2019三角形综合中高档精选120题
2019年中考数学专题复习卷 三角形(含解析)
三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。
2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D【解析】：如图∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。
3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B【解析】如图，延长BC交AD于点E，∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，故答案为：B.【分析】延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。
4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。
2019年中考数学真题分类汇编—等腰三角形、等边三角形综合运用
【关键词】等边三角形的判定和性质；全等三角形的判定；存在性问题 3. （ 湖南省怀化市，8，4 分）等腰三角形的两边长分别为 4cm 和 8cm，则它的周长为（ ） A. 16cm B. 17cm C. 20cm D. 16cm 或 20cm 【答案】C. 【逐步提示】此题考查等腰三角形的定义和三角形三边的关系.题中给出了等腰三角形的两条边长，而没有明确
BC,CE,EG,GI 在同一直线上，且 AB=2，BC=1，连接 AI,交 FG 于点 Q,则 QI= 。
4 【答案】 3
【逐步提示】本题考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键就是掌握三角形相似的判定方法，并能运用三 QI GI
角形相似的性质求线段的长。由四个三角形全等可知∠ACB=∠FGE,则 GQ∥AC,所以 AI CI ,GI 和 CI 的长度
2
又∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=350.
，故答案为 350 .
【解后反思】圆周角定理能有效地把圆心角与圆周角联系起来，即在同圆或等圆中圆周角的度数等于同弧或等
弧所对的圆心角的一半.
【关键词】圆周角定理；等腰三角形的性质。 4. （ 湖 北 省 黄 冈 市 ， 14， 3 分 ） 如 图 ， 已 知 ΔABC,ΔDCE,ΔFEG,ΔHGI 是 四 个 全 等 的 等 腰 三 角 形 ， 底 边
分面积的最小，此时每次都要考虑以最大边做斜边才使得剪去的等腰直角三角形面积最大．
【详细解答】解：如图所示，剩余三角形的面积为 24— 1 ´ 4´ 4 — 1 ´ 3 2 ´ 3 2 — 1 ´ 3´ 3 =2．5，故选择
2019年初一下册数学三角形的认识专题复习试卷含有答案
2019年初一数学专题复习卷年初一数学专题复习卷数学科目章节综合能力提升卷考试范围：三角形的认识；满分：100分；考试时间：120分钟；分钟；学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________题号题号一 二 三 总分总分 得分得分评卷人评卷人 得分得分一、选择题1．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=90°，∠CAD 的角平分线交BC 的延长线于点E ，若∠B=50°，则∠AEB 的度数为（ ）A ．70°B ．20°C ．45°D ．50°答案：B2．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形答案：B3．如图所示，△ABC ≌△BAD ．A 与B ，C 与D 是对应顶点，若AB=4cm ，BD=4．5 cm ，AD=1．5 cm ，则BC 的长为（ ）A 4．5 cmB ．4 cmC ．1．5 cmD ．不能确定答案：C4．如图所示，△ADF ≌△CBE ，则结论：①AF=CE ；②∠1=∠2；③BE=CF ， ④AE=CF ．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C5．如图所示，已知AD=CB，∠AD0=∠CB0，那么可用“SAS”全等识别法说明的是（） A．△AD0≌△CB0 B．△AOB≌△COD C．△ABC≌△CDA D．△ADB≌△CBD答案：D6．如图所示，已知AC=AB，∠1=∠2，E为AD上一点，则图中全等三角形有（）A． 1对 B．2对 C．3对 D．4对答案：C7．如图所示，0P平分∠AOB，PE⊥OB，PF⊥OA，则下列结论中正确的个数有（） ①OE=0F；②FP=PE；③OP⊥EF；④∠PEF=∠PFE；⑤0P平分∠FPE；⑥PQ=0QA．6个 B．5个 C．4个 D．2个答案：B8．下列条件中，不能作出唯一．．三角形的是（）A．已知两边和夹角B．已知两边和其中一边的对角C．已知两角和夹边D．已知两角和其中一角的对边答案：B9．如果三角形的两边长分别为7和2，且它的周长为偶数，那么，第三边的长为（） A．5 B．6 C．7 D．8答案：C10．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．4，2，2 B．1，2，3， C．2，3，6 D．3，6，6答案：D11．如图，CD是△ABC的中线，DE是△ACD的中线，BF 是△ADE 的中线，若△AEF 的面积是 1cm2，则△ABC的面积是（）A． 4cm2 B．5 cm2 C． 6 cm2 D．8 cm2答案：D12．用9根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个解析：C13． 如图，已知∠C＝∠D，AC=AE，要得到△ABC≌△AED还应给出的条件中错误的是（ ）A．∠BAD＝∠EAC B．∠B=∠E C．ED=BC AB＝AE答案：D14．如图，△ABC≌△BAD，A与B，C与D是对应点，若AB=4cm，BD=4.5cm，AD=1.5cm，则BC的长为（的长为（ ）A．4cm B．4.5cm C．1.5cm D．不能确定答案：C15． 一个三角形的三个内角中，至少有（）A． 一个锐角一个锐角 B． 两个锐角两个锐角 C． 一个钝角一个钝角 D．一个直角答案：B16． 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝3，则点P到AB的距离是（的距离是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6答案：A17．在△ABC中，三个内角满足以下关系：∠A=12∠B=13∠C，那么这个三角形是（）A．直角三角形．直角三角形 B．锐角三角形．锐角三角形 C．钝角三角形．钝角三角形 D．任意三角形 答案：A18．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3cm,3cm , 6cm B．7 cm,4cm , 5cmC．3cm,4cm , 8cm D．4.2 cm, 2.8cm , 7cm答案：B19．利用基本作图，不能作出惟一三角形的是（） A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边 C．已知两边及一边的对角 D．已知三边解析：A评卷得分二、填空题20．如图，已知点D在AC上，点E在AB上，在△ABD和△ACE中，∠B=∠C，要判断△ABD≌△ACE，(1)根据ASA，还需条件；(2)根据AAS，还需条件 .解析：AB=AC，AD=AE或EC=BD21．如图，已知AB=AC=8 cm，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D．若AD=5 cm，则EC= cm．解析：322．如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是三角形．解析：等边23．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，已知∠B=66°，∠C=38°，那么∠ADB= ，∠ADC= ．解析：76°，l04°24．如图所示，△ABC中，D，E是BC边上的两点，且BD=DE=EC，则AD是三角形的中线，AE是三角形的中线．解析：ABE，ACD25．如图所示，四边形ABCD为正方形，它被虚线分成了9个小正方形，则△DBE与△DEC的面积之比为．解析：1：226．如图，若把△ABC绕A点旋转一定角度就得到△ADE，那么对应边AB= ， AC= ，BC= ；对应角∠CAB= ，∠B= ，∠C= ．解析：AD，AE，DE，∠EAD，∠D，∠E27．如图所示，分别根据下列已知条件，再补充一个条件，使图中的△ABD≌△ACE(SAS)．①AB=AC，∠A=∠A，；②AB=AC，∠B=∠C, ；③AD=AE，，BD=CE．解析：①AD=AE；②BD=CE；③∠ADB=∠AEC28．如图所示，△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=5，△ABC的周长为30，则△ABD 的周长是．解析：2029．如图，把△ABC 沿虚线剪一刀，若∠A=40°，则∠l+∠2=．解析：220°30．如图, 已知△ABE ≌△ACD ，B 和C ，D 和E 是对应顶点, 如果∠B=46°,BE=5，∠AEB=66°，那么CD= ，∠DAC= .解析：5，68°31．如图，已知 AC 与BD 相交于点0，AO=CO ，BO=DO ，则AB = CD. 请说明理由. 解：在△AOB 和△COD 中，(_____((AO CO BO DO =ìïíï=î已知）对顶角相等）已知）所以△AOB ≌△COD( ).所以AB=DC( ).解析：∠AOB=∠COD ，SAS ，全等三角形的对应边相等32．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ；②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3；③∠A=900－∠B ；④∠A=∠B=12 ∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有 个. 解析：4 33．如图，已知任意三角形的内角和为180°，试利用多边形中过某一点的对角线条数，寻求多边形内角和的公式.DCB A根据上图所示，①一个四边形可以分成2个三角形，于是四边形的内角和为 度；②一个 五边形可以分成3个三角形，于是五边形的内角和为 度；……，③按此规律，n 边形可以分成 个三角形，于是n 边形的内角和为 度.解答题解析： 360，540，（n-2），180（n-2）34．三角形中线将三角形的 平分．解析：面积35．如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，则AOC DOB Ð+Ð= ．解析：180°36．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且AD ＝AE ，判定△ACD ≌△ABE 的依据是“______”．解析：ASA （或AAS ）37．如图，在ABC D 中，AD 是BC 边上的高线，°=Ð60B ，°=Ð30C ，则图中有 个直角三角形． 解析：338．Rt △ABC 中，∠C ＝Rt ∠，∠A ＝30°，AB 的中垂线交AB 于D ，交AC 于E ，若△ADE 的面积是8，EC ＝3，BC ＝4，则△ABC 的面积为的面积为． 解析：2239．若a 、b 、c 为△ABC 的三边，则a b c a b c---+ 0(填“>”、“=”或“<”) . 解析：<40． 有两条边相等的三角形中已知一边长为 5，另一边长 6，则这个三角形的周长 . 解析：16或1741．全等三角形的对应边 ，对应角 ．解析：相等，相等评卷人评卷人 得分得分三、解答题42．如图，∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求△ABC 的内角的度数．CB A解析：∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°．43．在△ABC 中，∠A+∠C=120°，∠B+∠C=110°，求三角形各内角的度数．解析：∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°44．一个三角形有两条边相等，它的最长的边比最短的边多2，已知这个三角形的周长为8，求它的三条边长．解析：103，103，43 45．三角形的三条中线、三条高、三条角平分线都分别交于一点，其中交点可能不在三角形内部的是哪种线段请通过画图说明．解析：高线的交点可以在三角形的外部、内部及其顶点上46．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B=70°，∠C=34°，求∠DAE 的大小．解析：18°47．如图所示，已知AB=AE ，∠B=∠E ，BC=ED ，F 是CD 的中点，说出AF 是CD 的中垂线的理由．垂线的理由．解：连结AC ，AD ，在△ABC 和△AED 中，AB=AE(已知)，∠B=∠E(已知)，BC=ED(已知)，∴△ABC ≌△AED(SAS)．∴AC=AD(全等三角形的对应边相等)．请把后面的过程补充完整：解析：略48．如图所示，A ，D ，F ，B 在同一直线上，AD=BF ，AE=BC ，且∠A=∠B ，说明下列各式成立的理由．式成立的理由．(1)△AEF ≌△BCD ；(2)∠BFE=∠ADC ．解析：略49．如图①所示，长方形通过剪切可以拼成直角三角形，方法如下：仿照上图，用图示的方法，解答下列问题：(1)如图②所示，已知直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与之等面积的长方形；(2)如图③所示，对任意一个三角形，设计一种方案，把它分成若干块，再拼成一个与它等面积的长方形．解析：（1）(2）50．如图所示，已知∠β=30°，a=3 cm．用直尺和圆规完成下列尺规作图(不写作法，保留痕迹)，求作△ABC，使∠B=∠β，BC=a，AC=1．5 cm．解析：略51．如图，已知∠A=∠D，AB=DE．AF=DC，图中有哪几对全等三角形?并选取其中一对说明理由．解析：△ABF≌△DEC，△FCB≌△CFE，△ABC≌△DEF，证明略52．如图．在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出—个正确的结论，并说明理由．①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF．已知：结沦：理由：解析：①③④,②,BE=CF，则BC=EF，ΔABC≌ΔDEF（SAS）．53．如图，DB是△ABC的高，AE是∠BAC的角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数.EB D CA解析：64°54．如图，在△ABC 中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，求∠ABE 、∠ACF 和∠BHC 的度数.解析：∠ABE=30°，∠ACF=30°，°，∠BHC=120°． 55．如图：已知∠B=40°，∠C=59°，∠DEC=47°，求∠F 的度数．解析：34°56．如图，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，∠ADB=105°，∠ACB=65°，CE 是AB 边上的高．求∠BAC ，∠BCE 的度数．FAB CDE解析：80°、55°57．如图，AD ，CE 分别是△ABC 的两条高，问∠BAD 与∠BCE 相等吗？请说明理由．解析：相等，理由略58．如图，直线OA ，OB 表示两条相互交叉的公路．点M ，N 表示两个蔬菜基地．现要建立一个蔬菜批发市场，要求它到两个基地的距离相等，并且到公路OA ，OB 的距离相等，请你作图说明此批发市场应建在什么地方？解析：分别作AOB Ð的平分线OC 和线段MN 的垂直平分线DE ，则射线OC 与直线DE 的交点P 即为批发市场应建的地方．59．如图，AC ＝AE ，∠BAM ＝∠BND ＝∠EAC ， 图中是否存在与△ABE 全等的三角形?并说明理由．解析：存在△ABE ≌△ADC ，理由略ABCD EＭＡＯＮＢADMCBEN60．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，有①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ，请说明理由．(2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时， DE=AD －BE ，请说明理由；(3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必说明理由．解析：（1）略；（2）略；（3）DE=BE －AD ．61．如图，在△ABC 中，AE 是∠BAC 的角平分线，AD 是BC 边上的高，∠B=40°，∠C=60°，求∠EAD的度数．解析：10°62．如图，已知：A ，F ，C ，D 四点在一条直线上，AF=CD ，∠D=∠A ，且AB=DE ．请将下面说明△ABC ≌△DEF 的过程和理由补充完整． 解：∵AF=CD( )，∴AF+FC=CD+ ，即AC=DF ． 在△ABC 和△DEF 中，CBAE D图1N MABC DEMN图2AC BEDNM 图3____(__________(AC DA AB =ìïÐ=Ðíï=î已证）（）已知）(已证)， ∴△ABC ≌△DEF( )．解析：已知，FC ，DF ，已知，DE ，SAS63．如图，四边形ABCD 是一防洪堤坝的横截面，AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，且AE=BF ，∠D=∠C ，问：AD 与BC 是否相等？说明你的理由．解： AE ⊥CD ∴∠AED=BF ⊥CD∴∠BFC=∴ = 在△ADE 和△BCF 中，()()()ïîïíì=Ð=Ð=Ð_____________________________________________________________________AE AED D∴△ADE ≌△BCF( ) ∴AD=BC( )90 º ，90 º，∠AED ，∠BFC ，∠C ，已知，BFC ，已证，BF ， 已知，AAS ，全等三角形的对应边相等．解析：。
(完整版)专题11三角形综合问题(精练)-2019年中考数学高频考点突破(解析版)
一、选择题（10×3=30分）1.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个．2.如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为( )A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠23.（2018·广西梧州·3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．4.（2018·辽宁大连·3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α解：由题意可得：∠CBD=α，∠ACB=∠EDB．∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°．∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α．故选C．5.（2018•聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°﹣α﹣β【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．6.（2017•营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30°D．AB=CD【考点】KX：三角形中位线定理；KH：等腰三角形的性质．.【分析】由AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确；根据三角形的中位线定理得到FE=AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确；由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=CD，又AB=AC，等量代换得到AB=CD，从而判断D正确．∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，∵AB=AC，∴FE=FD，∴∠FDE=∠FED=（180°﹣∠EFD）=（180°﹣135°）=22.5°，∴∠FDE=∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC=CD，∵AB=AC，∴AB=CD，故D正确，不符合题意．故选C．7.（2017山东滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．[来&源:%中国@教*育#出版网]在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE=OF，8.（2018•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，9.（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，10.（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确二、填空题（6×4=24分）.11.如图22－7，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是__ _(只需写一个，不添加辅助线)．【解析】由已知AB＝BC，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个边了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS.所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD.12.（2018·广西贺州·3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是．13. （2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE=DB=CD=AB，∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，∴∠DEC=∠ACE，∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，∴AC=，∴AE=．14.（2018•绵阳）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=．【分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+AO2=4，BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．15.（2017广西）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为．【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．【解答】解：连接PP′，如图，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′=PC=6，∵△ABC为等边三角形，∴CB=CA，∠ACB=60°，∴∠PCB=∠P′CA，在△PCB和△P′CA中，∴△PCB≌△P′CA，∴PB=P′A=10，∵62+82=102，∴PP′2+AP2=P′A2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，∴sin∠PAP′===．故答案为．16.（2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E 处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是.A．4 B．C．3D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，三、解答题（共46分）.17.某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且AC＝BD，AB＝DC，嘉琪认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△ABO≌△DCO.你认为嘉琪的思考过程对吗？如果正确，指出她用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程．【点拨】判定两个三角形是否满足全等条件“SAS”．【解答】解：显然嘉琪的思路是不正确的，因为由已知条件不能直接得到这两个三角形全等．可考虑连接BC，由SSS可先得△ABC和△DCB全等，由全等三角形的性质，可得到∠A＝∠D，再根据∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，由AAS判断得到△ABO≌△DCO.18.如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角△ADF，连接CF.(1)当点D 在线段BC 上时(不与点B 重合)，线段CF 和BD 的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明； (2)当点D 在线段BC 的延长线上时，(1)的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．【点拨】 可证明△ACF ≌△ABD ，再利用全等三角形的性质，可得CF ＝BD ，CF ⊥BD.(2)(1)的结论仍然成立． ∵∠CAB ＝∠DAF ＝90°，∴∠CAB ＋∠CAD ＝∠DAF ＋∠CAD ，即∠CAF ＝∠BAD.在△ACF 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ，AF ＝AD ，∴△ACF ≌△ABD(SAS)．∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B. ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠B ＝∠ACB ＝45°.∴∠BCF ＝∠ACF ＋∠ACB ＝45°＋45°＝90°，即CF ⊥BD. 综上，CF ＝BD ，且CF ⊥BD.19. （2016·山东潍坊）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．（1）如图1，连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，求证：MN=AC ；（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．【分析】（1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可；（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，∴∠EDF=60°，当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°，在△DEG和△DFP中，，同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3，综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3．20.（山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．【考点】等腰三角形的性质．【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△AC B和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．。
2019年中考填空题压轴题专项突破训练：三角形综合(附解析)
