§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
(2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:
①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;② 选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
数学
即时训练 2 1:(1)(2015 湖南浏阳一中高二联考)已知向量 a=(2,-3,5)与向量 b=(-4,x,y)平行,则 x,y 的值分别是( (A)-6 和 10 (C)-6 和-10 (B)6 和 10 (D)6 和-10 )
1 1 A1B =(-1,1,-2), C1M =( , ,0). 2 2 1 1 所以 A1B ² C1M =- + +0=0, 2 2
所以 A1B ⊥ C1M ,所以 A1B⊥C1M.
数学
题后反思 (1)求空间中两向量夹角的方法 ①基向量法:结合图形,选取一组合适的基底,将两向量用基向量表示出来, 然后代入夹角公式求解;②坐标法:在图形中建立空间直角坐标系,然后求出 两向量的坐标,代入向量的夹角坐标公式求解.利用坐标法要注意两点,一是 坐标系的选取,二是要注意夹角的范围<a,b>∈[0,π],要特别关注向量共
又 AB =(1,6,-1), DC =(-8,-2,2),所以 AB - DC =(9,8,-3),
所以(x-2,y+4,z-1)=(9,8,-3),
x 2 9, x 11, 所以 y 4 8, 解得 y 4, 所以点 P 的坐标为(11,4,-2). z 1 3, z 2,
数学
(2)因为 a= AB =(1,1,0),b= AC =(-1,0,2),
所以 ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). 因为(ka+b)⊥(ka-2b), 所以(ka+b)²(ka-2b)=0. 即(k-1,k,2)²(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.
3.1.5空间向量运算的坐标表示
答案
向量 a 的横坐标不为 0，其余均为零；向量 b 的
纵坐标不为 0，其余均为 0；向量 c 的竖坐标不为零，其 余均为 0.
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.5
→ → → (2)设 O 为坐标原点，向量OA＝(1,2,3)，OB＝ (2,1,2)，OP＝ → → (1,1,2)， 点 Q 在直线 OP 上运动， 则当QA· QB取得最小值时， 求点 Q 的坐标．
→ 1 → 1 1 1 → 1 1 ∴EF＝2，2，－2，CF＝2，－2，0，CG＝1，0，2， 1 1 1 1 1 1 → → → CE＝0，－1， ∵EF· CF＝2×2＋2×－2＋－2×0＝0， 2
3.1.5
3 2 ，
1 ＋0
2
2
1 2 ＋ 2 ＝
5 2 1 4
→ → EF· CG → → ∴cos〈EF，CG〉＝ ＝ → → |EF||CG|
15 ＝ 15 . 3 5 × 2 2 15 EF 与 CG 所成角的余弦值为 15 .
3.1.5空间向量运算的坐标表示
3.1.5空间向量运算的坐标表示教学目标重点: 空间直角坐标系，空间向量运算的坐标表示.难点：如何建立适当的坐标系及空间向量的坐标的确定和运算. 知识点：掌握空间向量坐标运算的规律.能力点：通过用空间向量解决简单的立体几何中的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题,进一步培养学生的观察能力和探索能力,总结一般性方法.提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过必修4平面向量的坐标运算,用类比的方法研究空间向量问题,教会学生准确的建立坐标系，用空间向量坐标解决空间几何的线面关系.自主探究点：通过平面向量运算的有关方法,引出空间向量的运算,进一步体会“二维”与“三维”的关系.如何建立坐标系,求解坐标才更简单.考试点：证明线线、线面的平行与垂直,求角和距离(模)等问题.易错易混点：借助与向量夹角求解异面直线的夹角最后有的学生不会转化. 拓展点：借助于向量求解线线、线面、面面的平行、垂直、夹角、距离等问题.教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课复习平面向量的坐标运算 若a 11(,)x y =，b 22(,)x y =，则 (1)+a b ),(2121y y x x ++=， (2)-a b ),(2121y y x x --=， (3)λa (,x y λλ=(4)∙=a b 1212x x y y +（5）//a b (b ≠0)的充要条件是12210x y x y -= （6）⊥a b ⇔02121=+y y x x（7）||=a1122(,),(,)A x y B x y ,AB =OB OA -),(2121y y x x --=||(AB d AB x ==（8）cos ,<>=ab +若设a 123(,,)a a a =,b 123(,,)b b b =,【设计意图】通过回顾平面向量的坐标运算,可以自然的引出本节课课题,进一步让学生体会二维空间与三维空间的关系.思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？ 【设计意图】带着思考去学习,更能体现学习的目标性,提高学生的注意力.二、探究新知设a 123(,,)a a a =,b 123(,,)b b b =,则则(1) a +b 112233(,,)a b a b a b =+++ a -b 112233(,,)a b a b a b =---λa 123(,,)()a a a R λλλλ=∈ ∙=a b 122233a b a b a b ++教师可以选择某一个坐标运算向学生证明它的正确性,加深学生对运算的理解: 如证明向量的数量积运算设,,i j k 为单位正交基底,则=a 1a i +2a j +3a k ,=b 1b i +2b j +3b k . 所以∙=a b (1a i +2a j +3a k )∙(1b i +2b j +3b k )利用向量运算的分配律以及1,0,∙=∙=∙=∙=∙=∙=i i j j k k i j j k i k 即可得出∙=a b 122233a b a b a b ++【设计意图】通过向学生展示向量的数量积运算求解过程,让学生进一步明确结论的正确性,加深了对空间向量坐标运算的理解.类似平面向量运算的坐标表示,我们还可以得到:(2) a //⇔b =a λb (b ≠0)即112233,,a b a b a b λλλ===()λR ∈⊥a b ⇔∙=a b 1122330a b a b a b ++=(3) ||a ==在空间坐标系中,已知点111222(,,),(,,)A x y z B x y z ,则212121(,,)AB OB OA x x y y z z =-=--- 即,A B 两点间的距离||(AB d AB x==cos ,<>=a b a b a b a b ++【设计意图】将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来,不仅可以解决线面的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题 ,而且为下进一步解决立体几何问题提供了方便.三、理解新知1.与平面向量相比,只是多了一个竖坐标而已,即由(,)x y 变成了(,,)x y z .以下两个充要条件在解题中经常使用,要熟练掌握.若a 123(,,)a a a =,b 123(,,)b b b =，则a //⇔b =a λb (b ≠0)即112233,,a b a b a b λλλ===()λR ∈;⊥a b ⇔∙=a b 1122330a b a b a b ++=.思考:若a 123(,,)a a a =,b 123(,,)b b b =,则“312123a a ab b b ==”是“//a b ”的什么条件? 分析:当312123a a a b b b ==成立时, //a b 一定成立;但//a b 成立312123a a ab b b ==不一定成立,原因是123,,b b b 有为零的情况.2. 对利用向量处理平行和垂直问题的考查，主要解决立体几何中有关垂直和平行判断的一些命题．对于垂直，主要利用0⊥⇔∙=a b a b 进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.