数学分析期末考试模拟卷卷A

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2019-2020第一学期数学分析期末考试试题

2019-2020本科数学系期末考试试题数学分析（一）（A 卷）本试卷共4道大题，满分100分．一、选择题（本大题10分，每小题2分）1. 设数列{}n x 单调增，{}n y 单调减，且0lim =−∞→n n n x y ，则（ A ）（A ）{}n x 、{}n y 均收敛（B ）{}n x 收敛，{}n y 发散（C ）{}n x 发散，{}n y 收敛（D ）{}n x 、{}n y 均发散2. 设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在1=x 处连续，则0)1(=ϕ是)(x f 在1=x 处可导的( A )（A ）充分必要条件（B ）必要但非充分条件（C ）充分但非必要条件（D ）既非充分也非必要条件 3. 设0()0f x '=是)(x f 在0x 取得极值的（ D ）（A ）充分条件；（B ）必要条件；（C ）充要条件；（D ）既非充分条件也非必要条件.4. 设()353−=x y ，下述结论正确的是（ A ）（A ）()0,3是曲线)(x f y =的拐点；（B ）3=x 是)(x f 的极值点；（C ）因为)3(f ''不存在，所以()0,3不是曲线)(x f y =的拐点；（D ）当3<x 时，曲线)(x f y =为凹的，当3>x 时，曲线)(x f y =为凸的.5. 设xe e xf xx1arctan 11)(11+−=，则0=x 是)(x f 的（ C ）（A ）连续点（B ）第一类（非可去）间断点（C ）可去间断点（D ）第二类间断点6. 设)(x f y =且21)(0='x f ，则当0>∆x 时，在0x 处dy 是（ B ） (A) 与x ∆等价的无穷 (B) 与x ∆同阶但不等价的无穷小； (C) 比x ∆高阶的无穷 (D) 比x ∆低阶的无穷小二、填空题（本大题10分，每小题2分）1. 若)(0x f '存在，则=−−→000)()(limx x x f x x xf x x 000()()f x x f x '−．2. 曲线21xy xe =的渐近线方程是 0x =．3. 设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttcos 2sin ，则曲线上点(0,1)M 处的法线方程是12=+y x ．4. 设x x x f 2sin )(2=，则)2()20(πf = 19202π⋅ ．三、计算题（本大题35分，每小题5分）1.（5分）求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x −−→答案与评阅要点：由于 0→x 时，2~cos 12x x − ，22~sin x x ，x e x ~1−所以 21)(2lim sin )1()cos 1(lim 22020−=⋅−⋅=−−→→x x x x x e x x x x x2.（5分）求极限()tan 2lim sin xx x π→；答案与评阅要点：令()tan sin xy x =,ln tan ln sin y x x =.22221cos ln sin sin lim ln lim lim cot csc x x x xx x y x x πππ→→→⋅==−2lim sin cos 0x x x π→=−⋅=，所以原式=01e =. 3.（5分）求极限30sin (1)lim x x e x x x x→−+ 答案与评阅要点：2331()2!3!xx x e x o x =++++，33sin ()3!x x x o x =−+3333001()sin (1)16lim lim 6xx x x o x e x x x x x →→+−+== 4.（5分）计算不定积分33tan sec x xdx ⎰答案与评阅要点：⎰xdx x 33sec tan ⎰=x xd x sec sec tan 22⎰−=x xd x sec sec )1(sec 22.sec 31sec 5135C x x +−=5.（5分）计算不定积分⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos答案与评阅要点：⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos ⎰++=5cos sin )cos (sin x x x x d .)cos (sin 4554C x x ++=6.（5分）计算不定积分⎰−dxxx 224答案与评阅要点：设2sin ()22x t t ππ=−<<，则2cos .dx tdt =⎰−dx xx 224⎰=tdt t tcos 2cos 2sin 42dt t ⎰−=)2cos 1(2C t t +−=2sin 2 .4212arcsin22C x x x +−−=7.（5分）计算不定积分⎰xdx x ln 3答案与评阅要点：⎰xdxx ln 3⎰=)4(ln 4x xd ⎰−=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +−=四、证明题（本大题45分）1.(10分)设函数()f x 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='b f a f ．证明存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ．答案与评阅要点：因为2()()()()()()2222a b a b f a bf f a f a a a ξ''+++'=+−+−1()2a b a ξ+<< 2()()()()()()2222a b a b f a bf f b f b b b ξ''+++'=+−+−2()2a b b ξ+<<（5分）两式相减，因为0)()(='='b f a f ，得2211()()[()()]()08f b f a f f b a ξξ''''−+−−=，记12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=，则2222112111()()()()()(()())()()()884f b f a f f b a f f b a f b a ξξξξξ''''''''''−=−−≤+−≤−即)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ，证明完毕．（5分）2.(10分)证明数列{}n x 收敛，其中11x =，113()2n n nx x x +=+，1,2,n =，并求lim n n x →∞．答案与评阅要点：1131()22n n n x x x +=+≥=，21313()022n n n n n n nx x x x x x x +−−=+−=≤，故有1n n x x +≤（5分）故{}n x 单调减有下界，从而lim n n x →∞存在设lim n n x A →∞=，在113()2n n nx x x +=+两边取极限得13()2A A A =+，从而A =5分）3.（15分）设函数()f x 定义在区间(,)a b 上：（1）（5分）用εδ−方法叙述()f x 在(,)a b 上一致连续的概念；（2）（5分）设01a <<，证明1()sin f x x=在(,1)a 上一致连续；（3）（5分）证明1()sinf x x=在(0,1)上非一致连续．答案与评阅要点：（1）对0ε∀>，0δ∃>，对12,(,)x x a b ∀∈，只要12x x δ−<，就有12()()f x f x ε−<（5分）（2）对0ε∀>，取2a δε=，12,(,1)x x a ∀∈，只要12x x δ−<，12121212111111()()sinsin 2cos sin 22x x x x f x f x x x +−−=−= 121222121211x x x x x x x x a a δε−−≤−=<<=故1()sinf x x=在(,1)a 上一致连续．（5分）（1）在(0,1)内取2n x n π=，2(1)n x n π'=+，取012ε=，对0δ∀>，只要n 充分大总有2(1)n n x x n n δπ'−=<+，而1201()()sin sin 122n n f x f x ππε+−=−=>，故1()sinf x x=在(0,1)非一致连续．（5分） 4.（10分）(1)（5分）叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并应用它lim sin x x →+∞不存在． (2)（5分）叙述极限lim ()x f x →+∞存在的柯西收敛准则;并证明lim sin x x →+∞不存在.证明：(1)设()f x 在[,)a +∞有定义．lim ()x f x →+∞存在的充分必要条件是：对任意含于[,)a +∞,当lim n n x →∞=+∞时当lim n n x →∞=+∞时且趋于+∞的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞存在且相等．取2,2,2n n x n x n πππ'''==+则lim lim 2,n n n x n π→∞→∞'==+∞lim lim(2),2n n n x n ππ→∞→∞''=+=+∞但lim ()lim sin(2)0,n n n f x n π→∞→∞'==lim ()limsin(2)1,2n n n f x n ππ→∞→∞''=+=lim ()lim (),n n n n f x f x →∞→∞'''≠故lim ()x f x →+∞不存在．（5分）(2)设函数()f x 在[,)a +∞有定义,则极限lim ()x f x →+∞存在的充要条件是:对于任何0,ε>存在正数0(),M M a >>当12,x x M >时有12|()()|.f x f x ε−<对于012ε=及任意正整数M,取122,2,2x M x M πππ=+=则有1,x M >2,x M >且有1201|()()|sin 2sin 21,22f x f x M M πππε⎛⎫−=+−=>= ⎪⎝⎭所以lim sin x x →+∞不存在.（5分）试题来源：微信公众号学术之星。

《高等数学》2019-2020第一学期期末试卷A卷

天津大学试卷专用纸
重修生的任课教师姓名
学院
专业(大类)
班年级
学号
姓名
共 3页第1页
2019～2020 学年第一学期期末考试试卷《工科数学分析 A》(A 卷)（共 3 页）
（考试时间：2020 年 1 月 6 日, 14:00-16:00）
题号一二三四五六成绩核分人签字
得分
(1) an 必有收敛子列; (2) 若an 单调, 则an 必收敛;
(3) anbn 必收敛;
(4) 若bn 有一个收敛子列, 则bn 必收敛.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
5. 设 M
π
2 π
2
1 x 2 1 x2 dx ,
N
π
2 π
2
1 ex
x
dx
,
K
π
2 π
1
2
cos x dx , 则 (
).
(A) K N M (B) K M N (C) M K N (D) M N K
三、计算题（共 15 分，每小题 5 分）
x arctan x2 dx
1. 求极限 lim 0
.
x
x2 1
2. 求不定积分 1 dx .
ex 1
3. 求函数 f (x) x3 cos x 的带 Peano 余项的 2n 1 阶麦克劳林公式.
4. 设两个实数列an 有界, bn 单调, 下列四个结论中, 正确的个数是 (
1
(C)
dx
2 x ln x
(D)
21 dx
2 x2
3. 设函数 f (x) 可导, 且 f (x) 0,

