高中数学教学论文 点击圆锥曲线中的最值问题
圆锥曲线的最值问题常见类型及解法演示文稿
x2 y2 1 4
上点的最大距离，
并求出此时椭圆上的点的坐标。
分析：
本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的 点的坐标，然后根据两点间的距离公式借 助于二次函数求出此最大值，并求出点的 坐标。
例3
求点 P(0，3 )到椭圆
2
x2 y2 1 4
上点的最大距离，
并求出此时椭圆上的点的坐标。
解：
设点
Q(x,y)为椭圆
x2 4
y2
1
上的任意一点，
则 PQ 2 （x 0）2 (y 3)2
2
又因为x2 = 4- 4y2
所以
PQ
2
4 4y 2
y2
3y
9 4
3y 2
3y
25 4
3(y 1 )2 7 2
（－1≤y≤1）
所以 PQ 的最大值为 7 此时， y 1，x 3
2
即此时Q的坐标为：（ 3， 1）、（ 3， 1）
2
2
思考题：
求：点P(0,m),使其到椭圆x2 y 2 1上的 4
最大距离是 7。
变式训练：
已知双曲线C：x2 y2 1 ，P为C
4
上任一点，点A（3，0），则|PA|的最小 值为________.
类
例1： 已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点
型
A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边的△ABP，其顶点P 在抛物线的弧AB上运动，求： △ABP的最大面
略解： 圆心到直线L的距离d1=
16 32 22
16 13 13
r 所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-
16 13 2 13
问题：直线L的方程改为 3x-2y-6=0， 其结果又如何？
圆锥曲线的最值问题
【典例分析】
变式训练1
x2 y2 1 的右焦点 F，且有定点 A(1,1) ，又点 M 是椭圆上一动点。问 （1）.已知椭圆 25 9 | MA | | MF | 是否有最值，若有，求出最值并指出点 M 的坐标？
y
A
M
F
x
解：设椭圆的左焦点 F ' (4,0) ，
| MF | | MA | 2a | MF ' | | MA | 2a (| MA | | MF ' |)
x2 y 2 1 任意一点，则 | PQ |2 x 2 ( y m) 2 ，而 (1) 解析：设 Q( x, y) 为椭圆 4 m 4 x 2 4 4 y 2 ，代入上式,所以 | PQ |2 3 y 2 2my m 2 4 3( y ) 2 4 m 2 g ( y ) ， 3 3 (1 y 1) 由于 | PQ | 的最大值为 7 ，
并求取得最值时椭圆上点的坐标.
y
切线法
P
x
解：设与 y x 2 3 平行的椭圆的切线方程为 y x b ， 代入椭圆方程得
3x 2 4bx 2b 2 2 0 ， (4b) 2 4 3 (2b 2 2) 0 b 3
2 3 6 3, ) ，点 P 到直线距离最小值为 当 b 3 时，此时切点 P( ； 3 3 2 2 3 3 6 ) ，点 P 到直线距离最大值为 当 b 3 时，此时切点 P( 3, ； 3 3 2
B M A
y
垂足分别是 A' , B' , M ' 即 | AA' | | BB' || FA | | FB || AB | 4 ， 也就是说，当线段过焦点 F 时，
浅议高考中圆锥曲线的最值问题
令 ￣１ 一 一ｔ则 Ｓ 一（ ＋２） （ —２） 下面求 Ｓ ／６ ， ２ ７ ｔ ７ ｔ，
的最 大 值 ．
方法 １ 由三次均值有 ： ：
和直线 ｚ 的距离之 和的最小值是 （ 。
Ａ． ２
Ｂ． ３
） ．
１
Ｓ 一（ ＋２）（ ～２） 。 ７ ｔ ７ ｔ 一÷ （ ＋２） ７ ｔ（４ ｔ ７ ｔ （ ＋２） １ —４）
利用基本不 等式求 最值 时 ， 定要关 注等号 成立 的 一 条件． 利用基本不等式求最 值 ， 则必 须关 注三个 条件“ 一 正、 二定 、 三相等 ” 所 谓一 正 ， ， 即正 值 ， 是 运用 此 方法 这 的前提条件 ， 解题 中应 予 以说 明论 述 ； 在 二定 ， 即定值 ， 它须通过恒等变换包括必要 的技 巧方能解 决 ， 运用此 是 方法 的关键条件也是难 点 ； 三相 等 ， 即等值 ， 当且仅 当 是 满足 等号成 立 的条 件 时 ， 可求 出 自变量 的值 ， 最后还 应 注意 的是最值 ， 应为和 的最值 （ 此时积 为定值 ） 或积 的最 值（ 此时和为定值 ） ．
【Ⅱ 】 侈 ２ （０９ 全 国 ）Ⅱ ２０ ， 女
， ，
围 ， 到最值 ， 得 再将其代 回原式 解 ．， ２ 最终 求 出其 对应 自 ７ 变量的值 ． 【 ３ 已知定点 Ｐ ３ ２ 和直线 如： 例 】 （ ，） 一２ ， ｚ 试在直 线 如上求一点 Ｑ， 使过 Ｐ Ｑ的直线 与直线 ｚ 以及 ｚ轴在 。 第一象 限内围成的三角形面积最小． 解 ： 如上的点 Ｑ（ ｏｙ ） 由直线 两点方程 得 ： ： 设 ｘ ，ｏ ，
一
￣ｚ ）Ｃ ｘ ， Ｖｘ ）Ｄ（ ２ ｚ ） ／１、 （２～ ２ 、 ｚ ， ２．
圆锥曲线中的最值问题
圆锥曲线中的最值问题一、常见基本题型：（1）利用基本不等式求最值，例1、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为是椭圆在第一 象限弧上一点，且，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点，求△PAB 面积的最大值。
解、设椭圆方程为，由题意可得故椭圆方程为设AB 的直线方程：.由，得， 由，得P 到AB 的距离为， 则。
当且仅当取等号， ∴三角形PAB 面积的最大值为。
（2）利用函数求最值，例2.如图，椭圆222:12x y C a +=的焦点在x 轴上，左右顶点分别为1,A A ，上顶点为B ，抛物线12,C C 分别以A,B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，1C 与2C 相交于直线y =上一点P.1F 2F y P 121PF PF ⋅=22221y x a b+=2,a b c ==22142y x +=m x y +=2⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x mx y 0422422=-++m mx x 0)4(16)22(22>--=∆m m 2222<<-m 3||m d =3||3)214(21||212m m d AB S PAB⋅⋅-=⋅=∆2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m ()22,222-∈±=m 2（1）求椭圆C 及抛物线12,C C 的方程；（2）若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同的两点M,N，已知点(Q ，求QM QN的最小值.解：（1）由题意(,0),A a B ，故抛物线C 1 的方程可设为ax y 42=，C 2的方程为y x 242=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===xy y x axy 224422 得)28,8(,4P a =所以椭圆C:121622=+y x ，抛物线C 1：,162x y =抛物线C 2：y x 242= （2）由（1）知，直线OP 的斜率为2，所以直线l 的斜率为22-设直线l 方程为b x y +-=22由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+b x y y x 22121622，整理得0)168(28522=-+-b bx x因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点，所以0)168(2012822>--=∆b b 解得1010<<-b设M （11,y x ）、N （22,y x ），则21212816,5b x x x x -+==58)(2221)22)(22(2221212121-=++-=+-+-=b b x x b x x b x b x y y 因为),2(),,2(2211y x y x +=+=所以2)(2),2)(,2(2121212211++++=++=⋅y y x x x x y x y x5141692-+=b b因为1010<<-b ，所以当98-=b 时，⋅取得最小值 其最小值等于938514)98(516)98(592-=--+-⨯ 例3、已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为 ，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线 于点，当时，． （1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；（2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．