '1 2'3则g‘(兀)=f (X)—x2<0,所以函数g(x)=/U)——在R上是减函数，23—3又 g(2)=/(2)-^—=0,»—3所以不等式/U )>飞亠的解集为(一8, 2).A ・4B ・3C ・2D ・1[x+1, xWO, 解析：选B 因为函数J(x)=\Uog2X, X>0,所以 g (兀)=/(/&))—+=0 等价于 /(x)+l=| 或 log2/(x)=|, 则 f(x)= —*或 f(x)=y[2f 、伍x= 2 ；当/(兀)=迄时，x=2y[2f故函数g(x)=f(f(x))—^的零点个数是3・二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.已知 a=log 210.6,方=2.1", c=log 050.6,则 a, b, c 的大小关系是 __________________ ・解析：由指数函数与对数函数的性质可知，a=log 2.i0.6<0, &=2.10,6>1, c=log 0^0.6G(0,1),所以 b>c>a ・答案：b>c>a14.函数y=log] (―x 2+4x —3)的单调增区间为 _____________2解析：设Z= —x 2+4x —3,则函数可化为j=Iog j t 是减函数.2由一X 2+4X -3>0,得1VXV3•因为函数Z=-X 2+4X -3在(2,3)上是减函数， 所以由复合函数的单调性可得函数j=logj (-X 2+4X -3)的单调增区间为(2,3).2答案：(2,3)15.当xe (-oo, 一1]时，不等式(加2 一加)・护一2*< 0恒成立，则实数加的取值范围是解析：原不等式变形为加2—加vgy, 因为函数y=g)x 在(一8, —1]上是减函数, 所以SW 护=2,\x+l 9 xWO,12.已知函数fix)=\则函数g(x)=/(Ax))—+的零点个数是()当./u)=—£时，兀=一号或当xe(-oo, 一1]时，rn2-zw<(jj v恒成立等价于m2-m<2f解得一l<m<2.答(-1,2)16.定义在R上的函数/U)满足f{x-2)=f(x+2)f且兀丘(一2,0)时，心)=2兀+*,则/(2 017)= __________ ・解析：由f{~x)=—f(x)可得函数/(x)是奇函数.由心一2)=心+2)可得f(x+4)=f(x)f所以函数/U)是周期为4的周期函数. 因为当xG(-2,0)时，f(x) = 2x+\t 所以/(2017)=/ll)=-A-l)=|.答案：|三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设函数/(x)=lg(x2—X—2)的定义域为集合A,函数g(x)=#3_|x| 的定义域为集合B.⑴求AQB；(2)^ C={x\m-l<x<2m+l}f CUB,求实数加的取值范围.解：⑴要使函数兀)有意义，则X2—X—2>0,解得兀>2或x<-l,即A = {x|x>2或兀v-l}.要使函数g(x)有意义，则3—*|$0,解得一3WxW3,即〃={x|—3WxW3}・故4 门B={x|—3Wxv—1 或2v“W3}・(2)若C=0,则加W-2, CUB恒成立；若CH0,则m>-2t要使C^B成立，m>—2,则< 加一1N—3, 解得一2V〃2W1.2加+1 W3,综上，加W1,即实数加的取值范围为(一8, I].18.(本小题满分12分)已知函数fix)=(2-a)\n x+^+2ax.(1)当a=2时，求函数/U)的极值；(2)当GV0时，求函数JU)的单调增区间.解：(1)函数/U)的定义域为(0, +8),当 a=2 时，/U)=7+4兀，则f (x)=-p+4. 令f (x)=—p+4=0,得 x=|或兀=一£(舍去).当尤变化时，f (x), /U)的变化情况如下表:令f (x)=0,得兀=*或x=-审当一2<a<0时，由f Cr)：>0,得芬v —£所以函数心)在住，一£上单调递增； 当a=-2时，f (x)W0,所以函数人兀)无单调递增区间；当a<—2时，由f (x)>0,得一+"<!，所以函数/U)在(一十，占上单调递增. 19.(本小题满分12分)已知函数J(x)=—x 3+ax 2+bx+c 图象上的点P(l, —2)处的切 线方程为y= — 3x+1.(1) 若函数f(x)^x= — 2时有极值，求/U)的表达式；(2) 若函数心)在区间［一2,0］上单调递增，求实数方的取值范围.解：⑴f (x) = — 3x 2+lax+h.因为函数JU)在x=l 处的切线斜率为一3,所以f (1)=一3+2。
2019届高三数学(文)一轮复习阶段滚动检测卷全套含答案
阶段滚动检测(一)检测范围：第一单元至第四单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U 是实数集R ，Venn 图表示集合M ＝{x |x >2}与N ＝{x |1<x <3}的关系，那么阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >3}D ．{x |x ≤1}解析：选D 由Venn 图可知，阴影部分表示(∁U M )∩(∁U N )，因为M ＝{x |x >2}，N ＝{x |1<x <3}，所以∁U M ＝{x |x ≤2}，∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，则阴影部分表示的集合为(∁U M )∩(∁U N )＝{x |x ≤1}．2．函数f (x )＝x lg(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(0,2]D ．[0,2)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2－x >0，解得0≤x <2.3．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪ 14≤⎝⎛⎭⎫12m ≤4，m ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x －1≥1，则M ∩N ＝( ) A ．∅B ．{2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：选B 由题意知，M ＝{m |－2≤m ≤2，m ∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，N ＝{x |1<x ≤3}，故M ∩N ＝{2}．4．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－lg |x |D ．y ＝－2x解析：选C y ＝x 2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，排除A ；y ＝x ＋1，y ＝－2x为非奇非偶函数，故排除B 、D ，只有选项C 符合．5．设m ∈R 且m ≠0，“不等式m ＋4m >4”成立的一个充分不必要条件是( )A ．m >0B ．m >1C ．m >2D ．m ≥2解析：选C 当m >0时，m ＋4m ≥4，当且仅当m ＝2时，等号成立，所以m >0且m ≠2是“不等式m ＋4m >4”成立的充要条件，因此，“不等式m ＋4m >4”成立的一个充分不必要条件是m >2，故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，而－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，而－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.7．(2018·重庆一测)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析：选C 依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点是点(－y 0，－x 0))，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C.8．函数y ＝x 3x 2－1的图象大致是( )解析：选A 由x 2－1≠0，得x ≠±1，当x >1时，y ＝x 3x 2－1>0，排除D ；当x <－1时，y ＝x 3x 2－1<0，排除C ；当0<x <1时，y ＝x 3x 2－1<0，排除B ，故选A.9．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 设g (x )＝e x f (x )－e x ＋1，因为f (x )>1－f ′(x )，所以g ′(x )＝e x (f (x )＋f ′(x )－1)>0，所以函数g (x )是R 上的增函数，又因为f (0)＝0，g (0)＝e 0f (0)－e 0＋1＝0，所以不等式e x f (x )>e x －1的解集为(0，＋∞)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34解析：选C 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0＜a ＜1. 又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎨⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥1，3－4a 2≥0⇒13≤a ≤34.如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象． 由图象可知，在[0，＋∞)上|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a ＞2，即a ＞23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x ＜0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x ＜0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.11．已知奇函数f (x )是定义在R 上的连续函数，满足f (2)＝53，且f (x )在(0，＋∞)上的导函数f ′(x )<x 2，则不等式f (x )>x 3－33的解集为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，2) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B 令g (x )＝f (x )－x 3－33，因为奇函数f (x )是定义在R 上的连续函数，所以函数g (x )是定义在R 上的连续函数，则g ′(x )＝f ′(x )－x 2<0，所以函数g (x )＝f (x )－x 3－33在R 上是减函数，又g (2)＝f (2)－23－33＝0，所以不等式f (x )>x 3－33的解集为(－∞，2)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数g (x )＝f (f (x ))－12的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，所以g (x )＝f (f (x ))－12＝0等价于f (x )＋1＝12或log 2f (x )＝12，则f (x )＝－12或f (x )＝2，当f (x )＝－12时，x ＝－32或x ＝22；当f (x )＝2时，x ＝22，故函数g (x )＝f (f (x ))－12的零点个数是3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知a ＝log 2.10.6，b ＝2.10.6，c ＝log 0.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：由指数函数与对数函数的性质可知，a ＝log 2.10.6<0，b ＝2.10.6>1，c ＝log 0.50.6∈(0,1)，所以b >c >a .答案：b >c >a14．函数y ＝log 12(－x 2＋4x －3)的单调增区间为________．解析：设t ＝－x 2＋4x －3，则函数可化为y ＝log 12t 是减函数．由－x 2＋4x －3>0，得1<x <3.因为函数t ＝－x 2＋4x －3在(2,3)上是减函数，所以由复合函数的单调性可得函数y ＝log 12(－x 2＋4x －3)的单调增区间为(2,3)．答案：(2,3)15．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. 答案：(－1,2)16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f (x ＋1)＝f (x －1)，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)可知函数f (x )是周期为2的周期函数，又因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0<x <1时，f (x )＝4x ，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2，令x ＝0，则f (x ＋1)＝f (x －1)可化为f (1)＝f (－1)＝－f (1)，所以f (1)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，C ⊆B ，求实数m 的取值范围． 解：(1)要使函数f (x )有意义，则x 2－x －2>0， 解得x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}． 要使函数g (x )有意义，则3－|x |≥0， 解得－3≤x ≤3，即B ＝{x |－3≤x ≤3}． 故A ∩B ＝{x |－3≤x <－1或2<x ≤3}． (2)若C ＝∅，则m ≤－2，C ⊆B 恒成立；若C ≠∅，则m >－2，要使C ⊆B 成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧m >－2，m －1≥－3，2m ＋1≤3，解得－2<m ≤1.综上，m ≤1，即实数m 的取值范围为(－∞，1]． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值； (2)当a <0时，求函数f (x )的单调增区间．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝2时，f (x )＝1x ＋4x ，则f ′(x )＝－1x 2＋4.令f ′(x )＝－1x 2＋4＝0，得x ＝12或x ＝－12(舍去)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝4，无极大值． (2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1a .当－2<a <0时，由f ′(x )>0，得12<x <－1a ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12，－1a 上单调递增； 当a ＝－2时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )无单调递增区间；当a <－2时，由f ′(x )>0，得－1a <x <12，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，12上单调递增． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 图象上的点P (1，－2)处的切线方程为y ＝－3x ＋1.(1)若函数f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式；(2)若函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .因为函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－3， 所以f ′(1)＝－3＋2a ＋b ＝－3， 即2a ＋b ＝0.①又f (1)＝－1＋a ＋b ＋c ＝－2， 即a ＋b ＋c ＝－1.②因为函数f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝－12－4a ＋b ＝0，即4a －b ＝－12.③ 由①②③解得a ＝－2，b ＝4，c ＝－3， 所以f (x )＝－x 3－2x 2＋4x －3.(2)由(1)知a ＝－b2，所以f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b ，因为函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，所以f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b 在区间[－2,0]上的值恒大于等于零，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－2)＝－12＋2b ＋b ≥0，f ′(0)＝b ≥0，解得b ≥4，所以实数b 的取值范围为[4，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知函数g (x )＝a ln x ＋12x 2＋(1－b )x .(1)若g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为8x －2y －3＝0，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，试比较－4与g (x 1)＋g (x 2)的大小． 解：(1)由题意可得，g ′(x )＝ax ＋x ＋(1－b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝52，g ′(1)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－b ＝52，a ＋1＋1－b ＝4，解得a ＝1，b ＝－1. (2)∵b ＝a ＋1，∴g (x )＝a ln x ＋12x 2－ax ，则g ′(x )＝ax ＋x －a ＝x 2－ax ＋a x. 根据题意可得x 2－ax ＋a ＝0在(0，＋∞)上有两个不同的根x 1，x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧a2>0，a 2－4a >0，a >0，解得a >4，且x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝a .∴g (x 1)＋g (x 2)＝a ln(x 1x 2)＋12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＝a ln a －12a 2－a . 令f (x )＝x ln x －12x 2－x (x >4)，则f ′(x )＝ln x ＋1－x －1＝ln x －x .令h (x )＝ln x －x ，则当x >4时，h ′(x )＝1x －1<0， ∴h (x )在(4，＋∞)上为减函数， 即h (x )<h (4)＝ln 4－4<0，f ′(x )<0， ∴f (x )在(4，＋∞)上为减函数， 即f (x )<f (4)＝8ln 2－12， ∴g (x 1)＋g (x 2)<8ln 2－12.又∵8ln 2－12－(－4)＝8ln 2－8＝8(ln 2－1)<0， ∴8ln 2－12<－4， ∴g (x 1)＋g (x 2)<－4.21．(本小题满分12分)(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝13x 3－12(a ＋2)x 2＋x (a ∈R)．(1)当a ＝0时，记f (x )图象上动点P 处的切线斜率为k ，求k 的最小值；(2)设函数g (x )＝e －e xx (e 为自然对数的底数)，若对于∀x ＞0，f ′(x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－(a ＋2)x ＋1.设P (x ，y )，由于a ＝0，∴k ＝x 2－2x ＋1≥0，即k min ＝0.(2)由g (x )＝e －e xx ，得g ′(x )＝e x (1－x )x 2，易知g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，由条件知f ′(1)≥g (1)，可得a ≤0.当a≤0时，f′(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－1)2－ax≥(x－1)2≥0.∴f′(x)≥g(x)对∀x∈(0，＋∞)成立．综上，实数a的取值范围为(－∞，0]．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2e x＋2ax－a2，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x≥0时，f(x)≥x2－3恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝2e x＋2a，①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增．②当a<0时，由f′(x)>0，得x>ln(－a)；由f′(x)<0，得x<ln(－a)，∴函数f(x)在(－∞，ln(－a))上单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上单调递增．综合①②知，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(ln(－a)，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln(－a))．(2)令g(x)＝f(x)－x2＋3＝2e x－(x－a)2＋3，x≥0，则g′(x)＝2(e x－x＋a)．又令h(x)＝2(e x－x＋a)，则h′(x)＝2(e x－1)≥0，∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝2(a＋1)．①当a≥－1时，h(x)≥0，即g′(x)≥0恒成立，∴函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而需满足g(0)＝5－a2≥0，解得－5≤a≤5，又a≥－1，∴－1≤a≤5；②当a<－1时，则∃x0>0，使h(x0)＝0，且x∈(0，x0)时，h(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0，x0)上单调递减，x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(x0，＋∞)上单调递增．∴g(x)min＝g(x0)＝2e x0－(x0－a)2＋3≥0，又h(x0)＝2(e x0－x0＋a)＝0，从而2e x0－(e x0)2＋3≥0，解得0<x0≤ln 3，又由h (x 0)＝0，得a ＝x 0－e x 0. 令M (x )＝x －e x,0<x ≤ln 3，则M ′(x )＝1－e x <0，∴M (x )在(0，ln 3]上单调递减， ∴M (x )≥M (ln 3)＝ln 3－3，又M (x )<M (0)＝－1， 故ln 3－3≤a <－1，综上，实数a 的取值范围为[]ln 3－3，5.阶段滚动检测(二)检测范围：第一单元至第八单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－11x －12<0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{2,8} C ．{4,10}D ．{2,4,8,10}解析：选B A ＝{x |－1<x <12}，B ＝{x |x ＝6n ＋2，n ∈Z}，则A ∩B ＝{2,8}． 2．下列说法正确的是( )A ．a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p 且q 为真命题”是“p 或q 为真命题”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”D ．若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋c os x ≤2”，则綈p 是真命题解析：选A 若1a <1，则a >1或a <0，所以“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件，故A 正确．3．(2018·广州模拟)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．c <b <aD ．c <a <b解析：选D 1＝log 33<a ＝log 37<log 39＝2，b ＝21.1>21＝2，c ＝0.83.1<0.80＝1，所以c <a <b . 4．已知曲线f (x )＝ax 2x ＋1在点(1，f (1))处切线的斜率为1，则实数a 的值为( )A.32B ．－32C ．－34D.43解析：选D f ′(x )＝ax 2＋2ax(x ＋1)2，由题意可得f ′(1)＝a ＋2a 4＝1，则a ＝43.5．若cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值为( ) A .78 B ．－78C .716D ．－716解析：选A 因为sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝78. 6．(2018·重庆模拟)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A ．e-12B ．2e-12C ．e 12D ．2e 12解析：选B 依题意，设直线y ＝a x 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12，选B .7．函数f(x)＝xx 2＋a的图象可能是( )A ．①③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④解析：选C 因为f(－x )＝－xx 2＋a ＝－f(x)，所以函数f(x)＝xx 2＋a 是奇函数，图象关于原点对称，若a ＝0，则f(x)＝1x ，④符合题意；若a >0，且x>0时，f(x)＝1x ＋a x ≤12a，故－12a ≤f(x)≤12a，②符合题意；当a <0时，取a ＝－1，f(x)＝xx 2－1是奇函数且定义域为{x|x ≠±1}，故③符合题意，故选C .8．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n ＋3，且∀n ∈N *，a n ＋2n 2≥0，则a 3的取值范围是( )A ．[－2,15]B ．[－18,7]C ．[－18,19]D ．[2,19]解析：选D 因为a n ＋2n 2≥0，所以a 1≥－2，a 2≥－8，由a n ＋1＋a n ＝4n ＋3，得a 1＋a 2＝7，a 2＋a 3＝11，所以a 3＝a 1＋4≥－2＋4＝2，a 2＝11－a 3≥－8，即a 3≤19，综上可得，a 3的取值范围为[2,19]．9．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎡⎦⎤15，5D.⎝⎛⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：选C ∵f (x )＝(e x －e －x )x ， ∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.10．若函数y ＝k sin(kx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2与函数y ＝kx －k 2＋6的部分图象如图所示，则函数f (x )＝sin(kx －φ)＋c os(kx －φ)图象的一条对称轴的方程可以为( )A ．x ＝－π24B ．x ＝37π24C ．x ＝17π24D ．x ＝－13π24解析：选B 由图象可知－k 2＋6＝k (k >0)，则k ＝2，又2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0，|φ|<π2，则φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋c os ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12，令2x ＋5π12＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π24＋k π2，k ∈Z ，令k ＝3，得x ＝37π24，故选B. 11．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法一定正确的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 017<0 B ．若a 4>0，则a 2 018<0 C ．若a 3>0，则S 2 017>0 D ．若a 4>0，则S 2 018>0解析：选C 设首项为a 1，公比为q ，若a 3＝a 1q 2>0，则a 1>0，所以a 2 017＝a 1q 2 016>0，S 2 017＝a 1(1－q 2 017)1－q>0，若a 4＝a 1q 3>0，则a 2 018＝a 1q 2 017＝a 4q 2 014>0. S 2 018＝a 1(1－q 2 018)1－q ＝a 4(1－q 2 018)(1－q )q 3，因为q 值不确定，所以S 2 018的值不一定大于0，如q ＝－1时，S 2 018＝0，故选C. 12．已知函数g (x )＝a －x 21e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2－2] B.⎣⎡⎦⎤1，1e 2＋2 C.⎣⎡⎦⎤1e 2＋2，e 2－2 D ．[e 2－2，＋∞)解析：选A 令f (x )＝h (x )＋g (x )＝2ln x ＋a －x 2，因为函数g (x )＝a －x 2⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，所以函数f (x )有零点，f ′(x )＝2x －2x ＝2－2x 2x ，当1e ≤x <1时，f ′(x )>0；当1<x ≤e 时，f ′(x )<0，又f (e )－f ⎝⎛⎭⎫1e ＝2－e 2＋2＋1e 2<0，即f (e )<f ⎝⎛⎭⎫1e ，所以f (e )≤0且f (1)≥0，解得1≤a ≤e 2－2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．向量AB ―→，AC ―→的夹角为60°，且AB ―→·AC ―→＝2，点D 是线段BC 的中点，则|AD ―→|的最小值为________．解析：由题意可得AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，因为AB ―→·AC ―→＝2，所以|AB ―→|·|AC ―→|＝4， 所以|AD ―→|＝12AB ―→2＋2AB ―→·AC ―→＋AC ―→2＝12|AB ―→|2＋4＋|AC ―→|2≥124＋2|AB ―→|·|AC ―→|＝3，当且仅当|AB ―→|＝|AC ―→|＝2时，等号成立，故|AD ―→|的最小值为 3. 答案： 314．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数f (x )的单调递增区间为________________．解析：因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，且f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝3π，所以ω＝23，由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，则函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z 15．数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为________．解析：因为a 1＝1且a n ＋1－a n ＝n ＋1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 答案：201116．已知函数f (x )＝e 2x ，g (x )＝ln x ＋12，对∀a ∈R ，∃b ∈(0，＋∞)，使得f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为________．