二是对利用向量处理角度问题的考查,利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角),其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角则可以利用公式cos θ||||∙=a ba b 进行计算.3.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置,建立适当、正确的空间坐标系,难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标,只有正确表示出已知点的坐标,才能通过向量的坐标运算,实现几何问题的代数化解法．【设计意图】培养学生总结归纳的能力，让学生知道利用空间向量所要解决的问题,及解决问题的一般性方法.四、运用新知题型一:空间向量的坐标运算例1.设a (2,1,6)=,b (8,3,2)=--,计算: （1）23+a b ;（2）34-a b ;（3）12∙b a ;（4）若λa +b μ与y 轴垂直,求,λμ所满足的关系式. 分析: （1）（2）（3）直接利用向量的坐标运算解决即可, （4）需要找一下λa +b μ与y 轴方向向量的关系.教师板书例题求解过程:（1）232(2,1,6)3(8,3,2)(4,2,12)(24,9,6)(20,7,18)+=+--=+--=--a b . （2）343(2,1,6)4(8,3,2)(6,3,18)(32,12,8)(38,15,10)-=---=---=a b （3）1337(4,,1)(2,1,6)421162222∙=--∙=-⨯-⨯+⨯=-b a . （4）λa (28,3,62)+=--+b μλμλμλμ,取y 轴的方向向量为(0,1,0). 所以30-=λμ,即,λμ所满足的关系式为30-=λμ.【设计意图】通过本题可以让学生先熟悉一下空间向量运算的坐标表示,可以为下面的题目做好知识、运算的铺垫.题型二:空间向量平行与垂直的判断例2. 已知空间三点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---，设a =AB ,b =AC . （1）设||3=c ,//c BC 求c ;（2）若k +a b 与k 2-a b 互相垂直,求k .分析: 通过(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---及a =AB ,b =AC ,首先把,a b 表示出来.（1）由//c BC 则借助共线向量基本定理,可设=c λBC 这样c 的坐标中只含有一个参数λ,再利用||3=c 把λ求出即可.这种做法比直接设=c (,,)x y z 要简便的多.（2）首先把k +a b 与k 2-a b 的坐标表示出来,再利用两向量垂直时的坐标关系求出参数k 即可. 教师板书例题求解过程:（1）因为(2,1,2)BC =--,且//c BC ,设=c (2,,2)()λBC λλλλR =--∈.所以||=c 3||3λ==.解得1λ=±,所以||(2,1,2)=--c 或||(2,1,2)=-c .（2）因为a =(1,1,0)AB =,b =(1,0,2)AC =-.所以k +=a b (1,,2)k k -与k 2-a b (2,,4)k k =+-, 由k +a b 与k 2-a b 互相垂直,所以(k )+∙a b (k 2)0-=a b ,即(1,,2)k k -∙2(2,,4)2100k k k k +-=+-=,解得2k =或52k =-. 方法小结:解决空间向量平行与垂直的思路:（1）若有关向量已知时,通常需要设出向量的坐标.例如,设=a (,,)x y z ;（2）在有关平行的问题中,通常需要引入参数.例如,已知//a b ,则引入参数λ,有a λ=b ,再转化为方程组求解;（3）选择向量的坐标形式,可以达到简化运算的目的.【设计意图】通过本例一是让学生进一步熟悉向量坐标的运算,二是体会坐标运算在解决空间平行垂直问题中的作用,并提炼利用向量坐标解决空间平行、垂直问题的一般性方法. 变式训练1: 已知向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，(2,,4)c x =-． （1）判断a 与b 的位置关系； （2）若//a c ，求|c |；（3）若b c ⊥，求c 在a 方向上的投影. 教师板书求解过程:（1）(2,4,4)2(1,2,2)2b a =--=--=-,所以,//a b ;（2）//,a c 12224x -==-,得4,x=(2,4,4),||6;c c ∴=-∴== （3）,0b c b c ⊥∴⋅=,得5x =-,(2,5,4)c ∴=--,所以c 在a 方向上的投影为2108||cos ,||0||||3a c c a c c a c ⋅-+<>=⨯==⨯.【设计意图】通过此变式训练可以让学生进一步熟练两个空间向量平行与垂直的向量坐标表示,及向量的投影问题.题型三:利用坐标运算解决夹角、距离问题例3．如图在直三棱柱(侧棱与底面垂直)111ABC A B C -中,1CA CB ==,90BCA ∠=,棱12,AA N =为1AA 的中点.（1）求BN 的长；（2）求1A B 与1B C 所成角的余弦值；分析：首先结合直三棱柱的几何特征选择C 点作为直角顶点建立 空间直角坐标系根据各个棱长写出相应点的坐标,借助与向量的 坐标运算可求解模（长度）及夹角等问题；同样本题也可借助几 何的方法解决.教师板书例题求解过程:如图建立空间直角坐标系C xyz -，由1CA CB ==,90BCA ∠=, 棱12,AA N =为1AA 的中点.则（1）(0,1,0),(1,0,1)B N ,所以(1,1,1)BN =-,2||1BN ==即:线段BN（2）依题意得11(1,0,2),(0,0,0),(0,1,2)A C B ,所以11(1,1,2),(0,1,2)BA CB =-=, 且11(1,1,2)(0,1,2)3BA CB ∙=-∙=,11||6,||5BA CB ==, 所以11111130cos ,10||||BA CB BA CBBA CB ∙<>==. 故1A B 与1B C 所成角的余弦值为10. 注意:异面直线夹角的范围(0,]2π与向量夹角的范围[0,]π不同,所以再利用向量方法求解异面直线夹角的最后需要转化,即异面直线的夹角的余弦值只能是零或正数.方法小结:利用空间向量的坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤: （1）建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.（建系求点） （2）将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.（构造向量并坐标化） （3）经过向量运算确定几何关系，解决几何问题.（向量运算、几何结论）【设计意图】通过此例题可以让学生明确在特殊几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的yz特点,以使各点的坐标易求.利用向量解决几何问题,可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单.变式训练2:在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1,D D BD 的中点,G 在棱CD 上,且14CG CD =,H 为1C G 的中点. （1）求证:1EF B C ⊥；（2）求EF 与1C G 所成角的余弦值； （3）求FH 的长；分析:本题很好找到直角顶点建系,但是在正方体中求出,G H 的坐标是关键,三问分别是线线垂直、线线角、及空间中直线 的长度均较常规. 教师板书求解过程:解:（1）证明:如图,建立空间直角坐标系D xyz -,D 为坐标原点,则有11111371(0,0,),(,,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,1,1),(0,,0),(0,,)222482E F C C B G H则1111(,,),(1,0,1)222EF B C =-=--,所以1111(,,)(1,0,1)0222EF B C ∙=-∙--=所以1EF B C ⊥,即1EF B C ⊥. （2）11117(0,,1)||4C G C G =--∴=, 又由1111130()(1)22428C G EF ⎛⎫∙=⨯+⨯-+-⨯-= ⎪⎝⎭,且3||EF =, 所以11151cos ,||||EF C G EF CG EF C G ∙<>==即异面直线EF 与1C G 所成角的余弦值为17. （3）1171(,,0),(0,,)2282F H ,所以131(,,)282FH =-, 即||(FH =-=所以FH 的长为8. 