2017届高考数学大一轮复习第五章数列第4课时数列求
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n 2 1 － 2 2 3 n n＋1 ①－②，得－Sn＝2＋2 ＋2 ＋…＋2 －n· 2 ＝ －n· 2n 1－2
＋1
＝2n＋1－2－n· 2n＋1＝－(n－1)· 2n＋1－2， ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
答案：(n－1)2n 1＋2
＋
5．数列{an}的通项公式是an＝
1 n＋ n＋1
等比
数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相 互抵消，从而求得其和． 5．分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求 和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加 减．
6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求 和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋ (98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
答案：A
2．(2016· 太原模拟)设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且 a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( n2 7n A. 4 ＋ 4 n2 3n C. 2 ＋ 4
解析：∵a
2 3
)
n2 5n B. 3 ＋ 3 D．n2＋n
1 ＝a1· a6即(2＋2d) ＝2(2＋5d)解得d＝ 2 或d＝
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列 bn 的前2n项和为T2n，则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 21－22n 2n＋1 则A＝ ＝2 －2， 1－2 B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n， 故数列 bn 的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
1 1 1 1 2 5＋…＋(2n－1)]＋ 2＋22＋…＋2n ＝n ＋1－2n.故选A.
2
答案：A
4．(教材改编题)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n· 2n， 则Sn等于______．
解析：∵Sn＝2＋2· 22＋3· 23＋…＋n· 2n，① 2Sn＝22＋2· 23＋3· 24＋…＋n· 2n＋1.②
审题视点 第(1)问由已知条件列出关于p、q的方程组求解； 第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．
解 (1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p ＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1. (2)由(1)，知xn＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2 ＋…＋n)＝2
N＋. (1)求数列 an 的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1) an，求数列 bn 的前2n项和．
n
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； n2＋n n－12＋n－1 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ 2 － ＝n. 2 故数列 an 的通项公式为an＝n.
，若数列的前n项
和为10，则项数n为________． 1 解析：∵an＝ ＝ n＋1－ n n＋ n＋1
∴Sn＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)＝ n＋1－1 令 n＋1－1＝10得n＝120.
答案：120
考点一
分组转化法与公式法求和
[例1] 已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋， p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求： (1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．
主干回顾 考点研析 素能提升
夯基固源 题组冲关 学科培优
课时规范训练
第4课时
பைடு நூலகம்
数列求和
1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
数列求和的常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 na1＋an (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝ ＝ 2
nn－1 na1＋ 2 d
；
(2)等比数列的前n项和公式： na1，q＝1， Sn＝a1－anq a11－qn ＝ q≠1. 1 － q 1 － q
2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序 相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对 应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求， 如
解析：记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等 差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10 ＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.故选A.
答案：A
n2＋n 2．(2014· 高考湖南卷)已知数列 an 的前n项和Sn＝ 2 ，n∈
[基础自测] 1 1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝ ，则S8等于 n＋1n＋2
2 A.5
1 7 B.30 C.30 1 1 解析：∵an＝ － ， n＋1 n＋2
5 D.6
(
)
1 1 1 1 1 1 1 1 2 ∴S8＝2－3＋3－4＋…＋9－10＝2－10＝5.
n＋1
nn＋1 －2＋ 2 .
非等差、非等比数列求和的最关键步骤是“转化”，即根据 通项公式的特点，利用拆项分组的方法，拆分为等差或等比数列 的和或差，再进行求和运算．
1．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n· (3n－2)，则a1＋a2 ＋…＋a10＝( A．15 C．－12 ) B．12 D．－15
2
nn－1 nn－1 1 n2 7n 0(舍)，∴Sn＝na1＋ 2 d＝2n＋ 2 ×2＝ 4 ＋ 4 .
