高中数学2.4.1平面向量的数量积(1)学案新人教A版必修4
【期末专练】人教A版数学必修四2.4《平面向量数量积》教学 导学案
复习课:平面向量的数量积一、教学分析向量是近代数学基本和重要的数学概念之一，有着极其丰富的实际背景，它具有代数和几何的双重身份，是沟通代数、几何的桥梁。
它能与中学数学中许多教学内容许多主干知识相结合，形成知识交汇点。
而且初中课本里已经对平面向量做了简单的介绍，再次将平面向量坐标表示引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。
本节平面向量数量积的复习课在教学内容方面不仅有对于向量相关知识的回顾，也有对于数量积求法的总结，也涉及到向量数量积的应用；课堂中也很好的融入了数形结合的数学思想和化归思想。
二、教学目标1.掌握平面向量数量积的概念，回顾梳理与平面向量数量积相关的知识点。
2.通过体验、归纳，总结求解平面数量积的方法，同时提高对题目的反思重解能力。
3.通过平面向量数量积的应用，提高分析问题解决问题的能力。
三、教学重点平面向量数量积概念的掌握。
四、教学难点应用数量积解决问题。
五、学生学情分析1．知识方面：学生已完成了平面向量这一章知识内容的学习，并已能运用平面向量的知识解决一些简单的向量几何问题，但是还不能融会贯通地综合理解运用知识，尤其知识的迁移能力还不够。
同时整章的知识脉络还没完全成型。
因此，本节复习课对现阶段的学生来说尤为重要。
2．能力方面：因为刚刚完成向量部分的学习，对于向量的相关知识内化的还不够完善。
部分学生解题时数形结合能力弱，但是由于学生的基础较好，所以大部分学生的求知欲和学习主动性较高。
3．心理方面：学生已具备了一定的归纳知识的意识和能力，而且现阶段学生表现欲也很强，本节课的教学设计正好符合高一学生的这个心理特征。
六、教学过程1、知识回顾1．完成以下问题（1）已知等边△ABC 的边长为3，则=⋅ .(29)（2）已知向量(1,2),(,1),a b x ==且a b ⊥,则x = -2（3）判断下列说法正确的是①22a a = （ √ ）②若0a b ⋅=则00a b ==或 （ X ）③若0,,b a b c b a c ≠⋅=⋅=则 （ X ）④若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，对任意向量,,a b c 都成立 （ X ）2.通过以上问题的解决，引出课题，并对以下知识进行回顾梳理。
新人教版必修4高中数学2.4.1《平面向量的数量积》教学设计
一、教学内容分析1、教学主要内容（1）平面向量数量积及其几何意义（2）用平面向量处理有关的长度、角度、垂直问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到承上启下的作用。
3、教学内容的核心思想用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。
4、我的思考本节教学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。
因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。
二、学生分析1、在学习新课以前，让学生回顾两向量夹角的定义和范围，为后面学习数量积定义和性质打下了基础。
但是对投影的记忆学生有一定问题，所以在教学上把数量积的定义转化到图形上来。
2、我的思考由于学生基础相对薄弱，学习本节知识，在处理例题和练习时没有必要有过大的计算量。
三、学习目标1、知识与技能（1）掌握平面向量数量积及其几何意义（2）平面向量数量积的应用2、过程与方法通过学生积极参与课堂，通过学生回答和板演，发现问题并及时订正。
3、情感态度与价值观培养学生运算推理能力四、教学活动2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义日教学目标1、理解数量积的含义及几何意义；（重点）2、体会平面向量的数量积和投影的关系；3、理解掌握向量的数量积的性质及运算律，并能进行相关的运算。
（难点）一、课堂探究1、数量积的定义已知两个非零向量 与 我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积）。
记作 其中θ是 的夹角.规定：零向量与任意向量的数量积为0总结：1、数量积运算符号“点”不能省略；2、数量积是一个数量；3、00a →→⋅=思考问题1：向量的数量积是一个实数，那它什么时候为正？什么时候为负？由学生回答完成！思考问题2：由学生回答完成！老师总结： b a b ⋅cos a b a b θ⋅=即，a b 与a b cos a b θa 0a b →→⇒⋅>0a b →→⇒⋅<0a b →→⇒⋅=00=0=0=0a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→→→⋅>⇒⋅<⇒⋅⇒与的夹角为锐角？与的夹角为钝角？或？由学生完成！2、向量数量积的性质：,a b →→设向量是两个非零向量例2：老师引导学生完成！3、投影的概念：cos b θ→叫做向量 在 方向上的投影. 1.5,4,120a b a b a b a b θ→→===⋅例已知与的夹角，求及向量在方向上的投影。
人教a版必修4学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(含答案)
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义自主学习知识梳理1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量____________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是______________，向量b 在a 方向上的投影是__________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影__________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝__________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝__________(分配律)．自主探究根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝________，当a 与b 反向时，a·b ＝________；(3)a·a ＝__________或|a |＝a·a ＝a 2；(4)cos θ＝__________；(5)|a·b |≤__________.对点讲练知识点一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．变式训练1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.知识点二 求向量的模长例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.回顾归纳 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．变式训练2 已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |.知识点三 向量的夹角或垂直问题例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．回顾归纳 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．变式训练3 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.课时作业一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 4．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题6．已知向量a ，b 且|a |＝5，|b |＝3，|a －b |＝7，则a·b ＝________.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．10．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |·cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ3．(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c自主探究(1)a·b ＝0 (2)|a||b | －|a||b | (3)|a |2(4)a·b |a||b |(5)|a||b | 对点讲练例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |·cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 90°＝0.(3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a |·|b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 变式训练1 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝ 25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝ 25－2×252＋25＝5. 变式训练2 解 由|3a －2b |＝3，得9|a |2－12a·b ＋4|b |2＝9，∵|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝13， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a·b ＋|b |2＝2 3.例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 变式训练3 解 要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直． 课时作业1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12. 同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 4．B [∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]6．－152解析 |a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝49，∴a·b ＝－152. 7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a|·|b |cos θ－|b |2＝0，∵a 是单位向量，∴|a |＝1，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.9．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°， ∴a·b ＝|a||b |·cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |·cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |·cos 60°＝4×3×12＝6. 10．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉 ＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.。
高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义优化练习新人教A版必修4
答案：－63
9．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解析：①当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
解析：(1)由|3a－b|＝ ，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝1，所以a·b＝ .因此(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝15，
所以|a＋3b|＝ .