数学分析第二学期期末考试题及答案

数学分析第二学期考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4分，共32分）1、函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ b ） A 、连续 B 、有界 C 、无间断点 D 、有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ b ） A 、⎰⎰=-a aa dx x f dx x f 0)(2)( B 、0)(=⎰-aa dx x fC 、⎰⎰-=-aaadx x f dx x f 0)(2)( D 、)(2)(a f dx x f aa=⎰-3、下列广义积分中，收敛的积分是（ a ） A 、⎰11dx xB 、 ⎰∞+11dx xC 、 ⎰+∞sin xdx D 、⎰-1131dx x 4、级数∑∞=1n na收敛是∑∞=1n na部分和有界且0lim =∞→n n a 的（ c ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充分必要条件D 、无关条件 5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ） A 、10arcsin xdx ⎰B 、11ln eedx x x ⎰ C 、1-⎰D 、10sin x dx x ⎰ 6、下面结论错误的是（ b ）A 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界；B 、若)(x f 在),(b a 内连续，则 )(dx x f ba ⎰存在；C 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必可积；D 、若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积。

7、下列命题正确的是（ d ）A 、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B 、)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C 、若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛D 、)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为（ c ） A 、xe B 、x sin C 、)1ln(x + D 、x cos二、计算题：（每小题7分，共28分）9、⎰=914)(dx x f ，求⎰+22)12(dx x xf 。

06数分B第一学期期末试题(A)解答

数学分析期末试题(A)参考解答 (2007.1)一. 1. =-+∞→x x a x a x )(lim ax axa a x x ax a -⋅-∞→-+22)21(lim ….…………………….(2分) a x axx e-∞→=2lim92==a e , ………………………..(5分)9ln 2=a , 3ln =a . ………………………..(6分) 2. 3π=t 时, 2ln -=x , 623π-=y , …………………………(1分)t t tt tt t t dxdy cos cos sin sin cos cos -=-+-=, …......…………………(4分)63ππ-==t dxdy , …………………………(5分)切线方程 )2ln (6623+-=+-x y ππ. …………………………(6分) 3. )ln 11(lim 1x x x x --→xx x x x x ln )1(1ln lim 1-+-=→ ………….….………….(2分)x x x x x 1ln ln lim1-+=→21111lim 21=+=→xx xx . …………….………….(6分)4. 解1 令x t arcsin =, 原式⎰=60sin 2πtdt t ………………………...(2分)⎰-=60cos 2πt td )cos cos (26060⎰--=ππtdt tt …………………..(5分)πππ631)sin 236(260-=--=t …………………………(6分)解2 原式⎰-=2121arcsin 2dx x x x ⎰--=21021arcsin 2x xd ………………(2分))1(a r c s i n 22102102⎰--⋅-=dx xx …………………………(5分)ππ631)236(2210-=--=x . ………………………….(6分)二. 1. y e x xe y y y '+='22, …………………………….(2分) 令0='y , 得0=x , ……………………………..(3分)代入已知方程得 1=y , ……………………………...(4分)y e x y e x y xe y xe e y y y y y y ''+'+'+'+=''222)(222, ………………..(2分) 020>=''=e y x , 故10==x y 是极小值. ……….…………….…(7分)2.⎰⎰=)(arctan 21arctan 2x xd xdx x …………………………(1分) )1a r c t a n (21222⎰+-=dx x x xx ……...……………………(4分) ))111(a r c t a n (2122⎰+--=dx x x x …………………….……(6分) C x x x x ++-=)a r c t a na r c t a n (212. …………………....….…..(7分)3. x e y y x -=-312 与 x e y y x +-=-13 ………..………………(2分) 通解为 221x x C e C y x -+=. …………..……………(7分)4.由于 ∃-=→→2002lim)(lim x ae xf x x x , 得1=a , ……………………….(1分) 故 11limlim2222=-=-→→xexaex x x x ,所以 1=b , …………………………(2分)当0≠x , )1()(22'-='xe xf x422)1(222x x e x xe x x ⋅--=3222222x e e x x x +-=, …………………(5分) x x e f x x 11lim )0(202--='→3201lim2x x e x x --=→ 20322lim 2xx xe x x -=→0322l i m 20=-=→x e x x . ……………………...(7分)三. )1)(2(1224121223+-=--='x x x x x x y , ……………….…..(2分) 当)3,0(∈x , 令0='y , 得 2=x , …………………..(3分) 函数在)2,0(与)3,2(内单调, ……………………(4分)又010)0(>=y , 022)2(<-=y , 037)3(>=y …………...……….(6分) 函数在)2,0(与)3,2(内各有一个零点, 故在)3,0(内有两个零点…..…….(7分) 四. )(2)()(x f e x g x f x -='='',x e x f x f 2)()(=+'', ………………………….(1分) 0)0(=f , 2)0()0(=='g f , …………………………..(2分) 012=+r , i r ±=,x C x C x f sin cos )(21+=, …………………………..(4分) 设x Ae x f =)(*, 代入方程得1=A , x e x f =)(*,…………………….(6分) 通解 x e x C x C x f ++=s i n c o s )(21, ………………………..…(7分) 由初始条件得 11-=C , 12=C ,x e x x x f ++-=sin cos )(. …………...……………….(8分)五.令 ⎰⎰+=x x dt t dt t x F 22cos 0sin 0arccos arcsin)(,x x x x x x x F s i n c o s )2(c o s a r c c o s c o s s i n 2si n a r c s i n )(-⋅+⋅=' 0sin cos 2cos sin 2=-=x x x x x x , …………………….(3分) 故 C x F =)(, ……………………..(4分) 又 ⎰=10a r c c o s )0(dt t F (令)arccos u t =….……………...(5分)⎰-=202c o s πu uddu u u u ⎰+-=20222cos cos ππ4π=,4π=∴C . …………………….(7分)六.)]1()([)(22212f t f t dx x f t -=⎰ππ, ………………..………..(3分)对t 求导得 )()(2)(2)(222t f t f t t tf t f '+=, …………………………(5分) )(221)(2t f t t t f -=', dt t tt f t df )121()()(2-=, ………………………..(8分) 1ln 21)(ln C t tt f +--=, x x xe xC Cex f 21ln 21)(---==. ………………..………..(10分) 七. 设t 时刻含盐量为)(t m 克, 则 dt mdt dm 510054⋅-⨯=, ………………………….(3分) ⎪⎩⎪⎨⎧==+0)0(2020m m dt dm , …………………………..(4分)通解为 400)(20+=-tCet m , …………………………….(7分)由初始条件得 400-=C , )1(400)(20t et m --=∴. …………………………….(8分)八. (1) 由于3sin ))(1ln(lim 0=++→xx x f x , 所以0)(lim 0=+→x x f x , ……………………(1分) 故 0)0(=f , 0)0()(lim)0(0=-='+→xf x f f x ; …………………….(3分) (2) 令 x e x f x F )()('=, ………..…………...(4分) 根据积分中值定理, ]2,1[∈∃c , 使0)()(21==⎰dx x f c f , …..………………….(5分)由洛尔定理, ),0(1c c ∈∃, 使0)(1='c f , …………..………….(6分) )()0(1c F F =∴,由洛尔定理, )2,0(),0(1⊂∈∃c ξ, 使0)(='ξF ,即 0)()(='+''ξξξξe f e f ,0)()(=''+'ξξf f . ………………..……..(8分)。

数分卷(A试点班3)(解答)

L BA
(e (e
x
sin y my )dx e
x
cos ydy =
(e
BA
x
sin y my ) dx e
x
cos ydy
=
x
sin y my )dx e
x
L BA
cos ydy = mdxdy
D

8
a
2
其中 D { x
2
y
2
ax , y 0 }
解：（1）因为
e
px
cos yx e

px
，而 e
0
px
dx
1 p
收敛
由 M—判别法得

0
e
px
cos yx dx 在 y ( , ) 上的一致收敛性。

（2）由于 I
Байду номын сангаас

0
e
px
sin bx sin ax x
b px
dx
得分
评阅人
四、证明与计算题（共 2 小题，共 15 分）
(1)、设 f ( x , y ) 在有界闭区域 D R 上连续，证明：存在 ( x 0 , y 0 ) D ，使得
2
f
D
( x , y )dxdy
f ( x 0 , y 0 ) S ，其中 S 为 D 的面积。
1
(2)、利用(1)计算 lim
解：令u x y ,v x y ，则 D 的对应区域为 { 0 v 1 , v u v } ，
x 1 2 (u v ) , y 1 2 (v u ) ，且

数学分析期末考试试题

数学分析期末考试试题一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、牛顿-莱不尼兹公式2、 ∑∞=1n n a收敛的cauchy 收敛原理3、全微分二、计算题：（每小题8分，共32分）1、40202sin lim x dtt x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。

3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和 4、已知z y x u = ，求yx u ∂∂∂2 三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数∑∞=1!n n n n 2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。