2019年中考填空题压轴题专项突破训练：三角形综合1．如图，∠ABC＝90°，P为射线BC上任意一点（点P和点B不重合），分别以AB，AP为边在∠ABC内部作等边△ABE和等边△APQ，连结QE并延长交BP于点F，连接EP，若FQ＝11，AE＝4，则EP＝．解：如图：连接EP，过点E作EM⊥BC∵△AEB，△APQ是等边三角形∴AB＝AE＝BE＝4，AQ＝AP，∠ABE＝∠BAE＝∠QAP＝60°＝∠AEB∴∠BAP＝∠QAE且AQ＝AP，AB＝AE∴△ABP≌△QAE∴QE＝BP，∠AEQ＝∠ABC＝90°∵∠AEQ＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠AEB＝60°∴∠BEF＝∠EBF＝30°∴BF＝EF，∠EFM＝60°∵EM⊥BC∴∠FEM＝30°∴EF＝2FM＝BF，EM＝FM∵∠EBM＝30°，EM⊥BC∴BE＝2EM，BM＝EM∵EB＝4∴EM＝2，BM＝6∵BF+FM＝BM∴FM＝2，BF＝EF＝4∵QF＝EQ+EF∴EQ＝11﹣4＝7∴BP＝7∴MP＝BP﹣BM＝1在Rt△EMP中，EP＝＝故答案为2．如图，等边三角形ABC中，AB＝3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD＝∠CBE，当BD＝1时，则AE的长为_______．解：分四种情形：①如图1中，当点D在边BC上，点E在边AC上时．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABD＝∠BCE＝60°，∵∠BAD＝∠CBE，∴△ABD≌△BCE（ASA），∴BD＝EC＝1，∴AE＝AC﹣EC＝2．②如图2中，当点D在边BC上，点E在AC的延长线上时．作EF∥AB交BC的延长线于F．∵∠CEF＝∠CAB＝60°，∠ECF＝∠ACB＝60°，∴△ECF是等边三角形，设EC＝CF＝EF＝x，∵∠ABD＝∠BFE＝60°，∠BAD＝∠FBE，∴△ABD∽△BFE，∴＝，∴＝，∴x＝，∴AE＝AC+CE＝③如图3中，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时．∵∠ABD＝∠BCE＝120°，AB＝BC，∠BAD＝∠FBE，∴△ABD≌△BCE（ASA），∴EC ＝BD ＝1，∴AE ＝AC +EC ＝4．④如图4中，当点D 在CB 的延长线上，点E 在边AC 上时．作EF ∥AB 交BC 于F ，则△EFC 是等边三角形．设EC ＝EF ＝CF ＝m ，由△ABD ∽△BFE ，可得＝，∴＝，∴x ＝，∴AE ＝AC ﹣EC ＝，综上所述，满足条件的AE 的值为2或4或或．故答案为2或4或或．3．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝+1，P 是△ABC 内一个动点，过P 作PD ⊥AB 、PE ⊥AC 、PF ⊥BC ，垂足分别为D 、E 、F ，且PD +PE ＝PF ．则P 运动所形成的图形的长度是 ．解：如图，作∠ACB 的平分线CM 交AB 于M ，作MH ∥BC 交AC 于H ，在线段MH 上取一点P ，过P 作PD ⊥AB 、PE ⊥AC 、PF ⊥BC ，垂足分别为D 、E 、F ．∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵MH∥BC，∴∠AMH＝∠B＝45°，∵PD⊥AB，∴∠PDM＝90°，∴∠DMP＝∠DPM＝45°，∴PD＝DM，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠A＝∠PDA＝∠PEA＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∴PE＝AD，∴PD+PE＝DM+AD＝AM，∵CM平分∠ACB，MN⊥BC，MA⊥AC，∴MA＝MN，∵PF⊥BC，MN⊥BC，∴PF∥NM，∵PM∥FN，∴四边形PFNM是平行四边形，∵∠PFN＝90°，∴四边形PFNM是矩形，∴PF＝MN，∴PF＝AM，∴PF＝PD+PE，∴点P的运动轨迹是线段MH．设AM＝MN＝x则BN＝MN＝x，BM＝x，∵AB＝+1，∴x+x＝+1，∴x＝1，在Rt△AMH中，∵AM＝AH＝1，∴MH＝，∴P运动所形成的图形的长度是．故答案为．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．点D在AB上，且AD＝nBD，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连＝（n+1）结DF．给出以下四个结论：①；②GF＝nEF；③AF＝AB；④S△ABC （n+2）S，其中正确的结论序号是①③④．△BDF解：∵∠ABC＝90°，BG⊥CD，∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCD+∠CBG＝90°，∴∠ABG＝∠BCD，在△ABC和△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，∵AD＝nBD，∴BD＝AB，∴AG＝BC，①在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴＝，∵BA＝BC，∴＝，故①正确；②∵△AFG∽△CFB，∴＝＝，∴GF＝FB，∴GF＝nEF不一定成立，故②错误；③∵△AFG∽△CFB，∴＝＝，∴AF＝AC，∵AC＝AB，∴AB，故③正确；④过点F作MF⊥AB于M，则FM∥CB，∴＝＝，∵＝，∴＝＝•＝•，∴S△ABC ＝（n+1）（n+2）S△BDF，综上所述，正确的结论有①③④共3个．故答案是：①③④．5．如图三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，以BC为边向三角形外作等边三角形BCD，连AD，则当∠BAC＝120 度时，AD有最大值7 ．解：如图，在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD．∵△BCD，△AOC都是等边三角形，∴CA＝CO，CB＝CD，∠ACO＝∠BCD，∴∠ACB＝∠OCD，在△ACB和∠OCD中，，∴△ACB≌△OCD，∴OD＝AB＝3，∴点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆，∴当D、O、A共线时，AD的值最大，最大值为OA+OD＝4+3＝7．∵△ACB≌△OCD，∴∠CAB＝∠DOC，∵当D、O、A共线时，∠DOC＝180°﹣60°＝120°，∴当∠BAC＝120度时，AD有最大值为7．故答案为120，7．6．如图，△ABC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，BC上，AC＝AD，∠CDE＝45°，CD与AE交于点F，若∠AEC＝∠DEB，CE＝，则CF＝ 5 ．解：延长CE至G，使EC＝EG，延长ED至H，使EH＝AE，过D作DT∥BC，交AE于T，连接GH、AH，设∠AEC＝α，则∠DEB＝α，∵∠AEC＝∠DEB＝α，∴△AEC≌△DEB，∴AC＝GH，∠ACE＝∠EGH＝90°，∴AC∥GH，∴四边形ACGH是矩形，∴AH∥CG，∴∠AHE＝∠HEG＝α，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，设∠ACD＝∠ADC＝β，∵∠CDE＝45°，∴β+45°+∠BDE＝180°，∴β＝135°﹣∠BDE①，∵△ACD是等腰三角形，∴∠CAD＝180°﹣2β，∵△ACB是直角三角形，∴∠ABC＝90°﹣∠CAD＝90°﹣（180°﹣2β）＝2β﹣90°，在△BDE中，由内角和得：α+∠BDE+∠ABC＝180°，α+∠BDE+2β﹣90°＝180°②，把①代入②得：α+∠BDE+2（135°﹣∠BDE）﹣90°＝180°，∠BDE＝α，∴∠ADH＝∠BDE＝α，∴AD＝AH＝AC，∴四边形ACGH是正方形，∴AH＝AC＝2CE＝，∴AD＝AC＝，∵∠BED＝∠BDE＝α，∴BE＝BD，设BE＝x，则BD＝x，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴，解得：x＝，∴BE＝BD＝，∴CE＝2BE＝2BD，∴AD＝4BD，∴＝，∵DT ∥BC ，∴△ADT ∽△ABE ，∴＝，∵CE ＝2BE ，∴＝， ∵DT ∥CE ，∴＝＝，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AE ＝＝＝，∴ET ＝AE ＝×＝，∴EF ＝ET ＝×＝，过F 作FM ⊥BC 于M ，tan α＝＝＝，设EM ＝y ，则FM ＝2y ，EF ＝y ，∴y ＝，y ＝，∴FM ＝2y ＝，EM ＝y ＝，∴CM ＝CE ﹣EM ＝﹣＝，在Rt △CFM 中，由勾股定理得：CF ＝＝＝5； 故答案为：5．7．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD ，城墙CD 长 9 里，城墙BC 长 7 里，东门所在的点E ，南门所在的点F 分别是CD ，BC 的中点，EG ⊥CD ，EG ＝15里，FH ⊥BC ，点C 在HG 上，问FH 等于多少里？答案是FH ＝ 1.05 里．解：EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，HG 经过A 点，∴FA ∥EG ，EA ∥FH ，∴∠HFA ＝∠AEG ＝90°，∠FHA ＝∠EAG ，∴△GEA ∽△AFH ，∴EG ：FA ＝EA ：FH ，∵AB ＝9里，DA ＝7里，EG ＝15里，∴FA ＝3.5里，EA ＝4.5里，∴15：3.5＝4.5：FH ，解得：FH ＝1.05里．故答案为：1.05．8．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①图中只有2对全等三角形②AE ＝CF ；③△EPF 是等腰直角三角形；④S 四边形AEPF ＝S △ABC ；⑤EF 的最小值为．上述结论始终正确的有 ②③④⑤ （填序号）．解：∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，∵点P 是BC 的中点，∴∠BAP ＝∠CAP ＝45°，∵∠EPF ＝90°，∴∠BPE +∠EPA ＝90°，∴∠BPE ＝∠APF ，∠EPA ＝∠FPC ，在△BPE 和△APF 中，，∴△BPE ≌△APF ，∴△EPA ≌△FPC ，△APC ≌△APB ，有3对全等三角形，①错误；∵△EPA ≌△FPC ，∴AE ＝CF ，②；∵△BPE ≌△APF ，∴PE ＝PF ，又∠EPF ＝90°，∴△EPF 是等腰直角三角形，③正确；∵△BPE ≌△APF ，∴S 四边形AEPF ＝S △ABP ＝S △ABC ，④正确；由②知，△EPF 是等腰直角三角形，则EF ＝EP ．当EP ⊥AB 时，EP 取最小值，此时EP＝AB ，则EF 最小值＝AB ＝．故⑤正确，故答案为：②③④⑤．9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF ＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB＝；②当点E与点B重合时，MH＝；③AF+BE＝EF；④MG•MH＝，其中正确结论为①②④．解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝＝，故①正确；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH＝MB＝CG，∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，∴CE＝AF＝BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC＝AC＝MH，故②正确；③如图2所示，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠5＝45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；∵∠2＝45°，∴∠1+∠3＝∠3+∠4＝45°，∴∠DCE＝∠2．在△ECF和△ECD中，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF＝DE．∵∠5＝45°，∴∠BDE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，即EF2＝AF2+BE2，故③错误；④∵∠7＝∠1+∠A＝∠1+45°＝∠1+∠2＝∠ACE，∵∠A＝∠5＝45°，∴△ACE∽△BFC，∴＝，∴AE•BF＝AC•BC＝1，由题意知四边形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH＝CG，MG∥BC，MH∥AC，∴＝；＝，即＝；＝，∴MG ＝AE ；MH ＝BF ，∴MG •MH ＝AE ×BF ＝AE •BF ＝AC •BC ＝，故④正确．故答案为①②④．10．如图，D 、E 分别是△ABC 的边BC 和AB 上的点，△ABD 与△ACD 的周长相等，△CAE 与△CBE 的周长相等，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，给出以下几个结论：①如果AD 是BC 边中线，那么CE 是AB 边中线；②AE 的长度为；③BD 的长度为；④若∠BAC ＝90°，△ABC 的面积为S ，则S ＝AE •BD ．其中正确的结论是 ②③④ （将正确结论的序号都填上）解：当AD 是BC 边中线时，则BD ＝CD ，∵△ABD 与△ACD 的周长相等，∴AB ＝AC ，但此时，不能得出AC ＝BC ，即不能得出CE 是AB 的中线，故①不正确；∵△ABD 与△ACD 的周长相等，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，∴AB +BD +AD ＝AC +CD +AD ，∴AB +BD ＝AC +CD ，∵AB +BD +CD +AC ＝a +b +c ，∴AB+BD＝AC+CD＝．∴BD＝﹣c＝，同理AE＝，故②③都正确；当∠BAC＝90°时，则b2+c2＝a2，∴AE•BE＝×＝ [a+（c﹣b）][a﹣（c﹣b）]＝ [a2﹣（c﹣b）2]＝[a2﹣（c2+b2﹣2bc）]＝×2bc＝bc＝S，故④正确；综上可知正确的结论②③④，故答案为：②③④．11．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，BN平分∠ABC，AE平分∠BAC，AE交BN于G，EF⊥AC于F，连接GF．①△AEB≌△AEF；②∠EFG＝∠AFG；③图中有3对全等三角形；④EF＝GF；⑤S△AEF ＝2S△AGN．上述结论正确的序号有①②④⑤．解：∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∵AE平分∠BAF，∴∠EAB＝∠EAF，在△AEB和△AEF中，，∴△ABE≌△AFE，故①正确，∴BE＝EF，∵∠BGE＝∠GAB+∠ABG＝22.5°+45°＝67.5°，∠BEA＝∠C+∠EAC＝45°+22.5°＝67.5°，∴∠BGE﹣∠BEG，∴BG＝BE＝EF，∵BN⊥AC，EF⊥AC，∴BG∥EF，∴四边形BGFE是平行四边形，∵BG＝BE，∴四边形BGFE是菱形，∴EF＝EG，故④正确，∠EFG＝∠EBG＝45°，∵∠EFA＝90°，∴∠GFE＝∠GFN＝45°，故②正确，∵△ABE≌△AFE，△AGB≌△AGF，△EGB≌△EGF，△ABN≌△CBN，故③错误，∵∠NGF＝∠NFG＝45°，∴NG＝NF，∴EF＝GF＝NG，∵NG∥EF，∴△ANG∽△AFE，∴＝（）2＝，∴S△AEF ＝2S△ANG．故⑤正确，∴①②④⑤正确，故答案为①②④⑤．12．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABC 的面积等于四边形AFBD的面积；③BE2+DC2＝DE2；④BE+DC＝DE，其中正确的是①②③（只填序号）解：∵△ADC绕点A顺时针90°旋转后，得到△AFB，∴∠FAD＝90°，DC＝BF，∠FBE＝90°，AD＝AF，∵∠DAE＝45°，∴∠EAF＝90°﹣45°＝45°，在△AED和△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS）；故①正确；∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴S△AFB ＝S△ADC，∵S△ABC ＝S△ABD+S△ADC，S四边形AFBD＝S△ABD+S△AFB，∴△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；故②正确；∵△AED≌△AEF，∴EF＝ED，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，∴BE2+DC2＝DE2．故③正确；④错误．故答案为：①②③．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且∠DBC＝60°，点E在BD的延长线上，连接AE，∠AED＝120°，点F为AB中点，EF与CB延长线于点G，若CB•CG＝12，则EF＝．解：如图，延长AE交BC的延长线于点K，作BP∥AE交EG于点P，连接AP，延长AP交CG于点M，作EH⊥AP于H．∵∠AED＝120°，∴∠BEC＝∠EBC＝∠K＝60°，∴△EBC是等边三角形，∵BP∥AE，∴∠FPB＝∠FEA，∵AF＝FB，∠PFB＝∠AFE，∴△PFB≌△EFA（AAS），∴PF＝EF，∴四边形AEBP是平行四边形，∴AM∥EB，∴∠AMK＝∠EBC＝60°，∠PBM＝∠K＝60°，∴△AMC，△PBM都是等边三角形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABM＝∠ACK，∵AM＝AK，∠AMB＝∠K，∴△AMB≌△AKC（ASA），∴BM＝CK，设BM＝CK＝a，CB＝b，MG＝x，则PB＝AE＝a，EK＝BK＝EB＝AP＝a+b，∵PB∥EC，∴＝，∴＝，∴x＝，∵BC•CG＝12，∴b（b+a+x）＝12，∴b2+ab+a2＝12，在Rt△EHA中，AH＝AE＝a，EH＝a，在Rt△BHE中，PE＝＝＝＝＝2，∴EF＝PE＝故答案为．14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；③DE2＝2CF•CA；④若AB＝3，AD＝2BD，则AF＝．其中正确的结论是①②③．（填写所有正确结论的序号）解：∵∠ACB＝90°，由旋转知，CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE，故①正确；∵∠ACB＝90°，BC＝AC，∴∠B＝45°∵∠BCD＝25°，∴∠BDC＝180°﹣45°﹣25°＝110°，∵△BCD≌△ACE，∴∠AEC＝∠BDC＝110°，∵∠DCE＝90°，CD＝CE，∴∠CED＝45°，则∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝65°，故②正确；∵△BCD≌△ACE，∴∠CAE＝∠CBD＝45°＝∠CEF，∵∠ECF＝∠ACE，∴△CEF∽△CAE，∴，∴CE2＝CF•AC，在等腰直角三角形CDE中，DE2＝2CE2＝2CF•AC，故③正确；如图，过点D作DG⊥BC于G，∵AB＝3，∴AC＝BC＝3，∵AD＝2BD，∴BD＝AB＝，∴DG＝BG＝1，∴CG＝BC﹣BG＝3﹣1＝2，在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD＝＝，∵△BCD≌△ACE，∴CE＝，∵CE2＝CF•AC，∴CF＝＝，∴AF＝AC﹣CF＝3﹣＝，故④错误，故答案为：①②③．15．如图，A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接CD、AE交于点P，并分别交BE、BD于N、M，连接MN，下列结论中：①AE＝CD；②AM＝DP；③MN∥AC；④若AB＝2BC，连接DE，则DE⊥BE；⑤BP平分∠APC．正确的结论有：①③④⑤（填写出所有正确的序号）解：∵△ABD、△BCE均为等边三角形，∴AB＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE与△CBD中，，∴△ABE≌△DBC，∴AE＝CD，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAP＝∠BDC，∵A、B、C在一条直线上，∴∠DBN＝180°﹣∠ABD﹣∠CBE＝60°，∴∠ABD＝∠DBN，在△ABM与△BDN中，，∴△ABM≌△DBN，∴AM＝DN，BM＝BN，∵DN＞PD，∴AM＞PD，故②错误；∵BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形，∴∠MNB＝60°，∴∠MNB＝∠NBC，∴MN∥AC，故③正确；取BD的中点O，连接EO，DE，∵AB＝2BC，∴BD＝2BE，∴BE＝BM＝DM，∵∠MBE＝60°，∴△BEM是等边三角形，∴EM＝BM＝DM，∴∠BED＝90°，∴DE⊥BE；故④正确；过B作BG⊥CD于G，BH⊥AE于H，∴∠AHB＝∠DGB＝90°，在△ABH与△DBG中，，∴△ABH≌△DBG，∴BH＝BG，∴BP平分∠APC；故⑤正确；∵当A、B、C在一条直线上时，∠ABM＝∠DBN＝60°，∠DBE≠60°，则∠ABM≠∠DBN，∴△ABM与△DBN不全等，∴AM≠DN，故⑥错误．故答案为：①③④⑤．16．如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA＝2；②C、O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为；其中正确的是①②（把你认为正确结论的序号都填上）．解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，∴AB＝4，AC＝＝2，①若C、O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，则OA＝AC＝2；所以①正确；②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB＝∠ACB＝90°，∴OE＝CE＝AB＝2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，当∠ABO＝30°时，∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，∴四边形AOBC是矩形，∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，所以③不正确；④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则：＝π，所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②；故答案为：①②．。
2019年中考数学专题复习《三角形》综合训练题含答案
2019年初三数学中考专题复习：三角形综合训练题1. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE 的面积等于( )A．10 B．7 C．5 D．42. 如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有( )A．3种 B．6种 C．8种 D．12种3. 已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m＜n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则( )A．m2＋2mn＋n2＝0 B．m2－2mn＋n2＝0C．m2＋2mn－n2＝0 D．m2－2mn－n2＝04. 如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( )A．4S1 B．4S2 C．4S2＋S3 D．3S1＋4S35. 有3 cm，6 cm，8 cm，9 cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．46. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( )A．85° B．80° C．75° D．70°7. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形共有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为( )A．30° B．36° C．40° D．45°9. 如图，小聪和小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为 0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于米．10. 由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点间的距离是 cm.11. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．12. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝5，求线段DE的长．解析与答案： 1． 【解析】如图，过点E 作EK⊥BC 于点K ，因为BE 平分∠ABC，CD ⊥AB ，所以EK ＝ED ＝2，所以△BCE 的面积＝12×BC×EK ＝12×5×2＝5.故选C ．【答案】C2. 【解析】分析如下：设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得a ＝2，b ＝d ＝5，c ＝2 5.∵a ＋b ＝2＋5＞5＝d ，∴a ，b ，d 能组成三角形．∵a＋b ＝a ＋d ＝2＋5＜25＝c ，【答案】B3. 【解析】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝m ，BC ＝n ，过点A 的射线AD 交BC 于点D ，且将△ABC 分成两个等腰三角形△ACD 和△ADB，则AC ＝CD ＝m ，AD ＝DB ＝n －m.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得m 2＋m 2＝(n －m)2，2m 2＝m 2－2mn ＋n 2，从而m 2＋2mn －n 2＝0，故选C ． 【答案】C4. 【解析】设等腰直角三角形的直角边为x ，正方形的边长为y ，则S 1＝12x 2，S 2＝12(x ＋y)·(x－y)＝12x2－12y 2， S 3＝y 2，∴这个平行四边形的面积表示为2S 1＋2S 2＋S 3＝2×12x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－12y 2＋y 2＝2x 2＝4S 1.故选A ． 【答案】A 5. 【答案】C 6. 【答案】A7. 【解析】①∵AB＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；②∵AB＝AC ，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD ，∴△ABD 是等腰三角形；③在△BCD中，∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD ＝BC，∴△BCD是等腰三角形；④∵B E＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；⑤∵∠BED＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED－∠A＝72°－36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE.∴△ADE是等腰三角形．综上图中的等腰三角形共有5个．故选D．【答案】D8. 【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA．∵CD＝AD，∴∠C＝∠CAD．∴∠BAD ＝∠BDA＝2∠B．∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°.故选B．【答案】B9. 1.210. 1811. 解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.12. 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE.∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE.∵AB＝5，∴DE＝BE＝AE＝12AB＝2.5.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是( )①b＜0＜a；②|b|＜|a|；③ab＞0；④a﹣b＞a+b．A．①②B．①④C．②③D．③④2．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（）A．360°B．540°C．180°或360°D．540°或360°或180°3．马大哈做题很快，但经常不仔细，所以往往错误率非常高，有一次做了四个题，但只做对了一个，他做对的是（）A．a8÷a4＝a2B．a3•a4＝a12C．a5+a5＝a10D．2x3•x2＝2x54．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）A.5.6B.6.9C.11.4D.13.95．cos45°的值等于( )A B．1 C D6．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与kyx(k≠0)的图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，矩形ABCD中，A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），将AB绕点A旋转，使点B落在边CD上的点E处，则点E的坐标为（）A.)B.()2C.（1，2）D.()22，8．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( )A.|a|＞|b|B.a＞﹣3C.a＞﹣dD.11 c<9．如图，将曲线c1：y＝kx（x＞0）绕原点O逆时针旋转60°得到曲线c2，A为直线y上一点，P为曲线c2上一点，PA＝PO，且△PAO的面积为y交曲线c1于点B，则OB的长（）A．B．5 C．D10．用直尺和圆规作一个直角三角形斜边上的高，作图错误的是（）A．B．C．D．11．某校对部分参加研学旅行社会实践活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A．15，14 B．15，13 C．14，14 D．13，1412．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，折叠△ABC使得点C落在AB边上的E处，连接DE、CE，下列结论：①△DEB是等腰直角三角形；②AB＝AC+CD；③BE BDAC AB=；④S△CDE＝S△BDE．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题13．如图，已知tanα＝12，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是______．14．若（x+3）0=1，则x应满足条件_____．15．在平面直角坐标系中，若点(m,2)与(3,n)关于原点对称,则m+n的值是___. 16．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它的边数是．17．分解因式：x3﹣4x2+4x=______．18．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.1]=1，[3]=3，[﹣2.2]=﹣3，若[43x+]=5，则x的取值范围是_____．三、解答题19．一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球，记两次取得乒乓球上的数字依次为a、b．（1）求a、b之积为偶数的概率；（2）若c＝5，求长为a、b、c的三条线段能围成三角形的概率．20．解一元二次方程（1）（x﹣1）2＝4（2）x2﹣4x+1＝021．如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠ABE＝∠C，求证：BE∥AC．22．如图，抛物线y=-x2+4x-1与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于另一点D，AB∥x轴交抛物线于点A，B，点A在点B的左侧，且两点均在第一象限，BH⊥CD于点H．设点A的横坐标为m．（1）当m=1时，求AB的长.（2）若（CH-DH），求m的值.23．某中学校开展了“献爱心”捐款活动。