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ，
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝ ，
所以cosθ＝ ＝ ＝ ，
故 · ＝( ＋ )·
＝ ·( － )
＝ ·( － )
＝ · ＋ －
＝ | || |cos 120°＋ | |2－ | |2
＝ ×2×1× ＋ ×1－ ×22＝－ .
答案：－
8．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.
解析：将两已知等式相加得，2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．2B．－2
C．4D．－4
解析：记向量a与b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cosθ＝－12，即6×3cosθ＝－12，所以cosθ＝－ ，所以a在b方向上的投影为|a|cosθ＝6× ＝－4.
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课后习题 新人教A版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、A组1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,a与b的夹角为30°,则a·(a-2b)=()A.2-2B.4-2C.-4D.-2解析:a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos 30°=4-2×2×=4-6=-2.答案:D2.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.又0≤θ≤π,∴θ=.答案:B3.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:根据投影的定义,可得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos α==-4,其中α为a与b的夹角.故选A.答案:A4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:∵(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4cos 60°-6×16=|a|2-2|a|-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,∴|a|=6或|a|=-4(舍去),故选C.答案:C5.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于()A.-25B.-20C.-15D.-10解析:由已知可得△ABC为直角三角形,则的夹角为,=0,∴·()==-||2=-25.答案:A6.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=.解析:∵|a-b|=1,∴a2-2a·b+b2=1.又|a|=|b|=1,∴a·b=.∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,∴|a+b|=.答案:7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2,若a·b=0,则k的值为.解析:∵a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=k-2k e1·e2+e1·e2-2=k-2k·-2=2k-=0.∴k=.答案:8ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=. 解析:∵D是边BC的中点,∴).又,∴)·()=)=×(32-22)=.答案:9.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.解:(1)∵a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=4.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,∴a·b=-4,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴θ=.10.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.(2016·山东淄川一中阶段性检测)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(k a-4b),则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题知,(2a+3b)·(k a-4b)=0,即2k a2+(3k-8)a·b-12b2=0,即2k-12=0,k=6.故选B.答案:B2.(2016·江西赣州期末考试)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为()A.2B.1C. D.解析:在平行四边形ABCD中,,∴=()·=1,∴1-×1×||×cos 60°=1,解得||=.答案:D3.在△ABC中,AB⊥AC,AC=1,点D满足条件,则等于()A. B.1C. D.解析:∵AB⊥AC,∴=0.∴·()==0+=·()=)=×(1-0)=.答案:A4.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=()A.2B.C.4D.解析:因为向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,所以a·b=-.所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=13.所以|a-b|=.答案:D5.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析:|2a-b|=.∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.∴|2a-b|=0或4.答案:0或46.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析:由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=m a-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)由向量c与d垂直,得c·d=0,而c·d=(3a+5b)·(m a-3b)=3m a2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,∴m=,即m=时,c与d垂直.(2)由c与d共线,得存在实数λ,使得c=λd,∴3a+5b=λ(m a-3b),即3a+5b=λm a-3λb.又∵a与b不共线,∴解得即当m=-时,c与d共线.8)如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解:(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.∴b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.。
人教A版高中数学必修四 2.4 《平面向量的数量积》教案
§2.4平面向量的数量积教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量错误！嵌入对象无效。
与非零向量错误！嵌入对象无效。
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使错误！嵌入对象无效。
=λ错误！嵌入对象无效。
.2．平面向量基本定理：如果错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量错误！嵌入对象无效。
，有且只有一对实数λ1，λ2使错误！嵌入对象无效。
=λ1错误！嵌入对象无效。
+λ2错误！嵌入对象无效。
3．平面向量的坐标表示分别取与错误！嵌入对象无效。
轴、错误！嵌入对象无效。
轴方向相同的两个单位向量错误！嵌入对象无效。
、错误！嵌入对象无效。
作为基底.任作一个向量错误！嵌入对象无效。
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数错误！嵌入对象无效。
、错误！嵌入对象无效。
，使得错误！嵌入对象无效。
把错误！嵌入对象无效。
叫做向量错误！嵌入对象无效。
的（直角）坐标，记作错误！嵌入对象无效。
4．平面向量的坐标运算若错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
，则错误！嵌入对象无效。
错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
.若错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积习题(1)
高中数学教案学案平面向量的数量积及其应用学习目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________； ③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |.2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________；(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________.(4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB →|＝_____________________.1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 2．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 3．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－124.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.考点一 向量的模及夹角问题 例1 (2011·马鞍山月考)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；（3）若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．举一反三1 (1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )A ．1B ．2C. 2D.22(2)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．考点二 两向量的平行与垂直问题 例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．(1)求证：a ＋b 与a －b 垂直； (2)用k 表示a ·b ； (3)求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.举一反三2 (2009·江苏)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .考点三 向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ，sin 32x ， b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |； (2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．举一反三3 （2010·四川）已知△ABC 的面积S =12AB →·AC →·＝3，且cos B ＝35，求cos C .1．一些常见的错误结论：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：（1）要证AB =CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →|.（2）要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数λ≠0，使等式AB →＝λCD →成立即可．（3）要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →＝0.一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·重庆)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为 ( )A ．－32 B.32C ．2D ．62．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为 ( )A ．－6B ．－3C ．3D ．63.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于 ( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150° 4．(2010·湖南)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为 ( )A.135B.655C.65D.136．(2010·湖南长沙一中月考)设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a·b ＝25，则sin α＝________. 7．(2010·广东金山中学高三第二次月考)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．8．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π4，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________________.三、解答题(共38分)9.(12分)已知OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．(12分)(2011·杭州调研)已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝(cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ)． (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t 的最小值．11．(14分)(2011·济南模拟)已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )＝85，求cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值．答案1．(1)a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①|a |cos 〈a ，e 〉 ②a·b ＝0 ③|a |2 a·a ④a·b|a||b |⑤≤ 2.(1)b·a(2)a·c ＋b·c (3)λ(a ·b ) 3.(1)a 1b 1＋a 2b 2 (2)a 1b 1＋a 2b 2＝0 (3)a 21＋a 22 a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22(4)(x 2－x 1，y 2－y 1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)22．