，参考答案一、1、设)(x f 在],[b a 连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立)()()(a F b F dx x f ba -=⎰2、,0.0>∃>∀N ε使得N n m >>∀，成立ε<+++++m n n a a a 213、设2R D ⊂为开集，D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ∆∆,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称y B x A ∆+∆为在点),(000y x P 处的全微分二、1、分子和分母同时求导316sin 2lim sin lim 54060202==→→⎰x x x x dt t x x x （8分） 2、、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：31)(102=-⎰dx x x （3分）所求的体积为：103)(105ππ=-⎰dx x x （3分） 3、解：设∑∞=+=1)1()(n n n n x x f ，1)1(1)2)(1(1lim =+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分）),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0'<<--+==⎰x x x x dt t f x f x (3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分） 4、解： yu ∂∂=z x x z y ln （3分）=∂∂∂y x u 2zx x x x z y z y 1ln 1+-(5分）三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）11)111(lim !)1()!1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n nn n （4分）由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解：⎰⎰⎰+∞----+∞--+=1110101dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分），对⎰--101dx e x x p ，由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时⎰--101dx e x x p 收敛（4分）；⎰+∞--11dx e x x p ，由于)(012+∞→→--x e x x x p （4分）故对一切的p ⎰+∞--11dx e x x p 收敛，综上所述p >0，积分收敛3、解：221)(n x x S n +=收敛于x （4分）0)(sup lim ),(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致收敛性（6分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：11123221213423-=-->=-n n n x x x x x x x x n n n )2(,112>->n x n x n （6分） ∑∞=-211n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分）2、证明：||||022xy y x xy≤+≤（4分）22)0,0(),(lim y x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又00lim 0=∆→∆xx ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，（4分）但22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）。

数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新)

数列极限类 1. 证明: 112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 证因为11211122222+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤+n n n n n n n n n又11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ,由迫敛原理得112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 2. 设() ,2,121,1111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>=+n a a a a a a n n n ,证明{}n a 有极限,并求此极限的值. 证由均值不等式得a a a a a a a a n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2212111,即{}n a 有下界. 又0212121=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ,即{}n a 单调减,于是A a n n =∞→lim 存在,且由极限的保号性可得1≥A .对已知递推公式,令∞→n 和极限的唯一性得⎪⎭⎫⎝⎛+=A a A A 21, 解得a A =(负根舍去),即有a a n n =∞→lim .单调性的证明也可如下完成:11211212221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a a ,或n n n n n a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+2121. 3. 设() ,2,16,1011=+==+n x x x n n ,试证数列{}n x 存在极限,并求此极限.证由4166,10121==+==x x x 知, 21x x >.假设1+>k k x x ,则21166+++=+>+=k k k k x x x x ,由归纳法知{}n x 为单调下降数列.又显然有0>n x ,所以{}n x 有下界.由单调有界原理知,数列{}n x 收敛.所以可令a x n n =∞→lim ,对n n x x +=+61两边取极限得0662=--⇒+=a a a a ,解得3=a 或2-=a (舍去),故3lim =∞→n n x .4. 设+N ∈∃N ,当N n >时,有n n b A a ≤≤且()0lim =-∞→n n n a b .求证极限n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在且等于A .证由n n b A a ≤≤得n n n a b a A -≤-≤0,由迫敛原理得A a n n =∞→lim ,再由()0lim =-∞→n n n a b 及A a n n =∞→lim 可得n n b ∞→lim 存在且等于A .5. 设()n n n n n n y x y y x x b y a x +==>=>=++21,,0,01111.求证: (1) {}n x 与{}n y 均有极限; (2) n n n n y x ∞→∞→=lim lim .证因为()1121++=+≤=n n n n n n y y x y x x ,所以()()n n n n n n y y y y x y =+≤+=+21211,即{}n y 单调减少有下界,而n n n n n n n x x x y x x y y =≥=≥≥++111,即{}n x 单调增加有上界.所以{}n x 与{}n y 都收敛.在()121+=+n n n y y x 两边取极限得n n n n y x ∞→∞→=lim lim .6. 设0>n a ,且1lim1<=+∞→q a a nn n ,求证{}n a 收敛且0lim =∞→n n a .证因为1lim1<=+∞→q a a nn n ,对给定的+N ∈∃>-=00,021N qε,当0N n >时,有()n n n n n n a a r r q q q a a q q q q a a <⇒<=+=-+<<--⇒-<-+++111121212121, 所以,当0N n >时,有112210a r a r ra a n n n n ---<<<<< ,由迫敛原理得0lim =∞→n n a .闭区间上连续函数的性质7. 证明方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根. 证令()1sin ++=x x x f ,则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,且22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,222ππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,即022<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f .由根的存在性定理得至少存在一点∈ξ⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ,使得()0=ξf ,即方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根.8. 证明方程12=⋅xx 至少有一个小于1的正根.(10分)证令()12-=xx x f ,则f 在[]1,0上连续且()()()011110<-=⋅-=⋅f f ,由闭区间上连续函数的零点存在定理,()1,0∈∃ξ，使得()12012=⋅⇒=-⋅=ξξξξξf .9. 设函数f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x .若f 在[)+∞,0上能取到负值,试证明:(1) [)+∞∈∃,00x ,使得()00=x f ; (2) f 在[)+∞,0上有负的最小值.证由条件可设[)+∞∈',0x 且()0<'x f ,由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得()021>>M f ,由根的存在性定理,得()[)+∞⊂'∈∃,0,0M x x ,使得()00=x f .(1)得证. (2) 由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得当M x ≥时,有()021>>x f .又f 在[]M .0上连续,故[]M ,0∈∃ξ,使得()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.而当[)+∞∈,M x 时,()021>>x f ,故对[)+∞∈∀,0x 有()≥x f ()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.所以结论成立.10. 设n 为正整数,n a a a 221,,, 为n 2个实常数,且02<n a .求证多项式函数()n n n n n a x a x a x x P 21212122++++=--在()+∞∞-,内至少有两个零点.证因为()0022<=n n a P ,又()()+∞=+∞=+∞→-∞→x P x P n x n x 22lim ,lim ,所以存在0>M ,使得()()0,022>>-M P M P n n ,又n P 2在[]0,M -和[]M ,0上都连续,由根的存在性定理,()0,1M -∈∃ξ和()M ,02∈∃ξ,使得()()02212==ξξn n P P ,所以,结论成立.11. 设()xt x x t x t x f sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛=,求()x f 的表达式,并指明()x f 的间断点及其类型.解: ()xx xx x t x x t xt xx t ex x t x t x f sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim sin sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛=-→-→,所以0=x 为第一类可去间断点;() ,2,1±±==k k x π为第二类无穷间断点.12. 设()x f 在[]b a ,上连续,且满足()b x f a <<,求证:()b a x ,0∈∃,使得()00x x f =.证明:令()()x x f x F -=,则()x F 在[]b a ,上连续,()()()()()()0<-⋅-=⋅b b f a a f b F a F .由连续函数的零点定理,必存在()b a x ,0∈∃,使得()00=x F ,故()b a x ,0∈∃使得()00x x f =.13. 设()x f 是[]a 2,0上的连续函数,且满足条件()()a f f 20=.证明存在[]a x ,00∈,使得()()a x f x f +=00.证明: 令()()()a x f x f x F +-=,则()x F 在[]a ,0上连续,且()()()a f f F -=00,()()()()()()()02002=-=+⇒-=a f f a F F a f a f a F .若()()00==a F F ,则存在00=x 或a x =0使得()()a x f x f +=00.若()0F 与()a F 都不为零,则()()00<⋅a F F由连续函数的零点定理,必存在()a x ，00∈∃,使得()00=x F ,故()a x ,00∈∃使得()()a x f x f +=00.(注:两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号).14. 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x ,若存在()+∞∈,00x ,使得()00<x f ,求证:(1) ()+∞∈∃,0ξ使得()0=ξf ; (2) ()x f 在[)+∞,0上有负的最小值.证明: (1) 因为()1lim =+∞→x f x ,由函数的局部保不等式性,存在充分大的0>M (不妨设0x M >),使得M x >时,有()21>x f ,所以当M x >1时,()x f 在[]10,x x 上连续且()()010<⋅x f x f ,由连续函数的零点存在定理,存在[]()+∞⊂∈∃,0,10x x ξ使得()0=ξf .(2) 又()x f 在[]0,0x 上连续,故由最值定理,存在[]1,0x ∈η,使当[]1,0x x ∈时,()()ηf x f ≥,而()()00<≤x f f η,且[)+∞∈,1x x 时,()()ηf x f >>>021.所以()x f 在[)+∞,0上有负的最小值()ηf .15. 设()nx a x a x a x f n sin 2sin sin 21+++= ,若()x x f sin ≤,求证1221≤+++n na a a .证法1（用导数定义）因为 ()()n n na a a f nx na x a x a x f +++='⇒+++=' 212120cos 2cos 2cos . 又()()0000sin 0=⇒=≤f f ,所以()()()()1sin lim lim 00lim0000=≤=--='→→→xx x x f x f x f f x x x ,所以1221≤+++n na a a .证法2（用重要极限1）()1sin lim sin lim 2sin lim sin lim lim 0002010=≤+++=→→→→→xx x nxa x x a x x a x x f x x n x x x 所以1sin lim 2021=≤+++→xx na a a x n .导数与微分证明16. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 3x x xx x f 证明: ()x f 在0=x 处可微; ()x f '在0=x 处不可微证因为()()()01sin lim 00lim0200==--='→→xx x f x f f x x ,所以函数()x f 在处可导,由可导与可微的关系知()x f 在0=x 处可微;又当0≠x 时, ()xx x x x f 1cos 1sin32-=', 而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'-'→→x x x x f x f x x 1cos 1sin 3lim 00lim00极限不存在,故()x f '在0=x 处不可导, 由可导与可微的关系知()x f '在0=x 处不可微; 17. 设()0x f ''存在,证明: ()()()()0200002limx f hx f h x f h x f h ''=--++→ 证:()()()()()()()()()()()[]()0000000000020000)21lim 212lim 2limx f x f x f h x f h x f h x f h x f h h x f h x f h x f h x f h x f h h h ''=''+''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--'+'-+'=-'-+'=--++→→→ 18. 设()x f 为()+∞∞-,内的可导函数,周期为T .求证:()x f '也是以T 为周期的函数.证明:因为()()()()x f T x f x f T x f '=+'⇒=+,所以()x f '也是以T 为周期的函数. 中值定理的应用 19. 设01210=++++n a a a n ,证明多项式()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.证作辅助函数()12101121+++++=n n x a n x a x a x F ,则()x F 在闭区间[]1,0满足罗尔中值定理的三个条件,故存在()1,0∈ξ使得()010=+++='n n a a a F ξξξ ,故()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.20. 设g f ,都是可导函数,且()()x g x f '<',证明当a x >时,()()()()a g x g a f x f -<-证因为()()⇒'<'≤x g x f 0()x g 严格单调增.当a x >时, ()()a g x g >. 又由柯西中值定理得,存在()x a ,∈ξ使得()()()()()()()()()()()()()()()()a g x g a f x f g f a g x g a f x f g f a g x g a f x f -<-⇒<''=--⇒''=--1ξξξξ.21. 对任意的[)+∞∈,0x ,有()x x ≤+1ln ,且等号只在0=x 时成立.证明: 令()()(),001ln =⇒-+=f x x x f 存在()x ,0∈ξ,使得()()x f x f ξ'=,而()()001<⇒<+-='x f f ξξξ,当且仅当0=x 时()00=f ,所以结论成立.22. 设()x f 在[]a ,0上连续,在()a ,0内可导,且满足()()00==a f f ,求证:存在()a ,0∈ξ,使得()()02='+ξξξf f .提示:令()()x f x x F 2=,用罗尔中值定理可证.23. 设函数f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,连结点()()a f a A ,与点()()()b f b B ,的直线交曲线()x f y =于点()()c f c M ,,其中b c a <<.证明:存在()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf .证因为B M A ,,三点共线,所以()()()()()()cb c f b f a c a f c f a b a f b f --=--=--. 在[]c a ,及[]b c ,上分别应用中值定理得: 存在()c a ,1∈η,使()()()a c a f c f f --='1η;存在()b c ,2∈η,使()()()cb c f b f f --='2η,即()()21ηηf f '='.由于f 二阶可导,故函数f '在区间[]21,ηη上满足罗尔中值定理的条件,故()()b a ,,21⊂∈∃ηηξ,使得()0=''ξf .24. 设10<<<b a ,证明不等式:abab a b 2arctan arctan -<-. 提示:在[]b a ,上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!25. 设b a <<0,证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+.26. 设()1,0∈x ,证明不等式()x x x x 2arctan 1ln <++<. 证将要证的不等式变形为()2arctan 1ln 1<++<xxx ,令()()x x x f arctan 1ln ++=,则()()()x f x f ,1,0,00∈∀=在[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件,于是()(),01,0⊂∈∃x ξ使得()211110arctan 1ln ξξ+++=-++x x x , 又由x +11与211x +在[]1,0上的连续性与单调性可得11121,111212<+<<+<ξξ,所以 ()2arctan 1ln 1<++<xxx ,故要证的不等式成立.27. 已知()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数,且()()()00,00,00≠''≠'≠f f f ,证明:存在唯一的一组实数321,,λλλ,使当0→h 时,()()()()032321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小量.证法1 （洛比达法则）()()()()()()()()()()()()0942123924lim 23322lim032lim3213210321023210f h f h f h f h h f h f h f h f h f h f h f h h h ''++=''+''+'''+'+'=-++→→→λλλλλλλλλλλλ令()()009421321=''++f λλλ,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0940321321321321λλλλλλλλλ (2) 因为0941321111≠,故(2)有唯一非零解.故结论成立.28. 设函数f 在),(+∞a 内可导,且()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在.证明()0lim ='+∞→x f x .证当a x >时,由条件知,函数f 在区间[]1,+x x 上连续可导,故()1,+∈∃x x ξ,使得()()()ξf x f x f '=-+1.因为()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在,所以()x f x '+∞→lim =()()()[]()()0lim 1lim 1lim lim =-+=-+='+∞→+∞→+∞→+∞→x f x f x f x f f x x x ξξ.29. 证明;当2021π<<<x x 时,1212tan tan x x x x >证令()x x x f tan =,则 ()xx xx x xx x x f 2222cos 2sin 21tan sec -=-='. 令()()⎪⎭⎫⎝⎛∈>-='⇒-=2,0,02cos 12sin 21πx x x g x x x g ,所以()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内单调增,则当0>x 时, ()()00=>g x g ,从而()0>'x f ,所以()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内单调增, 则当2021π<<<x x 时, ()()1212112212tan tan tan tan x x x x x x x x x f x f >⇒>⇒>.用单调性证明不等式30. 证明;当0>x 时, ()xx x +>+1arctan 1ln证令()()()x x x x f arctan 1ln 1-++=,()()()()2221211;111ln 1x xx x f x x x f +++=''+-++=',当0>x 时,()0>''x f ,所以()x f '在()+∞,0内单调增,故当0>x 时, ()()00='>'f x f 因而得()x f 在()+∞,0内单调增, 故当0>x 时, ()()()xxx f x f +>+⇒=>1arctan 1ln 00. 31. 设e x 31≤≤,证明不等式:()1ln ln 23ln 122≤-≤-x x .32. 设0>x ，证明不等式11≤--xe x。

