第9讲圆锥曲线章节复习与检测

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菲翔学校高考数学总复习第八章第9课时圆锥曲线的综合问题随堂检测含解析试题

墨达哥州易旺市菲翔学校第二章第1课时函数及其表示课时闯关〔含答案解析〕
1．AB为过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的弦，F(c,0)为它的焦点，那么△FAB的最大面积为()
A．b2B．ab
C．ac D．bc
A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，那么S△FAB＝|OF|·|2y1|＝c|y1|≤bc.
2．(2021·高考卷)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半
径的圆和抛物线C的准线相交，那么y0的取值范围是()
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)
解析：选C.∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0F为圆心、|FM|为半径的圆的HY方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的间隔为4，故4<y0＋2，∴y0>2.
3．曲线－＝1与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且·＝0(O为原点)，求－的值．
解：设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，
由题意得那么(b－a)x2＋2ax－a－ab＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2，
根据·＝0，得x1x2＋y1y2＝0，得
1－(x1＋x2)＋2x1x2＝0，
因此1＋＋2×＝0，化简得＝2，
即－＝2.。

圆锥曲线专题复习.doc

锥曲线专题训练一、定义【焦点三角形】1、已知椭圆一 +八=1的左右焦点为E、F2, P为椭圆上一点，9 4(1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积(2) 若ZF1PF2=60°,求的面积2 22、已知双曲线土-匕=1的左右焦点为E、F2, P为双曲线上一点,(1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积(2) 若ZF1PF2=60°,求Z^PF?的面积2 23、鸟,氏是椭圆二+七=1(〃＞。

＞0)的两个焦点，以鸟为圆心且过椭圆中心的a~ b~圆与椭圆的一个交点为M。

若直线&M与圆鸟相切，求该椭圆的离心率。

Y2 v24、椭圆瓦+ *_ = 1的焦点为与、「2。

点P为其上的动点，当PF2为钝角时。

点P横坐标的取值范围为多少？V-2 V2V-2 V25、椭圆—+ J(。

＞。

＞0)和双曲线、- —(m, n＞ 0)有公共的焦点F】(-。

,0)、a~ b~〃广F2(C,0),P为这两曲线的交点，求|商|・|户尸2|的值.二、方程已知圆亍+y2=9,从圆上任意一点P向X轴作垂线段PPL点M在PP，上，并且两=2布，求点M的轨迹。

2.3【定义法】(与两个定圆相切的圆心轨迹方程):—动圆与两圆：『+ ,,2 =]和尤2 * ,2 _8x+]2 = 0都外切，#1勃圆的圆心的轨迹方程是什么？AA题型1：求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆J + y2+6x+5 = 0外切，同时与圆x2 + r-6x-91 = 0内切,求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

.（2）双曲线y-/ =1有动点、P,月,％是曲线的两个焦点，求APgE的重心M的轨迹方程。

3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。

已知定圆G： x2 + y2 =9,圆C2：x2+6x+y2 =0三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量）直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦长.弦长公式：（2）对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”.3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有：•直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”.4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用.1、已知椭圆= i,过左焦点k倾斜角为£的直9 6线交椭圆于A、8两点。

圆锥曲线章末复习课

圆锥曲线章节总复习知识点一椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质知识点二椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则△PF 1F 2为焦点三角形(如图).(1)焦点三角形的面积S ＝b 2tan α2.(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c .知识点三双曲线及渐近线的设法技巧1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程.如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0(a >0，b >0)，即y ＝±b a x ；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y 2a 2－x 2b 2＝0(a >0，b >0)，即y ＝±abx .2.如果双曲线的渐近线为x a ±y b ＝0时，它的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).知识点四求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0).(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.知识点五三法求解离心率1.定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上，都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.2.方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.3.几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.知识点六直线与圆锥曲线位置关系1.直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行.2.直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等.知识点七抛物线的焦点弦性质过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (2)通径长为2p ； (3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (4)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；(5)以AB 为直径的圆与准线相切； (6)1|AF |＋1|BF |＝2p.题型探究------------------类型一圆锥曲线定义的应用例1 设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的左，右两个焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为( )A.2 2B. 2C.1D.12反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.跟踪训练1 已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n －y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随m ，n 变化而变化类型二圆锥曲线的性质及其应用例2 (1)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A. x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0C.x ±2y ＝0D.2x ±y ＝0(2)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a 2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________.反思与感悟有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解.跟踪训练2 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A.2B.3C. 2D.32类型三直线与圆锥曲线的位置关系——“设而不求”法的应用例3 已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．反思与感悟直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．直线和椭圆相交时要切记Δ>0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点P 到左，右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M (0，37)满足|MA |＝|MB |，求直线l 的斜率k 的值. .例4 如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB →与n ＝(2，－1)共线. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围.反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解. (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围例5 已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB |的最小值及相应的P 点坐标．反思与感悟对于解析几何中的定点、定值问题，要在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．课堂练习1.在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程表示( ) A.焦点在x 轴上的椭圆 B.焦点在x 轴上的双曲线 C.焦点在y 轴上的椭圆 D.焦点在y 轴上的双曲线2.中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 225＝1 D.x 281＋y 236＝13.设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝14.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( ) A.23p B.43p C.63p D.83p5.点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________.课时作业一、选择题1.到定点(3,5)与直线2x ＋3y －21＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A.圆 B.抛物线 C.线段D.直线2.方程x 2sin θ－1＋y 22sin θ＋3＝1所表示的曲线是( )A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在y 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线3.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 2＝1D.x 24＋y 2＝14.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P (3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 23－y 24＝1C.x 29－y 216＝1D.x 24－y 23＝15.已知曲线x 2a ＋y 2b＝1和直线ax ＋by ＋1＝0(a ，b 为非零实数)在同一坐标系中，它们的图象可能为( )6.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1二、填空题7.设中心在原点的双曲线与椭圆x 22＋y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________________.8.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.9.如图所示，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为________.10.点P 在椭圆x 2＋y 2m＝1上，点Q 在直线y ＝x ＋4上，若|PQ |的最小值为2，则m ＝________.三、解答题11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另一边CD 在x 轴上方，且AB ＝8，BC ＝6，其中A (－4，0)，B (4,0).(1)若A ，B 为椭圆的焦点，且椭圆经过C ，D 两点，求该椭圆的方程； (2)若A ，B 为双曲线的焦点，且双曲线经过C ，D 两点，求双曲线的方程.12.已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线l：y＝x＋1交抛物线C于A，B两点，求△AOB的面积.13.已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点A(0，3)，离心率e＝12.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E相切于点P，且与直线x＝4相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆过定点N(1，0).。