B [|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8＝2 2.] 3．D [由(a ＋λb )·b ＝0得a·b ＋λ|b |2＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]4．y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2， BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0， 即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．－2解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，52，所以MA →·MB →＝－2.课堂活动区例1 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61， ∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2 ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝16＋2×(－6)＋9＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 举一反三1 (1)C [∵|a |＝|b |＝1，a·b ＝0，展开(a －c )·(b －c )＝0⇒|c |2＝c·(a ＋b ) ＝|c |·|a ＋b |cos θ，∴|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ， ∴|c |的最大值是 2.](2)λ<12且λ≠－2解析 ∵〈a ，b 〉∈(0，π2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12.当a ·b 同向时，由a ＝k b (k >0)得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.例2 解题思路 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解 (1)由题意得，|a |＝|b |＝1， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直． (2)|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1， (3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b . 由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ，从而有，a ·b ＝1＋k24k(k >0)．(3)由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥12，当k ＝1k时，等号成立，即k ＝±1.∵k >0，∴k ＝1.此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π3.举一反三2 (1)解 因为a 与b －2c 垂直， 所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .例3 解题思路 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 32x －sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.举一反三3 解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12.AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos A ＝3sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010.由题意cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010.∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－1010.课后练习区 1．D [因为a·b ＝6－m ＝0，所以m ＝6.] 2．D [由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0得2k －12＝0，∴k ＝6.]3．C [∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a·b <0，∴∠BAC 为钝角．∴∠BAC ＝150°.] 4．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＝－|b |2.cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－12|b |2|b |2＝－12. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．B [因为a·b ＝|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉， 所以，a 在b 上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b |b |＝21－842＋72＝1365＝655.] 6.35解析 ∵a·b ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴sin α＝35.7．120°解析 设a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ， ∴c·a ＝0，即(a ＋b )·a ＝0.∴a 2＋a·b ＝0. 又|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos θ＝0.∴cos θ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.8．(－1,0)或(0，－1)解析 设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1， 有x ＋y ＝－1.①由m 与n 夹角为3π4，有m·n ＝|m|·|n |cos 3π4，∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－1，∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．9．解 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)， MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分) ∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴M 点坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225，115.故在线段OC 上存在点M ，使MA →⊥MB →，且点M 的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分)10．(1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin ()－θ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .……………………………………………………(4分) (2)解 由x ⊥y 得，x·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， ∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.………………………………………………………………(6分) 又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t .…………………………………………………………(8分) ∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分) 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (x )＝a·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2sin x ＝2cos x cos π6－2sin x sin π6＋2sin x＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.…………………………………………………………(5分) 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，7π6＋2k π (k ∈Z )．……………………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 又因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝85， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分) 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝45. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－1＝725.………………………………………………(14分)。
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(二)
a· c＋b· c (分配律). (3)(a＋b)· c＝_________
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.1（二）
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
向量数量积运算律的提出 类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特
a· b＝b· c(b≠0)⇒a＝c 不成立，如图所示．
显然 a· b＝b· c，且 a≠c.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.1（二）
探究点二
向量数量积的运算律
已知向量 a，b，c 和实数 λ，向量的数量积满足下列运算律： ①a· b＝b· a(交换律)；
本 课 时 栏 目 开 关
②(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb)(数乘结合律)； ③(a＋b)· c＝a· c＋b· c(分配律)． 问题 1 证明 a· b＝b· a.
|b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影． 的投影，_________
2．向量数量积的性质 设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量．
|a|cos〈a，b〉 (1)a· e＝e· a＝_____________ ；
0 且 a· 0 ⇒a⊥b； (2)a⊥b⇒a· b＝__ b＝__
问题 1
征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：
运算律 交换律 结合律 分配律 实数乘法 ab＝ba (ab)c＝a(bc) (a＋b)c＝ac＋bc 向量数量积 判断 正误
a· b＝b· a (a· b)c＝a(b· c) (a＋b)· c＝a· c＋b· c
正确
错误 正确
b＝b· c(b≠0)⇒a＝c 错误 消去律 ab＝bc(b≠0) ⇒a＝c a·
高中数学必修四(人教新A版)教案22平面向量数量积
分配律：(a+b)c=ac +bc
1
高中数学必修四课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量 ， ，试用 和 的坐标表示 .
设 是 轴上的单位向量， 是 轴上的单位向量，那么 ， 所以
又 ， ， ，所以
2．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab= 0
3当a与b同向时，ab= |a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa= |a|2或
4cos= ；5|ab|≤|a||b|
3．平面向量数量积的运算律
交换律：ab=ba
例2设a= (5，7)，b= (6，4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)
2
高中数学必修四课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
课本练习107页
四小结（略）
五课后作业（略）
教
学
小
结
课后
反思
3
高中数学必修四课时教案
备课人
授课时间
课题
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课标要求
掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
教
学
目
标
知识目标
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
技能目标
能用所学知识解决有关综合问题.
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(一)
其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . (3)投影：设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b
|a|cos θ ， |b|cos θ 方向的投影是_______ 向量 b 在 a 方向上的投影是_______.
3．数量积的几何意义 a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方
|b|cos θ 的乘积． 向上的投影_______
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.1（一）
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
平面向量数量积的含义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所
∴a· b＝|a|· |b|cos 180° ＝4×5×(－1)＝－20. (2)当 a⊥b 时，θ＝90° ，∴a· b＝|a|· |b|cos 90° ＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时，a· b＝|a|· |b|cos 30°
2.4.1（一）
【学法指导】 1．向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的 区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习 本 课 时必须透彻理解数量积概念的内涵． 时 栏 目 2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰 开 关 富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中 已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式也要严 格区分，a· b 中的“· ”不能省略.