解：(1)设，则切线的方程为，所以，，， 所以， 所以为等腰三角形且为中点，所以，，，得，抛物线方程为 （2）设，则处的切线方程为由， 同理， 所以面积……①设的方程为，则)0(2:2>=p py x C F A 1x )0(1>x A C 1l x D y Q :2pl y =M 2||=FD 60=∠AFD AFQ ∆C B y C B C 2l 1l P l N PMN ∆1x ),(11y x A AD pxx p x y 2211-=),0(),0,2(11y Q x D -12||y p FQ +=||||FA FQ =AFQ ∆D AQ AQ DF ⊥60,2||=∠=AFD DF 12,60==∠∴pQFD2=p y x 42=)0(),(222<x y x B B 22222xx x y -=)4,2(42422121222211x x x x P x x x y x x x y +⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1,22(14211211x x M y x x x y +⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=)1,22(22x x N +212211221221116)4)(()41)(2222(21x x x x x x x x x x x x S --=---+=AB b kx y +=0>b由，得代入①得：，使面积最小，则，得到…………②令，由②得，， 所以当时单调递减；当单调递增， 所以当时，取到最小值为，此时，，所以，即。
圆锥曲线中的最值问题
面积最值问题
总结词
面积最值问题主要研究圆锥曲线与其 内部区域的面积的最小或最大值。
详细描述
求解面积最值问题通常需要利用曲线 的参数方程或极坐标方程，转化为关 于角度或参数的定积分，通过求积分 得到面积表达式，再求最值。
周长最值问题
总结词
周长最值问题主要研究圆锥曲线 上的点的轨迹形成的曲线的周长 的最小或最大值。
圆锥曲线中的最值问
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线中最大值最线中的最值问题的实例分析
01
引言
圆锥曲线的定义与性质
圆锥曲线是由平面与圆锥的侧面或顶 点相交形成的几何图形，包括椭圆、 抛物线和双曲线等。
圆锥曲线具有多种性质，如对称性、 焦点、准线等，这些性质在解决最值 问题时具有重要作用。
详细描述
解决周长最值问题通常需要利用 曲线的参数方程，通过求导数找 到曲线的拐点，从而确定周长的 最大或最小值。
角度最值问题
总结词
角度最值问题主要研究圆锥曲线上的点与坐标轴形成的角度 的最小或最大值。
详细描述
解决角度最值问题通常需要利用曲线的极坐标方程，通过求 导数找到曲线的极值点，从而确定角度的最小或最大值。
在实际生活中的应用
航天器轨道设计
在航天领域，卫星和行星的轨道通常呈现为某种圆锥曲线 的形状，通过研究这些轨道的最值问题，可以优化航天器 的发射和运行轨迹。
物流运输
在物流和运输行业中，货物的运输路径通常受到多种因素 的限制，呈现出某种圆锥曲线的轨迹，通过求解最值问题， 可以找到最优的运输路径和最低的成本。
03
解决圆锥曲线中最大值最小值问题的
方法
利用导数求最值
导数可以帮助我们找到函数的极值点 ，通过求导并令导数为零，我们可以 找到可能的极值点。
圆锥曲线中的最值问题
1 AB (d P AB d Q AB ) 2
设P (2 cos , sin ), 则Q(2 cos , sin )
5 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 S ( ) 2 5 5 0 0 45 ) 2 2 2 sin( 45 ) 2 5 2 2 sin( ( ) 2 5 5 5 4 2 2 2 S Max 2 2 2 5
所以设与AB平行的直线方程为:x+2y+m=0 (m 2)
x 2y m 0 联立: x 2 4 y 2 4 2 x 2
2mx m 4 0
2
4m 2 8(m 2 4) 由 0 m 2 2 所以与AB平行且和椭圆相切的两直线方程分别为:
课堂演练 形成技能
x y 练习 1.如 图A( 3,2)、F1 ( 4,0), P是 椭圆 1 25 9 上 一点 ， 则 PA PF1 的 最大 值为 ____
y
P
2
2
A
10 5
x
F1
O
F2
策略:几何法
x 2 例2.如 图 直 线y kx( k 0)与 椭 圆 y 1交 于 4 P，Q 两 点, A、B分 别 是 椭 圆 的 右 ,上 顶 点 ， 则 四边形 APBQ 面 积 的 最 大 值 为 _____
2
24k 32 x1 x2 2 (1); x1 x2 2 ( 2) 4k 1 4k 1
如图，过P、Q分别作PF、QE垂直于y轴， 则 x 1 x2 (3)
联立(1)、(2)、(3)得：
(1 )2
y
M
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标：1. 让学生掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中最值问题的解法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆中最值问题2. 双曲线中最值问题3. 抛物线中最值问题5. 圆锥曲线中最值问题的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法及应用。
2. 教学难点：圆锥曲线中最值问题的灵活运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 通过案例分析，让学生了解圆锥曲线中最值问题在实际中的应用。
3. 利用数形结合思想，帮助学生直观地理解圆锥曲线中最值问题。
五、教学过程：1. 导入：回顾圆锥曲线的定义及性质，引导学生关注圆锥曲线中最值问题。
2. 讲解：（1）椭圆中最值问题：分析椭圆的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
（2）双曲线中最值问题：分析双曲线的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
（3）抛物线中最值问题：分析抛物线的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
4. 练习：布置课后作业，让学生巩固圆锥曲线中最值问题的解法。
5. 拓展：介绍圆锥曲线中最值问题在实际应用中的例子，激发学生兴趣。
六、课后作业：1. 复习圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 完成课后练习题。
3. 探索圆锥曲线中最值问题在实际应用中的例子。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况。
2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生对圆锥曲线中最值问题的掌握程度。
3. 实践应用：评估学生在实际问题中运用圆锥曲线中最值问题的能力。
八、教学资源：1. 教材、教辅资料。
2. 圆锥曲线的图形软件。
3. 实际问题案例。
九、教学进度安排：1. 第一课时：导入及椭圆中最值问题讲解。
2. 第二课时：双曲线中最值问题讲解。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标1. 让学生掌握圆锥曲线中的最值问题的解法。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 提高学生对圆锥曲线的理解和运用能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线中最值问题的定义和性质。
2. 圆锥曲线中最值问题的解法。
3. 圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 教学难点：圆锥曲线中最值问题的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 采用案例分析法，分析圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过复习圆锥曲线的定义和性质，引导学生进入圆锥曲线中最值问题的学习。