精心整理-圆锥曲线章节复习

y kxm
y2
2
px
k 2x 2 (2 k m 2 p )x m 2 0
相离
k0
0
相切
0
相交
0 一次方程(k=0)
(直线平行于对称轴)
题型回顾（1）求轨迹方程
1、已知点A(－1，0)，点B(1，0)，动点P满足PA、 PB的斜率之积为-2，求动点P的轨迹方程．
注意．（1）直接法（2）检验
题型回顾（1）求轨迹方程
变式：
一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
Y
P
X
O1
O2
变式：
一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
Y
P
X
O1
O2
题型回顾（1）求轨迹方程
(2)求椭圆 x2 y2 1 的一组斜率为2的平行弦 34
中点轨迹
注意：1、中点弦问题，点差法 2、检验
题型回顾（3）直线与圆锥曲线
3、焦点在x轴上的椭圆C的一顶点B(0,1),右焦点到直线m: x y 2 2 0的距离为3 （1）求C的标准方程. （2）是否存在斜率 k 0的直线与C交于两点M，N，使BN BM？若存在，求k的取值范围；若不存，在说明理由.
2、已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点 A(－1，0)，点B(1，0)，求满足条件的点C的轨迹方程．
注意．（1）直接法，定义法（2）检验
题型回顾（1）求轨迹方程
3、在△MNG中，已知NG＝4.当动点M满足条件

高三圆锥曲线复习(基础和大题含答案)

考纲要求（1）圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；④了解圆锥曲线的简单应用；⑤理解数形结合的思想。

（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。

基本知识回顾（1）椭圆①椭圆的定义设F1，F2是定点（称焦点），P为动点，则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a为定值，且2a ＞|F1F2|)的动点P的轨迹称为椭圆,符号表示：|PF1|+|PF2|=2a（2a＞| F1F2|)。

②椭圆的标准方程和几何性质例题例1：椭圆22192x y+=的焦点为12,F F，点P在椭圆上，若1||4PF=，则2||PF=；12F PF ∠的大小为。

变式1：已知12F 、F 是椭圆的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且→→⊥21PF PF 。

若12PF F ∆的面积为9，则b = 。

例2：若点P 到点F (4,0)的距离比它到定直线x +5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程是（）A ．y 2=16-xB ．y 2=32-xC ．y 2=16xD ．y 2=32x 变式2：动圆与定圆A ：(x +2)2+y 2=1外切，且与直线∶x =1相切，则动圆圆心P 的轨迹是（） A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线变式3：抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（） A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ． y x 82-=变式4：在抛物线y 2=2x 上有一点P ，若 P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小，则点P 的坐标是。

课后作业1．已知椭圆162x +92y =1, F 1、F 2分别为它的左右焦点，CD 为过F 1的弦，则△F 2CD 的周长是（）A ．10B ．12C ．16D ．不能确定2．设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．B ．12C ．D ．243．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（） A ．2 B ．3 C ．115D ．3716答案：例题例1、2，120°解：∵229,3a b ==，∴c ===12F F =又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =，又由余弦定理，得(22212241cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ︒∠=，故应填2，120°。

第九单元圆锥曲线( 滚动提升)-2021年高考数学一轮复习(解析版)