2019年中考真题 全等三角形分类汇编(word版含解析)
知识点25全等三角形2019第一批一、选择题.（2019·滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【【答案】B解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如图，设OA与BD相交于N，又∵∠ANM=∠BNO，∴∠AMB=AOB=40°，故②正确；如图，过点O分别作AC和BD的垂线，垂足分别是E，F，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故∠④∴∠正确；在△AOC中，∵OA＞OC，∴∠ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在△OCM和△OBM中，∠ACO＞OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM，故③错误，所以①②④正确．故选B．二、填空题．（2019·嘉兴）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为cm2．【【答案】24122，362243126解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°,∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm,如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M,∴∴∴∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°,∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F',△D'NE'≌△D'MF'（AAS）,D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM,∴ CD'平分∠ACM,即点 E 沿 AC 方向下滑时，点 D'在射线 CD 上移动，∴ ∴ （ 当 E'D'⊥AC 时，DD'值最大，最大值＝ ED ﹣CD ＝（12﹣6 ）cm, 当点 E 从点 A 滑动到点 C 时，点 D 运动的路径长＝2×（12﹣6 ）＝ 24﹣12 ）cm.如图，连接 BD'，AD'， ∵ ∴ S △AD'B ＝S △ABC +S △AD'C ﹣S △BD'C ,S △AD'B ＝ BC×AC+ ×AC×D'N ﹣ ×BC×D'M ＝24 + （12﹣4 ）×D'N,当 E'D'⊥AC 时，S △AD'B 有最大值， S △AD'B 最大值＝24 （12﹣4 ）×6＝（24+36﹣12）cm 故答案为：（24﹣12），（24 +36 ﹣12）.∴ + 2．．（2019·株洲）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，在直线 x ＝1 处放置反光镜 I ，在 y 轴处放置一个有缺口的挡板 II ，缺口为线段 AB ，其中点 A(0，1)，点 B 在点 A 上方，且 AB ＝1，在直线 x ＝﹣1 处放置一个 挡板 III ，从点 O 发出的光线经反光镜 I 反射后，通过缺口 AB 照射在挡板 III 上，则落在挡板 III 上的光线 的长度为 ．第 18 题3【答案】2三、解答题AB BC．（2019·武汉，23，20 分）在△ABC 中，∠ABC ＝90°，n ，M 是 BC 上一点，连接 AM（ （ 1） 如图 1，若 n ＝1，N 是 AB 延长线上一点，CN 与 AM 垂直，求证：BM ＝BN 2） 过点 B 作 BP ⊥AM ，P 为垂足，连接 CP 并延长交 AB 于点 Q CP BM① ② 如图 2，若 n ＝1，求证：PQ BQ如图 3，若 M 是 BC 的中点，直接写出 tan ∠BPQ 的值（用含 n 的式子表示）【 （ ∵ ∴ ∵ ∴ （ 解题过程】 1）证明：延长 AM 交 CN 于点 H ， AM 与 CN 垂直，∠ABC ＝90°，∠BAM ＋∠N ＝90°，∠BCN ＋∠N ＝90°，∴∠BAM ＝∠BCN ． n ＝1，∠ABC ＝90°，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CBN ． △ABM ≌△CBN ，∴BM ＝BN ． 2）①证明：过点 C 作 CD//BP 交 AB 的延长线于点 D ，则 AM 与 CD 垂直． 由（1），得 BM ＝BD ．CP DB CP BM∵CD//BP ，∴ ，即PQ BQ PQ BQ1AB BC② 提示：延长 PM 到 N ，使得 MN ＝PM ，易知△PBM ≌△NCM ，则∠CNM ＝∠BPM ＝90°，∵ n ，BC ＝2BM ，nAB PN CN 2PM 2 1∴2n ，设 PM ＝MN ＝1，则 PB ＝CN ＝2n ，tan ∠BPQ ＝tan ∠NCP ＝ ＝＝ ＝ BM CN 2n n．（2019·益阳）已知，如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠ECB=70°，∠D=110°，求证:△ABC ≌△EAD.第 21 题图【 ∵ ∵ 解题过程】证明：由∠ECB=70°得∠ACB=110°. ∠D=110°，∴∠ACB=∠D. AB ∥DE ，∴∠CAB=∠E.又∵AB=AE ，∴△ABC ≌△EAD. ．（2019·黄冈 ）如图，ABCD 是正方形，E 是CD 边上任意一点，连接AE ，作BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，垂足分别为F ，G.求证：BF－DG＝FG.【解题过程】.（2019·乐山）如图，线段AC、BD相交于点E,AE DE,BE CE.求证：B C.证明：在AEB和DEC中，A E DE ，BE CE,AEB DECAEB ≌DEC，故B C..（2019·淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC,即∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，AB＝ADBAC DAE，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠E＝∠C．AC＝AE．（2019浙江省温州市，18，8分）（本题满分8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长．【 解题过程】（1） ∵ CF∥AB ，∴∠B=∠FCD ，∠BED=∠F.∵ AD 是 BC 边上的中线，∴BD=CD ，∴△BDE≌△CDF ； （2）∵△BDE≌△CDF ，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵ AD⊥BC ，BD=CD ，∴AC=AB=3.．(2019·泰州,25 题,12 分) 如图,线段 AB ＝8,射线 BG ⊥AB,P 为射线 BG 上一点,以 AP 为边作正方形 APCD,且 C 、D 与点 B 在 AP 两侧,在线段 DP 取一点 E,使∠EAP ＝∠BAP, 直线 CE 与线段 AB 相交于点 F(点 F 与点 A 、B 不重合). (1)求证:△AEP ≌△CEP;(2)判断 CF 与 AB 的位置关系,并说明理由; (3)求△AEF 的周长. 【 解题过程】(1)∵四边形 APCD 正方形,∴DP 平分∠APC, PC ＝PA,∴∠APD ＝∠CPD ＝45°,又因为 PE ＝PE,∴ △AEP ≌△CEP(SAS);(2)CF ⊥AB ．理由如下:∵△AEP ≌△CEP,∴∠EAP ＝∠ECP,∵∠EAP ＝∠BAP ．∴∠BAP ＝∠FCP,∵∠FCP+∠ CMP ＝90°,∠AMF ＝∠CMP,∴∠AMF+∠PAB ＝90°,∴∠AFM ＝90°,∴CF ⊥AB;第 25 题答图(1)(3) 过 点 C 作 CN ⊥ PB ． 可 证 得 △PCN ≌△APB, ∴ CN ＝ PB ＝ BF,PN ＝ AB, ∵ △AEP ≌△CEP, ∴ AE ＝ CE, ∴ AE+EF+AF ＝ CE+EF+AF ＝ BN+AF ＝ PN+PB+AF ＝AB+CN+AF ＝AB+BF+AF ＝2 AB ＝16.第 25 题答图(2) ．（2019·绍兴 ）如图 1 是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角三角 形，摆动臂长 AD 可绕点 A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转，AD=30，DM=10. （1）在旋转过程中：① ② 当 A,D,M 三点在同一直线上时，求 AM 的长； 当 A,D,M 三点在同一直角三角形的顶点时，求 AM 的长. （ 2）若摆动臂 AD 顺时针旋转 90°，点 D 的位置由△ABC 外的点 D 转到其内的点 D 处，连结 D D ，如图 2， 1 2 1 2 此时∠AD C=135°，CD =60，求 BD 的长. 2 22【 解题过程】．（2019·苏州，24，8）如图，△ABC 中，点 E 在 BC 边上．AE=AB ，将线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位 置．使得∠CAF=∠BAE.连接 EF ，EF 与 AC 交于点 G.(1)求证：EF =BC ；(2)若∠ABC=65°．∠ACB=28°，求∠FGC 的度数第 24 题图【 解题过程】1）证明：∵线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置， ∴AC=AF ， ∴∠CAF=∠BAE. ∠CAF+∠CAE=∠BA E+∠CAE. 即∠EAF=∠BAC ．在△ABC 和△AEF 中， ∠BAC= ∠EAF ，∠BAC=∠EAF ， AC=AF ， △ABC ≌△AEF (SAS)， ∴EF=BC (2)解：∵ AE=AB ，∴∠AEB=∠ABC= 65°，（ ∴ ∴ ∵ △ABC ≌△AEF ，∴∠AEF=∠ABC= 65°，∠FEC=1 80° -∠AEB-∠AEF=1 80°- 65°-65°= 50°， ∵∠FGC 是△EGC 的外角，∠ACB=28°， ∴ ∠FGC=∠FEC+∠ACB =50°+ 28°=78°. ．（2019·嘉兴）如图，在矩形 ABCD 中，点 E ，F 在对角线 BD ．请添加一个条件，使得结论“AE ＝CF”成立， 并加以证明．【 【 答案】见解题过程 解题过程】添加条件：BE=DF 或 DE=BF 或 AE//CF 或∠AEB=∠DFC 或∠DAE=∠BCF 或∠AED=∠CFB 或∠ BAE=∠DCF 或∠DCF+∠DAE=90°等. 证明：在矩形 ABCD 中 ，AB//CD ，AB=CD ，∴∠ABE=∠CDF.∵BE=DF ，∴△ABE ≌△CDF （SAS ），∴AE=CF. （2019 山东烟台，24，11 分） ．【问题探究】(1)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，ACB DCE90，点B，D在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：；②若AC BC10，DC CE2，则线段AD的长为．【拓展延伸】(2)如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，ACB DCE90，AC21，BC7，CD3CE1，将△DEC绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角BCD为(0360)，作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．【解题过程】（1）本题的答案是①AD BD②4探究过程如下：①因为△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，ACB DCE90所以CA CB，CD CE，ACB BCD DCE BCD所以ACD BCE，在△ACD与△BCE中，因为CA CB，ACD BCE，CD CE，所以△ACD≌△BCE，所以CAD CBE,因为ACB90，所以CAD DAB ABC90，所以CBE DAB ABC90，即DAB DBA90所以ADB90，所以AD BD．②由①可得△ACD≌△BCE，所以AD BE,在Rt△DCE中，由勾股定理得，2DE CE2CD2(2)2(2)2，在Rt△ACD中，由勾股定理得，2设AD x，则BE x，所以BD BC DE x2，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB 2 AD 2BD 2 ，即 (2 5)2 x 2 (x 2) 2 解得 x 4或 x 2（舍去），所以 AD4 ,即线段 AD 的长为 4． （2）解：情况 1：当 0180时，点 B ，D ，E 在同一直线上时的图形如图（1）所示，因为 ACB DCE90，所以 ACBBCD DCE BCD所以 ACD BCE ，ACBC 21 7 DCCE 3因为3 ，3 ，1AC DC 所以BC CE在△ACD 与△BCE 中， AC DC因为， ACD BCE ，BCCE所以△ACD ∽△BCE ， AD AC所以CAD CBE , 3 ，BE BC所以 AD 3BE因为 ACB 90 所以CAD DABABC90，所以CBE DAB ABC 90 即 DAB DBA 90 所以 ADB90 ， 在 Rt △DCE 中，由勾股定理得， DECE 2 CD 2 1 2 ( 3)2，2在 Rt △ACD 中，由勾股定理得，AB AC 2 BC 2 ( 21) 2 ( 7)2 7 ，2设 BE x ，则 AD 3BE 3x ，所以 BD BC DE x2， 在 Rt △ABD中，由勾股定理得， AB 2 AD 2BD 2 ，(2 7) 2 ( 3x) 2(x2)2即 解得 x 3或 x 2（舍去）， 所以 AD 3BE3 3 ,即当 0180时，点 B ，D ，E 在同一直线上时，线段 AD 的长为3 3．情况 2：当180360 时，点 B ，D ，E 在同一直线上时的图形如图（2）所示，因为 ACBDCE 90 所以 ACB ACE DCE ACE 所以 ACDBCE ，AC BC 21 7DC CE3 因为3 ，3 ，1AC DC 所以BC CE在△ACD 与△BCE 中， AC DC因为， ACD BCE ，BCCE所以△ACD ∽△BCE ， AD AC所以CAD CBE , 3 ，BE BC所以 AD 3BE因为 ACB 90 所以CAD DABABC90，所以CBE DAB ABC 90 即 DAB DBA 90 所以 ADB90 ， 在 Rt △DCE 中，由勾股定理得， DECE 2 CD 2 1 2 ( 3)2，2在 Rt △ACD 中，由勾股定理得，AB AC 2 BC 2 ( 21) 2 ( 7)2 7 ，2设 BE x ，则 AD 3BE 3x ，所以 BD BC DE x 2 ， 在 Rt△ABD 中，由勾股定理得， AB 2AD BD 2 ，2(2 7) 2 ( 3x) 2 (x 2)2即 解得 x 2或 x 3（舍去）， 所以 AD 3BE2 3 ,即当180360时，点 B ，D ，E 在同一直线上时，线段 AD 的长为 2 3．综上可知，线段 AD 的长为3 3或 2 3．．（2019·山西）已知,如图,点 B,D 在线段 AE 上,AD ＝BE,AC ∥EF,∠C ＝∠F,求证:BC ＝DF.第 17 题图 【 解题过程】∵AD ＝BE,∴AD －BD ＝BE －BD,∴AB ＝DE,∵AC ∥EF,∴∠A ＝∠E,在△ABC 和△EDF 中,∠C ＝ F,∠A ＝∠E,AB ＝ED,∴△ABC ≌△EDF,∴BC ＝DF.∠ 第二批一、选择题 . （2019·菏泽）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E ，DE ＝FE ，FC ∥AB ，若 AB ＝4，CF ＝3，则 BD 的 长是（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【 【 ∴ 答案】B 解析】∵CF ∥AB ，∠A ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠F ，t ∠th∠ 在△ADE 和△FCE 中 ， th tth t h∴ ∴ ∵ ∴ △ADE ≌△CFE （AAS ）， AD ＝CF ＝3， AB ＝4，DB ＝AB ﹣AD ＝4﹣3＝1，故选 B ． 二、填空题.（2019·齐齐哈尔）如图，已知在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠E,BF=CE,点 B 、F 、C 、E 在同一条直线上，若使△ 【 【 ABC≌△DEF ，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）答案】AB=DE(或∠A=∠D 或∠ACB=∠DFE 或 AC∥DF) 解析】由已知条件证明两三角形全等的条件已经具有一边一角对应相等，需要添加的条件要么是夹已知角的 边，构造 SAS 全等，要么添加另外的任一组角构造 ASA 或 AAS,或者间接添加可以证明这些结论的条件即可. 知识点】三角形全等的判定 . 2019·菏泽 ）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为 AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC 的面积是 【 （ ．【 答案】8 ．【 ∴ ∵ ∴ 解析】∵DC ⊥BC ，∠BCD ＝90°，∠ACB ＝120°，∠ACD ＝30°，延长 CD 到 H 使 DH ＝CD ，∵ D 为 AB 的中点，AD ＝BD ，∴ tt t t在△ADH 与△BCD 中， t t tt ，t t t∴ ∴ ∵ ∴ ∴ △ADH ≌△BCD （SAS ），AH ＝BC ＝4，∠H ＝∠BCD ＝90°，∠ACH ＝30°，CHt AH ＝4 ，CD ＝2 ，∴ △ABC 的面积＝2S △BCD ＝2× 4×2 t 8 ，故答案为：8 ．三、解答题. （2019·河北）如图，△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ＝6，BC ＝DE ，∠B ＝∠D ＝30°.边 AD 与边 BC 交于 点 P(不与点 B ，C 重合)，点 B 、E 在 AD 异侧.I 为△APC 的内心.(1)求证：∠BAD ＝∠CAE ；(2)设 AP ＝x ，请用含 x 的式子表示 PD ，并求 PD 的最大值；(3)当 AB ⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为 m °＜∠AIC ＜n °，分别直接写出 m 、n 的值. 第 23 题图 第 23 题备用图【 （ （ 思路分析】（1）先证明△ABC ≌△ADE ，再利用全等三角形的性质得到结论；2）由 PD=AD-AP=6-x 可知当 AP 最小时，PD 最大，此时 AP ⊥BC ，然后使用三角函数求最大值；3）利用△APC 的内心的性质用含有∠AIC 的式子表示∠ APC 的度数，进而利用其点 P 的位置得到其取值范围，然后接不等式AIC 的取值范围，最后确定 m 、n 的值.得 到 ∠ 【 解题过程】（1）在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ∠ B ＝D ， BC ＝DE∴ ∴ （ ∴ ∴ △ABC ≌△ADE （SAS ），∠BAD ＝∠CAE.2）∵AD ＝6，AP ＝x ，PD=AD-AP=6-x.当 AP 最小时，PD 最大，此时 AP ⊥BC.如图所示：第 23 题答图 1又∵AB ＝6，∠B ＝30°，1 1 ∴ x=AP= AB= ×6=3，2 2 ∴ PD 最大 =6-x=6-3=3.（ ∴ ∵ 3）∵AB ⊥AC ，∠B ＝30°，∠ACB=60°.I 为△APC 的内心，1 1 ∴ ∠ACI= ∠ACB= ×60°=30°.2 2 ∴ ∴ ∵ ∴ ∠PAC=2∠IAC=2（180°-30°-∠AIC ）=300°-2∠AIC ，∠APC=∠B+∠BAP=30°+90°-∠PAC=120°-（300°-2∠AIC ）=2∠AIC-180°，30°＜∠APC ＜120°，30°＜2∠AIC-180°＜120°，解得 105°＜∠AIC ＜150°，∴m=105，n=150.【 知识点】全等三角形的判定和性质、垂线段的性质、最短路线问题、含有 30°角的直角三角形的性质、三角 形内心的性质、角平分线的定义、三角形的内角和、三角形外角的性质、一元一次不等式组的解法．（2019·黄石） 如图，在V ABC 中，BAC 90，E 为边 BC 上的点，且 ABAE ，D 为线段 BE 的中点，过点 E 作 EF AE ，过点 A 作 AF P BC ,且 AF 、 EF 相交于点 F .（ 1）求证： C BAD2）求证： AC EF （ 【 （ 【 ∴ 思路分析】（1）由等腰三角形的性质可得 AD ⊥BC ，由余角的性质可得∠C ＝∠BAD ；2）由“ASA ”可证△ABC ≌△EAF ，可得 AC ＝EF ．解题过程】证明：（1）∵AB ＝AE ，D 为线段 BE 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠C+∠DAC ＝90°，∵∠BAC ＝90，° ∠BAD+∠DAC ＝90°，∴∠C ＝∠BAD（ 2）∵AF ∥BC ，∴∠FAE ＝∠AEB ，∵AB ＝AE ，∴∠B ＝∠AEB ，∴∠B ＝∠FAE ，且∠AEF ＝∠BAC ＝90°，AB ＝AE ，∴△ABC ≌△EAF （ASA ），∴AC ＝EF ．【 知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．（2019·陕西）（本题 5 分）如图，点 E 、F 分别在菱形 ABCD 的边 DC 、DA 上，且CE AF ．求证： ABF CBE ． 【 【 思路分析】根据菱形的性质，可以得到菱形的四条边相等，对角相等，从而可以证明△ADE ≌△ABC ，所以ABF CBE ，故得证．解题过程】证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AB BC ， A C ，在△AFB 与△CEB 中，因为 AB BC ，CE AF ， A C ，所以△APE ≌△ABP ，所以 ABF CBE ．【 知识点】菱形的性质定理、全等三角形的判定、全等三角形的性质．. （2019 ·南京）如图，D 是△ABC 的边 AB 的中点，DE ∥BC ，CE ∥AB ，AC 与 DE 相交于点 F ．求证：△ ADF ≌△CEF ．【 思路分析】依据四边形 DBCE 是平行四边形，即可得出 BD ＝CE ，依据 CE ∥AD ，即可得出∠A ＝∠ECF ，∠ADF ＝∠E ，即可判定△ADF ≌△CEF ．解题过程】证明：∵DE ∥BC ，CE ∥AB ，四边形 DBCE 是平行四边形，BD ＝CE ，【 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ D 是 AB 的中点，AD ＝BD ，AD ＝EC ，CE ∥AD ，∠A ＝∠ECF ，∠ADF ＝∠E ，△ADF ≌△CEF （ASA ）．. （2019·广州）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E ，DE ＝FE ，FC ∥AB ，求证：△ADE ≌CFE ．【 【 ∴ 思路分析】利用 AAS 证明：△ADE ≌CFE ．解题过程】证明：∵FC ∥AB ，∠A ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠F ，在△ADE 与△CFE 中：∠ t ∠ t ∵ ∴ ，th t th t h△ADE ≌△CFE （AAS ）．（2019·南充）如图，点 O 是线段 AB 的中点， OD / /BC 且 OD BC ．. （1）求证： AOD OBC ；（2）若 ADO 35 ，求 DOC 的度数．【 思路分析】（1）根据线段中点的定义得到 AO BO ，根据平行线的性质得到 AOD OBC ，根据全等三角 形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．【解题过程】（1）证明：点O 是线段 AB 的中点， AO BO ，OD / /BC ，AOD OBC ， AO BO 在 AOD 与 OBC 中， AOD OBC ，AOD OBC(SAS) ； OD BC（ 2）解：AOD OBC ，ADO OCB35 ， OD / /BC ，DOC OCB 35 ．【知识点】全等三角形的判定与性质 . （2019·宜宾）如图， AB AD ， AC AE ， BAE DAC ．求证： C E ．【 思路分析】由“ SAS ”可证 ABC ADE ，可得 C E ． 解题过程】解：证明：BAE DAC【BAE CAE DAC CAECAB EAD ，且 AB AD ， ACAEABC ADE(SAS) C E【 知识点】全等三角形的判定与性质 .（2019·宜昌）如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，AB ＝DB ，BE 平分∠ABC ，交 AC 边于点 E ，连接 DE ．（ （ 1）求证：△ABE ≌△DBE ；2）若∠A ＝100°，∠C ＝50°，求∠AEB 的度数．【 思路分析】（1）由角平分线定义得出∠ABE ＝∠DBE ，由 SAS 证明△ABE ≌△DBE 即可；（ 2）由三角形内角和定理得出∠ABC ＝30°，由角平分线定义得出∠ABE ＝∠DBEt ∠ABC ＝15°，在△ABE 中，由三角形内角和定理即可得出答案．【解题过程】解：（1）证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠DBE ，t t在△ABE 和△DBE 中， h t thh t h，∴ （ ∴ ∵ △ABE ≌△DBE （SAS ）；2）解：∵∠A ＝100°，∠C ＝50°，∠ABC ＝30°，BE 平分∠ABC ，∴ ∠ABE ＝∠DBEt ∠ABC ＝15°，在△ABE 中，∠AEB ＝180°﹣∠A ﹣∠ABE ＝180°﹣100°﹣15°＝65°．【 知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的定义、三角形内角和定理 第三批一、选择题．（2019·安顺）如图，点 B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥DE ，AC ∥DF ，那么添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC ≌△DEF 的是（） A ．AB ＝DE 答案】AB ．∠A ＝∠DC ．AC ＝DFD ．BF ＝EC 【 【 第 7 题图解析】∵AB ∥DE ，AC ∥DF ，∴∠B ＝∠E ，∠ACB ＝∠DFE ，A 、添加 AB ＝DE 可利用 AAS 判断△ABC ≌△DEF ，故此选项不合题意；B 、添加∠A ＝∠D 无法判断△ABC ≌△DEF ，故此选项符合题意；C 、添加 AC ＝DF 可利用 AAS 判断△ABC ≌△DEF ，故此选项不合题意；D 、添加 BF ＝EC 可得 BC ＝EF ，可利用 ASA 判断△ABC ≌△DEF ，故此选项不合题意；故选：B ．【 知识点】全等三角形的判定。
人教版八年级上册数学《三角形》单元综合检测卷带答案