2. 讲解：讲解圆锥曲线中最值问题的解法，结合实例进行讲解。
3. 案例分析：分析圆锥曲线中最值问题在实际问题中的应用，引导学生学会将理论应用于实际问题。
4. 小组讨论：让学生分组讨论圆锥曲线中最值问题的解法和应用，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调圆锥曲线中最值问题的关键点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
7. 课后反思：教师对课堂教学进行反思，总结经验教训，为下一节课的教学做好准备。
六、教学评价1. 评价内容：学生对圆锥曲线中最值问题的理解程度和解题能力。
2. 评价方法：通过课堂提问、作业批改和课后讨论等方式进行评价。
3. 评价指标：学生对圆锥曲线中最值问题的定义、性质和解法的掌握程度，以及在实际问题中的应用能力。
七、教学拓展1. 圆锥曲线中最值问题与其他数学领域的联系，如微积分、线性代数等。
2. 圆锥曲线中最值问题在实际生活中的应用，如优化问题、物理学中的运动问题等。
3. 引导学生探索圆锥曲线中最值问题的深入研究，如求解更一般性的问题。
八、教学资源1. 教材：圆锥曲线的相关教材和辅导书。
高中数学教学论文 例说圆锥曲线有关最值问题
例说圆锥曲线有关最值问题中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最值问题有两个特点：①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。
常见求法： 1、回到定义例1、已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4P A P B +的最小值； （2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。
略解：（1）A 为椭圆的右焦点。
作PQ ⊥右准线于点Q ，则由椭圆的第二定义||4||5PA e PQ ==， ∴5||||||||4PA PB PQ PB +=+.问题转化为在椭圆上找一点P ，使其到点B 和右准线的距离之和最小，很明显，点P 应是过B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174。
（2）由椭圆的第一定义，设C 为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC| ∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|) 根据三角形中，两边之差小于第三边，当P 运动到与B 、C 成一条直线时，便可取得最大和最小值。
即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P 到P"位置时，|PB| -|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值为10+|BC|=10+；当P 到P"位置时，|PB| -|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值为10-|BC|=10-回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。
另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。
2、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线24x y =上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。
高中数学直线与圆锥曲线(定点定值最值问题)解析版
直线与圆锥曲线（定点定值最值问题）与圆锥曲线有关的定点定值最值问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点，想要取得高分，这是必须要掌握的知识点。
【高考常见题型分类总结】与圆锥曲线有关的定点定值最值问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于：① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式 0。
【高考常见题型限时检测】（建议用时：120分钟）1.如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b ＜t 1＜a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．【解析】（1）设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x ＜－a ，y ＜0)． （2）证明 设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值． 【知识点】定值问题 【难度系数】32.如图，等边三角形OAB 的边长为3)0(2:2>=p py x E 上．（I ）求抛物线E 的方程；（II ）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1-=y 相交于点Q ．证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．【解析】（1）依题意||OB =38，30BOy ∠=︒,设(,)B x y ，则=||sin30x OB ︒43=，=||cos3012y OB ︒=．因为点(43,12)B 在22x py =上，所以243212p =⋅（），解得2p =． 所以抛物线E 的方程为y x 42=． (2)解法一：由（1）知241x y =, 12y x '=．设00(,)P x y ，则00x ≠，并且l 的方程为000()y y x x x -=-，即2001124y x x x =-．由20011,241y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 得2004,21.x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩所以2004(,1)2x Q x --． 设),0(1y M ,令=0MP MQ ⋅对满足20001(0)4y x x =≠的0x ，0y 恒成立．由于）100,(y y x MP -=，201041)2x MQ y x ---=（，， 由于0MP MQ ⋅=, 得22000111402x y y y y y ---++=，即21110(2)(1)0y y y y +-+-=． （*）由于（*）对满足20001(0)4y x x =≠的0y 恒成立，所以121110,20,y y y -=⎧⎨+-=⎩解得 11=y ．故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点(0,1)M ．解法二：由（1）知241x y =, 12y x '=．设00(,)P x y ，则00x ≠，并且l 的方程为000()y y x x x -=-，即2001124y x x x =-．由20011,241y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 得2004,21.x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩所以2004(,1)2x Q x --． 取0x =2，此时P (2，1)，Q (0，-1)，以PQ 为直径的圆为2y 1(22=+-）x ，交y 轴于点1M （0,1）或2M （0，-1）； 取0x =1，此时1(1,)4P ，2(,1)3Q --，以PQ 为直径的圆为64125)83()41(22=+++y x ，交y 轴于3(0,1)M 或47(0,)4M -．故若满足条件得点M 存在，只能是(0,1)M ．以下证明点(0,1)M 就是所要求的点．因为）1,(00-=y x MP ，20042)2x MQ x -=-（，20000422222202x MP MQ y y y -⋅=-+=--+=故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M ． 