小结:求空间中点的坐标方法:（1）把所求点分别向,,xoy xoz yoz 平面做投影,先找投影点的坐标;y（2）可借助于中点坐标公式求解,如题目中的点,F H ；也可借助与向量关系如:已知,A B 两点坐标求P 点坐标，可以用34AP AB =的坐标关系. 【设计意图】通过题型三,一是加强学生熟悉空间向量解决立体几何问题 ,二是进一步明确求解空间中点的坐标的一般方法.五、课堂小结1.知识:（1）空间向量的坐标运算；（2）利用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题. （3）利用空间向量的坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤:①建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.（建系求点）; ②将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.（构造向量并坐标化）; ③经过向量运算确定几何关系，解决几何问题.（向量运算、几何结论）. 2. 思想方法:（1）类比思想;（2）数形结合思想【设计意图】通过课堂小结，深化对知识的理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．同时应加强对学生在数学知识与思想方法的指导.六、布置作业必做题:1.根据条件求值:（1）已知(4,1,3),(2,5,1)A B -,C 为线段AB 上一点,且13AC AB =,求点C 的坐标; （2）已知向量(1,1,0)=a 与(1,0,2)=-b 且k +a b 与2-a b 互相垂直,求k 的值; （3）已知向量=a (1,21,0)t t --与=b (2,,)t t ,则求||-b a 的最小值. 2.已知空间三点(0,2,3),(2,1,6),(1,1,5)A B C --. （1）求以,AB AC 为边的平行四边形的面积;（2）若向量a 分别与,AB AC垂直，且||=a a 的坐标. 3.如图,已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱都相等,P 为1BA 上的点,11A P λA B =,且PC AB ⊥.求： （1）求λ的值；（2）求异面直线1C A 与PC 所成角的余弦值；必做题答案: 1. （1）107(,1,)33C -（2）75k =（32. （1）2）(1,1,1)=a 或(1,1,1)=---aB1B1A1CACp3. （1）12λ=（2）2选做题：1. 已知三个力1(1,2,3)=f ，2(1,3,1)=--f ，3(3,4,5)=-f ，若123,,,f f f 共同作用于一物体上，使物体从点1(1,2,1)M -移动到点2(3,1,2)M ，求f 合力所做的功W .2. 已知向量(5,3,1)=a 与=b 2(2,,)5t --，若a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.3．正四棱锥S ABCD -E 是SA 的中点,O 为底面ABCD 的中心. （1）求CE 的长；（2）求异面直线BE 与SC 所成角的余弦值； 选做题答案：1.16 2. 6652(,)(,)5515-∞-⋃-. 3. （1（2）12. 【设计意图】通过设计不同层次的作业一是为了让学生能够运用空间向量的坐标解决一些平行、垂直、夹角、距离(模)等问题；二是让学有余力的学生有所提高,从而达到激发学生学习兴趣和“减负”的目的.七、教后反思1.本教案的亮点是在教学过程中始终是教师作为引导者，引导学生借助于平面向量运算的坐标表示去引导探究空间向量运算的坐标表示,在此基础上进一步探讨空间向量的平行、垂直、夹角、距离(向量的模)等问题,以及空间直角坐标系的建立和空间点坐标的求法等问题.在教学中通过例题的讲述,变式训练的加强,作业的巩固大部分同学基本上掌握空间向量运算的坐标表示等相关问题.2. 本节课在设计和教学过程中，留下了一些遗憾:一是对于求解空间终点的坐标学生仍是个难点;二是求解异面直线的夹角与向量的夹角的转化上有的同学一是不理解二是容易忘在下一步的教学中应多进行加强.八、板书设计。
§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不不要条件
2.已知 ，且 ，
则x＝.
3.已知 , 与 的夹角为120°，则 的值为（）
A. B. C. D.
4.若 ，且 的夹角为钝角，则 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5.已知 ，且
，则（）
A. B.
8.如图：已知正三棱柱ABC－A'B'C'的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点。
求异面直线AB'与BC'的夹角；
※知识拓展
在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.
练习案
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※必做题（时量：5分钟满分：10分）计分：
（A） ；（B） ；C） ；（D）
练4.设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则 ＝
三、总结提升
※学习小结
1.空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
2.解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算.
5．已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），
+ + 的坐标为.
6.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别
是D1D，DB的中点，G在棱CD上CG= CD，H是C1G的中点.(1)求证：EF⊥B1C;
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
化简,得
5������2 + 2������ = 2-2������2 = 0,
3,解得 λ=-1.
因此,a=(0,1,-2).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究三空间向量夹角与模的计算
例3 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.
(2)若点
M
满足������������
=
1 2
������������
+
3 4
������������ ,求点
M
的坐标;
(3)若 p=������������,q=������������,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运
算的坐标运算法则进行计算求解. 解(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
答案(-1,-1,1) (5,-11,19) 168
课前篇自主预习
2.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R); (2)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.
,
1 2
,-
19 4
.
������
=
-
19 4
,
(3)由(1)知,p=������������=(-1,0,9),q=������������=(-4,5,5).
3.1.5空间向量的坐标运算
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
向量表示形式
满足条件 坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
→→ EF·CG →→
＝
|EF||CG|
1 4 3×
5＝
15 15 .
22
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线 EF 与 CG 所成角的余弦值为 1155.
(3)求CE的长.
解 |CE|＝|C→E|＝
02＋－12＋212＝
5 2.