解析：因为f (x )＝e 2x，g (x )＝ln x ＋12，所以f －1(x )＝12ln x ，g －1(x )＝e 1-2x ，令h (x )＝g －1(x )－f －1(x )＝e1-2x －12ln x ，则b －a 的最小值即为h (x )的最小值，h ′(x )＝e 1-2x －12x，令h ′(x )＝ex －12－12x ＝0，得x ＝12，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )>0，故当x ＝12时，h (x )取得最小值1＋ln 22. 答案：1＋ln 22三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2c os 2x ＋23sin x ·c os x ＋a ，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为2.(1)求a 的值，并求f (x )的单调区间；(2)先将函数y ＝f (x )的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得到的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上所有根之和．解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 所以f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝2， 解得a ＝2.由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ， 同理可得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z. (2)由题意，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＋3， 当g (x )＝4时，sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝12， 所以4x －π6＝2k π＋π6或4x －π6＝2k π＋5π6，k ∈Z.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以解得x 1＝π12，x 2＝π4， 所以g (x )＝4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上所有根之和为x 1＋x 2＝π3. 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝n 2a n －n 2(n －1)，且a 1＝12. (1)令b n ＝n ＋1n S n，证明：b n －b n －1＝n (n ≥2)； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为S n ＝n 2(S n －S n －1)－n 2(n －1)， 所以nn －1S n －1＝n ＋1n S n －n ，即b n －b n －1＝n (n ≥2)．(2)由已知及(1)得，b 1＝1，b n －b n －1＝n ，b n －1－b n －2＝n －1，…，b 2－b 1＝2， 累加得b n ＝n 2＋n2，∴S n ＝n 22，a n ＝S n －S n －1＝2n －12(n ≥2)，经检验a 1＝12符合a n ＝2n －12，∴a n ＝2n －12.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，且3cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋A ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋2sin 2A . (1)求角B 的值；(2)若b ＝23，求三角形ABC 的周长l 的最大值．解：(1)因为3cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋A ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋2sin 2A ＝2⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ⎝⎛⎭⎫32cos A －12sin A ＋2sin 2A ＝32c os 2A ＋32sin 2A ＝32，所以c os B ＝12，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝23sinπ3＝4，所以a ＝4sin A ，c ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ，因此三角形ABC 的周长l ＝4sin A ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＋23＝43sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋2 3. 因为0<A <2π3，所以当A ＝π3时，l m a x ＝6 3.20．(本小题满分12分)(2018·兰州诊断)设函数f (x )＝1x ＋2ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)如果对所有的x ≥1，都有f (x )≤ax ，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1x 2，所以当0<x <12时，f ′(x )<0，当x >12时，f ′(x )>0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增． (2)当x ≥1时，f (x )≤ax ⇔a ≥2ln x x ＋1x2， 令h (x )＝2ln x x ＋1x2(x ≥1)，则h ′(x )＝2－2ln x x 2－2x 3＝2(x －x ln x －1)x 3，令m (x )＝x －x ln x －1(x ≥1)，则m ′(x )＝－ln x ，当x ≥1时，m ′(x )≤0，所以m (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以m (x )≤m (1)＝0，因此h ′(x )≤0，于是h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 所以当x ＝1时，h (x )有最大值h (1)＝1，故a ≥1， 即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＝3，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)(n ≥2，n ∈N *)，又b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n ＝a n ，对任意n ∈N *都成立．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解：(1)∵当n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋2＋S n ＝2(S n ＋1＋1)， 两式相减得：a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时， 数列{a n }是公差为2的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －2)＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，∴a n ＝2n －1. ∵b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n ＝a n ， ∴b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＝a n －1，两式相减得2n －1b n ＝a n －a n －1＝2，∴b n ＝22－n (n ≥2)．∵b 1＝1不满足b n ＝22－n，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，22－n ，n ≥2.(2)设c n ＝a n ·b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，(2n －1)·22－n，n ≥2，则T n ＝1＋3＋5×2－1＋7×2－2＋…＋(2n －1)×22－n ， 12T n ＝12＋3×2－1＋5×2－2＋7×2－3＋…＋(2n －1)×21－n ， 两式相减得12T n ＝72＋2×(2－1＋2－2＋2－3＋…＋22－n )－(2n －1)×21－n ＝72＋2×2－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －21－12－(2n －1)×21－n ＝112－(2n ＋3)×21－n ，∴T n ＝11－(2n ＋3)×22－n .22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[1，e]上的最小值和最大值；(2)是否存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a 恒成立．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－2ln x －x .则f ′(x )＝x －2x －1＝(x ＋1)(x －2)x ，x ∈[1，e]， ∴当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，e)时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(1,2)上单调递减，在(2，e)上单调递增．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，其最小值为f (2)＝－2ln 2. 又f (1)＝－12，f (e)＝e 22－e －2.f (e)－f (1)＝e 22－e －2＋12＝e 2－2e －32<0，∴f (e)<f (1)， ∴f (x )max ＝f (1)＝－12.(2)假设存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a 恒成立，不妨设0<x 1<x 2，若f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a ，则f (x 2)－ax 2>f (x 1)－ax 1.设g (x )＝f (x )－ax ＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x －ax ＝12x 2－2a ln x －2x .要满足题意，只需g (x )在(0，＋∞)为增函数即可， ∵g ′(x )＝x －2ax －2＝x 2－2x －2a x ＝(x －1)2－1－2a x.要使g ′(x )≥0在(0，＋∞)恒成立，只需－1－2a ≥0，解得a ≤－12.故存在a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12满足题意． 阶段滚动检测(三)检测范围：第一单元至第十二单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设命题p ：∀x ＞0，log 2x ＜2x ＋3，则綈p 为( ) A ．∀x ＞0，log 2x ≥2x ＋3 B ．∃x 0＞0，log 2x 0≥2x 0＋3 C ．∃x 0＞0，log 2x 0＜2x 0＋3 D ．∀x ＜0，log 2x ≥2x ＋3解析：选B 由全称命题否定的定义可知，答案为B.2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．{0,1,2} C ．(－1,2)D ．{－1,0,1}解析：选B 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝{0,1,2}．3．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．22B ．4C ．32D ．6解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)． 所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ的值为( ) A.13 B ．±13C ．－19D.19解析：选B 因为c os ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，即c osπ－⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝－79， 所以c os ⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝79， 由二倍角公式可得1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝79， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝±13. 5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．64－16π3B ．64－32π3C ．64－16πD ．64－64π3解析：选A 由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V 锥＝13Sh ＝13×π×22×4＝163π，∴V ＝V 正方体－V 锥＝43－163π＝64－163π. 6．若a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A.5－1B.5＋1 C ．25＋2D ．25－2解析：选D 因为a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，所以(2a ＋b ＋c )2＝4a 2＋b 2＋c 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ≥4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )＝4(6－25)＝4(5－1)2，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，即2a ＋b ＋c 的最小值是25－2.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A ．15B ．16 C.503D.533解析：选C 由三视图可知，该几何体是如图所示的以俯视图为底面、高为5的四棱锥P -ABCD ，则该几何体的体积V ＝13×12×4×4＋12×2×2×5＝503.8．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围为( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0) C.⎝⎛⎭⎫－1e 2，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 解析：选Df ′(x )＝a －1e x ＋xe x ，因为曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，所以f ′(x )＝a －1e x ＋x e x ＝0有两个不同的解．即a ＝1e x －xe x 有两个不同的解，令g (x )＝1e x －x e x ，g ′(x )＝－2e x ＋xex ，由g ′(x )>0，得x >2，由g ′(x )<0，得x <2，所以g (x )在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝2时，函数g (x )取得极小值g (2)＝－1e 2，当x →－∞时，g (x )→＋∞，当x →＋∞时，g (x )→0，画出函数g (x )的大致图象如图所示，要满足题意，则需－1e2<a <0.9．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210C.132D ．310解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132.10.如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP ―→·BP ―→的取值范围是( )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：选A 取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA ―→＋CB ―→＝2CD ―→，所以AP ―→·BP ―→＝(CP ―→－CA ―→)·(CP ―→－CB ―→)＝CA ―→·CB ―→－2CD ―→·CP ―→＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos 〈CD ―→，CP ―→〉＋1＝7－6cos 〈CD ―→，CP ―→〉，所以当c os 〈CD ―→，CP ―→〉＝1时，AP ―→·BP ―→取得最小值为1；当cos 〈CD ―→，CP ―→〉＝－1时，AP ―→·BP ―→取得最大值为13，因此AP ―→·BP ―→的取值范围是[1,13]．11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1ω>0,0≤φ≤π2的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，且在x ＝π3时取得最大值2，若f (α)＝85，且π3<α<5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( ) A.1225 B ．－1225C.2425D ．－2425解析：选D 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1ω>0,0≤φ≤π2的图象相邻两条对称轴之间的距离为π可知，函数的周期T ＝2π，则ω＝1.又因为函数在x ＝π3时取得最大值2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，且0≤φ≤π2，所以φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，又f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋1＝85，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，又π3<α<5π6，所以π2<α＋π6<π，则c os ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin α＋π6·c os ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－2425.12．对于函数f (x )，若关于x 的方程f (2x 2－4x －5)＋sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝0只有9个根，则这9个根之和为( )A ．9B ．18C ．πD ．0解析：选A 因为函数y ＝2x 2－4x －5的对称轴为x ＝1，所以f (2x 2－4x －5)关于直线x ＝1对称．由f (2x 2－4x －5)＋sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝0可得f (2x 2－4x －5)＝－sin π3x ＋π6关于直线x ＝1对称，因为方程f (2x 2－4x －5)＋sin π3x ＋π6＝0只有9个根，且其中一个根是1，其余8个根关于x＝1对称，所以这9个根之和为9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知向量|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1，且|AB ―→－2CD ―→|＝23，则向量AB ―→和CD ―→的夹角为________．解析：因为向量|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1，且|AB ―→－2CD ―→|＝23，所以AB ―→2－4|AB ―→||CD ―→|c os 〈AB ―→，CD ―→〉＋4CD ―→2＝12，则c os 〈AB ―→，CD ―→〉＝－12，所以〈AB ―→，CD ―→〉＝2π3.答案：2π314．已知函数f (n )＝n 2c os(n π)，数列{a n }满足a n ＝f (n )＋f (n ＋1)(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝________.解析：因为f (n )＝n 2c os(n π)，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，所以a 1＝f (1)＋f (2)＝－12＋22，a 2＝22－32，a 3＝－32＋42，a 4＝42－52，…，当n 是偶数时，a n ＝n 2－(n ＋1)2，当n 是奇数时，a n ＝－n 2＋(n ＋1)2，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(－12＋22)＋(22－32)＋(－32＋42)＋(42－52)＋…＋[－(2n －1)2＋(2n )2]＋[(2n )2－(2n ＋1)2]＝1×3－1×5＋1×7－1×9＋...＋(4n －1)－(4n ＋1) ＝－2－2－ (2)个－2＝－2n .答案：－2n15．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3BC ，则△ABC 面积的最大值是________． 解析：令BC ＝x ，则AC ＝3x ，角A 是锐角，由余弦定理可得c os A ＝123⎝⎛⎭⎫x ＋2x ，则sin A ＝1238－x 2－4x 2，S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝128x 2－x 4－4，当x ＝2时，△ABC 的面积最大，最大值为 3.答案： 316．若对任意m ∈(－2，－1)，f (x )＝mx 2－(5m ＋n )x ＋n 在x ∈(3,5)上存在零点，则实数n 的取值范围是________．解析：由f (x )＝0，可得x ＝5m ＋n ±25m 2＋6mn ＋n 22m.易知x ＝5m ＋n ＋25m 2＋6mn ＋n 22m<0，舍去，所以x ＝5m ＋n －25m 2＋6mn ＋n 22m∈(3,5)，化简可得n －5m >25m 2＋6mn ＋n 2>n －m .由n －5m >25m 2＋6mn ＋n 2两边平方，化简可得n >0，由25m 2＋6mn ＋n 2>n －m 两边平方，化简可得n <－3m 恒成立，所以n ≤3，综上可得，0<n ≤3. 答案：(0,3]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解：(1)由正弦定理可得sin A ＝2sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin B ＝12.因为B 是锐角，所以B ＝π6.(2)c os A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝3⎝⎛⎭⎫sin A cos π3＋cos A sin π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 因为C ＝5π6－A <π2，所以π3<A <π2，所以2π3<A ＋π3<5π6，12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32，所以32<3sin A ＋π3<32， 所以c os A ＋sin C ∈⎝⎛⎭⎫32，32.18．(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P -ABC 的高． 又PA ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ， 得PM MC ＝AN NC ＝13.19．(本小题满分12分)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)． (2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1. 所以a n b n ＝(2n －1)2n .则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)2n ，① 2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －1)2n ＋1.②①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，△PCD 为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝2BC ＝2，AB ＝3，点E ，F 分别为AD ，CD 的中点．(1)求证：BE ∥平面PCD ； (2)求证：平面PAF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AD ＝2BC ＝2，且E 为AD 的中点， ∴BC ＝ED .又∵AD ∥BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD .∵CD ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，∴BE ∥平面PCD .(2)∵在等边△PCD 中，F 是CD 的中点，∴CD ⊥PF . 又BC ∥AD ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥BC ，连接AC ， ∵AB ＝3，BC ＝1，∴AC ＝2， 又AD ＝2，∴AC ＝AD ，∴CD ⊥AF ，又∵PF ∩AF ＝F ，∴CD ⊥平面PAF . ∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PAF ⊥平面PCD .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －ax ，当x 0∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝1ex －e.(1)求a 的值；(2)求证：函数f (x )在定义域内单调递增． 解：(1)由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ，所以函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)， 即y －(x 0＋1)ln x 0＋ax 0＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a (x －x 0)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a x ＋ln x 0－x 0－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，x 0－ln x 0＋1＝e.令g (x )＝x －ln x ＋1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递增． 又因为g (e)＝e ，所以x 0＝e ，将x 0＝e 代入ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，得a ＝2.(2)证明：由a ＝2，得f ′(x )＝ln x ＋1x －1(x >0)． 令h (x )＝ln x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故当x ∈(0,1)时，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，故h (x )≥h (1)＝1. 因此当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝h (x )－1≥0，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0. 所以f (x )在定义域内单调递增．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ln x ＋(x －c )2，x ≥c ，a ln x －(x －c )2，0＜x ＜c (其中a ＜0，c ＞0)． (1)当a ＝2c －2时，若f (x )≥14对任意x ∈(c ，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设函数f (x )的图象在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))处的切线分别为l 1，l 2，若x 1＝ －a 2，x 2＝c ，且l 1⊥l 2，求实数c 的最小值．解：(1)当x ＞c ，a ＝2c －2时， f ′(x )＝ax ＋2(x －c )＝2x 2－2cx ＋a x ＝2(x －1)[x －(c －1)]x .∵a ＜0，c ＞0，且c ＝a2＋1，∴0＜c ＜1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )在(c ，＋∞)上的最小值为f (1)＝(1－c )2＝14a 2.∴要使f (x )≥14恒成立，只需14a 2≥14恒成立，即a ≤－1或a ≥1(舍去)． 又∵c ＝a2＋1＞0，∴a ＞－2.∴实数a 的取值范围是(－2，－1]． (2)由l 1⊥l 2可得，f ′⎝⎛⎭⎫－a 2·f ′(c )＝－1，。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习滚动测试卷一 含