【知识点】定点问题 【难度系数】43，在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆2C ：22(5)9x y -+=外，且对1C 上任意一点M ， M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. (1)求曲线1C 的方程；(2)设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值.【解析】（1）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得222(5)3x x y +=-+， 易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>22(5)5x y x -+=+.化简得曲线1C 的方程为`220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离， 因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（2）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+即040kx y y k -++=.3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点,,,A B C D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则12,y y 是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=220121240016=6400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400. 【知识点】定值问题 【难度系数】44.设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA +)OB ，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值. 【解析】（1） 解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1.记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x于是).44,4()2,2()(21222121kk k y y x x OB OA OP ++-=++=+=设点P 的坐标为(x,y ), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得4x 2+y 2-y =0 ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0 解法二：设点P 的坐标为(x ,y )，因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ， 所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥ ①②并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x （2）由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以 127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x NP故当41=x ，||NP 取得最小值，最小值为1;4当16x =-时，||NP 取得最大值，最大值为.621 【知识点】最值问题 【难度系数】45.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x－y ＋2＝0相切，A ，B 分别是椭圆的左右两个顶点，P 为椭圆C 上的动点． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 与A ，B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2为定值． 【解析】(1)由题意可得圆的方程为x 2＋y 2＝b 2，∵直线x －y ＋2＝0与圆相切， ∴d ＝22＝b ，即b ＝2，又e ＝ca ＝33，即a ＝3c ，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝3，c ＝1， 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，A (－3，0)，B (3，0)，则x 203＋y 202＝1，即y 20＝2－23x 20，则k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3，即k 1·k 2＝y2x 20－3＝2－23x 20x 20－3＝233－x 2x 20－3＝－23，∴k 1·k 2为定值－23.【知识点】定值问题 【难度系数】26.设抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点。
【高中数学】圆锥曲线中的定值与最值问题
圆锥曲线中的定值与最值问题一.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．例1：过抛物线m ：2y ax =（a ＞0）的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ，则11p q --+的值必等于（ ）． A.2a B.12aC.4aD.4a解法1：（特殊值法）令直线l 与x 轴垂直，则有l ：14y a=12p q a ⇒==，所以有114p q a --+=解法2：（参数法）如图1，设11(,)P x y ，22(,)Q x y 且PM ，QN 分别垂直于准线于,M N ．114p PM y a ==+，214q QN y a ==+抛物线2y ax =（a ＞0）的焦点1(0,)4F a，准线14y a =-． ∴ l ：14y kx a =+又由m l ⋂，消去x 得222168(12)10a y a k y -++=∴212122121,216k y y y y a a ++==， ∴221212221111,()4164k k p q pq y y y y a a a a +++==+++=∴114p q a --+=． 例2：过抛物线22y px =（p ＞0）上一定点000(,)(P x y y ＞0），作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB 的斜率为非零常数．【解析】设直线PA 的斜率为PA K ，直线PB 的斜率为PB K ．由2112y px = 2002y px =相减得，101010()()2()y y y y p x x -+=- 故1010102PAy y p K x x y y -==-+ 10()x x ≠同理可得，2020202PB y y p K x x y y -==-+ 20()x x ≠由,PA PB 倾斜角互补知：PA PB K K =-∴102022p p y y y y =-++∴ 1202y y y +=-由2222y px = 2112y px =相减得，212121()()2()y y y y p x x -+=-∴ 21211200222AB y y p p p K x x y y y y -====--+-∴直线AB 的斜率为非零常数． 例3：已知定点0,0()M x y 在抛物线m ：22y px =（p ＞0）上，动点,A B m ∈且0=•MB MA ．求证：弦AB 必过一定点．【解析】设AB 所在直线方程为：x my n =+．与抛物线方程22y px =联立，消去x 得2220y pmy pn --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y 则122y y pm +=① 122y y pn =-②由已知0=•MB MA 得，1MA MB K K =-．即102010201y y y y x x x x --=---g ③∵221010101011()()()22x x y y y y y y p p -=-=-+ 222020202011()()()22x x y y y y y y p p-=-=-+∴③式可化为1020221p py y y y =-++g ，即221201204[()]p y y y y y y =-+++．将①②代入得，002n p my x =++．