数学分析期末考试试题

数学分析期末考试试题数学分析期末考试试题数学分析是大学数学中的一门重要课程，它是数学学科的基础，也是后续数学学科的重要支撑。

期末考试是对学生整个学期所学知识的总结和检验，下面我们来看一下一份典型的数学分析期末考试试题。

1. 选择题(1) 设函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值。

A. 2B. 4C. 6D. 8(2) 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 1]上严格单调递增，且f(0) = 1，f(1) = 3，则a, b, c的取值范围是：A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c < 0D. a < 0, b < 0, c < 02. 计算题(1) 求函数f(x) = x^3 - 3x的不定积分。

(2) 求函数f(x) = e^x * sinx的定积分，区间为[0, π]。

3. 证明题证明：对任意正整数n，有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。

解析：这是一个常见的数学归纳法证明题。

首先验证n = 1时等式成立，即1 = 1(1+1)/2。

然后假设当n = k时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2。

接下来证明当n = k+1时等式也成立，即1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) =(k+1)(k+1+1)/2。

通过将左边的等式化简，可以得到左右两边相等，从而证明了当n = k+1时等式成立。

根据数学归纳法原理，可以得出对任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。

4. 应用题某公司的销售额在过去几年中呈指数增长，已知2017年的销售额为100万元，而2020年的销售额为400万元。

湖南科技大学数学分析2A数学信计统计2020期末考卷

审核人:
审核时间:
年月日
一、单项选择题（本大题共 20 分，每小题 4 分）（1）下列说法正确的是（）
（A）若函数 f x 在a,b 上可积，则 f x 在a,b 上连续;
（B）若 f x 在a,b 上可积，则 f x 在a,b 上也可积;
（C）若函数 f x 在a,b 上可积，则 f x 在a,b 上有界;
. .
（3）级数 xn 的收敛域为
.
n1 n
（4）设
f
x
1, 0,
0 x , 的傅里叶级数为 a0
- x 0
2
an cos nx bn sin nx ,
n1
则 an
n1
.
（5）设 z x2 y2 ，则 dz
.
三、计算下面各小题（本大题共 10 分，每小题 5 分）
（1） x sin xdx ； 0
湖南科技大学考试试题纸（ A 卷）
（ 2019 - 2020 学年度第二学期）
课程名称: 数学分析（2）开课单位: 数学与计算科学学院命题教师: 刘灯明
授课对象: 数学与计算科学学院 2019 年级数学 1-4，信计 1-4，统计 1-2 班
考试时量: 100 分钟考核方式: 考试
考试方式: 闭卷
（
）
（A）
fx x0 , y0 ;
（B） 2 fx x0 , y0 ;
（C） 1 2
fx x0 , y0 ;
（D）
fx 2x0 , y0 .
二、填空题（本大题共 20 分，每小题 4 分）
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（1） lim x y sin 1
x, y0,0
x2 y2
（2）点集 x, y x2 y2 1 的边界是