滚动测试卷一(第一~三章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3},N={3,4,5},则集合{1,2}可以表示为()A.M∩NB.(∁U M)∩NC.M∩(∁U N)D.(∁U M)∩(∁U N)2.不等式-x2+|x|+2<0的解集是()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-2或x>1}3.若幂函数的图象经过点(3,),则该函数的解析式为()A.y=x3B.y=C.y=D.y=x-14.下列判断错误的是()A.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题B.命题“∀x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“∃x0∈R,-1>0”C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D.命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的充分不必要条件5.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=-x2+C.y=x3+3xD.y=e|x|6.(2017山东,理3)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(q)C.(p)∧qD.(p)∧(q)7.设函数f(x)=若f=8,则m=()A.2B.1C.2或1D.8.函数y=e sin x(-π≤x≤π)的大致图象为()9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(-1)+f(-2 017)=()A.0B.C.1D.210.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年11.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c=·f,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b12.已知函数f(x)=+sin πx在[0,1)内的最大值为m,在(1,2]上的最小值为n,则m+n=()A.-2B.-1C.1D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为.14.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是.15.已知函数f(x)=x2+,g(x)=-m.若∀x1∈[1,2],∃x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.16.(2017山东,理15)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.18.(12分)如图,在半径为30 cm的四分之一圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.(1)写出体积V关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?19.(12分)(2017全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=x-1-a ln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,·…·<m,求m的最小值.20.(12分)已知函数f(x)=,其中a∈R.(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.21.(12分)已知a∈R,函数f(x)=log2.(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围;(3)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)≥2x+m在区间上有解,求实数m的取值范围;(2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求证:f'<0(其中f'(x)是f(x)的导函数).答案：1.C解析由题意可画出Venn图如下,结合Venn图可知,集合{1,2}=M∩(∁U N),故选C.2.B解析由-x2+|x|+2<0,得x2-|x|-2>0,即(|x|+1)(|x|-2)>0,故|x|-2>0,解得x>2或x<-2.3.B解析设幂函数解析式为y=xα,则=3α,故α=,即y=.故选B.4.D解析A项中,当m=0时,满足am2≤bm2,但a可以大于b,故命题是假命题,故正确;B项显然正确;C项中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;D项中,p∨q为真命题,可知p,q至少有一个为真,但推不出p∧q为真命题,故错误.故选D.5.C解析选项A,C中函数为奇函数,又函数y=sin x在区间(0,+∞)内不是单调函数,故选C.6.B解析对∀x>0,都有x+1>1,所以ln(x+1)>0,故p为真命题.又1>-2,但12<(-2)2,故q为假命题,所以q为真命题,故p∧(q)为真命题.故选B.7.B解析∵f=8,∴f(4-m)=8.若4-m<1,即3<m,可得5(4-m)-m=8,解得m=2,舍去.若4-m≥1,即m≤3,可得24-m=8,解得m=1.故选B.8.D解析取x=-π,0,π这三个值,可得y总是1,故排除选项A,C;当0<x<时,y=sin x是增函数,y=e x也是增函数,故y=e sin x也是增函数,排除选项B,故选D.9.D解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,∴f(-1)=f(1)=1,f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=1,∴f(-1)+f(-2 017)=1+1=2.10.B解析设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130×(1+12%)n>200,∴1.12n>,两边取常用对数得n lg 1.12>lg,∴n>=3.8.∴n≥4,故选B.11.A解析设F(x)=xf(x),当x>0时,F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,即函数F(x)在(0,+∞)内单调递减,又y=f(x)在R上是偶函数,则F(x)在R上是奇函数,从而F(x)在R上单调递减,又30.2>1,0<logπ2<1,log2<0,即30.2>logπ2>log2,所以F(30.2)<F(logπ2)<F,即a<b<c.12.D解析可知f(x)=+sin πx=1++sin πx.记g(x)=+sin πx,则当x∈[0,1)时,g(2-x)=+sin π(2-x)=-sin πx=-=-g(x), 即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f(x)关于点(1,1)中心对称,故m+n=2.13.e2解析因为函数f(x)的导数为f'(x)=,所以切线斜率k=f'(x0)=,所以切线方程为y-ln x0=(x-x0).因为切线过点(0,1),所以代入切线方程得ln x0=2,解得x0=e2.14.1解析设f(x)=x3-6x2+9x-10,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为f(1)=-6<0,极小值为f(3)=-10<0,故方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1.15.解析∀x1∈[1,2],∃x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),只需f(x)=x2+在[1,2]上的最小值大于等于g(x)=-m在[-1,1]上的最小值.因为f'(x)=2x-≥0在[1,2]上恒成立,且f'(1)=0,所以f(x)=x2+在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=12+=3.因为g(x)=-m在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=g(1)=-m,所以-m≤3,即m≥-.16.①④解析对①,设g(x)=e x·2-x,则g'(x)=e x=e x·2-x·>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质;对②,设g(x)=e x·3-x,则g'(x)=e x=e x·3-x<0,∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;对③,设g(x)=e x·x3,则g'(x)=e x·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,∴g(x)在(-∞,-3)内单调递减,在(-3,+∞)内单调递增,不具有M性质;对④,设g(x)=e x(x2+2),则g'(x)=e x(x2+2x+2),∵x2+2x+2=(x+1)2+1>0,∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.17.解(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2].由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x.又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0.所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)=0.18.解(1)连接OB,因为AB=x cm,所以OA=cm.设圆柱的底面半径为r cm,则=2πr,即4π2r2=900-x2,所以V=πr2x=π··x=,其中0<x<30.(2)由(1)知V=(0<x<30),则V'=.由V'==0,得x=10,可知V=在(0,10)内是增函数,在(10,30)内是减函数.所以当x=10时,V有最大值.19.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).①若a≤0,因为f=-+a ln 2<0,所以不满足题意;②若a>0,由f'(x)=1-知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0.故a=1.(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.令x=1+得ln.从而ln+ln+…+ln+…+=1-<1.故<e.而>2,所以m的最小值为3.20.解(1)当a=0时,函数f(x)=的定义域为{x|x∈R,且x≠-1},f'(x)=.令f'(x)=0,得x=0.当x变化时,f'(x)和f(x)所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+∞).故当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=1.函数f(x)无极大值.(2)函数g(x)存在两个零点.证明过程如下:由题意,函数g(x)=-1.因为x2+x+1=>0,所以函数g(x)的定义域为R.求导,得g'(x)==,:令g'(x)=0,得x1=0,x2=1,当x递增值递减值故函数g(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞).当x=0时,函数g(x)有极大值g(0)=0;当x=1时,函数g(x)有极小值g(1)=-1.因为函数g(x)在(-∞,0)内单调递增,且g(0)=0,所以对于任意x∈(-∞,0),g(x)≠0.因为函数g(x)在(0,1)内单调递减,且g(0)=0,所以对于任意x∈(0,1),g(x)≠0.因为函数g(x)在(1,+∞)内单调递增,且g(1)=-1<0,g(2)=-1>0,所以函数g(x)在(1,+∞)内有且仅有一个x0,使得g(x0)=0,故函数g(x)存在两个零点(即0和x0).21.解(1)由log2>0,得+5>1,解得x∈∪(0,+∞).(2)+a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.当a≠3且a≠4时,x1=,x2=-1,x1≠x2.x1是原方程的解当且仅当+a>0,即a>2;x2是原方程的解当且仅当+a>0,即a>1.于是满足题意的a∈(1,2].综上,a的取值范围为1<a≤2或a=3或a=4.(3)当0<x1<x2时,+a>+a,log2>log2,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).f(t)-f(t+1)=log2-log2≤1即at2+(a+1)t-1≥0,对任意t∈成立.因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间上单调递增,t=时,y有最小值a-,由a-≥0,得a≥.故a的取值范围为.22.(1)解由f'(x)=-2x+a,可知切线的斜率k=f'(2)=a-3=-1,故a=2.因此f(x)=2ln x-x2+2x.由f(x)≥2x+m,得m≤2ln x-x2.∵不等式f(x)≥2x+m在区间上有解,∴m≤(2ln x-x2)max.令g(x)=2ln x-x2,则g'(x)=-2x=.∵x∈,∴当g'(x)=0时,x=1.当<x<1时,g'(x)>0;当1<x<e时,g'(x)<0.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=-1,因此m≤-1,即m的取值范围为(-∞,-1).(2)证明∵f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0),∴方程2ln x-x2+ax=0的两个根为x1,x2,∴∴a=(x1+x2)-.又f'(x)=-2x+a,∴f'=-(x1+x2)+a=.下证<0,即证+ln <0.设t=,∵0<x1<x2,∴0<t<1.即证μ(t)=+ln t<0在t∈(0,1)内恒成立,∵μ'(t)=,又0<t<1,∴μ'(t)>0,∴μ(t)在区间(0,1)内是增函数,∴μ(t)<μ(1)=0,从而知+ln <0,故<0,即f'<0成立.。
2019版高考数学理精准备考一轮全国：阶段滚动检测五 检测范围：第一单元至第十九单元 含解析 精品
阶段滚动检测（五） 检测范围：第一单元至第十九单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，设z ＝a ＋2i(i 是虚数单位)，若复数z 2对应的点位于虚轴的正半轴上，则实数a 的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2解析：选B 因为z ＝a ＋2i ， 所以z 2＝a 2－4＋4a i.因为复数z 2对应的点位于虚轴的正半轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，4a >0，所以a ＝2.2．设U ＝R ，集合M ＝{x |x 2＋x －2>0}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫N ⎪⎪2x －1≤12，则(∁U M )∩N ＝( ) A ．[－2,0] B ．[－2,1] C ．[0,1]D ．[0,2]解析：选A 由题意可得∁U M ＝[－2,1]，N ＝(－∞，0]，故(∁U M )∩N ＝[－2,0]． 3．已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝log 2|x |，则函数F (x )＝f (x )·g (x )的图象大致为( )解析：选B f (x )，g (x )均为偶函数，则F (x )也为偶函数，由此排除A ，D.当x >2时，－x 2＋2<0，log 2|x |>0，所以F (x )<0，排除C ，故选B.4．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：若数学成绩90分(含90分)以上为优秀，物理成绩85(含85分)以上为优秀．参照公式，得到的正确结论是( )附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .A ．有99.5%以上的把握认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”B ．没有99.5%以上的把握认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“学生的数学成绩与物理成绩无关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“学生的数学成绩与物理成绩有关” 解析：选A 根据题意可得2×2列联表：则K 2＝20×(5×12－1×2)7×13×6×14≈8.802>7.879，因此有99.5%把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系．5．已知数列{a n }的首项为1，前n 项和为S n ，若数列{a n }与{S n ＋2}都是公比为q 的等比数列，则q 的值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选C 根据题意可得：S 2＋2S 1＋2＝q ，即1＋q ＋21＋2＝q ，解得q ＝32.6．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( )A.13 B.15 C.19D.320解析：选A 法一：当学生A 最后一个出场时，有A 13A 33＝18种不同的安排方法； 当学生A 不是最后一个出场时，有A 23A 33＝36种不同的安排方法，所以满足“A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的所有不同安排方法有18＋36＝54种．其中“C 第一个出场”的结果有A 13A 33＝18种，则所求概率为1854＝13.法二：“A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等，故“C 第一个出场”的概率是13.7．执行如图所示的程序框图，若输出s 的值为10，则判断框中填入的条件可以是( )A ．i <10?B ．i ≤10?C ．i ≤11?D ．i ≤12?解析：选C 由程序框图知，其运行的功能是循环计算并输出s 的值，由于s ＝0＋⎠⎛e2e 31x d x ＋⎠⎛e3e 41x d x ＋…＋⎠⎛e3e i ＋11x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e3e 2＋ln x ⎪⎪⎪e4e 3＋…＋ln x ⎪⎪⎪e i ＋1e2＝i －1＝10，解得i ＝11，所以当i >11时，不满足判断框内的条件，退出循环，故判断框内应填i ≤11？. 8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：选B 由题意可知，n >4时，5n 的末四位数字以T ＝4为周期， 又因为2 018＝4×503＋6，所以52 018的末四位数字与56的末四位数字相同，即为5 625. 9．(x ＋2y )7展开式中系数最大的项为( ) A ．68y 7 B ．112x 3y 4 C ．672x 2y 5D ．1 344x 2y 5解析：选C (x ＋2y )7展开式的通项为T r ＋1＝2r C r 7x7－r y r， 设第r ＋1项系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧2r C r 7≥2r －1C r －17，2r C r 7≥2r ＋1C r ＋17，解得r ＝5， 所以(x ＋2y )7展开式中系数最大的项为T 6＝25C 57x 2y 5＝672x 2y 5.10．如图， 网格纸上的小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为( )A ．4＋6πB ．8＋6πC ．4＋12πD ．8＋12π解析：选B 由三视图可知，该几何体是组合体，下面是一个底面半径为2，高为3的圆柱的一半，上面是一个高为2，底面是一个边长为3,4的矩形的四棱锥，所以该几何体的体积V ＝12×π×22×3＋13×4×3×2＝8＋6π.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若|MF 1|－|MF 2|＝2b ，该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A ．2 B.2＋12C.3＋222D.5＋12解析：选D 由题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝b ax ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝a 2，y 2＝b 2，即点M (a ，b )， 则|MF 1|－|MF 2|＝(c ＋a )2＋b 2－(c －a )2＋b 2＝2b ， 即2c 2＋2ca －2c 2－2ca ＝2c 2－a 2， 2e 2＋2e －2e 2－2e ＝2e 2－1， 化简得，e 4－e 2－1＝0，解得e 2＝5＋12. 12．已知函数f (x )＝ax 2＋1e x (e 为自然对数的底数)，函数g (x )满足g ′(x )＝f ′(x )＋2f (x )，其中f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )和g (x )的导函数，若函数g (x )在[－1,1]上是单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－13，1 C ．(1，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞解析：选B 因为f ′(x )＝2ax －ax 2－1e x ，所以g ′(x )＝f ′(x )＋2f (x )＝ax 2＋2ax ＋1e x .因为函数g (x )在[－1,1]上是单调函数， 所以g ′(x )≥0或g ′(x )≤0. 当a ＝0时，g ′(x )>0，满足题意；因为e x >0，所以当a <0时， 只需ax 2＋2ax ＋1≥0在[－1,1]上成立即可， 所以a ＋2a ＋1≥0，则－13≤a <0；当a >0时，只需ax 2＋2ax ＋1≥0在[－1,1]上成立， 所以a －2a ＋1≥0，则0<a ≤1.综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－13，1. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,100)，则用电量在320度以上的户数约为________．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)≈68.27%， P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈95.45%，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈99.73%. 解析：由题意可知，μ＝300，σ＝10，所以P (ξ>320)＝0.5－12P (300－20<ξ<300＋20)＝2.275%，则用电量在320度以上的户数约为1 000P (ξ>320)≈23. 答案：2314．已知几何体O -ABCD 的底面ABCD 是边长为3的正方形，且该几何体体积的最大值为322，则该几何体外接球的表面积为________．解析：因为该几何体体积的最大值为322，所以点O 到平面ABCD 的距离h ＝322，根据球的性质可得R 2＝⎝⎛⎭⎫322－R 2＋⎝⎛⎭⎫622，所以R ＝2， 因此该几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π. 答案：8π15．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：y ^＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝________.解析：x ＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m 5，y ＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n5，回归直线一定经过样本点中心(x ，y )，即6＋n5＝－3.2⎝⎛⎭⎫8＋m 5＋40， 即3.2m ＋n ＝42.又因为m ＋n ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝10，故n ＝10.答案：1016．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，x －2y ≥－4，3x －y ≤3，若目标函数z ＝2x －y ＋2a ＋b (a >0，b >0)的最大值为3，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数z 与直线在y 轴上的截距的关系可知，当目标函数z ＝2x －y ＋2a ＋b (a >0，b >0)过点A (1,0)时取得最大值3，即2a ＋b ＝1，则1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (2a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2a ＝2－2时，1a ＋1b取得最小值3＋2 2. 答案：3＋2 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C .(1)求B 的大小；(2)若b ＝3，A ＝π4，求△ABC 的面积．解：(1)∵2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C ， 由正弦定理得，2b 2＝(2a ＋c )a ＋(2c ＋a )c ，化简得，a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0. ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵0<B <π，∴B ＝2π3. (2)∵A ＝π4，∴C ＝π－π4－2π3＝π12.∴sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝sin π3cos π4－cos π3sin π4＝6－24. ∵b ＝3，B ＝2π3， ∴由正弦定理得c ＝b sin C sin B ＝6－22. ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×6－22×22＝3－34.18．(本小题满分12分)为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交警支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1 000辆汽车的车牌尾号记录：由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：(1)若采用分层抽样的方法从这1 000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？(2)以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)根据频率定义知，0.2＋0.25＋b ＋0.3＝1，解得b ＝0.25，所以从第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆． (2)在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第二组的概率为14，由题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，14， P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫344＝81256，P (ξ＝1)＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764，P (ξ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342＝27128， P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫143×34＝364， P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫144＝1256， 所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1或E (ξ)＝4×14＝1.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F -AB -P 的余弦值．解：(1)证明：依题意，以点A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)． 由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)． 则BE ―→＝(0,1,1)，DC ―→＝(2,0,0)， 故BE ―→·DC ―→＝0，所以BE ⊥DC .(2)因为BC ―→＝(1,2,0)，CP ―→＝(－2，－2,2)，AC ―→＝(2,2,0)，AB ―→＝(1,0,0)． 由点F 在棱PC 上，设CF ―→＝λCP ―→,0≤λ≤1.故BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝BC ―→＋λCP ―→＝(1－2λ，2－2λ，2λ)． 由BF ⊥AC ，得BF ―→·AC ―→＝0，所以2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，32. 设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB ―→＝0，n 1·BF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面FAB 的一个法向量． 又平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010. 由图知二面角F -AB -P 是锐角， 所以二面角F -AB -P 的余弦值为31010. 20．(本小题满分12分)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：(1)求y 关于(2)利用(1)中的回归方程，当价格x ＝40元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？ 附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .解：(1)由所给数据计算得x ＝15(10＋15＋20＋25＋30)＝20，y ＝15(11＋10＋8＋6＋5)＝8，∑i ＝15(x i －x )2＝(－10)2＋(－5)2＋02＋52＋102＝250，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝－10×3＋(－5)×2＋0×0＋5×(－2)＋10×(－3)＝－80，b ^＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2＝－80250＝－0.32.a ^＝y －b ^x ＝8＋0.32×20＝14.4. 故所求线性回归方程为y ^＝－0.32x ＋14.4.(2)由(1)知当x ＝40时，y ^＝－0.32×40＋14.4＝1.6. 故当价格x ＝40元/kg 时，日需求量y 的预测值为1.6 kg. 21．(本小题满分12分)(2018·昆明三中、玉溪一中统考)如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点(2，2)，四边形ABCD 的顶点在椭圆E 上，且对角线AC ，BD 过原点O ，k AC ·k BD ＝－b 2a2.(1)求OA ―→·OB ―→的取值范围；(2)求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：(1)由题意知⎩⎨⎧c a ＝22，4a 2＋2b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＋2y 2＝8⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， ∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2·2m 2－81＋2k 2＋km ·－4km 1＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k 2. ∵k OA ·k OB ＝－b 2a 2⇒y 1x 1·y 2x 2＝－12，∴m 2－8k 21＋2k2＝－12·2m 2－81＋2k 2⇒m 2＝4k 2＋2. OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－81＋2k 2＋m 2－8k 21＋2k 2＝4k 2－22k 2＋1＝2－42k 2＋1， ∴－2≤OA ―→·OB ―→＜2，当k ＝0时，OA ―→·OB ―→＝－2， 当k 不存在，即AB ⊥x 轴时，OA ―→·OB ―→＝2，∴OA ―→·OB ―→的取值范围是[－2,2]．(2)证明：由题意知S ABCD ＝4S △AOB .∵S △AOB ＝12·1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·|m |1＋k 2＝24k 2＋21＋2k 2＝22， ∴S 四边形ABCD ＝8 2.即四边形ABCD 的面积为定值．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －e x ＋1，a ∈R.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤0在x ∈R 上恒成立，求实数a 的值；(3)当a ＝1时，对任意的0<m <n ，求证：1n －1< f (ln n )－f (ln m )n －m<1m －1. 解：(1)f ′(x )＝a －e x ，当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0，得x <ln a ；由f ′(x )<0，得x >ln a ，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )，单调递减区间为(ln a ，＋∞)．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，而f (0)＝0， ∴f (x )≤0在R 上不可能恒成立；当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递增，在(ln a ，＋∞)上单调递减， f (x )max ＝f (ln a )＝a ln a －a ＋1.令g (a )＝a ln a －a ＋1，依题意有g (a )≤0，而g ′(a )＝ln a ，且a >0，∴g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g (a )min ＝g (1)＝0，故a ＝1.(3)证明：由(2)知：a ＝1时，f (ln x )＝ln x －x ＋1≤0恒成立， 所以有ln x ≤x －1(x >0)．则 f (ln n )－f (ln m )n －m ＝(ln n －n ＋1)－(ln m －m ＋1)n －m ＝ln n m n －m －1<nm －1n －m－1＝1m －1， 又由ln x ≤x －1知－ln x ≥1－x 在(0，＋∞)上恒成立，∴f (ln n )－f (ln m )n －m ＝lnn m n －m －1＝－ln m n n －m －1>1－m n n －m －1＝1n －1. 综上所述：对任意的0<m <n ，有1n －1<f (n )－f (m )n －m<1m －1.。