直线AB 方程化为：00002()2x my p x my m y y x p =+++=+++．∴直线AB 恒过点00(2,)x p y +-．【例4】(2012·湖南)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．[审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解，或者转化为根据抛物线的定义求解均可；(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系，其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积，最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证．(1)解 法一 设M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝x －52＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以x －52＋y 2＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二 由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)证明 当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.②由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x 得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以y 1y 2＝20y 0＋4k 1k 1.④同理可得y 3y 4＝20y 0＋4k 2k 2.⑤于是由②，④，⑤三式得y 1y 2y 3y 4＝400y 0＋4k 1y 0＋4k 2k 1k 2＝400[y 20＋4k 1＋k 2y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝400y 20－y 20＋16k 1k 2k 1k 2＝6 400.所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400. 【例5】已知椭圆C 的离心率3e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。
圆锥曲线的定值、最值与定点问题和圆锥曲线中的“定值”问题
探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。
一、 定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。
例1 A 、B 是抛物线22y px =（p ＞0）上的两点，且OA ⊥OB ，求证： （1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； （2）直线AB 经过一个定点。
证明：（1）设A （11,x y ）、B （22,x y ），则2112y px =，2222y px =。
∵22121222y y px px ⋅=⋅=22121244p x x p y y =-，∴2124y y p =-为定值，212124x x y y p =-=也为定值。
（2）∵2221212112()()2()y y y y y y p x x -=+-=-，∵12x x ≠，∴2121122y y px x y y -=-+ ∴直线AB 的方程为：211112122y p y y x y y y y y -=-+++2121224p p x y y y y =-++ 122(2)px p y y =-+，∴直线AB 过定点（2p ，0）。
例2 已知抛物线方程为212y x h =-+，点A 、B 及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA 与PB 的倾斜角互补。
（1）试证明直线AB 的斜率为定值；（2）当直线AB 的纵截距为m （m ＞0）时，求△PAB 的面积的最大值。
分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。
解析：（1）证明：把P(2，4)代入212y x h =-+，得h=6。
所以抛物线方程为：y －4=k(x －2)，由24(2)162y k x y x -=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得22440x kx k +--=。
解答圆锥曲线最值问题的几个“妙招”
圆锥曲线最值问题侧重于考查圆锥曲线的定义、几何性质、方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系.圆锥曲线问题的命题形式较多，常见的有求某条线段的最值、图形面积的最值、参数的最值、离心率的最值、点到曲线的最小距离等.下面结合几道例题，来谈一谈解答此类问题的“妙招”.一、利用几何图形的性质圆锥曲线中的圆、直线、椭圆、双曲线、抛物线均为平面几何图形.在解答圆锥曲线最值问题时，可根据题意画出几何图形，并添加合适的辅助线，将问题看作平面几何问题，利用平面几何图形的性质，如圆锥曲线的几何性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，以及正余弦定理、勾股定理等来解题.例1.设F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，若椭圆上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=120°，求椭圆离心率e 的最小值.解：设P (x 1,y 1),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),由椭圆的焦点弦公式得，|PF 1|=a +ex 1,|PF 2|=a -ex 1，在ΔPF 1F 2中，由余弦定理可得：cos 120°=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2|PF 1|∙|PF 2|=(a +ex 1)2+(a -ex 1)2-4c 22(a +ex 1)∙(a -ex 1)=-12，可得：x 1=4c 2-3a 2e 2，由椭圆的范围可知-a ≤x 1≤a ，可得0≤4c 2-3a 2e2≤a 2，解得e =c a≥，即椭圆离心率的最小值为.解答本题，关键要抓住椭圆的几何性质：椭圆的范围为-a ≤x ≤a ，-b ≤y ≤b .在根据余弦定理和焦点弦公式求得x 1后，根据椭圆的范围建立关系式0≤4c 2-3a 2e2≤a 2，即可求得椭圆离心率的取值范围.例2.椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F ，直线x =m与椭圆相交于A ,B 两点，当ΔFAB 的周长最大时，求ΔFAB 的面积.解：设椭圆的右焦点为E ，连接BE ，AE，如图所示.由椭圆的定义得：AF +AE =BF +BE =2a ，则C ΔFAB =AB +AF +BF =AB +(2a -AE )+(2a -BE )=4a +AB -AE -BE .在ΔAEB 中，AE +BE ≥AB ，所以AB -AE -BE ≤0，当AB 过点E 时取等号.所以AB +BF +AF =4a +AB -BE ≤4a ，即直线x =m 过椭圆的右焦点E 时，ΔFAB 的周长最大.将x =1代入椭圆x 24+y 23=1得y =±32，即AB =3.因此，当ΔFAB 的周长最大时，S ΔFAB =3.我们首先根据题意作图，并添加合适的辅助线，即可根据椭圆的定义建立线段AF 、AE 、BF 、BE 之间的几何关系；然后根据三角形的性质：两边之和大45。
圆锥曲线中的最值、范围问题2
则 x0＝x1＋2 x2＝1－＋33kkt2，y0＝kx0＋t＝1＋t3k2， ∴H－1＋3k3tk2，1＋t3k2. ∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即 kDH＝－1k. ∴－1＋1＋t33kk3t2k＋2－20＝－1k，化简得 t＝1＋3k2，② 由①②得，1<t<4.综上，t∈(－2,4)．
F，
离心率为 2 ，过点 F 且垂直于长轴的弦长为 2 .
2
（I）求椭圆 C 的标准方程；
（II）设点 A，B 分别是椭圆的左、右顶点，若过点 P2,0的直线与椭圆相交于不同两点 M,N.