第九单元圆锥曲线B 卷滚动提升检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020浙江吴兴湖州中学高三其他】设x 、y R ∈，条件甲：221259x y +≤，条件乙：53x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则条件甲是条件乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：由于222125259x x y ≤+≤，可得2125x ≤，得5x ≤，同理可得3y ≤，所以，条件甲是条件乙的充分条件；必要性：当5x ≤，3y ≤，取5x =，3y =，则2221259x y+=>，所以，条件甲不是条件乙的必要条件. 综上所述，条件甲是条件乙的充分不必要条件. 故选A.2. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ． 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选B ．3. 【2020陕西咸阳高三三模(理)】若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：2020127a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-且()e x f x =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭A ． 1e -B ． eC ． 2eD ． 9e【答案】B【解析】因为数列{}n a 为等差数列，且2020127a a +=，所以1010101127a a +=；又{}n b 为等比数列，且120202b b ⋅=，所以101010112b b =，所以101010111010101127913a ab b +==+；又()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的最小正周期为4，又()e xf x =，[]0,2x ∈所以 ()()()92411f f f e =⨯+==，即1010101110101011e 1a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.故选B ．4. 【2020天津高三二模】若函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，2πϕ<）图象的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为-1，为了得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只要将()f x 的图象（）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度【答案】D【解析】由条件可知函数的最小值为-1，即1A =，对称中心和相邻的对称轴间的距离为4T，即1274123πππω⨯=-，解得：2ω=当712x π=时，7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈,2πϕ<，3πϕ∴=()sin 2cos 2cos 23326f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变换到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22266366x x x πππππ⎛⎫+=-+=+- ⎪⎝⎭，根据平移变换规律可知，只需向左平移6π个单位. 故选D.5. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．6. 【2020浙江宁波华茂外国语学校高三一模】设抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，若F 到直线3y x =的距离为3，则p 为（）A ．2B ．4C ．23D ．43【答案】B【解析】依题意得，(,0)2pF ，因为F 到直线3y x =的距离为3，|3|2331p ⨯=+，所以||4p =，因为0p >，所以4p =. 故选B.7. 【2020河南南阳中学高三月考（理）】某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）为A ．18B ．63C ．33D ．23【答案】C【解析】由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3，所以几何体的体积为232333⨯=故选C ．8. 【2020四川省南充高级中学高三月考（理）】已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是 A ．ln 212-B ．ln 212+C ．2D ．【答案】D【解析】曲线1C ：e x y =，求导得e xy '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+.下面证明e 1x x ≥+恒成立.构造函数()e 1xf x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立. 又2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B ，故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立.令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==，当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=，则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立.因为AB ==1y x =+与1y x =-=，所以PQ 的最小值为.故选D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 【2020山东高三其他】已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，12,,FP FP 3,FP ⋅⋅⋅组成公差为()0d d >的等差数列，则（）A ．该椭圆的焦距为6B ．1FP 的最小值为2C ．d 的值可以为310 D ．d 的值可以为25【答案】ABC【解析】由椭圆2212516x y +=，得5a =，4b =，3c =，故A 正确；椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有12||8PF ≤≤，故1FP 的最小值为2，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12,8n a a ≥≤，又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310，故C 正确，D 错误. 故选ABC.10. 【2020山东潍坊高三其他】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C 【答案】ACD【解析】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(214>==a12+>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故正确； D. 若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以()3,1Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得24===a ，2=，所以椭圆C 的，故正确. 故选ACD.11.【2020山东高三一模】已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( ) AB．CD ．3【答案】AC【解析】设双曲线C 的左焦点为F ',则2QF QF a '-=,即2QF QF a '=+，故22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+.由题意可得5PF PF '===，所以2214PQ QF PF PF a +≥+≥+，所以2a ≥.则双曲线C的离心率c e a==≤因为1e >.所以双曲线C的离心率的取值范围为(. 故选AC.12. 【2020山东青岛高三三模】在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，则下列命题中正确的（）A ．若点P 总满足1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线B ．若点P 到点A 的距离为2，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C ．若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D ．若点P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是双曲线【答案】ABD【解析】A.在正方体1A C 中，1,AC BD BB ⊥⊥平面ABCD ，所以11,BB AC BB BD B ⊥=，所以AC ⊥平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥，同理111,AB BD AB AC A ⊥=，所以1BD ⊥平面1AB C ，而点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，且1PA BD ⊥，所以点P 的轨迹就是直线1B C ，故A 正确；B.点P 的轨迹是以A 2的球面与平面11BCC B 的交线，即点P 的轨迹为小圆，设小圆的半径为r ，球心A 到平面11BCC B 的距离为1，则()2211r =-=，所以小圆周长22l r ππ==，故B 正确；C. 点P 到直线AB 的距离就是点P 到点B 的距离，即平面11BCC B 内的点P 满足1PB PC BC +==，即满足条件的点P 的轨迹就是线段BC ，不是椭圆，故C 不正确； D.如图，过P 分别做PM BC ⊥于点M ，1PE CC ⊥于点E ，则PM ⊥平面ABCD ，所以PM AD ⊥，过M 做MN AD ⊥，连结PN ，PM MN M ⋂=，所以AD ⊥平面PMN ，所以PNAD ，如图建立平面直角坐标系，设(),P x y ，PM y =，则221PN y =+，()221PE x =-，即()2211y x +=-，整理为：()2211x y --=，则动点P 的轨迹是双曲线，故D 正确. 故选ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是．【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故5b =由于双曲线的一条渐近线方程为5y x =，即52b a a =⇒=，所以22453c a b =+=+=，所以双曲线的离心率为32c a =. 故答案为：3214. 【20203的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：16315.【2020山东潍坊高三其他】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为______.【答案】2213y x -=【解析】由题意，圆()2223F x y -+=：的圆心()2,0F 是双曲线C 的右焦点，2c ∴=.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，∴圆心()2,0F 到直线by x a=，223b a =∴=，又2224c a b =+=，221,3a b ∴==.∴双曲线C 的方程为2213y x -=.故答案为：2213y x -=.16. 【2020山东青岛高三二模】抛物线()220y px p =>过圆2248190x y x y +-++=的圆心，()3,A m 为抛物线上一点，则A 到抛物线焦点F 的距离为__________. 【答案】5【解析】圆2248190x y x y +-++=的圆心为48,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,4-，代入抛物线方程得()24224p p -=⨯⇒=，所以抛物线方程为28y x =，其准线方程为2x =-，()3,A m 则A 到抛物线焦点F 的距离等于A 到抛物线准线的距离，即距离为325+=. 故答案为：5四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．【答案】（1）221252516x y +=；（2）52.【解析】（1）由题设可得54=22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ = 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ =11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ的距离为2，故11APQ △的面积为15222⨯=. 22||PQ 22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52. 18．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（1）22182x y +=；（2）1. 【解析】 (1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++，同理可得：()()222142Q k x y x -++=+. 很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==.19．【2020浙江高三二模】已知抛物线21:4C y x =和x 轴上的定点()4,0M ，过抛物线焦点作一条直线交1C 于A 、B 两点，连接,AM BM 并延长，交1C 于C 、D 两点.（1）求证：直线CD 过定点；（2）求直线AB 与直线CD 最大夹角为θ，求tan θ. 【答案】（1）证明见解析；（2）3tan 4θ=. 【解析】（1）证明：由题意知抛物线焦点()1,0F ，当直线AB 斜率不存在时，直线:1AB x =，易得()1,2A ，()1,2B -，则直线()2:43AM y x =--，()2:43BM y x =-，所以点()16,8C -，()16,8D ，此时直线:16CD x =；当线AB 斜率存在时，设直线():1AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，不妨设10y >，则()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，化简得2440y y k--=，>0∆，则114y y =-，221212144y y x x =⋅=，①当14x =时，则()4,4A ，所以2141y y -==-，21114x x ==，点1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线:4AM x =，点()4,4C -，直线()4:415BM y x =-，则()244154y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得点()64,16D ，所以直线116:33CD y x =-； ②当14x ≠时，此时直线()11:44y AM y x x =--，则()112444y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩，结合2114y x =化简得()2211116160x x x x x -++=，此方程有一根为1x ，所以3116x x =，所以3116y y =-，所以111616,C x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得221616,D x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由114y y =-，121=x x ，2114y x =可得2116416,C y y ⎛⎫-⎪⎝⎭，()2114,4D y y ，所以1112211211646444CDy y yk y y y +==--，所以直线()211121:444y CD y y x y y -=--，化简得()12116:4x y CD y y -=-，可得直线CD 过点()16,0；综上，直线CD 恒过点()16,0；（2）由（1）知，当直线AB 斜率不存在时，//AB CD ；当直线斜率AB 存在时，1212211221121616116164CDy y x x y y k k y y x x x x -+-==-⋅=--，设直线AB 与直线CD 的夹角为α，2333tan 4144CD CD k k k k kk kkα，当且仅当2k =±时，等号成立，所以对于直线AB 与直线CD 最大夹角θ，3tan 4θ=. 20.【2020浙江省高一单元测试】已知函数()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，此时8x π=；最小值为1-，此时2x π=.【解析】（1）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，该函数的最小正周期为22T ππ==.解不等式()2224k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，得()388k x k k Z ππππ-+≤≤+∈. 因此，函数()y f x =最小正周期为π，单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32244x πππ∴-≤-≤.当204x π-=时，即当8x π=时，函数()y f x =取得最大值，即()max f x =当3244x ππ-=时，即当2x π=时，函数()y f x =取得最小值，即()min 314f x π==-. 21. 【2020全国高三一模】已知函数()()()32120ax a b x b f x x a =+++>为奇函数，且()f x 的极小值为16-.()f x '为函数()f x 的导函数. （1）求a 和b 的值；（2）若关于x 的方程()32f x x m ='+有三个不等的实数根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =，1b =-；（2）()12,11-- 【解析】（1）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x --=恒成立，则()220a b x +=，所以=-b a ，所以()312f x ax ax =-，则()()()2312322x x f x a x a a =-=+-'，令()0f x '=，解得2x =-或2x =，当()2,2x ∈-时，()0f x '<，当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()2,2-单调递减，在()2,+∞单调递增，所以()f x 的极小值为()2f ，由()28241616f a a a =-=-=-，解得1a =，所以1a =，1b =-，（2）由（1）可知()312f x x x =-，()2312f x x '=-，方程()32f x x m ='+，即为233122x x m -=+，即方程3223120x x m -++=有三个不等的实数根，设()322312g x x x m =-++，只要使曲线有3个零点即可，设()2660g x x x '=-=，0x ∴=或1x =分别为()g x 的极值点，当(),0x ∈-∞和()1,+∞时，()0g x '>，()g x 在(),0-∞和()1,+∞上单调递增，当()0,1x ∈时()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减，所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线与x 轴有3个交点，当且仅当()()0010g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即120110m m +>⎧⎨+<⎩，解得1211m -<<-.即实数m 的取值范围为()12,11--.22. 【2020山东高三其他】已知椭圆22165:x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l 交椭圆C于A ，B 两点.（1）若1F AB 的面积为11，求直线l 的方程；（2）若222BF F A =，求AB .【答案】（1）10x y ±-=；（2【解析】（1）当直线l 斜率为0时，不满足题意.当直线l 斜率不为0时，设()11A ,x y ，()22B ,x y ，设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x ，得()225610250m y my ++-=由0∆＞得m R ∈. 由韦达定理得1221056m y y m -+=+①， 1222556y y m -=+②，则112121122F ABSF F y y =⋅-=⨯==，整理得4250490m m --=，解得21m =，或24950m =-（舍去），所以1m =±，故直线l 的方程为10x y ±-=. （2）若222BF F A =，则()()22111,21,x y x y --=-，所以212y y =-，代入上式①②得121056m y m =+，21225256y m =+消去1y ，得222102525656m m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得m =，所以12121526AB y y y y =-=-===⨯+。