人教版数学八年级上学期《三角形》单元测试（考试时间：60分钟试卷满分：120分）一．选择题(每题3分，共计30分)1．已知一个三角形中一个角是锐角，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能2.（2020•永城市期末）如图，已知BD＝CD，则AD一定是△ABC的（）A．角平分线 B．高线 C．中线 D．无法确定3．（2019•永城市期中）在三角形的①三条中线；②三条角平分线；③三条高中，一定相交于一点的是（）A．①②③B．②C．①D．①②4．（2020•江岸区期末）下列各组线段，能构成三角形的是（）A．1cm，3cm，5cm B．2cm，4cm，6cmC．4cm，4cm，1cm D．8cm，8cm，20cm5．（2020•河南二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C落在直线b上，若∠A＝50°，∠1＝110°，则∠2的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°6．（2019•浉河区期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（）A．38° B．39° C．51° D．52°7．（2020•仪征市模拟）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）8．（2020•郑州期末）如图，BP、CP是△ABC的外角角平分线，若∠P＝60°，则∠A的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°9．（2019•路北区一模）如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是多少（）A．30° B．15° C．18° D．20°10．（2019•川汇区期中）长为9，7，5，3的四根水条，选其中三根组成三角形，有几种选法?（）A．1种B．2种C．3种D．4种二．填空题（每题3分,共计15分）11．（2020•周口期中）如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的．12．（2020•中原区期末）∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝125°，∠A＝75°，则∠B＝．13．（2019•金水区三模）如图，将三角尺ABC和三角尺DFF（其中∠A＝∠E＝90°，∠C＝60°，∠F＝45°）摆放在一起，使得点A、D、B、E在同一条直线上，BC交DF于点M，那么∠CMF度数等于．14．（2020•交城县期末）有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的路线行走，那么机器人回到A点处行走的路程是．15．（2020•永城市期末）如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．在图2中，∠ACD的度数为．三．解答题（共75分）16．(8分)（2020 •洛龙区月考）一个多边形除了一个内角外，其余内角的和为2680度，则这个内角是多少度?17.(9分)（2020•禹州市期中）如图，△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC 的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．18．(9分)（2020•滑县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．19．(9分)如图所示，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE ∥DF，求证：△DCF为直角三角形．20．(9分)（2020•洛阳期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；（2）请你写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．21．(10分)（2020•襄城县期末）将一副三角尺叠放在一起：（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．22．(10分) 2019 •辉县市期末）（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，求∠D的度数．（2）如图②，将（1）中的条件”∠C＝90°”改为∠C＝α，其它条件不变，请直接写出∠D与∠α的数量关系．23.(11分)（2020•瀍河区月考）在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，（1）如图（1），AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；（2）如图（2），点E在AD上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系是（直接写出结论，不需证明）．参考答案一．选择题(每题3分，共计30分)1．已知一个三角形中一个角是锐角，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】D【解析】在锐角三角形中，三个角都是锐角，在直角三角形中，两个角是锐角，在钝角三角形中，两个角是锐角，∴一个三角形中一个角是锐角，那么这个三角形是三种情况都有可能，故选：D．2.（2020•永城市期末）如图，已知BD＝CD，则AD一定是△ABC的（）A．角平分线 B．高线 C．中线 D．无法确定【答案】C【解析】由于BD＝CD，则点D是边BC的中点，所以AD一定是△ABC的一条中线．故选：C．3．（2019•永城市期中）在三角形的①三条中线；②三条角平分线；③三条高中，一定相交于一点的是（）A．①②③B．②C．①D．①②【答案】D【解析】三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的；锐角三角形或直角三角形的三条高线交于一点，而钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，高线指的是线段，故三角形的三条高，不一定相交于一点．故选：D．4．（2020•江岸区期末）下列各组线段，能构成三角形的是（）A．1cm，3cm，5cm B．2cm，4cm，6cmC．4cm，4cm，1cm D．8cm，8cm，20cm【答案】C【解析】根据三角形的三边关系，得A、1+3＝4＜5，不能组成三角形，故此选项错误；B、2+4＝6，不能组成三角形，故此选项错误；C、1+4＝5＞4，能够组成三角形，故此选项正确；D、8+8＜20，不能组成三角形，故此选项错误．故选：C．5．（2020•河南二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C落在直线b上，若∠A＝50°，∠1＝110°，则∠2的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣∠A＝40°，∵直线a∥b，∴∠3＝∠1＝110°，∴∠2＝∠4＝∠3﹣∠B＝70°，故选：D．6．（2019•浉河区期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（）A ．38°B ．39°C ．51°D ．52°【答案】C【解析】∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝39°，∴∠A ＝51°，∵EF ∥AB ，∴∠1＝∠A ，∴∠1＝51°，故选：C ．7．（2020•仪征市模拟）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】C【解析】多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n ﹣2）＝3×360°解得n ＝8．故选：C ．8．（2020•郑州期末）如图，BP 、CP 是△ABC 的外角角平分线，若∠P ＝60°，则∠A 的大小为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】B【解析】证明：∵BP 、CP 是△ABC 的外角的平分线，∴∠PCB =12∠ECB ，∠PBC =12∠DBC ，∵∠ECB ＝∠A +∠ABC ，∠DBC ＝∠A +∠ACB ，∴∠PCB +∠PBC =12（∠A +∠ABC +∠A +∠ACB ）=12（180°+∠A ）＝90°+12∠A ，∴∠P ＝180°﹣（∠PCB +∠PBC ）＝180°﹣（90°+12∠A ）＝90°−12∠A ＝60°，∴∠A ＝60°，故选：B ．9．（2019•路北区一模）如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是多少（ ）A．30° B．15° C．18° D．20°【答案】C×（5﹣2）×180°＝108°，正方形的内角是90°，【解析】∵正五边形的内角的度数是15∴∠1＝108°﹣90°＝18°．故选：C．10．（2019•川汇区期中）长为9，7，5，3的四根水条，选其中三根组成三角形，有几种选法?（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C【解析】可以选：①9，7，5；②7，5，3；③9，7，3三种；故选：C．二．填空题（每题3分,共计15分）11．（2020•周口期中）如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的．【答案】不稳定性【解析】伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的不稳定性，故答案为：不稳定性．12．（2020•中原区期末）∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝125°，∠A＝75°，则∠B＝．【答案】50°【解析】∵∠ACD＝∠A+∠B，∠ACD＝125°，∠A＝75°，∴∠B＝125°﹣75°＝50°，故答案为．50°13．（2019•金水区三模）如图，将三角尺ABC和三角尺DFF（其中∠A＝∠E＝90°，∠C＝60°，∠F＝45°）摆放在一起，使得点A、D、B、E在同一条直线上，BC交DF于点M，那么∠CMF度数等于．【答案】105°【解析】∵直角△ABC中，∠ABC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，同理，∠FDE＝90°﹣∠F＝90°﹣45°＝45°，∴∠DMB＝180°﹣∠ABC﹣∠FDE＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∴∠CMF＝∠DMB＝105°．故答案为：105°．14．（2020•交城县期末）有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的路线行走，那么机器人回到A点处行走的路程是．【答案】30米【解析】2×（360°÷24°）＝30米．故答案为：30米．15．（2020•永城市期末）如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．在图2中，∠ACD的度数为．【答案】72°【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴其每个内角为108°，且AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠BCA＝（180°﹣108°）÷2＝36°，∴∠ACD＝∠BCE﹣∠BCA＝108°﹣36°＝72°．故答案为：72°三．解答题（共75分）16．(8分)（2020 •洛龙区月考）一个多边形除了一个内角外，其余内角的和为2680度，则这个内角是多少度?【解析】设这个内角度数为x°，边数为n，则（n﹣2）×180﹣x＝2680，180•n＝3040+x，，∴n=3040+x180∵n为正整数，0°＜x＜180°，∴n＝17，∴这个内角度数为180°×（17﹣2）﹣2680°＝20°．故这个内角的度数是20°．17.(9分)（2020•禹州市期中）如图，△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC 的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．【解析】设AC＝x，则AB＝2x，∵BD是中线，x，∴AD＝DC=12x＝30，由题意得，2x+12解得，x＝12，则AC＝12，AB＝24，×12＝14．BC＝20−12答：AB＝24，BC＝14．18．(9分)（2020•滑县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．【解析】∵DE＝EB∴设∠BDE＝∠ABD＝x，∴∠AED＝∠BDE+∠ABD＝2x，∵AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝2x，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3x，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝3x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，3x+3x+2x＝180°，解得x＝22.5°，∴∠A＝2x＝22.5°×2＝45°．19．(9分)如图所示，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE ∥DF，求证：△DCF为直角三角形．【解析】∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣180°＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF＝90°，∵BE∥DF，∴∠EBF＝∠CFD，∴∠CDF+∠CFD＝90°，故△DCF为直角三角形．20．(9分)（2020•洛阳期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；（2）请你写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．【解析】（1）∵∠ECD＝∠B+∠E，∠B＝35°，∠E＝25°，∴∠ECD＝60°，∵EC平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD＝60°，∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝60°+25°＝85°．（2）结论：∠BAC＝∠B+2∠E．理由：∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∠ECD＝∠ACE＝∠B+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．21．(10分)（2020•襄城县期末）将一副三角尺叠放在一起：（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．【解析】（1）∵∠BAC＝90°∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝4∠2，∴4∠2+∠2＝90°，∴∠2＝18°，又∵∠DAE＝90°，∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，∴∠CAE＝∠2＝18°；（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°，∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，又∠ACE＝2∠BCD，∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°，∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．22．(10分) 2019 •辉县市期末）（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，求∠D的度数．（2）如图②，将（1）中的条件”∠C＝90°”改为∠C＝α，其它条件不变，请直接写出∠D与∠α的数量关系．【解析】（1）如图①，∵∠CBE是△ABC的外角，∴∠CBE＝∠CAB+∠C，∴∠C＝∠CBE﹣∠CAB，∵∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，∴∠1=12∠CAB，∠2=12∠CBE，∵∠2是△ABD的外角，∴∠2＝∠1+∠D，∴∠D＝∠2﹣∠1=12（∠CBE﹣∠CAB）=12∠C=12×90°＝45°．（2）如图②，∵∠CBE是△ABC的外角，∴∠CBE＝∠CAB+∠C，∴∠C＝∠CBE﹣∠CAB，∵∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，∴∠1=12∠CAB，∠2=12∠CBE，∵∠2是△ABD的外角，∴∠2＝∠1+∠D，∴∠D＝∠2﹣∠1=12（∠CBE﹣∠CAB）=12∠C=12α．23.(11分)（2020•瀍河区月考）在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，（1）如图（1），AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；（2）如图（2），点E在AD上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；（3）如图（3），点E 在AD 的延长线上．EF ⊥BC 于F ，试探究∠DEF 与∠B 、∠C 的大小关系是 （直接写出结论，不需证明）．【解析】（1）如图1，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD =12∠BAC ，∵AE ⊥BC ，∴∠CAE ＝90°﹣∠C ，∴∠DAE ＝∠CAD ﹣∠CAE =12∠BAC ﹣（90°﹣∠C ）=12（180°﹣∠B ﹣∠C ）﹣（90°﹣∠C ）=12∠C −12∠B=12（∠C ﹣∠B ），∵∠B ＝50°，∠C ＝70°，∴∠DAE =12（70°﹣50°）＝10°．（2）结论：∠DEF =12（∠C ﹣∠B ）．理由：如图2，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵EF ⊥BC ，∴AG ∥EF ，∴∠DAG ＝∠DEF ，由（1）可得，∠DAG =12（∠C ﹣∠B ），∴∠DEF =12（∠C ﹣∠B ）．（3）仍成立．如图3，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵EF⊥BC，∴AG∥EF，∴∠DAG＝∠DEF，（∠C﹣∠B），由（1）可得，∠DAG=12∴∠DEF=1（∠C﹣∠B），2故答案为∠DEF=1（∠C﹣∠B）．2。
专题04 三角形-2019年山东省中考数学真题汇编(解析版)
专题04 三角形一、选择题1．（2019山东枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°【答案】C ．【解析】解：如图，∵∠ACD ＝90°、∠F ＝45°，∴∠CGF ＝∠DGB ＝45°，则∠α＝∠D +∠DGB ＝30°+45°＝75°，故选：C ．2．（2019山东淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B ．若△ADC的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A ．2aB ．52aC ．3aD ．72a 【答案】C ．【解析】解：∵∠CAD ＝∠B ，∠ACD ＝∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ， ∴2()ACD BCA SAC S AB =，即14BCA a S =， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．3．（2019山东青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A．【解析】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，∵BF＝BF，∴△ABF∽△EBF（ASA），∴AF＝EF，AB＝BE，∴AD＝DE，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴△ABD≌△EAD（SSS），∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，故选：A．4．（2019山东临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B．【解析】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，∴△ADE ≌△CFE （AAS ），∴AD ＝CF ＝3，∵AB ＝4，∴DB ＝AB ﹣AD ＝4﹣3＝1．故选：B ．5．（2019山东枣庄）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A ′B ′C ′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA ′＝1，则A ′D 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32 【答案】B ．【解析】解：∵S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9，且AD 为BC 边的中线，∴S △A ′DE ＝12S △A ′EF ＝92，S △ABD ＝12S △ABC ＝8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则2()A DE ABD S A D AD S ''=，即2992()1816A D A D '=='+， 解得A ′D ＝3或A ′D ＝﹣37（舍）， 故选：B ． 6．（2019山东泰安）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行2km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km ．A．3B．3C．3D．3【答案】B．【解析】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝2，如图，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝2，∴AE＝BE＝22AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝33BE＝3，∴AC＝AE+CE＝3∴A，C两港之间的距离为（3km，故选：B．7．（2019山东聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF 2BC D．S四边形AEOF＝12S△ABC【答案】C．【解析】解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝12S△ABC，选项D正确．故选：C．8．（2019山东淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD ＝12AC 时，tan α1＝34； 如图2，当CD ＝13AC 时，tan α2＝512； 如图3，当CD ＝14AC 时，tan α3＝724；…… 依此类推，当CD ＝11n +AC （n 为正整数）时，tan αn ＝ ． 【答案】22122n n n ++． 【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，2(21)12n +-，2(21)12n ++中的中间一个． ∴tan αn ＝221(21)12n n ++-＝22122n n n++． 故答案为：22122n n n ++． 9．（2019山东滨州）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＞OC ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC ＝BD ；②∠AMB ＝40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B ．【解析】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝40°，∴∠AOB +∠AOD ＝∠COD +∠AOD ，即∠AOC ＝∠BOD ，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故选：B．二、填空题10．（2019山东枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】9.5．【解析】解：过D作DE⊥AB，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，∴∠ADE ＝53°，∵BC ＝DE ＝6m ，∴AE ＝DE •tan53°≈6×1.33≈7.98m ，∴AB ＝AE +BE ＝AE +CD ＝7.98+1.5＝9.48m ≈9.5m ，故答案为：9.511．（2019山东德州）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO =70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO =50°，那么AC 的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【答案】1.02．【解析】解：由题意可得：∵∠ABO =70°，AB =6m ，∴sin70°=6AO AO AB ≈0.94， 解得：AO =5.64（m ），∵∠CDO =50°，DC =6m ，∴sin50°=6CO ≈0.77， 解得：CO =4.62（m ），则AC =5.64-4.62=1.02（m ），答：AC 的长度约为1.02米．故答案为：1.02．12．（2019山东临沂）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC的面积是 ．【答案】3【解析】解：∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延长CD到H使DH＝CD，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH3＝3，∴CD＝3，∴△ABC的面积＝2S△BCD＝2×12×4×3＝3，故答案为：313．（2019山东枣庄）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝．62．【解析】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC AB ＝，BF ＝AF ＝AB ，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD ＝BC ＝2，在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，DF 226AD AF -∴CD ＝BF +DF ﹣BC 26﹣262， 62．14．（2019山东聊城）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 至F ，使CF ＝12BC ，连接FE 并延长交AB 于点M ．若BC ＝a ，则△FMB 的周长为 ．【答案】92a ． 【解析】解：在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，∴∠A ＝30°，∴AB ＝2a ，AC 3．∵DE 是中位线，∴CE ＝32a ． 在Rt △FEC 中，利用勾股定理求出FE ＝a ，∴∠FEC ＝30°．∴∠A ＝∠AEM ＝30°，∴EM ＝AM ．△FMB 周长＝BF +FE +EM +BM ＝BF +FE +AM +MB ＝BF +FE +AB ＝92a ． 故答案为92a ． 三、解答题15．（2019山东淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE ＝∠DAC ．求证：∠E ＝∠C ．【答案】见解析【解析】证明：∵∠BAE ＝∠DAC∴∠BAE +∠CAE ＝∠DAC +∠CAE∴∠CAB ＝∠EAD ，且AB ＝AD ，AC ＝AE∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．∴∠C ＝∠E ．16．（2019山东菏泽）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．【答案】（2﹣6）海里．【解析】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意，得：∠BAD ＝60°，∠BCD ＝45°，AC ＝80，在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°，∴tan60°＝BD AD，∴AD在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD，BD＝80，∴AC＝AD+CD3∴BD＝120﹣3∴BC2BC＝2﹣6，答：BC的距离是（26）海里．17．（2019山东聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A 处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.002 1.41，3≈1.73）【答案】17米．【解析】解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝20，∴BE＝x﹣20，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣20），∴2（x﹣20）＝x，解得：x＝40（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝40∴CD＝CE﹣DE＝40﹣4033≈17（米），答：大楼部分楼体CD的高度约为17米．18．（2019山东临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．【答案】2km．【解析】解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2km，∴BD＝2km，即BD的长是2km．19．（2019山东潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB ＝200米，坡度为13；将斜坡AB 的高度AE 降低AC ＝20米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1：4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【答案】8017【解析】解：∵∠AEB ＝90°，AB ＝200，坡度为13∴tan ∠ABE 333=， ∴∠ABE ＝30°，∴AE ＝12AB ＝100， ∵AC ＝20，∴CE ＝80，∵∠CED ＝90°，斜坡CD 的坡度为1：4， ∴14CE DE =，即8014ED =， 解得，ED ＝320，∴CD 22803208017+=答：斜坡CD 的长是801720．（2019山东青岛）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42°方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，co s42°≈34，tan42°≈9 10）【答案】134米．【解析】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，则CE∥DF，∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴DF＝cos32°•BD＝80×1720≈68，BF＝sin32°•BD＝80×1732≈852，∴BE＝EF﹣BF＝1552，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE•tan42°＝68×910＝3065，∴AB＝AE+BE＝1552+3065≈134m，答：木栈道AB的长度约为134m．21．（2019山东威海）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝35，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．【答案】不会触碰到汽车货厢顶部，理由见解析．【解析】解：∵BH＝0.6米，sinα＝35，∴AB＝0.613sin5BHα==米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．22．（2019山东菏泽）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝，AD＝3，求△PDE的面积．【答案】（1）见解析；（2）910． 【解析】解：（1）∵△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE＝90°．∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAC ﹣∠EAF ＝∠EAD ﹣∠EAF ，即∠BAE ＝∠DAC ，∴△ABE ≌△ADC （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACD ，∵∠ABE +∠AFB ＝∠ABE +∠CFP ＝90°，∴∠CPF ＝90°，∴BP ⊥CD ；（2）在△ABE 与△ACD 中，90AE AD EAB CAB AB AC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACD ，BE ＝CD ，∵∠PDB ＝∠ADC ，∴∠BPD ＝∠CAB ＝90°，∴∠EPD ＝90°，∵BC ＝2，AD ＝3，∴DE ＝2，AB ＝6，∴BD ＝6﹣3＝3，CD 2235AD AC += ∵△BDP ∽△CDA ， ∴BD PD PB CD AD AC==， 3635PD PB ==， ∴PDPB∴PE＝，∴△PDE的面积＝1559 25510⨯⨯=．23．（2019山东枣庄）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN2AM．【答案】（1223；（2）证明见解析；（3）见解析．【解析】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∵AB＝2，∴AD＝BD＝DC2，∵∠AMN＝30°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM22）2，解得，DM＝33，∴AM＝AD﹣DM2﹣33；（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE2AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，∴△BME≌△AMN（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE2AM．。