答案：A
1 1 1 1 1 3．数列12，34，58，716，…，(2n－1)＋2n，…的前n项和Sn 的值为(
2
) 1 B．2n －n＋1－2n
2 2
1 A．n ＋1－2n
2
1 C．n ＋1－ n－1 D．n －n＋1－2n 2 1 解析：该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋ 2n ，则Sn＝[1＋3＋
＋1
＝2n＋1－2－n· 2n＋1＝－(n－1)· 2n＋1－2， ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
答案：(n－1)2n 1＋2
＋
5．数列{an}的通项公式是an＝
1 n＋ n＋1
等比
数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相 互抵消，从而求得其和． 5．分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求 和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加 减．
6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求 和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋ (98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
答案：A
2．(2016· 太原模拟)设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且 a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( n2 7n A. 4 ＋ 4 n2 3n C. 2 ＋ 4
解析：∵a
2 3
)
n2 5n B. 3 ＋ 3 D．n2＋n
1 ＝a1· a6即(2＋2d) ＝2(2＋5d)解得d＝ 2 或d＝
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列 bn 的前2n项和为T2n，则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 21－22n 2n＋1 则A＝ ＝2 －2， 1－2 B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n， 故数列 bn 的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
1 1 1 1 2 5＋…＋(2n－1)]＋ 2＋22＋…＋2n ＝n ＋1－2n.故选A.
2
答案：A
4．(教材改编题)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n· 2n， 则Sn等于______．
解析：∵Sn＝2＋2· 22＋3· 23＋…＋n· 2n，① 2Sn＝22＋2· 23＋3· 24＋…＋n· 2n＋1.②
审题视点 第(1)问由已知条件列出关于p、q的方程组求解； 第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．
解 (1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p ＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1. (2)由(1)，知xn＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2 ＋…＋n)＝2
N＋. (1)求数列 an 的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1) an，求数列 bn 的前2n项和．
n
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； n2＋n n－12＋n－1 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ 2 － ＝n. 2 故数列 an 的通项公式为an＝n.
，若数列的前n项
和为10，则项数n为________． 1 解析：∵an＝ ＝ n＋1－ n n＋ n＋1
∴Sn＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)＝ n＋1－1 令 n＋1－1＝10得n＝120.
答案：120
考点一
分组转化法与公式法求和
[例1] 已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋， p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求： (1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．
主干回顾 考点研析 素能提升
夯基固源 题组冲关 学科培优
课时规范训练
第4课时
பைடு நூலகம்
数列求和
1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
数列求和的常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 na1＋an (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝ ＝ 2
nn－1 na1＋ 2 d
；
(2)等比数列的前n项和公式： na1，q＝1， Sn＝a1－anq a11－qn ＝ q≠1. 1 － q 1 － q
2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序 相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对 应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求， 如
解析：记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等 差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10 ＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.故选A.
答案：A
n2＋n 2．(2014· 高考湖南卷)已知数列 an 的前n项和Sn＝ 2 ，n∈
[基础自测] 1 1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝ ，则S8等于 n＋1n＋2
2 A.5
1 7 B.30 C.30 1 1 解析：∵an＝ － ， n＋1 n＋2
5 D.6
(
)
1 1 1 1 1 1 1 1 2 ∴S8＝2－3＋3－4＋…＋9－10＝2－10＝5.
n＋1
nn＋1 －2＋ 2 .
非等差、非等比数列求和的最关键步骤是“转化”，即根据 通项公式的特点，利用拆项分组的方法，拆分为等差或等比数列 的和或差，再进行求和运算．
1．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n· (3n－2)，则a1＋a2 ＋…＋a10＝( A．15 C．－12 ) B．12 D．－15
2
nn－1 nn－1 1 n2 7n 0(舍)，∴Sn＝na1＋ 2 d＝2n＋ 2 ×2＝ 4 ＋ 4 .
答案：A
1 1 1 1 1 3．数列12，34，58，716，…，(2n－1)＋2n，…的前n项和Sn 的值为(
2
) 1 B．2n －n＋1－2n
2 2
1 A．n ＋1－2n
2
1 C．n ＋1－ n－1 D．n －n＋1－2n 2 1 解析：该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋ 2n ，则Sn＝[1＋3＋