(浙江专用)高考数学总复习第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线的综合问题学案-人教版高三全册数学

第9讲圆锥曲线的综合问题最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程，即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点.( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点.( ) (3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点.( ) (4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|.( )(5)若抛物线C 上存在关于直线l 对称的两点，则需满足直线l 与抛物线C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.( )解析 (2)因为直线l 与双曲线C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切. (3)因为直线l 与抛物线C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. (5)应是以l 为垂直平分线的线段AB 所在的直线l ′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.不确定解析直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A3.若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23. 答案 C4.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条B.2条C.3条D.4条解析过(0，1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点. 答案 C5.已知F 1，F 2是椭圆16x 2＋25y 2＝1 600的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________.解析由题意可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝202－2|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝128，所以△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×128＝64.答案 646.(2017·嘉兴七校联考)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当m＝________时，△FAB 的周长最大，此时△FAB 的面积是________.解析设椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为F ′，则F (－1，0)，F ′(1，0).由椭圆的定义和性质易知，当直线x ＝m 过F ′(1，0)时△FAB 的周长最大，此时m ＝1，把x ＝1代入x 24＋y 23＝1得y 2＝94，y ＝±32，S △FAB ＝12|F 1F 2||AB |＝12×2×3＝3.答案 1 3第1课时直线与圆锥曲线考点一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程. 解 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，∴c ＝1，又点P (0，1)在曲线C 1上，∴0a 2＋1b2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0.整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m 消去y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.② 综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x 2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练1】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，若直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，求实数k 的取值范围.解 (1)设点M (x ，y )，依题意|MF |＝|x |＋1， ∴（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简得y 2＝2(|x |＋x )，故轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （x ≥0），0（x ＜0）.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x ≥0)；C 2：y ＝0(x ＜0). 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2). 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. ②当k ≠0时，方程①的Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝－16(2k －1)(k ＋1)，② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(ⅰ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＜0，x 0＜0，由②③解得k ＜－1，或k ＞12.所以当k ＜－1或k ＞12时，直线l 与曲线C 1没有公共点，与曲线C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k 2＋k －1＝0，2k ＋1k＜0，解集为∅.综上可知，当k ＜－1或k ＞12或k ＝0时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.考点二弦长问题【例2】 (2016·四川卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值. (1)解由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).(2)证明由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|PA |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2. 所以|PA |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123 ＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |.规律方法有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.【训练2】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1，得|m |＜52.(*)∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4（m 2－3）] ＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*). ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.考点三中点弦问题【例3】 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1(2)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y2＝18x 上，则实数m 的值为________.解析 (1)因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1， ①x 22－y223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3， ∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，解得m ＝0或－8，经检验都符合. 答案 (1)D (2)0或－8规律方法处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.【训练3】设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围. 解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y ). 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y N x M －x N ＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′＜y 0＜y B ，也即－3＜y 0＜ 3. 所以－334＜m ＜334，且m ≠0.[思想方法] 1.有关弦的三个问题(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解.2.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数. [易错防范]判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点.第2课时定点、定值、范围、最值问题考点一定点问题【例1】 (2017·枣庄模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3.所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ）得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)＞0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③将③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴(mt )2＝1.由题意mt ＜0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点. 规律方法圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】 (2017·杭州七校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝⎛⎭⎪⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c .又斜边长为2，即2c ＝2，故c ＝b ＝1，a ＝2，椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)当l 与x 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169；当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 由⎩⎨⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为Q (0，1). 下面证明Q (0，1)为所求：若直线l 的斜率不存在，上述已经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －13，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0，Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)＞0， x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9， QA →＝(x 1，y 1－1)，QB →＝(x 2，y 2－1)，QA →·QB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169＋18k 2－4k 3·12k 9＋18k 2＋169＝0， ∴QA →⊥QB →，即以线段AB 为直径的圆恒过点Q (0，1).考点二定值问题【例2】 (2016·山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k为定值.②求直线AB 的斜率的最小值. (1)解设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4，2c ＝2 2.所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0). 由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3. ②解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由①知直线PA 的方程为y ＝kx ＋m .则直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0，由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m . 同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m . 所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0 ＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”.故此时2m －m4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意. 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 规律方法圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.【训练2】 (2016·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解由已知ca ＝32，12ab ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由(1)知，A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1.∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值. 考点三范围问题【例3】 (2016·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围. 解 (1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，即1c ＋1a＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）. 在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64或⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞. 规律方法解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【训练3】 (2017·威海模拟)已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B两点.记λ＝OA →·OB →，且23≤λ≤34.(1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围；(3)求△OAB 的面积S 的取值范围. 解 (1)由题意知2c ＝2，所以c ＝1. 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b ＝1，故a ＝2，所以所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，所以原点O 到直线l 的距离为|m |12＋k2＝1，即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2.λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k 2，由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－22∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1. (3)|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2－2（2k 2＋1）2，由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ，则S ＝12|AB |d ＝12|AB |，所以64≤S ≤23.即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，23. 考点四最值问题【例4】 (2015·浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称.(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立.故△AOB 面积的最大值为22. 规律方法处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 【训练4】已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点.若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值.解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝(x 0＋2y 0x 0)2＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 2＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4). 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.[思想方法]1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.[易错防范]1.求范围问题要注意变量自身的范围.2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系，特殊位置的应用.3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.。

圆锥曲线复习+课件

圆锥曲线在解决几何问题中具有广泛应用，例如求图形的面积、体积、角度、线段长度等问题。
在其他数学分支中的地位和作用
圆锥曲线在解析几何、微积分、线性代数等数学分支中都有重要应用。
圆锥曲线在解决物理、工程、经济等领域的问题中也有广泛应用，例如物理学中的光学、力学问题，经济学中的供需关系、最优问题等。
物体运动轨迹
在物理学中，圆锥曲线被用来描述各种物体的运动轨迹。例如，当物体在重力的作用下自由下落时，其运动轨迹可能是一个抛物线；当物体沿着斜面滑下时，其运动轨迹可能是一个螺旋线。
VS
粒子运动
在量子力学和粒子物理学中，粒子在强磁场中的运动轨迹通常被描述为复杂的曲线，这些曲线的形状和变化规律对于理解粒子的性质和行为至关重要。
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圆锥曲线在几何学中的应用
在几何学中，圆锥曲线被广泛应用于解决各种问题，如轨迹问题、最值问题等。
现代圆锥曲线的研究方向和成果
圆锥曲线与代数几何的结合
现代数学家将圆锥曲线与代数几何相结合，研究了一些深层次的问题，如圆锥曲线的分类、几何不变量等。
圆锥曲线在物理学中的应用
在物理学中，圆锥曲线被应用于解决一些实际问题，如行星运动轨迹的计算、光学问题等。
• 解析
首先求出圆心A到抛物线准线的距离，然后与圆的半径进行比较，得出圆与抛物线的位置关系。
解答题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且经过两个点$P_1(1,1)$和 $P_2( - frac{1}{5}, - frac{9}{5})$，求椭圆C的标准方程。
• 解析
根据椭圆的性质和给定的两个点，我们可以列出方程组解出椭圆的标准方程。
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圆锥曲线复习题及解析