人教高中数学 必修四2.4.平面向量的数量积(教案)
2.4 平面向量的数量积第1课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量的数量积及其几何意义；2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；二、过程与方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．三、情感、态度与价值观通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的定义．教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.教学关键：平面向量数量积的定义的理解．教学方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．学习方法通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算．教学过程一、创设情境，导入新课在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W 可由下式计算：W =| F | | s | cosθ，其中θ是F 与s 的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量）．故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念．二、主题探究，合作交流提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？②由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？师生活动:已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cosθ（0≤θ≤π）．其中θ是a 与b 的夹角，|a |cosθ（|b |cosθ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意:（1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；（2）零向量与任一向量的数量积为0，即a ·0=0；（3）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（4）当0≤θ<2π时cosθ>0，从而a ·b >0；当2π<θ≤π时，cosθ<0，从而a ·b <0．与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a 、b 、c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律:①a ·b =b ·a （交换律）；②（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）（数乘结合律）；③（a +b ）·c =a ·c +b ·c （分配律）．特别是:（1）当a ≠0时，由a ·b =0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b =0．注意：已知实数a 、b 、c （b ≠0），则ab =bc ⇒a =c ．但对向量的数量积，该推理不正确，即a ·b =b ·c 不能推出a =c ．由上图很容易看出，虽然a ·b =b ·c ，但a ≠c ．对于实数a 、b 、c 有（a ·b ）c =a （b ·c ）；但对于向量a 、b 、c ，（a ·b ）c =a （b ·c ）不成立．这是因为（a ·b ）c 表示一个与c 共线的向量，而a （b ·c ）表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以（a ·b ）c =a （b ·c ）不成立．提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？师生活动:教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向量的数量积的定义，从数与形两个角度进行探索研究．教师给出图形并作结论性的总结，提出注意点“投影”的概念，如下图．定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影．并引导学生思考.A . 投影也是一个数量，不是向量；B . 当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0°时投影为|b |；当θ=180°时投影为-|b |．教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积．让学生思考:这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量，θ为两向量的夹角，e 是与b 同向的单位向量．A . e ·a =a ·e =|a |cos θ．B . a ⊥b ⇔a ·b =0．C . 当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |．特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙．D . cosθ=||||a b a b ∙． E . |a ·b |≤|a ||b |．上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示，在推导过程中理解并记忆这些性质．讨论结果:①略．②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积．三、拓展创新，应用提高例1 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求a ·b活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解．解: a ·b =|a ||b |cosθ=5×4 ×cos120°=5×4×（21-）=-10． 点评: 确定两个向量的夹角，利用数量积的定义求解．例2 我们知道，对任意a ，b ∈R ，恒有（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2．对任意向量a 、b ，是否也有下面类似的结论？（1）（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2；（2）（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2．解：（1）（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2；（2）（a +b ）·（a -b ）=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b =a 2-b 2．例3 已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，求（a +2b ）·（a -3b ）．解: （a +2b ）·（a -3b ）=a ·a -a ·b -6b ·b =|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72．例4 已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 不共线，当k 为何值时，向量a +k b 与a -k b 互相垂直？解: a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是（a +k b ）·（a -k b ）=0，即a 2-k 2b 2=0．∵a 2=32=9，b 2=42=16，∴9-16k 2=0．∴k =±43．也就是说，当k =±43时，a +k b 与a -k b 互相垂直．点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、几何意义，数量积的重要性质，数量积的运算律．2．教师与学生总结本节学习的数学方法，归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题，并鼓励学生进行一题多解．课堂作业1．已知a ，b ，c 是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为（ ）①|a ·b |=|a ||b |⇔a ∥b ②a 与b 反向⇔a ·b =-|a ||b | ③a ⊥b ⇔|a +b |=|a -b | ④|a |=|b |⇔|a ·c |=|b ·c |A ．1B ．2C ．3D ．42．有下列四个命题:①在△ABC 中，若AB ·BC >0，则△ABC 是锐角三角形；②在△ABC 中，若AB ·BC >0，则△ABC 为钝角三角形；③△ABC 为直角三角形的充要条件是AB ·BC =0；④△ABC 为斜三角形的充要条件是AB ·BC ≠0．其中为真命题的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④3．设|a |=8，e 为单位向量，a 与e 的夹角为60°，则a 在e 方向上的投影为（ ）A ．43B ．4C ．42D ．8+234．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题:①（a ·b ）c -（c ·a ）b =0； ②|a |-|b |<|a -b |；③（b ·c ）a -（c ·a ）b 不与c 垂直； ④（3a +2b ）·（3a -2b ）=9|a |2-4|b |2．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④5．在△ABC 中，设AB =b ，AC =c ，则22(|||)()b c b c ∙-等于（ ）A ．0B ．21S △ABC C ．S △ABC D ．2S △ABC 6．设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，且a =（m+1）i -3j ，b =i +（m -1）j ， 如果（a +b ）⊥（a -b ），则实数m=_____________．7．若向量a 、b 、c 满足a +b +c =0，且|a |=3，|b |=1，|c |=4，则a ·b +b ·c +c ·a =_________．参考答案:1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．-2 7．-13第2课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量数量积运算规律.2．能利用数量积的性质及数量积运算规律解决有关问题.3．掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．