2019年中考数学复习 三角形 第21讲 三角形试题(含解析)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第21讲 三 角 形1. (2011，河北)已知三角形的三边长分别为2，x ，13.若x 为正整数，则这样的三角形个数为(B )A. 2B. 3C. 5D. 13【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＞13，x ＜13＋2.解得11＜x ＜15.因为x 为正整数，所以x 可以为12，13，14.2. (2013，河北，导学号5892921)如图①，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B ＝30°，∠C ＝100°，如图②，则下列说法正确的是(C )第2题图A. 点M 在AB 上B. 点M 在BC 的中点处C. 点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D. 点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远【解析】 如答图，取BC 的中点E ，连接AE ，则BE ＝CE .∵∠C ＝100°，∴AB ＞AC .∴AB＋BE ＞AC ＋CE .由三角形的三边关系，得AC ＋BC ＞AB .∴AB ＜12AD .∴AD 的中点M 在BE 上，即点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远．第2题答图3. (2014，河北)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE ＝2，则BC 的长为(C )第3题图A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】 ∵D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴BC ＝2DE ＝4.4. (2014，河北)如图，平面上直线a ，b 分别过线段OK 两端点，则a ，b 相交所成的锐角是(B )第4题图A. 20°B. 30°C. 70°D. 80°【解析】 如答图，分别延长a ，b 交于一点，形成一个三角形．根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可以得到a ，b 相交所成的锐角是100°－70°＝30°.第4题答图5. (2018，河北)下列图形具有稳定性的是(A )A B C D【解析】 三角形具有稳定性．三角形的边与角例1 如图，把△ABC 沿DE 折叠，当∠A 落在四边形BCDE 内时，∠A 与∠1＋∠2之间始终不变的关系是(B )例1题图A. ∠A ＝∠1＋∠2B. 2∠A ＝∠1＋∠2C. 3∠A ＝∠1＋∠2D. 3∠A ＝2(∠1＋∠2)【解析】 ∵△ABC 沿DE 折叠，∴∠1＋2∠AED ＝180°，∠2＋2∠ADE ＝180°.∴∠AED ＝12(180°－∠1)，∠ADE ＝12(180°－∠2)．∴∠AED ＋∠ADE ＝12(180°－∠1)＋12(180°－∠2)＝180°－12(∠1＋∠2)．∴在△ADE 中，∠A ＝180°－(∠AED ＋∠ADE )＝180°－⎣⎢⎡⎦⎥⎤180°－12（∠1＋∠2）＝12(∠1＋∠2)，即2∠A ＝∠1＋∠2. 针对训练1(2018，聊城)如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A ′处，折痕为DE .如果∠A ＝α，∠CEA ′＝β，∠BDA ′＝γ，那么下列式子中正确的是(A )训练1题图 A. γ＝2α＋βB. γ＝α＋2βC. γ＝α＋βD. γ＝180°－α－β【解析】 如答图．由折叠，得∠A ′＝∠A .∵∠BDA ′＝∠A ＋∠AFD ，∠AFD ＝∠A ′＋∠CEA ′，∠A ＝α，∠CEA ′＝β，∠BDA ′＝γ，∴∠BDA ′＝γ＝α＋α＋β＝2α＋β.训练1答图三角形的角平分线、中线、高、中位线例2 如图，在△ABC 中，分别作其内角∠ACB 与外角∠DAC 的平分线，且两条平分线所在的直线交于点E .(1)①如图①，若∠B ＝60°，则∠E ＝ 30° ；②如图②，若∠B ＝90°，则∠E ＝ 45° ；(2)如图③，若∠B ＝α，求∠E 的度数；(3)如图④，仿照(2)中的方法，在(2)的条件下分别作∠EAB 与∠ECB 的平分线，且两条角平分线交于点G ，求∠G 的度数．① ② ③ ④例2题图【思路分析】 (1)①根据三角形的外角性质可得∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝60°，再根据角平分线的定义可得∠FAC －∠ACE ＝30°，可求∠E 的度数．②根据三角形的外角性质可得∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝90°，再根据角平分线的定义可得∠FAC －∠ACE ＝45°，可求∠E 的度数．(2)根据三角形的外角性质可得∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝α，再根据角平分线的定义可得∠FAC －∠ACE ＝12α，可求∠E 的度数．(3)根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠G ＝∠HAC －∠ACG ＝32∠FAC －32∠ACE ＝32(∠FAC －∠ACE )，可求∠G 的度数． 解：(1)①30°②45°(2)∵AF 平分∠DAC ，CE 平分∠ACB ，∴∠FAC ＝12∠DAC ，∠ACE ＝12∠ACB . ∵∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝α，∴∠E ＝∠FAC －∠ACE ＝12∠B ＝12α. (3)∵AG ，CG 分别平分∠EAB 与∠ECB ，∴∠G ＝∠HAC －∠ACG ＝32∠FAC －32∠ACE ＝32(∠FAC －∠ACE )＝32×12∠B ＝34α. 针对训练2 (2018，广州海珠区模拟)如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，连接BE ，CE .若△ABC 的面积是8，则阴影部分的面积为(B )训练2题图 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【解析】 ∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABD ＝S △ACD ＝12S △ABC .∵E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝S △BDE ＝12S △ABD ，S △CDE ＝S △CAE ＝12S △ACD .∴S △ABE ＝14S △ABC ，S △CDE ＝14S △ABC .∴S △ABE ＋S △CDE ＝12S △ABC ＝12×8＝4.∴阴影部分的面积为4.针对训练3 (2018，黄石)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE ，BF 分别是∠BAC ，∠ABC 的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC ＝60°，则∠EAD ＋∠C 等于(A )训练3题图A. 75°B. 80°C. 85°D. 90°【解析】 ∵AD 是BC 边上的高，∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝30°.∵∠BAC ＝50°，AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝25°.∴∠DAE ＝30°－25°＝5°.∵在△ABC 中，∠C ＝180°－∠ABC －∠BAC ＝70°，∴∠EAD ＋∠C ＝5°＋70°＝75°.针对训练4 (2017，河北)如图，A ，B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C ，连接CA ，CB ，分别延长到点M ，N ，使AM ＝AC ，BN ＝BC ，测得MN ＝200 m ，则A ，B 间的距离为 100 m.训练4题图【解析】 ∵AM ＝AC ，BN ＝BC ，∴AB 是△CMN 的中位线．∴AB ＝12MN ＝100(m)．一、 选择题1. (2018，长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(B )A. 4 cm ，5 cm ，9 cmB. 8 cm ，8 cm ，15 cmC. 5 cm ，5 cm ，10 cmD. 6 cm ，7 cm ，14 cm【解析】 A. ∵5＋4＝9，9＝9，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．B. 8＋8＝16，16＞15，∴此三条线段能组成三角形．故此选项正确．C. ∵5＋5＝10，10＝10，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．D. ∵6＋7＝13，13＜14，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．2. (2018，石家庄模拟)一副三角板有两个直角三角形，如图所示叠放在一起，则α的度数是(A )第2题图A. 165°B. 120°C. 150°D. 135°【解析】如答图．∵∠1＋45°＋90°＝180°，∴∠1＝45°.∵∠1＝∠2＋30°，∴∠2＝15°.∵∠2＋α＝180°，∴α＝165°.第2题答图3. (2018，石家庄裕华区一模)如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO.若∠DOF＝142°，则∠C的度数为(A)第3题图A. 38°B. 39°C. 42°D. 48°【解析】∵△ABC沿DE，EF翻折，∴∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠B.∴∠DOF＝∠DOE＋∠EOF ＝∠A＋∠B＝142°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－142°＝38°.4. (2018，昆明)在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为(B)第4题图A. 90°B. 95°C. 100°D. 120°【解析】∵CO＝AO，∠AOC＝130°，∴∠CAO＝25°.∵∠AOB＝70°，∴∠CDO＝∠CAO ＋∠AOB＝25°＋70°＝95°.5. (2018，淄博周村区二模)用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是(A)A B C D【解析】根据高线的定义可得出结论．6. (2018，贵阳)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是(B)第6题图A. 线段DEB. 线段BEC. 线段EFD. 线段FG【解析】 根据三角形中线的定义可得出结论．7. (2018，宿迁)如图，点D 在△ABC 的边AB 的延长线上，DE ∥BC .若∠A ＝35°，∠C ＝24°，则∠D 的度数是(B )第7题图A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°【解析】 ∵∠A ＝35°，∠C ＝24°，∴∠DBC ＝∠A ＋∠C ＝59°.∵DE ∥BC ，∴∠D ＝∠DBC ＝59°.8. (2018，石家庄模拟)如图，长度为10 m 的木条，从两边各截取长度为x m 的木条．若得到的三根木条能组成三角形，则x 可以取的值为(C )第8题图A. 2 mB. 52 mC. 3 mD. 6 m【解析】 根据三角形三边关系，得2x ＞10－2x ，且2x ＜10.解得2.5<x <5.9. (2018，廊坊安次区一模)下列图形中，能确定∠1＞∠2的是(C )A B C D【解析】 A. ∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2.故此选项错误．B. 若两条直线平行，则∠1＝∠2.若两条直线不平行，则∠1与∠2的大小关系无法进行判断．故此选项错误．C. ∵∠1是∠2所在三角形的一个外角且与∠2不相邻，∴∠1＞∠2.故此选项正确．D. ∵已知三角形是直角三角形，∴由直角三角形两锐角互余可判断出∠1＝∠2.10. (2018，长春)如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的度数为(C )第10题图A. 44°B. 40°C. 39°D. 38°【解析】 ∵∠A ＝54°，∠B ＝48°，∴∠ACB ＝180°－54°－48°＝78°.∵CD 平分∠ACB交AB 于点D ，∴∠DCB ＝12×78°＝39°.∵DE ∥BC ，∴∠CDE ＝∠DCB ＝39°. 11. (2018，西安灞桥区模拟，导学号5892921)如图，S △ABC ＝1.若S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ，则S △ADE 等于(B )第11题图A. 15B. 16C. 17D. 18【解析】 ∵S △BDE ＝S △DEC ，∴BD ＝DC .∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12.∵S △ABC ＝1，S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ，∴S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ＝13.∴S △ADE ＝S △ABD －S △BDE ＝12－13＝16. 12. (2018，杭州二模)四根长度分别为3，4，6，x (x 为正整数)的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则(D )A. 组成的三角形中周长最小为9B. 组成的三角形中周长最小为10C. 组成的三角形中周长最大为19D. 组成的三角形中周长最大为16【解析】 由从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3＜x ＜7.因为x 为正整数，所以x 只能为4或5或6.所以其周长最小为4＋3＋4＝11，周长最大为4＋6＋6＝16.13. (2018，河北二模)如图，将直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE .若∠C ＝90°，∠A ＝35°，则∠DBC 的度数为(C )第13题图A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°【解析】 ∵∠C ＝90°，∠A ＝35°，∴∠ABC ＝55°.由折叠，可得∠ABD ＝∠A ＝35°.∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝55°－35°＝20°.二、 填空题14. (2018，泰州)已知三角形两边的长分别为1，5，第三边的长为整数，则第三边的长为 5 .【解析】 设第三边的长为x .根据三角形的三边关系，得4＜x ＜6.因为第三边的长为整数，所以第三边的长是5.15. (2018，白银)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a －7|＋(b －1)2＝0，c 为奇数，则c ＝ 7 .【解析】 ∵a ，b 满足|a －7|＋(b －1)2＝0，∴a －7＝0，b －1＝0.解得a ＝7，b ＝1.∵7－1＝6，7＋1＝8，∴6＜c ＜8.∵c 为奇数，∴c ＝7.三、 解答题16. (2018，宜昌)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E .(1)求∠CBE 的度数；(2)过点D 作DF ∥BE ，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．第16题图【思路分析】 (1)先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC ＝90°－∠A ＝50°，由邻补角的定义得出∠CBD ＝130°.再根据角平分线的定义即可求出∠CBE ＝12∠CBD ＝65°.(2)先根据三角形外角的性质得出∠CEB ＝90°－65°＝25°，再根据平行线的性质即可求出∠F ＝∠CEB ＝25°.解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝90°－∠A ＝50°.∴∠CBD ＝130°.∵BE 是∠CBD 的平分线，∴∠CBE ＝12∠CBD ＝65°. (2)∵∠ACB ＝90°，∠CBE ＝65°，∴∠CEB ＝90°－65°＝25°.∵DF ∥BE ，∴∠F ＝∠CEB ＝25°.17. (2018，扬州江都区模拟)如图①，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且与△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点D .(1)若∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，求∠D 的度数；(2)若把∠A 截去，得到四边形MNCB ，如图②，猜想∠D ，∠M ，∠N 的关系，并说明理由．第17题图【思路分析】 (1)根据三角形内角和定理以及角平分线定义，先求出∠D ，∠A 的等式，推出∠A ＝2∠D ，最后代入求出即可．(2)根据(1)中的结论即可得到结论．解：(1)∵∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠ACD ＋∠ECD ＝∠A ＋∠ABD ＋∠DBE ，∠DCE ＝∠D ＋∠DBC .∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，∴∠ABD ＝∠DBE ，∠ACD ＝∠ECD .∴∠A ＝2(∠DCE －∠DBC )，∠D ＝∠DCE －∠DBC .∴∠A ＝2∠D .∵∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，∴∠A ＝60°.∴∠D ＝30°.(2)∠D ＝12(∠BMN ＋∠CNM －180°)． 理由：如答图，延长BM ，CN 交于点A ，则∠A ＝∠BMN ＋∠CNM －180°.由(1)知∠D ＝12∠A . ∴∠D ＝12(∠BMN ＋∠CNM －180°)．第17题答图1. (导学号5892921)如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，BC 上．若AD ∶DB ＝CE ∶EB ＝2∶3，则△DBE 与△ADC 的面积比为(C )第1题图A. 3∶5B. 4∶5C. 9∶10D. 15∶16【解析】 ∵AD ∶DB ＝CE ∶EB ＝2∶3，∴S △BDC ∶S △ADC ＝3∶2，S △BDE ∶S △DCE ＝3∶2.设S △BDC ＝3x ，则S △ADC ＝2x ，S △BED ＝1.8x .∴△DBE 与△ADC 的面积比为1.8x ∶2x ＝9∶10.2. (2018，天津南开区模拟，导学号5892921)如图，在△ABC 中，∠A ＝α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，则∠A 1＝( α2) .∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2，…，∠A 2 017BC 的平分线与∠A 2 017CD 的平分线交于点A 2 018，得∠A 2 018，则∠A 2 018＝( α22 018 ).第2题图【解析】 ∵∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ，∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∠ACD ＝2∠A 1CD ，∠ABC ＝2∠A 1BC ，∴2∠A 1CD ＝∠A ＋2∠A 1BC ，即∠A 1CD ＝12∠A ＋∠A 1BC .∴∠A 1＝12∠A ＝α2.依此类推，∠A 2 018＝α22 018. 3. (2018，苏州常熟模拟)△ABC 的三条角平分线相交于点I ，过点I 作DI ⊥IC ，交AC 于点D .(1)如图①，求证：∠AIB ＝∠ADI ；(2)如图②，延长BI ，交外角∠ACE 的平分线于点F .①判断DI 与CF 的位置关系，并说明理由；②若∠BAC ＝70°，求∠F 的度数．第3题图【思路分析】 (1)只要证明∠AIB ＝90°＋12∠ACB ，∠ADI ＝90°＋12∠ACB 即可．(2)①只要证明∠IDC ＝∠ACF 即可．②先求出∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°，再求出∠F ＝12∠ACE －12∠ABC ＝12(∠ACE －∠ABC )＝12∠BAC 即可解决问题．(1)证明：∵AI ，BI 分别平分∠BAC ，∠ABC ，∴∠BAI ＝12∠BAC ，∠ABI ＝12∠ABC . ∴∠BAI ＋∠ABI ＝12(∠BAC ＋∠ABC )＝12(180°－∠ACB )＝90°－12∠ACB . ∴∠AIB ＝180°－(∠BAI ＋∠ABI )＝180°－⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－12∠ACB ＝90°＋12∠ACB . ∵CI 平分∠ACB ，∴∠DCI ＝12∠ACB . ∵DI ⊥IC ，∴∠DIC ＝90°.∴∠ADI ＝∠DIC ＋∠DCI ＝90°＋12∠ACB . ∴∠AIB ＝∠ADI .(2)解：①DI ∥CF .理由：∵CF 平分∠ACE ，∴∠ACF ＝12∠ACE ＝12(180°－∠ACB )＝90°－12∠ACB . ∵∠IDC ＝90°－∠DCI ＝90°－12∠ACB ， ∴∠IDC ＝∠ACF .∴DI ∥CF .②∵∠ACE ＝∠ABC ＋∠BAC ，∴∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°.∵∠FCE ＝∠FBC ＋∠F ，∴∠F ＝∠FCE －∠FBC .∵∠FCE ＝12∠ACE ，∠FBC ＝12∠ABC ， ∴∠F ＝12∠ACE －12∠ABC ＝12(∠ACE －∠ABC )＝12∠BAC ＝35°.。
2019年中考数学复习专题三角形综合题
三角形综合题副标题一、选择题（本大题共17小题，共51.0分）1. 如图所示，在△ABC 中，∠C =70º，沿图中虚线截取∠C ，则∠1+∠2= （ ）A.B. C. D.2. 已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且=1cm ，则的值为（ ）A.； B. ； C. ； D.3. 画△ABC 中AC 边上的高，下列四个画法中正确的是（ ）A.B.C.D.4. 下列说法:①满足的，，三条线段一定能组成三角形;②三角形的三条高交于三角形内一点;③三角形的一个外角大于它的任何一个内角;④两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中错误的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5. 如图，AB ∥DC ，ED ∥BC ，AE ∥BD ，那么图中与△ABD 面积相等的三角形有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第3次移动到A3，……，第n次移动到A n，则△OA2A2019的面积是（）A. 504B.C.D. 10097.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为4，求阴影部分的面积为( )A. 20B. 24C. 25D. 268.如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2019，最少经过多少次操作（）．A. 4B. 5C. 6D. 79.如图，，A,B为直线上两点，C、D为直线上两点，则△ACD与△BCD的面积大小关系是（）A. B. C. D.不能确定10.已知三角形的周长小于13，各边长均为整数且三边各不相等，那么这样的三角形个数共有（）A. 2B. 3C. 4D. 511.如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.已知△ABC的三边a，b，c都是正整数，且满足a≤b≤c，如果b＝4，那么这样的三角形共有（）．A. 4个B. 6个C. 8个D. 10个13.下列条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1:2:3；③∠A=90°－∠B；④．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个14.如图，∠B+∠C+∠D+∠E—∠A等于（）A. B. C. D.15.如图,把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是( )A. B.C. D.16.如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度A.B.C.D.17.把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为acm，宽为bcm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（）A. 4bB.C.D.二、填空题（本大题共16小题，共48.0分）18.如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为20 ，则△BEF的面积=__________．19.如图，AD，AE分别是△ABC的中线和高，BC＝6，AE＝4，△ABD的面积为________.20.如图，△ABC中，O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，若∠A＝50°，则∠BOC＝______°21.如图，AD是△ABC的中线.若△ABD的周长比△ACD的周长长6 cm，则AB−AC=________cm.22.如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B=42°，∠C=70°，则∠DAE=__________°.23.如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为20 ，则△BEF的面积=__________．24.如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A之间的关系为__________．25.如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB=6，AC=8，BC=10，点P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为____________．26.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t=_________，△APE的面积等于6．27.如图，两个正方形边长分别为，图中阴影部分的面积为_______．28.三角形的三边长为3，a，7，则最长边a的取值范围是____________；29.如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=___度．30.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线交于D,∠A=400，那么∠D=__ .31.如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．32.在△ABC内有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，则可构成3个互不重叠的小三角形(如图①)．（1）当三角形内有两个点P1、P2时，如图②，其他条件不变，可构成的互不重叠的小三角形有_______个．（2）当三角形内有三个点P1、P2、P3时，如图③，其他条件不变，可构成的互不重叠的小三角形有_________个．（3）一般地，当三角形内有(为正整数)个点时，其他条件不变，可构成的互不重叠的小三角形有_______个．特别地，当三角形内有2016个点时，其他条件不变，可构成的互不重叠的小三角形有_____个．三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）33.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线。