第九单元圆锥曲线( 基础过关)-2021年高考数学一轮复习(解析版)

第九单元圆锥曲线A 卷基础过关检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【2020全国高三课时练习（理）】已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，若1221,tan 2PF PF PF F ⊥∠=，则椭圆的离心率e =（）AB ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22x a+2yb =1（a ＞b ＞0）上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1=2，∴12PF PF =2，设|PF 2|=x ，则|PF 1|=2x ，由椭圆定义知x+2x=2a ，∴x=23a ，∴|PF 2|=23a ，则|PF 1|==43a，由勾股定理知|PF 2|2+|PF 1|2=|F 1F 2|2，∴解得， ∴e=c a故选A.2.【2020四川资阳高三其他（理）】已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2b ，且C 的离心率为12，则C 的方程是（） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=【答案】A【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选A.3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（） A ．2 B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选C ．4. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选B ．5. 【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选D ．6. 【2020山东青岛高三二模】已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切【答案】B【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距22622415c =-=，A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则2a =，6c =，∴离心率3==ce a，B 正确；对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集，∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为217y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离4214323035214910d ±===≠+，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选B.7.【2020陕西西安高三二模（理）】设2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线的斜率为（）A ．27±B ．23±C ．7±D ．3±【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形．∴12MF PF =，1//MF PN ．设2PF n =，则22MF m =，即1MF a =，23MF a =． ∵2122a MF MF m =-=，即1MF a =，23MF a =． ∵260MF N ∠=︒，∴1260F MF ∠=︒．又122F F c =，在12MF F △中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅︒，即2247c a =，∴2274c a =，2222314b c a a =-=．∴双曲线C 的渐近线的斜率为32±．故选D ．8.【2020山东高三其他】如图，已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A ．233B ．54C ．53D ．322【答案】C【解析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n ac θ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan ba θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sinbc θ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=，即为(35)()0c a c a -+=，可得35c a =，则53c e a ==．故选C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线22:1C mx ny +=. A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选ACD ．10.【2020山东德州高三一模】 1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是（）A ．卫星向径的取值范围是[],a c a c -+B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【答案】ABD【解析】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[],a c a c -+，A 正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B 正确；12111a c e a c e e--==-+++，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确. 故选ABD .11. 【2020山东济南外国语学校高三月考】我们通常称离心率为51-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD【解析】2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列则2112212||||||A F F A F F ⋅=()()222a c c ∴-=2a c c ∴-=13e ∴=不满足条件，故A 错误；对于B ：11290F B A ∠=︒222211112A F B F B A ∴=+ ()2222a c a a b ∴+=++220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=解得e =或e =故B 正确；对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B2,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭21POA B k k =即2b c ab a =--解得bc =222a b c =+2c e a ∴===不满足题意，故C 错误；对于D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，ab ∴=422430c a c a ∴-+=42310e e ∴-+=解得2e =（舍去）或2e =12e ∴=故D 正确故选BD.12.【2020山东泰安高三其他】已知1F 、2F 是双曲线22:142y x C -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是（） A ．双曲线C的渐近线方程为y = B ．以12F F 为直径的圆的方程为222x y += C ．点M的横坐标为 D ．12MF F △的面积为【答案】ACD【解析】由双曲线方程22142-=y x知2,a b ==y轴，渐近线方程为a y x b =±=，A正确；c ==12F F 为直径的圆的方程是226x y +=，B 错；由226x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，由对称性知M点横坐标是，C 正确；12121122MF F M S F F x ==⨯=△D 正确．故选ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 . 【答案】2【解析】联立22222221x cx ya ba b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x cbya=⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBFa=.依题可得，3BFAF=，AF c a=-，即()2223bc aac a a c a-==--，变形得3c a a+=，2c a=,因此，双曲线C的离心率为2.故答案为：2．14.【2020肥城市教学研究中心高三其他】双曲线22:1916x yC-=的右支上一点P在第一象限，1F，2F分别为双曲线C的左、右焦点，Q为△12PF F的内心，若内切圆Q的半径为1，则直线1PF的斜率等于_____. 【答案】1663【解析】设1212PF PF F F、、与圆的切点分别为,,M N H.则,PM PN=11,MF HF=22NF HF=，所以121226,PF PF HF HF a-=-==又12+=10HF HF，解得18,F H=12.F H=连接1,F Q HQ11tan,8HFQ∴∠=则112168tan2163164k HFQ⨯=∠==-，故答案为：1663.15.【2020山东高三其他】已知抛物线22(0)y px p=>与直线:4320l x y p--=在第一、四象限分别交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若||||AF FBλ=，则λ=________.【答案】4【解析】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ，得2281720x px p -+=，解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=， 4AF FBλ==.故答案为416. 【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=故答案为：()3,0.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a +=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++=解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）．若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.18．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB =．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12. （2）由（1）知2a c =，3b c =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.19．【2020浙江湖州中学高三其他】如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是22，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点的坐标为(0,2)Q . 【解析】（1）由已知，点2,1)在椭圆E 上.因此，22222211,,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,a b ==所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =. 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则(0,M N ，由||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =. 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||=QA PA QB PB . 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+， A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式22168(21)0k k ∆=++>，所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++.因此121212112x xkxx x x++==.易知，点B关于y轴对称的点的坐标为22(,)B x y'-.又121122122111,QA QBy yk k k k kx x x x x'--==-==-+=--，所以QA QBk k'=，即,,Q A B'三点共线.所以12||||||||||||||||xQA QA PAQB QB x PB==='.故存在与P不同的定点(0,2)Q，使得||||||||=QA PAQB PB恒成立.20．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12xC y+=，抛物线22:2(0)C y px p=>，点A是椭圆1C与抛物线2C的交点，过点A的直线l交椭圆1C于点B，交抛物线2C于点M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若116p=，求抛物线2C的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．【解析】（Ⅰ）由116p=得2C的焦点坐标是1(,0)32．（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t=+≠≠，点00(,)A x y．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mty m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m +=，因此22022(2)p m x m +=．由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当2m =，10t =时，p 取到最大值10． 21. 【2020山东高三其他】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线上异于原点的任意一点，以AO 为直径作圆Ω，当直线OA 的斜率为1时，||42OA =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过焦点F 作OA 的垂线l 与圆Ω的一个交点为M ，l 交抛物线于P ，Q （点M 在点P ，Q 之间），记OAM △的面积为S ，求23||2S PQ +的最小值. 【答案】（1）24y x =（2）23【解析】（1）当直线OA 的斜率为1时，可得直线OA 的方程为y x =，联立抛物线方程22y px =，解得2x p =，即(2,2)A p p ，||242OA ==2p =，抛物线的方程为24y x =；（2）由（1）可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，00(,)M x y ，22(,)P x y ，33(,)Q x y ，且2114y x =，由题意可得0OA FM ⋅=，即101010x x y y x +-=，又0OM AM ⋅=，即220100100x x x y y y -+-=，整理可得22001x y x +=，又22222222110011||||||()3AM OA OM x y x y x x =-=+-+=+，则1||||2S AM OM =⋅=221111(3)4S x x x =+，又PQ 的斜率存在且不为0，:1PQ x ky =+，联立抛物线方程可得2440y ky --=，可得234y y k +=，234y y =-，则2||4(1)PQ k ===+，由PQ OA ⊥，可得11PQx k y =-，即11y k x =-，可得212114||4(1)4(1)y PQ x x =+=+，则221111314||(3)6(1)24S PQ x x x x +=+++，可令214()(3)6(1)4f x x x x x =+++，4323232()4x x f x x+-'=⋅，显然43()232g x x x =+-在0x >递增，且(2)0=g ，当02x <<时，()0<g x ，2x >时，()0>g x ，可得()f x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，可得2x =时，()f x 取得最小值23．即求23||2S PQ +的最小值为23． 22. 【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.。