2019届高三文科数学一轮复习滚动检测卷(全套打包答案)
高三文科数学一轮复习滚动检测卷滚动检测一第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{3,4}，则(∁U A )∪B 等于( ) A ．{4} B ．{2,3,4} C ．{3,4,5}D ．{2,3,4,5}2．“x <0”是“xx ＋1<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知命题p 与命题q ，若命题(綈p )∨q 为假命题，则下列说法正确的是( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假D ．p 假，q 假4．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －m －1为减函数，则实数m 的取值集合为( )A ．{2}B ．{－1}C ．{2，－1}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≠1＋52 5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥5，f (x ＋2)，x <5，则f (2)的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 015)＋f (2 018)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．28．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )9．若a>0，b>0，ab>1，log12a＝ln 2，则log a b与log12a的关系是()A．log a b<log12aB．log a b＝log12aC．log a b>log12aD．log a b≤log12a10．已知f(x)是偶函数，x∈R，若将f(x)的图象向右平移一个单位得到一个奇函数，若f(2)＝－1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)等于()A．－1 003 B．1 003C．1 D．－111．(2017·天津市河西区模拟)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2] B ．(－∞，e] C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，lg x ，x >1，g (x )＝3－x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．0第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知g (x )是定义在[－2,2]上的偶函数，当x ≥0时，函数g (x )单调递减，当g (1－m )－g (m )<0时，实数m 的取值范围为________．14．(2018·保定模拟)已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，那么函数y ＝f (x )的图象关于点(3,0)对称，则命题p ∨q 为________(填“真”或“假”)命题．15．如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________．16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届衡水市武邑中学月考)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．18．(12分)已知p ：函数f (x )＝x 2－2mx ＋4在[2，＋∞)上单调递增；q ：关于x 的不等式mx 2＋4(m－2)x＋4>0的解集为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．19.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－1,3)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在(－1,2)内的值域；(2)若方程f (x )＝c 在[0,3]上有两个不相等实根，求c 的取值范围．20．(12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？21.(12分)已知函数f (x )＝22x －52·2x ＋1－6.(1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)若存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)(2017·广东深圳一模)已知函数f(x)满足f(log a x)＝aa2－1(x－x－1)(其中a>0，a≠1)．(1)求f(x)的表达式；(2)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的取值范围；(3)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值为负数，求a的取值范围．答案精析1．C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.B7．B [根据f (x ＋2)＝－f (x )可知，函数的最小正周期为4，故f (2 015)＋f (2 018)＝f (3)＋f (2)＝－f (1)－f (0)＝－1.]8．A [因为f (－x )＝f (x )，所以函数图象关于y 轴对称，排除C ；又f (x )＝ln(x 2＋1)≥ln 1＝0，所以排除B ，D ，故选A.]9．A [由log 12a ＝ln 2>0，得0<a <1，b >1，log a b <0.]10．D [f (x －1)是奇函数，而f (x )是偶函数，∴f (x )的最小正周期是4， f (－1)＝f (1)＝f (3)＝0，f (0)＝－f (2)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝－1.] 11．B [由命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0， ∴a ≤(e x )min ＝e ，若綈p 是假命题，∴p 是真命题，∴a ≤e. 则实数a 的取值范围为(－∞，e]．]12．A [函数h (x )的零点满足f (x )－g (x )＝0，即f (x )＝g (x )，绘制函数f (x )与g (x )的图象，如图 所示，交点的个数即函数h (x )零点的个数，观察可得，函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是2.故选A.] 13.⎣⎡⎭⎫－1，12 解析 根据题意， 由g (1－m )<g (m )，得⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，1－m ∈[－2，2]，m ∈[－2，2]，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <12，－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，即－1≤m <12.14．真解析 ∵y ＝log a []a ×(－1)＋2a ＝1，∴命题p 为真；∵y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则函数y ＝f (x )的图象关于点(－3,0)对称，∴命题q 为假，因此命题p ∨q 为真． 15．4解析 根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，12上单调递减， 则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. 16.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－x )，解得m ＝－1，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－x ，x >1，2－x －2x ，x ≤1，作出函数g (x )的图象(如图所示)．当x >1时，g (x )单调递增，此时g (x )>32；当x ≤1时，g (x )单调递减，此时g (x )≥－32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－32，32时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点． 17．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x ≤10}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)当P ≠∅时，由P ⊆Q ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2；当P ＝∅时，2a ＋1<a ＋1，解得a <0，此时有P ＝∅⊆Q ， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．18．解 若命题p 为真，因为函数f (x )的图象的对称轴为x ＝m ，则m ≤2；若命题q 为真，当m ＝0时，原不等式为－8x ＋4>0，显然不成立．当m ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝16(m －2)2－16m <0，解得1<m <4. 由题意知，命题p ，q 一真一假，故⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤2，m ≤1或m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1<m <4， 解得m ≤1或2<m <4.19．解 (1)由题意知，－1,3是方程ax 2＋bx －a －ab ＝0的两根， 可得a ＝－1，b ＝2，则f (x )＝－x 2＋2x ＋3在(－1,2)内的值域为(0,4]．(2)方程－x 2＋2x ＋3＝c ，即x 2－2x ＋c －3＝0在[0,3]上有两个不相等实根， 设g (x )＝x 2－2x ＋c －3，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (0)≥0，g (3)≥0，解得3≤c <4.20．解 (1)每吨平均成本为yx (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．所以当年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．因为R (x )在[0,210]上是增函数，所以当x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1660.所以当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 21．解 (1)f (x )＝(2x )2－5·2x －6，设2x ＝t ，∵x ∈[0,4]，则t ∈[1,16]，∴h (t )＝t 2－5t －6，t ∈[1,16]． ∵当t ∈⎝⎛⎦⎤1，52时函数h (t )单调递减； 当t ∈⎝⎛⎦⎤52，16时函数h (t )单调递增， ∴f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫52＝－494，f (x )max ＝h (16)＝170. (2)∵存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，而t ＝2x >0， ∴存在t ∈[1,16]，使得a ≤t ＋6t－5成立．令g (t )＝t ＋6t －5，则g (t )在[1，6]上单调递减，在[6，16]上单调递增，而g (1)＝2<g (16)＝918，∴g (t )max ＝g (16)＝918， ∴a ≤g (t )max ＝g (16)＝918， ∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，918. 22．解 (1)设log a x ＝t ，则x ＝a t ， 代入原函数，得f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )， 则f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(其中a >0，a ≠1)．(2)当a >1时，a x 是增函数，a －x 是减函数，且a a 2－1>0，所以f (x )是定义域R 上的增函数，同理，当0<a <1时，f (x )也是R 上的增函数， 又f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 由f (1－m )＋f (1－m 2)<0得f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<1－m 2<1，1－m <m 2－1，解得1<m < 2.则实数m 的取值范围是(1，2)． (3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4∈(－∞，f (2)－4)， 又当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值为负数， 所以f (2)－4≤0，则f (2)－4＝a a 2－1(a 2－a －2)－4＝a a 2－1·a 4－1a 2－4＝a 2＋1a －4≤0，解得2－3≤a ≤2＋3且a ≠1，所以a 的取值范围是{a |2－3≤a ≤2＋3且a ≠1}．滚动检测二考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝x －1＋lg(x ＋1)的定义域是( ) A ．(－1,1] B ．(－1,1) C ．[－1,1]D ．[1，＋∞)2．设集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∪B ＝B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2018·大同调研)给定函数：①y ＝x 12，②y ＝1x ，③y ＝|x |－1，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，其中既是奇函数又在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④4．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1，则f ⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫13B ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32C ．f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13D ．f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫235．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－2，－1]时，f (x )的最小值为( ) A ．－116 B ．－18 C ．－14D ．06．在f (x )＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为( ) A ．3x ＋y －11＝0 B ．3x －y ＋6＝0 C ．x －3y －11＝0D ．3x －y －11＝07．(2017·哈尔滨市九中二模)函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( )8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(4a －3c )cos B ＝3b cos C ，a ，b ，c 成等差数列，若b ＝22，则△ABC 的面积为( ) A.677 B.72 C.776 D.4759．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是( ) A ．x ＝π6B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π1210．(2018届大庆实验中学期中)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π8个单位长度，得到的图象关于原点对称，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C ．0D ．－π411．己知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－(x ＋1)2＋1，函数y 1＝f (x )的图象和函数y 2＝lg|x |的图象的交点个数为( )A ．8B ．9C ．16D ．1812．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1} 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2017·安徽皖西教学联盟)命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的否定为____________________．14．(2017·揭阳联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝________. 15．(2017·唐山一模)将函数f (x )＝cos ωx 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的图象，则正数ω的最小值为________． 16．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m.则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪18≤2x －2≤16，B ＝{x |2m ＋1≤x ≤3m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2018届重庆一中月考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3(0<φ<2π)，若f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)． (1)求y ＝f (x )的解析式和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2时，求y ＝f (x )的值域．19．(12分)(2018·葫芦岛调研)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产1件这样的产品，还需增加投入0.5万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫5t －1200t 2 万元． (1)设该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．20．(12分)已知函数f (x )＝(ax －1)e x ，a ∈R ，e 是自然对数的底数． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间(0,1)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．21.(12分)在△ABC 中，设边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .A ，B ，C 都不是直角，且ac cos B ＋bc cos A ＝a 2－b 2＋8cos A . (1)若sin B ＝2sin C ，求b ，c 的值； (2)若a ＝6，求△ABC 面积的最大值．22．(12分)(2017·沈阳大东区质检)已知函数f(x)＝2x－1x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝3时，求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝f(x)－x＋2a ln x，且g(x)有两个极值点x1，x2，其中x1<x2，若g(x1)－g(x2)>t恒成立，求t的取值范围．答案精析1．D 2.C 3.D 4.A 5.A6．D [由题意得，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3，则当x ＝－1时，f ′(x )min ＝3.又f (－1)＝－14，则曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为y －(－14)＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.] 7．D [∵函数f (x )＝2x －4sin x ，∴f (－x )＝－2x －4sin(－x )＝－(2x －4sin x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，所以函数f (x )＝2x －4sin x 的图象关于原点对称，排除A ，B ；函数f ′(x )＝2－4cos x ，由f ′(x )＝0，得cos x ＝12，故x ＝2k π±π3(k ∈Z )，所以当x ＝±π3时函数取得极值，排除C ，故选D.]8．A [由题意可知，4sin A cos B －3sin C cos B ＝3sin B cos C ， 可得4sin A cos B ＝3sin(B ＋C )＝3sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝34，∴sin B ＝1－cos 2B ＝74.∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－b 2－2ac 2ac ＝34，∴ac ＝487，则S △ABC ＝12ac sin B ＝677.]9．A [将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的函数解析式为 y ＝cos ⎣⎡⎦⎤π6－2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为函数在函数图象的对称轴处取得最值，经检验x ＝π6成立，故选A.]10．B [将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π8个单位长度，可得sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋φ. ∵图象关于原点对称，∴－π4＋φ＝k π，k ∈Z .解得φ＝k π＋π4.当k ＝0时，可得φ＝π4.]11．D [函数y 1＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故f (1＋x )＝f (1－x )．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (1－x )＝f (x －1)， 因此f (x ＋1)＝f (x －1)，从而函数f (x )是周期为2的函数．可根据函数性质作出函数y 1＝f (x )的图象和函数y 2＝lg|x |的图象，因为函数f (x )的值域为[0,1]，所以只需要考虑区间[－10,10]，数形结合可得交点个数为18.故选D.]12．C [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )恰有两个零点，转化为ln x －ax 2＋ax ＝0，即方程ln x x ＝a (x －1)恰有两解，设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上是增函数， 在(e ，＋∞)上是减函数，且g (1)＝0，当x >e 时，g (x )>0，g ′(1)＝1，作出函数y 1＝g (x )和函数y 2＝a (x －1)的图象如图所示，由图可知，两个函数有两个交点的充要条件是0<a <1或a >1，故选C.] 13．若ab ＝0，则a ≠0且b ≠0解析 若“ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的否定为“若ab ＝0，则a ≠0且b ≠0”． 14．－435解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝35， 而sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3· cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3sin π3＝3－4310， ∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋2π3－2π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3cos 2π3－cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3sin 2π3＝－3－4310， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝3－4310＋－3－4310＝－435. 15.32解析 f (x )向右平移π2个单位长度后得g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2ω. ∵sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －3π4， ∴ωx －π2ω＝ωx －3π4＋2k π(k ∈Z )，∴ω＝32－4k (k ∈Z )，∴正数ω的最小值为32.16.⎝⎛⎭⎫12，1解析 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根． 令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1.17．解 (1)18≤2x －2≤16,2－3≤2x －2≤24，∴－3≤x －2≤4，∴－1≤x ≤6，∴A ＝{x |－1≤x ≤6}． (2)若B ＝∅，则2m ＋1>3m －1，解得m <2，此时满足题意；若B ≠∅且B ⊆A ，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≤3m －1，－1≤2m ＋1，3m －1≤6，解得2≤m ≤73.综上所述，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≤73. 18．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3， 由f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0可知，x ＝π8为函数的对称轴， 则2×π8＋φ＋π3＝k π＋π2，φ＝－π12＋k π，k ∈Z ，由0<φ<2π可知，φ＝11π12或φ＝23π12.又由f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)可知，－sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3>sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3， 则sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3<0， 验证φ＝11π12和φ＝23π12，则φ＝11π12符合，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π， 得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π12，5π4， 则f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22. 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 19．解 (1)当0＜x ≤500时，f (x )＝5x －1200x 2－x2－25；当x ＞500时，f (x )＝5×500－1200×5002－x2－25，故f (x )＝⎩⎨⎧－1200x 2＋92x －25，0<x ≤500，－12x ＋1 225，x >500.(2)当0＜x ≤500时，f (x )＝－1200(x －450)2＋19752. 故当x ＝450时，f (x )max ＝1 9752＝987.5； 当x ＞500时，f (x )<－12×500＋1 225＝975，故当该公司的年产量为450件时，当年获得的利润最大． 20．解 (1)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ， 所以当a ＝1时，f ′(x )＝x e x ， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0，所以当x 变化时f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：↘↗所以当x ＝0时，f (x )取得极小值f (0)＝－1.(2)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，函数f (x )在区间(0,1)上是单调递增函数， 所以f ′(x )≥0对x ∈(0,1)恒成立，又e x >0，所以只要ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立， 要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立， 因为x >0，所以a ≥1x ＋1对x ∈(0,1)恒成立，因为函数g (x )＝1x ＋1在(0,1)上单调递减，所以只要a ≥g (0)＝10＋1＝1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．21．解 (1)∵ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＋bc ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2－b 2＋8cos A ，∴b 2＋c 2－a 2＝8cos A ，∴2bc cos A ＝8cos A ， ∵cos A ≠0，∴bc ＝4. 又∵sin B ＝2sin C ，由正弦定理，得b ＝2c ，∴b ＝22，c ＝ 2. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －2bc cos A ， 即6≥8－8cos A ，∴cos A ≥14，当且仅当b ＝c 时取等号．∴sin A ≤154，∴S ＝12bc sin A ≤152， ∴△ABC 面积的最大值为152. 22．解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝3时，f (x )＝2x －1x －3ln x ，f ′(x )＝2＋1x 2－3x ＝2x 2－3x ＋1x 2，令f ′(x )>0，得0<x <12或x >1，令f ′(x )<0，得12<x <1.∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)， 单调递减区间是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)由已知得g (x )＝x －1x ＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋1x 2＋a x ＝x 2＋ax ＋1x 2，令g ′(x )＝0，得x 2＋ax ＋1＝0， ∵g (x )有两个极值点x 1，x 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4>0，x 1＋x 2＝－a >0，x 1x 2＝1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－2，x 2＝1x 1，a ＝－(x 1＋x 2).又∵x 1<x 2，∴x 1∈(0,1)， ∴g (x 1)－g (x 2)＝g (x 1)－g ⎝⎛⎭⎫1x 1＝x 1－1x 1＋a ln x 1－⎝⎛⎭⎫1x 1－x 1＋a ln 1x 1 ＝2⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1＋2a ln x 1＝2⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1－2⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1ln x 1. 设h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x －1x －2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln x ，x ∈(0,1)， ∵h ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－1x 2ln x ＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 1x＝2(1＋x )(1－x )ln xx 2，当x ∈(0,1)时，恒有h ′(x )<0，∴h (x )在(0,1)上单调递减， ∴h (x )>h (1)＝0，∴g (x 1)－g (x 2)>0，又∵g (x 1)－g (x 2)>t 恒成立，∴t ≤0.滚动检测三考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·云南河州统一检测)已知集合A ＝{x |x 2≤1}，B ＝{x |0<x <1}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,1) B ．[－1,1) C ．[－1,1]D ．(－1,1)2．(2018届中原名校质量考评)函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在x ∈[－2π，2π]上的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤－2π，5π3 C.⎣⎡⎦⎤π3，2πD.⎣⎡⎦⎤－2π，5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 等于( ) A ．－14B.14C.78D.11164．(2018·新余模拟)在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.则满足条件的三角形的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．05．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b6．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]7．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝cos xD ．y ＝x 2＋2x8．(2017·重庆三诊)已知a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则实数m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．(2018届洛阳联考)已知点O 是锐角△ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( ) A ．m ＋n ≤－2 B ．－2≤m ＋n <－1 C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <010．(2017·河南第一高级中学适应性测试)已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝a ＋λb (λ∈R )，向量d 如图所示，则( )A ．∃λ0>0，使得c ⊥dB ．∃λ0>0，使得〈c ，d 〉＝60°C ．∃λ0<0，使得〈c ，d 〉＝30°D ．∃λ0>0，使得c ＝m d (m 是不为0的常数)11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，若f (x )满足f (x ＋π)＝－f (x )，且f (0)＝12，则函数h (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．[－1，3] B ．[－2，3] C ．[－3，2]D ．[1，3]12．对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12e B.⎝⎛⎭⎫－∞，12e C.⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12e ，1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2018届四川绵阳丰谷中学月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3e x －1，x <3，log 3(x 2－6)，x ≥3，则f (f (3))的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为______．15．(2017·石嘴山三模)给出下列命题： ①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1＞a b，则a ＜b ；②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若∀x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)＜f (2)一定成立；③命题“∃x 0∈R ，使得x 20－2x 0＋1＜0”的否定是真命题； ④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件． 其中正确的命题的序号是________．16．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，若在区间[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届河南信阳高级中学考试)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C . (1)求∠A 的大小；(2)若f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x2，求f (B )的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(sin C －sin A )＝sin B . (1)求bc －a的值； (2)若b ＝2，BA →·BC →＝32，求△ABC 的面积．19.(12分)已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)分别求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)．20．(12分)已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，设向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12. (1)若m ∥n ，求x 的值；(2)若m·n ＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的值．21.(12分)某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第t 分钟内投放净化剂的路径长度p (t )＝140－|t －40|(单位：m)，净化剂净化水体的宽度q (单位：m)是时间t (单位：分钟)的函数：q (t )＝1＋a 2t (a 由单位时间投放的净化剂数量确定，设a为常数，且a ∈N *)．(1)试写出投放净化剂的第t 分钟内净化水体面积S (t )(1≤t ≤60，t ∈N *)的表达式； (2)求S (t )的最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若f(x)有极值0，求实数a，并确定该极值为极大值还是极小值；(2)在(1)的条件下，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥mx ln(x＋1)恒成立，求实数m的取值范围．答案精析1．A 2.A 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B8．C [由a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0,6－2m ＝0，解得m ＝3，故选C.] 9．C [∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1， 又OC →＝mOA →＋nOB →，∴|OC →|＝|mOA →＋nOB →|， 可得OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →， 而OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB <|OA →|·|OB →|＝1. ∴1＝m 2＋n 2＋2mnOA →·OB →<m 2＋n 2＋2mn ，∴m ＋n <－1或m ＋n >1，如果m ＋n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m ＋n <－1，故选C.]10．D [由图知d ＝(5,5)－(1,2)＝(4,3)，则c ＝a ＋λb ＝(1，λ)，若c ⊥d ，则4＋3λ＝0，得λ＝－43，故A 错；若夹角为60°，则有4＋3λ＝51＋λ2cos 60°，即11λ2＋96λ＋39＝0，有两个负根，故B 错；若夹角为30°，则有4＋3λ＝51＋λ2cos 30°，即39λ2－96λ＋11＝0有两个正根，故C 错；若两个向量共线，则有4λ＝3，解得λ＝34，故D 对．]11．A [因为f (x ＋π)＝－f (x )，所以函数f (x )的周期为2π，ω＝1，由f (0)＝sin φ＝12且|φ|＜π2，得φ＝π6，所以h (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2知π6≤x ＋π6≤2π3， 所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，h (x )∈[－1，3]， 故选A.]12．A [由x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0(x ＞0，y ＞0)，得a ＝x 2(ln y －ln x )y 2＝ln y x⎝⎛⎭⎫y x 2，令t ＝yx (t ＞0)，所以a ＝ln t t 2.设g (t )＝ln tt 2(t >0)，g ′(t )＝1t ·t 2－(ln t )2t t 4＝1－2ln t t 3，令g ′(t )＞0，得0＜t ＜e ，g (t )单调递增；令g ′(t )＜0，得t ＞e ，g (t )单调递减．所以g (t )最大值为g (e)＝12e.又当t ＞1时，g (t )＞0；当0＜t ＜1时，g (t )＜0，故当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12e 时，存在两个正数t ，使a ＝ln tt 2成立，即对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，故选A.] 13．3解析 因为f (3)＝log 3(32－6)＝log 33＝1， 所以f (f (3))＝f (1)＝3e 1－1＝3. 14.13解析 ∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理可得BC ＝19，又根据余弦定理可得cos ∠ABC ＝419，AM →·BC →＝(BM →－BA →)·BC →＝λBC →2－BA →·BC →＝19λ－3×19×419＝－173，解得λ＝13.15．①③解析 ①已知a ，b 都是正数，a ＋1b ＋1＞ab ，ab ＋b ＞ab ＋a ，则a ＜b 正确；②若f (x )是常函数，则f (1)＜f (2)不成立，③命题“∃x 0∈R ，使得x 20－2x 0＋1＜0”是假命题，则它的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”⇒“x ＋y ≤2”，反之不成立，则“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充分不必要条件．正确的命题序号为①③. 16．(6，＋∞)解析 三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解． 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 则x 1＝1，x 2＝－1(舍去)，∵函数的定义域为[0,2]，∴当x ∈[0,1)时，f ′(x )＜0， 当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (1)＝m －2，f (x )max ＝f (2)＝m ＋2，f (0)＝m ， 由题意知，f (1)＝m －2＞0；①由f (1)＋f (1)＞f (2)，得－4＋2m ＞2＋m ，② 由①②得m >6.17．解 (1)由(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 及正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 化为b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x2＝32sin x ＋1＋cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋12， 在锐角△ABC 中，由A ＝π3，知π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤32，1， ∴f (B )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1＋32，32.18．解 (1)由正弦定理，得2(c －a )＝b ，即bc －a ＝2；(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2(c －a )＝b ，b ＝2，BA →·BC →＝ca cos B ＝32，即⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，所以cos B ＝34，所以sin B ＝74，所以S ＝12ac sin B ＝74. 19．解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝221＋22＋122＋1＝1， 同理可得f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)令S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)， 则S ＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f (2 011)＋f (2 010)＋…＋f (2)＋f (1)， 则2S ＝4 022，故S ＝2 011.20．解 (1)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m ∥n ，所以sin x ·12＝cos x ·32，即tan x ＝3，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以x ＝π3. (2)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m·n ＝35， 所以32sin x ＋12cos x ＝35， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，令θ＝x ＋π6， 则x ＝θ－π6，且sin θ＝35，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π12＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin θcos π4－cos θsin π4 ＝35×22－45×22＝－210.21．解 (1)由题意， 得S (t )＝p (t )·q (t )＝(140－|t －40|)⎝⎛⎭⎫1＋a 2t ＝⎩⎨⎧100＋a 2＋t ＋100a 2t，1≤t ＜40，t ∈N *，180－a 2－t ＋180a2t，40≤t ≤60，t ∈N *.(2)当40≤t ≤60且t ∈N *时，S (t )＝180－a 2－t ＋180a 2t， 当t 增加时180a 2t 减小，所以S (t )在40≤t ≤60上单调递减，所以当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 当1≤t ＜40且t ∈N *时，S (t )＝100＋a 2＋t ＋100a 2t≥100＋a 2＋20a (当且仅当t ＝10a 时，等号成立)，①若a ＝1或2或3；当t ＝10a 时，上述不等式中的等号成立， S (t )在1≤t ＜40范围中有最小值a 2＋20a ＋100. 又在40≤t ≤60时S (t )有最小值2a 2＋120.当a ＝1时，100＋a 2＋20a ＝121＜122＝2a 2＋120， 故S (t )有最小值121；当a ＝2或a ＝3时，100＋a 2＋20a ＞2a 2＋120， 故S (t )有最小值2a 2＋120. ②若a ≥4且1≤t ＜40时，因为S (t ＋1)－S (t )＝1＋100a 2t ＋1－100a 2t ＝1－100a 2t (t ＋1)<0，所以S (t ＋1)<S (t )，故S (t )在1≤t <40时单调递减；又S (t )在40≤t ≤60时单调递减，且100＋a 2＋40＋100a 240＝180－a 2－40＋180a 240， 所以S (t )在1≤t ≤60时单调递减． 所以，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 综上，若a ＝1，当t ＝10时，S (t )有最小值121； 若a ≥2且a ∈N *，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 22．解 (1)f ′(x )＝e x －a .①若a ≤0，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，不符合题意； ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增．所以，当x ＝ln a 时，f (x )取到极小值，f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝0，即a ln a －a ＋1＝0. 令φ(a )＝a ln a －a ＋1(a >0)， 则φ′(a )＝ln a ＋a ·1a－1＝ln a ，当0＜a ＜1时，φ′(a )＜0，φ(a )单调递减； 当a ＞1时，φ′(a )＞0，φ(a )单调递增． 又φ(1)＝0，所以a ln a －a ＋1＝0有唯一解a ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝e x －x －1， 当x ≥0时，f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立，即e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0(x ∈[0，＋∞))恒成立． 令g (x )＝e x －x －mx ln(x ＋1)－1(x ∈[0，＋∞))， 则g ′(x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ∈[0，＋∞))，令h (x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ∈[0，＋∞))， 则h ′(x )＝e x －m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1，h ′(0)＝1－2m,0＜1(x ＋1)2＋1x ＋1≤2(当且仅当x ＝0时取“＝”)．①当m ≤0时，h ′(x )＞0，h (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即h (x )≥0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以g (x )min ＝g (0)＝0，所以g (x )≥0， 所以e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0， 即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立．②当0＜m ≤12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ≥0，所以h ′(x )＞0，故h (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (0)＝0， 所以g (x )≥0，即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立． ③当m ＞12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ＜0，当x →＋∞时，e x →＋∞，－m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1→0，所以h ′(x )→＋∞，则∃x 0＞0，使得h ′(x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，x 0)上单调递减， 此时h (x 0)＜h (0)＝0，即g ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，g (x 0)＜g (0)＝0，不符合题意． 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.滚动检测四考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(3,10) D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ－sin 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C. 35D. 453．已知函数f (x )＝12x ，则( ) A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)<0 B ．∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)4．(2018·济宁模拟)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1，－1)D ．(1,3)5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,1)，若向量a －λb 与向量c ＝(5，－2)共线，则λ的值为( ) A.43 B.413 C ．－49D ．46．(2017·贵阳适应性考试)设命题p ：若y ＝f (x )的定义域为R ，且函数y ＝f (x －2)图象关于点(2,0)对称，则函数y ＝f (x )是奇函数，命题q ：∀x ≥0，x 12≥x 13，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∨q C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )7．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1312，b ＝log 1213，c ＝log 312，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >b >cD ．b >a >c8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 39．(2017·大连模拟)设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝|a ＋b |＝3，则|a ＋2b |等于( ) A ．6 B ．3 2 C ．10 D ．4 210．已知{a n }是等差数列，其公差为非零常数d ，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n ，当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B ．(－3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－3，－52 D ．(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 11．(2017·河北衡水中学摸底)若以2为公比的等比数列{b n }满足log 2b n ·log 2b n ＋1－2＝n 2＋3n ，则数列{b n }的首项为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．412．对任意的n ∈N *，数列{a n }满足|a n －cos 2n |≤13且|a n ＋sin 2n |≤23，则a n 等于( )A.23－sin 2n B ．sin 2n －23C.13－cos 2n D ．cos 2n ＋13第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝1－2x 的定义域为________．14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝⎛⎭⎫－12n －1，若对于任意的n ∈N *都有1≤x (S n －4n )≤3恒成立，则实数x 的取值范围是________．15. (2017·佛山质检)某沿海四个城市A ，B ，C ，D 的位置如图所示，其中∠ABC ＝60°，∠BCD ＝135°，AB ＝80 n mile ，BC ＝(40＋303) n mile ，CD 现在有一艘轮船从A 出发以50 n mile/h 的速度向D 直线航行， 60 min 因收到指令改向城市C 直线航行，则收到指令时该轮船到城市C 的距离是16．(2017·陆川二模)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数b 的取值范围是______．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＞0}． (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，求ax 2＋x －b ＜0的解集．18．(12分)已知函数f (x )＝4cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋1. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．19.(12分)(2018届山西五校联考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a sin B ＋3b cos A ＝3c . (1)求B ；(2)若△ABC 的面积为332，b ＝7，a ＞c ，求a ，c .。
2019届高考数学(人教A版)一轮复习滚动测试卷二(第一~五章)