江苏省无锡市中考数学复习专题之三角形综合题
江苏省无锡市中考数学复习专题之三角形综合题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题 (共40题；共108分)1. （3分）(2019·高新模拟) 图①、图②、图③均为方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．（探究）在图①中，点A、B、C、D均为格点．证明：BD平分∠ABC．（应用）在图②、图③中，点M、O、N均为格点．（1）利用（探究）的方法，在图②、图③中分别找到一个格点P，使OP平分∠MON．要求：图②、图③中所画的图形不相同，保留画图痕迹．（2）cos∠MOP的值为________．2. （3分）(2018·深圳模拟) 如图，直线y=3x与双曲线y= （k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标是1．（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；（2）点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，连接OB，AB，求△AOB的面积．3. （3分） (2019九上·鄞州月考) 如图，AD是△ABC的中线，tanB= ，cosC= ，AC=（1）求BC的长；（2）作出△ABC的外接圆（尺规作图,保留痕迹，不写作法），并求外接圆半径．4. （3分） (2019八下·来宾期末) 在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将过点A的直线l绕点A旋转，交射线CD于点E，BF⊥l于点F，DG⊥l于点G，连接OF，OG．（1）如图①当点E与点C重合时，请直接写出线段OF，OG的数量关系；（2）如图②，当点E在线段CD上时，OF与OG有什么数量关系？请证明你的结论；（3）如图③，当点E在线段CD的延长线上时，上述的结论是否仍成立？请说明理由．5. （3分）(2011·义乌) 如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1 ，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在________关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．6. （3分） (2016九上·肇源月考) 如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，延长BC到E，使CE=CD，AB=6cm．（1）求BE的长；（2）判断△BDE的形状，并说明理由．7. （3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边DC、CB上的点，且DE=CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF．（1）求证：△ADE≌△DCF；（2）若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；（3）连接AQ，设S△CEQ=S1，S△AED=S2，S△EAQ=S3，在（2）的条件下，判断S1+S2=S3是否成立？并说明理由．8. （2分） (2018八上·卫辉期末) 如图①：在△ABC中，∠ACB=90 ，△ABC是等腰直角三角形，过点C 在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.（1）求证：MN=AM+BN.（2）如图②，若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，则猜想AM、BN与MN之间有什么关系？请直接写出结论，并写出图②中的全等三角形.9. （3分） (2019九上·吴兴期中) 一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CE=CB，BE分别交CD、AC于点F、G．求证：CF=FG。
2019年中考数学综合题型专题复习卷：三角形
三角形一、单选题1．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH、BE与相交于点G，以下结论中正确的结论有（）（1）△ABC是等腰三角形；（2）BF＝AC；（3）BH：BD：BC＝1：：；（4）GE2+CE2＝BG2．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C2．如图，∠AOB=30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP=4，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为( )A．2B．4C．D．【答案】B3．如图，，，，点D、E为BC边上的两点，且，连接EF、BF 则下列结论：≌；≌；；，其中正确的有( )个．A．1B．2C．3D．4【答案】D4．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P，记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（）A．B．C．D．【答案】A5．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F 点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（）A．①③B．①②④C．①②③④D．①③④【答案】C6．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】D7．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE.试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2 .正确的序号有（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E是BC上的两点，且∠DAE=30°，将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，连接DF.下列结论中正确的个数有（）①∠FBD=60°；②△ABE∽△DCA；③AE平分∠CAD；④△AFD是等腰直角三角形.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B9．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【答案】C10．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（）A．B．C．2 D．【答案】A11．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值【答案】D12．如图，点D 是等腰直角△ABC 腰BC 上的中点，点B 、B′ 关于AD 对称，且BB′ 交AD 于F，交AC 于E，连接FC 、AB′，下列说法：①∠BAD=30°；②∠BFC=135°；③AF=2B′ C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B13．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【答案】A14．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（）A．②③④B．①②C．①④D．①②③④【答案】B15．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等三角形的对数为（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C二、填空题16．如图所示，已知：点A(0，0)，B（，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第个等边三角形的边长等于__________．【答案】17．如图，∠MON=30°，点B1在边OM上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n B n+1C n的面积为__．（用含正整数n的代数式表示）【答案】（）2n﹣2×18．如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则S n=_____．【答案】19．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC 是菱形，则△OAE的面积为________．【答案】20．如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④．21．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角.（1）如图2，在△ABC中，∠B>∠C，若经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系是_______；（2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形的好角。
4-2 三角形 五年中考荟萃
§4.2三角形A组2019年全国中考题组一、选择题1．(2019·湖南长沙，10，3分)如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是()解析根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，为△ABC中BC边上的高的是A选项．答案 A2．(2019·四川绵阳，5，3分)如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝()A．118°B．119°C．120°D．121°解析∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°.∵BE，CD是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠CBE＝12∠ABC，∠BCD＝12∠BCA，∴∠CBE ＋∠BCD ＝12(∠ABC ＋∠BCA )＝60°， ∴∠BFC ＝180°－60°＝120°. 答案 C3．(2019·山东滨州，7，3分)在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，则∠C 等于( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°解析 180°×53＋4＋5＝180°×512＝75°即∠C 等于75°.答案 C4．(2019·山东济宁，5，3分)三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x 2－13x ＋36＝0的根，则三角形的周长为( )A ．13B ．15C ．18D ．13或18解析 先求出x 2－13x ＋36＝0的解，可得x 1＝4，x 2＝9；由于三角形两边之和大于第三边，x ＝4，所以三角形的周长为3＋6＋4＝13. 答案 A 二、填空题5．(2019·广东东莞，16，4分)如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是________．解析 ∵△ABC 的三条中线AD ，BE ，CF 交于点G ， ∴S △CGE ＝S △AGE ＝13S △ACF ，S △BGF ＝S △BGD ＝13S △BCF . ∵S △ACF ＝S △BCF ＝12S △ABC ＝12×12＝6，∴S △CGE ＝13S △ACF ＝13×6＝2，S △BGF ＝13S △BCF ＝13×6＝2，∴S阴影＝S△CGE＋S△BGF＝4.答案 46．(2019·四川巴中，13，3分)若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足a2－9＋(b－2)2＝0，则第三边c的取值范围是________．解析由题意得，a2－9＝0，b－2＝0，解得a＝3，b＝2.∵3－2＝1，3＋2＝5，∴1<c<5.答案1<c<57．(2019·四川南充，13，3分)如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是________度．解析∵∠ACD＝∠B＋∠A，而∠A＝80°，∠B＝40°，∴∠ACD＝80°＋40°＝120°.∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝60°.答案608．(2019·江苏淮安，17，3分)将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是______．解析如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB∥CD，∴∠3＝∠4＝45°.∴∠2＝∠3＝45°.∵∠B＝30°，∴∠1＝∠2＋∠B＝30°＋45°＝75°.答案75°9．(2019·山东临沂，18，3)如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则OBOD ＝________．解析 ∵△ABC 的中线BD ，CE 相交于点O ， ∴点O 是△ABC 的重心，∴OBOD ＝2. 答案 2 三、解答题10．(2019·浙江杭州，21，10分)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a ，b ，c ，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．(1)用记号(a ，b ，c )(a ≤b ≤c )表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形；(2)用直尺和圆规作出三边满足a <b <c 的三角形(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹)．解 (1)共九种：(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(2，3，4)，(2，4，4)，(3，3，3)，(3，3，4)，(3，4，4)，(4，4，4)．(2)只有a ＝2，b ＝3，c ＝4的一个三角形． 如图的△ABC 即为满足条件的三角形．B 组 2019～2011年全国中考题组一、选择题1．(2019·浙江温州，4，4分)下列各组数可能是一个三角形的边长的是 ( ) A ．1，2，4 B ．4，5，9 C ．4，6，8D ．5，5，11解析 ∵1＋2＜4，∴1，2，4不可能是一个三角形的三边；∵4＋5＝9，∴4，5，9不可能是一个三角形的三边；∵4＋6＞8，∴4，6，8能构成一个三角形的三边；∵5＋5＜11，∴5，5，11不可能构成一个三角形的三边．答案 C2．(2019·浙江宁波，8，3分)如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得三角形的周长可能是() A．6 B．8 C．10 D．12解析设三角形的三边分别是a、b、c，令a＝4，b＝6，则2＜c＜10，12＜三角形的周长＜20，故6＜中点三角形周长＜10.故选B.答案 B3．(2019·湖北黄石，5，3分)如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是()A．30°B．60°C．90°D．120°解析因为矩形的四个角都是直角，则∠1＋∠2＝90°.故选C.答案 C4．(2019·河北，4，2分)如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是()A．20°B．30°C．70°D．80°解析由三角形外角的性质可知：a，b相交所成锐角为100°－70°＝30°，故选B.答案 B5．(2019·陕西，7，3分)如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝28°，则∠AEC的大小为()A．17°B．62°C．63°D．73°解析∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠C＝28°.∵∠A＝45°，∴∠AEC＝∠A＋∠ABC＝28°＋45°＝73°.答案 D 6．(2019·河北，3，2分)如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，则BC＝()A．2 B．3C．4 D．5解析∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝2×2＝4.答案 C7．(2019·湖北荆州，2，3分)如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，则∠E的度数为()A．30°B．20°C．10°D．40°解析∵AB∥CD，∠ABE＝60°，∴∠EFC＝∠ABE＝60°.∵∠EFC是△EDF的外角，∠D＝50°，∴∠E＝∠EFC－∠D＝60°－50°＝10°.故选C.答案 C二、填空题8．(2019·浙江台州，13，5分)如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D＝____度．解析∵AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，∴∠DCE＝∠B＝72°，∠DEC＝∠F ＝72°，∴∠D＝180°－∠DCE－∠DEC＝180°－72°－72°＝36°.答案369．(2019·浙江衢州，13，4分)小芳同学有两根长度为4 cm 、10 cm 的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒供她选择(如图所示)，从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是________．解析 从桌面上选一根共有5种选法，其中能构成三角形有4，10，10；4，10，12；共两种，所以能钉成三角形相框的概率是25.故填25. 答案 2510．(2019·山东威海，15，3分)直线l 1∥l 2，一块含45°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝85°，则∠2＝________°.解析 ∵l1∥l 2，∴∠3＝∠1＝85°.再由对顶角相等及等腰直角三角形的性质、外角的性质可得∠2＝∠3－45°＝85°－45°＝40°. 答案 4011．(2019·福建福州，15，4分)如图，在Rt △ABC中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 到点F ，使CF ＝12BC ，若AB ＝10，则EF 的长是________． 解析 如图，连结CD .在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD ＝BD ， ∴CD ＝12AB ＝5.∵AD ＝BD ，AE ＝CE ，∴DE ∥BC 且DE ＝12BC .∵点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，∴DE ∥CF ，且DE＝CF，∴四边形CDEF为平行四边形，∴EF＝CD＝5.答案 512．★(2019·四川乐山，14，3)如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°.直线l分别与边AB，AD相交于点M，N，则∠1＋∠2＝________．解析在△AMN中，∵∠A＝45°，∴∠AMN＋∠ANM＝180°－45°＝135°.∴∠1＋∠2＝180°－∠ANM＋180°－∠AMN＝360°－(∠AMN＋∠ANM)＝360°－135°＝225°.答案225°。
天津市河西区2019届中考《三角形》专项强化练习(含答案)
2019年九年级数学中考复习三角形解答题强化练习1.如图，AB=DC，AC=DB，求证：AB∥CD．2.已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时，（1）A．B关于x轴对称；（2）A．B关于y轴对称．3.如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2．求证：BC=DE．4.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，求证：AB=CD，AD=BC．5.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．6.如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，O，F.若∠CAD=20°，求∠OCD的度数.7.如图,在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG.求证：（1）AD=AG;（2）AD与AG的位置关系如何?并证明你的结论.8.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？请说明理由．9.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．10.如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。
求证：BE⊥AC。
11.如图、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的长．12.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B13.如图，在等边三角形ABC中，点M是BC边上的任意一点（不与端点重合），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN．（1）求∠ACN的度数．（2）若点M在△ABC的边BC的延长线上，其他条件不变，则∠ACN的度数是否发生变化？（直接写出结论即可）14.如图,∠BAD=∠CAE=90o,AB=AD,AE=AC,AF⊥CF,垂足为F.（1）若AC=10,求四边形ABCD的面积；（2）求证：AC平分∠ECF；（3）求证：CE=2AF .15.在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，求∠BCE的度数；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2,当点D在线段BC上移动,则α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．参考答案1.证明：∵在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）．∴∠ABC=∠DCB（全等三角形的对应角相等）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．2.解：（1）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A．B关于x轴对称，∴，解得；（2）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A．B关于y轴对称，∴，解得：．3.证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC．即：∠BAC=∠DAE．在△ABC与又△ADE中，，∴△ABC≌△ADE．∴BC=DE．4.解：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC．5.证明：∵BE=CF，∴BC=EF．∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE．6.50°7. (1)证明：∵BE⊥AC∴∠AEB＝90∴∠ABE+∠BAC＝90∵CF⊥AB∴∠AFC＝∠AFG＝90∴∠ACF+∠BAC＝90,∠G+∠BAG＝90∴∠ABE＝∠ACF∵BD＝AC,CG＝AB∴△ABD≌△GCA （SAS）∴AG＝AD2、AG⊥AD证明:∵△ABD≌△GCA∴∠BAD＝∠G∴∠GAD＝∠BAD+∠BAG＝∠G+∠BAG＝90∴AG⊥AD8.证明：如图，连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．9.证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．10.证明：(1) AD为△ABC上的高，∴BDA=ADC =90.∵BF=AC,FD=CD.∴Rt△BDF≌Rt△ADC.(2)由①知∠C=∠BFD，∠CAD=∠DBF.∠BFD= ∠AFE，又∠CBE=∠CAD，∴∠AEF=∠BDF.∠BDF= 90，∴BE⊥AC.11.解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=15°，∵PD∥OA，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴∠BOC=∠DPO，∴PD=OD=4cm，∵∠AOB=30°，PD∥OA，∴∠BDP=30°，∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF，∴PE=PF=2cm．12.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD ∴AE=AB∵AD平分∠CAB ∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB ∠EAD=∠BAD AD=AD ∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B 且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B13.14.（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD∴∠BAC=∠EAD，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，（2）证明：∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=∠AEC=45°，由△ABC≌△ADE得：∠ACB=∠AEC=45°，∴∠ACB=∠ACE，∴AC平分∠ECF；（3）证明：过点A作AG⊥CG，垂足为点G，∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，∴AF=AG，又∵AC=AE，∴∠CAG=∠EAG=45°，∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，∴CG=AG=GE，∴CE=2AG，∴CE=2AF．15.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A.3：4B.9：16C.9：1D.3：1 2．已知抛物线y=ax 2+bx+c （b ＞a ＞0）与x 轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴一定在y 轴的左侧；②a-b+c≥0；③关于x 的方程ax 2+bx+c=2一定无实数根；④a b c b a++-的最小值是3，其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 3．四个实数0、、﹣3.14、﹣2中，最小的数是（ ）A.0B.C.﹣3.14D.﹣24．已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，则⊙O 的半径是（ ）A.3厘米B.4厘米C.5厘米D.8厘米5．