反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的 点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标， 然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运 算求解夹角和距离问题.
题型三 空间向量的夹角与长度的计算
例3 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的 中点. (1)求证：EF⊥CF； 证明 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别 为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则 D(0,0,0)，E0，0，12，C(0,1,0)，F12，21，0，G1，1，12. 所以E→F＝12，21，－21，C→F＝12，－12，0，C→G ＝1，0，12，C→E＝0，－1，12. 因为E→F·C→F＝12×12＋12×－12＋－12×0＝0，所以E→F⊥C→F，即 EF⊥CF.
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1.空间向量的坐标运算．(重点) 2.利用空间向量的坐标运算解决直线、平面间的位置关系， 夹角、模的问题．(难点) 3.异面直线的夹角与向量的夹角．(易混点)
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1．设平面向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔ a1b1＋ a2b2＝0 ，a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ a1b2－a2b1＝0 .
栏目导引
解析：
→ → → AC＝(－1,0,2)，BC＝(0，－1,2)，AB＝(－1,1,0)
→ → (1)AC＋BC＝(－1,0,2)＋(0，－1,2) ＝(－1＋0,0＋(－1)，2＋2) ＝(－1，－1,4) → → AB－AC＝(－1,1,0)－(－1,0,2) ＝(－1－1－1,1－0,0－2) ＝(0,1，－2) → → AB·BC＝(－1,1,0)·(0，－1,2) ＝－1×0＋1×(－1)＋0×2 ＝－1
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
→ → (2)∵a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).8分 ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0.10分 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 5 解得k＝2或＝－ .12分 2
答案：
工具
1 2
－4
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
4．已知点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，若|a|＝ → → 3，且a分别与AB，AC垂直，求向量a的坐标．
课件13：3.1.5 空间向量运算的坐标表示
3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向 量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问 题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线 对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成 的角与对应向量的夹角的取值范围．
本课结束
例 3 棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 DD1，BD，BB1 的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求异面直线 EF 与 CG 所成角的余弦值； (3)求 CE 的长．
(1)证明：以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz， 则 D(0,0,0)，E0，0，12，C(0,1,0)，F12，12，0，G1，1，21．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值．
(1)证明：设A→B＝p，A→C＝q，A→D＝r． 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且 p，q，r 三个向量两两 夹角均为 60°． M→N＝A→N－A→M＝12(A→C＋A→D)－12A→B＝12(q＋r－p)， ∴M→N·A→B＝12(q＋r－p)·p
解：(1)因为 a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)， 所以 b＝－2a，所以 a∥b． (2)因为 a∥c，所以21＝2x＝－ －42，解得 x＝4． 所以 c＝(2,4，－4)， 从而|c|＝ 22＋42＋(－4)2＝6．
(3)因为 b⊥c，所以 b·c＝0， 即(－2，－4,4)·(2，x，－4)＝－4－4x－16＝0， 解得 x＝－5， 所以 c＝(2，－5，－4)． 所以 c 在 a 方向上的投影的长为 |c|cos〈a，c〉＝|c|×|aa|·|cc|＝ 1×122＋－222×＋5＋(－2×2)42＝2－130＋8＝0．
空间向量及其运算的坐标表示
平面向量
平面向量的坐标运算： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 );
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 );
空间向量
空间向量的夹角： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) ab cos a,b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z12 x2 y2 z 2
垂直与平行： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) x1 y1 z1 a // b (?) x2 y 2 z 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （3）中点坐标公式： ( , , ) 2 2 2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
垂直与平行： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1 x2 y1 y2 0
对比表4
平面向量
平面向量基本定理： 如果e1 , e 2是同一平面内的两个不 共线 的向量，那么对于这个 平面内的任一 向量a，有且仅有一对实数 x, y，使a xe1 ye 2 .
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
3．1.5 空间向量运算的坐标表示预习课本P95～97，思考并完成以下问题1．类比平面向量，在空间向量中，a ∥b ，a ⊥b 的充要条件分别是什么？2．空间直角坐标系中，点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB|如何表示？[新知初探]1．空间向量的加减和数乘运算的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R)；(4)若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R)⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3. 2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(2)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23； (4)a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)．(1)AB＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB |＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.[小试身手]1．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6) B ．a －b ＝(2，－1，－6) C ．a ·b ＝10 D ．|a |＝6答案：D2．与向量m ＝(0,1，－2)共线的向量是( ) A ．(2,0，－4) B ．(3,6，－12) C ．(1,1，－2) D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 答案：D3．已知a ＝(2,1,3)，b ＝(－4,5，x )，若a ⊥b ，则x ＝________. 答案：1空间向量的坐标运算[典例] 已知，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1)OP ＝12(AB －AC )；(2)AP ＝12(AB －AC)．[解] AB＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)， ∴AB －AC＝(6,3，－4)． (1)OP ＝12(6,3，－4)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP＝(x －2，y ＋1，z －2)，∵12(AB －AC)＝AP ＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0.(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．[活学活用]已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，设p ＝AB，q ＝CD .求：(1)p ＋2q ；(2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )．解：因为A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB＝(2,1,3)，q ＝CD＝(2,0，－6)．(1)p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)． (2)3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)． (3)(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.空间向量的平行与垂直[典例] 正方体ABCD -A 11111B 1D 1，BD上的点，且3B P 1 ＝PD 1 ，若PQ ⊥AE ，BD ＝λDQ，求λ的值．[解] 如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)， 由题意，可设点P 的坐标为(a ，a,1)，因为3 B P 1 ＝PD 1，所以3(a －1，a －1,0)＝(－a ，－a,0)，所以3a －3＝－a ，解得a ＝34，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，34，1. 