二、过程与方法教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示．通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法．平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础．三、情感、态度与价值观通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示．教学难点：向量数量积的坐标表示的应用．教学关键：平面向量数量积的坐标表示的理解．教学突破方法：教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示．并通过练习，使学生掌握数量积的应用．教学过程一、创设情境，导入新课前面我们学习了平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，那么，能否用坐标表示平面向量的数量积呢？若能，如何表示呢？由此又能产生什么结论呢？本节课我们就来研究这个问题．（板书课题）二、主题探究，合作交流提出问题：①已知两个非零向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），怎样用a 与b 的坐标表示a ·b 呢？②怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？③你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？师生活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究．提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示．教师可以组织学生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充．推导过程如下：∵a =x 1ｉ+y 1j ，b =x 2ｉ+y 2j ，∴a ·b =（x 1ｉ+y 1j ）·（x 2ｉ+y 2j ）=x 1x 2ｉ2+x 1y 2ｉ·j +x 2y 1ｉ·j +y 1y 2j 2． 又∵ｉ·ｉ=1，j ·j =1，ｉ·j =j ·ｉ=0，∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2．教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：A . 平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ·b =x 1x 2+y 1y 2．B . 向量模的坐标表示若a =（x ，y ），则|a |2=x 2+y 2，或|a |=22y x +．如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），那么a =（x 2-x 1，y 2-y 1），|a |=.)()(212212y y x x -+-C . 两向量垂直的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0．D . 两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量，a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，可得cos θ=121222221122||||x x y y a b a b x y x y +=++三、拓展创新，应用提高例1 已知A （1，2），B （2，3），C （-2，5），试判断△ABC 的形状，并给出证明．活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题．判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角．可先作出草图，进行直观判定，再去证明．在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等，则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法．解：在平面直角坐标系中标出A （1，2），B （2，3），C （-2，5）三点，我们发现△ABC 是直角三角形．下面给出证明．∵AB =（2-1，3-2）=（1，1），AC =（-2-1，5-2）=（-3，3），∴AB ·AC =1×（-3）+1×3=0．∴AB ⊥AC ．∴△ABC 是直角三角形．点评：本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状．当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定，然后对你的结论给出充分的证明．例2 设a =（5，-7），b =（-6，-4），求a ·b 及a 、b 间的夹角θ（精确到1°）．解：a ·b =5×（-6）+（-7）×（-4）=-30+28=-2．|a |=74)7(522=-+，|b |=22(6)(4)52-+-=，由计算器得cos θ=52742⨯-四、小结1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等．课堂作业1．若a =（2，-3），b =（x ，2x ），且a ·b =34，则x 等于（ ） A ．3 B ．31 C ．31- D ．-3 2．设a =（1，2），b =（1，m ），若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围是（ ）A ．m>21B ．m<21C ．m>21-D ．m<21- 3．若a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），则（ ）A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．（a +b ）⊥（a -b ）D ．（a +b ）∥（a -b ）4．与a =（u ，v ）垂直的单位向量是（ ）A ．（2222,v u u vu v++-） B ．（2222,v u u v u v +-+） C ．（2222,v u u v u v++） D ．（2222,v u u v u v ++-）或（2222,vu u v u v +-+） 5．已知向量a =（cos23°，cos67°），b =（cos68°，cos22°），u =a +t b （t ∈R ），求u 的模的最小值．6．已知a ，b 都是非零向量，且a +3b 与7a -5b 垂直，a -4b 与7a -2b 垂直，求a 与b 的夹角．7．已知△ABC 的三个顶点为A （1，1），B （3，1），C （4，5），求△ABC 的面积．参考答案：1．C 2．D 3．C 4．D5．|a |= 23sin 23cos 67cos 23cos 2222+=+=1，同理有|b |=1．又a ·b =cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=22， ∴|u |2=（a +t b ）2=a 2+2t a ·b +t 2b 2=t 2+2t+1=（t+22）2+21≥21．当t=22-时，|u|mi n =22． 6．由已知（a +3b ）⊥（7a -5b ）⇔（a +3b ）·（7a -5b ）=0⇔7a 2+16a ·b -15b 2=0．①又 （a -4b ）⊥（7a -2b ）⇔（a -4b ）·（7a -2b ）=0⇔7a 2-30a ·b +8b 2=0． ②①-②得46a ·b =23b 2，即a ·b =.2||222b b =③ 将③代入①，可得7|a |2+8|b |2-15|b |2=0，即|a |2=|b |2，有|a |=|b |，∴若记a 与b 的夹角为θ，则cosθ=2||12||||||||2b a b a b b b ∙==g g ．又θ∈[0°，180°]，∴θ=60°，即a 与b 的夹角为60°． 7．分析：S △ABC =21|AB ||AC |sin ∠BAC ，而|AB |，|AC |易求，要求sin ∠BAC 可先求出cos ∠BA C ． 解：∵AB =（2，0），AC =（3，4），|AB |=2，|AC |=5，∴cos ∠BAC =23043255||||AB AC AB AC ⨯+⨯==⨯．∴sin ∠BAC =54．∴S △ABC =21|AB ||AC |sin ∠BAC =21×2×5×54=4．。
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
向量的数量积
定义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量_|a_||_b_|c_o_s__θ叫作 a 与 b 的 数量积，记作_a_·_b_，即 a·b＝_|a_||_b_|c_o_s__θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．零 向量与任一向量的数量积为__0__.
几何意义
|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的 __投__影__．a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影|b|cos θ 的_乘__积___
为________，b 在 a 方向上的投影为________．
【解析】 (1)设B→A＝a，B→C＝b，则 a·b＝12，|a|＝|b|＝1.D→E＝12 A→C＝12(b－a)，D→F＝32D→E＝34(b－a)，A→F＝A→D＋D→F＝－12a＋34(b－a) ＝－54a＋34b，A→F·B→C＝－54a·b＋34b2＝－58＋34＝18.答Leabharlann ：(1)π3 (2)见解析性质
(1)a⊥b⇔___a_·_b___＝0； (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝_|a_|_|b_|；当 a 与 b 反向时，a·b＝__－__|a_||_b_|_； (3)a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2；
a·b (4)cos θ＝__|_a_|·_|b_|__； (5)|a·b|≤|a||b|
考试标准
课标要点
学考要求 高考要求
平面向量数量积的概念及其物理意义
b
b
平面向量投影的概念
a
a
平面向量数量积的性质及运算律
b
b
知识导图
学法指导 1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表 示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应 用． 2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意 对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.