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线的交点是O ，直线EF 过O 点，且平行于AD ，直线GH 过O 点且平行于AB ，则图中平行四边形共有( )A ．15个B ．16个C ．17个D ．18个6．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A.12a -B.1(1)2a -+C.1(1)2a --D.1(3)2a -+ 7．据统计，截止2019年2月，长春市实际居住人口约4210000人，4210000这个数用科学记数法表示为( )A.542.110⨯ B.54.2110⨯ C.64.2110⨯ D.74.2110⨯8．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD=DE=2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ ⊥BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为( )A．B．C．D．9．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，以B为圆心，AB为半径作AC，在扇形BAC内作⊙O与AB、BC、AC都相切，则⊙O的周长等于（）A．49πB．23πC．43πD．π10．如图，在⊙O中，∠BOD＝120°，则∠BCD的度数是（）A．60°B．80°C．120°D．150°11．若一个多边形的内角和等于1620°，则这个多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．1212．如图，在⊙O中，弦AB＝10，PA＝6㎝，OP＝5㎝，则⊙O的半径R等于（）A ．7㎝B ㎝C ．49㎝D ㎝二、填空题13．若13x y =，则+-x y x y＝_____． 14．将直线y ＝2x+4沿y 轴向下平移3个单位，则得到的新直线所对应的函数表达式为_____． 15．计算：a 2•a 4= ． 16．36的算术平方根是 ．17．如果一个多边形是轴对称图形，那么这个多边形可以是_____（写出一个即可）．18．如图所示的网格是正方形网格，△ABC 是_____三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）三、解答题19．计算（π+2）0+（-2）2- 20．计算下列各式： （1）11112323x y x y ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2222113322x y y x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．21．如图所示，△ABC 为Rt △，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，点E 为边AC 上的点，连结DE ，过点E 作EF ⊥ED 交BC 于F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，已知AC ＝8．（1）如图1所示，当BC ＝6，点G 在边AB 上时，求DE 的长． （2）如图2所示，若12DE EF =，点G 在边BC 上时，求BC 的长．（3）①若14DE EF =，且点G 恰好落在Rt △ABC 的边上，求BC 的长． ②若12DE EF n=（n 为正整数），且点G 恰好落在Rt △ABC 的边上，请直接写出BC 的长． 22．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE 、BF ，交点为G ． 求证：AE ⊥BF ．23．如图，将正方形ABCD 折叠，使点C 与点D 重合于正方形内点P 处，折痕分别为AF 、BE ，如果正方形ABCD 的边长是2，那么△EPF 的面积是_____．24．先化简，再求值：2422x x x +--，其中x ﹣2． 25．计算：（1）（x+2y ）（x ﹣2y ）+4（x+y ）2（2）（212a a -++a ﹣1）÷2244a a a a -++【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．-2 14．y=2x+1 15．16．17．答案不唯一．如：正方形． 18．锐角 三、解答题19．5+ 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别计算得出答案． 【详解】原式=142+-=5+【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 20．(1)221149x y -；（2）44194x y -. 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式计算即可. （2）根据平方差公式计算即可. 【详解】（1）原式222211112349x y x y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）原式＝()2222222244111133392224x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=--=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查平方差公式，解答关键是熟记平方差的形式及找准公式中的“a”“b”.21．（1）DE ＝154；（2）BC ＝4．（3）①BC ＝2，BC ＝，②BC ＝4n或8n -． 【解析】 【分析】（1）利用关系式tan ∠A ＝DE BCAD AC=，即可解决问题． （2）如图2中，设DE ＝x ，则EF ＝EC ＝2x ．证明AE ＝EC ，BC ＝2DE 即可解决问题． （3）①分点G 在BC 或AB 上两种情形分别求解．②解法类似①． 【详解】 （1）如图1中，在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，∴AB=10，∵D是AB中点，∴AD＝DB＝5，∵∠A＝∠A，∴tan∠A＝DE BC AD AC=，∴6 58 DE=，∴154 DE=．（2）如图2中，设DE＝x，则EF＝EC＝2x．∵DE∥BC，AD＝DB，∴AE＝EC＝2x，∴4x＝8，∴x＝2，∴DE＝12 BC，∴BC＝2DE＝4．（3）①当点G落在BC边上时，如图2中，设DE＝x，则EF＝EC＝4x，可得：AE＝EC＝4x，8x＝8，∴x＝1，∴BC＝2DE＝2．当点G落在AB边上时，作DH⊥AC于H，设DH＝x，则CE＝4x，BC＝2x，EH＝4﹣4x，利用△HDE∽△CAB，可得4428x xx-=，解得8x=，则16BC=．②若12DEEF n=（n为正整数）时，同法可知：4BCn=或8n．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．22．证明见解析【解析】【分析】由E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点知CF＝BE，证Rt△ABE≌Rt△BCF得∠BAE＝∠CBF，根据∠BAE+∠BEA＝90°即可得∠CBF+∠BEA＝90°，据此即可得证．【详解】证明：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在Rt△ABE和Rt△BCF中，∵AB BCABE BCF BE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF．【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质与全等三角形的判定与性质．23．12【解析】【分析】过P 作PH ⊥DC 于H ，交AB 于G ，由正方形的性质得到AD ＝AB ＝BC ＝DC ＝2；∠D ＝∠C ＝90°；再根据折叠的性质有PA ＝PB ＝2，∠FPA ＝∠EPB ＝90°，可判断△PAB 为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠APB ＝60°，PG AB ==EPF ＝120°，PH ＝HG ﹣PG ＝2HEP ＝30°，然后根据含30°的直角三角形三边可求出HE ，得到EF ，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过P 作PH ⊥DC 于H ，交AB 于G ，如图， 则PG ⊥AB ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝AB ＝BC ＝DC ＝2；∠D ＝∠C ＝90°，又∵将正方形ABCD 折叠，使点C 与点D 重合于形内点P 处， ∴PA ＝PB ＝2，∠FPA ＝∠EPB ＝90°， ∴△PAB 为等边三角形，∴∠APB ＝60°，PG∴∠EPF ＝120°，PH ＝HG ﹣PG ＝2 ∴∠HEP ＝30°，∴HE （23，∴EF ＝2HE ＝﹣6，∴△EPF 的面积＝12FE•PH＝12（2）（6）＝12．故答案为﹣12．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了正方形和等边三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．24．【解析】 【分析】先把分式化简，再把数代入求值．【详解】原式＝24 22xx x---=24 2xx --＝(2)(2)2x xx+--＝﹣（x+2），当x2时，原式＝22)-+=．【点睛】此题考查分式的加法，关键是寻找最简公分母，也要注意符号的处理．25．（1）5x2+8xy；（2）2 aa +【解析】【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式进行化简，再进行计算即可得到答案；（2）先对212aa-++a﹣1进行通分化简，再根据完全平方公式对2244a aa a-++的分母进行化简，进行计算即可得到答案.【详解】解：（1）（x+2y）（x﹣2y）+4（x+y）2＝x2﹣4y2+4（x+y）2＝x2﹣4y2+4（x2+2xy+y2）＝x2﹣4y2+4x2+8xy+4y2＝5x2+8xy（2）（212aa-++a﹣1）÷2244a aa a-++＝21(1)(2)22a a aa a⎡⎤--++⎢⎥++⎣⎦÷2244a aa a-++＝2221(22)a aaaa++-+--÷2244a aa a-++＝12aa-+÷2(1)(2)a aa-+＝12aa-+×2(2)(1)aa a+-＝2aa．【点睛】本题考查平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式的计算.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在△ABC 中，点D 为AB 上一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，过点E 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点K ，则下列说法正确的是( )A ．DE ADBC EF = B ．FK BFKE FC = C ．DE AEFC EC= D ．BD BFAD FC= 2．小明把一副45,30的直角三角板如图摆放，其中090,45,30C F A D ∠=∠=∠=∠=，则αβ∠+∠等于 （ ）A ．0180B ．0210C ．0360D ．02703．小刚家2017年和2018年的家庭支出情况如图所示，则小刚家2018年教育方面支出的金额比2017年增加了（ ）A ．0.216万元B ．0.108万元C ．0.09万元D ．0.36万元4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接BD ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是（ ）A ．BC=2BEB ．∠A=∠EDAC ．BC=2AD D ．BD ⊥AC5．已知反比例函数(为常数，)的图象经过点，则当-3<x<-2时，函数值的取值范围是( )A.B.C.D.6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，则sin B 的值为（ ）A ．23B ．35C ．34D ．457．据统计，2018年中国粮食总产量达到657900 000吨，数657900 000用科学记数法表示为( ) A ．6.579×107B ．6.579×108C ．6.579×109D ．6.579×10108．下列计算正确的是（ ） A ．222()a b a b +=+ B ．()22424a a -=-C ．532a a a ÷=D ．4711a a a +=9．给出下列算式：①(a 3)2＝a 3×2＝a 6；②a m a n ＝a m+n (m ，n 为正整数)；③[(－x)4]5＝－x 20．其中正确的算式有( )． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且点C 、D 在AB 的异侧，连接AD 、BD 、OD 、OC ，若∠ABD ＝15°，且AD ∥OC ，则∠BOC 的度数为( )A.120°B.105°C.100°D.110°11．甲、乙两人从A 地出发到B 地旅游,甲骑自行车,乙骑摩托车。
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2019三角形综合中高档精选120题1．已知：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，tan∠ABC＝2．过点B作BM∥AC，动点P在射线BM上（点P不与B重合），联结P A并延长到点Q，使∠AQC＝∠ABP．（1）求△ABC的面积；（2）设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接PC，如果△PQC是直角三角形，求BP的长．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC交于点H，∵BM∥AC，∠PBA＝∠BAC＝α＝∠AQC，tan∠ABC＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，设：BH＝a，则AH＝a，则AB2＝AH2+BH2，即：36＝a2+8a2，解得：a＝2，即BH＝2，AH＝，CH＝＝2，则BC＝BH+CH＝9＝AC，∴∠ABC＝∠BAC＝α，S△ABC＝AH•BC＝××9＝18；（2）过点A作AG⊥P A交于点G，∵∠PBA＝∠CBA＝α，AH⊥BC，∴BG＝BH＝2，AG＝AH＝，PG＝x﹣2，AP＝＝，∵∠QAC+∠P AB＝180﹣α，∠P AB+∠APB＝180°﹣α，∴∠QAC＝∠APB，又∠AQC＝∠ABP，∴△ABP∽△CQA，∴，其中：AB＝6，BP＝x，QA＝y，AP＝，AC＝9，CQ＝，y＝（x＞0）；（3）连接PC，△PQC是直角三角形，即∠PCQ＝90°，cos∠PQC＝cosα＝＝…①，其中CQ＝，PQ＝AP+AQ＝y+AP，AP＝，把CQ、P A、AP代入①式整理得：解得：x＝9，即BP的长为9．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝30°，∠DEC＝110°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，∴∠EDC＝30°，∵∠AED＝∠EDC+∠ACB＝30°+40°＝70°∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝110°，故答案为：30，110，∵∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，∴∠BDA＝140°﹣∠BAD∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小，故答案为：小（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）（3）若AD＝DE时，∵AD＝DE，∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时，∵AE＝DE，∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形3．阅读下列材料：小明遇到这样问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点D，在AC延长线上取一点E，若BD＝CE，判断PD与PE的数量关系．小明通过思考发现，可以采用两种方法解决向题：方法一：过点D作DF∥AC，交BC于F，即可解决向题；方法二：过点D、点E分别向直线BC引垂钱，垂足分别是F、G，也可解决问题．（1）请回答：PD与PE的数量关系是PD＝DE；（2）任选上述两种方法中的一种方法，在图1中补全图象，并给出证明；参考小明思考问题的方法，解决问题：（3）如图2，在△ABC中，∠ABC＝α，将AC绕点A顺时针旋转α度后得到AD，过点D作DE∥BC，交AB于点E，BC＝BA，则图中是否存在与DE相等的线段，请找出来并给出证明．【解答】（1）解：结论：PD＝PE．故答案为PD＝DE．（2）证明：方法一：如图1﹣1中，作DF∥AC交BC于F．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AC，∴∠DFB＝∠ACB，∠FDP＝∠E，∴∠B＝∠DFB，∴BD＝DF，∵EC＝BD，∴DF＝EC，∵∠DPF＝∠EPC，∴△DPF≌△EPC（AAS），∴P A＝PE．方法二：如图1﹣2中，作DF⊥BC于F，EG⊥BC交BC的延长线于G．∵AC＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠ECG，∵∠DFB＝∠G＝90°，BD＝EC，∴△DFB≌△EGC（AAS），∴DF＝EG，∵∠DFP＝∠G＝90°，∠DPF＝∠EPG，∴△DPF≌△EPG（AAS），∴PD＝PE．（3）解：结论：DE＝BC．理由：如图2中，∵AD＝AC，BC＝BA，∴∠ADC＝∠ACD，∠BCA＝∠BAC，∵∠DAC＝∠B＝α，∴2∠ACD+α＝180°，2∠BAC+α＝180°，∴∠ACD＝∠BAC，∴CD∥AB，∵DE∥BC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE＝BC．4．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P 作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE 的长．2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为②（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）【解答】解：（1）如图，过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠Q＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵PE⊥AC∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠Q＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），∴DE＝DF+EF＝（AC﹣AF）+AF＝AC＝1；（2）1、补全的图形如下，过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠F AP＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵PE⊥AC∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC+AF），∴DE＝DF﹣EF＝（AC+AF）﹣AF＝AC＝1；2、过点P作PF∥BC交BC的延长线与点F．∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵PE⊥AC∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），∴DE＝EF﹣DF＝（AC+CF）﹣CF＝AC＝1；答案为②．5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒．（1）当x＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP＝cm；（2）当x为何值时，△ABP为等腰三角形．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm，当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，∴点P运动的路程为6.5cm，∴x＝6.5÷1＝，此时CP＝AB＝cm；故答案为：，；（2）△ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且P A＝PB．设CP＝x，则AP＝BP＝4﹣x，在Rt△BCP中，BC2+CP2＝BP2，即32+x2＝（4﹣x）2，解之得：x＝，∴当x为时，△ABP为等腰三角形．6．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N．（1）如图①，若∠BAC＝110°，求∠EAN的度数；（2）如图②，若∠BAC＝80°，求∠EAN的度数；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝∠BAC﹣（∠B+∠C），在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，∴∠EAN＝110°﹣70°＝40°．（2）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，∴∠EAN＝100°﹣80°＝20°．（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；当90°＜α＜180°时，∠EAN＝2α﹣180°．7．定义：若以三条线段a，b，c为边能构成一个直角三角形，则称线段a，b，c是勾股线段组．（1）如图①，已知点M，N是线段AB上的点，线段AM，MN，NB是勾股线段组，若AB＝12，AM＝3，求MN的长；（2）如图②，△ABC中，∠A＝18°，∠B＝27°，边AC，BC的垂直平分线分别交AB 于点M，N，求证：线段AM，MN，NB是勾股线段组；（3）如图③，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，线段AP，BP，CP构成勾股线段组，CP为此线段组的最长线段，求∠APB的度数．【解答】解：（1）由AB＝12，AM＝3，根据三角形三边关系可得AM不可能为最大边，设MN＝x，则BN＝9﹣x，①当MN为最大线段时，依题意得MN2＝BN2+AM2，即x2＝（9﹣x）2+32，解得x＝5；②当BN为最大线段时，依题意得BN2＝MN2+AM2，即（9﹣x）2＝x2+32，解得x＝4；∴MN的长为5或9；（2）如图②，连接CM，CN，∵边AC，BC的垂直平分线分别交AB于点M，N，∴CM＝AM，BN＝CN，∴∠1＝∠A＝18°，∠2＝∠B＝27°，∵∠ACB＝180°﹣18°﹣27°＝135°，∴∠MCN＝135°﹣18°﹣27°＝90°，∴MN2＝MC2+CN2，∴MN2＝MA2+BN2，∴线段AM，MN，NB是勾股线段组；（3）如图③，以BP为边向下作等边三角形BDP，连接CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC，由作法可知∠PBD＝60°，BP＝BD＝PD，∵∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC，∠CBD＝∠BPD﹣∠PBC，∴∠ABP＝∠CBD，∴△ABP≌△CBD（SAS），∴AP＝CD，∵线段AP，BP，CP构成勾股线段组，CP为此线段组的最长线段，∴△PCD是直角三角形，∠PDC＝90°，∵∠PDB＝60°，∴∠BDC＝60°+90°＝150°，∵△ABP≌△CBD，∴∠APB＝∠CDB＝150°．8．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．（1）如图1，①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上．②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为α．（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．【解答】证明：（1）①如图1，连接DA，并延长DA交BC于点M，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴AD＝AC，且AB＝AC，∴AD＝AB＝AC，∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上②∵AD＝AB＝AC∴∠ADB＝∠ABD，∠ADC＝∠ACD，∵∠BAM＝∠ADB+∠ABD，∠MAC＝∠ADC+∠ACD，∴∠BAM＝2∠ADB，∠MAC＝2∠ADC，∴∠BAC＝∠BAM+∠MAC＝2∠ADB+2∠ADC＝2∠BDC＝α∴∠BDC＝故答案为：α（2）如图2，连接CE，∵∠BAC＝60°，AB＝AC∴△ABC是等边三角形∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∵∠BDC＝∴∠BDC＝30°，∵BD⊥DE，∴∠CDE＝60°，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE＝CE，且∠CDE＝60°∴△CDE是等边三角形，∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴BD＝AE，（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，∵在△BOF中，BO+OF≥BC∴当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，如图，过点O作OH⊥BC，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝AC，∠ACB＝45°，且OH⊥BC，∴∠COH＝∠HCO＝45°，∴OH＝HC，∴OC＝HC，∵点O是AC中点，∴AC＝2HC，∴BC＝4HC，∴BH＝BC﹣HC＝3HC∴tan∠FBC＝＝9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP＝x．（1）用含x的代数式表示线段DG的长；（2）设△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）△PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，在Rt△ABD中，AD＝＝4，∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠BPG＝90°，∴△ABD∽△GBP∴∴BG＝BP＝x，∴DG＝BG﹣BD＝x﹣3（2）∵PF∥AC∴△BFP∽△BCA∴即∴BF＝x，∴FD＝BD﹣BF＝3﹣x，∵∠DGE+∠DEG＝∠DGE+∠ABD，∴∠ABD＝∠DEG，∠ADG＝∠ADB＝90°∴△DEG∽△DBA∴∴＝∴DE＝x﹣∴S△DEF＝y＝×DF×DE＝×（3﹣x）×（x﹣）＝﹣x2+x﹣（＜x＜）（3）若EF⊥PG时，∵EF⊥PG，ED⊥FG，∴∠FED+∠DEG＝90°，∠FED+∠EFD＝90°，∴∠EFD＝∠DEG，且∠EDF＝∠EDG，∴△EFD∽△GDE∴∴ED2＝FD×DG∴（x﹣）2＝（3﹣x）（x﹣3）∴5×57x2﹣1138x+225×5＝0∴x＝（不合题意舍去），x＝若EF⊥PF，∴∠PFB+∠EFD＝90°，且∠PFB＝∠ACB，∠ACB+∠DAC＝90°∴∠EFD＝∠DAC，且∠EDF＝∠ADC＝90°，∴△EDF∽△CDA∴∴＝∴x＝综上所述：当BP为或时，△PEF为直角三角形．10．实验中学学生在学习等腰三角形性质“三线合一”时（1）【探究发现】如图1，在△ABC中，若AD平分∠BAC，AD⊥BC时，可以得出AB ＝AC，D为BC中点，请用所学知识证明此结论．（2）【学以致用】如果Rt△BEF和等腰Rt△ABC有一个公共的顶点B，如图2，若顶点C与顶点F也重合，且∠BFE＝∠ACB，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明．（3）【拓展应用】如图3，若顶点C与顶点F不重合，但是∠BFE＝∠ACB仍然成立，【学以致用】中的结论还成立吗？证明你的结论．【解答】解：（1）如图1中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵DA平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADC（ASA），∴AB＝AC，BD＝DC．（2）结论：DF＝2BE．理由：如图2中，延长BE交CA的延长线于K．∵CE平分∠BCK，CE⊥BK，∴由（1）中结论可知：CB＝CK，BE＝KE，∵∠∠BAK＝∠CAD＝∠CEK＝90°，∴∠ABK+∠K＝90°，∠ACE+∠K＝90°，∴∠ABK＝∠ACD，∵AB＝AC，∴△BAK≌△CAD（ASA），CD＝BK，∴CD＝2BE，即DF＝2BE．（3）如图3中，结论不变：DF＝2BE．理由：作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J．∵FK∥AC，∴∠FJB＝∠A＝90°，∠BFK＝∠BCA，∵∠JBF＝45°，∴△BJF是等腰直角三角形，∵∠BFE＝ACB，∴∠BFE＝∠BFJ，由（2）可知：DF＝2BE．11．在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点M，N分别是边AB，BC上的动点，△BMN与△B′MN关于直线MN对称，点B的对称点为B′．