由题意可设点Q 的坐标为(b ，b,0)，因为PQ ⊥AE ，所以PQ ·AE＝0，所以⎝⎛⎭⎫b －34，b －34，－1·⎝⎛⎭⎫－1，0，12＝0， 即－⎝⎛⎭⎫b －34－12＝0，解得b ＝14， 所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，14，0，因为BD ＝λDQ ，所以(－1，－1,0)＝λ⎝⎛⎭⎫14，14，0，所以λ4＝－1，故λ＝－4.[一题多变]1．[变条件]若本例中的PQ ⊥AE 改为B 1Q ⊥EQ ，其它条件不变，结果如何？解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q 的坐标为(c ，c,0)，因为B 1Q ⊥EQ ，所以B Q 1 ·EQ＝0， 所以(c －1，c －1，－1)·⎝⎛⎭⎫c ，c ，－12＝0， 即c (c －1)＋c (c －1)＋12＝0,4c 2－4c ＋1＝0，解得c ＝12，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0， 所以点Q 是线段BD 的中点，所以BD ＝－2 DQ，故λ＝－2.2．[变条件，变设问]本例中若G 是A 1D 的中点，点H 在平面xOy 上，且GH ∥BD 1，试判断点H 的位置．解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为G 是A 1D 的中点，所以点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，12， 因为点H 在平面xOy 上，设点H 的坐标为(m ，n,0)，因为GH ＝(m ，n,0)－⎝⎛⎭⎫12，0，12＝⎝⎛⎭⎫m －12，n ，－12， BD 1＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)，且GH ∥BD 1，所以m －12－1＝n －1＝－121，解得m ＝1，n ＝12.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，0， 所以H 为线段AB 的中点．解决空间向量垂直、平行问题的有关思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a ＝(x ，y ，z )． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a ∥b ，则引入参数λ，有a ＝λb ，再转化为方程组求解．(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．利用坐标运算解决夹角、距离问题[典例] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．[解] 如图，以CA ，CB ，CC 1为单位正交基底建立空间直角坐标系C -xyz .(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴|BN|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3， ∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，∴BA 1＝(1，－1,2)，CB 1 ＝(0,1,2)，∴BA 1 ·CB 1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|BA 1|＝6，|CB 1 |＝5，∴cos 〈BA 1 ，CB 1 〉＝BA 1 ·CB 1|BA 1 ||CB 1 |＝3010. 故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010.在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．[活学活用]在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，D 为坐标原点，则有E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F 12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝⎛⎭⎫0，34，0，H ⎝⎛⎭⎫0，78，12. EF ＝⎝⎛⎭⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎫0，0，12 ＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12， B C 1＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．∴EF ·B C 1 ＝12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0， ∴EF ⊥B C 1，即EF ⊥B 1C .(2)∵C G 1 ＝⎝⎛⎭⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1. ∴|C G 1 |＝174.又EF ·C G 1 ＝12×0＋12×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝38，|EF |＝32， ∴cos 〈EF ，C G 1 〉＝EF ·C G1|EF ||C G 1|＝5117. 即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，H ⎝⎛⎭⎫0，78，12， ∴FH ＝⎝⎛⎭⎫－12，38，12， ∴|FH|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫382＋⎝⎛⎭⎫122＝418.层级一 学业水平达标1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：选C 因为a 与b 共线，所以2x 1＝1－2y ＝39，所以x ＝16，y ＝－32.2．已知A (3,3,3)，B (6,6,6)，O 为原点，则OA 与BO的夹角是( )A ．0B ．π C.π2 D.2π3解析：选B ∵OA ·OB＝3×6＋3×6＋3×6＝54， 且|OA |＝33，|OB|＝63，∴cos 〈OA ，OB 〉＝5433×63＝1，∵〈OA ，OB 〉∈[0，π]，∴〈OA ，OB 〉＝0.∴〈OA ，BO〉＝π.3．若非零向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2是a 与b 同向或反向的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2，则a 与b 同向或反向，反之不成立．4．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C AB＝(3,4，－8)，AC ＝(5,1，－7)， BC＝(2，－3,1)， ∴|AB|＝32＋42＋82＝89， |AC|＝52＋12＋72＝75， |BC|＝22＋32＋1＝14， ∴|AC |2＋|BC |2＝75＋14＝89＝|AB |2.∴△ABC 为直角三角形．5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA ＋λOB 与OB的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B.66 C ．－66D ．±6解析：选C ∵OA ＝(1,0,0)，OB＝(0，－1,1)，∴OA ＋λOB＝(1，－λ，λ)，∴(OA ＋λOB )·OB ＝λ＋λ＝2λ， |OA ＋λOB |＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB |＝ 2.∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16.又2λ2·1＋2λ2<0，∴λ＝－66.6．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________. 解析：∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)， ∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29. ∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2. ∵λ>0，∴λ＝3. 答案：37．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________． 解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)8．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是________． 解析：由已知，得b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)． ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02 ＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355.答案：3559．空间三点A (1,2,3)，B (2，－1,5)，C (3,2，－5)，试求： (1)△ABC 的面积； (2)△ABC 的AB 边上的高．解：(1)因为AB＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)， AC＝(2,0，－8)，AB ·AC＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，且|AB|＝14，|AC |＝217，所以cos 〈AB ，AC 〉＝－1414×217＝－7238，sin 〈AB ，AC 〉＝2734， S △ABC ＝12|AB |·|AC|sin 〈AB ，AC 〉＝1214×217×2734＝321. (2)|AB|＝14，设AB 边上的高为h ，则12|AB |·h ＝S △ABC ＝321，∴h ＝3 6.10.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，P 为A 1B 上的点，A P 1 ＝λA B 1，且PC ⊥AB .求：(1)λ的值；(2)异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值．解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0，1,2)，于是AB＝(3，1,0)，CA 1 ＝(0，－2,2)，A B 1 ＝(3，1，－2)．因为PC ⊥AB ，所以CP ·AB＝0，即(CA 1 ＋A P 1 )·AB＝0，也即(CA 1 ＋λA B 1 )·AB ＝0.故λ＝－CA 1 ·AB A B 1·AB ＝12. (2)由(1)知CP ＝⎝⎛⎭⎫32，－32，1，AC 1＝(0,2,2)， cos 〈CP ，AC 1 〉＝CP ·AC 1|CP ||AC 1 |＝－3＋22×22＝－28，所以异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值是28.层级二 应试能力达标1．已知两个非零向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，它们平行的充要条件是( ) A.1|a |a ＝1|b |b B ．