2020届高三理科数学一轮复习第九章第9节圆锥曲线的综合问题第2课时

考点三范围与最值问题
2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利法、不等式方法等进行求解.
∴点 P 到直线 y＝2p的距离为12|P→M|，即|P→M|＝2y0－p2， ∵ 3|P→M|＝23 3|P→F|，∴y0－p2＝31y0＋p2，得 y0＝p，将点(2 2，p)代入抛物线方程，得 p＝2， ∴抛物线 E 的方程为 x2＝4y. (2)证明设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 y＝kx＋b，
即 x2＋y2＋2k 2y＝4，令 y＝0，得 x2＝4，即 x＝2 或 x＝－2.
考点二定值问题
[例 2] (2018·长春模拟)已知抛物线 E：x2＝2py(p>0)的焦点为
点 P(2 2，y0)y0>p2为圆心的圆与直线 y＝p2相交于 M，N 两点
＝233|P→F|. (1)求抛物线 E 的方程；(2)设直线 l 与抛物线 E 相
y＝kx＋m，整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
考点一定点问题
由 k1＋k2＝2⇒y1x－1 1＋y2x－2 1＝2⇒
(kx2＋m－1)xx1＋1x2(kx1＋m－1)x2＝2，即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2) ⇒(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km⇒k＝m＋1，即y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m⇒m(x＋1)＝y－x，故直线AB过定点(－1，－1). 综上，直线AB过定点(－1，－1).

北京专用2019版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题课件文

+
b
2
=1过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB
与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.
解析 (1)由题意得,a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为 x 2 +y2=1.
4
又c= a=2 ,b2 3
x
2 0
2
+y
2 0
=1.
①当m=0时,点P(0,2),Q点坐标为(- 2,0)或( ,02 ),
S= 1 × 2 ×2= .2
2
②当m≠0时,直线OP的方程为y= 2 x,即2x-my=0,
m
直线QF的方程为y=- m (x-1).
2
点Q(x0,y0)到直线OP的距离d= | 2 x,0 m y0 |
所以离心率e= c = 3 .
a2
(2)证明:设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则
x
2 0
+4
y
2 0
=4.
又A(2,0),B(0,1),
所以,直线PA的方程为y= y (0 x-2).
x0 2
令x=0,得yM=- 2 y ,0
x0 2
从而|BM|=1-yM=1+ 2 y .0
x0 2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设点Q为椭圆C上一点,过原点O且垂直于QF的直线与直线y=2交于
点P,求△OPQ的面积S的最小值.
b 1,
解析
(1)由题意,得
c
1解, 得a=
.
2
a 2 b 2 c 2 ,

2020届高三理科数学一轮复习第九章第9节圆锥曲线的综合问题第1课时

∴x1＋x2＝－12，x1x2＝－2b＝－12， ∴b＝1，即直线 AB 的方程为 y＝－x＋1.
又 M－14，45 ∴54＝－14＋
设 AB 的中点为 M(x0，y0)，则 x0＝x1＋2 x2＝－14，代入 y0＝－x0＋1，
答案
3 2
考点三中点弦问题(多维探究)
处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，减，式中含有 x1＋x2，y1＋y2，xy11－－xy22三个未知量，这样就直接和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率. (2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程元二次方程后，由根与系数的关系求解. (3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意 B 关于直线 l 对称，则 l 垂直直线 AB 且 A，B 的中点在直线
考点二弦长问题
[例 2](2018·黄山二模)设 F1，F2 分别是椭圆 D：xa22＋by22＝1(a>
过 F2 作倾斜角为π3的直线交椭圆 D 于 A，B 两点，F1 到直线
连接椭圆 D 的四个顶点得到的菱形的面积为 2 5. (1)求椭圆 D
(2)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 D 和圆 C：(x－2)2＋(y－2)2＝4 所
考点二弦长问题
∴m·n＝8
5t2·＋t52＋1＝
85 t2＋1＋
4 ≤2 t2＋1
5

当且仅当

t2＋1＝
t24＋1，即t＝±

3时，等号成立，

∴直线 l 的方程为 x－ 3y－2＝0 或 x＋ 3y－2＝0.
考点二弦长问题
弦长的三种常用计算方法 (1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定题． (2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点用两点间距离公式求弦长． (3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的．

2016年高考一轮复习资料第九章圆锥曲线

第九章圆锥曲线1.一、知识要点:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质第一节椭圆知识点精讲1.椭圆的定义:第一种定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.2a>2c 轨迹为椭圆a=c 轨迹为F1F2线段a<c无轨迹第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.题型归纳与分析题型椭圆定义和标准方程1．设一动点P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是（）()A 22132x y += ()B22132x y -= ()C 22(1)132x y ++= ()D 22123x y +=思路分析：(1)定义法：根据椭圆的定义，确定的值，再结合焦点位置直接写出椭圆方程。

（2）待定系数法题型离心率的值域取值范围3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB 的距，则椭圆的离心率为（） ()A 77- ()B 77+ ()C 12()D 45题型焦点三角形2. P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△F 1PF 2的面积等于（）()A 3316 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 162．曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系（） ()A 有相等的长、短轴 ()B 有相等的焦距()C 有相等的离心率()D 有相同的准线三、例题分析例1(05浙江) ．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．例2设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．例3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，P 若α=∠21F PF ，21PF F β∠=，求证2cos2cos βαβα-+=e ；（2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆2tan b θ⋅．例4设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，且椭圆上存在点P ，使得直线1PF 与直线2PF 垂直．（1）求实数m 的取值范围；（2）设l 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与l 相交于点Q ，若22||23||QF PF =-，求直线2PF 的方程．例5（05上海）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。