（i）求证： AFM BFN ；
（ii）求 MNF 面积的最大值.
解：（1） e c 2 , 又 2b2 2 ,所以 a 2,b 1.所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1…………（4 分）
5．定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、 图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数 表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变 化，而始终是一个确定的值．
6．最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但 总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线 的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求 解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表 达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等 式方法等进行求解．
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数 和建立不等关系，根据目标函数不等式求最值、范围．因此这类 问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数 或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够 表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、 点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．
圆锥曲线上的定点到定直线距离的最值问题探究
法１ ：数形结合法 观察 图像 ，过 圆心作直 线 的垂线 ，与 圆有 两
个 交 点 ，可 以发现 ，这两 个点 到该直 线 的距离 分
／
法２ ：平移直线
别取得 最大 值和 最小值 。故 圆上 的点到该 直线 的 距 离最小值为 圆心到直线 的距离减去半径值 。得 ：
圆 不 好 平 移 ，我 们 可 以考 虑 把 直 线 平 移 ，
ｌ ３ × １ ． ４ ×１ ＋Ｃ ｌ
具体 过程 如下 ：
，解得 ｃ ＝ ６ 或 ４
丽 １ － ４ － （ － ５ ） ￣ １
５‘
收稿 日期 ：２ ０ １ ７ 一 Ｏ １ — ０ ４
作者简介 ：魏福雄 （ １ ９ ８ ７ 一
）， 男， 云南永善人 。中教二级 ， 学士 ， 主要从事数 学教学及班 主任管理工作研究。
椭 圆中，可 以选用参数方程 的方 法来求解 ，而抛 物线中，选 用导数来求解 ，在计算过程 中，都可 以省去很 多
复杂的计算过程。
关键词 ：圆锥 曲线； 最值 问题 ； 距 离
中图分 类号 ：Ｇ ６ ３ ３ ． ６ ３
文献标 志码 ：Ａ
文章编号 ：２ ０ ９ ５ － ７ ４ ０ ８（ ２ ０ １ ７）Ｓ １ — ０ ０ ６ ３ — ０ ３
性 ，所 以有些方法 ，适用于圆 ，但不适用于椭圆 ，
ｌ Ｙ ＝ １ ＋ ｓ ｉ ｎ
利用点到直 线莳 距离公式， 得：
１ ６ ｃ 一 ４ ｘ ｌ Ｏ ｘ （ ｃ 。 一 １ ８ ） ＝０ ， 解 得： ｃ ＝±
，
当 ｃ ＝ ． √ 时 ， ： 一 一 （ 一 ６ ） Ｉ ６ － ４ ３ ６ － ￣
√ １ ３ 为 距离的最小 值． 此时， Ｊ Ｆ ） （ ， ４ ３ ６４ － ３ － ６ ） 为所求点
解决圆锥曲线最值问题的方法研究
作者简介：裴燕萍 (1980 ～ )，女，硕士， 讲师，研究方向为应用语言学、语用学研究。
参考文献 [1] 何自然 . 语用学与英语学习［M］. 上海： 上海外语教育出版社，1997. [2]LeechG.PrinciplesofPragmatics［M］ .London: Longman,1983. [3] 何自然 . 语用学概论［M］. 湖南：湖南 教育出版社，1996. [4] 孟梅 . 大学生英语语用能力研究报告［J］ . 西安外国语学院学报 , 2000, (4). [5] 张小梅 . 大学英语教学与语用能力培养 ［J］. 华南理工大学学报 , 2002, (4).
和 ΔMFO，的面积的和的最小值是（）。
A.2 B.3 C.
D.5
解：可知 M，N 在抛物线 y2=x 上，且在 x
轴 的 上 下 两 侧， 故 可 设
，由已知得到
解 得：
（ 舍 去 ）。 当 x1=x2 时，
x1=x2=2。此时
。当
时，
直线 MN 的方程可以表示出来，则直线 MN 与
x 轴的交点坐标为 (2,0)。此时 SΔMNO+SΔMFO=3。
线上的右边的焦点，因此
表示 P 到 A 的
距离与 P 与曲线的右准线（记为 l）的距离的和，
故过点 A 作 l 的垂线，与双曲线有一个交点记为
P 点，此时
取得最小值，最小值为
。
说 明： 经 过 对 上 述 例 题 分 析 与 解 答， 我
们知利用圆锥曲线的第二定义可以解决形如
的最小值问题。
二、配方法
的函数，然后利用导数法求最值，进而表达出直
线 l。
说明：同理，把所求的值表示为函数，当该
圆锥曲线的最值问题常见类型及解法
例1： 在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。
略解：
圆心到直线L的距离d1=
所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-r
问题：直线L的方程改为 3x-2y-6=0， 其结果又如何？
16 32 22
16 13 13
16 13 2 13
思考： 例1是否还有其他解题方法？
∵ |AF’|=
[1（4） ]2 1 26
∴ |MF|+|MA| 的最大值为 问题：本题解题到此结束了吗？
10 26
最小值为
10 26
变式训练：
1 . 已知P点为抛物线
上的点，那么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点的距
离之和的最小值为 _ __，此时P点坐标为
y_. 2 4 x
y
x Q
3
，面积为
的等腰梯形. （1）求椭圆的方程; （2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求
33
F2AB面积的最大值.