a 1·b 1＝a 2·b 2＝a 3·b 3 C ．a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 D ．存在非零实数k ，使a ＝kb解析：选D 根据空间向量平行的充要条件，易知选D.2．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB|的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．(0,5)解析：选B 由题意知，|AB|＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＋(1－1)2＝13－12cos (α－θ)，∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤|AB|≤5.3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657解析：选D ∵a ，b ，c 三向量共面，则存在不全为零的实数x ，y ，使c ＝xa ＋yb ，即(7,5，λ)＝x (2，－1,3)＋y (－1,4，－2)＝(2x －y ，－x ＋4y,3x －2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ.解得⎩⎨⎧x ＝337，y ＝177.∴λ＝3x －2y ＝657. 4．已知a ＝(3,2－x ，x )，b ＝(x,2,0)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4,0) C ．(0,4)D ．(4，＋∞)解析：选A ∵a ，b 的夹角为钝角，∴a·b <0，即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0，∴x <－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝λx ，2－x ＝2λ，x ＝0，此方程组无解，故选A.5．若△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝⎛⎭⎫－32，12，2，C (－1,0，2)，则角A 的大小为________． 解析：由题意，知AB ＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，AC ＝(－1,0,0)，所以|AB |＝1，|AC |＝1.则cos A ＝AB ·AC |AB ||AC |＝321×1＝32，故角A 的大小为30°. 答案：30°6．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M M 12 ＝4MM 2 ，则向量OM 的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M M 12 ＝(1，－7，－2)，MM 2 ＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M M 12 ＝4MM 2 ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝4(3－x )，－7＝4(－2－y )，－2＝4(－5－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎫114，－14，－92 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 1是A 1B 1C 1D 1的中心，E 1在B 1C 1上，并且B 1E 1＝13B 1C 1，求BE 1与CO 1所成的角的余弦值． 解：不妨设AB ＝1，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y轴，以AA 1所在直线为z 轴建立直角坐标系，则B (1,0，0)，E 1⎝⎛⎭⎫1，13，1， C (1,1,0)，O 1⎝⎛⎭⎫12，12，1，BE 1＝⎝⎛⎭⎫0，13，1，CO 1 ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，1， BE 1·CO 1 ＝⎝⎛⎭⎫0，13，1·⎝⎛⎭⎫－12，－12，1＝56， |BE 1|＝103，|CO 1 |＝62.∴cos 〈BE 1，CO 1 〉＝56103× 62＝156. 即BE 1与CO 1所成角的余弦值为156.8．已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，且向量a ＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)，c ＝a ＋tb .(1)当|c |取最小值时，求t 的值；(2)在(1)的情况下，求b 和c 夹角的余弦值．解：(1)∵关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，∴Δ＝(t －2)2－4(t 2＋3t ＋5)≥0，即－4≤t ≤－43. 又c ＝a ＋tb ＝(－1＋t,1,3－2t )，∴|c |＝(－1＋t )2＋12＋(3－2t )2＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65. ∵当t ∈⎣⎡⎦⎤－4，－43时，关于t 的函数y ＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65是单调递减的， ∴当t ＝－43时，|c |取最小值3473. (2)由(1)，知当t ＝－43时，c ＝⎝⎛⎭⎫－73，1，173， |b |＝12＋02＋(－2)2＝5，|c |＝3473， ∴cos b ，c ＝b·c |b |·|c |＝－41 1 7351 735.。
3.1.5空间向量运算的坐标表示
r r 解: a + b = (2, −3, 5) + ( −3,1, −4) = ( −1, −2,1) r r a − b = (2, − 3, 5) − ( − 3,1, − 4) = (5, − 4, 9) r 8r r a = 8(2, −3,5) = (16, −24, 40) a ⋅ b = (2, −3,5) ⋅ (−3,1, −4) = 2×(−3) + (−3) ×1+ 5×(−4) = −29 r r r a ⋅ (2a + b) = (2, −3,5) ⋅ (1, −5,6) = 2×1+ (−3) ×(−5) + 5×6 = 47
1 1 1 1 1
【应用举例】 应用举例】
1
D
O
C
y
正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是 1B1、 分别是A 例2.正方体 正方体 的一个四等分点， C1D1的一个四等分点， z F D C 变式3: 是 的一个四等分点， 变式 G是BB1的一个四等分点， E B H为AA1上的一点，若GH⊥DF1， A 为 上的一点， ⊥ 试确定H点的位置 点的位置. 试确定 点的位置 1 H 解：设H 点坐标为(1, 0, a ),又G 1,1, , D 4 G Cy O uuur 1 所以 GH = 0, −1 ,a − A B 4 uuuu 1 r r x uuur uuuu 又DF1 = 0 , ，1， GH ⊥ DF1 且 4 uuur uuuu r 1 1 所以GH ⋅ DF1 = 0- + a − = 0 4 4 1 解得a = , 2 即当H为 的中点时，能使GH⊥ 即当 为AA1 的中点时，能使 ⊥DF1.
课件2：3.1.5空间向量运算的坐标表示
4．用坐标运算解决几何问题时，先建系，确定相关 点的坐标，找出题设条件与结论对应的向量，再依据相关 关系进行运算，最后翻译为几何关系得出结论．
5．已知两向量夹角为锐角或钝角，求参数取值范围 时，要注意共线的情形．
巩固训练
一、选择题
1．设 M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若O→M＝A→B，则点 B 应为( )
3．运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形是否方便 建立直角坐标系，将问题中涉及的点、线(向量)、面(向量的线性组 合)用坐标表示，如果容易表示则先建系，将点用坐标表示出来，然 后，利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算推证有关结论，利 用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，最后将计算 的结果转化为几何结论；当图形中的点不方便用坐标表示时，可直 接设出向量的基底，将各条件、结论中涉及的向量表示为基底的线 性组合，再运用向量线性运算及内积运算的规则进行推理、计算最 后转化为相应几何结论．
出证明．
[错解](1)取 A 为坐标原点，AB，AC，AP 所在直线分别为 x、 y、z 轴建立空间直角坐标系，设 PA＝1，则 P(0,0,1)，B(2,0,0)， O(0,2,0)，C(2,2,0)，E(2,1,0)， ∴P→E＝(2,1，－1)，A→D＝(0,2,0)， ∴P→E·A→D＝2≠0， ∴PE 与 AD 不垂直．
[解析] ∵a·b＝2k，|a|＝ 13，|b|＝ k2＋9， ∴cos120°＝ 13×2kk2＋9， ∴k＝－ 39.
[答案]
2 arccos5
6 2
[解析]以 A 为原点 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 直角坐标系，设正方体棱长为 1，则
E0，12，1，F1，0，21，∴A→E＝0，12，1，A→F＝1，0，12，
课件11：3.1.5空间向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标
? 表示又是怎样的呢
学习目标
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单 几何体的顶点坐标.
2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个 向量的共线或垂直.（重点）
3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离 公式，并能运用这些知识解决一些相关问题． （难点）
课堂探究 探究点1 空间向量运算的坐标表示
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) | AB | AB AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
d AB | AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
2.两个向量夹角公式
cos a, b a b |a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
.
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1时，a 与 b 同向.
（2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向. （3）当 cos a , b 0 时，a b.
典例精析
例1．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
新课导入
向量 a 在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在 空间则用有序实数组{x,y,z}表示.
由平面向量的坐标运算，推广到空间向量运算.