高二数学复习考点知识专题讲解与练习9---圆锥曲线基本量A

高二数学复习考点知识专题讲解与练习专题：圆锥曲线的基本量问题
1.若双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2 ＝4 所截得的弦长
为 2，则双曲线 C 的离心率为________． x2 y2
2.双曲线 C：16－ 9 ＝1 的两条渐近线的夹角是 θ，则 tan θ＝________.
P1(1,
1),
P2(0,
1),
P3－1，
23，P41，
23
中恰有三点在椭圆 C 上，则椭圆 C 的方程为________． x2 y2
变式 2 已知双曲线 E：a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F，离心率为 2，若经过 F
和 P(0,4)两点的直线 l 平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为________．
7. 过椭圆 C 的右焦点 F 作倾斜角为 45°的直线 l 与该椭圆交于 A、B 两点，若 AF＝2BF，则椭圆 C 的离心率的值为________．
x2 y2 8. 已知双曲线 C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，过 F 且斜率为 3的直线交 C 于
4/5
→→ A、B 两点，若AF＝4FB，则 C 的离心率为________．
x2 y2 变式 2 已知 F1, F2 是椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，若椭圆 C 上存在点 P，使得∠F1PF2＝120°，则椭圆 C 的离心率的取值范围是________．
跟踪练习
x2 y2
7
1．双曲线 E：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率是 2 ，则双曲线 E 的渐近线方程为________．

高三数学复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本文(2021年整理)

2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本文2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本文第九节圆锥曲线的综合问题A组基础题组1.(2015课标Ⅱ，20，12分)已知椭圆C:+=1（a〉b〉0）的离心率为,点(2,）在C上。

（1)求C的方程;（2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M。

证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

2。

(2016山西太原模拟)已知椭圆M：+=1(a>0）的一个焦点为F(-1，0），左，右顶点分别为A，B。

经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1）当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;(2）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求｜S1—S2｜的最大值.3。

(2016吉林长春模拟）设F1、F2分别是椭圆E：+=1（b〉0）的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，且·的最大值为1.（1）求椭圆E的方程;（2)设直线l：x=ky—1与椭圆E交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(O为坐标原点)，求k 的取值范围。

高考数学第八章第9课时圆锥曲线的综合问题知能演练轻松闯关新人教A版

【优化方案】2015年高考数学第八章第9课时圆锥曲线的综合问题知能演练轻松闯关新人教A 版[基础达标] 1．(2014·四川成都调研)抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A ．(32，54)B ．(1，1)C ．(32，94) D ．(2，4)解析：选B ．设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任意一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝（x －1）2＋35，∴x ＝1时，d 取最小值355，此时P (1，1)．2．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1，0)B ．(2，2)C ．(3，2)D ．(2，4)解析：选C ．依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3，2)．3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C ．由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，OP →·FP→＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2，当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6.4．(2014·辽宁大连质检)已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．(－3，3)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：选C ．由题意知，F (4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C ．5．若一条双曲线的焦距是8，经过其一个焦点的直线被双曲线截得的最短弦长是4，则此双曲线的离心率为________．解析：此题有两种情况：(1)当直线被双曲线的一支所截时，截得的最短弦长是通径(即过焦点且和对称轴垂直的弦)，通径长等于2b 2a ，故2b 2a＝4，即b 2＝2a ，而由已知得c ＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＝16，16＝a2＋2a ，解得a ＝17－1，此时e ＝417－1＝17＋14； (2)当直线被双曲线的两支所截时，截得的最短弦长是两顶点连线的线段长，即2a ＝4，此时a ＝2，e ＝c a ＝42＝2.答案：17＋14或2 6．(2014·浙江省名校联考)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的一点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时，点P 到双曲线C 的渐近线的距离为________．解析：由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|PM →|的最小值可以转化为求|OP →|的最小值，当|OP →|取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，所以所求的距离d ＝125.答案：1257．(2014·河南省三市第二次调研)已知圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 及上顶点B ．过椭圆外一点M (m ，0)(m >a )作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C 、D 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．解：(1)∵圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过点F 、B ， ∴F (2，0)，B(0，2)， ∴c ＝2，b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝6，∴椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意知直线l 的方程为y ＝－33(x －m )，m >6，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1y ＝－33（x －m ），消去y 得2x 2－2mx ＋(m 2－6)＝0.由Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0，解得－23<m <2 3. ∵m >6，∴6<m <2 3.设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－62，∴y 1y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33（x 1－m ）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33（x 2－m ）＝13x 1x 2－m 3(x 1＋x 2)＋m23. ∵F C →＝(x 1－2，y 1)，F D →＝(x 2－2，y 2)， ∴F C →·F D →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝43x 1x 2－m ＋63(x 1＋x 2)＋m 23＋4 ＝2m （m －3）3.∵点F 在圆E 的内部， ∴F C →·F D →<0，即2m （m －3）3<0，解得0<m <3.又6<m <23， ∴6<m <3.即m 的取值范围是(6，3)．8．已知直线y ＝x －1被抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)截得的弦长为26，点P 是抛物线C上横坐标大于2的动点，点B ，C 在y 轴上，圆(x －1)2＋y 2＝1内切于△P BC ．(1)求抛物线C 的方程；(2)求△P BC 面积的最小值，并确定取到最小值时点P 的位置．解：(1)设直线与抛物线两个交点的坐标分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x －1，得到x 2－2(1＋p )x ＋1＝0，Δ＝4(p 2＋2p )，所以|P 1P 2|＝2|x 2－x 1|＝22（p 2＋2p ）＝26，解得p ＝1，p ＝－3(舍去)，故所求抛物线方程为y 2＝2x .(2)设P (x 0，y 0)(x 0＞2)、B(0，b )、C(0，c )，不妨设b ＞c ，l P B ：y －b ＝y 0－bx 0x ，(y 0－b )x －x 0y ＋x 0b ＝0.又圆心(1，0)到P B 的距离为1，即|y 0－b ＋x 0b |（y 0－b ）2＋x 2＝1，(x 0＞2)，化简得(x 0－2)b 2＋2y 0b －x 0＝0，同理，(x 0－2)c 2＋2y 0c －x 0＝0.所以b ，c 是方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两个根，b ＋c ＝－2y 0x 0－2，bc ＝－x 0x 0－2.则(b －c )2＝4x 20＋4y 20－8x 0（x 0－2）2.因为P (x 0，y 0)是抛物线上的点，所以y 20＝2x 0.则(b －c )2＝4x 20（x 0－2）2⇒b －c ＝2x 0x 0－2. 故S △P BC ＝12(b －c )x 0＝x 0x 0－2·x 0＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4≥24＋4＝8.当(x 0－2)2＝4时，上式取等号，此时，x 0＝4，y 0＝±2 2.因此，△P BC 面积的最小值为8，取到最小值时点P 的坐标为(4，±22)．9．(2014·安徽合肥市质量检测)已知椭圆：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B ，M 是椭圆上的三点．若OM →＝35O A →＋45O B →，点N 为线段AB 的中点，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫62，0，求证：|NC|＋|ND|＝2 2. 解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23a 2＋14b 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1. 由OM →＝35O A →＋45O B →，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2.因为M 是椭圆C 上一点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 1＋45y 22＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 214＋y 21⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224＋y 22⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×35×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋y 1y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×35×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋y 1y 2＝1，故x 1x 24＋y 1y 2＝0.又线段AB 的中点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2222＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 214＋y 21＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224＋y 22＋x 1x 24＋y 1y 2＝1，从而线段AB 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在椭圆x 22＋2y 2＝1上．又椭圆x 22＋2y 2＝1的两焦点恰为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0，所以|NC|＋|ND|＝2 2.[能力提升]1．已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．解：(1)直线x ＋ky －3＝0经过定点F (3，0)，即点F (3，0)是椭圆C 的一个焦点．设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8，所以a ＋3＝8，即a ＝5.所以b 2＝a 2－32＝16.所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)证明：因为点P (m ，n )在椭圆C 上，所以m 225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m 225(0≤m ≤5)．所以原点到直线l 的距离d ＝1m 2＋n2＝1925m 2＋16<1.所以直线l 与圆O 恒相交．L 2＝4(r 2－d 2)＝4(1－1925m 2＋16)．因为0≤m ≤5，所以152≤L ≤465. 2．(2014·安徽省“江南十校”联考)在圆C 1：x 2＋y 2＝1上任取一点P ，过P 作y 轴的垂线段P D ，D 为垂足，动点M 满足M D →＝2MP →.当点P 在圆C 1上运动时，点M 的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程；(2)是否存在过点A(2，0)的直线l 交曲线C 2于点B ，使OT →＝55(O A →＋O B →)，且点T 在圆C 1上？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设M (x ，y )，∵M D →＝2MP →，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y .又P 在圆C 1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋y 2＝1，即C 2的方程是x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，点B 与点A 重合，此时点T 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫455，0，显然点T 不在圆C 1上，故不合题意，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2）x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0，解得x B ＝8k 2－21＋4k 2，∴y B ＝－4k1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－21＋4k 2，－4k 1＋4k 2. ∴O A →＋O B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16k21＋4k 2，－4k 1＋4k 2，∴OT →＝55⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 21＋4k 2，－4k 1＋4k 2.∵T 在圆C 1上，∴15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 21＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 22＝1，化简得，176k 4－24k 2－5＝0，解得k 2＝14或k 2＝－544(舍去)，∴k ＝±12.故存在满足题意的直线l ，其方程为y ＝±12·(x －2)．3．(2013·高考广东卷)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322. 设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，P B ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|A F |·|B F |的最小值．解：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy (c >0)，由点到直线的距离公式，得|0－c －2|1＋1＝322，解得c ＝1(负值舍去)，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，其导数为y ′＝12x .设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，切线P A ，P B 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线P B 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线P A ，P B 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解．所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|A F |＝y 1＋1，|B F |＝y 2＋1，所以|A F |·|B F |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 并整理得到关于y 的方程为y 2＋(2y 0－x 20)y＋y 20＝0.由一元二次方程根与系数的关系得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20.所以|A F |·|B F |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1 ＝y 20＋x 20－2y 0＋1.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0－y 0－2＝0，即x 0＝y 0＋2，所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，所以当y 0＝－12时，|A F |·|B F |取得最小值，且最小值为92.。