（1）如图1，当B′在边AC上时，若∠CNB′＝25°，求∠AMB′的度数；（2）如图2，当∠BMB′＝30°且CN＝MN时，若CM•BC＝2，求△AMC的面积；（3）如图3，当M是AB边上的中点，B′N交AC于点D，若B′N∥AB，求证：B′D ＝CN．【解答】解：（1）如图中，∵∠C＝90°，CA＝CB，∴∠A＝∠B＝45°，∵△MNB′是由△MNB翻折得到，∴∠B＝∠B′＝45°，∠MNB＝∠MNB′＝（180°﹣25°）＝77.5°，∴∠NMB＝∠NMB′＝57.5°，∴∠BMB°＝115°，∴∠AMB′＝180°﹣115°＝65°．（2）如图2中，作MH⊥AC于H．∵△MNB′是由△MNB翻折得到，∠BMB′＝30°，∴∠BMN＝∠NMB′＝15°，∵∠B＝45°，∴∠CNM＝∠B+∠NMB＝60°，∵CN＝MN，∴△CMN是等边三角形，∴∠MCN＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACM＝30°，∵MH⊥AC，∴∠MHC＝90°，∴MH＝CM，∵S△ACM＝•AC•MH＝•BC•CM＝CM•BC＝（3）如图3中，设AM＝BM＝a，则AC＝BC＝a．∵NB′∥AB，∴∠CND＝∠B＝45°，∠MND∠NMB，∵∠MNB＝∠MND，∴∠BMN＝∠MNB，∴MB＝BN＝a，∴CN＝a﹣a，∵∠C＝90°，∴∠CDN＝∠CND＝45°，∴CD＝CN，∵CA＝CB，∴AD＝BN＝a，设AD交MB′于点O，易知AO＝OM＝a，OB′＝OD＝a﹣a，∴DB′＝OD＝a﹣a，∴B′D＝CN．12．如图，点O为线段AD上一点，CO⊥AD于点O，OA＝OB，OC＝OD，点M、N分别是AC、BD的中点，连接OM、ON、MN．（1）求证：AC＝BD；（2）试判断△MON的形状，并说明理由；（3）若AC＝2，在图2中，点M在DB的延长线上，求△AMD的面积．【解答】解：（1）如图2中，∵CO⊥AD，∴∠AOC＝∠DOB＝90°，∵OA＝OB，OC＝OD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD．（2）结论：△MON是等腰直角三角形．理由：∵AM＝CM，BN＝ND，∠AOC＝∠DOB＝90°∴OM＝AC，ON＝BD，∵△AOC≌△BOD，∴∠C＝∠D，AC＝BD，∴OM＝ON，∵OM＝CM，ON＝ND，∴∠C＝∠MOC，∠D＝∠NOD，∴∠MOC＝∠NOD，∴∠MON＝∠COD＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．（3）如图2中，连接AB．∵△AOC≌△BOD，∴∠C＝∠D，∵∠CBM＝∠OBD，∴∠CMB＝∠DOB＝90°，∴MB⊥AC，∵MA＝CM，∴BC＝BA，∵△MON是等腰直角三角形，∴∠MNO＝45°＝∠D+∠NOD，∵NO＝ND，∴∠NOD＝∠D＝22.5°，∴∠C＝∠BAC＝22.5°，∴∠ABO＝∠C+∠BAC＝45°，∴AO＝OB，设OA＝OB＝a，则AB＝BC＝a，在Rt△AOC中，∵AC2＝OA2+OC2，∴4＝a2+（a+a）2，∴a2＝2﹣，∵OM＝ON，∠MOC＝∠NOD，OC＝OD，∴△MOC≌△NOD（SAS），∴S△AMD＝S△AOM+S△MON+S△NOD＝S△AMO+S△MOC+S△MON＝S△AOC+S△MON＝•a•（a+a）+×1×1＝．13．情景观察：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，CD与AE相交于点F．①写出图1中两对全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②线段AF与线段CE的数量关系是AF＝2CE．问题探究：（2）如图2，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝45°，AD平分∠BAC，且AD ⊥CD于D，AD与BC交于点E．求证：AE＝2CD．拓展延伸：（3）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝45°，点D在AC上，∠EDC ＝∠BAC，DE⊥CE于E，DE与BC交于点F．求证：DF＝2CE．【解答】解：情景观察：（1）①∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BE＝EC＝BC，且AB＝AC，AE＝AE∴△ABE≌△ACE（SSS）∵CD⊥AB，∠BAC＝45°∴∠BAC＝∠ACD＝45°∴AD＝CD，∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠B+∠BAE＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠BAE＝∠BCD，且∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝CD，∴△ADF≌△CDB（ASA）故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；∵△ADF≌△CDB∴BC＝AF∴AF＝2CE故答案为：AF＝2CE；问题探究：（2）如图，延长AB、CD交于点G，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD＝GD，即CG＝2CD，∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°∴∠ABC＝90°＝∠CBG＝90°，∴∠G+∠BCG＝90°，∵∠G+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ADC≌△CBG（ASA），∴AE＝CG＝2CD拓展延伸：（3）如图，作DG⊥BC于点H，交CE的延长线于G，∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB⊥BC，且DG⊥BC，∴DG∥AB，∴∠GDC＝∠BAC＝45°，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EDC＝∠BAC＝22.5°＝∠EDG，∴DH＝CH，又∵DE⊥CE，∴∠DEC＝∠DEG＝90°，在△DEC和△DEG中，，∴△DEC≌△DEG（ASA），∴DC＝DG，GE＝CE，∵∠DHF＝∠CEF＝90°，∠DFH＝∠CFE，∴∠FDH＝∠GCH，在△DHF和△CHG中，，∴△DHF≌△CHG（ASA），∴DF＝CG＝2CE．14．八年级数学课上，老师出示了如下框中的题目．小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况入手探索：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE＝DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）一般情况进行论证：对原题中的一般情形，二人讨论后得出（1）中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与△EBD全等来证明．以下是他们的部分证明过程：证明：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．……（请完成余下的证明过程）（3）应用结论解决问题：在边长为3的等边三角形ABC中，点E在直线AB上，且AE＝1，点D在直线BC上，ED＝EC．则EC＝2或4（直接写出结果）．【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∵EF∥BC∴∠AFE＝∠AEF＝∠ABC＝60°，∠FEC＝∠ECB ∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF＝AF∴∠EFC＝∠EBD＝120°，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，且∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，故答案为：＝；（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∵EF∥BC∴∠AFE＝∠AEF＝∠ABC＝60°，∠FEC＝∠ECB∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF＝AF∴∠EFC＝∠EBD＝120°，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，且∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，（3）因为AE＝1，△ABC的边长为3，所以E点可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，当点E在AB时，由（2）可知BD＝AE＝1，则CD＝BC+BD＝1+3＝4，当点E在BA的延长线上时，如图3，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵ED＝EC∴∠EDC＝∠ECD∵EF∥BC∴∠F＝∠FCB＝∠B＝60°，∠FEC+∠ECD＝∠FEC+∠EDC＝180°，∴∠EDB＝∠FEC，△AEF是等边三角形，∴AE＝EF在△BDE和△FEC中，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴EF＝BD，∴BD＝EF＝AE＝1，∴CD＝BC﹣BD＝3﹣1＝2，故答案为：2或4．15．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用己有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？【解答】解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，方案2：AM+BM＝A′B＝＝，∵6＜，∴方案1更合适；（2）如图，①AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，CQ1＝CQ4＝＝2，∴QG＝2+2或2﹣2；②AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，DQ＝＝3，∴QG＝3+2＝5或3﹣2＝1，③当AQ3＝BQ3时，（GQ3+2）2+11＝（2﹣GQ3）2+42，解得：GQ3＝，故当GQ＝2+2或2﹣2或5或1或时，△ABQ为等腰三角形．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．（1）求证：△DCE为等腰三角形；（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝，求GH的长；（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，∵BD＝DE，∴∠DBC＝∠E＝∠ACB，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝∠ACB＝∠E，∴CD＝CE，∴△DCE是等腰三角形（2）∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE＝，∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，∴∠HDC＝∠DCH＝45°∴DH＝CH，∵DH2+CH2＝DC2＝2，∴DH＝CH＝1，∵∠ABC＝∠DCH＝45°∴△ABC是等腰直角三角形，又∵点G是BC中点∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，∵BD＝DE，DH⊥BC∴BH＝HE＝+1∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝+1∴1+2GH＝+1∴GH＝（3）CE＝2GH理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，∵BD＝DE，DH⊥BC，∴BH＝HE，∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝BC﹣BE+CE＝CE，∴CE＝2GH17．定义：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD＝∠B，则称满足这样条件的点为△ABC的“理想点”（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长；（3）如图，已知平面直角坐标系中，点A（0，2），B（0，﹣3），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，在y轴上是否存在一点D，使点A，B，C，D中的某一点是其余三点围成的三角形的“理想点”．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）结论：点D是△ABC的“理想点”．理由：如图①中，∵D是AB中点，AB＝4，∴AD＝DB＝2，∵AC2＝（2）2＝8，AD•AB＝8，∴AC2＝AD•AB，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∴点D是△ABC的“理想点”，（2）如图②中，∵点D是△ABC的“理想点”，∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，当∠ACD＝∠B时，∵∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠CDB＝90°，当∠BCD＝∠A时，同法证明：CD⊥AB，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∵•AB•CD＝•AC•BC，∴CD＝．（3）如图③中，存在．有三种情形：过点A作MA⊥AC交CB的延长线于M，作MH⊥y轴于H．∵∠MAC＝∠AOC＝∠AHM＝90°，∠ACM＝45°，∴∠AMC＝∠ACM＝45°，∴AM＝AC，∵∠MAH+∠CAO＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠MAH＝∠ACO，∴△AHM≌△COA（AAS），∴MH＝OA，OC＝AH，设C（a，0），∵A（0，2），B（0，﹣3），∴OA＝MH＝2，OB＝3．AB＝5，OC＝AH＝a，BH＝a﹣5，∵MH∥OC，∴＝，∴＝，解得a＝6或﹣1（舍弃），经检验a＝6是分式方程的解，∴C（6，0），OC＝6，①当∠D1CA＝∠ABC时，点A是△BCD1的“理想点”．设D1（0，m），∵∠D1CA＝∠ABC，∠CD1A＝∠CD1B，∴△D1AC∽△D1CB，∴CD12＝D1A•D1B，∴m2+62＝（m﹣2）（m+3），解得m＝42，∴D1（0，42）．②当∠BCA＝∠CD2B时，点A是△BCD2的“理想点”．易知：∠CD2O＝45°，∴OD2＝OC＝6，∴D2（0，6）．③当∠BCA＝∠AD3C时，点B是△ACD3的“理想点”．易知：∠CD3O＝45°，∴OD3＝OC＝6，∴D3（0，﹣6）．综上所述，满足条件的点D坐标为（0，42）或（0，6）或（0，﹣6）．18．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A 沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为1cm/s，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为t秒，连接AQ、CP交于点M；（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）点P、Q在运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数；（3）当t为何值时△PBQ是直角三角形？【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS）．（2）不变．由（1）知△ABQ≌△CAP，∵∠QMC是△AMC的一个外角，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．∴∠CMQ＝60°．（3）由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，解得t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三形．19．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF ＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．【解答】（1）证明：∵在△AED和△CEF中∴△AED≌△CEF（SAS），∴∠A＝∠ACF，∴CF∥AB；（2）解：∵AC平分∠BCF，∵∠A＝∠ACF，∴∠A＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，∴2∠A＝130°，∴∠A＝65°．20．已知：如图，AF平分∠BAC，BC垂直平分AD，垂足为E，CF上一点P，连结PB交线段AF相交于点M．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠DAC＝∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵BC垂直平分AD，∴AC＝CD，∠CAD＝∠CDA，∵AF平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠CDA＝∠BAD，∴AB∥CD；（2）结论：∠F＝∠MCD，理由：∵∠DAC＝∠CDA，∠DAC＝∠MPC，∴∠CDA＝∠MPC，又∵∠CDA+∠CDM＝180°，∠MPC+∠MPF＝180°，∴∠CDM＝∠MPF；又∵AF平分∠BAC，AE⊥BC，AE＝AE．∴△ACE≌△ABE（ASA），∴AC＝AB．又∵AF平分∠BAC，AM＝AM，∴△ACM≌△ABM（SAS），∴∠AMC＝∠AMB，又∵∠AMB＝∠PMF．∴∠AMC＝∠PMF．又∵∠AMC+∠MCD+∠CDM＝180°，∠PMF+∠MPF+∠F＝180°，∴∠F＝∠MCD．21．已知∠ACB＝90°，AC＝2，CB＝4．点P为线段CB上一动点，连接AP，△APC与△APC′关于直线AP对称，其中点C的对称点为点C′．直线m过点A且平行于CB （1）如图①：连接AB，当点C落在线段AB上时，求BC′的长；（2）如图②：当PC＝BC时，延长PC′交直线m于点D，求△ADC′面积；（3）在（2）的条件下，连接BC′，直接写出线段BC′的长．【解答】解：（1）∵AC＝2，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∵△APC与△APC′关于直线AP对称，∴AC＝AC′＝2，则BC′＝AB﹣AC′＝2﹣2；（2）∵PC＝BC，BC＝4，∴PC＝1，BP＝3，∵△APC与△APC′关于直线AP对称，∴AC＝AC′＝2，PC＝PC′＝1，∠AC′P＝90°，如图，过点C′作C′M⊥直线m，延长MC′交BC于点N，∵AD∥BC，∴MN⊥BC，则∠AMC′＝∠C′NP＝90°，∴四边形ACNM是矩形，∴AC＝MN＝2，AM＝CN，又∠AC′P＝90°，∴△AMC′∽△C′NP，∴＝＝＝2，设C′N＝x，则MC′＝2﹣x，∴＝＝2，解得AM＝2x，PN＝，由AM＝CN＝CP+PN可得2x＝1+，解得x＝，则C′N＝，C′M＝，AM＝，PN＝，∵AD∥BC，∴△DMC′∽△PNC′，∴＝，即＝，解得：DM＝，∴AD＝AM+DM＝，∴△ADC′面积为××＝；（3）由（2）知PB＝3，PN＝，C′N＝，∴BN＝PB﹣PN＝，在Rt△BC′N中，BC′＝＝＝．22．如图1，在四边形ABCD中，点E为AB延长线上一点，连接EC并延长交AD延长线于点F，∠FDC＝∠CBE，∠F＝180°﹣∠BCF（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，连接BF交CD于点G，连接AG，若AG为∠F AE的角平分线，BC为∠FBE的角平分线，过点B作BH⊥BC交AG于点H，求证：2∠BHG＝∠BGC+∠CBG；（3）在（2）的条件下，若∠BHG＝65°，∠AGB：∠E＝3：2，求∠BFE的度数．【解答】证明：（1）如图1，∵∠F＝180°﹣∠BCF，∴∠F+∠BCF＝180°，∴AF∥BC，∴∠FDC＝∠DCB，∵∠FDC＝∠CBE，∴∠DCB＝∠CBE，∴AB∥CD；（2）如图2，∵BH⊥BC，∴∠HBC＝90°＝∠CBE+∠ABH，∵BC为∠FBE的角平分线，∴∠FBC＝∠CBE，∴∠ABH＝∠HBG，∵∠BHG＝∠HBA+∠HAB，∴2∠BHG＝2∠HBA+2∠HAB＝∠ABG+2∠HAB，∵AG为∠F AE的角平分线，∴∠F AE＝2∠HAB，∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠BGC，∠F AE＝∠FDC＝∠CBE＝∠CBG，∴2∠BHG＝∠BGC+∠F AE＝∠BGC+∠FDC＝∠BGC+∠CBG；（3）由（2）知：2∠BHG＝∠BGC+∠CBG，∵∠BHG＝65°，∴∠BGC+∠CBG＝130°，∴∠BCG＝50°，∵AB∥CD，∴∠DCB＝∠CBE＝∠CBG＝50°，∴∠HBG＝90°﹣50°＝40°，△HBG中，∠HGB＝180°﹣65°﹣40°＝75°，∵∠AGB：∠E＝3：2，∴∠E＝50°，△FBE中，∠BFE＝180°﹣∠FBE﹣∠E＝180°﹣100°﹣50°＝30°．23．（1）如图1，D是等边三角形ABC边BA上一动点（点D）与点B不重合，连接CD，以CD为边在BC上方作等边三角形DCE，连接AE，你能发现AE与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）如图二，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边三角形DCE和等边三角形DCF，连接AE，BF，探究AE，BF与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．（3）如图三，当动点D在等边三角形ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与图2相同，若AE＝8，BF＝2，请直接写出AB＝6．【解答】解：（1）AE＝BD理由如下：∵△ABC和△DCE是等边三角形∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠BCD，且AC＝BC，DC＝CE∴△BCD≌△ACE（SAS）∴AE＝BD（2）AB＝AE+BF，理由如下：∵△ABC和△DCF是等边三角形，∴AC＝BC，CF＝CD，∠FCD＝∠BCA＝60°，∴∠FCB＝∠DCA，且AC＝BC，CF＝CD，∴△ACD≌△BCF（SAS）∴BF＝AD，由（1）可知，BD＝AE，∵AB＝BD+AD，∴AB＝AE+BF（3）∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，DC＝CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴AE＝BD＝8，∵△ABC和△DCF是等边三角形，∴AC＝BC，CF＝CD，∠FCD＝∠BCA＝60°，∴∠FCB＝∠DCA，且AC＝BC，CF＝CD，∴△ACD≌△BCF（SAS）∴BF＝AD＝2，∵AB＝BD﹣AD∴AB＝8﹣2＝6故答案为：624．如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D．点P为线段CD上一点（不与端点C、D重合），PE⊥P A，PE与BC的延长线交于点E，与AC交于点F，连接AE、AP、BP．（1）求证：AP＝BP；（2）求∠EAP的度数；（3）探究线段EC、PD之间的数量关系，并证明．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝∠CAD＝∠DBC＝45°，∴CD是AB的垂直平分线∴AP＝BP，（2）∵∠ACE＝∠APE＝90°，∴点A，点P，点C，点E四点共圆，∴∠AEP＝∠ACD＝45°，且AP⊥EP，∴∠EAP＝45°（3）EC＝PD，理由如下：如图，过点E作EH⊥CD于点H，∵∠EAP＝∠AEP＝45°，∴AP＝PE，∵∠APE＝90°＝∠ADP∴∠APD+∠P AD＝90°，∠APD+∠EPH＝90°，∴∠P AD＝∠EPH，且AP＝PE，∠EHP＝∠ADP＝90°∴△APD≌△PEH（AAS）∴EH＝PD，∵∠ECH＝∠DCB＝45°，EH⊥CD∴∠HEC＝∠HCE＝45°∴EH＝CH在Rt△ECH中，EC＝＝EH∴EC＝PD．25．学习与探究：在等边△ABC中，P是射线AB上的一点．（1）探索实践：如图1，P是边AB的中点，D是线段CP上的一个动点，以CD为边向右侧作等边△CDE，DE与BC交于点M，连结BE．①求证：AD＝BE；②连结BD，当DB+DM最小时，试在图2中确定D的位置，并说明理由；（要求用尺规作图，保留作图痕迹）③在②的条件下，求△CME与△ACM的面积之比．（2）思维拓展：如图3，点P在边AB的延长线上，连接CP，点B关于直线CP的对称点为B'，连结AB'，CB'，AB'交BC于点N，交直线CP于点G，连结BG．请判断∠AGC与∠AGB的大小关系，并证明你的结论．【解答】证明：（1）探索实践①在等边△ABC与等边△CDE中AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCM＝∠DCM+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE（2）②如图，作∠BAC的平分线交CP于D，连结BD，∵P是边等边△ABC中AB边的中点∴CP是AB边上的中线，由“等腰三角形的三线合一”性质知，CP是AB的垂直平分线，CP平分∠ACB，∴DB＝DA，∠PCB＝30°要使DB+DM最小，只要DA+DM最小，即当A，D，M共线时，且AM⊥BC时，AM最小，此时DB+DM最小③∵∠ACD＝∠CAD＝∠DCM＝∠ECM＝30°，CM⊥AM∴DC＝DA＝DE，DM＝EM＝DE，∴AM＝3ME又∵Rt△CME的边ME上的高与Rt△ACM的边AM上的高均是CM∴S△CME：S△ACM＝1：3（2）思维拓展∠AGC＝∠AGB理由如下：∵点B关于直线CP的对称点为B'，∴BC＝CB'，∠CB'G＝∠CBG，∴AC＝BC＝B'C∴∠CAB'＝∠CB'A，∴∠CAB'＝∠CBG，∴点A，点B，点G，点C四点共圆，∴∠AGC＝∠ABC＝60°，∠AGB＝∠ACB＝60°，∴∠AGC＝∠AGB26．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OA＝OB，△AOB的面积为18．过点A作直线l⊥y轴．（1）求点A的坐标；（2）点C是第一象限直线l上一动点，连接BC，过点B作BD⊥BC，交y轴于点设点D 的纵坐标为t，点C的横坐标为d，求t与d的关系式；（3）在（2）的条件下，过点D作直线DF∥AB，交x轴于点F，交直线l于点E，OF ＝EC时，求点E的坐标．【解答】解：（1）∵△AOB的面积为18，OA•OB＝18，∵OA＝OB，∴OA2＝36，∴OA＝6，∴A（0，6）；（2）①当0＜d＜6时，如图1，过点C作CH⊥x轴于H，∴∠BCH+∠CBH＝90°，∵∠CBD＝90°，∴∠CBH+∠DBO＝90°，∴∠BCH＝∠DBO，∵AC∥x轴，∴CH＝OA，∵OA＝OB，∴CH＝OB，∴△BCH≌△DBO（AAS），∴BH＝OD，由（1）知，OB＝OA＝6，∵C的横坐标为d，∴BH＝6﹣d，∴OD＝6﹣d，∴6﹣d＝﹣t，∴d﹣t＝6，②当d＞6时，同①的方法得，d﹣t＝6，③当d＝6时，t＝0，∴d﹣t＝6，即：t与d的关系式为d﹣t＝6；（3）①当0＜d＜6时，如图2，∵OA＝OB，∴∠ABO＝45°，∵EF∥AB，∴∠EFG＝45°，∴∠OFD＝45°，∴∠ODF＝45°＝∠ODF，∴OF＝OD＝﹣t，同理：AE＝AD＝6﹣t，∴CE＝AE+AC＝6﹣t+d，∵OF＝EC，∴6﹣t+d＝6×（﹣t），∴5t+d+6＝0，由（2）知，d﹣t＝6，∴t＝﹣2，d＝4∴AE＝8，∴E（﹣8，6），②当d＞6时，同①的方法得，E（﹣4，6），③当d＝6时，点E不存在，即：满足条件的点E的坐标为（﹣8，6）或（﹣4，6）．27．已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．（1）如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．（2）如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′．①依题意补全图2；②请直接写出线段AC′的长度．【解答】（1）△ADP是等腰直角三角形．证明：∵BC＝5，BP＝4，∴PC＝1，∵AB＝1，∴PC＝AB．∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，∴∠B＝∠C＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∠PDC+∠DPC＝90°，∴∠APB＝∠PDC，在△ABP和△PCD中，∴△ABP≌△PCD（AAS）∴AP＝PD，∵∠APD＝90°，∴△ADP是等腰直角三角形．（2）①依题意补全图2；②∵BP＝1，AB＝1，BC＝5，∴CP＝4，AB＝AP，∵∠ABP＝90°，∴∠APB＝45°，∵∠APD＝90°，∴∠CPD＝45°，连接C'P，∵点C与C'关于DP对称，∴C'P＝CP＝4，∠C'PD＝∠CPD＝45°，∴∠CPC'＝90°，∴∠BPC'＝90°，过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q，∴∠Q＝90°＝∠ABP＝∠BPC'，∴四边形BQC'P是矩形，∴C'Q＝BP＝1，BQ＝C'P＝4，∴AQ＝BQ﹣AB＝3，在Rt△AC'Q中，AC′＝28．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB＝6，AC＝8．点P、Q、R分别在AB、BC、CA 边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C 出发以每秒4个单位的速度向点A运动，用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，在运动过程中：（1）当t为何值时，△APR的面积为4；。