数学分析期末试题A答案doc

数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。

因此，答案为 D。

2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。

A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。

因此，答案为 B。

3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。

4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。

在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。

因此，答案为 C。

高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。

以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。

一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。

数学分析(1)期末模拟考试题(单项选择部分)

单项选择题一、函数 1. 设()⎩⎨⎧>≤=.1,0,1,1x x x f 则()[]{}x f f f 等于( B ).(A) 0; (B) 1; (C) ⎩⎨⎧>≤.1,0,1,1x x ; (D) ⎩⎨⎧>≤.1,1,1,0x x2. 设()⎩⎨⎧>+≤-=.0,2,0,2x x x x x g ()⎩⎨⎧≥-<=.,,0,2x x x x x f 则()[]=x f g ( D ).(A) ⎩⎨⎧≥-<+.0,2,0,22x x x x ; (B) ⎩⎨⎧≥+<-.0,2,0,22x x x x ; (C) ⎩⎨⎧≥-<-.0,2,0,22x x x x ; (D) ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x3. 若f 为连续奇函数,则()x f sin 为( A ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.4. 若f 为连续奇函数,则()x f cos 为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.5. 若()()()x f x f x g --=,则g 为( A ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.6. 若f 为连续偶函数,则()x x f sin -为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.7. 若f 为连续偶函数,g 为非负偶函数,则g f 为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.8. 设()xex x x f cos sin ⋅=,则在()+∞∞-,上()x f 是( D )(A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 偶函数. 8. 设()⎩⎨⎧>+≤=.0,,0,22x x x x x x f 则( D ).(A) ()()⎩⎨⎧>+-≤-=-.0,,0,22x x x x x x f (B) ()⎩⎨⎧>-≤+-=-.0,,0),(22x x x x x x f(C) ()⎩⎨⎧>-≤=-.0,,0,22x x x x x x f (D) ()⎩⎨⎧≥<-=-.0,,0,22x x x x x x f9.设()1,0∈x 则下列选项正确的是( B ).(A) ()x x ln ln sin <; (B) ()x x ln ln sin >; (C) ()x x ln ln sin ≤; (D) (A)、（B ）、（C ）都不正确.10 设1121x f x x ⎛⎫-=⎪-⎝⎭,则()f x =( C )(A)11x+; (B) 1x-; (C)11x-; (D) 以上都不对.11 下列各对函数中,相同的是( D )(A) ()cos f x x =与()g x = (B) ()f x =()g x =;(C) ()x f x x=与()1g x =; (D) ()()2ln 1x x f x x-与()()ln 1x g x x-=.12. 将函数()22f x x =--表示为分段函数时,()f x =( B ) (A) 4,0,x x x x -≥⎧⎨<⎩; (B) 4,2,2x x x x -≥⎧⎨<⎩; (C) 4,04,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩; (D) 4,24,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩ .13. 设()132x f x x -=-与()g x 的图形关于直线y x =对称,则()g x =( A )(A)123x x ++; (B) 132x x --; (C)312x x++; (D)213x x--.14. 已知()f x 的定义区间是()0,1,则函数( D )的定义区间仍为()0,1. (A) ()()11f x f x ++-; (B) ()2f x ; (C) ()()11f x f x +⋅-; (D) 11x f x -⎛⎫⎪+⎝⎭. 15. 函数()y f x =与()y f x =-的图形关于( A )(A) x 轴对称; (B) y 轴对称; (C) 原点对称; (D) y x =对称.16. 设函数(()log 0,1a y x a a =+>≠,则该函数是( A )(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非奇非偶函数; (D) 既是奇函数又是偶函数.二、数列极限1. 已知2lim >=∞→A a n n ,则正确的选项是( B ).(A) 对+N ∈∀n ,有2>n x ; (B) +N ∈∃N ,当N n >时,有2>n a ;(C) N N N >∃N ∈∀+0,,使20=N x ; (D) 对2,≠N ∈∀+n a n .2. 设+N ∈∃N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞→lim ,B b n n =∞→lim .则正确的选项是: ( A ).(A) B A ≥; (B) B A ≠; (C) B A >; (D) A 和B 的大小关系不定. 3. 若()0tan 1lim1cos1≠=---∞→a neknn π,则 ( A )(A) 2=k 且π21=a ; (B) 2-=k 且π21=a ;(C) 2=k 且π21-=a ; (D) 2-=k 且π21-=a ;4. 设32lim 1knn en -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则k =( C )(A) 3/2; (B) 2/3; (C) -3/2; (D) -2/3.5. 设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=,则下列命题正确的是( D )(A) 若{}n x 发散,则{}n y 必然发散; (B) 若{}n x 无界,则{}n y 必然有界; (C) 若{}n x 有界,则{}n y 必为无穷小量; (D) 若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为无穷小量,则{}n y 必为无穷小量.三、函数极限 1. 极限=+-∞→3321213limx x x ( D ).(A)323; (B) 323-; (C) 323±; (D) 不存在.2. 极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→210sin lim x x x x ( A )(A) 13e-; (B) 13e ; (C) 3e -; (D) 不存在.3. 极限=-→xxx x sin lim( B ).(A) 等于1; (B) 等于1-; (C) 不存在; (D) 等于21.4. 极限()=+-+∞→122lim22x x x x ( D )(A) 221; (B) 21; (C) 221-; (D) 不存在.5. 极限=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1x x e x ( A )(A) 1; (B) 1-; (C) 0; (D) 不存在. 6 若极限()x f x x 0lim →存在,则( B )(A)()()00lim x f x f x x =+→;(B) ,0>∃M 及0>δ,当()δ;00x Ux ∈时,()M x f ≤;(C) ,0>∃M 及0>δ,当()δ;0x U x ∈时,()f x M >; (D),0>∃M ()M x f ≤.7. 若()A x f x x =-→0lim ,且0<A ,则( C )(A) ∃0>δ,当()δ;0x U x ∈时,恒有()0<x f ; (B) ∃0>δ,当δ<-0x x 时,恒有()0<x f ; (C) ∃0>δ,当00<-<-x x δ时,恒有()0<x f ; (D) ∃0>δ,当δ->-0x x 时,恒有()0<x f . 8．设f 在()U 内有定义.()x f x +∞→lim存在的充要条件是:对数列{}⊂n x()U且=∞→n n x lim,()lim n n f x →∞都且相等.正确的选项是( C )(A) 0x ,∃,0x ,∞,∀; (B) ∞,∀ ,∞,0x ,∃;(C) ∞+,∀,∞+,+∞,∃; (D) ∞+,∃,∞+,0x ,∃.9. 设k 为正整数,极限=-++→xkx x e xe 2132lim( D )(A)32; (B) 0; (C) 与k 的奇偶性有关; (D) 不存在.10 若()32211lim21x xa bx x →∞+++=-+,则常数,a b 分别为( C ).(A) 0,2; (B) 1,-2; (C) -1,-2; (D) 以上对不对. 11 已知212lim31x x ax x →-+=-,则当1x →时,22x ax -+( B )(A) 与1x -是等价无穷小; (B) 与1x -是同阶无穷小但不等价; (C) 是比1x -较高阶的无穷小量; (D) 是比1x -教低阶的无穷小量.12. 若()()()97350211lim81x x ax x→∞++=+,则常数a =( C )(A) 1; (B) 8; (C) 2; (D) 以上都不对.13. 函数()()1122,1ln 1,11,sin ,1x ex f x x x x x x -+⎧<-⎪⎪=--<<⎨⎪≤⎪⎩当( D )时为无穷大量.(A) x →-∞; (B) x →+∞; (C) 1x →; (D) 1x →-. 14. 若()()lim ,lim x ax af xg x →→=∞=∞,下列式子成立的是( D )(A) ()()lim x a f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦; (B) ()()lim 0x a f x g x →-=⎡⎤⎣⎦; (C) ()()1lim0x af xg x →=+; (D) ()1lim0x af x →=.15. 设()232xxf x =+-,则当0x →时( B )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 ; (C) ()f x 是比x 高阶的无穷小量; (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量. 16. 下列各式正确的是( C )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭; (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ;(C) 11lim 1xx e x -→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭; (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.17. 当0x →时,等价的无穷小量是( A )(A) x ; (B) 2x ; (C) 2x ; (D) 22x .18. 若当0x →时,11x ax e bx +-+是2x 的高阶无穷小,则( D )(A) 0,0a b ==; (B) 1,1a b ==; (C) 11,22a b =-=; (D) 11,22a b ==-.四、连续函数 1. 设函数()bxea x x f +=在()+∞∞-,内连续,且()0lim =-∞→x f x ,则常数b a ,满足( D ).(A) 0,0<<b a ; (B) 0,0>>b a ; (C) 0,0>≤b a ; (D) 0,0<≥b a .2. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.0,0,0,sin 11x x xex f x则0=x 是函数()x f 的( D )(A) 连续点; (B) 第一类间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.3. 设()xxe x e x xf 2152sin 1++++=,则0=x 是()x f 的（ B ）（A ）可去间断点；（B ）跳跃间断点；（C ）无穷间断点；（D ）震荡间断点. 4. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧==≠≠-=-.10,01,0,111x x x x e x f x x或且则( B )(A) 0=x 与1=x 均为()x f 的可去间断点;(B) 0=x 为()x f 的无穷间断点;1=x 为()x f 的第一类间断点,但不为可去间断点; (C) 0=x 为()x f 的无穷间断点;1=x 为()x f 的可去间断点; (D) 0=x 和1=x 均为()x f 的第一类间断点.5. 设()x f 与()x ϕ均为()+∞∞-,上有定义的函数,()x f y =在()+∞∞-,上连续且()0≠x f ,()x y ϕ=有间断点,则下列选项中正确的是( D )(A)()[]x f ϕ有间断点；(B)()()x f ϕ有间断点; (C) ()[]2x ϕ有间断点; (D)()()x f x ϕ有间断点.6. 设()x y y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足处始条件()()000='=y y 的特解,则当0→x 时,函数()()x y x 21ln +的极限( C ).(A) 不存在; (B) 等于1 ; (C) 等于2; (D) 等于3. 7. 方程x e x =--21在()+∞,0内实根的个数为( B ). (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3.8 函数()()1,12ln 10,11,2x x x f x x x ⎧>≠⎪-⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩且的连续区间是( C )(A) [)1,+∞; (B) ()1,+∞; (C) [)()1,2,2,+∞; (D) ()()1,2,2,+∞.9. 设()ln,1,1,1x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()f x 在1x =处( D ) (A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 连续且()10f '=; (D) 连续且()11f '=.10. 设()21cos sin ,0,1,0x x x f x xx x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩则0x =是()f x 的( D ) (A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 振荡间断点; (D) 连续点.11 设函数()()1,0,0mx kx x f x a x ⎧⎪+≠=⎨=⎪⎩,若函数()fx 在0x =连续,则常数a =( D ).(A) m e ; (B) k e ; (C) km e -; (D) km e .五、导数与微分 1. 若极限()()A eh a f ha f hh =-+--→1lim222,则函数()x f 在a x =处( A )(A) 不一定可导; (B) 不一定可导,但()A a f ='+; (C) 不一定可导,但 ()2A a f ='-; (D) 不一定可导,但()A a f ='-.2. 若极限()1lim1h f a f a h A →+∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-,则函数()x f 在a x =处( C ) (A) 可导,且()2A a f =' (B) 不一定可导,但()2A a f ='+;(C) 不一定可导,但 ()2A a f ='-; (D) 不一定可导,但()A a f ='-.3. 若极限()()A eh a f ha f hh =-+--→1lim222,()()B ha f ha f h =--→22lim则函数()x f 在a x =处( B )(A) 不可导; (B) ()A B a f -='+; (C) ()A B a f -='-; (D) ()B A a f -='-. 4. 设函数f 是可导函数,则( A )(A) f 为奇函数时,f '为偶函数; (B) f 为单调函数时,f '为单调函数; (C) f 为非负函数时,f '也为非负函数; (D) f '为连续函数.5. 设()x f ,0>δ在区间()δδ,-内有定义,若当∈x ()δδ,-时,恒有()2x x f ≤,则0=x 必是f 的( C )(A) 间断点; (B) 连续而不可导的点; (C) 可导点,且()00='f ; (D) 可导的点,且()0≠'x f .6. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2,1,112x x x x x f 则在1=x 处,函数()x f ( ) (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续7. 设雨滴为球体状,若雨滴聚集水份的速率与表面积成正比,则在雨滴行成过程中(一直保持球体状),雨滴半径的增加率( D )(A) 与球体体积的立方根成正比 (B) 与球体半径成正比 (C) 与球体体积成正比 (D) 为一常数.解因为表面积()24,S r t π=体积()343Vrt π=，其中t 为时间,球体体积增长的速率()()24V rt r t π''=，而已知()24V kSk rt π'==，故答案为D 。