平面向量运算的坐标表示：
设a (a1 , a2 ), b (b1 , b2 )则
a b (a 1b1, a2 b2 ) ;
（1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32. | b |2 b b b12 b22 b32.
课件8:3.1.5 空间向量运算的坐标表示
AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
x
y
z
O
A(x,y,z)
i
j
k
即 向量如果起点平移到原点，那么 它的坐标表示就是其终点的坐标
练习1 如图建立直角坐标系,已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，求正方体各顶点的坐标
z
x
y
A
B
C
D
A
1
B
1量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
共面向量基本定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 使
复习引入：
因此，平面内的任意一个向量 ，我们都可以用与该平面平行的两个不共线的向量 的线性组合来表示（ 称为该平面的一组基底）
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
O
M
P
Q
三、向量的直角坐标运算
y
x
z
A
B
C
D
E
F
例2 在正方体 ABCD—A1B1 C1D1 中 E、F 分别是 BB1 、 CD 的中点 ， 求证： D1F 平面ADE
例1 已知 =(2,-3,5), =(-3,1,-4),求 + , - , ,
四、距离与夹角
1.距离公式
课件14：3.1.5 空间向量运算的坐标表示
课堂达标
1．已知 A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若O→C＝25A→B，则点 C
的坐标是( A ) A．(－65，－45，－85)
B．(65，－45，－85)
C．(－65，－45，85)
D．(65，45，85)
解析：∵A→B＝(－3，－2，－4)， ∴25A→B＝(－56，－45，－85)． 设 C 点坐标为(x，y，z)， 则O→C＝(x，y，z)＝25A→B＝(－65，－45，－58)．故选 A.
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)，A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
→ ∴BN＝(－2，－2，a)，
A→M＝(－2,4，a2)，由B→N⊥A→M得B→N·A→M＝0，
∴4－8＋a22＝0，a＝2
→ 2，∴AA1的长为 2
2，
(2)由(1)可得B→N＝(－2，－2,2 2)，A→D1＝(－4,0,2 2)，
提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似， 仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致．
知识点二 夹角与距离公式
[填一填]
在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，
则(1)模：|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23 .
(2)夹角：cos a，b ＝|aa|·|bb|
解：以 C 为原点，以C→A、C→B、C→C1为 x 轴、y 轴、z 轴的 正方向，建立空间直角坐标系 Cxyz. (1)依题意，得 B(0,1,0)，N(1,0,1)． ∴|B→N|＝ 1－02＋0－12＋1－02＝ 3.
(2)依题意，得 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．
x1＝9， 解得y1＝－6，
课件6:3.1.5 空间向量运算的坐标表示
2.空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法或
减法运算,最后进行数量积运算,先算括号里,后算括号外.
3.空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样,应注意
一些计算公式的应用,例如,
b+b2;
(1)(a+b)2=a2+2a·
b+b2;
(2)(a-b)2=a2-2a·
答案:3 2
·
1×0-3×4+2 2× 2 4
=
=- .
||||
3 2·
3 2
9
4
9
;a 与 b 夹角的余弦值等
首 页
探究一
探究二
探究三
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCEI
探究四
空间向量的坐标运算
1.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终
答案:5
.
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D 当堂检测
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探究四
空间向量夹角与模的计算
1.空间两点间的距离(线段长度)的求法.
空间两点可以确定一个向量,通过求向量的模或根据两点间的距离公
式求出两点间的距离.
b=0⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0.
练一练 2
若空间向量 a=(1,λ,3),b=(λ,4,λ+4),若 a∥b,则 λ=
3.1.5空间向量运算的坐标表示 课件
空间向量运算的坐标表示：
设a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3)则
a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 ); a b (a1b1,a2 b2,a3 b3); a (a1,a2 ,a3 ) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
平面向量运算的坐标表示：
a b ab 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1), B(x2 , y2 , z2 )
AB (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
3、设a （1，y， 2），b （ 2， 4，z），若a // b， 则y ，z
4、正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1 的一个四等分点，求：BE1与DF1所成角的余弦值.
z
(1) 建立直角坐标系， (2)把点、向量坐标化，
D1
F1
C1
A1
E1 B1
(3)对向量计算或证明。
y
D
O
C
A
B
x
5、正方体ABCD 1C1D1中，点E、F分别是BB1，D1B1的中点.
求证：EF DA1.
z
D1
C1
F
A1
B1
D
O
A
x
E
Cy
B
设a (a1,a2),b (b1,b2)则
a a a a12 a22
类
cos a,b a b a1b1 a2b2
比
ab
a12 a22 b12 b22
a // b a b( R)
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
3.1.5 空间向量运算的坐标表示1．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a 与b 不平行，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°2．已知空间四点A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，D (x ，－1,3)共面，则x 的值为( )A ．4B ．1C ．10D ．113．若两点的坐标是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB→|的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．[1,25]4．已知a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x )，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( )A ．x <－4B ．－4<x <0C ．0<x <4D ．x >45．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则BE 1→等于( )A ．(0，14，－1)B ．(－14，0,1)C ．(0，－14，1)D ．(14，0，－1)6．已知向量OA→＝(2，－2,3)，向量OB →＝(x,1－y,4z )，且平行四边形OACB 对角线的中点坐标为(0，32，－12)，则(x ，y ，z )＝( )A ．(－2，－4，－1)B ．(－2，－4,1)C ．(－2,4，－1)D ．(2，－4，－1)7．已知a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－1,0)，单位向量n 满足n ⊥a ，n ⊥b ，则n ＝________.8．已知a ，b ，c 不共面，且m ＝3a ＋2b ＋c ，n ＝x (a －b )＋y (b －c )－2(c －a )，若m ∥n ，则x ＋y ＝__________________.9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、DC 的中点．求证：(1)AE ⊥D 1F ；(2)AE ⊥平面A 1D 1F .10．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB→，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC→，求c . (2)求a 与b 的夹角．(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .3.1.5 空间向量运算的坐标表示1．[答案] A[解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2，(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．2．[答案] D[解析] ＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)，＝(x －4，－2,0)， ∵A 、B 、C 、D 共面，∴、、共面，∴存在λ、μ，使＝λ＋μ，即(x －4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－2λ－μ－2＝2λ＋6μ0＝－2λ－8μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－4μ＝1x ＝11. 3. [答案] B[解析] ||2＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＝13－12cos θcos α－12sin θsin α ＝13－12cos(θ－α)∈[1,25]，∴1≤||≤5.4．