2017届高考数学大一轮复习第五章数列第4课时数列求

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n 2 1 - 2 2 3 n n+1 ①-②,得-Sn=2+2 +2 +…+2 -n· 2 = -n· 2n 1-2
+1
=2n+1-2-n· 2n+1=-(n-1)· 2n+1-2, ∴Sn=(n-1)2n+1+2.
答案:(n-1)2n 1+2

5.数列{an}的通项公式是an=
1 n+ n+1
等比
数列的前n项和公式就是用此法推导的.
4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相 互抵消,从而求得其和. 5.分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求 和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加 减.
6.并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求 和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如:Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+ (98+97)+…+(2+1)=5 050.
答案:A
2.(2016· 太原模拟)设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且 a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( n2 7n A. 4 + 4 n2 3n C. 2 + 4
解析:∵a
2 3
)
n2 5n B. 3 + 3 D.n2+n
1 =a1· a6即(2+2d) =2(2+5d)解得d= 2 或d=

(2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn. 记数列 bn 的前2n项和为T2n,则 T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n). 记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n, 21-22n 2n+1 则A= =2 -2, 1-2 B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n, 故数列 bn 的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
1 1 1 1 2 5+…+(2n-1)]+ 2+22+…+2n =n +1-2n.故选A.
2
答案:A
4.(教材改编题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=n· 2n, 则Sn等于______.
解析:∵Sn=2+2· 22+3· 23+…+n· 2n,① 2Sn=22+2· 23+3· 24+…+n· 2n+1.②
审题视点 第(1)问由已知条件列出关于p、q的方程组求解; 第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解.
解 (1)由x1=3,得2p+q=3,又因为x4=24p+4q,x5=25p +5q,且x1+x5=2x4,得3+25p+5q=25p+8q,解得p=1,q=1. (2)由(1),知xn=2n+n,所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2 +…+n)=2

N+. (1)求数列 an 的通项公式; (2)设bn=2an+(-1) an,求数列 bn 的前2n项和.
n

解:(1)当n=1时,a1=S1=1; n2+n n-12+n-1 当n≥2时,an=Sn-Sn-1= 2 - =n. 2 故数列 an 的通项公式为an=n.
,若数列的前n项
和为10,则项数n为________. 1 解析:∵an= = n+1- n n+ n+1
∴Sn=( 2-1)+( 3- 2)+…+( n+1- n)= n+1-1 令 n+1-1=10得n=120.
答案:120
考点一
分组转化法与公式法求和
[例1] 已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N+, p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求: (1)p,q的值;(2)数列{xn}前n项和Sn的公式.
主干回顾 考点研析 素能提升
夯基固源 题组冲关 学科培优
课时规范训练
第4课时
பைடு நூலகம்
数列求和
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.
数列求和的常用方法 1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 na1+an (1)等差数列的前n项和公式:Sn= = 2
nn-1 na1+ 2 d

(2)等比数列的前n项和公式: na1,q=1, Sn=a1-anq a11-qn = q≠1. 1 - q 1 - q
2.倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序 相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对 应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求, 如
解析:记bn=3n-2,则数列{bn}是以1为首项,3为公差的等 差数列,所以a1+a2+…+a9+a10=(-b1)+b2+…+(-b9)+b10 =(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b10-b9)=5×3=15.故选A.
答案:A
n2+n 2.(2014· 高考湖南卷)已知数列 an 的前n项和Sn= 2 ,n∈
[基础自测] 1 1.数列{an}的前n项和为Sn,若an= ,则S8等于 n+1n+2
2 A.5
1 7 B.30 C.30 1 1 解析:∵an= - , n+1 n+2
5 D.6
(
)
1 1 1 1 1 1 1 1 2 ∴S8=2-3+3-4+…+9-10=2-10=5.
n+1
nn+1 -2+ 2 .
非等差、非等比数列求和的最关键步骤是“转化”,即根据 通项公式的特点,利用拆项分组的方法,拆分为等差或等比数列 的和或差,再进行求和运算.
1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n· (3n-2),则a1+a2 +…+a10=( A.15 C.-12 ) B.12 D.-15
2
nn-1 nn-1 1 n2 7n 0(舍),∴Sn=na1+ 2 d=2n+ 2 ×2= 4 + 4 .
答案:A
1 1 1 1 1 3.数列12,34,58,716,…,(2n-1)+2n,…的前n项和Sn 的值为(
2
) 1 B.2n -n+1-2n
2 2
1 A.n +1-2n
2
1 C.n +1- n-1 D.n -n+1-2n 2 1 解析:该数列的通项公式为an=(2n-1)+ 2n ,则Sn=[1+3+
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