南昌航空大学往年数学分析(1)试卷 A卷参考答案

南昌航空工业学院2006—2007学年第一学期期末考试课程名称：数学分析（1）A 卷参考答案及评分标准一、计算下列极限：（每小题5分，共20分）1.1132lim()2n nnn →∞+解：1111322lim n()322lim ()x x x x x xx l xe→∞+→∞+=1132ln 21lim x x x xe⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭+→∞=()1111322lim exp 3ln32ln 22x x x x x →∞+⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭+=分由归结原则11322lim ()n n n n →∞+= --------5分2.ln sin 5lim ln sin 3x xx +→解：原式5cos5/sin 5lim 3sin 3/cos3x x xx x +∞∞→= ---------3分05sin 5lim 3sin 3x x x +→=001= ---------5分3. 21lim(2)[]12x x x →-=-解： 2x >当时知11(2)(2)[]12x x x --<-≤-，则21lim (2)[]12x x x +→-=-；2x <当时知1(2)[]1(2)2x x x ≤-<---1，则21lim(2)[]12x x x -→-=-.----4分故21l i m (2)[]12x x x →-=-. --------5分4. 1lim1ln xx x x x x →--+解：原式011(1ln )lim1x x x x x x →-+=-+1(1ln )lim 1x x x x x x x x →-+=- --------3分()21lim 1(1ln )(1ln )x x x x x x x x x x →=--+-+-2= ---------5分二、求下列导数：（每小题5分，共20分）1. 22log 237y x x =--，求dydx解： 243ln 2(237)dy x dx x x -=⋅-- --------5分2.2216x y x x +=--，求)(n y 解：由735(3)5(2)y x x =+-+ ---------3分所以()1173(1)!5(3)5(2)n n n n y n x x ++⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭ ---------5分3. tan 2t x t t y =+⎧⎨=⎩, 求22dx yd解： 2/2l n 2/s e c 1td y d y d t d x d x d t t ==+ --------3分221/d y dy dy dx dt dx dx dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭=22122(sec 1)(ln 2)2ln 2sec tan 2t t t t t ++---------5分4.30()0(,)x e x f x ax b x a b ⎧>=⎨+≤⎩为常数，)0(f '存在，求)(x f 的导数. 解： '(0)f 存在知()f x 在x=0连续得300(0)lim()lim 1xx x f ax b e -+→→=+==故1b =又''(0)(0)f f -+=(0)f '=得 30lim 33xx a e +→== -------3分故33,0()3,0x e x f x x ⎧>=⎨≤⎩ . ------5分三、设0()f x ''存在,试证: 00020()()2()limh f x h f x h f x h →++--=)(0x f ''.（8分）证明：由0''(),f x 存在则0'()()f x f x x x =和在连续，于是左式000'()'()lim2h f x h f x h h →+--= -------4分=000000'()'()'()'()1lim lim 2h h f x h f x f x f x h h h →→+---⎛⎫+ ⎪⎝⎭ -------6分 0''()f x ==右式. 证毕 -------8分四、设0)(,),0(,],0[=a f a a f 且内可导在上连续在,证明:存在一点),0(a ∈ξ,使 ()'()0f f ξξξ+=.(7分)证明：()()F x xf x =令，则()[0,](0,)F x a a 在连续，在内可导，而(0)()0F F a == 由罗尔定理,知(0,),'()0.a F ξξ∈=存在使得证毕. ------7分五、求函数1)(23+--=x x x x f 的极值点,曲线的拐点及单调与凹凸区间.(15分)解：易知x ∈ ，'()(31)(1)f x x x =+-，''()21f x x =-（3）.()0f x '=1211,3x x ==-()0f x ''=13x =由上表得：()y f x =的单增区间：(,],[1,)3-∞-+∞；单减区间：[,1]3-；极大值：132()327f -=；极小值：(1)0f =；凹区间：1[,)3+∞；凸区间：1(,]3-∞；拐点：116(,)327. --------15分六、1.什么是区间套?试叙述区间套定理；2.试叙述数列极限Cauchy(柯西)收敛准则. （每小题5分，共10分）解： 1. 闭区间列n n {[a ,b ]}具有如下性质：11()[,][,],1,2,;n n n n i a b a b n ++⊂= ()lim()0n n n ii b a →∞-=则称n n {[a ,b ]}为闭区间套，简称区间套. -----3分区间套定理：n n 若{[a ,b ]}是一个闭区间套，则存在唯一的实数ξ，使得 ξ[,]1,2,,n n a b n ∈= ， ,1,2,.n n a b n ξ≤≤= 即2.{}n a 数列收敛的充要条件是： 0,N ε+∀∃∈> ，使当,n m N >时，有 .n m a a ε-<七、试叙述：(每小题5分，共20分)1.f 在某区间I 上连续的定义；2.f 在某区间I 上一致连续的定义；3.f 在某区间I 上非一致连续的定义；4.并利用定义证明:2)(x x f =在(,)-∞+∞上非一致连续.解：1.,f I 设在上有定义0,x I ∈对任意00lim ()().x x f x f x →=若f I 则称在上连续.----5分2.,f I 设在上有定义,0,()0εδδε∀>∃=>对∀对','',x x I ∈,'''x x δ-<当时有(')('').f x f x ε-< ----10分 3.,f I 设在上有定义00,ε∃>0,δ∀>对,',''x x I ∃∈''',x x δ-<虽但0(')('').f x f x ε-≥ -----15分4.102,ε=取0,δ∀>对1142',,''x x δδδδ=+=+取 ---18分虽'''x x δ-<，但321442(')('').()f x f x δδδ-=+> 所以,f ∞+∞（x ）在(-)上非一致连续. --20分。