练习、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线 两点，求四边形AEBF面积的最大值.
ykx (k0)
y
与椭圆交于E、F
思维导图： 用k表示四边形的面积
B F
yx2 3
解：设椭圆与
平y行的切x线方程2为 3
y xb
y xb
x2 2
y2
1
3x2 4bx2b2 20 (1) (4b)2 43(2b2 2) 0
b 3
1)当b
3时,代入(1)得dmin
6; 2
2)当b
3时,代入(1)得dmax
3 6. 2
变式训练：
点击圆锥曲线中的最值问题
最值 问题 是 圆锥 曲线 中的典型 问题 ，它是 教学 的重点也 是历年高考 的热点．解 决这类 问题不 仅要
大值是— — ． 解析 不妨设 ｌ 为椭 圆 的 右 准 线 。其 方 程 是
＝
紧紧把握 圆锥 瞌线 的定义 ，而且要 善于综合应用 代
ｂ ＝ ａ 一 ｃ
４ ３ １．
５
．
故椭 圆 ｃ的方程为 ： ２ ！＝ １ Ｘ ＋
．
于是 ｛Ｍ ＋ ＩＭ ＋ ＿Ｈ Ｉ÷ ｌＦｌｌ ＝ ＨＩｌ ＞ Ｂ＝ ． ｌ ｌ
‘ ． ｑ －
（ 若直线 ， ２） 存在斜率 ， 设其方程为 Ｙ＝ ，１ 与椭 圆 Ｃ的交点 Ｍ（． Ｙ），Ｎ（ Ｙ） ｘ ， ｘ ，２
Ａ
即 Ｚ Ｃ 的最大值 为 ． Ｍ￣ ＇ Ｎ
评注 灵活运用抛物线的定义和性质 ， 结合平面
几何 的相关知识 。使解题过程简 洁明快．
２ ．隶角的量值
评注 ：审题时要注意把握 Ｚ Ｎ 与 Ｐ 和 Ｐ ＭＰ Ｍ Ⅳ 的倾斜角之间的 内在联系．
例２ Ｍ、 Ｎ分别是椭
圆 ＋＝ 左右 等Ａｌ ，焦 Ｙ的 ２
数的不等式・如 ｃ
厂 —
一 ＝ ４１ ｃ０ １ ； 等 ０ ０ ０ 集 ２ ０ 、２， １ ２ 『 ２
． ． ． …
百－， Ｚ－
２ ｋ＋１
利定分证：厨 ＜ 用积可明喜 鸠
【２ １ ｋ‘ ・ ＋‘ ￣
—＋ ２２ ｋ —
点击圆锥 曲线 中的最值 问题
｛
Ｊ Ｄ
Ａｉ
—
｜ Ｂ
，
Ｍ ｔ Ｂｔ
（ ，） Ⅳ（ ，） 一 ０ ， ０
谈谈高中数学圆锥曲线中的最值问题
如何用活教材
考索·探微
课程教育研究
Course Education Ressearch
2015 年 11 月 中旬刊
说明：本题以平面向量为载体考察解三角形，首先利用平面 向量的坐标运算求出 的大小，接着利用余弦定理求出边 ，最后 运用面积公式求出面积。
参考文献： [1] 陈君，解读高考中的三角函数综合题 [J], 中学数学教与学 , 2011. [2] 高考中的“解三角形”[J]，中学生数理化，2012.
课程教育研究
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例题分析：在圆锥曲线中，当所求的最值可以表示成某个变 量的函数关系式时，可以先建立对应的函数关系式，然后利用函 数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问 题中求最值的常用方法。函数法是研究数学问题的一种最重要的 方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函 数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量 是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得。
我在教学中，主要从教材以下几点着手进行教学。 一、变枯为趣，快乐学习 小学生学习的兴趣总是在一定的情境中产生并发展的，新课 标指出：数学教学应该创设生活环境与知识背景密切相关的，又 是学生感兴趣的学习情境，让学生观察、操作、猜测、反思等活 动中逐步体会数学知识的产生，形成与发展的过程，获得积极的 情感体验，同时掌握必要的基础知识和基本技能。在小学数学课 堂教学中，教师应努力创设学生喜闻乐见的教学情境，使学生处 于一种愉悦的氛围中，从而调动学生学习数学的积极性和主动性。 小学数学中有很多内容都是被规定了的。如符号、规则等。这些 知识在学习上并没有多少探究的空间而且非常的枯燥。因而需要 我们教师创设一定的教学情境，使学生在愉悦的氛围中学习枯燥 的数学知识。如小学数学人教版五年级上册“用字母表示数”一 课中，教材是这样呈现简写规则的：a×4 或 4×a 通常可以写成 4×a 或 4a；a×a 可以写成 a·a，也可以写成 a2，读作“a 的平方”。 这样的规则教师怎么教？教育家苏霍姆林斯基曾指出：“如果老 师不想办法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于 传授知识，不动情感的脑力劳动就会带来疲倦。”我赏试用儿童 的眼光把简写规则这样的规定性知识用一个有趣的数学童话向同 学介绍，引导学生在具体的情境中轻松愉快地学习。故事如下： 某天早朝，国王正在听小不点儿乘号汇报工作：“陛下，因 为我和 X 很相近，许多人总把我们混淆。请陛下出一个对策啊。” 于是，太监传下国王口御：加号、减号、除号先行退朝，乘 号留下议事。 第二天早朝，国王宣布了 3 条制度： 第一，在含有字母的式子里，数和字母中间的乘号可以记作 小圆点，也可以省略不写。如 x×4 或 4×x 都可以记作４·x 或４x， 但要注意，在省略乘号时，要把数写在字母的前面。 第二，1 与任何字母相乘时，1 可以省略不写。如 1×c 或 c×1 都记作 c。 第三，字母和字母相乘，中间的乘号也可以记作小圆点或省 略不写。如 a×b 记作 a·b 或 ab；两个相同的字母相乘，如 a×a 记作 a2，读作“a 的平方”。这样的教学片段形式新颖、活泼， 体现出一切形式的教学都是为学生学习服务的思想。 二、变静为动，深入学习 教材上的知识都是静态的，教学内容都讲得不是十分详尽， 学生看到的只是思维结果，而不是知识的形成过程，在数学教学 中要注意展示知识形成的过程，将静态的知识结论变为动态的探
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点击圆锥曲线中的最值问题最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。
解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。
以下从五个方面予以阐述。
一．求距离的最值例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ，解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F时，d 取最小值411，评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