高中数学 2.4.1平面向量数量积的含义学案 新人教A版必修4
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.4.1平面向量数量积的含义学案 新人教A 版必修4【学习目标】1、 理解平面向量数量积的含义，2、 掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义；3、 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质和运算律解决有关问题。
【重点难点】1、 掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义；2、 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质和运算律解决有关问题。
【学习内容】问题情境导学一、向量数量积的定义【想一想】(1)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？(2)如果我们把上述公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又如何表述？【填一填】(1)已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量_____叫做a 与b 数量积(或内积),记作b a ⋅即b a⋅=________，(2)规定零向量与任一向量的数量积为______________．【思考】向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？二、向量数量积的几何意义【想一想】 结合图形，你能作出θcos b 吗？【填一填】数量积的几何意义：数量积b a ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影___________的乘积．【思考】 b 在a 方向上的投影θcos b 是个什么量？三、向量数量积的性质【想一想】的夹角︒=0θ，︒90，︒180时，b a ⋅的结果怎样？当b a =时，b a ⋅的结果又怎样？【填一填】设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b的夹角．(1)a ⊥b⇔__________________；(2)当a 与b 同向时，b a ⋅=________，当a 与b反向时，b a ⋅=________；(3)a a ⋅=________或a a a ⋅=2a =； (4)ba b a ⋅=θcos ； (5) ||b a⋅ba =．【思考】 若b a⋅0>，a 与b 的夹角是锐角吗？若b a ⋅0<，a 与b 的夹角是钝角吗？返过来呢？四、向量数量积的运算律 【想一想】若c b a ，，，λ是实数，则下列运算律成立：(1)a b b a ⋅=⋅；(2))()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅；(3)c b c a cb a ⋅+⋅=⋅+)(； (4))()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅． 若以上字母除λ外都是向量，以上运算律还成立吗？【填一填】(1)b a⋅=________；(2)=⋅b a)(λ________________))((R b a ∈⋅=λλ ；(3)=⋅+c b a )(__________________．【思考】若c a b a ⋅=⋅，b 与c 一定相等吗？为什么？课堂互动探究【类型一】数量积的基本运算 例１、已知4=a ，5=b ，当①a //b ；②b a ⊥；③a 与b 的夹角为︒135时，分别求a 与b 的数量积．【类型二】与向量的模有关的问题例2、已知向量a 、b 满足2=a ，3=b ，4=+b a 求b a -．【类型三】两向量的垂直与夹角问题例3、已知3=a ，2=b ，向量a 、b 的夹角为︒60，=cb a 53+，b a m d 3-=，求当m 为何值时，dc 与垂直？【课后作业与练习】基础达标(1)若2=a ，21=b ，a 与b 的夹角为︒60，则b a ⋅为 (A)21 (B)41 (C)1 (D)2 (2)已知3=b ，a 在b 方向上的投影是32，则b a ⋅为 (A)31 (B)34 (C)3 (D)2 (3)已知10=a ，12=b ，且b a ⋅60-=，则a 与b 的夹角(A)︒60 (B)︒120 (C)︒135 (D)︒150 (4)设a 与b 的模分别为4或3，夹角为︒60，则b a +等于(A)37 (B)13 (C)37 (D)13(5)已知a 、b 是非零向量，且满足a b a ⊥-)2(，b a b ⊥-)2(，则a 与b 的夹角是 (A)6π (B)3π (C)32π (D )65π (6)若两个单位向量1e ，2e 夹角为32π，且向量2112e e b -=，21243e e b +=，则=⋅21b b ___________________．(7)已知向量a 、b满足b a ⋅，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角是___________________．(8) 已知非零向量a 与b的夹角为︒120，若b a c +=，且a c ⊥，则b a 的值为___________________．能力提升(9)已知1=a ，b a ⋅21= ，21)()(=+⋅-b a b a ． ①求a 与b的夹角θ； ②求b a +．(10)在边长为1的正三角形ABC 中，设BD BC 2=，CE CA 3=，求BE AD ⋅．(11)已知b a ⊥，且2=a ，1=b ，若对两个不同时为零的实数k ，t ，使得b t a )3(-+与b t a k+-垂直，试求k 的最小值．(12) 已知非零向量a 与b 的夹角为︒120，2=a ，4=b ，设)(R x b a x y ∈+= ，试求y 的最小值，并求出相应的x 值．。
人教A版高中数学必修四 2.4《平面向量的数量积》导学案2
名师精编 优秀教案高中数学人教版必修4： 2.4《平面向量的数量积》导学案【学习目标】1、知道平面向量数量积的含义及其物理意义；2﹑知道平面向量数量积积与投影的关系；3、会运用平面向量的数量积及其运算律.【重点难点】▲重点：向量数量积的定义及运算律▲难点：数量积的应用【知识链接】1、 向量的线性运算；2、向量),(11y x a =，),(22y x b =共线01221=-⇔y x y x .【学习过程】阅读课本第103页到第105页的内容，尝试回答以下问题：知识点1:平面向量数量积的物理背景及其含义问题1﹑物体在力F 作用下产生位移S ，那么力F 所做的功_________=W .力和位移是矢量，功是标量，类比我们引入两个向量的数量积的概念： 已知两个非零向量a 与b ，我们把___________叫做a 与b 的数量积,记作a b ∙，即________ _________,其中θ是与的夹角.问题2、请叙述投影的定义.问题3、由投影的定义，你能叙述∙的几何意义吗？问题4﹑设与是非零向量则：（1）______⇔⊥；（2）当a 与b 同向时，b a ∙=_____________；当a 与b 反向时，b a ∙=_______________.特别地∙=_____________;名师精编 优秀教案（3； （4）=θcos.问题6、尝试用数量积的运算律证明下列等式：（1）()2222a ba ab b +=+∙+；（2）()()22a b a b a b +∙-=-；例15=2=，与的夹角为 120，求()()23a b a b +∙-的值.知识点2: 平面向量数量积的坐标表示，模，夹角阅读课本第106页到107页的内容，尝试回答以下问题：问题1、已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 与b 的坐标表示b a ∙呢？（提示：j y i x a 11+=，j y i x b 22+=）问题2﹑由问题1，若),(y x a ==____=_________.问题3、如果),(11y x =，),(22y x =，θ是与的夹角，则_____cos =θ.例2、在ABC ∆中，已知)2,1(-A ，)1,3(-B ，)2,5(C ，求BAC ∠∙cos ,.名师精编 优秀教案【基础达标】A1、已知8,6,p q ==p 和q 的夹角是60︒，求p q ∙.A26=，为单位向量，当与之间夹角θ分别为 135,90,45时，分别求出在方向上的投影.B3、已知）（3,2a =，）（4,2b -=，）（2,1c --=，求b a ∙，）（）（b a b a -∙+，)(c b a +∙，2)(+.B44=3=，61)2)(32(=+-，求∙的夹角θ.C5、在ABC ∆中，设b CA a BC c AB ===,,，且a c c b b a ∙=∙=∙，试判断ABC ∆的形状.名师精编 优秀教案D6、已知∙-==，求与+的夹角【小结】【当堂检测】A1、已知∆ABC 中，5,8,60BC AC C ︒===,求BC CA ∙.B2、求证：A(1，0)，B(5，-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形.【课后反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是名师精编优秀教案。
人教版数学高一A版必修4预习学案 2.4平面向量的数量积(第1课时)
预习导航
1．平面向量的数量积
cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，
如果是实数，如何确定它的符号？
提示：向量的数量积是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦之积．当a，b为非零向量时，由a·b＝|a||b|cos θ，a·b的符号由a与b的夹角θ的余弦值来确定．当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0，当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.
思考2根据投影的定义，如何利用两向量的数量积求向量a在向量b上的投影？
提示：根据向量数量积的定义可知，向量a在向量b上的投影为|a|cos θ，又a·b＝|a||b|cos
θ，所以cos θ＝
·
||||
a b
a b
，所以向量a在向量b上的投影为|a|cos θ＝|a|×·
||||
a b
a b
＝·
||
a b
b
.
2．运算律
思考3
提示：数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，不适合乘法结合律，即(a·b)c
不一定等于a(b·c)，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
3．向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，a与b的夹角为θ.