北京交通大学工科数学分析期末考试(A)卷答案

) ．解：
∂ z ∂ z + 2 = ze 2 x 2 ∂y ∂x
2 2
∂z ∂z = f ′(u )e x sin y ， = f ′(u )e x cos y ∂y ∂x ∂2 z = f ′′(u )e 2 x sin 2 y + f ′(u )e x sin y ， ∂x 2
(
)
2 2 2 st′ = ( x′)t + ( y′)t + (z ′)t = 9 sin 2 t cos 4 t + 9 cos 2 t sin 2 t + 4 sin 2 2t = 5 sin t cos t ， G 1 所以， T = (− 3 cos t， 3 sin t， − 4 ) ， 5
Ω Σ1 Σ1
(
)
……5
(
)
= ∫∫∫ dxdydz + 16
Ω
x 2 + z 2 ≤2
∫∫ dzdx
=π∫
1
3
(
y − 1 dy + 32π
……8
)
2
= 34π
九．（本题满分 8 分）设直线
P (1， − 2， 5) ，试求常数 a ， b ．
解：
⎧x + y + b = 0 2 2 在平面 π 上，而平面 π 与曲面 z = x + y 相切于点 ⎨ ⎩ x + ay − z − 3 = 0
工科数学分析（A）卷答案-1
3 ⎧ ⎪ f x ( x， y ) = 4 x − 2 x − 2 y = 0 ⎨ 3 ⎪ ⎩ f y (x， y ) = 4 y − 2 x − 2 y = 0 解得其驻点为 M 0 ( 0， 0 ) 、 M 1 ( 1， 1 ) 、 M 2 ( − 1， 1 ) ，则______________ ．

南京信息工程大学期末2019-2020学年第二学期数学分析课程试卷

∑ ∑ 南京信息工程大学期末试卷2019-2020 学年第二学期数学分析 II 课程试卷( A 卷)本试卷共 2 页；考试时间 120 分钟；任课教师出卷时间 2020 年 6 月学院专业班学号姓名一、填空题（共 10 分，每小题 2 分）1. 设，则其导函数；2. 如果，则；3. 设函数，则的 Maclaurin 展开式为；4. 曲线与轴所围平面图形的面积为； 5. 幂级数的收敛半径为.二、选择题（共 10 分，每小题 2 分）1. 关于函数的可积性，下列说法不正确的是 ()A. 黎曼函数在可积B.上的单调函数一定可积C.上的可积函数一定有界 D. 存在原函数的函数一定可积2. 关于广义积分，下列说法正确的是 ()A. 若收敛，则B. 发散C. 若收敛，且存在，则D.收敛 3. 幂级数在处收敛，则此幂级数在处()A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 可能收敛也可能发散4. 关于数项级数，其前n 项的和为，下列说法正确的是()+∞A. 若，则收敛 B. 若且，则un 收敛n =1C. 若 {S n } +∞有界，则un 收敛D. 若收敛，则绝对收敛n =15. 设，下列说法正确的是 ( )A. 不可导B. 可导且为的一个原函数C. 可导但不是的一个原函数D. 连续但不可导三、计算题（共30 分，每小题5 分）1． 2.3. 4.5.利用定积分计算极限.6.求星形线在上的弧长(图1).图 1 星形线四、解答题（共16 分，每小题8 分）1.求以为周期的函数的Fourier 展开式，其中2.求幂级数的和函数并利用和函数求级数的和.五、判断敛散性，如果收敛请指出是条件收敛还是绝对收敛（共18 分，每小题 6 分）1. 2. 3.六、证明题（共16 分）1.证明：函数列在上一致收敛，其中.（5 分）2.证明：函数项级数的和函数在上连续.（6 分）3.若是上的连续函数且对有则①是否存在使得；(3 分)②若这样的存在，则问是否唯一？请给出理由. （2 分）。

数学分析1期末考试试卷A卷

数学分析1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，则 =a 。

2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是，第二类间断点是。

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。

4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(10⎰+=，则=)(x f 。

5、xdx arctan 1⎰= 。

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（）。

（A ）若n x 发散，则n y 必发散。

（B ）若n x 无界，则n y 必无界。

（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。

（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。

2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（）。

（A ） 1。

（B ）不存在。

（C ） 0。

（D ） -1。

3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（）。

（A ）())(x f e f e x x ----。

中国矿业大学(徐州)0708数学分析试卷(A)及参考答案

中国矿业大学07~08学年第二学期《数学分析(2)》试卷（A ）卷考试时刻：120分钟考试方式：闭卷院系__ _______班级___ ______姓名__ ________学号___ _______一、填空题（每空3分,共30分）1． =-+++∞→])1(sin 2sin [sin 1lim n πππnn n n n . 2． =-⎰202d 4x x . 3．=⎰∞+-0d x xe x .4．心形线(1cos )r a θ=+)0(>a 的周长为__ _______.5．=-∑∞=22)11ln(n n . 6．级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-11)1(n n n n __________________（绝对收敛或条件收敛或发散）.7．级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛域为 . 8．设)(),(x y g y x xy f z +=，其中g ,f 具有一阶持续(偏)导数,那么=∂∂xz. 9．函数22232z y x f ++=在点)1,1,1(P 沿方向)4,3,0(:l 的方向导数=∂∂Pl f.10．曲面344224++--=x y y x z 在点处有水平的切平面.二（10分）、讨论二元函数⎩⎨⎧<<=其它,30 ,2),(4x y y x f 在点)0,0(的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数. （注：若是存在，把它求出来；若是不存在，要说明理由.）三（10分）、把函数21ln arctan )(x x x x f +-=展开为关于x 的幂级数并指出收敛域.四（10分）、把函数)0()(π≤≤=x x x f 展开为余弦级数并指出收敛性，再利用该级数证明: 61212π=∑∞=n n.五（10分）、设)(x f 在]1,0[上可导，且⎰=-311)1(d )(3f x x f e x ，证明：)1,0(∈∃ξ使0)()(=ξ'+ξf f .六（10分）、假设级数∑∞=12n na 收敛，证明∑∞=13n na 和)21(1>∑∞=p na n pn 都绝对收敛.七（10分）、求椭圆1322222=+y x 绕y 轴旋转所得的旋转曲面的表面积．八（10分）、设],[)(b a R x f ∈，证明：],[)(b a R e x f ∈.中国矿业大学07~08学年第二学期《数学分析(2)》试卷（A ）卷参考答案一、填空题（每空3分,共30分）1． π2. 2． π.3． 1. 4． 8a . 5． 2ln -. 6．发散. 7．)3,1[-. 8．)(1221xy g y f y f -⋅'+⋅'+⋅'. 9．536. 10．)2,1,1(--.二（10分）、讨论二元函数⎩⎨⎧<<=其它 ,30 ,2),(4x y y x f在点)0,0(的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数. （注：若是存在，把它求出来；若是不存在，要说明理由.）解：假设取直线途径kx y =，极限3),(lim 0==→y x f kxy x ；假设取途径为)10(4<<=k kxy 则2),(lim 40==→y x f kx y x ，因此二重极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.对任意0≠y ，3),(lim 0=→y x f x ，故 33lim ),(lim lim 00==→→→y x y y x f 。