[答案] A[解析] ∵a 、b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0.∴x <－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使b ＝λa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝λx 2－x ＝2λx ＝0，此方程组无解，因此选A.5．[答案] C[解析] B (1,1,0)、E 1(1，34，1)，1BE ＝(0，－14，1)． 6.答案] A[解析] 由条件(2，－2,3)＋(x,1－y,4z )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，－12，∴(x ＋2，－1－y,3＋4z )＝(0,3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝－4z ＝－1.7．[答案] ⎝⎛⎭⎫33，33，33 ⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 [解析] 设n ＝(x ，y ，z )，由条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －z ＝0x －y ＝0x 2＋y 2＋z 2＝1，∴x ＝y ＝z ＝33或－33.8．[答案] －4[解析] ∵a 、b 、c 不共面，m ∥n ， ∴x ＋23＝－x ＋y 2＝－y －21，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y＝－2.9．[证明] 设正方体的棱长为1，以、、为坐标向量，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．(1)易知A (1,0,0)、E (1,1，12)、F (0，12，0)、D 1(0,0,1)．∵AE ＝(0,1，12)，1D F ＝(0，12，－1)． 又1AE D F ⋅·＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝0，∴AE ⊥D 1F .(2) DA ＝(1,0,0)＝11D A ，∴11D A AE ⋅= (1,0,0)·(0,1，12)＝0，∴AE ⊥D 1A 1，由(1)知AE ⊥D 1F ，且D 1A ∩D 1F ＝D 1，∴AE ⊥平面A 1D 1F .10．[解析] (1)∵c ∥，＝(－2，－1,2)．∴设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3∴λ＝±1∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．(2)a ＝＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)b ＝＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)．∴cos<a ，b >＝a·b |a|·|b|＝(1，1，0)·(－1，0，2)2×5＝－1010. ∴a 和b 的夹角为<a ，b >＝π－arccos 1010. (3)k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．又(k a ＋b )⊥(k a －2b )，则(k a ＋b )·(k a －2b )＝(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0，∴k ＝2或k ＝－52.。
3.1.5空间向量运算的坐标表示
e2
ye2
y
x
则存在有序实数组{x, y, z}，使得 p xe1 ye2 ze3 x,y,z称作向量 p 在直角坐标系Oxyz中的坐标，记作：
p (x, y, z)
（1）空间直角坐标系画法
过空间一定点o,作三条互相
z 竖轴
垂直的数轴，分别叫做
x,y,z轴,这样建立的坐标系
称为空间直角坐标 其中：
平面向量
空间向量
平面向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算：
a ( x1, y1),b ( x2, y2 )
a ( x1, y1, z1),b ( x2, y2, z2 )
a b ( x1 x2 , y1 y2 );
a ( x1, y1), R;
ab
【补充】已知空间中三点 A(－2, 0, 2)， B(－1，1, 2)，C(－3, 0, 4)， 若|c|＝3，且 c∥B→C，求向量 c；
解解解解::::∵(∴所∴∴所∴(∴所∴(∴所∴111)))m以c以mccm以c以mc∵∵∵＝∥＝＝＝＝＝＝＝||||cccccccBmmm→m∥∥|∥|||±±＝＝±±＝＝CBBB1→B→11→1→BBB，→.→..→C∴C∴∴C∴＝＝＝＝B→，，－，－－－cccCcmmmm＝＝＝＝BB2B＝2→22→→((((mmmCm－C－C－(－((((－－－－＝＝＝－22222222＋＋＋＋2,2,2,2(,((－－3－－－,,－,－,－－－,－－－－－101113331,1,1,1,,,,,mm,,mm2,422,200022))2))2),,－,＝＝＝)＝2))2)2244或或＋4或＋或＋＋)))(((((－－－－－－－－((((22222222((,,m(122,mm2,m2－－－1m1,m1m1m,,,1,22122,1,1,,＝－＝,＝－＝－－,－－,－,－21113m3)3m3mm,22,2＝,2||||mm2)m)2)m,,2),,．．．．))2)(222||＝||＝－＝＝＝＝m＝mmm()())(32)333－,－,－,,,，，，，－222,1,,－－－, 2111),,,, 222))),,,
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编号NO.6 武安市第十中学 高二数学（人教版）选修修2—1 第三章3.1.5节 班级： 姓名：
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制作人：王伟 审核人：王伟
1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
2. 会用这些公式解决有关问题. 9597
复习1：设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B (1,2)-，则线段︱AB ︱＝ .
复习2：已知()()3,2,5,1,5,1a b =-=-
，求：
⑴a ＋B. ⑵3a －b ； ⑶6A. ； ⑷a ·b .
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式
问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：
1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝
2. 两个向量的夹角公式：
设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，
由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞，
又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝
试试：
① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 .
反思：
设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则
⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为
； ⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ；
在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：
AB .
4. 线段中点的坐标公式：
在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: .
※ 典型例题
例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．
变式：如上图,在正方体1111ABCD A B C D -中，1111113
A B
B E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．
例2. 如图，正方体1111
ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.
1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求变式：如图，正方体
1
DB与CM所成角的余弦值.
小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算.
※动手试试
练1. 已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：
⑴线段AB的中点坐标和长度；
⑵到A、B两点距离相等的点(,,)
P x y z的坐标x、y、z满足的条件．
练2. 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流.
三、总结提升
※学习小结
1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然
后再代入公式进行计算.
※知识拓展
在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 若a＝
123
(,,)
a a a，b＝
123
(,,)
b b b，则3
12
123
a
a a
b b b
==是//
a b
的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不不要条件
2. 已知()()
2,1,3,4,2,
a b x
=-=-
，且a b
⊥
，
则x＝.
3. 已知()()
1,0,0,0,1,1
A B-,OA OB
λ
+
与OB
的夹角为120°，则λ的值为（）
A.
B.
C.
D.
4. 若()()2
,2,0,3,2,
a x
b x x
==-
，且,a b
的夹角为钝角，则x的取值范围是（）
A. 4
x<- B. 40
x
-<<
C. 04
x
<< D. 4
x>
5. 已知()()
1,2,,,1,2
a y
b x
=-=
，且
(2)//(2)
a b a b
+-
，则（）
A.
1
,1
3
x y
== B.
1
,4
2
x y
==-
C.
1
2,
4
x y
==- D. 1,1
x y
==-
1.如图，正方体''''
ABCD A B C D
-棱长为a，
⑴求''
,
A B B C的夹角；⑵求证：''
A B AC
⊥.
2. 如图，正方体
1111
ABCD A B C D
-中，点M,N分别为棱
11
,
A A
B B的中点，求CM和
1
D N所成角的余弦值.。