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第9讲圆锥曲线与方程复习测试
一、选择题（每题5分，共60分） 1.方程x =2
31y -表示的曲线是（）
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
2.设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．x y 2±=
B ．x y 2±=
C ．x y 2
2
±= D ．x y 21±=
3.设点A 为抛物线y 2
＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( )
A ．－2
B ．0
C ．－2或0
D ．－2或2
4.两个焦点为（0，6），（0，-6），且与双曲线1222
=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（） A.
1241222=-y x B. 1241222=-x y C. 1122422=-x y D. 112242
2=-y x 5.双曲线
132
2=+-m y m x 的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A .21 B ．1或3 C .2
21+ D . 212- 6.若动圆圆心在抛物线x y 82
=上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A ．(4，0)
B ．(2，0)
C ．(0，2)
D ．(0，－2)
7.已知抛物线)0(22>=p px y ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
8.设斜率为2的直线l 过抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A ．y 2＝±4x
B ．y 2＝±8x
C ．y 2＝4x
D ．y 2＝8x
9.设抛物线x y 22
=的焦点为F ，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比
ACF
S S ∆∆BCF
等于( ) A .
5
4 B . 32 C . 74 D . 21
10.我们把由半椭圆)0(12222≥=+x b y a x 与半椭圆)0(122
22<=+x c x b y 合成的曲线称作“果圆”（其中
222c b a +=，0>>>c b a ），如图所示，其中点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，若△210F F F 是边长
为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为（） A.
2
7
，1 B.3，1 C.5，3 D.5，4 11.椭圆12
22
22=+a y a x 与连结A (1，2)，B (2，3)的线段没有公共点，则正数a 的取值范围是（）
A ．(0,6)∪ (17,+∞)
B ．(17,+∞)
C ．[6，17]
D ．（6，17）
12.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的垂线的交点为B ，过点A 且平行于x 轴的直线交抛物线的准线于点C ，若=，48=⋅，则抛物线的方程为（）
A.x y 82
= B.x y 42
= C. x y 62
= D. x y 242=
二、填空题（每题5分，共20分）
13．过双曲线19162
2=-y x 左焦点1F 的弦AB 的长为6，则△2ABF （2F 为右焦点）的周长是。

14.椭圆22
162
x y +=和双曲线2213x y -=的公共点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么21cos PF F ∠的值是__________________。

15．若焦点在x 轴上的椭圆
22
2
145x y b +=上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，则正数b 的取值范围是 _______________
16.已知点P （a ，0），对于抛物线x y 42
=上任意一点Q ，都满足||||a PQ ≥，则a 的取值范围是。

三、解答题（70分）
17.（10分）已知椭圆的焦点在坐标轴上，两焦点的中点为原点.且椭圆经过两点（6，1）和（3-，2-），求椭圆的方程、顶点坐标、焦点坐标和离心率。

18.（10分）已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一个焦点，并且这
条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点)6,2
3(P ，求抛物线的方程和双曲线的方程。

19.（12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝1
4
x 2的焦点，
离心率为
5
5
2. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA ＝m FA ，MB ＝n FB
，
求m ＋n 的值．
20.（12分）已知双曲线C:)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为3，3
32=
c a （1）求双曲线C 的方程；
（2）已知直线0=+-m y x 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆522=+y x 上，求m 的值。

21.（13分）已知定点F （0，1）和直线1:1-=y l ，过定点F 与直线1l 相切的动圆圆心为点C 。

（1）求动点C 的轨迹方程；
（2）过点F 作直线2l 交动点C 的轨迹于P ，Q 两点，交直线1l 于点R ，求⋅的最小值。

22.（13分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率2
2
=e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，
点)3,2(P ，点2F 在线段1PF 的中垂线上。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点，直线M F 2与N F 2的倾斜角互补，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标。