二．求角的最值 例2．M ，N 分别是椭圆12422=+yx的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠MPN 的最大值是 .解析：不妨设l 为椭圆的右准线，其方程是22=x ，点)0)(,22(00>y y P ，直线PM 和PN 倾斜角分别为βα和.∵)0,2(),0,2(N M - ∴,232220tan 00y y k PM =+-==α22220tan 00y y k PN =--==β 于是)tan(tan αβ-=∠MPN2321232tan tan 1tan tan 000y y y y ⋅+-=+-=αβαβ 3362226226220200=≤+=+=y y yy∵)2,0[π∈∠MPN ∴6π≤∠MPN即∠MPN 的最大值为6π.评注：审题时要注意把握∠MPN 与PM 和PN 的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值 例3.点M 和F 分别是椭圆192522=+yx上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值.⑵求45|MF|+|MB|的最小值.解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F ′(-4,0)，离心率e=54，准线方程x=±425.⑴|MF| + |MB| = 10―|MF ′ | + |MB| =10―（|MF ′|―|MB|）≥10―|F ′B|=10―210.故当M ，B ，F ′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210.⑵过动点M 作右准线x=425的垂线，垂足为H ，则54||||==e MH MF ⇒||54|H |MF M =.于是45|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=417.可见，当且仅当点B 、M 、H 共线时，45|MF|+|MB|取最小值417.评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。
例4．点P 为双曲线1422=-yx的右支上一点，M ，N分别为1)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的点，则PM －PN 的最大值为 .解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点)0,5(1-F和右焦点)0,5(2F .对于双曲线右支上每一个确定的点P ，连结PF 1，并延长PF 1交⊙F 1于点M o .则PM 0为适合条件的最大的PM ，连结PF 2,交⊙F 2于点N o .则PN 0为适合条件的最小的PN .于是00PN PM PN PM -≤-)1()1(21--+=PF PF 6242)(21=+=+-=PF PF故PM －PN 的最大值为6.评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.例5．已知e 1，e 2分别是共轭双曲线12222=-bya x和12222-=-b ya x的离心率，则e 1+e 2的最小值为 .解析：,12222221ab ab a e +=+=22222221ba bb a e +=+=)1)(1(44)(222221221ba ab e e e e ++=≥+8224)(242222=+≥++=ba ab考虑到021>+e e ，故得2221≥+e e . 即e 1+e 2的最小值为22.评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.四、求面积的最值例6．已知平面内的一个动点P 到直线334:=x l 的距离与到定点)0,3(F 的距离之比为332，点)21,1(A ，设动点P 的轨迹为曲线C .⑴求曲线C 的方程；⑵过原点O 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.求△MAN 面积的最大值.解析：⑴设动点P 到l 的距离为d ，由题意23=dPF根据圆锥曲线统一定义，点P 的轨迹C 为椭圆. ∵23,3===ac e c , 可得,2=a∴134222=-=-=c a b 故椭圆C 的方程为：1422=+yx⑵若直线l 存在斜率，设其方程为,kx y =l 与椭圆C 的交点),,(11y x M ),(22y x N 将y =kx 代入椭圆C 的方程1422=+yx并整理得04)41(22=-+xk .∴22121414,0kx x x x +-==+于是 2212))(1(||x x kMN -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=222241144116)1(kkkk ++=+⋅+=又 点A 到直线l 的距离21|21|kk d +-=故△MAN 的面积241|12|||21kk d MN S +-=⋅=从而 2222414141)12(kk kk S+-=+-=①当k =0时，S 2=1得S =1 ②当k >0时，S 2<1得S <1③当k <0时，24241)4()1(412=+≤-+-+=k k S得2≤S若直线l 不存在斜率，则MN 即为椭圆C 的短轴，所以MN =2. 于是△MAN 的面积11221=⋅⋅=S .综上，△MAN 的最大值为2.评注：本题将△MAN 的面积表示为l 的斜率k 的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。
当然，也可以将该面积函数转化为关于k 的一元二次方程，由△≥0求得面积S 的最大值。
五.求最值条件下的曲线方程例7.已知椭圆的焦点F 1(―3,0)、F 2(3,0)且与直线x ―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.解法1：设椭圆为92222-+a ya x=1与直线方程x ―y+9=0联立并消去y 得：(2 a 2― 9) x 2 + 18 a 2 x + 90 a 2―a 4= 0， 由题设△=(18 a 2)2―4(2 a 2―9) (90 a 2―a 4) ≥0⇒a 4―54 a 2 + 405 ≥0⇒a 2≥45或a 2≤9.∵a 2－9>0, ∴a 2≥45, 故a min =35，得（2a ）min =65,此时椭圆方程为1364522=+yx. 解法2：设椭圆92222-+a yax =1与直线x ―y+9=0的公共点为M(acos α,αsin 92-a )，则acos α―αsin 92-a +9=0有解. ∵)cos(922φα+-a =―9⇒ cos(α+φ)=9292--a ，∴|9292--a |≤1⇒922-a ≥9⇒a 2≥45,∴a min =35，得（2a ）min =65,此时椭圆的方程1364522=+yx.解法3：先求得F 1(―3，0)关于直线x ―y+9=0的对称点F(―9,6)，设直线x ―y+9=0与椭圆的一个交点为M ，则2a=|MF 1|+|MF 2| =|MF| +|MF 2|≥|FF2|=65，于是(2a)min =65, 此时易得： a 2=45, b 2=36， 于是椭圆的方程为1364522=+yx.评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。
由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。
解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上，灵活合理地运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻求恰当的解题方法。
此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。