第一学期数学分析A考卷A答案

北京交通大学2012-2013学年第一学期《数学分析A 》期末考试试卷(A)学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共八道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、选择题（每小题3分，满分15分）1．已知当0→x 时，)sin 1ln(x ax +与2tan x 为等价无穷小，则=a （ A ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．函数x y 2sin =在R 上的原函数与导函数分别为（ C ）．（A ）x 2cos 2，x 2cos 21 （B ）x 2cos 21，x 2cos 2 （C ）x 2sin ，x 2cos 2 （D ）x 2cos ，x 2cos 23．设函数)(x f y =在R 上二阶可导，且0)(,0)(>''>'x f x f ，则当0>∆x 时有（ A ）．（A ）0>>∆dy y （B ）0<<∆dy y （C ）0>∆>y dy （D ）0<∆<y dy 4．下列广义积分中收敛的是（C ）．（A ）⎰+10)1(1dx x x （B ）⎰-213)1(x dx （C ）⎰+∞e x x dx 2)(ln （D ）dx x x⎰+∞∞-+215．设函数)(x f 在点0=x 处连续，下列命题中正确的个数是（ C ）．① 若xx f x )(lim0→存在，则0)0(=f ．② 若xx f x )(lim 0→存在，则)0(f '存在．③ 若xx f x f x )()(lim 0-+→存在，则0)0(=f ．④ 若xx f x f x )()(lim 0--→存在，则)0(f '存在．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题（每小题3分，满分15分） 1．=++∞→n nnn 321lim 3 ．2．若)100()2)(1()(+++=x x x x x f ，则=')0(f 100! ．3．=-+⎰-dx x x x )1cos (11232π． 4．若点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点，则=),(b a ⎪⎭⎫⎝⎛-29,23 ． 5．微分方程12='-''y y 的通解为=y x e C C x2212++- ．三、（每小题6分，满分12分）求下列极限1．设24053111)(2xx dt e x x f xt +-=⎰-，求)(lim 0x f x →．解:222322544003333311lim ()limlim lim 3155xt x x Lx x x x e dt x x e x e x f x x x x ---→→→→-+-+-+===⎰ 20301lim 101422lim 5122x e x x xe x x x x L--=+-=-→-→101=；2．设xx e e x f x x 1sin ||12)(2+++=，求)(lim x f x -∞→，)(lim x f x +∞→，)(lim x f x ∞→．解:11211sin lim 12lim 1sin 12lim )(lim 22=-=-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-∞→-∞→-∞→-∞→x x e ex x e ex f x x xx x xx x ； 11011sinlim 12lim 1sin 12lim )(lim 22=+=+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+∞→+∞→+∞→+∞→xx e e x x e e x f x x xx x x x x ；由单侧极限与极限关系可得：1)(lim =∞→x f x ．四、（每小题6分，满分12分）求下列导数或微分 1．设1ln 2++=x x y ，求dy 与y ''．解：显然，)1ln(212++=x x y ．由复合函数求导法则与四则运算求导法则可得： 121)21211(1121222+=⋅++++⋅='x x x x x y ， dx x dy 1212+= ，3222)1(22121)11(21+-=⋅+⋅+-=''x xx x x y ． 2．设)(x y y =是由⎩⎨⎧=++=-+01,0)1(y te t t x y 所确定的函数，求0=t dx dy．解：当0=t 时，1,0-==y x ．由0)1(=-+t t x 可得：t t x -=2，1|)12()0(0-=-='=t t t x ；由01=++y te y对t 求导可得：0='+'+t t y y y y te e ，1)0(--='e y t ，由参量函数求导法可得：10)0()0(-==''=e x y dx dy t t t ．五、（本题满分12分）求下列积分： 1．dx x ⎰arctan．解:⎰=tdt t I arctan 2⎰⎰+-==dt tt t t t td 22221arctan )(arctan C t t t C t t t t +-+=++-=arctan )1(arctan arctan 22C x x x +-+=arctan )1(2．dx x x ⎰-π53sin sin ．解: 注意到|cos |sin )sin 1(sin sin sin 32353x x x x x x ⋅=-=-，故 ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x I 54|sin 52|sin 522252025=-=πππx x ．六、（本题满分13分）（I ）判定函数x xe x f -=)(的单调性，并求其极值；（II ）讨论方程x ae x =的实根个数．解：（I ）∵⎪⎩⎪⎨⎧><==<>-='-,1,0,1,0,1,0)1()(x x x e x x f x ∴),1()(),1,()(+∞∈↓-∞∈↑x f x f ，且极大值为ef f 1)1(max ==．（II ）x ae x =的实根个数xxe y -=⇔与a y =的交点个数．由（I ）及-∞==-∞→-∞→xx x e xx f lim)(lim （)()(+∞⋅-∞），01lim lim )(lim ===+∞→+∞→+∞→x x L x x x ee x xf ，可知 ① 当0≤a 或ea 1=时，原方程只有一个实根；② 当ea 10<<时，原方程有两个实根； ③ 当ea 1>时，原方程没有实根．七、（本题满分13分）（I ）求曲线x y ln =与其在点)1,(e 处的切线、x 轴所围成的平面图形G 的面积A ；（II ）求上述平面图形G 绕x 轴旋转所得的旋转体的体积V ．解：（I ）∵e y x y 1)0(,1='='，∴切线方程为)(11e x e y -=-，即exy =． ⎰-=exdx e A 1ln 212|)]1(ln [21-=--=e x x e e．（II ）⎰-=e xdx e V 12ln 31ππ]1ln 2|ln [31112dx x x x x x e ee⎰⋅⋅--=ππ]|)1(ln 2[31)ln 2(3111e ex x e e dx x e e ---=--=⎰ππππ )31(2)2(31e e e -=--=πππ．八、（本题满分8分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且(0)(1)0f f ==，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，证明：存在点)1,0(∈ξ，使得1)(='ξf ．证：设x x f x F -=)()(，则]1,0[)(C x F ∈，且1)1(,21)21(,0)0(-===F F F ． ① ∵111()[,1],()0,(1)10222F x C F F ∈=>=-<， ∴由零点定理可知：存在点)1,21(∈η，使得0)(=ηF ．② ∵)()0(),,0()(],,0[)(ηηηF F D x F C x F =∈∈，∴由罗尔定理可知：存在点)1,0(),0(⊂∈ηξ，使得0)(='ξF ，即1)(='ξf ．。

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数学分析（二）试卷A 第1页（共6页）数学分析（二）试卷A 第2页（共6页）
2014-2015学年第一学期期末考试
高等数学（二）试卷（A ）
一、判断题(每小题 2 分，共 10 分)
1.若()x f 在[]b a ,上可积,则()x f
2
在[]b a ,上也可积.
（） 2．若()x f 是区间I 上的可导凹函数,则()x f '在I 上为增函数. （） 3．若函数项级数
()x u n
∑在区间I 上一致收敛,且()x u n
在区间I 上连续,则其和函
数在区间I 上可积. （） 4．若函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于0，则()x u n
∑在D 上一致收敛．
（） 5.若正项级数∑n u 满足
() ,2,111
=<+n u u n
n ,则∑n u 收敛. （）
二、单项选择题(每小题 2 分，共 10 分)
1．函数()x x f sin =在[]π,0上的平均值为 ( ) A
2π B π
2 C 1 D 21
2．幂级数
∑
n
x n 的收敛域为（）
A []1,1-
B [)1,1-
C (]1,1-
D ()1,1- 3．反常积分
⎰
+∞
1
x
dx
（） A 可能收敛 B 发散 C 收敛 D 不确定
4．函数()233x x x f -=的拐点为 ( ）
A 1-=x
B 1=x
C ()0,1-
D ()2,1-
5．下列数项级数为条件收敛的是 ( ) A
()∑
-n
n 1 B
()∑
-2
1n n C
∑3cos n n D ∑++23
n n
三、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
1． ='⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎰x dt t cos 12___________________.
2. x
e 在1=x 处的泰勒展开式为________________________________.
3．瑕积分
dx x
p ⎰
1
1
(0>p )当 ____________ 时收敛. 4．由抛物线2
x y =与2
2x y -=所围图形的面积为_____________.
5． =--→x
x x
x x sin tan lim
0 _______________.
院（系）_______________专业_______________班级_______________学号_______________姓名_______________
………...…………………………. 密………………………..封………………………….. 线……………………………………………………………..
数学分析（二）试卷A 第3页（共6页）数学分析（二）试卷A 第4页（共6页）
四、计算积分(每小题 5 分，共 20 分)
1． dx x x
⎰+44
2． ⎰xdx arctan
3． dx x ⎰
-1
21
4． dx xe
x ⎰
+∞
-0
2
五、判断级数的绝对收敛与条件收敛性 ( 每小题 6 分，共 12 分 )
1． ()n
n n
3sin 11
∑
∞
=- 2．
n
n n n n )2
543(
)1(1
++-∑∞
=
院（系）_______________专业_______________班级_______________学号_______________姓名_______________
………...…………………………. 密………………………..封………………………….. 线……………………………………………………………..
数学分析（二）试卷A 第5页（共6页）数学分析（二）试卷A 第6页（共6页）
六、判别函数列或函数项级数的一致收敛性( 每小题6分，共１2 分 )
1．)1,0(,,2,1,)(∈==x n x x f n n
2． ∑+--n
n x x )
1()1(22
1 , ),(+∞-∞∈x
七、完成下列各题 (每小题7分，共 21 分 )
1.求由2x y =与2
y x =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体
积.
2.求幂级数 +++++++1
2531
253n x x x x n 的和函数.
3. 证明:设正项级数∑n
u
和
∑n
v
都收敛,证明
∑+2)(n n
v u
也收敛.
院（系）_______________专业_______________班级_______________学号_______________姓名_______________
………...…………………………. 密………………………..封………………………….. 线……………………………………………………………..。

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