滚动测试卷二(第一~五章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合A=,集合B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=()A. B.{2} C.{1} D.⌀2.复数=()A.1-2iB.1+2iC.-1+2iD.-1-2i3.下列结论正确的是()A.若命题p:∀x>0,都有x2>0,则p:∃x0≤0,使得≤0B.若命题p和p∨q都是真命题,则命题q也是真命题C.在△ABC中,a,b,c是内角A,B,C所对的边,则a<b的充要条件是cos A>cos BD.命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2或x≠1,则x2+x-2≠0”4.命题“存在x∈[0,2],x2-x-a≤0为真命题”的一个充分不必要条件是()A.a≤0B.a≥-1C.a≥-D.a≥35.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=-log2(-2x),则f(32)=()A.-32B.-6C.6D.646.先把函数f(x)=sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再把新得到的图象向右平移个单位,得到y=g(x)的图象.当x∈时,函数g(x)的值域为()A. B. C. D.[-1,0)7.设x0是函数f(x)=-log2x的零点.若0<a<x0,则f(a)的值满足()A.f(a)=0B.f(a)<0C.f(a)>0D.f(a)的符号不确定8.在四边形ABCD中,AC⊥BD,且AC=2,BD=3,则的最小值为()A. B.- C. D.-9.若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立,则a的取值范围是()A. B. C. D.10.已知函数y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则sin 2φ=()A.-B.-C.D.11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B==2,且S△ABC=,则b=()A.4B.3C.2D.112.(2017山东,文10)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知|a|=,|b|=2,若(a+b)⊥a,则a与b的夹角是.14.(2017全国Ⅲ,文16)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是.15.已知非零向量a,b的夹角为60°,且|a-b|=1,则|a+b|的最大值是.16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=1,则c=.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.18.(12分)请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,且E,F是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.19.(12分)函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=,求函数g(x)在x∈上的最大值,并确定此时x的值.20.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2a cos B=2c-b.(1)求角A;(2)若△ABC的面积为,且a=,请判断△ABC的形状,并说明理由.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f'.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·e x,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=x2-a ln x(a∈R).(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)内为增函数,求a的取值范围;(3)讨论方程f(x)=0的解的个数,并说明理由.答案：1.C解析:当x=1时,y=1;当x=2时,y=4;当x=时,y=;故B=,因此A∩B={1}.故选C.2.A解析:=1-2i,故选A.3.C解析:若命题p:∀x>0,都有x2>0,则p:∃x0>0,使得≤0.故A项错误;若命题p和p∨q都是真命题,则命题q可能是真命题,也可能是假命题.故B项错误;在△ABC中,由a<b可知0<A<B<π,而y=cos x在(0,π)内单调递减,故cos A>cos B,C项正确;命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2且x≠1,则x2+x-2≠0”.故D项错误.故选C.4.D解析:∵存在x∈[0,2],x2-x-a≤0为真命题,∴a≥(x2-x)min==-.因此上述命题的一个充分不必要条件是a≥3.故选D.5.B解析:因为当x<0时,f(x)=-log2(-2x),且函数f(x)是R上的偶函数,所以f(32)=f(-32)=-log264=-6,故选B.6.A解析:依题意,得g(x)=sin=sin,当x∈时,2x-,sin,此时g(x)的值域是.选A.7.C解析:f(x)=-log2x为减函数,f(x0)=-log2x0=0,由0<a<x0,可知f(a)>f(x0)=0.8.B解析:设AC与BD相交于点O,以O为原点,AC,BD为坐标轴建立平面直角坐标系,设C(a,0),D(0,b),则A(a-2,0),B(0,b-3),故=(2-a,b-3),=(-a,b).∴=a(a-2)+b(b-3)=(a-1)2+.∴当a=1,b=时,取得最小值-.9.B解析:∵函数y=在t∈(0,2]上为减函数,∴当t=2时,y=的最小值为1.令f(t)=,则f'(t)=.当t∈(0,2]时,f'(t)>0,故f(t)在区间(0,2]上为增函数,故当t=2时,f(t)=的最大值为.故由题意知≤a≤,即≤a≤1.10.A解析:y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)=sin(πx+φ-α),其中sin α=,cos α=.∵函数y的图象关于直线x=1对称,∴π+φ-α=+kπ,k∈Z,即φ=α-+kπ,k∈Z.∴sin 2φ=sin 2=sin(2α-π+2kπ)=sin(2α-π)=-sin 2α=-2sin αcos α=-2×=-,故选A.11.C解析:由cos B=,0<B<π,得sin B=.又=2,得=2,即c=2a.由S△ABC=ac sin B=a2·,得a=1.所以c=2.由b2=a2+c2-2ac cos B=1+4-2×1×2×=4,得b=2.12.A解析:A项,令g(x)=e x·2-x,则g(x)=,因为>1,所以g(x)在R上单调递增,具有M性质;B项,令g(x)=e x·x2,则g'(x)=e x(x2+2x)=x(x+2)·e x,令g'(x)=0,得x1=0,x2=-2,g(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,不具有M性质;C项,令g(x)=e x·3-x,则g(x)=,因为0<<1,所以g(x)在R上单调递减,不具有M性质;D项,令g(x)=e x cos x,则g'(x)=e x(cos x-sin x),令g'(x)=0,得tan x=1.所以x=kπ+,k∈Z,故g(x)在R上不单调递增,不具有M性质.13.150°解析:因为(a+b)⊥a,所以(a+b)·a=0⇔a2+b·a=0⇔3+b·a=0,所以b·a=-3,可知a与b的夹角的余弦值为=-.则a与b的夹角为150°.14.解析:由题意得当x>时,2x+>1恒成立,即x>;当0<x≤时,2x+x-+1>1恒成立,即0<x≤;当x≤0时,x+1+x-+1>1,解得x>-,即-<x≤0.综上,x的取值范围是.15.解析:∵|a-b|=1,∴a2+b2-2|a||b|cos 60°=1,即a2+b2=1+|a||b|≥2|a||b|.∴|a||b|≤1,当且仅当|a|=|b|=1时等号成立.∴|a+b|=.∴2|a||b|+1≤3.∴|a+b|的最大值是.16.解析:由内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,可知AB=c,AC=b,BC=a.由,得cb cos A=ca cos B.故由正弦定理,得sin B cos A=cos B sin A,即sin(B-A)=0.因为-π<B-A<π,所以B=A,从而b=a.由已知=1,得ac cos B=1.故由余弦定理知ac·=1,即a2+c2-b2=2,故c=.17.(1)解:因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.(2)解:由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得|b+c|==≤4.又当β=kπ-(k∈Z)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4.(3)证明:由tan αtan β=16,得16cos αcos β=sin αsin β,故a∥b.18.解:设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm,则a=x,h=(30-x),0<x<30.(1)由题意,知S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,故当x=15时,S取最大值.(2)由题意,知V=a2h=2(-x3+30x2),则V'=6x(20-x).由V'=0,得x=20(x=0舍去).当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0;故当x=20时,包装盒容积V最大,此时,即此时包装盒的高与底面边长的比值是.19.解:(1)由题图,知A=2,,则=4×,即ω=.又f=2sin=2sin=0,∴sin=0,∵0<φ<,-<φ-,∴φ-=0,即φ=,∴f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)由(1)可得f=2sin=2sin,g(x)==4×=2-2cos,∵x∈,∴-≤3x+,∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.20.解:(1)∵2a cos B=2c-b,∴2sin A cos B=2sin C-sin B.又sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B,∴2cos A sin B=sin B.在△ABC中,sin B≠0,故cos A=.∵0<A<π,∴A=.(2)△ABC是等边三角形,理由如下:由(1)可知A=,则sin A=,故S△ABC=bc sin A=,即bc=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,可得b2+c2=6,解得c=,b=,故△ABC是等边三角形.21.解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f'(x)=3x2+2ax-1.当x=时,得a=f'=3×+2a×-1,解得a=-1.(2)由(1)可知,f(x)=x3-x2-x+c,则f'(x)=3x2-2x-1=3(x-1),由f'(x)>0,得x<-或x>1;由f'(x)<0,得-<x<1.所以f(x)的单调递增区间是和(1,+∞),f(x)的单调递减区间是.(3)函数g(x)=(f(x)-x3)·e x=(-x2-x+c)·e x,有g'(x)=(-2x-1)e x+(-x2-x+c)e x=(-x2-3x+c-1)e x,因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立.故只要h(x)在[-3,2]上的最小值h(2)≥0即可,解得c≥11,所以c的取值范围是[11,+∞).22.解:(1)因为f'(x)=x-(x>0),又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以解得a=2,b=-2ln 2.(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,则f'(x)=x-≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.(3)当a=0时,f(x)在定义域(0,+∞)上恒大于0,此时方程无解.当a<0时,f'(x)=x->0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.因为f(1)=>0,f()=-1<0,所以方程有唯一解.当a>0时,f'(x)=x-.因为当x∈(0,)时,f'(x)<0,则f(x)在(0,)上为减函数;当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在(,+∞)上为增函数.所以当x=时,f(x)有极小值,即最小值为f()=a-a ln a(1-ln a).当a∈(0,e)时,f()=a(1-ln a)>0,方程无解;当a=e时,f()=a(1-ln a)=0,此方程有唯一解x=.当a∈(e,+∞)时,f()=a(1-ln a)<0,因为f>0,且>1,所以方程f(x)=0在区间(0,)上有唯一解.因为当x>1时,(x-ln x)'>0,所以x-ln x>1,所以x>ln x.所以f(x)=x2-a ln x>x2-ax.因为2a>>1,所以f(2a)>(2a)2-2a2=0,所以方程f(x)=0在区间(,+∞)上有唯一解.所以方程f(x)=0在区间(e,+∞)上有两解.综上,当a∈[0,e)时,方程无解;当a<0或a=e时,方程有唯一解;当a>e时,方程有两解.。
2019届高考数学(人教A版)一轮复习滚动测试卷三(第一~七章)
滚动测试卷三(第一~七章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合M={x|x2+x≤0},N=,则M∪N等于()A.[-1,0]B.(-1,0)C.(-2,+∞)D.(-2,0]2.(2017安徽蚌埠一模)若复数z=(i为虚数单位),则z的共轭复数=()A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i3.设命题p:∀x>0,ln x>lg x,命题q:∃x>0,=1-x2,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.(p)∧(q)C.p∧(q)D.(p)∧q4.已知数列{b n}是等比数列,b9是1和3的等差中项,则b2b16=()A.16B.8C.2D.45.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.120°6.已知sin 2α=,则tan α+=()A.1B.2C.4D.37.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为()A.2B.3C.6D.98.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a6=a8+6,则S7等于()A.49B.42C.35D.249.已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)10.已知函数f(x)=2sin (2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A. B. C. D.11.(2017广东、江西、福建十校联考)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-312.如图,半径为2的☉O切直线MN于点P,射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM,在旋转过程中,PK交☉O于点Q,设∠POQ=x,弓形PTQ的面积为S=f(x),则f(x)的图象大致是()二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为时,log2a·log2(2b)取得最大值.14.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(5-a)=.15.已知向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|≠0,a+b=c,则向量a与向量c的夹角是.16.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b cos C=a-c.(1)求角B的大小;(2)若b=1,求a+c的最大值.18.(12分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2+b2=c2+ab,c=.数列{a n}是等比数列,且首项a1=,公比为.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和S n.19.(12分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=b cos C+c sin B.(1)若a=2,b=,求c;(2)若sin-2sin2=0,求A.20.(12分)已知在递增等差数列{a n}中,a1=1,a1,a4,a10成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n·3n}的前n项和S n.21.(12分)为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000 m2,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数).经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元.注:每平方米平均综合费用=.(1)求k的值;(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?22.(12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.答案：1.C解析:由x2+x≤0,得x(x+1)≤0,即-1≤x≤0,故M=[-1,0];由2x>=2-2,即x>-2,故N=(-2,+∞);因此,M∪N=(-2,+∞),故选C.2.B解析:∵z==-i-1,∴z的共轭复数=-1+i.故选B.3.D解析:当x=1时,ln x=lg x=0.故命题p是假命题.画出y=与y=1-x2的图象(图略),可知在x∈(0,+∞)上两个图象有交点,故命题q是真命题.因此(p)∧q是真命题.故选D.4.D解析:∵b9是1和3的等差中项,∴2b9=1+3,∴b9=2.由等比数列{b n}的性质可得b2b16==4,故选D.5.B解析:由y'=3x2-2,得y'|x=1=1,即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1,故切线的倾斜角为45°.6.D解析:∵sin 2α=2sin αcos α=,即sin αcos α=,∴tan α+==3.故选D.7.B解析:因为y=在R上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.8.B解析:设等差数列{a n}的公差为d.∵2a6=a8+6,∴2(a1+5d)=a1+7d+6,即a1+3d=6,即a4=6.又a1+a7=2a4,∴S7==7a4=7×6=42.故选B.9.B解析:∵实数a,b满足2a=3,3b=2,∴a=log23>1,0<b=log32<1.∴函数f(x)=a x+x-b=(log23)x+x-log32在R上单调递增,且其图象是连续的.∵f(0)=1-log32>0,f(-1)=log32-1-log32=-1<0,∴f(x)=a x+x-b的零点所在的区间为(-1,0),故选B.10.B解析:由题意,得=2sin φ.又|φ|<,故φ=.因此f(x)=2sin.所以f(x)的图象的对称中心的横坐标满足2x+=kπ,k∈Z,即x=-,k∈Z.所以结合选项可知f(x)的图象的一个对称中心是.故选B.11.B解析:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).则A(2,0),B(1,1),若z=ax+y过点A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,此时,目标函数为z=2x+y,即y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,当直线经过点A(2,0)时,截距最大,此时z 最大为4,满足条件.若z=ax+y过点B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,此时,目标函数为z=3x+y,即y=-3x+z, 平移直线y=-3x+z,当直线经过点A(2,0)时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,故a=2,故选B.12.D解析:由题意可知弓形PTQ的面积f(x)=π22-22sin x=2x-2sin x.因为f'(x)=2-2cos x>0在(0,2π)上恒成立,所以f(x)在(0,2π)上为增函数.令g(x)=2-2cos x.由g'(x)=2sin x≥0在x∈(0,π]上恒成立,可知函数f(x)在(0,π]上为凹函数;由g'(x)=2sin x≤0在x∈[π,2π)上恒成立,故函数f(x)在[π,2π)上为凸函数.故选D.13.4解析:由题意,知log2a·log2(2b)≤==4,当且仅当log2a=log2(2b),即a=2b时等号成立.又因为ab=8,且a>0,所以a=4.14.-解析:当a≤1时,f(a)=2a-2=-3,即2a=-1,不符合题意,舍去;当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,解得a=7.故f(5-a)=f(-2)=2-2-2=-.15.解析:设向量a与c的夹角为θ,|a|=m≠0,则|b|=|c|=m.由a+b=c,得b=c-a,两边平方得b2=3c2-2a·c+a2,即m2=3m2-2m2cos θ+m2,整理得cos θ=.又0≤θ≤π,故θ=,即向量a与c的夹角为.16.-13解析:求导得f'(x)=-3x2+2ax.由f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,故a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在(-1,0)内单调递减,在(0,1)内单调递增,故对m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴对n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.于是,f(m)+f'(n)的最小值为-13.17.解:(1)∵b cos C=a-c,∴b=a-c,∴b2-c2=a2-ac,∴b2=a2+c2-ac,∴cos B=.又B∈(0,π),∴B=.(2)∵b2=a2+c2-2ac cos B,∴1=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.∵ac≤,当且仅当a=c时等号成立,∴(a+c)2≤1,即a+c≤2,∴a+c的最大值为2.18.解:(1)∵a2+b2=c2+ab,∴cos C=.又C为三角形的内角,∴C=.∵,∴a n=.(2)∵b n==,∴S n=1-+…+=1-.19.解:(1)∵a=b cos C+c sin B,∴sin A=sin B cos C+sin C sin B,∴cos B sin C=sin C sin B,∴tan B=,∴B=.∵b2=a2+c2-2ac cos B,∴c2-2c-3=0,∴c=3.(2)∵B=,∴sin-2sin2=sin-1+cos=sin+cos-1=sin-cos-1=2sin-1=0,又<A<,∴A=.20.解:(1)∵a1,a4,a10成等差数列,a1=1,∴=a10,即(1+3d)2=1+9d,解得d=(d=0舍去),∴a n=n+.(2)∵a n·3n=(n+2)·3n-1,∴S n=3×30+4×3+5×32+…+(n+2)·3n-1,①3S n=3×31+4×32+5×33+…+(n+2)·3n.②∴①-②得-2S n=3+3+32+…+3n-1-(n+2)·3n=·3n.∴S n=·3n-.21.解:(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为(10×1 000×5)m2,则所有建筑费用为[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1 000×10,因此1 270={16 000 000+[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1000×10}÷(10×1 000×5),解得k=50.(2)设小区每幢为n(n∈N*)层,每平方米平均综合费用为f(n),由题设可知f(n)={16 000000+[(50+800)+(100+800)+…+(50n+800)]×1 000×10}÷(10×1 000×n)=+25n+825≥2+825=1 225, 当且仅当=25n,即n=8时,等号成立.故该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为1 225元.22.解:(1)由题意可知,f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知,得f(0)=4,f'(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f'(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)·.令f'(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)内单调递增,在(-2,-ln 2)内单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).。
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一、选择题1．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于( ) A.π2 B ．－π2 C.π4 D ．－π42．(2015·福州质检)在△ABC 中，满足|AC →|＝|BC →|，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角C 的大小为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.5π63.如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω的值为( ) A.π8B.π4C ．4D ．84．(2015·绍兴质量检测)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈(3π2，2π)，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( )A ．－43B ．－45 C.45 D.345．(2015·山西太原五中月考)在△ABC 中，AB →＝(－cos 18°，－sin 18°)，BC →＝(2cos 63°，2cos 27°)，则△ABC 的面积为( ) A.24 B.22 C.32 D. 2 二、填空题6．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3，则△ABC 的面积为________． 8．函数y ＝2sin(π4x ＋3π2)的部分图象如图所示，则(OA →－OB →)·AB →等于________．第8题图 第9题图 9．(2015·徐州第三次质量检测)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M ，N 分别为半径OP ，OQ 的中点，A 为弧PQ 上任意一点，则AM →·AN →的取值范围是__________． 三、解答题10．已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x 4)． (1)若m ·n ＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．答案解析1．A [由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a ·b ＝0， 而|a |＝|b |＝1，故a ·b ＝0， 所以cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即cos(α－β)＝0， 由于0<α<β<π， 故－π<α－β<0， 所以α－β＝－π2， 即β－α＝π2.]2．C [设△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 由(AB→－3AC →)⊥CB →， 可得(AB →－3AC →)·CB →＝(AB →－3AC →)·(AB →－AC →) ＝c 2＋3b 2－4AB →·AC →＝c 2＋3b 2－4cb cos A ＝c 2＋3b 2－2(b 2＋c 2－a 2)＝0， 即b 2－c 2＋2a 2＝0.又由|BC→|＝|AC →|可得a ＝b ，则c 2＝3a 2， 由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋a 2－3a 22a 2＝－12， 所以△ABC 的内角C ＝2π3，选择C.] 3．B [因为PM →·PN→＝0，所以PM ⊥PN ， 又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点， 所以PM ＝PN ，y P ＝2，所以MN ＝4， 所以T ＝2πω＝8，所以ω＝π4.]4．A [由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0， 即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0， 上述等式两边同时除以cos 2α， 得6tan 2α＋5tan α－4＝0， 由于α∈(3π2，2π)，则tan α<0，解得tan α＝－43，故选A.] 5．B [∵|AB →|＝(－cos 18°)2＋(－sin 18°)2＝1，|BC→|＝4cos 263°＋4cos 227°＝2，cos ∠ABC ＝BA →·BC→|BA →||BC →|＝2sin 45°2＝22，又∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝45°，∴S △ABC ＝12|AB |·|BC |·sin ∠ABC ＝22.] 6.12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0， ∵0<θ<π2，∴cos θ>0， ∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12. 7．2解析 由cos A 2＝255，可得cos A ＝2cos 2A 2－1＝35， 从而sin A ＝45，∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝3， ∴|AB →|·|AC→|＝5. ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×5×45＝2. 8．－2解析 因为y ＝2sin(π4x ＋3π2)， 令y ＝0，得2sin(π4x ＋3π2)＝0，可得π4x ＋3π2＝k π(k ∈Z )， 即x ＝－6＋4k (k ∈Z )，由图象可知A (2,0)，即OA→＝(2,0)． 同理，令y ＝1，得2sin(π4x ＋3π2)＝1， 再结合图象可求得B (3,1)，即OB →＝(3,1)． 所以AB→＝(1,1)， (OA →－OB →)·AB →＝BA →·AB →＝－AB →2＝－2. 9．[32，52]解析 建立如图所示直角坐标系，则A (2cos θ，2sin θ)(0°≤θ≤120°)， M (－12，32)，N (1,0)，AM →＝(－12－2cos θ，32－2sin θ)， AN→＝(1－2cos θ，－2sin θ)， 所以AM →·AN →＝(－12－2cos θ)(1－2cos θ)＋(32－2sin θ)·(－2sin θ)＝72－2sin(θ＋30°)． 因为0°≤θ≤120°， 所以30°≤θ＋30°≤150°， 12≤sin(θ＋30°)≤1，32≤AM →·AN →≤52. 10．解 m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12×cos x 2＋12 ＝sin(x 2＋π6)＋12.(1)∵m ·n ＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12， cos(x ＋π3)＝1－2sin 2(x 2＋π6)＝12， cos(2π3－x )＝－cos(x ＋π3)＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )·cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， ∴cos B ＝12，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. ∴0<A <2π3. ∴π6<A 2＋π6<π2， 12<sin(A 2＋π6)<1.又∵f (x )＝m ·n ＝sin(x 2＋π6)＋12，∴f (A )＝sin(A 2＋π6)＋12， 故1<f (A )<32.故函数f (A )的取值范围是(1，32)．。
2019届高三理科数学一轮复习滚动检测卷(全套打包答案)