提示：不一定垂直．当两向量都不为零时，若数量积为零，则两向量垂直．。
高中数学 必修四 2.4平面向量的数量积学案 新人教A版必修4
2.4 向量的数量积1. 预习目标(1)理解两个向量的数量积的概念及其几何意义，掌握两个向量夹角的概念，通过数量积的概念和运算解决有关的几何问题；(2)掌握平面向量的数量积的坐标表示形式；通过平面向量数量积的坐标表示，推出平面上两点之间的距离公式并解决一些问题．2. 预习提纲(1)复习平面向量的加法、减法和数乘运算．(2)阅读课本P76-80，弄清以下内容：①向量的数量积定义；②向量的夹角；③向量的数量积满足下列运算律；④a b ⋅的几何意义；⑤平面向量数量积的坐标表示；⑥平面向量的模及平方的坐标表示；⑦两点间的距离公式；⑧向量的夹角公式；⑨向量垂直的等价条件.(3)阅读课本P76-80例题.例1讲了数量积的计算，直接利用数量积公式a b ⋅=cos a b θ⋅．例2讲了数量积的坐标表示，除了书上的解法，还可以先计算出b a -3、b a 2-这两个向量的坐标表示，在计算它们的数量积． 例3在直线上任取两个，构成一个向量，称为直线的方向向量，本例就是利用求两条直线的方向向量的夹角，间接求直线的夹角．例4用到了分类讨论的数学思想方法．3. 典型例题(1) 平面向量数量积的概念及几何意义向量的数量积是一个数量而不是一个向量.向量夹角的定义强调共起点,对数量积的运算律要熟练掌握. 例1 已知||a =3，||4b =，a 与b 的夹角为32π，求： (1)a ·b ；(2))2()23(+⋅-；(3)22a b -；(4) ||-；(5) |3|a b -. 分析：由条件可获得以下信息：已知向量的模及夹角，所求的问题涉及a b ⋅，22,a b ，还涉及平方差公式、多项式与多项式乘法法则. 解：(1) a b ⋅=6)21(43cos ||||-=-⨯⨯=⋅θ； 2222(2)(32)(2)3443||44||a b a b a a b b a a b b -⋅+=+⋅-=+⋅- 394(6)41661=⨯+⨯--⨯=-；(3)22229167a b a b -=-=-=-；(4)222||()292a b a b a a b b -=-=-⋅+=-=；(5)|3|a b -229681a a b b =-⋅+=+=点评：此类题目要充分利用有关的运算法则转化为数量积的问题，特别灵活运用22a a =.尤其是求解模问题是一般利用2a a =转化为求模的平方. 例2 (1)设|a |=12，|b |=9 ，a ⋅b =-542 求a 与b 的夹角θ；(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝4，||＝2．如果向量＋k 与5＋垂直，求实数k 的值；(3)已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求,a b 的夹角的大小．分析：考查向量数量积公式的逆用及向量垂直的条件.解：(1)cos θ=||||a b a b ⋅⋅=22912254-=⨯- ∵0︒＜θ＜180︒ ∴θ=1350．(2)由题意a b ⋅=|a |⋅|b |cos120°=4×2×(-21)=-4， ∵(＋k )⊥(5＋)，∴(＋k b )⋅(5＋)=0，即 52＋(5k ＋1) a b ⋅＋k 2＝０，∴5||2＋(5k ＋1)⋅(-4)＋k ||2＝0， ∴5×16-(20k ＋4)＋4k =0，∴k =419． (3)因为3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，(3)(75)0(4)(72)0a b a b a b a b ⎧+⋅-=⎪∴⎨-⋅-=⎪⎩，2222716150(1)73080(2)a ab b a a b b ⎧+⋅-=⎪⎨⎪+⋅+=⎩ (1)-(2)得：22a b b ⋅=(3)将(3)代入(1)得22a b =即a b =． 22112cos 2b a b a b bθ⋅∴=== 又∵0︒＜θ＜180︒ ， ∴θ=600．点评：求向量夹角的问题应用数量积的变形公式cos a ba b θ⋅=，故应求两个整体a b ⋅与a b ⋅；(2)转化垂直条件建立参数k 的方程，此题中利用例1数量积计算公式及重要性质22a a =；本题(3)中为求两整体或寻求两者关系，转化条件解方程组，特别注意向量夹角范围．例3 已知向量a =(4，-2)，b ＝(6，-3)，记a 与b 的夹角为θ．求：(1)a b ⋅；(2)θ的大小；(3)|2a -3b |；(4)(2a -3b )⋅(a ＋2b )．分析：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+，cos θ222221212121y x y x y y x x +⋅++解：(1)a b ⋅＝4×6＋(-2)×(-3)＝30；(2)cos θ||||b a ⋅1=，又因为[]0,θπ∈，所以θ=0；(3)方法一：|2a －3b |=＝])3(6[9)]3)(2(64[12])2(4[42222-++--+⨯--+＝5512540536080==+-；方法二：232(4,2)3(6,3)(8,4)(18,9)(10,5)a b -=---=---=-|23a b -==(4)方法一：(2－3)⋅(＋2)=22＋⋅－62=2×[42＋(-2)2]＋[4×6＋(-2)(-3)]-6[62＋(-3)2]=40＋30-270＝-200． 方法二：23a b -=(-10，5)，a ＋2b =(4，-2)+2(6，-3)=(16，-8) (23a b -)⋅(＋2)=(-10，5)⋅(16，-8)= -160-40= -200．点评：此类问题是有关向量数量积的坐标运算，在灵活应用基本公式的前提下要认真细心，特别注意向量夹角的范围．例4 在ABC ∆中,120,2,1,BAC AB AC ︒∠===D 是边BC 边上一点,DC =2DB ,求AD BC ⋅． 分析：若由定义求解则要求解三角形，计算比较复杂，所以，思路一：转化为AB 与AC 的内积计算．思路二：建系利用坐标运算．解：方法一：1()()()()3AD BC AB BD AC AB AB BC AC AB ⋅=+⋅-=+⋅- =22118[2][121cos12024]333AC AB AC AB ο+⋅-=+⨯⨯-⨯=- 方法二：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则(0,0)A ,(1,0)C ,(B -,(2,BC =,由13BD BC =,设(,)D x y ,则2133x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得D (13-) 28233AD BC ⋅=--=-． 4. 自我检测(1)已知63a =,1b =,9a b ⋅=-,则向量a 与向量b 的夹角θ＝ ．(2)已知4a =,5b =,当(1)//a b ；(2)a b ⊥；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．(3)已知(1,)a m =与(,4)b n =-共线，且(2,3)c =与b 垂直，则m +n 值为 ．(4)已知(3,2)a =--,(4,3)b =--,则3a 2－2a b ⋅等于 ． (5)点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的 心．三、 课后巩固练习A 组 1．已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，||2,||3a b ==，则向量a 和向量b 的数量积a b ⋅= ．2．已知|a |＝|b |＝1，且(2a -b )⋅(3a －2b )＝8，则a 与b 的夹角为 ．3．在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅= ．4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则有下列命题： ①(a ⋅b )c －(c ⋅b )a ＝0 ； ②|a |－|b | < |a －b |； ③(b ⋅)a －(c ⋅a )b 与不垂直； ④(3a ＋2b )⋅(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2． 这些命题中，是真命题的有 ．5．在△ABC 中，若AB ⋅AC <0，则△ABC 的形状一定是_________三角形．6．已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则b = ． 7．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3, ||BC =4, |CA |=5，则A B B C B CC A C A A B ⋅+⋅+⋅的值等于________． 