2019届高三理科数学一轮复习滚动检测一考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |7<2x <33，x ∈N }，B ＝{x |log 3(x －1)<1}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．{4,5} B ．{3,4,5} C ．{x |3≤x <4}D ．{x |3≤x ≤5}2．“|x －1|<2成立”是“x (x －3)<0成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．(2017·肇庆期末)设命题p ：直线x －y ＋1＝0的倾斜角为135°；命题q ：平面直角坐标系内的三点A (－1，－3)，B (1，1)，C (2,2)共线．则下列判断正确的是( ) A ．綈p 为假 B ．(綈p )且(綈q )为真 C ．p 或q 为真D ．q 为真4．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －m －1为减函数，则实数m 的取值集合为( )A ．{2}B ．{－1}C ．{2，－1}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≠1＋52 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x >0， 则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．26．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 015)＋f (2 018)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．28．函数f (x )＝e x －1x的图像大致为( )9．若a >0，b >0，ab >1，12log a ＝ln 2，则log a b 与12log a 的关系是( )A ．log a b <12log aB ．log a b ＝12log aC ．log a b >12log aD ．log a b ≤12log a10．已知f (x )是偶函数，x ∈R ，若将f (x )的图像向右平移一个单位得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)等于( ) A ．－1 003 B ．1 003 C ．1D ．－111．(2017·天津市河西区模拟)已知命题p ：任意x ∈[1,2]，e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2] B ．(－∞，e] C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)12．(2017·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3,5] B ．[4,6] C ．(3,5)D ．(4,6)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．定义在R 上的奇函数f (x )，f (－1)＝2，且当x ≥0时，f (x )＝2x ＋(a ＋2)x ＋b (a ，b 为常数)，则f (－10)的值为______．14．(2018·保定模拟)已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图像必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图像关于原点对称，那么函数y ＝f (x )的图像关于点(3,0)对称，则命题p 或q 为______(填“真”或“假”)命题．15．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x ＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届衡水市武邑中学月考)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．18．(12分)(2018·唐山调研)命题p ：f (x )＝1－x3，且|f (a )|<2；命题q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0}，B ＝{x |x >0}且A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围，使命题p ，q 中至少有一个为真命题．19.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－1,3)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在(－1,2)内的值域；(2)若方程f (x )＝c 在[0,3]上有两个不相等实根，求c 的取值范围．20．(12分)旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16 000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35，则飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60.设旅行团的人数为x ，每个人的机票费为y 元，旅行社的利润为Q 元．成本只算飞机费用．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？并求出最大利润．21.(12分)已知函数f (x )＝22x －52·2x ＋1－6.(1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)若存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k2，k ∈Z ，x ∈R ，且f (x )＋f (2－x )＝0，f (x ＋1)＝－1f (x )，当12<x <1时，f (x )＝3x .(1)证明：f (x )为奇函数；(2)求f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－12上的表达式； (3)是否存在正整数k ，使得当x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时，log 3f (x )>x 2－kx －2k 有解？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．答案精析1．A 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.A 9.A 10.D 11.B12．C [∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图像如图所示：∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，∴y 1＝f (x )和y 2＝log a x 的图像在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y 2＝log a x 的图像，∴⎩⎪⎨⎪⎧log a 3<1，log a 5>1，a >1，解得3<a <5，故选C.]13．－993 14.真 15．2解析 函数可化为f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1为奇函数，∴g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1的最大值与最小值的和为0.∴M ＋m ＝2. 16.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 即2－x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－x )，解得m ＝－1，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－x ，x >1，2－x －2x ，x ≤1， 作出函数g (x )的图像(如图所示)．当x >1时，g (x )是增加的，此时g (x )>32；当x ≤1时，g (x )是减少的，此时g (x )≥－32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－32，32时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点． 17．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x ≤10}＝{x |－2≤x ≤5}， 所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)当P ≠∅时，由P ⊆Q ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2；当P ＝∅时，2a ＋1<a ＋1，解得a <0，此时有P ＝∅⊆Q ， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]． 18．解 先考虑p ：解得－5<a <7.再考虑q ：①当Δ<0时，A ＝∅，A ∩B ＝∅，此时由(a ＋2)2－4<0，得－4<a <0； ②当Δ≥0时，由A ∩B ＝∅，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(a ＋2)2－4≥0，x 1＋x 2＝－(a ＋2)<0，x 1x 2＝1>0，解得a ≥0.由①②可知，a >－4.当p ，q 都为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－5或a ≥7，a ≤－4，解得a ≤－5，所以当a 的取值范围是(－5，＋∞)时， p ，q 中至少有一个为真命题．19．解 (1)由题意知，－1,3是方程ax 2＋bx －a －ab ＝0的两根， 可得a ＝－1，b ＝2，则f (x )＝－x 2＋2x ＋3在(－1,2)内的值域为(0,4]．(2)方程－x 2＋2x ＋3＝c ，即x 2－2x ＋c －3＝0在[0,3]上有两个不相等实根， 设g (x )＝x 2－2x ＋c －3，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (0)≥0，g (3)≥0，解得3≤c <4.20．解 (1)依题意知，1≤x ≤60，x ∈N ＋，又当1≤x <20时，800x <16 000，不符合实际情况， 故20≤x ≤60，x ∈N ＋. 当20≤x ≤35时，y ＝800；当35<x ≤60时，y ＝800－10(x －35)＝－10x ＋1 150.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧800，20≤x ≤35，且x ∈N ＋，－10x ＋1 150，35<x ≤60，且x ∈N ＋.(2)当20≤x ≤35，且x ∈N ＋时， Q ＝yx －16 000＝800x －16 000， 此时Q max ＝800×35－16 000＝12 000； 当35<x ≤60，且x ∈N ＋时，Q ＝yx －16 000 ＝－10x 2＋1 150x －16 000 ＝－10⎝⎛⎭⎫x －11522＋34 1252， 所以当x ＝57或x ＝58时，Q 取得最大值，即Q max ＝17 060.因为17 060>12 000，所以当旅行团的人数为57或58时，旅行社可获得最大利润，为17 060元．21．解 (1)f (x )＝(2x )2－5·2x －6， 设2x ＝t ，∵x ∈[0,4]，则t ∈[1,16]， ∴h (t )＝t 2－5t －6，t ∈[1,16]．∵当t ∈⎝⎛⎦⎤1，52时，函数h (t )是减少的； 当t ∈⎝⎛⎦⎤52，16时，函数h (t )是增加的， ∴f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫52＝－494，f (x )max ＝h (16)＝170. (2)∵存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，而t ＝2x >0，∴存在t ∈[1,16]，使得a ≤t ＋6t －5成立．令g (t )＝t ＋6t －5，则g (t )在[1，6]上是减少的，在[6，16]上是增加的，而g (1)＝2<g (16)＝918， ∴g (t )max ＝g (16)＝918，∴a ≤g (t )max ＝g (16)＝918，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，918. 22．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝－1f (x ＋1)＝f (x )，∴f (x )的周期为2，∵f (x )＋f (2－x )＝0，即f (x )＋f (－x )＝0，又∵f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k2，k ∈Z ，x ∈R ，关于原点对称， ∴f (x )为奇函数．(2)解 当－1<x <－12时，12<－x <1，则f (－x )＝3－x .∵f (x )＝－f (－x )，∴当－1<x <－12时，f (x )＝－3－x .(3)解 任取x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1，则x －2k ∈⎝⎛⎭⎫12，1， ∵f (x )＝f (x －2k )＝3x －2k，log 3(3x－2k)>x 2－kx －2k 在x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时有解， 即x 2－(k ＋1)x <0在x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时有解，∵k ∈N ＋，∴(0，k ＋1)∩⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1≠∅， ∴k ＋1>2k ＋12(k ∈N ＋)无解．∴不存在这样的k ∈N ＋，使得当x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时， log 3f (x )>x 2－kx －2k 有解．滚动检测二考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·辽宁重点高中协作校期中)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{3,4,5}，N ＝{1,3,6}，则集合{4,5}等于( ) A ．M ∩(∁U N ) B ．(∁U M )∩(∁U N ) C ．(∁U M )∪(∁U N )D ．M ∪(∁U N )2．(2017·黄山质检)下列命题中正确的是( ) A ．若p 或q 为真命题，则p 且q 为真命题B ．若直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，则a ＝1C ．若命题“存在x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是a <－1或a >3D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”3．(2018·大同调研)给定函数：①y ＝x 12，②y ＝1x ，③y ＝|x |－1，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，其中既是奇函数又在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．① B ．②C ．③D ．④4．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >a >cD ．c >b >a5．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]6．曲线y ＝e x 在点A (2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．e 2 B ．2e 2 C ．eD.e 227．函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图像大致是( )8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．若b ＝3，则a ＋c 的最大值为( ) A.32B ．3C ．2 3D ．99．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π410．(2018届佳木斯市鸡东县二中月考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π8，0，则函数f (x )的递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π8，2k π－π8(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π8，2k π＋3π8(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) 11．己知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－(x ＋1)2＋1，函数y 1＝f (x )的图像和函数y 2＝lg|x |的图像的交点个数为( )A ．8B ．9C ．16D ．1812．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1} 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2017·洛阳一模)已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________． 14．若sin(π＋α)＝35，则cos (－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫－α－π2＋1sin (3π－α)－cos ⎝⎛⎭⎫－α－π2的值是________．15．(2017·唐山一模)将函数f (x )＝cos ωx 的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的图像，则正数ω的最小值为________．16．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m .则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪18≤2x －2≤16，B ＝{x |2m ＋1≤x ≤3m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2018届重庆一中月考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3(0<φ<2π)，若f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)． (1)求y ＝f (x )的解析式和递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2时，求y ＝f (x )的值域．19．(12分)(2018·葫芦岛调研)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产1件这样的产品，还需增加投入0.5万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫5t －1200t 2 万元． (1)设该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ＝2处的切线方程； (2)求函数f (x )在x ∈[1,2]时的最大值．21.(12分)在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C.A，B，C都不是直角，且ac cos B＋bc cos A＝a2－b2＋8cos A.(1)若sin B＝2sin C，求b，c的值；(2)若a＝6，求△ABC面积的最大值．22．(12分)已知f(x)＝ln(1＋x)－axx＋1，x∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为5，求a的值；(2)若函数f(x)的最小值为－a，求a的值；(3)当x>－1时，(1＋x)ln(1＋x)＋(ln k－1)x＋ln k>0恒成立，求实数k的取值范围．答案精析1．A 2.C 3.D 4.B5．D [因为f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数， 如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时恒成立，则|ax ＋1|≤|x －2|，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，当x －2≤ax ＋1时，a ≥1－3x ，而1－3x 在x ＝1处取最大值－2，所以a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．]6．D [y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点A (2，e 2)处的切线的斜率为e 2，相应的切线方程是y －e 2＝e 2(x －2)，当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×e 2×1＝e 22.]7．D [由y ＝e |ln x |－|x －1|可知，函数过点(1,1)， 当0＜x ＜1时，y ＝e－ln x－1＋x ＝1x ＋x －1，y ′＝－1x2＋1＜0.∴y ＝e －ln x －1＋x 在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，y ＝e ln x －x ＋1＝1，故选D.] 8．C [∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列， ∴2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )，∵A ＋B ＋C ＝π，∴2sin B cos B ＝sin B ， 又∵sin B ≠0，∴cos B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3， ac ≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2－33≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22， 即(a ＋c )2≤12，∴a ＋c ≤2 3.]9．B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位长度后，得到的图像的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.]10．C [由题意得2×π8＋φ＝k π(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝3π4，因此2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．∴k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．]11．D [函数y 1＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故f (1＋x )＝f (1－x )． 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (1－x )＝f (x －1)， 因此f (x ＋1)＝f (x －1)，从而函数f (x )是周期为2的函数．可根据函数性质作出函数y 1＝f (x )的图像和函数y 2＝lg|x |的图像，因为函数f (x )的值域为[0,1]，所以只需要考虑区间[－10，10]，数形结合可得交点个数为18.故选D.]12．C [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )恰有两个零点，转化为ln x －ax 2＋ax ＝0，即方程ln x x ＝a (x －1)恰有两解，设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上是增函数， 在(e ，＋∞)上是减函数，且g (1)＝0，当x >e 时，g (x )>0，g ′(1)＝1，作出函数y 1＝g (x )和函数y 2＝a (x －1)的图像如图所示，由图可知，两个函数有两个交点的充要条件是0<a <1或a >1，故选C.] 13.⎝⎛⎭⎫45，1解析 已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，故m >2x x 2＋1，令g (x )＝2xx 2＋1，则g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上是增加的，故g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝45，故p 为真时，m >45； q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2， 令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，若f (x )存在零点，则2－m －1>0，解得，m <1， 故q 为真时，m <1；若“p 且q ”为真命题， 则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1. 14．－5615.32解析 f (x )向右平移π2个单位长度后得g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2ω. ∵sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －3π4， ∴ωx －π2ω＝ωx －3π4＋2k π(k ∈Z )，∴ω＝32－4k (k ∈Z )，∴正数ω的最小值为32.16.⎝⎛⎭⎫12，1解析 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根． 令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1.17．解 (1)18≤2x －2≤16,2－3≤2x －2≤24，∴－3≤x －2≤4，∴－1≤x ≤6，∴A ＝{x |－1≤x ≤6}． (2)若B ＝∅，则2m ＋1>3m －1，解得m <2，此时满足题意； 若B ≠∅且B ⊆A ，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≤3m －1，－1≤2m ＋1，3m －1≤6，解得2≤m ≤73.综上所述，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≤73. 18．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3， 由f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0可知，x ＝π8为函数的对称轴， 则2×π8＋φ＋π3＝k π＋π2，φ＝－π12＋k π，k ∈Z ，由0<φ<2π可知，φ＝11π12或φ＝23π12.又由f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)可知，－sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3>sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3， 则sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3<0， 验证φ＝11π12和φ＝23π12，则φ＝11π12符合，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π12，5π4， 则f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22. 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 19．解 (1)当0＜x ≤500时，f (x )＝5x －1200x 2－x2－25；当x ＞500时，f (x )＝5×500－1200×5002－x2－25，故f (x )＝⎩⎨⎧－1200x 2＋92x －25，0<x ≤500，－12x ＋1 225，x >500.(2)当0＜x ≤500时，f (x )＝－1200(x －450)2＋19752. 故当x ＝450时，f (x )max ＝1 9752＝987.5； 当x ＞500时，f (x )<－12×500＋1 225＝975，故当该公司的年产量为450件时，当年获得的利润最大． 20．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －12x 2＋1，∴f ′(x )＝1x－x ，∴f ′(2)＝－32，即x ＝2处的切线斜率k ＝－32.已知切点为(2，－1＋ln 2)，∴切线的方程为3x ＋2y －4－2ln 2＝0.(2)∵f ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x ＝(x ＋1)(1－ax )x (1≤x ≤2)，当a ≤0时，f ′(x )>0在[1,2]上恒成立， ∴f (x )在[1,2]上是增加的， ∴f (x )max ＝f (2)＝－4a ＋3＋ln 2；当1a ≥2，即0<a ≤12时，f ′(x )≥0在[1,2]上恒成立， ∴f (x )在[1,2]上是增加的，∴f (x )max ＝f (2)＝－4a ＋3＋ln 2；当1<1a <2，即12<a <1时，f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增加的， 在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减少的，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝12a －ln a ； 当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1,2]上是减少的，∴f (x )max ＝f (1)＝－32a ＋2.综上所述，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＋3＋ln 2，a ≤12，－ln a ＋12a ，12<a <1，－32a ＋2，a ≥1.21．解 (1)∵ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＋bc ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2－b 2＋8cos A ，∴b 2＋c 2－a 2＝8cos A ，∴2bc cos A ＝8cos A ， ∵cos A ≠0，∴bc ＝4. 又∵sin B ＝2sin C ，由正弦定理，得b ＝2c ，∴b ＝22，c ＝ 2. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －2bc cos A ， 即6≥8－8cos A ，∴cos A ≥14，当且仅当b ＝c 时取等号．∴sin A ≤154，∴S ＝12bc sin A ≤152， ∴△ABC 面积的最大值为152. 22．解 (1)∵f ′(x )＝x ＋1－a(x ＋1)2，∴f ′(0)＝1－a ＝5，∴a ＝－4.(2)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝11＋x －a(x ＋1)2＝x ＋1－a (x ＋1)2，令f ′(x )＝0，则x ＝a －1，①当a －1≤－1，即a ≤0时，在(－1，＋∞)上，f ′(x )>0， 函数f (x )是增加的，无最小值．②当a －1>－1，即a >0时，在(－1，a －1)上，f ′(x )<0，函数f (x )是减少的；在(a －1，＋∞)上，f ′(x )>0，函数f (x )是增加的，∴函数f (x )的最小值为f (a －1)＝ln a －a ＋1＝－a ，解得a ＝1e. 综上，若函数f (x )的最小值为－a ，则a ＝1e. (3)由(1＋x )ln(1＋x )＋(ln k －1)x ＋ln k >0，得ln(1＋x )－x x ＋1＋ln k >0，即－ln k <ln(1＋x )－x x ＋1， 令a ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )－x x ＋1， 由(2)可知，当a ＝1时，f (x )在(－1,0)上是减少的，在(0，＋∞)上，f (x )是增加的，∴在(－1，＋∞)上，f (x )min ＝f (0)＝0，∴－ln k <0，即k >1.滚动检测三考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·绵阳一诊)设命题p ：⎝⎛⎭⎫12x ＜1，命题q ：ln x ＜1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．cos(－2 640°)＋sin 1 665°等于( )A.1＋22B ．－1＋22 C.1＋32 D ．－1＋323．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 等于( )A ．－14B.14C.78D.11164．(2018·新余模拟)在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.则满足条件的三角形的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．05．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b6．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]7．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增加的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝cos xD ．y ＝x 2＋2x8．(2017·重庆三诊)已知a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则实数m 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．49．(2018届洛阳联考)已知点O 是锐角△ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( )A ．m ＋n ≤－2B ．－2≤m ＋n <－1C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <010．