8．在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM =1,点P 在AM 上且满足2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于________．9．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA⋅=⋅=⋅,则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的 ．(选用重心、外心、垂心、内心填空 ) 10．已知向量OA =(－1，2)，OB =(3，m)，且OA ⊥AB ，则m 的值为__ __．11．已知a +b =(2，-8)，a -b =(-8，16)，则a b ⋅＝______，a 与b 的夹角的余弦值是_______．12．已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b =_______． 13．已知向量(1,2)a =，(2,3)b =-．若向量c 满足()c a +∥b ，()c a b ⊥+，则c =______．14．已知点A (-2，-3)，B (19，4)，C (-1，-6)，则△ABC 的形状是是 ．15．设a ＝(x ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角是钝角，则x 的取值范围是 ．16．已知a =(-3，2)，b =(1，2)，c =a +k b ，d =3a －b ，若c //d ，则k =_____；若c ⊥d ，则k =__________．B 组17．已知1e 和2e 是互相垂直的单位向量，且a ＝31e ＋22e ，b ＝－31e ＋42e ，求a b ⋅． 18．设|a |=2，|b |=1，且a 与b 的夹角为45︒，向量x =a +b ，y =a -b ，试求x 与y 的夹角的余弦值．19．已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋2b |的值．20．已知向量,的夹角为60°,且(＋3)⊥(7－5)，求证：(－4)⋅(7－2)＝0．21．设向量＝(3，1)，向量＝(－1，2)，向量⊥，向量//，若＋＝，求D 的坐标(其中O 为坐标原点)．D C A B22．如图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=， 4AB BD BD DC ⋅+⋅=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，则()AB DC AC +⋅的值为__________． 23．在平面四边形ABCD 中，若6AC =，4BD =，则()()A B D C A C B D +⋅+的值为 ．24. 如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是__ __.25．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M 、N 是线段AB 的三等分点，若OA =6，MD NC ⋅的值是____________． 26．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ,090ADC ∠=,2,AD =上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.27.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________;DE DC ⋅的最大值为________.C 组28．直角坐标系xOy 中，i,j 分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若2,3AB AC k =+=+i j i j ，则k 的可能值个数是 ．29．设向量a ，b 满足：|a |=3，|b |=4，a ⋅b =0．以a ，b ，a -b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ．30．设a ，b ，c 是单位向量，且a b ⋅＝0，则()()a c b c -⋅-的最小值为 ．31．(1)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CNBC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是 ．(2).在平行四边形ABCD 中,3A π∠=, 边,AB AD 的长分别为2、1. 若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN ⋅的取值范围是_________ .32. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则a b = .33．如图，设向量a 与b 的夹角为60°，且|a |>|b |．是否存在满足条件的a ，b ，使|a +|＝2|a -b |？请说明理由．34．在直角ABC ∆中，已知BC =a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ 与BC 的夹角取何值时，BP CQ ⋅的取值最大？并求出这个最大值．。
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福建省泉州市唯思教育高中数学 2.4.1 平面向量的数量积(1)学案
新人教A 版必修4
【学习目标】
1. 理解平面向量数量积的概念及其几何意义
2. 掌握数量积的运算法则
3. 了解平面向量数量积与投影的关系
【预习指导】
1. 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量_________________叫做向量a 与b 的数量积（或内积）。
规定：零向量与任何一向量的数量积为_____________
2. 已知两个非零向量a 与b ，作a OA =，b OB =，则______________________叫做向量a 与的夹角。
当00=θ时，与___________，当0180=θ时，与_________；当090=θ时，则称与__________。
3.
对于θ∙=∙，其中_____________叫做在方向上的投影。
4. 平面向量数量积的性质
若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角，则：
①θcos ∙=∙=∙a e e a ；
②b a b a ⊥⇔=∙0；
③≤∙；
④若与
同向，则=
∙；若与
反向，则=∙；
=∙
=
⑤设θ是a 与b
的夹角，则=θcos 。
5. 数量积的运算律
①交换律：________________________________
②数乘结合律：_________________________ ③分配律：_____________________________
注：①、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量，实数与实数之积之间的差异。
②、数量积得运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律。
即∙∙)( 不一定等于)(∙∙ ，也不适合消去律 。
【典型例题选讲】
例1： 已知向量 与向量 的夹角为θ = 2 ， = 3 ，分别在下列条件下求∙：
（1）θ = 1350
； （2）a ∥ b ； （3） b a ⊥
例2： = 4 = 8 ，且a 与b 的夹角为1200 。
计算：（1） )2()2(-∙+ ；
（2）+ 。
例3： = 4 = 6 ，a 与b 的夹角为600 ，
求：（1）、 ∙ （2）、 ∙ )(+ （3）、)3()2(+∙-
例4：已知向量≠
，对任意t ∈ R ,
- ≥
- ，则（ ）
A 、a ⊥ e
B 、a ⊥ （a )e -
C 、e ⊥ （a )e -
D 、（)()e a e a -⊥+
【课堂练习】
1、
= 10
= 12 ，且36)5
1
()3(-=∙ ，则a 与b 的夹角为__________ 2、 已知 、 、 是三个非零向量，试判断下列结论是否正确：
（1）
、若b a =∙，则 ∥ （ ）
（2）、若∙=∙，则= （ ）
（3）
-=+⊥ （ ）
3
、已知0)()23(,3,2,
0=-∙+===∙b a b a b a λ，则=λ__________
4、四边形ABCD 满足A = D ,则四边形AB CD 是（ ）
A 、平行四边形
B 、矩形
C 、菱形
D 、正方形
5、正ABC ∆ 边长为a ，则=∙+∙+∙__________
【课堂小结】。