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，若f (x )满足f (x ＋π)＝－f (x )，且f (0)＝12，则函数h (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．[－1，3]B ．[－2，3]C ．[－3，2]D ．[1，3]12．对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12e B.⎝⎛⎭⎫－∞，12e C.⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12e ，1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13． 10(2x ⎰＋1－x 2)d x ＝________.14．(2018届乐山调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为______．15．(2017·石嘴山三模)给出下列命题：①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1＞a b，则a ＜b ； ②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若任意x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)＜f (2)一定成立；③命题“存在x ∈R ，使得x 2－2x ＋1＜0”的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件．其中正确的命题的序号是________．16．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，若在区间[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2018·泉州模拟)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4，f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围．18．(12分)(2017·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(sin C －sin A )＝sin B .(1)求b c －a的值； (2)若b ＝2，BA →·BC →＝32，求△ABC 的面积．19.(12分)已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)分别求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)．20．(12分)(2018届西安模拟)已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，设向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12. (1)若m ∥n ，求x 的值；(2)若m·n ＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的值．21.(12分)某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第t 分钟内投放净化剂的路径长度p (t )＝140－|t －40|(单位：m)，净化剂净化水体的宽度q (单位：m)是时间t (单位：分钟)的函数：q (t )＝1＋a 2t(a 由单位时间投放的净化剂数量确定，设a 为常数，且a ∈N ＋)．(1)试写出投放净化剂的第t 分钟内净化水体面积S (t )(1≤t ≤60，t ∈N ＋)的表达式；(2)求S (t )的最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若f(x)有极值0，求实数a，并确定该极值为极大值还是极小值；(2)在(1)的条件下，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥mx ln(x＋1)恒成立，求实数m的取值范围．答案精析1．B [命题p ：⎝⎛⎭⎫12x ＜1，即x ＞0；命题q ：ln x ＜1，即0＜x ＜e ，所以p 是q 成立的必要不充分条件，故选B.]2．B [cos(－2 640°)＝cos 2 640°＝cos(7×360°＋120°)＝cos 120°＝－12， sin 1 665°＝sin(4×360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22， 故cos(－2 640°)＋sin 1 665°＝－12－22＝－1＋22.] 3．A [在△ABC 中，∵b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，由正弦定理， 得2b ＝3c ，可得a ＝2c ，b ＝32c ，再由余弦定理可得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝⎝⎛⎭⎫32c 2＋c 2－4c 22×32c ×c ＝－14，故选A.] 4．B [由正弦定理，得c sin C ＝b sin B ，sin C ＝32，由于c ＞b ， 所以有两种可能，故选B.]5．A [∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴⎝⎛⎭⎫12|－x －m |－1＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1，∴|－x －m |＝|x －m |，(－x －m )2＝(x －m )2，∴mx ＝0，m ＝0.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |－1，∴f (x )在[0，＋∞)是减少的，并且a ＝f (|log 123|)＝f (|log 23|)，b ＝f (|log 25|)，c ＝f (0)．∵0＜log 23＜log 25，∴c ＞a ＞b ，故选A.]6．D [因为f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，－1]上恒成立，即a ≤(3x 2)min ＝3，故选D.]7．B [对于答案A ，C ，当取x 1＝1，x 2＝2时，显然x 1＜x 2，但y 1＞y 2，故不是递增函数，则两个答案都不正确；对于答案D ，由于f (－1)＝1＋12＝32，f (1)＝1＋2＝3，即f (－1)≠f (1)，故不是偶函数，也不正确；对于答案B 结合所学基本初等函数的图像和性质可知函数f (x )＝lg|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，lg (－x )，x ＜0是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的，故选B.]8．C [由a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0,6－2m ＝0，解得m ＝3，故选C.]9．C [∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC →＝mOA →＋nOB →，∴|OC →|＝|mOA →＋nOB →|，可得OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →，而OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB <|OA →|·|OB →|＝1.∴1＝m 2＋n 2＋2mnOA →·OB →<m 2＋n 2＋2mn ，∴m ＋n <－1或m ＋n >1，如果m ＋n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形，∴m ＋n <－1，故选C.]10．A [(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝CB →·(MB →－MA →＋MC →－MA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 的形状为等腰三角形．]11．A [因为f (x ＋π)＝－f (x )，所以函数f (x )的周期为2π，ω＝1，由f (0)＝sin φ＝12且|φ|＜π2，得φ＝π6， 所以h (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2知π6≤x ＋π6≤2π3， 所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，h (x )∈[－1，3]， 故选A.]12．A [由x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0(x ＞0，y ＞0)，得a ＝x 2(ln y －ln x )y 2＝ln y x ⎝⎛⎭⎫y x 2，令t ＝y x (t ＞0)，所以a ＝ln t t 2.设g (t )＝ln t t 2(t >0)，g ′(t )＝1t ·t 2－(ln t )2t t 4＝1－2ln t t 3， 令g ′(t )＞0，得0＜t ＜e ，g (t )是增加的；令g ′(t )＜0，得t ＞e ，g (t )是减少的．所以g (t )最大值为g (e)＝12e.又当t ＞1时，g (t )＞0；当0＜t ＜1时，g (t )＜0，故当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12e 时，存在两个正数t ，使a ＝ln t t 2成立，即对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，故选A.]13．1＋π4解析 由微积分基本定理，得10⎰2x d x ＝x 2|10＝1， 曲线y ＝1－x 2(0<x <1)表示单位圆的四分之一，则10⎰1－x 2d x ＝14×π×12＝π4， 由此可得，10⎰ (2x ＋1－x 2)d x ＝1＋π4. 14.13 解析 ∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理可得BC ＝19，又根据余弦定理可得cos ∠ABC ＝419，AM →·BC →＝(BM →－BA →)·BC →＝λBC →2－BA →·BC →＝19λ－3×19×419＝－173， 解得λ＝13. 15．①③解析 ①已知a ，b 都是正数，a ＋1b ＋1＞a b，ab ＋b ＞ab ＋a ，则a ＜b 正确； ②若f (x )是常函数，则f (1)＜f (2)不成立，③命题“存在x ∈R ，使得x 2－2x ＋1＜0”是假命题，则它的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”⇒“x ＋y ≤2”，反之不成立，则“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充分不必要条件．正确的命题序号为①③.16．(6，＋∞)解析 三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0，则x 1＝1，x 2＝－1(舍去)，∵函数的定义域为[0,2]，∴当x ∈[0,1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间[0,1)上是减少的，在区间(1,2]上是增加的，则f (x )min ＝f (1)＝m －2，f (x )max ＝f (2)＝m ＋2，f (0)＝m ，由题意知，f (1)＝m －2＞0；①由f (1)＋f (1)＞f (2)，得－4＋2m ＞2＋m ，②由①②得m >6.17．解 (1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 而f (x )＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.又∵2π3－x ＝π－2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝－12. (2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b . 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. 又∵0＜B ＜2π3， ∴π6＜B 2＋π6＜π2，∴f (B )∈⎝⎛⎭⎫1，32. 18．解 (1)由正弦定理，得2(c －a )＝b ，即b c －a＝2； (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2(c －a )＝b ，b ＝2，BA →·BC →＝ca cos B ＝32， 即⎩⎪⎨⎪⎧ c －a ＝1，ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，所以cos B ＝34， 所以sin B ＝74，所以S ＝12ac sin B ＝74.19．解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝221＋22＋122＋1＝1， 同理可得f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)令S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)， 则S ＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f (2 011)＋f (2 010)＋…＋f (2)＋f (1)， 则2S ＝4 022，故S ＝2 011.20．解 (1)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m ∥n ，所以sin x ·12＝cos x ·32，即tan x ＝3，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以x ＝π3. (2)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m·n ＝35， 所以32sin x ＋12cos x ＝35， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，令θ＝x ＋π6， 则x ＝θ－π6，且sin θ＝35，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π12＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin θcos π4－cos θsin π4＝35×22－45×22＝－210.21．解 (1)由题意， 得S (t )＝p (t )·q (t )＝(140－|t －40|)⎝⎛⎭⎫1＋a 2t ＝⎩⎨⎧100＋a 2＋t ＋100a 2t，1≤t ＜40，t ∈N ＋，180－a 2－t ＋180a2t，40≤t ≤60，t ∈N ＋.(2)当40≤t ≤60且t ∈N ＋时，S (t )＝180－a 2－t ＋180a 2t， 当t 增加时180a 2t 减小，所以S (t )在40≤t ≤60上是减少的，所以当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 当1≤t ＜40且t ∈N ＋时，S (t )＝100＋a 2＋t ＋100a 2t≥100＋a 2＋20a (当且仅当t ＝10a 时，等号成立)，①若a ＝1或2或3；当t ＝10a 时，上述不等式中的等号成立， S (t )在1≤t ＜40范围中有最小值a 2＋20a ＋100. 又在40≤t ≤60时S (t )有最小值2a 2＋120.当a ＝1时，100＋a 2＋20a ＝121＜122＝2a 2＋120， 故S (t )有最小值121；当a ＝2或a ＝3时，100＋a 2＋20a ＞2a 2＋120， 故S (t )有最小值2a 2＋120. ②若a ≥4且1≤t ＜40时，因为S (t ＋1)－S (t )＝1＋100a 2t ＋1－100a 2t ＝1－100a 2t (t ＋1)<0，所以S (t ＋1)<S (t )，故S (t )在1≤t <40时是减少的；又S (t )在40≤t ≤60时是减少的，且100＋a 2＋40＋100a 240＝180－a 2－40＋180a 240， 所以S (t )在1≤t ≤60时是减少的． 所以，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 综上，若a ＝1，当t ＝10时，S (t )有最小值121； 若a ≥2且a ∈N *，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 22．解 (1)f ′(x )＝e x －a .①若a ≤0，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，＋∞)上是增加的，无极值，不符合题意； ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，ln a )上是减少的；当x ∈(ln a ，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )在(ln a ，＋∞)上是增加的． 所以，当x ＝ln a 时，f (x )取到极小值， f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝0，即a ln a －a ＋1＝0. 令φ(a )＝a ln a －a ＋1(a >0)， 则φ′(a )＝ln a ＋a ·1a－1＝ln a ，当0＜a ＜1时，φ′(a )＜0，φ(a )是减少的； 当a ＞1时，φ′(a )＞0，φ(a )是增加的． 又φ(1)＝0，所以a ln a －a ＋1＝0有唯一解a ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝e x －x －1， 当x ≥0时，f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立，即e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0(x ∈[0，＋∞))恒成立． 令g (x )＝e x －x －mx ln(x ＋1)－1(x ∈[0，＋∞))， 则g ′(x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ∈[0，＋∞))，令h (x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ∈[0，＋∞))， 则h ′(x )＝e x －m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1，h ′(0)＝1－2m,0＜1(x ＋1)2＋1x ＋1≤2(当且仅当x ＝0时取“＝”)．①当m ≤0时，h ′(x )＞0，h (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即h (x )≥0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以g (x )min ＝g (0)＝0，所以g (x )≥0， 所以e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0， 即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立． ②当0＜m ≤12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ≥0，所以h ′(x )＞0，故h (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增加的，所以g (x )min ＝g (0)＝0， 所以g (x )≥0，即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立．③当m ＞12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ＜0，当x →＋∞时，e x →＋∞，－m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1→0，所以h ′(x )→＋∞，则存在x 0＞0，使得h ′(x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，x 0)上是减少的， 此时h (x 0)＜h (0)＝0，即g ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，所以g (x )在(0，x 0)上是减少的，g (x 0)＜g (0)＝0，不符合题意． 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.滚动检测四考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(3,10) D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ－sin 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C. 35D. 453．(2018届衡水联考)已知命题p ：任意x ∈R ，(2－x )12<0，则命题綈p 为( )A ．存在x ∈R ，(2－x )12>0B ．任意x ∈R ，(1－x )12>0C ．任意x ∈R ，(1－x )12≥0D ．存在x ∈R ，(2－x )12≥04．(2018·济宁模拟)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1，－1)D ．(1,3)5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,1)，若向量a －λb 与向量c ＝(5，－2)共线，则λ的值为( ) A.43 B.413 C ．－49D ．46．(2017·贵阳适应性考试)设命题p ：若y ＝f (x )的定义域为R ，且函数y ＝f (x －2)图像关于点(2,0)对称，则函数y ＝f (x )是奇函数，命题q ：任意x ≥0， 12x ≥13x ，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )或q C ．p 且(綈q )D ．(綈p )且(綈q )7．已知a ＝1213⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝121log 3，c ＝31log 2，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >b >cD ．b >a >c8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 39．(2018届吉林松原模拟)已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →等于( )。
2019年高考理数通用版——阶段滚动检测(1-8单元)
2 e－2 即实数 a 的最大值为 . e－1 1 12．已知函数 g(x)＝a－x2 ≤x≤e，e 为自然对数的底数与 h(x)＝2ln x 的图象上存在关 e 于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是( A．[1，e2－2] 1 2 C. e2＋2，e －2 ) 1 B. 1，e2＋2 D．[e2－2，＋∞)
图中阴影部分即为所求图形面积． 1 2 1 2x2－ x4 ＝8－ ×24＝4，故选 D. S 阴＝2(4x－x3)dx＝ 4 4 0
0
π 1 2π 5．若 cos 6－α＝4，则 cos 3 ＋2α的值为( 7 A. 8 7 C. 16 7 B．－ 8 D．－ 7 16
)
π π 1 解析：选 A 因为 sin 3＋α＝cos6－α＝4， 2π π 7 2 所以 cos 3 ＋2α＝1－2sin 3＋α＝8. 6．(2018· 重庆模拟)若直线 y＝ax 是曲线 y＝2ln x＋1 的一条切线，则实数 a＝( A．e
− 1 2
x3＋x2 aln x 1 垂直，则 · ＝－1，即(x＋1)ln x＝ 在[ e，＋∞)上恒成立． x a －x 设 h(x)＝(x＋1)ln x，则 h′(x)＝ln x＋ x＋1 >0 恒成立， x
即函数 h(x)＝(x＋1)ln x 在[ e，＋∞)上是增函数， 所以 h(x)≥h( e)＝ e＋1 e＋1 2 e－2 1 ，即a≥ ，所以 0<a≤ ， 2 2 e－1
7．函数 f(x)＝
x 的图象可能是( x2＋a
)
A．①③ C．②③④ 解析：选 C 因为 f(－x)＝
B．①②④ D．①②③④ －x x ＝－f(x)，所以函数 f(x)＝ 2 是奇函数，图象关于原 x2＋a x ＋a
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一、选择题
1．(2018·福建福州八中质量检测)直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x －ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.12 B.12或0 C ．0
D ．－2或0
2．(2018·黑龙江哈六中上学期期末)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．(2018·金华诊断)若P 、Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910
D.295
4．(2018·吉林实验中学第三次模拟)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，
B ，
C 所对边的边长，则直线sin A ·x －ay －c ＝0与直线bx ＋sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合
C ．垂直
D ．相交但不垂直
5．已知直线l 1，l 2的方程分别为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，且l 1与l 2只有一个公共点，则( ) A ．A 1B 1－A 2B 2≠0 B ．A 1B 2－A 2B 1≠0 C.A 1A 2≠B 1B 2
D.A 1B 1≠A 2B 2
6．不论a 为何实数，直线(a ＋1)x ＋(2－a )y ＋3＝0 恒过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
7．直线x ＋a 2y ＋6＝0和(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0无公共点，则a 的值为( ) A ．3或－1 B ．0或3 C ．0或－1
D ．－1或0或3
8．(2018·武汉调研)已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )·(Ax 2＋By 2＋C )＞0，且 |Ax 1＋By 1＋C |＜|Ax 2＋By 2＋C |，则直线l ( ) A ．与直线P 1P 2不相交 B ．与线段P 2P 1的延长线相交 C ．与线段P 1P 2的延长线相交 D ．与线段P 1P 2相交
二、填空题
9．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．
10．(2018·苏北四市一模)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________． 11．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝－1
2，若直线x ＋y －3a n ＝0和直线2x －y ＋2a n －1＝0的交点M 在第四象限，则a n ＝________. 12．已知有n 条平行直线：l 1：x －y ＋C 1＝0，l 2：x －y ＋C 2＝0，…，l n ：x －y ＋C n ＝0(其中C 1＜C 2＜…＜C n )，若C 1＝2，每相邻两条直线间的距离都为1，则第10条直线l 10与两坐标轴围成的三角形的面积为________．
答案解析
1．A [当a ＝0时，两直线重合， 当a ≠0时，由－12a ＝a －1a ，得a ＝1
2.] 2．A [当a ＝－1时，直线l 1的斜率为1
3， 直线l 2的斜率为－3，
它们的斜率之积等于－1，故有l 1⊥l 2， 故充分性成立．
当l 1⊥l 2时，有(a －2)＋(a －2)a ＝0成立， 即(a －2)(a ＋1)＝0， 解得a ＝－1或a ＝2， 故必要性不成立．] 3．C [因为36＝48≠－12
5，
所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即 |－24－5|62＋82＝29
10，
所以|PQ |的最小值为29
10.] 4．C [因为b sin A －a sin B ＝0， 所以两条直线垂直．]
5．B [∵l 1与l 2只有一个公共点， ∴当斜率存在时，A 1B 2－A 2B 1≠0，
当B 1，B 2中有一个为0时，上式也成立．] 6．C [(a ＋1)x ＋(2－a )y ＋3＝0， 可整理为a (x －y )＋(x ＋2y ＋3)＝0，
则⎩⎨
⎧
x －y ＝0，x ＋2y ＋3＝0，
解得⎩⎨
⎧
x ＝－1，y ＝－1，
即原直线恒过定点(－1，－1)， 故原直线恒过第三象限．]
7．C [两直线无公共点，即两直线平行．
当a ＝0时，这两条直线分别为x ＋6＝0和x ＝0，无公共点； 当a ≠0时，由－1
a 2＝－a －23a ，解得a ＝－1或a ＝3.
若a ＝3，这两条直线分别为x ＋9y ＋6＝0，x ＋9y ＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；
若a ＝－1，这两条直线分别为x ＋y ＋6＝0和3x ＋3y ＋2＝0，两直线平行，无公共点． 综上，a ＝0或a ＝－1.]
8．B [由(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，
得点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧，
由|Ax 1＋By 1＋C |＜|Ax 2＋By 2＋C |， 得d 1＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2＜d 2＝|Ax 2＋By 2＋C |
A 2＋B
2，
即点P 1(x 1，y 1)到直线l 的距离小于点P 2(x 2，y 2)到直线l 的距离， 所以数形结合易得，直线l 与线段P 2P 1的延长线相交．] 9．－13或－7
9
解析 由题意及点到直线的距离公式得 |－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|
a 2＋1， 解得a ＝－13或－79. 10．25
解析 由两直线互相平行可得a (b －3)＝2b ， 即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3
b ＝1， 又 a ，b 为正数，
所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(2a ＋3
b ) ＝13＋6a b ＋6b
a ≥13＋2
6a b ·6b
a ＝25，
当且仅当a ＝b ＝5时等号成立， 故2a ＋3b 的最小值为25.
11．0或－1
2 解析
联立方程⎩⎨
⎧
x ＋y －3a n ＝0，
2x －y ＋2a n －1＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝a n
＋13，y ＝8a n
－13，
即两直线交点为M (a n ＋13，8a n －13)， 由于交点在第四象限， 故⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＋13＞0，8a n
－13＜0，
解得－1＜a n ＜18，
由于a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－n 2＋3
2， 所以－1＜－n 2＋32＜1
8， 即11
4＜n ＜5，
所以n ＝3,4，则a 3＝0，a 4＝－1
2. 12．100
解析 由已知，直线l 10与l 1的距离为9， ∴|C 1－C 10|2
＝9，
解得C 10＝102，所以直线l 10：x －y ＋102＝0， 则直线l 10与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， 腰长为102，
故围成的三角形的面积为S ＝1
2×(102)2＝100.。